Skalár (z lat. scala, stupnice) je veličina (teplota, hustota, energie, objem, čas,...), jejíž hodnota. v y. j k i v z. v x

Transkript

1 Základní rovnice pro metodu CFD V kapitole budou odvoen ákladní rovnice v diferenciální formě užívané při numerickém řešení toku tekutin. Vžd předpokládáme spojité prostřední, tj. platnost kontinua. Nejdříve objasníme ákladní matematický aparát užívaný v mechanice kontinua. 1 Vektorové operace kalár ( lat. scala, stupnice) je veličina (teplota, hustota, energie, objem, čas,...), jejíž hodnota je v daných jednotkách plně určena jediným číselným údajem. kalární pole je funkce přiřaující skalár v každém bodě prostoru nebo čase. Příkladem může být teplotní pole v nějakém prostoru, kd teplota se může měnit s místem a časem. Teplotní pole ted charakteriuje roložení teplot a jeho měn v prostoru a čase. Vektor jsou fikální veličin, které jsou kromě velikosti určen také směrem. V tištěném tetu budeme vektor onačovat polotučnou kurívou (např. a). Vektor rchlosti v popisují úplně velikosti jeho průmětů (složek rchlosti) v,v,v na souřadnicové os,,. v j k i v v v Obr. 1: Průmět vektoru rchlosti na os souřadnic. Zavedeme-li ve směru souřadnicových os,, jednotkové vektor i, j, k, pro které platí i j k a i = j = k = 1, vektor se dá analtick vjádřit v = v i+v j +v k Velikost vektoru je dána vtahem v = v = v 2 +v 2 +v 2 (1) (2) 1.1 ubstanciální (materiálová) derivace skalární veličin ubstanciální derivacejevláštní druhtotálníderivace sledující pohb. Udávárchlost měn sledované veličin tak, jak ji vnímá poorovatel pohbující se společně s tekutinou. ubstanciální derivaci skalární veličin odvodíme pro případ hustot. Budeme všetřovat pohbující se objemový element tekutin, který se pohbuje po proudnici stejnou rchlostí jako je rchlost proudu tekutin, vi obr. 2. Ve sledovaném objemovém elementu předpokládáme konstantní hmotnost částic, ale při pohbu prostorem se může element deformovat (stlačovat nebo epandovat působením sil v tekutině). Tím se může měnit jeho objem a uavřená plocha, která jej ohraničuje. Hustota je proto funkcí prostoru a času ρ = ρ(,,, t) v čase t 1 je objemový element v místě 1: ρ 1 = ρ( 1, 1, 1, t 1 ), 1

2 1 v 2 v proudnice Obr. 2: Pohb elementárního objemu po proudnici. čase t 2 je objemový element v místě 2: ρ 2 = ρ( 2, 2, 2, t 2 ). Hustota je funkcí více proměnných, ρ = ρ(,,, t), funkci můžeme rovinout v Talorovu řadu ρ 2 = ρ 1 + ( 2 1 )+ ( 2 1 )+ ( 2 1 )+ (t 2 t 1 ) (3) ρ 2 ρ 1 t 2 t 1 = t 2 t 1 pro krátký časový okamžik platí t 2 t t 2 t 1 (4) ρ 2 ρ 1 lim Dρ t 1 t 2 t 2 t 1 (substanciální derivace hustot) (5) 2 1 lim v t 1 t 2 t 2 t lim v t2 t 2 t 2 t lim v (6) t2 t 2 t 2 t 1 Dρ = v + v + v + (7) Při vektorových diferenciálních operacích se často vužívá vektorový diferenciální operátor nabla, který má složk jako vektor, ale nemůže eistovat sám, nýbrž musí působit na skalární, vektorovou nebo tenorovou funkci. Operátor nabla je v pravoúhlých kartéských souřadnicích definován jako = i +j +k [m 1 ] (8) ubstanciální derivace hustot vjádřená pomocí operátoru nabla má tvar Dρ = +v ρ (9) 2

3 1.2 Totální diferenciál Totální diferenciál je v matematice diferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných a umožňuje aproimovat danou funkci lineární funkcí poblíž daného bodu. Totální diferenciál pro funkci hustot ρ = ρ(,,, t): dρ = dρ dt = d dt v d+ d dt + d + d dt v d dt + d + dρ dt = v + v + v + dt (10) d dt + (11) d dt v (12) Totální diferenciál je v podstatě to samé jako substanciální derivace. 1.3 Divergence rchlosti Fikální výnam divergence vektoru rchlosti je objemové množství tekutin, které vteče jednotkového objemu a jednotku času, tn. vdatnost tohoto objemu jakožto řídla kapalin. Divergence vektoru je skalár. (13) div v = v = v + v + v (14) Pro vsvětlení si vmeíme ákladní (kontrolní) objem tekutin, který se pohbuje společně s tekutinou (stejnou rchlostí). Celková hmota částic v ákladním objemu je stejná a neměnná v čase. časem a místem se může původní kontrolní objem měnit (deformace, smrštění, epane kontrolního objemu), ale celková hmotnost částic bude stále konstantní. Při měně objemu se bude měnit také plocha a hustota (dík konstantní hmotnosti částic). Na povrchu si vmeíme diferenciální plochu d, která se pohbuje lokální rchlostí v, vi obráek 3. V d n v t v Obr. 3: Pohbující se objem tekutin pro fikální vsvětlení pojmu divergence rchlosti. Změna objemu původního kontrolního objemu ve směru proudu, V, odpovídá objemu dlouhého tenkého válce se ákladnou d a výškou (v t) n, kde n je normálový vektor kolmý na plochu d. V = [(v t) n] d = (v t) d d n d (15) Za časovou měnu t je celková měna objemu rovna sumě přes celou plochu. V případě, že d 0, suma se stává plošným integrálem (v t) d (16) 3

4 Pokud integrál podělíme časovým krokem t, tak dostaneme fikálního pohledu, časovou měnu kontrolního objemu onačenou DV DV = 1 (v t) d = v d (substanciální derivace objemu) (17) t Na tok vektorového pole uavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou můžeme použít Gaussovu-Ostrogradského větu (v n)d v d = ( v)dv (18) V DV = v d DV = V ( v)dv (19) Pro elementární objem δv může být výše uvedená rovnice apsána D(δV) = ( v)dv. (20) δv Předpokládáme, že δv je tak malý, že v má v celé δv stejnou hodnotu, potom integrál v předcháející rovnici je nahraen výraem ( v)δv D(δV) = ( v)δv (21) v = 1 δv D(δV) Divergence vektorového pole = měna objemu v čase pohbujícího se elementu tekutin vtažená na jednotku objemu. 2 Rovnice kontinuit Rovnice kontinuit je bilance hmotnostního toku. Uvedeme dva přístup odvoení rovnice kontinuit: a) sledovaný elementární objem tekutin se pohbuje s tekutinou, b) elementární objem tekutin je finí v prostoru. 2.1 Element tekutin se pohbuje po proudnici ledovaný objemový element tekutin, δv, se pohbuje po proudnici stejnou rchlostí jako okolní tekutina (obr. 2). V objemovém elementu předpokládáme konstantní hmotnost částic, δm, neměnnou s časem (měna hmotnosti s časem je nulová) D(δm) (22) = 0 (23) Působením sil v tekutině na sledovaný element se může měnit jeho objem a hustota D(δm) D(ρδV) = δv Dρ +ρd(δv) = 0 (24) 4

5 [ Dρ 1 +ρ δv ] D(δV) = 0 (25) Výra v hranaté ávorce nahradíme divergencí rchlosti (vi předcháející kapitola) v = 1 δv D(δV) a ískáme výsledný výra pro rovnici kontinuit Dρ +ρ v = 0 (27) 2.2 Element tekutin je fiován v prostoru Druhý působ odvoení rovnice kontinuit si ukážeme pro objemový element tekutin, který je nehbně umístěný v prostoru. Tekutina vtéká/vtéká do/ elementu a může docháet k akumulaci/propadu tekutin v elementu, vi obr. 4. (26) Obr. 4: Tok tekutin skr finí objemový element tekutin. těn elementárního objemu budeme považovat a hranici bilančního sstému a uděláme diferenciální bilanci hmotnostního toku tekutin VTUP VÝTUP = AKUMULACE dṁ in dṁ out = dm dt dṁ in = dṁ in, +dṁ in, +dṁ in, = ρv dd +ρv dd +ρv dd (29) dṁ out = dṁ out, +dṁ out, +dṁ out, (30) [ = ρv + (ρv ] [ ) d dd + ρv + (ρv ] [ ) d dd + ρv + (ρv ] ) d dd dm dt = ddd (31) Dosaením členů do bilanční rovnice dostaneme [ (ρv ) + (ρv ) + (ρv ] ) ddd = ddd (32) 5 (28)

6 úpravou ískáme ákladní vjádření rovnice kontinuit + (ρv ) + (ρv ) + (ρv ) = 0 (33) Další působ vjádření rovnice kontinuit + (ρv j) j = 0 (34) +div(ρv) = 0 (35) + (ρv) = 0 (36) (ρv) = v +ρ v +v +ρ v +v +ρ v = v +v +v +ρ v +ρ v +ρ v = v ρ+ρ v (37) +v ρ+ρ v = 0 (38) } dt {{} Dρ Dρ +ρ v = 0 (39) Poslední výra dokauje, že platí jedna rovnice kontinuit be ohledu, da ji odvoujeme pro finí nebo pohblivý objemový element tekutin. 3 Navierov-tokesov (pohbové) rovnice Pohbové rovnice patří společně s rovnicí kontinuit mei ákladní rovnice popisující proudění tekutin. Pro odvoení budeme uvažovat pohbující se objemový element tekutin po proudnici dle obr. 2. Podle druhého Newtonova ákona (ma = F) je časová měna hbnosti tekutin v elementárním objemu rovna součtu všech sil působící na kontrolní objem δm Dv = δf Časovou měnu hbnosti tekutin v elementárním objemu odvodíme pro směr os (40) ρ Dv ddd = δf }{{} δv (41) 6

7 Materiálovou derivaci složk rchlosti ve směru můžeme vjádřit (vi podkapitola Vektorové operace) ρ Dv = ρ v +ρv v (42) Hustota a rchlost je funkcí prostoru a času, ρ = ρ(,,,t);v = v (,,,t) (ρv ) = ρ v +v ρ v = (ρv ) v (ρv v) = v (ρv)+(ρv) v ρv v = (ρv v) v (ρv) (44) ρ Dv = (ρv ) v v (ρv)+ (ρv v) (45) ρ Dv = (ρv ) (43) [ ] v + (ρv) + (ρv v) (46) }{{} =0 (rov. kontinuit) ρ Dv = (ρv ) + (ρv v) (47) Další form ápisu ρ Dv = (ρv ) + (ρv v ) + (ρv v ) + (ρv v ) ρ Dv i = (ρv i) + (ρv iv j ) j (48) (49) Časovou měnu hbnosti kontrolního objemu tekutin le také vjádřit pomocí totálního diferenciálu δma = δm dv dt ve směru os platí v = v (,,,t) dv = v dt+ v d+ v d + v d (51) dv dt = v dt dt + v d + }{{} dt v v d v + }{{} dt v δm dv [ dt = ρ v +v v +v v +v d }{{} dt v (50) (52) v ] ddd (53) Ačkoliv to není na první pohled patrné, oba působ odvoení (jak pomocí materiálové derivace, tak totálního diferenciálu) vedou ke stejnému výsledku. Použijeme pravidlo pro derivaci součinu tří funkcí d(u V W) d = U V dw d +U W dv d +V W du d (54) 7

8 pro výsledek materiálové bilance ρ Dv = (ρv ) = ρ v +v + (ρv v ) + ρv v +ρv + ρv v +ρv + ρv v +ρv upravíme pořadí členů v rovnici + (ρv v ) v +v v v +v v v +v v + (ρv v ) = (55) ρ Dv = ρ v +ρv + v + v +ρv v ( ρv v +v v +ρv v ) + ( v ρv +v v (56) ) ( ) v + ρv +v v ρ Dv ρ Dv = ρ v +ρv v +ρv v +ρv v + v +v (ρv ) +v (ρv ) +v (ρv ) [ ] v = ρ +v v +v v +v v [ + v + (ρv ) + (ρv ) + (ρv ] ) }{{} = 0(rovnice kontinuit) (57) (58) ρ Dv [ ddd = ρ v +v v +v v +v ] v ddd (59) Podobně můžeme roepsat časovou měnu hbnosti kontrolního objemu tekutin pro směr a. ρ Dv [ ddd = ρ v +v v +v v +v ρ Dv [ ddd = ρ v +v v +v v +v ] v ddd (60) ] v ddd (61) íl, které působí časovou měnu hbnosti reálné tekutin elementárního objemu mohou být objemové (hmotnostní) působící na částice v objemu (např. gravitační, odstředivá, Coriolisova) a plošné, které působí na ploše ohraničující objem (tlakové a třecí). Výra na pravé straně rovnice (40) můžeme roepsat δf = δf }{{} m +δf p +δf t }{{} hmotnostní plošné,δf s (62) 8

9 Obecnou hmotnostní sílu vtaženou na jednotku hmotnosti onačíme f a f její složku ve směru. Obecnou hmotnostní sílu ve směru os vjádříme δf m, = ρf ddd (63) Nejčastější hmotnostní silou je síla gravitační δf m,g = gδm δf m,g = gρδv δf m,g = gρddd (64) roepsané do složek F m,g = g ρddd F m,g = g ρddd F m,g = g ρddd (65) V případě, že gravitační síla bude působit proti směru os (vi obráek), pak g = 0, g = g, g = 0. Plošné síl tečné a normálové působí na elementární objem a mohou apříčinit jeho deformaci, jak je schématick nanačeno na obr. 5 pro rovinu. Obr. 5: chema deformace objemového elementu působením (a) tečných a (b) normálových sil. Tečné napětí, onačené τ, souvisí s rchlostí měn tečné (viskoitní) deformace elementu tekutin, atímco normálové napětí, onačené τ, souvisí se měnou objemu elementu tekutin. Obě napětí ávisí na gradientech rchlosti. Pro většinu reálných tekutin jsou normálová napětí (jako τ ) daleko menší než tečná napětí a často jsou anedbávána. Normálová napětí jsou výnamná v případech, kd normálové gradient rchlosti (např. v / ) jsou velmi vsoké, např. uvnitř ráové vln (lokální Machovo číslo >> 1). ložk tečného napětí se načí dvěma inde: první onačuje osu na niž je příslušná elementární plocha kolmá, druhý onačuje osu s níž je tečné napětí rovnoběžné. Plošné síl působící na elementární objem ve směru os jsou uveden na obr. 7. měr tečných sil je podle konvence, že nárůst složek rchlosti je ve směru příslušných os. Působením tečných sil docháí k deformaci elementu tekutin ve směrech os, jak je náorněno na obr. 6. 9

10 Obr. 6: Deformace elementu tekutin vlivem tečných sil v rovině. Obr.7: chéma plošných sil ve směru os. Plošné síl ve směru vjádříme podle obr. 7, přičemž áporné hodnot jsou u členů působících proti směru os F s, = + + [ ( p p+ p )] d d d (66) [( τ + τ ] [( ) τ d dd + τ + τ ] ) τ d dd [( τ + τ ] ) τ d dd Celková síla ve směru os je dána součtem rovnic (63) a (66) [ δf s, = p + τ + τ + τ ] ddd +ρf ddd (67) pojením rovnice vjadřující časovou měnu hbnosti elementárního objemu (47) s rovnicí (67) dostaneme ákladní vjádření Navierov-tokesov rovnice pro směr (ρv ) + (ρv v) = p + τ + τ + τ +ρf (68) 10

11 podobně pro směr a (ρv ) + (ρv v) = p + τ + τ + τ +ρf (69) (ρv ) + (ρv v) = p + τ + τ + τ +ρf (70) Obr. 8: Momentová rovnováha tečných sil na objemovém elementu. Za předpokladu, že působením tečných sil docháí poue k deformaci objemového elementu a ne k jeho rotaci, můžeme momentové rovnováh tečných sil na elementárním objemu, která je vjádřena k jeho těžišti, vi obr. 8, dostat M = M kde M = F d 2 dosadíme do momentů sil [( τ + τ ) ] d d dd τ dd 2 = po úpravě M = F d 2 (71) [( τ + τ ) ] d d dd τ dd 2 (72) τ = τ (73) Ze bývajících dvou momentových podmínek ískáme τ = τ, τ = τ (74) Pro matematické vjádření tečných sil použijeme Newtonův ákon pro smkové napětí τ = η dv.přideformacielementárníhoobjemusedvěploškačasdtotočíoúheldγ d = dα+dβ (obr. 6). Z teorie malých deformací, kde α a β 1 platí tandα dα, tandβ dβ (75) tandα = BB d = dv dt d dγ dt = dα dt + dβ dt = dv d + dv d dα dt = dv d, dβ dt = dv d (76) (77) 11

12 Užitím klasické reologické rovnice, která vjadřuje, že rchlost deformace je přímo úměrná napětí dγ dt = τ η dostaneme výsledný vtah pro složk tečného napětí τ = η dγ ( dα = η dt dt + dβ ) τ = τ = η dt ( v + v ) (78) (79) podobně pro ostatní složk tečného napětí ( v τ = τ = η + v ), τ = τ = η ( v + v ) (80) Normálové složk, τ ii plošných sil se uplatňují při proudění stlačitelných tekutin. Pro tento tp tekutin tokes (v roce 1845) navrhl vtah τ = 2η v ( +λ v + v + v ) (81) τ = 2η v ( +λ v + v + v ) (82) τ = 2η v ( +λ v + v + v ) (83) kde η je dnamická viskoita tekutin a λ je tv. druhá viskoita. tokes odvodil hpotéu, která je dodnes pro pln používána dík dobré aproimaci λ = 2 3 η (84) Tečná a normálová napětí dosadíme do rovnic (68) - (70) a po úpravě ískáme Navierov- tokesov rovnice v plném tvaru pro všechn složk (ρv ) + (ρv v ) + (ρv v ) + (ρv v ) = (85) p [ ( + ] 2 3 η ( v + v + v ) +ρf (ρv ) + (ρv v ) + (ρv v ) + (ρv v ) = (86) p [ ( + ] 2 3 η ( v + v + v ) +ρf 12

13 (ρv ) + (ρv v ) + (ρv v ) + (ρv v ) = (87) p [ ( + ] 2 3 η ( v + v + v ) +ρf Zjednodušená vjádření N rovnic najdeme ve tvarech např. pro osu (ρv ) + (ρv v) = p + τ + τ + τ +ρf, (88) nebo obecný ápis (ρv i ) + (ρv iv j ) j = p i +η 2 v i 2 j +η 1 ( ) vj +ρf i (89) 3 i j 13