ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY. Látka, která vtváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mei napětím a přetvořením je lineární ávislost.. Látka hmotného tělesa je homogenní a iotropní. Homogenita v každém mikroobjemu je stejná látka, která vkauje stejné fikální a chemické vlastnosti. Iotropie vjadřuje skutečnost, že v kterémkoliv směru vcháejícího daného bodu jsou stejné fikálně mechanické vlastnosti.. Posun a deformace tělesa od vnějšího atížení uvažujeme velmi malé, tj. v matematickém přepisu je le pokládat a infiniteimální veličin.
Základní úloha určit množinu posunů všech bodů tělesa, tj. určit vektorové pole posunutí. Na teorii pružnosti navauje a souvisí s ní: Teorie pevnosti všímá si přípustných meí napětí, které předepisuje růným druhům materiálů hlediska jejich kvalit. Teorie plasticit všetřuje tělesa, která po svém odlehčení ůstávají trvale deformovaná. Reologie sleduje rovoj silových a deformačních faktorů v ávislosti na čase. Přihlíží k vlivu času na měnu fikálně mechanických vlastností látek.
STAV DEFORMACE Vnější atížení vvodí v poddajném tělese posun, pootočení a deformace. Deformace elementu se v obecném případě uskutečňuje relativními měnami délek jeho hran a měnami pravých úhlů mei jeho stěnami, které můžeme koumat ve třech vájemně kolmých rovinách. Posun a pootočení jsou charakteristikami přetvoření tělesa. Úhlová deformace A A d O d O B B d C C obdobně pro G, Vektor posunutí u u v w repreentuje vektorové pole posunutí daného tělesa.
Složk tenoru deformace Na obráku je náorněna deformace rovinného elementu posunutí vrcholů ve dvou směrech a kosení. Poměrné prodloužení elementu ve směru souřadnicové os se vpočte výrau d d dub d u d d Podobně ve směru d d dvc d v d d Pravý úhel elementárního obdélníku u vrcholu A se měnil o malý úhel (tv. úhel kosení). Pro platí, že je součtem dvou úhlů, takže le psát dvb duc v u dv B d du C d d d v u A potom
Složk tenoru deformace kde, u v w, v u w v u w 6 geometrických rovnic poměrné délkové přetvoření (prodloužení) ve směru souřadnicových os. měn pravých úhlů v rovinách onačených příslušnými inde (poměrné úhlové přetvoření) Rovnice pro přetvoření vtvářejí soustavu 6 geometrických rovnic.,,,,, Tenorové pole deformace T T Geometrické rovnice v maticovém ápisu u
Operátorová matice Tenor deformace malých deformací A
ROVNICE KOMPATIBILITY (SPOJITOSTI DEFORMACÍ) Tvoří soustavu 6 rovnic, kterým musí vhovovat pole deformace. Platí, že pole deformace musí být v každém bodě tělesa spojité (kompatibilní). V maticovém ápisu T A nulová matice. pole operátorové matice (kromě namének)
STAV NAPJATOSTI V tělese vnikají vnitřní síl jako odeva na působení sil vnějších. Vnější síl:. Objemové síl atížení, které působí na objem určité hmot např. síl gravitační, setrvačné N m. Povrchové síl atížení, které působí na plochách povrchu tělesa N m Vnější osamělou sílu definujeme jako výslednici sil působících na elementární plochu A. Vnitřní síl působí na elementárních ploškách tělesa F lim N m n A A vektor napětí v bodě P n kde P n normálová složka vektoru napětí A - tečná složka vektoru napětí (tangenciální) F
Výsledné napětí A B C A A A ΔA libovolně volená plocha - výsledné napětí na libovolně orientované ploše ΔA Poměr ploch na čtřstěnu A A cos l cos l A A D - normála k plošce BCD svírá se souřadnicovými osami úhl A cos l A
K určení výsledného napětí se sestaví součtové podmínk rovnováh po úpravě A A A A A A l l l l l l l l l A A A A A A C A D A A A B Známe-li tenor napětí A na navájem kolmých ploškách, le vpočítat napětí na libovolné jiné plošce. A T l kde,, T T l l, l, l
Tenor napětí A popisuje stav napjatosti v daném bodě. A
CAUCHYHO STATICKÉ ROVNICE Statické rovnice vcháejí podmínek spojitosti (kompatibilit) měn ve složkách napětí. Součtové podmínk rovnováh elementárního kvádru nebo X X Y Z d d d d d d d d d d d d
d d d d Věta o vájemnosti tečných napětí Z momentové podmínk k těžišti elementárního kvádru le odvodit podmínk vjadřující větu o vájemnosti tečných napětí. d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d dd d dd d d d d d
Obdobně a áměnou indeů se velikost tečného napětí nemění. FYZIKÁLNÍ ROVNICE Do počtu rovnic se musí přidat podmínk, které vjadřují ávislost mei napětím a přetvořeními a jsou váán na konkrétní fikálně-mechanické vlastnosti reálných těles. Vjadřují vtah mei složkami tenoru napětí a tenoru deformace E G E G E G kde E modul pružnosti (Youngův modul) [Nm - ] G modul pružnosti ve smku E me G G m
- Poissonova číslo (součinitel) m - Poissonova konstanta součinitel příčné konstrukce l l l a+δa a p l a p a l l+δl p l pro iotropní materiál, 5! E Objemový modul pružnosti E E při relativní měně objemu Fikální rovnice le apsat v maticovém tvaru D D D nebo - matice tuhosti materiálu D - matice poddajnosti materiálu (inversní k matici D)
Pro lineárně pružný materiál: E D E D
ŘEŠENÍ OBECNÉHO PROBLÉMU Sstém ákladních rovnic je tvořen 5 rovnicemi pro analýu stavu napětí a deformace. Řešení spočívá v určení 5 funkcí proměnných jako funkce (,, ): u u, v, w. složk vektoru posunutí T. 6 složek tenorového pole napětí,,,,, T. 6 složek tenorového pole deformace,,,,, T 5 rovnic pro řešení obecného problému ted obsahuje:. 6 geometrických rovnic. statické rovnice. 6 rovnic fikálních Dále jsou doplněn rovnicemi kompatibilit požadavek spojitosti deformace.
Řešení obecného problému má variant:. Deformační varianta Dosaením složek tenorového pole deformace do rovnic fikálních a pak dosaení parametrů napětí ve fikálních rovnicích do statických diferenciálních rovnic a jejich integrováním ískáme nenámé posun u, v, w. V tomto případě tvoří statické rovnice po dosaení Laméov statické rovnice pro tři nenámé posun.. Silová varianta Nenámými jsou složk tenorového pole napětí {}. Postupujeme tak, že rovnice kompatibilit vjádříme pomocí fikálních rovnic v napětích. Těchto rovnic je 6 a mají 6 nenámých funkcí napětí. Protože vjadřují poue podmínku spojitosti, je nutno přičíst upravené Cauchho rovnice rovnováh. Po úpravách dostaneme soustavu 6 Beltramiho rovnic a 6 hledaných funkcí napětí. Volba variant pro řešení ávisí na složitosti problému.
Máme-li adán kinematické okrajové podmínk (vektor posunutí) je vhodné aplikovat deformační variantu. Jsou-li adán statické okrajové podmínk (např. atížení je na povrchu) je vhodné použít silovou metodu. V prai se obvkle vsktují kombinované případ okrajových podmínek.
HLAVNÍ NAPĚTÍ V obecném bodě atíženého tělesa eistují vžd tři k sobě kolmé ploch na nichž jsou tečná (smková) napětí nulová a normálová napětí nenulová. Budeme je naývat hlavní napětí a rovin, na které působí hlavní rovin. Vhledem k tomu, že na hlavní rovině působí hlavní napětí totožné s výsledným napětím, le pro jeho složk psát: cos cos cos Dosaením do rovnic rovnováh na čtřstěnu mají rovnice rovnováh po úpravě tvar: cos cos cos cos cos cos cos cos cos Tto rovnice mají řešení triviální: cos cos cos, které nevhovuje námému vtahu cos cos cos Netriviální řešení mají a předpokladu nulového determinantu:
Pomocí invariantů le poté rovnici ískanou rovojem determinantu upravit takto: I I I kde I je I. invariant napětí I je II.invariant napětí I je III. Invariant napětí Řešením rovnice ískáme velikosti hlavních napětí, pro které platí :.
V každém bodě tělesa eistují právě tři hlavní napětí, působící na tři vájemně kolmé ploch. Invariant I, I, I neávisejí na volbě souřadnicového sstému. Tenor napětí ve směrech hlavních napětí má tvar: A příslušné invariant v daném souřadnicovém sstému,, a ve směrech hlavních napětí jsou poté: I I I
Hlavní tečná (smková) napětí plnou rovnic: o 45 a k nim korespondují normálové napětí rovnic: Z obráku je řejmé, že hlavní tečná (smková) napětí působí v rovině procháející jednou osou souřadnicového sstému,, a půlící úhel bývajících dvou os.
HLAVNÍ DEFORMACE Hlavní poměrné délkové deformace plnou kubické rovnice tvaru: I I I p p p kde I je lineární invariant daný rovnicí: I I je druhý (kvadratický) invariant: 4 I I je třetí (kubický) invariant, daný vtahem: 4 4 I kde kromě dříve uvedených výnamů jsou,, hlavní poměrné délkové deformace. Podobně pro hlavní úhlové deformace platí rovnice:
a pro korespondující poměrné délkové přetvoření platí: Ponámka: a předpokladu, že je absolutně největší hlavní úhlová deformace dána vtahem: > > ma
Oktaedrické napětí Při studiu plastických deformací je nutné nát smkové napětí působící na plošce ve stejném sklonu ke každé hlavní ose. Tato ploška se jmenuje oktaedrická. C,, Normála k plošce BCD svírá s každou souřadnicovou osou stejný úhel, platí: Protože: cos cos cos platí: cos Oktaedrické napětí je dáno vtahem: Normálová složka oktaedrického napětí je: okt okt, n a tečná složka je okt B A s D
POMĚRNÁ ZMĚNA OBJEMU OBJEMOVÁ DEFORMACE, STŘEDNÍ NORMÁLNÉ NAPĚTÍ Uvažujme pravoúhlý hranol o délce stran ve směru jednotlivých os d,d,d atížený na protilehlých stranách stejným napětím. Účinkem těchto napětí se stran hranolu prodlouží ve směru jednotlivých os o přírůstk posunutí. d v d d d u d w d Změna objemu se dá vjádřit w w u dv d d dw d d d d d Při anedbání řádově malých násobků veličin se dostane w u v dv d d dw d d d d d d u d d w v d d
Poměrná měna objemu je definována w u v d d dw d d d d d d dv v dv d d d resp. v Dosadí se do tohoto vtahu fikální rovnice v E E E a potom v E Zavede-li se tv. objemový modul pružnosti, který je definován vtahem E E K resp. K dostane se poměrná měna objemu ve tvaru v K
Zavede-li se pojem střední normálné napětí s s Le psát s K v resp. v K
DEVIÁTOR NAPĚTÍ s s s s s s Stav napjatosti na diferenciálu objemu si můžeme představit jako výsledný účinek dvou stavů napjatosti (vi obr.). V prvním působí na všechn stěn objemu stejné napětí s, jedná se ted o hdrostatické napětí, které vvolává poue měnu objemu. Druhý napěťový stav be hdrostatické složk ase vvolává měnu tvaru. Obecný tenor napětí le takto rodělit na na část hdrostatickou a tv. deviátor napětí.
Podobně jako tenor napětí má i deviátor napětí tři invariant. s V deviátoru napětí D s s avedeme nová onačení s s a po dosaení D Invariant deviátoru napětí pak mají hodnot I je I. invariant deviátoru napětí I I je II.invariant deviátoru napětí je III.invariant deviátoru napětí s
DEVIÁTOR DEFORMACE Podobně, avedeme-li střední deformaci s a s s s Mají invariant deviátoru deformace tvar I je I. lineární invariant deviátoru deformace I 4 je II. (kvadratický) invariant deviátoru deformace I 4 4 je III. (kubický) invariant deviátoru deformace. Deviátor napětí a deformace se používají v teorii plasticit při tvorbě materiálových modelů.
Příklad Pro rovinnou úlohu můžeme výpočet hlavních napětí jednodušit I I I I I,, Grafickým náorněním vtahu je tv. Mohrova kružnice
Úhel a je možné určit podle vtahu (vi obr.) tg Konstrukce Mohrov kružnice http://mi.vsb.c/flash-animace/konstrukce-mohrov-krunice http://mi.vsb.c/flash-animace/animace-mohrov-krunice-elementarni-krchle Znalost velikostí hlavních napětí a jejich průběhů pomáhá poroumět chování konstrukce, nalét v konstrukci slabá místa a provést optimaliaci návrhu konstrukce. Vliv smkových napětí je vidět např. při tlakové koušce betonu http://mi.vsb.c/flash-animace/video-kouska-tlak-beton
Průběh směrů hlavních napětí na dlouhé konole Průběh směrů hlavních napětí na krátké konole
Autor: Doc.Ing.M.Krejsa, Ph.D., VSB Ostrava
Autor: Doc.Ing.M.Krejsa, Ph.D., VSB Ostrava