Vysoká škola báská Technická univerzita Ostrava. Mechanika tekutin. uební text. Sylva Drábková a kolektiv

Transkript

1 Vsoká škola báská Technická unierita Ostraa Mechanika tekutin uební tet Sla Drábkoá a kolekti Ostraa 7

2 Recene: rof. Ing. Mária arnogurská, CSc. Náe: Mechanika tekutin Autor: Sla Drábkoá Vdání: rní, 7 Poet stran: 57 Náklad: - Vdaatel a tisk: Ediní stedisko VŠB TUO Studijní materiál ro studijní rogram Strojírenstí Fakult strojní Jakoá korektura: nebla roedena. Ureno ro rojekt: Oeraní rogram Rooj lidských droj Náe: E-learningoé rk ro odoru ýuk odborných a technických edmt íslo: CZ.O4..3/3..5./36 Realiace: VŠB Technická unierita Ostraa Projekt je solufinancoán rostedk ESF a státního rootu R Sla Drábkoá VŠB Technická unierita Ostraa ISBN

3 Obsah Obsah Pokn ke studiu 3 Úod 5. Historie 6. Základní ojm mechanik tekutin 9.3 Fikální lastnosti tekutin.4 Matematický áklad ro odoení bilanních ronic mechanice tekutin 9 Tlakoé omr kaalin a klidu 6. Tlak a jeho sobení 7. Euleroa ronice hdrostatik 9.3 Kaalina a sobení emské tíže 33.4 Pascal ákon 35 3 Tlakoé síl 4 3. Tlakoé síl na odoroné roinné loch 4 3. Tlakoé síl na šikmé roinné loch Tlakoé síl na kié loch Síl na tlesa onoená do kaalin 55 4 Relatiní klid kaalin 6 4. Pímoarý, ronomrn rchlený ohb nádob s kaalinou 6 4. Ronomrn otáiý ohb álcoé nádob kolem sislé os 64 5 Úod do roudní tekutin 7 5. Základní ojm 7 5. Rodlení roudní Druh roudní skutených kaalin 76 6 Základní ronice ro roudní ideální tekutin 8 6. Ronice kontinuit 8 6. Euleroa ronice ro roudní ideální tekutin Bernoulliho ronice ro ideální tekutinu 9 7 Základní ronice ro roudní skutené kaalin 7. Ronice kontinuit 7. Naieroa-Stokesoa ronice 7.3 Bernoulliho ronice ro skutenou tekutinu 4 8 Mení a tlaku a rtoku otrubí 9 8. Mení tlaku 9 8. Mení rchlostí 8.3 Mení rtok 8 9 Ustálené roudní otrubí Laminární roudní úké štrbin Laminární roudní otrubí kruhoého reu Turbulentní roudní trubici kruhoého reu 45 Hdraulický ýoet otrubí 54. Hdraulické odor otrubí 54. Píklad hdraulického ýotu otrubí 63.3 Charakteristika otrubí, áklad grafického ešení 68 Výtok kaalin nádob, ead 76. Výtok malým otorem 76. Výtok elkým otorem boní stn 8.3 Výtok onoeným otorem 8

4 .4 Výtok i souasném ítoku 8.5 Vrádnní nádob 83.6 Pead 84 Nestacionární roudní otrubí 9. Nestacionární roudní nestlaitelné kaalin otrubím 9. Nestacionární roudní nestlaitelné kaalin-hdraulický rá 9 3 eradlo otrubním sstému Bernoulliho ronice ro rotující kanál Kinematické omr obžném kole, 3.3 Euleroa eradloá ronice erací sstém, arametr erání 7 4 Proudní kortech 4 4. Ronomrný rtok kortem - Chého ronice 5 4. Neonomrný rtok kortem 9 5 Siloé úink roudící tekutin na loch a tlesa 5. Vta o mn hbnosti 5. Alikace t o mn hbnosti 3 6 Obtékání tles 3 6. Síl sobící na obtékaná tlesa 3 6. Mení rsta Odor tles 38 7 Fikální odobnost a teorie modeloání Fikální odobnost i roudní tekutin Dimenionální analýa (PI-teorém) 5 8 Dooruená literatura 53 9 Pehled oužitého naení 54

5 POKYNY KE STUDIU PEDMTU Mechanika tekutin Pro edmt Mechanika tekutin jste obdrželi studijní materiál obsahující strukturoaný tet obsahující i okn ke studiu kontrolní oták ke každé kaitole, ešené oroé íklad dolkoé animace a idea braných ástí kaitol kontrolní test Prerekiit Pro studium tohoto edmtu se edokládá absoloání edmtu fika a matematika. Cílem edmtu je senámení se ákladními roblém mechanik tekutin. Mechanika tekutin je ákladem ro ešení raktických inženýrských úloh ad obor. Nacháí ulatnní nejen oblasti strojírenstí, ale také e staebnictí, energetice, ekologii, biologii, medicín a dalších discilínách. Krom teoretických domostí je odmínkou ešení úloh i schonost alikoat nabté onatk rai. Pro koho je edmt uren Modul je aaen do bakaláského rogramu Strojírenstí, ale mže jej studoat i ájemce kteréhokoli jiného oboru, okud sluje ožadoané rerekiit. Skritum se dlí na ásti, kaitol, které odoídají logickému dlení studoané látk, ale nejsou stejn obsáhlé. Pedokládaná doba ke studiu kaitol se mže ýran lišit, roto jsou elké kaitol dlen dále na ísloané odkaitol a tm odoídá níže osaná struktura. Pi studiu každé kaitol dooruujeme následující ostu: as ke studiu: hodin Na úod kaitol je ueden as otebný k rostudoání látk. as je orientaní a mže ám sloužit jako hrubé odítko ro roržení studia celého edmtu i kaitol. Nkomu se as mže dát íliš dlouhý, nkomu naoak. Jsou studenti, kteí se s touto roblematikou ješt nikd nesetkali a naoak takoí, kteí již tomto oboru mají bohaté kušenosti. Cíl: Po rostudoání tohoto odstace budete umt osat... definoat... ešit... Ihned otom jsou ueden cíle, kterých máte dosáhnout o rostudoání této kaitol konkrétní doednosti, nalosti. 3

6 Výklad Následuje lastní ýklad studoané látk, aedení noých ojm, jejich stlení, še doroáeno obrák, tabulkami, ešenými íklad, odka na animace. ešený íklad ešené íklad ilustrují alikaci robrané teorie i ešení raktických úloh. Shrnutí kaitol Na ár kaitol jsou oakoán hlaní ojm, které si ní máte osojit. Pokud nkterému nich ješt neroumíte, rate se k nim ješt jednou. Kontrolní otáka Pro oení, že jste dobe a úln látku kaitol ládli, máte k disoici nkolik teoretických otáek. Úkol k ešení Protože tšina teoretických ojm tohoto edmtu má berostední ýnam a užití databáoé rai, jsou Vám nakonec edkládán i raktické úloh k ešení. V nich je hlaní ýnam edmtu a schonost alikoat erst nabté nalosti i ešení reálných situací hlaním cílem edmtu. 4

7 . Úod. Úod Po úsěšném a aktiním absoloání této KAPITOLY Budete umět: sětlit, čím se abýá mechanika tekutin jmenoat nejnámější ědce historii mechanik tekutin definoat ákladní ojm mechanik tekutin ochoit ýnam matematických oerací oužíaných ro odoení ákladních ronic Budete umět Mechanika tekutin je částí obecné mechanik, stejně jako mechanika tuhých těles. Zabýá se ronoáhou sil a klidu a ohbu kaalin a lnů. Při šetřoání tohoto ohbu se užíá mnoha onatků a ákonitostí mechanik tuhých těles. Obdobně jako je obecné mechanice aeden ojem hmotného bodu, stuuje úlohách hdromechanik ojem elementární objem kaalin nebo lnu. Je to objem elmi malý roti roměrům roudu kaalin, ale dostatečně elký hledem ke střední délce olné dráh molekul. Le ted ředokládat, že ro očet molekul obsažených tomto objemu latí statistické střední hodnot kinetické teorie. Nekoumáme ted mikrostrukturu ohbu skutečné tekutin, tj. ohb jejích molekul, který je ředmětem kinetické teorie kaalin a lnů. Pro elementární objem se odoují odmínk ronoáh sil a klidu a ohbu tekutin a definují ákladní ákon, tj. ákon achoání hmot, res. energie. Pro jejich odoení se ředokládá, že tekutina je sojité a stejnorodé (iotroní) rostředí. Získané diferenciální ronice se integrují s užitím okrajoých, říadně očátečních odmínek. Matematický model oisující koumaný je se řeší buď eaktně, či hlaně osledních letech s užitím numerických metod a ýočetní technik. Pokud je eaktní řešení hlediska složitosti ronic nedostuné, a také důodu erifikace numerického řešení, jsou ro ískání informací o koumaném jeu realioán fikální eeriment. Z naměřených dat jsou ak odoen emirické či oloemirické áislosti. Při organiaci eerimentu a ešeobecnění ískaných ýsledků se užíá teorie fikální odobnosti. Eerimentální ráce tak stále ůstáá ýnamnou složkou onání. Odoené tah ak umožňují řešit raktické roblém mechanik tekutin a jsou tak nástrojem ro řadu inženýrských úloh. 5

8 . Úod.. Historie Čas ke studiu: / hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umět jmenoat nejnámější badatele, kteří řisěli sým onáním k rooji mechanik tekutin Výklad Úlný historický řehled ýoje oboru mechanik tekutin b bl elmi obsáhlý. V této kaitole jsou roto ueden ýnamné osta, jejichž dílo a dosažené ýsledk souisí s učiem robíraným dalších kaitolách. Archimédes (87-, ř.n.l.) - staroěký řecký matematik a fik, mechanik a nálece. Zkoumal měření neraidelného objemu těles jejich onořením do od. Zaedl ojm těžiště, tíhoá síla a statický moment. Je nálecem šrouboého čeradla, jež je užíáno až do dnes, hlaně čistírnách odadních od. Do oblasti fik Archimédes řisěl racemi na téma teorie ák, ýočet těžiště ro rotační loch atd. Snad nejnámější je t. Archimédů ákon: Těleso onořené do kaalin je nadlehčoáno silou, která se roná áe kaalin tělesem tlačené. Leonardo da Vinci (45-59) - je elkou ostaou renesanční dob. Jeho tůrčí činnost asahoala do růných ědních oborů: malířstí, sochařstí, architektura, anatomie, řírodní ěd. Leonardo technické nále le rodělit do čtř ákladních skuin: létací stroje, raconí nástroje, álečné stroje, s odou souisející baení. V oboru roudění je nutno uést nárh mlýna s odním kolem, objeení ákona rchlosti a růřeu S = konst, nárh hodných tarů ro člun, adáku, atd. Simon Stein (548-6) - holandský matematik, jedna nejětších osta o Leonardu da Vinci. V roce 586 ublikoal knihu Statika a hdrostatika. Zabýal se ronoáhou sil kaalině a klidu, objeil t. hdrostatické aradoon. Zabýal se užitím síl ětru, na očátku sedmnáctého století Holandsku ostail da lachetní o. 6

9 . Úod Galileo Galilei (564 64) - toskánský astronom, filosof a fik těsně sjatý s ědeckou reolucí. Mei jeho úsěch řadíme lešení dalekohledu, romanitá astronomická ooroání, rní Newtonoých ákonů ohbu a účinnou odoru Koerníka. Často je uáděn jako otec moderní astronomie, otec moderní fik a dokonce otec ěd. Studoal mimo jiné i teoretick i eerimentálně růtok násoskou, oěřil, že tlak kaalině áisí na ýšce slouce kaalin. Eangelista Torricelli (68-647) - italský matematik, žák G. Galileiho, koumal účink emské tíže na kaalin, definoal tah ro rchlost ýtoku nádob rchlost ýtoku otorem e stěně nádob hloubce h od hladinou, aedl onačení atmosférický tlak duchu, nalel rtuťoý barometr. Je o něm ojmenoána jednotka tlaku "torr". Roku 64 dal dílo Trattato del Moto, kde le nalét rní ucelené áklad hdrodnamik. Blaise Pascal (63-66) - francouský fik a matematik naaoal na Torricelliho. Je autorem ásadního díla Pojednání o tlaku duchu. Jeho okus ústil e nále ýškoměru a oslée i barometru řístroje jež ukauje kolísání tlaku e duchu. Stalo se tak roce 648. Sestrojil hdraulický lis a sloil ákon ro ronoměrné šíření tlaku tekutinách, který se nní o něm naýá: "Tlak olaný nější silou kaalině je e šech směrech a e šech místech stejný." Isaac Newton (643-77) - britský fik, matematik a astronom, je akladatelem klasické mechanik. Newtono ohboé ákon ředstaují áklad oemské i nebeské mechanik. Studiem odoru kladeného rostředím ohbujícímu se tělesu oložil áklad hdrodnamik. Uažoal setračnost tekutin, tření o obtékaný orch, definoal formuli ro smkoé naětí ři laminárním roudění. Ve sém slaném díle Matematické áklad řírodních ěd obecnil a usořádal do řehledného logického sstému ýsledk ráce sých ředchůdců. Leonhardo Euler (77-783) - šýcarský matematik. Tůrce moderní hdromechanik objeil ojem ideální (neiskoní) kaalin a sestail její ákladní diferenciální ohboou ronici. Mimo to nalel odní turbínu, ro níž ododil ákladní tah. V roce 733 bl jmenoán rofesorem a edoucím matematického oddělení etrohradské Akademie, kam jej oal Daniel Bernoulli. Roku 74 Euler Ruska odešel a řijal oání ruského krále Fridricha II. Velikého do Berlína. Stráil ak Pruské akademii celých 5 let. Z tohoto období ocháí jeho nejýnamnější obje - lnoá ronice. Jean le Rond d'alembert (77-783) - francouský matematik a fik, osícenský filosof. V roce 744 ublikoal sé dílo o ronoáe a ohb kaalin "Traité de l'equilibre et du mouement des fluides". Jeho ráce bla alternatiním racoáním teorie kaalin, které ublikoal Daniel Bernoulli. Zaedl ojem náběhoý bod ři obtékání nekonečně tenkých těles, aedl ředstau laminárního roudění jako klouání ronoběžných rste kaalin. 7

10 . Úod Daniel Bernoulli (7-78) - šýcarský matematik a fik. Početná rodina Bernoulliů sehrála 8. stol. mimořádnou úlohu rooji eroské matematik a fik. Celkem 9 členů tohoto rodu niklo řírodních ědách. Daniel Bernoulli se roce 75 se stal rofesorem matematik noě aříené etrohradské Akademii ěd. V r. 733 Ruska odešel, ůsobil na unieritách rodném Groningenu a Basileji. Jeho stěžejní dílo Hdrodnamica šlo r Touto rací oložil áklad hdrodnamik. Zintegroal Eulerou ohboou ronici a eerimentálně rokáal její latnost. Vtořil rní kinetickou teorii lnů. Joseh - Louis Lagrange (736-83) naroen Itálii, matematik a astronom, který ýnamně roinul matematickou analýu, teorii čísel, a klasickou a nebeskou mechaniku. Je akladatelem oblasti matematik naýané ariační očet. Bl jedním nejětších matematiků 8. století, odobně jako Leonhard Euler. Zdokonalil analtické metod hdrodnamik, aedl Lagrangeou metodu sledoání ohbu částic kaalin. Jean-Charles Chealier de Borda ( ), francouský matematik a astronom. Měřil délku oledníkoého stuně a sekundoého kadla, sestail tabulk trigonometrických funkcí ro setinné dělení kruhu, aložil námořní školu Brestu. Zkoumal ýtok kaalin nádob otor a nátrubk, aedl součinitel úžení arsku, rchlostní a ýtokoý součinitel. J. L. M. Poiseuille ( ) - francouský fik. Vinul metodu měření kreního tlaku. Zkoumal také roudění tekutin trubicemi. Solečně s G.H.L. Hagenem ( ) se abýali laminárním rouděním. V roce 838 jistili, že rchlost roudění áisí na růměru a délce trubice a na rodílu tlaku mei konci trubice a formuloali Hagen- Poiseuilleů ákon. Gabriel Stokes (89-93), jeden nejýnamnějších irských ědců. Je oažoán a jednoho e akladatelů hdrodnamik. Určil metodu ro měření kinematické iskoit (Stokesů iskoimetr). Ukáal na rostou lineární áislost naětí na deformační rchlosti, čímž obecnil Newtonů ákon a solečně s Louisem Naierem ( ) tak řisěli k odoení obecné ohboé ronice ro roudění aké kaalin. Hermann Helmholt (8-894) - německý fiolog, lékař, matematik, fik, meteorolog a filoof. Formuloal obecný ákon o achoání energie ahrnující šechn druh energií. Jako rní odal matematický ýklad tohoto ákona a řisěl k teorii otenciálního a ířiého roudění dokonalé kaalin. 8

11 . Úod William Thomson Kelin (84-97) - britský fik. Jeho ědecké ráce se týkají mnoha oblastí matematik a fik (termodnamika, hdrodnamika, elektromagnetimus, enost, telota atd.). Zaedl sětlení absolutní telot a absolutní stunice telot, naanou jeho jménem (stunice Kelinoa). Definoal. termodnamický ákon a roracoal 3. termodnamický ákon (Thomsonů efekt). Zabýal se cirkulací kaalině. Osborn Renolds (84-9) - britský ědec a inženýr. Od roku 873 koumal Renolds dnamiku tekutin, dík které se stal sětoě unáaným odborníkem. Renolds koumal měn roudění unitř otrubí ři řechodu mei laminárním a turbulentním rouděním. Určil kritérium ro řechod laminárního roudění na turbulentní, které blo oději onačeno jako Renoldsoo číslo. V roce 886 formuloal teorii maání. O tři rok oději tořil důležitý teoretický model ro turbulentní roudění. Ludwig Prandtl ( ) německý fik, bl růkoníkem oblasti aerodnamik. Je objeitelem mení rst, ododil diferenciální ronici ro její ois, ůsobil oboru měření dnamického tlaku roudění tekutin. Prandtloa trubice je kombinací Pitoto trubice (udáá celkoý tlak) a sond měřící statický tlak. Rodíl obou je dnamický tlak, úměrný čterci rchlosti roudění. Podílel se na ýoji aerodnamických tunelů. James Bicheno Francis (85-89) - britský technik, žijící od roku 833 USA. V roce 849 nalel a konstruoal radiální řetlakoou odní turbínu, která nese jeho jméno. V této oblasti se dále rosadili Lester Allen Pelton (89-98) a Victor Kalan ( ), rofesor na brněnské technice... Základní ojm mechanik tekutin Čas ke studiu: / hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umět sětlit ákladní ojm mechanik tekutin Výklad Základním rodílem mei tekutinou a tuhým tělesem je ohbliost molekul kaalin a lnů. Tuhé těleso se ohbuje jako tuhý celek hmotných bodů, neřihlížíme-li k neatrným deformacím. Tekutina je látka, která se na rodíl od tuhých těles žd neratně deformuje. Nemá lastní tar a a ůsobení neatrných tečných sil se její částice snadno uedou do 9

12 . Úod ohbu (ýjimkou jsou některé anomální nenewtonské kaalin). Tekutin tečou roudu omeeném enými stěnami nebo toří rohraní (hladin). Při řešení úloh mechanice tekutin se cháí ředsta tekutin jako sojitého, stejnorodého rostředí. Stejnorodostí neboli iotroií roumíme stejné lastnosti šech částeček kaalin neáislé na jejich oloe a směru ůsobení sil. Tento ředoklad umožňuje ýhodně řešit úloh mechanik tekutin na oleném, elmi malém objemu, aném elementární objem tekutin a odoené ákonitosti rošířit na celý objem. Jak již blo řečeno úodu, jedná se o objem elmi malý hledem k roměru nádob či roudu, ašak dostatečně elký hledem ke střední olné dráe molekul. Tento objem si můžeme ředstait nař. jako objem hranolku objem dv, i obr... dv = ddd nebo jako obecný obr.. Elementární objem kaalin Síl, které mohou ůsobit na tento elementární objem tekutin ůsobit, le rodělit obecně do dou skuin, tj. na síl hmotnostní (neboli objemoé) a síl lošné, jak je náorněno na obr... Síl ůsobící na elementární objem kaalin hmotnostní (objemoé) lošné nější hmotnostní síl síl od ohbu kaalin obr.. Síl ůsobící na elementární objem kaalin

13 . Úod Hmotnostní síl ( říadě nestlačitelné kaalin - objemoé) - áisí na hmotnosti makroskoické částice a rchlení odle tahu F r = m a, ůsobí těžišti objemu tekutin. K nějším hmotnostním silám le ařadit tíhoou sílu, odstřediou sílu a setračnou sílu od ohbu nádob, e které se tekutina nacháí. Pokud tekutina roudí, atří sem síl setračné od lastního ohbu tekutin a také síl hbnostní. Plošné síl jsou úměrné elikosti loch (tlakoá síla, třecí síla, síl orchoého naětí). V kartéském souřadném sstému jsou síl definoán jako ektor o třech souřadnicích, nař. F = ( F, F, F ). Přitom elikost ektoru se onačuje F = F + F + F Pokud bude ředokládáno roudění jednoroměrné nebo daném směru, od ektoroého onačení se uouští, neboť směr je dán jednonačně a síla bude adána oue elikostí, ted souřadnicí...3. Fikální lastnosti tekutin Čas ke studiu: hodina Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umět definoat ákladní fikální lastnosti tekutin a ododit jejich jednotk Výklad Tekutin jsou látk, u nichž soudržnost mei molekulami je elmi malá. Dělíme je do dou skuin: nestlačitelné tekutin, které ůsobením tlaku, normáloých sil, jen neatrně mění sůj objem sem atří kaalin. Malé objem kaalin toří kak. Kaalin aujímají tar nádob, a ůsobení emské tíže lňují její sodní část a tářejí olnou hladinu. stlačitelné tekutin, ted i roínaé, které lňují žd celý objem nádob. Podle toho da jejich sta je blíko či daleko bodu kaalnění jsou to buď ár nebo ln. Solečný náe je dušin. Sta tekutin nacháející se ronoáe může být určen tlakem, hustotou a telotou. Hustota ρ (měrná hmotnost) je rona oměru hmotnosti elementární částice tekutin dm k jejímu elementárnímu objemu dv, němž hustotu určujeme

14 . Úod dm ρ = dv [kg.m -3 ] (.3.) Přerácená hodnota hustot je měrný objem = = ρ dv dm [m 3.kg - ] (.3.) Hustota lnů a ar je funkcí staoých eličin tj. tlaku a telot T (K). Pro její ýočet se bude oužíat jednoduchá staoá ronice ideálního lnu = rt, V = mrt ρ kde r je měrná lnoá konstanta [J.kg - K - ], jejíž elikost áisí na druhu lnu. (.3.3) Hustota kaalin se mění s tlakem a telotou jen neatrně a e ětšině ýočtů ji budeme oažoat a konstantní ρ =konst. Přesto mají kaalin schonost menšoat sůj objem ři šoání tlaku a můžeme definoat jejich objemoou stlačitelnost. Objemoá stlačitelnost se jadřuje součinitelem stlačitelnosti δ, kd úbtek objemu olaný stlačením ři konstantní telotě slňuje ronici dv δ = [Pa - ] (.3.4) V d obr..3 Objemoá stlačitelnost kaalin Předstame si, že na očátku je nádobě kaalina o hustotě ρ, objemu V a tlaku, i obr..3. Síla F ůsobící na lochu ístu S odí měnu tlaku Δ. Objem kaalin od ístem se menší o ΔV, takže o stlačení je V = V ΔV a tlak se ýší na = + Δ. Objem, tlak a hustota kaalin o stlačení jsou V,, ρ. Po dosaení rodílu objemů a tlaků řed a o stlačení do ronice (.3.4) se dostane tah ( V V ) ( ) ( V V ) ΔV ( ) VΔ δ = = = V V [Pa - ] (.3.5) který jadřuje měnu objemu kaalin Δ V = V V řiadající na jednotku ůodního Δ =. objemu V ři měně tlaku ( ) Z ředcháejících ronic lýá tah ro objem kaalin o stlačení

15 ( δ Δ) 3. Úod V = V ΔV = V δvδ = V (.3.6) Hustota o stlačení je dána ronicí (.3.7). m m ρ ρ = = = V V [kg.m -3 ] (.3.7) ( δ Δ) ( δ Δ) Modul objemoé stlačitelnosti kaalin K je definoán jako řerácená hodnota součinitele objemoé stlačitelnosti δ V Δ K = = [Pa] (.3.8) ΔV δ Při stlačoání kaalin se její hmotnost nemění, roto le sát m = ρ V = konst. Diferencoáním se dostane ρ. dv + V. dρ =, čehož ro měrnou objemoou měnu lýá tah dv V dρ dv =. Po dosaení do definičního tahu δ = le modul ρ V d objemoé stlačitelnosti kaalin ted jádřit tahem d K = ρ. d ρ Roměr modulu objemoé stlačitelnosti kaalin K řiomíná modul ružnosti tahu E tuhých látek, ro odu je K, 9 Pa. Obecně áisí na staoých eličinách, tj. tlaku a telotě. Stlačitelnost le roněž charakterioat rchlostí uku, to je rchlostí, kterou se e stlačitelném rostředí šíří tlakoý roruch. Teoretická rchlost šíření uku kaalině je dána tahem K d a t = = [ms - ] (.3.9) ρ dρ Pro šíření uku e odě o dosaení a K a ρ dostaneme 9 K, 6 a t = = =, = 449 [ms - ] ρ Pro teoretickou rchlost uku e duchu latí a ředokladu ioentroické (adiabatické) staoé měn (ři T = 73,5 K a měrné lnoé konstantě r = 87 J.kg -. K - ) K d a = = = κ = κrt = 33 [ms t - ] (.3.) ρ dρ ρ kde κ =. 4 je iotermický eonent. Telotní rotažnost je schonost kaalin ětšoat ři ahřátí sůj objem. Vjadřuje se součinitelem telotní rotažnosti β

16 . Úod ΔV β = [ O C - ] (.3.) Δ V t = konst Předstame si, že na očátku je nádobě kaalina o hustotě ρ, telotě t objemu V, i obr..4. Po ahřátí kaalin Δt kaalina aujímá objem V = V + ΔV. Objem, telota a hustota kaalin o ahřátí jsou V, t, ρ. Po dosaení rodílu obr..4 Telotní rotažnost kaalin objemů a telot o a řed ahřátím do ronice (.3.) dostaneme tah (.3.), který jadřuje měnu objemu kaalin ΔV = V V řiadající na jednotku ůodního objemu V ři měně telot t = ( t t ) Δ. V V ΔV β = = [ O C - ] (.3.) V t t V. Δt Z ředcháejících ronic lýá tah ro objem kaalin o ahřátí V = V + ΔV = V + βvδt = V ( + βδt ) [m 3 ] (.3.3) Hustota o ahřátí je dána následující ronicí. m m ρ ρ = = = [kg.m -3 ] (.3.4) V V ( + βδt ) ( + βδt ) Viskoita tekutin se rojeuje a ohbu skutečných kaalin. Pohbují-li se sousední rst kaalin růnými rchlostmi, niká na jejich rohraní smkoé naětí, které brání ohbu. Pomalejší rsta je rchloána a naoak ase rchlejší bržďoána. Tečné (smkoé) naětí je oláno nitřním třením neboli iskoitou tekutin. Je úměrné měně rchlosti e směru kolmém na směr ohbu odle Newtonoa tahu d τ = η = η [Pa] (.3.5) d h d kde η je dnamická iskoita (akost) a je gradient rchlosti e směru kolmém na směr d ohbu, i obr..5. Tuto formulaci uedl roce 687 anglický fik Isaac Newton ro laminární roudění. Smkoé naětí ůsobuje úhloou deformaci elementárního objemu tekutin (obr..5). 4

17 . Úod obr..5 Smkoé naětí ři laminárním roudění Jednotka součinitele dnamické iskoit η se definuje e tahu ro smkoé naětí [ τ ][ ] N.s kg [ η ] = = = = Pa.s [ ] m m.s Roměr obsahuje jednotku síl, roto bla tato akost onačena jako dnamická, neboť dnamice se šetřují říčin ohbu, tj. síl. Fikální soustaa jednotek (stále oužíaná říručkách a tabulkách) aádí ro jednotku dnamické iskoit onačení P (Poise), což je P = g cm - s - =, Pas. Kinematická iskoita dána odílem dnamické iskoit a hustot odle tahu 3 η kg m ν = [ ν ] = = m s (.3.6) ρ ms kg Roměr kinematické iskoit neobsahuje jednotk hmotnosti ani síl. V rai je dosud stále důležitá jednotka kinematické iskoit soustaě fikální Stokes, ro niž latí S = cm s - = -4 m s -. Vakost kaalin se měří iskoimetr, nichž nejběžnější jsou kailární, ýtokoé, růtokoé, rotační, tělískoé a jiné. Z měření akosti kaalin Engleroým iskoimetrem lýá další jednotka iskoit Englerů stueň, která se definuje se jako oměr dob ýtoku τ koumané kaalin o objemu cm 3 ři dané telotě k době ýtoku destiloané od o telotě t = o C, ted E τ τ ν = [ E] HO o (.3.7) Viskoitu jádřenou Engleroých stuních le řeádět na kinematickou iskoitu SI jednotkách omocí emirického tahu 6,3 6 ν = 7,3ν E [m s ] (.3.8) ν E 5

18 . Úod Dnamická a kinematická akost áisí na druhu tekutin. Jejich hodnot jsou ro ětšinu tekutin tabeloán. Vakost každé tekutin áisí na telotě a tlaku, ted na staoých eličinách. Tto áislosti jsou dán oloemirickými ronicemi, tto jsou uáděn odborné literatuře. Mimo áislosti ro odu a duch, jsou technick důležité áislosti dnamické iskoit na telotě ro minerální oleje. Tto áislosti le dobře aroimoat eonenciální funkcí e taru A ( k T ) η =η e nebo = η e t + B η (.3.9) kde η, η, k, A, B - jsou konstant, které je nutno ro jednotlié druh olejů určit eerimentálně a statistick nař. metodou nejmenších čterců (nař. omocí software EXCEL). U lnů teelný ohb molekul řeládá nad silami meimolekulárními, se ýšením telot růstá rchlost teelného ohbu molekul a tím roste i iskoita lnu. Tento onatek je e shodě se skutečností. U kaalin je tomu obráceně. U nich jsou ještě dosti ýrané meimolekulární síl roti teelnému ohbu molekul. Zýšením telot docháí k inteninější ýměně hbností částic ohbujících se rstách kaalin a tečné naětí se menšuje. U kaalin klesá akost s rostoucí telotou. Porchoé naětí je ůsobeno silami ůsobící mei molekulami kaalin. Unitř kaalin je každá molekula obkloena molekulami stejné látk e šech stran, takže se jejich řitažlié síl ronáají. U rohraní jsou molekul obkloen jen jedné stran, jejich síl se neronáají druhé stran, i obr..6 a roto na molekulu ůsobí síla směřující donitř kaalin. obr..6 Porchoé naětí 6

19 . Úod Poněadž ůsobení jednotliých molekul je omeeno na elmi malou oblast, rojeuje se tato neronoáha meimolekulárních sil jen neatrné rstě kaalin na hladině. Kaalina na rohraní se načuje odlišnými lastnostmi, tickými ro ostatní objem kaalin. Molekul na rohraní mají šší otenciální energie roti molekulám unitř kaalin a rohraní kaalin se jeí jako otažené elmi tenkou a najatou rstou. Porchoé naětí je definoáno jako oměr orchoé energie k loše rohraní nebo jako síla, která ůsobí na jednotku délk rohraní, a to kolmo k této délce, a roině orchu. E F σ = a = [N. m - ] (.3.) S l Příkladem může být nař. síla, kterou je mdlinkoá blána rotahoána rámečku s osunými tčkami AB a CD (každá délk l), i obr..7. Síla je dána ýraem F =σ l, neboť délka namáhaného orchu je l a orchoé naětí je σ. Zětší -li se orch blán o délku d, koná se ráce da = F d = σ l d. Touto rací se ětší orchoá energie obr..7 Porchoé naětí kaalin. Na jednotku délk rohraní řiadá ted síla F l = σ ld = d l d da l = σ [N. m - ] (.3.) Porchoé naětí určité kaalin áisí na druhu látek, které toří rohraní. Kaalina se může stýkat s enou látkou, kaalinou nebo lnem. Vnik orchoého naětí bl sětlen neronoáhou molekulárních sil a ředokladu, že kaalina s ničím nesousedí. Ve skutečnosti je žd obkloena jinou látkou, ať enou, kaalnou, či lnnou, a roto meimolekulární síl od lastní kaalin se budou ronáat s kalitatině stejnými silami sousedního rostředí. Výsledné orchoé naětí bude dáno ektoroým součtem obou složek. Účink orchoého naětí se rojeí naříklad línáním u stěn nádob, torbou kaek, ři táření ln na hladině, úžením arsku kaalin a jeho roadem, stouáním, nebo klesáním slouce kaalin kailáře. Kailarita se sktuje u trubiček elmi malého růměru kailár, nebo oréním rostředí. Kdž adhení síl jsou ětší než kohení, stuuje kaalina kailáře do ýšk h. 7

20 . Úod V oačném říadě, kd kohení síl jsou ětší než adhení, ůstáá kaalina kailáře o ýšku h níže než je hladina okolní kaalin, i obr..8. Příslušné ýšk h se dají sočítat odmínk ronoáh mei graitačními silami a orchoými silami: π πdσ = d hρg čehož 4 4σ h = ρgd (.3.) obr..8 Kailární eleace a derese Poslední tah se dá oužít též k určení orchoého naětí σ. Porchoé naětí od je σ =,7 Nm - =,7 kg s -. Řešený říklad V lnojemu se uchoáá ln o objemu V ři telotě t a řetlaku. Měrná lnoá konstanta je r, R je unierální lnoá konstanta. Určete hmotnost lnu m lnojemu, látkoé množstí lnu n a objem lnu V n ři telotě O C a tlaku 35 Pa (tj. ři normálních odmínkách). Zadáno: Vočtěte: Výsledk: V = m 3 m =? kg t = C n =? kmol =.4 kpa V =? 3 m n r = 657 J.kg - K - = 984 hpa R = 834 J.K -.kmol - Řešení: V = mrt m = V = nrt n = n V rt V RT nv T n n = V T V n = V T T n n 8

21 . Úod Řešený říklad Válcoá nádrž o roměrech d a h je cela nalněna odou o atmosférickém tlaku a telotě t. Určete měnu tlaku nádrži ři měně telot na hodnotu t. Součinitel telotní rotažnosti od je β a modul stlačitelnosti od je K. Poddajnost stěn nádob anedbejte. Zadáno: d = m h = 3 m K = MPa t = O C t = 3 O C β =.64 ( O C) - Vočtěte: Výsledk: Δ =? MPa.8 Řešení: Při ahřátí kaalin se ětší její objem liem telotní rotažnosti. V uařené, cela alněné nádobě nemůže kaalina ětšit sůj objem a roto důsledku objemoé stlačitelnosti dojde ke měně tlaku. VΔ KΔV K = Δ = ΔV ΔV V = V + ΔV = V + βvδt ΔV = VβΔt KVβ Δt Δ = = Kβ V ( t t ).4. Matematický áklad ro odoení bilančních ronic mechanice tekutin Čas ke studiu: hodina Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umět rolišoat absolutní a relatiní souřadné sstém a užíat je, definoat deriace odle času orientoat se ojmech ektor, skalár, složka souřadnice ektoru definoat objemoé a lošné integrál sil a řeod mei nimi-gaussou Ostrogradského ětu Výklad.4.. Souřadné sstém Předstame si, že stojíme na mostě a oorujeme, jak se koncentrace rb ráě od námi mění s časem. Tak jistíme, jak se koncentrace mění s časem nehbném místě 9

22 . Úod rostoru eně sojeným s orchem emě. Tento rostor se naýá absolutní rostor a je ákladní rostor. Veličina souřadnicích,,. c t je arciální deriace koncentrace c odle t ři konstantních Nní místo, abchom stáli na mostě, nasedneme do motoroého člunu a jedíme o řece, někd roti roudu, někd naříč řek a někd o roudu. Změna koncentrace rb s časem bude áiset nějak na ohbu člunu. Pak totální deriace koncentrace odle času je dána tahem dc c c d c d c d = (.4.) dt t dt dt dt d d d kde, a jsou složk rchlosti člunu. dt dt dt Nní nasedneme do člunu, necháme se unášet roudem a budeme očítat rb. Rchlost ooroatele je teď stejná, jako rchlost roudu. Udááme-li měnu koncentrace rb s časem, áisí na místní rchlosti roudu. Tato deriace je láštní druh totální deriace a naýá se substanciální deriace nebo deriace sledující ohb. Její tah k arciální deriaci odle času je kde, Dc Dt c t c c c = (.4.) a jsou složk místní rchlosti od. Prostor je relatiní, tj. je to malý rostor, který se hledem k absolutnímu rostoru může ohboat..4.. Vektor a skalár Veličin, které le určit ouhým číslem, jakmile je olena jednotka mír, se naýají skalár. Vektor je eličina jež osktuje růné údaje. Jeden je aritmetický (jeho elikost), ostatní jsou geometrické. Vektor je orientoaná úsečka. Předokládejme raoúhlou soustau souřadnic. Nechť a, a, a jsou růmět ektoru a do os souřadnic. Tto ektor se naýají složk ektoru a a latí a = a + a + a (.4.3)

23 . Úod Je-li i jednotkoý ektor os, je a = i a, kde a je číslo, jadřující elikost ektoru a a naýá se -oá souřadnice ektoru, i obr..9. Podobně latí a = i a a = i a a. Dále je možno sát a = i a + j a + k a (.4.4) a a a a j a a a k i a obr..9 Složk ektoru, souřadnice ektoru, jednotkoé ektor Vektor je daném souřadném sstému definoán jako usořádaná trojice čísel a aíše se ( a, a a ) res. a ( a, a, a ) a =, (.4.5) Skalární součin ektorů a a b o souřadnicích a = ( a, a, a ) a b = ( b, b, b ) skalár a b = ab + ab + ab = a bcosα (.4.6) Je-li dána skalární funkce f (,, ), ak gradient této skalární funkce f f f f f f gradf = i + j + k je ektor o souřadnicích, a, ted f f f grad f =,,, je možno sát (.4.7) Nechť a je ektor o souřadnicích a, a, a. Pak diergence ektoru a je skalár a a a di a = + + (.4.8) a rotace ektoru a je ektor o souřadnicích je

24 . Úod = a a a a a a a,, rot (.4.9) Každý ektor a, který je funkcí oloh, a jehož rotace je identick rona nule, le oažoat a gradient skalární funkce bodu ( ) U U,, = (nař. skalární otenciál siloého ole), tj. ( ) U U U U a a a a grad,,,, = = = (.4.) Deriace ektoru a odle ektoru b se onačuje a b grad. a je ýra definoaný následoně = + + = a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a grad b. (.4.) Pro lošný integrál ektoru a o orientoané o částech hladké loše s jednotkoou nější normálou n o elikosti (i obr..) latí = S S n ds a d S a.. (.4.) obr.. Vnější normála k loše Objemoý integrál diergence ektoru le jádřit lošným integrálem skalárního součinu ektoru a nější normál ds S n a

25 V. Úod di a dv = a. n ds (.4.3) S kde a je ektor a n je ektor nější normál k loše ds. Objemoý integrál gradientu skaláru le jádřit lošným integrálem součinu skaláru a nější normál V grad f dv = n f ds (.4.4) S kde f je skalární eličina a n je ektor nější normál k loše ds Gaussoa Ostrogradského ěta Nechť je dán kartéský souřadný sstém a uařené těleso o objemu V. Nechť souřadnice ektoru a, tj. a, a, a a jejich deriace jsou funkce sojité uařeném tělese. S V a a a a ds n obr.. Souřadný sstém a souřadnice ektoru Nechť nější normála říslušná nější straně hranice S má obklý směr ně tělesa, ak latí ro elementární objem dv = ddd a růmět elementární loch ds do souřadnicoých roin,,, a, a a = ( + + ) + + ddd add add add V a S (.4.5) 3

26 . Úod Je ted možné řeést objemoý integrál na lošný omocí Gauss-Ostrogradského ět, čehož užijeme dalších kaitolách ři odoení ákladních bilančních ronic mechanice tekutin. Pokud má ektor a směr shodný s některou e souřadných os, nař. s osou, tj. a = a a =, ak se ředchoí tah jednoduší takto: a ddd add = as as V S což le oužít u jednoroměrných říadů roudění. = (.4.6) Shrnutí kaitol Fikální lastnosti tekutin, souřadné sstém, substanciální deriace, skalární součin, gradient skaláru, diergence ektoru, Gaussoa Ostrogradského ěta Kontrolní otáka Kdo nalel barometr? Jak je definoáno smkoé naětí ři laminárním roudění? Na čem áisí iskoita tekutin? Jaká je rchlost šíření uku e odě? Co je to absolutní a relatiní rostor? Co namená substanciální deriace? Jak je definoán ektor? Jak je definoána diergence ektoru a gradient skaláru? Vsětli ýnam Gausso Ostrogradského ět. Úkol k řešení Příklad. Stanote osunutí ístu Δ l hdraulického álce liem stlačitelnosti kaalin ři atížení ístnice silou F. Určete teoretickou rchlost uku oleji stlačitelnosti kaalin δ. a t, očtěte součinitel objemoé 4

27 . Úod Zadáno: l = mm d = 8 mm F = 8 N ρ = 9 kg.m -3 K = 3 MPa Vočtěte: Výsledk: Δ =? MPa Δ l =? m.48 a t =? ms -.85 δ =? MPa -.77 Příklad. Stanote orchoé naětí σ od, jestliže e skleněné kailáře o růměru d bla naměřena kailární eleace h. Zadáno: h = 5 mm d = mm ρ = kg.m -3 Vočtěte: Výsledk: σ =? N.m

28 . Tlakoé omr kaalin a klidu. Tlakoé omr kaalin a klidu Po úsšném a aktiním absoloání této KAPITOLY Budete umt: definoat tlak, tlakoou sílu. oužíat hdrostatický tlak a tlakoé hladin jednodušších úlohách hdrostatik Budete umt ešit tlakoé omr hdraulickém lisu Hdrostatika se abýá ronoáhou sil sobících na kaalinu a klidu. Ronoáha sil a klidu nastane tehd, kdž její ástice se i sob neohbují, to namená, že tar objemu kaalin se nemní. V tom íad je u skutené kaalin smkoé natí od akosti nuloé a šechn ronice latí i ro skutenou kaalinu. Do hdrostatik atí i íad relatiního klidu, kd kaalina i stnám je klidu, ale celá soustaa (nádrž + kaalina) konají ohb. hmotnostní síl lošné síl obr.. Psobení sil tekutin 6

29 . Tlakoé omr kaalin a klidu Plošné síl (též orchoé) sobí na orch uažoaného objemu kaalin, roto jejich elikost áisí na elikosti loch a jsou dán tlakem kaalin na danou lochu. Hmotnostní síl jsou úmrné hmotnosti (objemu kaalin ro kaalinu s konstantní hustotou) a jsou dán rchlením daného objemu (na. tíha kaalin, odstediá síla aod.)... Tlak a jeho sobení as ke studiu: / hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umt definoat tlak, tlakoé síl, osat šíení tlaku kaalinách Výklad Tlak kaalin je dán elikostí tlakoé síl, sobící kolmo na jednotku loch. Je-li tlakoá síla ronomrn roložena, je tlak dán omrem elikosti síl a loch F (..) S Pi neronomrném roložení síl je dán obecn d F (..) ds a onauje se jako místní tlak. Tlakoá síla hdrostatice sobí žd kolmo na lochu. Toto trení si nní dokážeme negací, i obr... Kdb sobila na lošku ds síla df nikoli e smru normál, dala b se roložit na složku normáloou a tenou. Tená složka síl b si nutila ohb ásteek kaalin, které nekladou ájemnému osunutí odor. Protože tekutina je klidu, je tená složka rona nule a tlakoá síla musí sobit e smru normál k loše. obr.. Psobení tlakoých sil na stnu nádob 7

30 . Tlakoé omr kaalin a klidu V uritém míst je tlak e šech smrech stejný, neáisí ted na sklonu lošk, na kterou sobí, tn. že tlak je skalární eliina, což le jednoduchým sobem dokáat odmínek statické ronoáh sil na lochách tstnu. Pedokládejme, že tlak sobí na tstn ABCO o trojúhelníkoých stranách, i obr..3 a je rný e smru, a, to namená, že, a jsou odlišné. tstn: ABCO loch ds : ABC ds : BCO ds : CAO ds : ABO obr..3 Odoení ákona o šíení tlaku Na šikmou stnu ds sobí tlakoá síla d F e smru normál k loše, ted F n ds, a sírá s osami,, úhl,,. Její složk e smru os,, jsou d df.cos, df.cos a df.cos. Boní stn tstnu jsou rmtem loch ds do roin, a. Onaíme je jako ds, ds a ds, itom latí ds cos. ds, ds cos. ds, ds cos. ds. Na tto lošk sobí tlakoé síl d F, d F, d F. Ponadž je tekutina klidu, musí být slnn statické odmínk ronoáh sil a moment F ; F ; F ; ; M ; M M. Tíhoou sílu mžeme anedbat, rotože je o ád menší než tlakoá. Tžišt loch ds a ds, ds jsou rmtem tžišt T loch ds e smru os,,. Tlakoé síl sobí 8

31 . Tlakoé omr kaalin a klidu tchto tžištích a ted jejich moment jsou nuloé. Dále se ted budeme abýat oue odmínkou ronoáh sil. Z odmínk ronoáh sil e smru,, o dosaení a jednotlié síl latí: df df df df. cos ds. ds.cos ds.cos. ds.cos df. cos ds. ds.cos ds.cos. ds.cos df. cos ds. ds.cos ds.cos. ds.cos Obecn ted lýá odmínek statické ronoáh sil ronost tlak na lochách tstnu (..3) Šikmá locha ds bla olena libooln. Výsledek le ešeobecnit: Tlak sobí daném míst kaalin šemi smr stejn a neáisí na sklonu loch, tn., že tlak je skalární eliina. Tento ákon latí obecn. Je teba onamenat, že jiném míst kaalin bude hodnota tlaku obecn jiná, matematick jádeno = (,, )... Euleroa ronice hdrostatik as ke studiu: 3/4 hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umt definoat rinci Eulero ronice hdrostatik osat odoení této ronice a ronice ro tlakoou funkci ešit úloh o roložení tlaku tekutin a klidu... Euleroa ronice hdrostatik trojromrném rostoru Ronoáha hmotnostních a objemoých sil Obecným úkolem hdrostatik je urení tlaku liboolném míst tekutin, která je ronoáe, tj. stanoení skalárního ole,, kartéském souadném sstému. Euleroa ronice hdrostatik je obecná odmínka ronoáh sil sobících na tekutinu klidu, a to sil hmotnostních a tlakoých. V liboolném objemu tekutin se olí kontrolní objem njší objemoé síl dv d. d. d. Na tento objem tekutin sobí ektor hmotnostní res. F o o souadnicích F F, F Eulera je ektoroý souet hmotnostní a tlakoé síl roen nule i obr..4., tj. 9 o,, ted le asat F o F, F, F (na. graitaní nebo odstediá síla) a ektor tlakoé síl F F, F, F o o o o o. Podle

32 . Tlakoé omr kaalin a klidu F o F (..) Protože hmotnostní síla není celém objemu tekutin konstantní, je nutné definoat diferenciál této síl ro elementární objem dv jako ektor d F o a dm a dv (..) a a, a, a. Celkoá síla je ak dána trojným kde rchlení hmotnostní síl je ektor o integrálem F a dv. V Diferenciál tlakoé síl e smru njší normál na lochu elementárního objemu je dán obecn e taru (..3) d F n ds, obr..4 Psobení njších objemoých sil F o a tlakoých (lošných) sil objemu dv F na element Pitom skalární eliina je tlak, n je njší normála k elementu ds uaené loch. Protože tlakoá síla hdromechanice je definoána e smru nitní normál, je nutno tuto tlakoou sílu definoat se naménkem mínus, ted 3

33 . Tlakoé omr kaalin a klidu d F n ds (..4) a celkoá tlakoá síla je ot dána integrálem, ale lošným F n ds. Euleroa ronice hdrostatik integrálním taru je definoána soutem hmotnostních a objemoých sil: V a dv n ds (..5) S Plošný integrál je možno dle Gausso Ostrogradského t nahradit objemoým integrálem: V a dv grad dv, (..6) V S kde gradient je ektor deriací tlaku odle,, grad,,. Odoení Eulero ronice diferenciálním taru Ronice (..6) latí ro liboolný objem V, bude ted latit i ro ýra od integrálem : a grad a o dlení hustotou a grad (..7) Ronici (odmínku ronoáh sil) le roesat do smru os,,: a a a (..8) Tto odmínk ronoáh sil a klidu kaalin ododil oré Leonard Euler r Euleroa ronice hdrostatik jaduje ronoáhu hmotnostních a tlakoých sil ro jednotku hmotnosti kg.... Diferenciální ronice ro tlakoou funkci a hladinoá locha Euleroa ronice hdrostatik je ákladní ronicí k urení tlak oli tlakoých sil. Z Eulero ronice lýá, že tlak kaalin áisí na hmotnostních silách. Obecn le sát mnu tlaku omocí totálního diferenciálu d d d d (..9) 3

34 nebo tlak je funkcí souadnic, tj.,, se dají jádit hmotnostními silami Euleroých ronic. Tlakoé omr kaalin a klidu. Ponadž deriace tlaku e šech smrech a a je hledaná obecná diferenciální ronice ro tlakoou funkci daná tahem a,, d a da da d (..) Integrací se urí tlakoá funkce, a da da d, (..) Její integrací mžeme urit tlak uritém míst, ted áislosti na souadnicích. Hladinoé loch jsou místa s konstantní hodnotou skalární eliin tlaku, tj. konst. Pírstek tlaku mei dma bod ležícími na stejné hladin musí být roen nule, tj. d, což latí i ro soumené bod. Dle ronice (..) se dostane obecná ronice hladinoých loch diferenciálním taru a d ad ad (..) Hladinoé loch jsou žd kolmé na ýslednou hmotnostní sílu. Hladinoé loch mají úlohách hdrostatik elký ýnam, edeším šak hladinoá locha rohraní mei okolním oduším a kaalinou. Jsou to loch konstantního otenciálu, telot, hustot., ešený íklad Jaký je rodíl tlak e odoroném otrubí (e kterém roudí oda), který je men U - trubicí nalnnou rtutí. Rodíl ýšek hladin je h. Zadáno: h =.35 m = kg.m -3 Hg = 36 kg.m -3 Votte: Výsledk: =? Pa 436. ešení: Podmínka ronoáh leém a raém rameni diferenciálního U-manometru: g. h. gh h. g. h L.. g. h Hg Hg 3

35 .3. Kaalina a sobení emské tíže as ke studiu: /4 hodin. Tlakoé omr kaalin a klidu Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umt definoat hladinoé loch, konkrétn hladinoou lochu a sobení emské tíže osat odoení a definoat hdrostatický tlak rolišit ojm absolutní tlak, relatiní tlak, etlak a odtlak, atmosférický tlak Výklad.3.. Hladinoá locha i sobení emské tíže Na kaalinu nádob a klidu sobí hmotnostních sil jen tíže emská. V liboolném míst kaalin bude tlak (,,) uren diferenciální ronicí (..) odoenou edchoích odstacích. d a d a d a d Za sobení jen tíže emské jsou souadnice rchlení definoán následon a a a g (.3.) Zrchlení tíže emské je nutno dosadit se áorným naménkem, onadž tíže sobí oaném smslu, než je olená orientace os. Diferenciální ronice se ted jednoduší d gd a integrál je g konst. (.3.) Integraní konstanta se urí okrajoé odmínk. Na rohraní kaalin a duchu je tlak oduší, tj. ro = h je =. Dosaením do oslední ronice se ote integraní konstanta: gh konst konst gh a hledaná áislost tlaku je g gh g h Nech je h h sislá dálenost uažoaného místa kaalin od hladin tlaku oduší (obr..5), ak gh (.3.3) 33

36 . Tlakoé omr kaalin a klidu Jestliže uažoaný bod leží od hladinou, je h > (kladné); kdž je bod ýše než hladina tlaku oduší je h < (áorné). Uedený tah latí ro nestlaitelné kaalin, na nž sobí tíže emská, nebo i integraci bla mrná hmotnost oažoána a konstantní. obr..5 Kaalina i sobení síl tíže emské. Tlakoé hladin kaalin a sobení tíže emské jsou odoroné roin, nebo se edokládá, že nádoba s tekutinou není rolehlá tak, ab blo nutné ihlížet k akiení orchu emského. Za tohoto edokladu je ronice tlakoých hladin d g d, (.3.4) což lýá obecné diferenciální ronice ro tlakoé hladin o dosaení hmotnostních sil uažoaného íadu a g, a a. Integrací se dostane ronice tlakoých hladin g konst konst, což jsou ronice odoroných loch..3.. Petlak, odtlak, hdrostatický tlak Tlak se dá jádit absolutní nebo relatiní hodnotou. Absolutní tlak je tažen k absolutní nule, tj. k akuu, atímco relatiní tlak je tažen od smluené hodnot tlaku, kterým je tlak oduší. Platí ted kde (.3.5) abs rel abs je absolutní tlak, rel je relatiní tlak a je atmosférický tlak. Poronáním s ýraem tlak je dán tahem gh lýá, že tlak takto definoaný je absolutní tlak a relatiní gh. Kladná hodnota relatiního tlaku se naýá etlak a áorná hodnota relatiního tlaku se naýá odtlak (obr..6). K onaení absolutní a relatiní hodnot tlaku se neoužíá inde, ašak je teba údaj dolnit, o který tlak jde, na. = 8. 5 Pa abs.; = 7,. 4 Pa rel. Relatiní tlak je daný tahem 34 gh kaalin je naýán hdrostatický tlak, jadující tlak slouce kaalin hloubce h od hladinou.

37 . Tlakoé omr kaalin a klidu obr..6 Absolutní tlak, atmosférický tlak, relatiní tlak Dle obr..6 je ( absolutní relatiní a ( absolutní relatiní ) ). Ponadž tlak kaalin áisí na ýšce slouce kaalin a její mrné hmotnosti gh, le tlak jádit ýškou kaalinoého slouce, tj. stanoit tlakoou ýšku metrech. h g.4. Pascal ákon as ke studiu: /4 hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umt definoat Pascal ákon a jeho alikace ochoit rinci hdraulického lisu urit sílu, kterou je nutné inout ke ednutí edmt i oužití hdraulického edáku Výklad Jak již blo eeno kaitole., sobí na kaalinu nádob hmotnostní a tlakoé síl. Ted ronoáhu sil le jádit Euleroou ronicí statik e taru a grad V hdraulických sstémech (lis, akumulátor, seromotor, multilikátor) jsou hmotnostní síl jádené rchlením a anedbatelné i silám tlakoým a ted a. Z Eulero ronice hdrostatik (.4.) ak lne 35 (.4.)

38 grad konst. Tlakoé omr kaalin a klidu (.4.) Již díe jsme ododili, že tlak uritém míst kaalin sobí e šech smrech stejn, nní, kdž anedbáme hmotnostní síl, mžeme také konstatoat, že tlak uaeném objemu kaalin je šude stejný (obecn šak, okud jsou objemoé síl ýnamné, je tlak funkcí oloh). Pascal ákon se užíá u hdraulických edák a lis, jejichž rinci je dále stlen. Princi hdraulických lis a edák V aíení je uaena kaalina obr..7. Píst P má lochu S, íst P má lochu S, oba íst jsou ohblié a latí S S. Na íst P sobí kolmo síla F, která olá kaalin tlak F S. Tento tlak se šíí ronomrn šemi smr. Psobí i na íst F P, který se ane ohboat a olá sílu F S S. Ted S F S a omr sil F S F S (.4.3) Dráh L a L jsou eráceném omru než íslušné loch F S S L (.4.4) S L Práce W ístu P je stejná jako ráce W ístu P W F L F L W (.4.5) obr..7 Princi enosu tlaku 36

39 . Tlakoé omr kaalin a klidu ešený íklad Do nádrže nalnné kaalinou jsou estan da íst o reech S a S. Na rní nich sobí síla F. Urete tlak kaalin a sílu F udržující íst ronoáe. Zadáno: d =.9 m d =.55 m F = 47 kn Votte: Výsledk: =? MPa.335 F =? kn ešení: F S 4 F d F F S S F d 4 d 4 F d d Shrnutí kaitol Vnjší objemoá síla, tlak, tlakoá síla, šíení tlaku, rinci Eulero ronice hdrostatik, gradient tlaku, tlakoá funkce, hladinoá locha, etlak, odtlak, hdrostatický tlak, tlakoá ýška, absolutní, relatiní tlak, Pascal ákon a jeho užití. Kontrolní otáka Z jaké odmínk cháí odoení Eulero ronice hdrostatik? Jaké je nní Eulero ronice hdrostatik e složkoém a ektoroém taru? Jak je definoán tlak, jakou má jednotku, co ro nj latí? Co je tlakoá funkce a hladinoá locha? Jaký je rodíl mei absolutním a relatiním tlakem? Jak je definoán hdrostatický tlak a tlakoá ýška, jaký má romr? Vstlete rinci hdraulického lisu. 37

40 . Tlakoé omr kaalin a klidu Píklad. Úkol k ešení Tlak od otrubí se mí U-trubicí s oteeným koncem. Rodíl hladin rtuti U-trubici je h. Poloha sodní hladin rtuti e tahu k ose otrubí je dána ýškou h. Jak eliký je mený tlak? Jak se i stejném tlaku nádob mní údaj U-trubici, mní-li se h na h. Tlak oduší je. Zadáno: h =.3 m h = m h =.5 m =. MPa = kg.m -3 = 36 kg.m -3 Hg Votte: Výsledk: =? Pa.3 h =? m Píklad. Urete absolutní tlak duchu nádob, jsou-li údaje na doukaalinoém manometru následující : h, h, h 3 a tlak oduší je. Zadáno: h = 7 mm h = 6 mm h 3 = 3 mm = 36 kg.m -3 Hg = kg.m -3 Votte: Výsledk: =? Pa Píklad.3 Da álce o rných elikostech jsou en sojen tí. Jestliže na lochu S sobí tlak daný, ak na tuto lochu sobí síla F, která je enášena na lochu S a na ýstuu se íská tlak. Urete hodnotu tohoto tlaku. 38

41 . Tlakoé omr kaalin a klidu Zadáno: S = cm S = 6 cm = Votte: MPa Výsledk: =? Pa 5. 39

42 3. Tlakoé síl 3. Tlakoé síl Po úsšném a aktiním absoloání této KAPITOLY Budete umt: definoat rodíl mei ojmem tlak a tlakoá síla dodnit si nkteré je bžné žiot oítat tlakoé síl na roinné a kié loch Budete umt 3.. Tlakoé síl na odoroné roinné loch as ke studiu: /4 hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umt definoat ojem tlak, tlakoá síla ešit jednoduchou úlohu ýotu tlakoé síl na roinnou lochu stlit hdrostatický aradoon Výklad Pi ýotu tlakoé síl na odoroné dno nádob cháíme e skutenosti, že tlak každém bod odoroného dna nádob je stejný h konst gh konst (3..) Je ted ronomrn roložen o celé loše a ýsledná tlakoá síla je rona F SghSgV (3..) obr. 3. Síla na odoroné dno nádob Tlakoá síla sobí kolmo na lochu. Souin hs oslední ronici edstauje objem kaalin naený obráku obr. 3. mode, rotože F g h S. Le ted sát též ronici F gv (3..3) 4

43 3. Tlakoé síl Tlakoá síla na odoroné dno nádob edstauje tíhu objemu V nalnného kaalinou o mrné hmotnosti. Tento t. atžoací objem je omeen následujícími lochami: ) lochou S, na níž oítáme tlakoou sílu F ) tlakoou hladinou tlaku oduší konst. 3) láštm (álce nebo hranolu), který toí ímk ronobžné s ektorem síl F o obodu loch S. Zatžoací objem náorníme omocí atžoacího obrace, i obr. 3.. obr. 3. Zatžoací obraec Jestliže nádoba má boní stn jiné než sislé (i obr. 3.3), je ýsledná tlakoá síla F na dno dána stejným ýraem, nebo sislá dálenost h loch od hladin je konstantní, a tudíž tlak na dn je gh konst. Objem kaalin nádob mže být rodílný, ašak atžoací objem dle ýše uedené definice bude e šech íadech stejný. To namená, že ýsledná tlakoá síla je ronž stejná a neáisí na taru boních stn nádob, což je hdrostatické aradoon (Simon Stein). ešený íklad obr. 3.3 Hdrostatický aradoon atžoací obrace V jaké hloubce h od hladinou bude tlak, má-li olej hustotu? Zadání: =. MPa = 6 kg.m -3 Voítejte: Výsledek: h = m ešení: gh h g 4

44 3. Tlakoé síl 3.. Tlakoé síl na šikmé roinné loch as ke studiu: / hodin Cíl Po rostudoání tohoto odstace budete umt definoat tlakoou sílu na šikmou roinnou lochu urit statický moment loch nakreslit atžoací obraec ro tlakoou sílu na roinnou lochu Výklad Na rodíl od odoroných loch je na šikmé roinné stn nádob tlak romnný. Výslednice tlakoých sil se urí integrací elementární tlakoé síl df na lošce ds (i obr. 3.4). Na olenou lošku ds sobí tlakoá síla df gh ds (3..) Výslednice je ak dána integrálem: F g S h ds (3..) obr. 3.5 Urení úhlu obr. 3.4 Síla na šikmou roinnou lochu 4

45 3. Tlakoé síl Z obr. 3.5 latí na celé loše S tah sílu je kde F g sin ds g sinm S h h sin t a o dosaení do ronice ro tlakoou t (3..3) M ds je statický moment loch S k ose, která je urena rsenicí S hladin konst. a boní stn nádob. Známe-li elikost loch S a -oou souadnici tžišt t, je statický moment loch S k ose dán tahem tlakoou sílu se uraí M S a ýra ro F g sinm g sints, kde sin t ht (3..4) Výsledná tlakoá síla na šikmou roinnou lochu dána tahem t F gh S S (3..5) t t ; odobn V oslední ronici je h t sislá dálenost tžišt loch S od hladin tlaku oduší t je tlak tžišti loch. Tlak t edstauje stední hodnotu tlaku na loše S. Smr ýslednice tlakoé síl F je kolmý na lochu S, to namená, že je totožný se smrem normál k loše S. Psobišt P tlakoé síl na šikmou lochu je šetoáno odji. Díe se ododí ýra ro tlakoou sílu na roinnou šikmou lochu omocí objemu atžoacího obrace. Tlakoá síla na element šikmé roin je df ghds, jak blo uedeno díe. Ab souin h ds edstaoal elementární objem dv, musí být h kolmé na ds. Skloením ýšk h do smru normál loch S se dostane hranolek o ákladn ds a ýšce h, jehož objem je dv. Souet šech objemoých element nad celou lochou S uruje objem V, nebo F g h ds g dv gv (3..6) Skloené ýšk h urují skloenou hladinu ( ), která je roinná. K jejímu urení staí skloit ýšku h liboolném bod od hladinou do smru normál k loše. Sojnice tohoto bodu s rseíkem hladin a šikmé roin uruje skloenou hladinu. Pláš atžoacího objemu tlesa V je toen ímkami ronobžnými s normálou k loše S. Pro tlakoou sílu na šikmou roinnou lochu je ted možno sát F gv. Objem atžoacího obrace V se ote jako objem koseného álce nebo hranolu a je uren tmito lochami (i. obr. 3.6): 43