Poznámky k přednášce o grupách
|
|
- Štefan Horák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Poznámky k přednášce o grupách Defnce a příklady grup Příklad : Cyklcká grupa o čtyřech prvcích Příklad : Grupy matc Příklad : Grupa O(n) 4 Příklad 4: Grupa U(n) 4 5 Příklad 5: Cyklcká grupa C n 4 6 Příklad 6: Grupa permutací S n a grupa symetre pravdelného n-úhelníku D n 5 Působení grupy 6 Působení grupy na množně 6 Působení grupy na sebe 7 Generátory SU() 7 4 Fundamentální reprezentace 9 5 Dmenze reprezentace SU(N) 6 Přdružená reprezentace SU() 7 Součnové reprezentace SU() 8 Mesonový oktet 9 Baryonový oktet 4 Baryonový dekaplet 4 Skládání spnů grupa SU() 6 Objemový element na grupě 7 Charakter reprezentace 8 4 Lorentzova grupa a Dracova rovnce 9 4 Lorentzova grupa 9 4 Grupa SL(C) 4 Vlastnost spnorů 44 Lorentzova transformace spnorů 45 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce 4 46 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol 5 47 Hesenbergův obraz 6 48 Rovnce kontnuty 6
2 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Defnce a příklady grup Podle knhy S Sternberga Defnce grupy: Grupa G je množna na které je zadána bnární operace násobení G G p q p q G () která je asocatvní a zaručuje exstenc jednotkového a nversního prvku tj platí p q r = p q r p q r G e G e p = p e = p p G () = = p G p p p p e p G Příklad : Cyklcká grupa o čtyřech prvcích (a) dtvní grupa celých čísel modulo 4 ( Z 4 ) Prvky grupy jsou { } a { } { } c { } e = = b = 6 6 = 7 5 (b) Reálné matce s obvyklou operací násobení matc () e = a = b = c = (c) Grupa rotační symetre čtverce C 4 kde rotace (kladné hodnoty odpovídají otáčení prot směru hodnových ručček) (4) e a π b π c π π (5) Grupovou operací je prosté složení transformací Tabulka násobení je Tabulka Všechny tř příklady odpovídají jedné abstraktní grupě cyklcké grupě se čtyřm prvky e a b c e e a b c a a b c e b b c e a
3 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 c c e a b Příklad : Grupy matc S několka příklady jsme se jž setkal Grupovou operací je vždy obyčejné násobení matc Takže máme například (a) Obecná reálná lneární grupa n proměnných GL( n R ) tvořená matcem Q dmenze n n s reálným prvky splňujícím podmínku detq (b) Specální reálná lneární grupa n proměnných SL ( n R ) tvořená matcem Q dmenze n n s reálným prvky splňujícím podmínku detq = (c) Obecná komplexní lneární grupa n proměnných GL( n C ) tvořená matcem Q dmenze n n s komplexním prvky splňujícím podmínku detq (d) Specální komplexní lneární grupa n proměnných SL ( n C ) tvořená matcem Q dmenze n n s komplexním prvky splňujícím podmínku detq = Příklad : Grupa O(n) Grupa všech lneárních transformací Q n-rozměrného prostoru které zachvávají eukledovskou vzdálenost n Q v = v v R (6) Zapsáno v ortonormální báz = j = k = j = k = = j = k = j = k = n n n n n n j j k k j k T j k Q v Q v = v v Q Q = n n j k n n j k T j k j k T v v Q Q = v v δ Q = Q (7) Matce Q musí tedy být ortogonální Tvoří množna takových matc grupu? socatvta je zaručena vlastnostm násobení matc Dále pro Q = Q Q platí T T T ( Q Q ) Q Q Q Q ( Q Q ) = = = (8) tedy součn ortogonálních matc je opět ortogonální matce Jednotková matce je denttou nversní matce nversním prvkem grupy Determnant matc z grupy je je roven ± Ortogonální matce s determnantem rovným jedné tvoří podgrupu SO(n)
4 Mchal Lenc Poznámky ke grupám Příklad 4: Grupa U(n) Ve vektorovém prostoru nad polem C komplexních čísel máme standardní hermteovský skalární součn Platí u w n T u = w = ( u w) = u w = un wn (9) = u n w n T T T T + + ( u w) ( u) w u w u w ( u w) = = = = () Matce zachovávající skalární součn musí být untární + + ( Qu Q w) ( u Q Q w) ( u w) Q Q = = = () Zcela stejně jako pro ortogonální matce ukazujeme že untární matce tvoří grupu U(n) Pro determnant máme ( Q + Q) ( Q + ) ( Q) ( Q) det = det det = det = () Matce s determnantem rovným jedné tvoří podgrupu SU(n) Například matce grupy SU() mají tvar { } { } { } { } ρ exp ϕ ρ exp χ ρ χ ρ ϕ exp exp () 5 Příklad 5: Cyklcká grupa C n Označme ω π exp n = Potom tabulka násobení (4) Tabulka ω ω ω ω n ω ω n n ω ω ω ω ω ω n ω ω ω n ω ω n n ω ω ω
5 Mchal Lenc Poznámky ke grupám n ω n ω n ω ω ω n Příklad pro n = 4 jsme už uvedl Tabulky násobení pro n= a n = jsou Tabulka Tabulka Příklad 6: Grupa permutací S n a grupa symetre pravdelného n-úhelníku D n Nejprve zjstěme počet prvků v dané grupě Označme s permutac množny n prvků Počítejme možnost s s() s() (5) s n s n s n n s n s n s n n s n n Zjevně obsahuje S n n! prvků Grupa symetre pravdelného n-úhelníku D n obsahuje n rotací (mez nm rotac o nulový úhel tedy jednotku grupy) a n překlopení podél os symetre Má tedy n prvků Věnujme se trojúhelníku Tady zahrnuje podgrupa D celou grupu S Na obrázku je znázorněno působení D Jak to odpovídá permutacím? Otočení o je otočení o π je a konečně otočení o 4π je Překlopení kolem osy procházející je překlopení kolem osy procházející je a překlopení kolem osy procházející je
6 Mchal Lenc Poznámky ke grupám Obrázek Působení grupy Působení grupy na množně ť G je grupa a M množna Působení grupy na množně je zobrazení G M a m a m M a b m = ab m e m = m m M Příklady: působení grupy rotací SO() v trojrozměrném eukledovském prostoru grupy SL ( C ) v Mnkovskho prostoročase nebo působení S na množně vrcholů rovnostranného trojúhelníku body a m tj Orbta bodu m M () př působení grupy G (orbtu značíme G m ) je podmnožna M tvořená M G m = { a m a G} () Podmnožna grupy G pozůstávající z prvků pro které platí a m bodu m a značí se G m Grupové vlastnost jsou splněny neboť a m m e m m a m m = = = a m = m b m = m ab m = m ť orbta obsahuje ( G m) = m se nazývá sotropní grupou () N prvků Je-l n prvkem orbty bodu m potom exstuje prvek grupy a G takový že a m = n Pokud exstuje ještě jný prvek pro který n = b m je a b G m znamená že pro každý prvek n exstuje právě N ( G m ) prvků zobrazujících m do n Máme tak To
7 Mchal Lenc Poznámky ke grupám N = N ( ) N (4) G G m G m Pro případ rovnostranného trojúhelníka je pro obecný bod sotropní grupou pouze dentta tedy N( G ) = N ( G n) = 6 pro vrcholy a středy stran tvoří sotropní grupu dentta a překlopení kolem m osy procházející daným bodem tedy N( G ) = N ( G n) = a nakonec pro střed trojúhelníka je sotropní grupou celá grupa m S tedy N( G ) = 6 N ( G n) = m Je-l celá množna M vyčerpána jednou orbtou mluvíme o transtvním působení grupy Působení grupy na sebe V případě že množnou M je sama grupa G je její působení dané levým násobením (tj b ab ) transtvní To vdíme z toho že pro lbovolné dva prvky b a c grupy exstuje prvek a = cb takový že ab cb b c = = Dále je zřejmé že sotropní grupa lbovolného prvku pozůstává pouze z dentty neboť ab = b a = e Bohatší strukturu dostaneme působí-l grupa podobnostní transformací tj b ab a Je to grupová operace neboť = = a ( ab a ) a = a a b a a = b a c b a c a cb c a a cbc a Můžeme vytvářet třídy podobných prvků b a c jsou podobné exstuje-l a takové že ab a (5) = c (6) Identta je třída s jedným prvkem neboť a ea = e pro lbovolný prvek Isotropní grupa prvku b obsahuje všechny prvky a pro které ab a = b Je to dentta a pokud je b od ní různý pak také b a pokud je b b pak také b Opět platí N = N ( ) N (7) G G b G b Jsou-l prvky grupy matce je třída podobných matc tvořena matcem B a C exstuje-l matce taková že B = C (8) Matce mají stejné vlastní hodnoty a tedy stejnou stopu Generátory SU() K popsu generátorů transformace X z SU() potřebujeme hermteovské matce T a a = 8:
8 Mchal Lenc Poznámky ke grupám a ( θ ) X = exp T a () Tyto matce jsou zobecněním matcτ z SU() jejchž vložení dot a zvýrazníme tím že místo některých nul budeme psát tečky: T = T = T = T4 = T5 T6 = = T7 = T8 = Matce T a jsou normovány tak že platí () Tr ( T T ) = δ () a b ab a splňují komutační relace [ ] T T = f T (4) a b ab c c Soups strukturních konstant je = f47 = f46 = f57 = f45 = f56 = f67 = f f = f = další spočteme záměnou vzhledem k úplné antsymetr ndexů tj (5) f abc = f bc a = f cab = fbac = f acb = f cba (6) Defnujeme skalární součn a působení operátorů jako + [ ] T T Tr T T T T T T (7) a b a b a b a b Než se budeme zabývat SU() vraťme se k SU() Obecně hodnost (počet komutujících generátorů) grupy SU(N) je N řád (počet generátorů) je N Pro SU() máme T = T T = = Vlastní vektory operátoru T jsou (značeny vlastním hodnotam) (8)
9 Mchal Lenc Poznámky ke grupám Hledejme teď další stav pro který bude [ ] (9) T T = α T T T = α T () Všmněme s že T není hermteovský neboť ([ ]) = = α T T T T T T T () Exstuje obecný postup pro výpočet α ale tady zvolíme přímý výpočet Potom je [ ] [ ] [ ] T = a T + a T T T = a T T + a T T = a T a T a a α a a = a a a + a α α = a = a = T = + T T T = = = Pro SU() to ovšem bude zajímavější Máme teď dva komutující operátory [ ] vlastní stavy jsou 8 e = = e e = = = = () () T T = a příslušné (4) Rozdíly ve vahách jsou ( ) ( ) ( ) a také totéž s opačným znaménky Příslušné operátory jsou T ( ± ) = T ± T T ± ± = T4 ± T5 T ± = T6 ± T7 (5) Na ose x je spn na ose y hypernáboj To hodně přpomíná kvarky up down a strange 4 Fundamentální reprezentace V dalším vezměme tabulku této fundamentální reprezentace I Y Q = I + Y kvark
10 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 e ( ) e ( ) e ( ) u d s α β γ a budeme konstruovat komplkovanější Důležté je že s pomocí tensorů ε a ε α β γ můžeme uvažovat pouze tensory s jen horním nebo jen dolním ndexy Tak tensor β µν β α µν β Y Y = ε Y (4) α α Jž jsme vděl že stopa je nvarant musíme tedy jako reducblní reprezentac brát pouze tensory s Y α = Jak se to projeví u ekvvalentního tensoru? Počítejme α α α λ α β γ λ β γ λ Yα = δλ Yα = ελ β γ ε Yα = ελ β γ Y = (4) 5 Dmenze reprezentace SU(N) Teď chvíl obecně o SU(N) Některé skupny ndexů jsou symetrzovány jné antsymetrzovány Tensor řádu n rozdělíme jako N n n n n = n n n + (5) N = Pro dmenz reprezentace platí vztah! N ( ) D n n n N = ( n n ) ( n n ) ( n n N ) ( n n + ) ( n nn + N )! N ( n ) N nn + N! (5) Platí zřejmě ( ) = ( ) (5) D n n n D n n n n n n N N N N N N N
11 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Několk příkladů Pro SU() je D ( n n ) = n n + Celkový spn je S ( n n ) takové reprezentace je D = S + což souhlasí Pro fundamentální reprezentac D N N = = N!!! ( N ) = Dmenze ( N ) (54) Stejnou dmenz má sdružená reprezentace D N ( N ) (55) N = = N!!! ( N ) Povšmněme s jž zmňované zvláštnost u SU() kdy původní a sdružená reprezentace jsou ekvvalentní Dmenze adjungované reprezentace je D N symetrcké reprezentace je D N ( n ) N = dmenze úplně N + n = n (56) 6 Přdružená reprezentace SU() Zpět k SU() Sdružená reprezentace k fundamentální má tabulku I Y Q = I + Y antkvark e e ( ) s e e ( ) d e e ( ) u 7 Součnové reprezentace SU() Přrozeně př vkládání jednotlvých fundamentálních representací musí ndexy v řádku neklesat ve směru zleva doprava ve sloupc růst ve směru shora dolů Uvažujme teď součn
12 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 = = 6 (7) Přpomeňme důležté dentty α β γ γ µν λ µ ν µ ν ε ε = δ ε ε = δ δ δ δ (7) α β δ δ α β λ α β β α V tensorovém značení odpovídá (7) rozkladu kde Vezměme součn u α v β = ( u α v β + u β v α ) + ( u α v β u β v α ) = S α β + ε α β γ γ (7) α β α β β α α β S = ( u v + u v ) γ = εα β γ u v (74) = = 8 (75) V tensorovém značení u v u v u v β u v T S T α = α δα µ + δα µ = α + δα µ = (76) Tento záps vyjadřuje rozklad do dvou reducblních reprezentací fyzkálně pak vázané stavy kvark antkvark Proč ndex? V zápsu kde budeme mít jen horní ndexy (vz (4) a (4)) máme skutečně objekt antsymetrcký v prvních dvou ndexech Dále uvažujme součn β µν β α µν β β γ λ T T = ε T ε T = (77) α α λ β γ = = ( ) = ( 6 ) = ( 6 ) ( ) = ( 8 ) ( 8 ) S (78) Případ s jsme jž rozebral Reprezentac 6 odpovídá symetrcký tensor S α β Budeme tedy mít α β γ α β γ λ β γ α λα γ β µ µ µ ρ v S w = S + ( ε δ µ + ε δ µ ) Tλ Tλ = ελ ρ v S w (79) µ α β γ α β γ γ β α α γ β Tµ = S = ( S w + S w + S w )
13 Mchal Lenc Poznámky ke grupám Mesonový oktet Máme (vz (76)) Máme = ψ ψ δ ψ ψ (8) T β β β µ α α α µ α α ψ ψ α u u d d s s T β α u s d s P I Y Q = I + Y J = K + K u d π + d u π s u s d u u ( d d + s s ) d d ( u u + s s ) s s ( u u + d d ) K K T T T Poslední tř řádky nejsou přímo částce platí podmínka nulové stopy Trplet podgrupy SU() doplňuje stav T T ( u u d d ) π = =
14 Mchal Lenc Poznámky ke grupám K tomuto stavu je ortogonální η = T = ( u u + d d s s ) 6 Snglet představuje částce / η = u u + d d + s s 9 Baryonový oktet Jakkol jsou v něm nejznámější částce je oktet jednoduchý pouze co do obsahu kvarků Paulho prncp však vyžaduje správné namíchání symetrcké a antsymetrcké část tj 8S a 8 protože celkový spn tří kvarků je Podstatně jednodušší je oprot tomu stuace u dekapletu scelkovým spnem tří kvarků Uvedeme proto jen složení u u d u d d Q = I + Y I Y P J = p n u u s + Σ d d s d s s u s s Σ Ξ Ξ u d + d u s Σ u d d u s Λ Baryonový dekaplet
15 Mchal Lenc Poznámky ke grupám S α β γ u u u { u u d } { u d d } d d d I Y Q = I + Y P J = { u u s } * Y + { u d s * } Y { d d s } * Y { u s s } { d s s } * Ξ * Ξ s s s Ω Výraz ve složených závorkách reprezentuje úplnou symetrzac tj { u u d} = ( u u d + u d u + d u u) { u d s} = ( u d s + su d + d s u + d u s + s d u + u s d ) 6 () Jak je ale možné že fermony mají symetrckou vlnovou funkc? Přrozeně že nemají exstuje ještě barevná grupa SU() a tam je dekaplet sngletem R B ( RBY BRY + BYR YBR + YRB RYB) () Y 6 Takže nakonec máme P = P ( colour) P ( flavour) P ( spn) P ( space) P = P ( barva) P ( vůně ) P ( spn) P ( prostor) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ()
16 Mchal Lenc Poznámky ke grupám Skládání spnů grupa SU() ť teď fundamentální reprezentac představuje spnový stav elektronu tj stav s s = Jak se sečtou dva stavy? Máme opět = D D = D D ( ) ( ) Pro komplkovanější stuac = () () a D D = D D ( ) ( ) = D D = D ( ) ( ) () Zkusíme vkládání částc: nejprve pro Dostáváme trplet Dále pro D tj (4) + (5) D tj pro kdy dostáváme snglet Pro sdruženou representac (6) (7) ( ) D (8) dostáváme (například) dublet pokud nejprve symetrzujeme + (9)
17 Mchal Lenc Poznámky ke grupám Objemový element na grupě Hledáme (levo)nvarantní n-formu kde n je dmenze grupy Ω = ω ω n () Jeden z postupů je najít n (levo)nvarantní jedna forem Mějme reprezentac grupy na Matce dmenze k k reprezentuje prvek a grupy ( j ) ( j ) k C resp = a d = da () ť B je matce reprezentující pevně daný prvek grupy b Potom máme k R Platí L B () * b L d = L L d = B d B = * * * b b b B B d = d (4) Má tedy matce d jako prvky nvarantní jedna formy Příklad z SU(): α β = α α + β β = β α Potom + d α β dα d β = = = β α d β dα α dα + β d β α d β + β dα d = β dα + α d β α dα + β d β Vezmeme tř nezávslé formy a vytvoříme vnější součn ( α dα β d β ) ( α d β β dα ) ( β dα α d β ) ( α α dα d β + β β d β dα ) ( β dα + α d β ) = dα d β ( β dα + α d β ) = Dferencováním normovací podmínky dostaneme α dα + α dα + β d β + β d β = d β = ( α dα + α dα + β d β ) β (5) (6) (7) (8) a po dosazení do (7)
18 Mchal Lenc Poznámky ke grupám dα d β β dα + α d β = α α β + dα d β dα = dα d β dα β β V polárních souřadncích α = u + v β = x + y u = cos θ v = snθ cos ψ x = snθ snψ cos ϕ y = snθ snψ snϕ (9) () je dα d β dα = sn θ snψ dθ dψ dϕ () β což po normování dává výsledek ( θ π ψ π a ϕ π sn θ sn ψ dθ dψ dϕ Ω = () π Ponecháme-l jen úhel θ máme po záměně θ θ cosθ Ω = d θ θ π () π Charakter reprezentace V dagonální reprezentac exp Charakter je pak { jθ} exp { jθ} () j j j + m = j k = ( θ ) exp{ mθ} exp{ ( j ) θ} exp{ kθ} = = + = exp j + θ exp j + θ exp{ ( j + ) θ} exp{ jθ} = = exp{ θ} exp θ exp θ sn j + θ sn θ Platí ()
19 Mchal Lenc Poznámky ke grupám π cosθ ( θ ) ( θ ) dθ = δ π k j j k () 4 Lorentzova grupa a Dracova rovnce 4 Lorentzova grupa S obvyklým značením ct x G = ( g k ) = x = ( x ) = (4) y z můžeme defnovat skalární součn dvou čtyřrozměrných vektorů jako T k x y = x G y = g x y (4) k Lorentzova transformace je lneární zobrazení které zobrazuje prostoročas sám na sebe a které zachovává skalární součn x x = Λ x x x = Λ x (4) / k / k Podmínka pro nvaranc skalárního součnu je T T T T T ( x) G ( y) x G y x G y G G Λ Λ = Λ Λ = Λ Λ = (44) Použjeme-l zápsu ve složkách můžeme (44) přepsat na ( T k ) l m k gl m k g k Λ = Λ Λ Λ = (45) Jsou-l Λ a Μ Lorentzovy transformace jsou také Λ a Λ Μ Lorentzovy transformace což snadno odvodíme l m r s r s k = l m Λr Λs Λ Λ = k r s Λ Λ k g g g r l m r s l m s k = lm Μ Μ k = r s Λl Λm Μ Μ k = r s Λ Μ Λ Μ k g g g g (46) Lorentzovy transformace tvoří grupu Grupa má čtyř podmnožny charakterzované sgnaturou determnantu a Λ neboť det Λ = Λ Λ = (47) ( j ) Specální Lorentzova grupa je tvořena transformacem s det Λ = a j = sgn Λ = Máme
20 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 L : det Λ = sgn Λ = I L L : det Λ = sgn Λ = I L + + s L : det Λ = sgn Λ = I L + s t + L : det Λ = sgn Λ = I L t (48) Specální Lorentzova grupa obsahuje dentckou transformac další podmnožny jsou charakterzovány I s (prostorová nverse) I t (časová nverse) a I st (časoprostorová nverse) defnovaných pomocí vztahů j I x = x I x = x s j I x = x I x = x t ( st ) ( st ) j I x = x I x = x s t j j j (49) Se specální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matc druhého řádu s determnantem rovným jedné platí SO( ) SL( C) Z = 4 Grupa SL(C) Čtyřvektoru x přřadíme komplexní matc ˆx vztahem xˆ = x ˆ σ ˆ σ = = ˆ σ = ˆ σ = ˆ σ = takže (4) x + x x x xˆ = (4) x + x x x Platí det xˆ = x x tr { ˆ ˆ x = xσ } (4) Každé dvojc matc { ˆ λ ˆ λ} SL ( C ) lze přřadt Lorentzovu transformac Λ zobrazením = ˆ ˆ = Λ (4) / / xˆ λ xˆ λ + x x Matc ˆλ lze zapsat jako součn hermteovské matce a untární matce ˆ λ ( u ω ) exp ˆ σ u exp ˆ = σ ω (44)
21 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Důkaz: Zapšme ˆ λ ˆ λ exp( ˆ σ u) + = potom ˆ exp ˆ exp ˆ ˆ σ u λ σ u λ = ˆ exp ˆ ˆ σ u λ = exp ˆ σ ω Jný způsob zápsu ˆ ϕ θ λ = exp n ˆ exp n ˆ ϕ σ θ σ = ϕ ϕ θ θ cosh nϕ σ snh cos + nθ σ sn Protože pro Paulho matce platí ( σ a)( σ b ) = a b + σ ( a b ) ˆ ˆ ˆ můžeme poslední vztah přepsat na ˆ ϕ θ ϕ θ λ = cosh cos nϕ nθ snh sn + ϕ θ ϕ θ ϕ θ n snh cos n cosh sn n n snh sn ˆ ϕ + θ ϕ θ σ + (45) (46) (47) (48) 4 Vlastnost spnorů Přpomeňme Paulho matce (pro úplnost dodejme jednotkovou matc) σ = σ x σ y σ z = = = (49) V trojrozměrném případě je operace nverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné soustavě proto u tensorových velčn je a π nejsou ekvvalentní) dvě možnost ˆ ˆ ˆ ˆ P P P P P ˆ = ˆ U trojrozměrných spnorů mohou nastat (rotace o = = ± = = ± (4) Ve čtyřrozměrném prostoru však prostorová nverse mění znaménko pouze tří ( x y z) ze čtyř ( c t x y z ) časoprostorových souřadnc a nekomutuje tedy s rotacem souřadnc které obsahují časovou osu Specálně pro Lorentzovu transformac platí = ( ) ˆ ˆ P L V L ˆ V P ˆ (4)
22 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Př transformac z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spnor jako = + = + = (4) / / ξ α ξ β ξ ξ γ ξ δ ξ α δ β γ Koefcenty α β γ a δ jsou funkcem úhlů rotace čtyřrozměrné souřadné soustavy Blneární forma ξ Ξ ξ Ξ (4) je nvarantem (částce se spnem nula složená ze dvou částc se spnem /) Je užtečné zavést matc která umožňuje snžovat a zvedat ndexy a tak využívat součtové konvence B g B = g ξ g Bξ ξ g ξb = = = (44) Potom můžeme psát místo (4) ξ Ξ = ξ Ξ = nv (45) V nerelatvstcké teor určuje * * ψ ψ + ψ ψ hustotu pravděpodobnost a je tedy skalární * * velčnou proto musí být spnorová transformace (4) untární ( α = δ β = γ ) V relatvstcké teor je hustota pravděpodobnost časupodobnou složkou čtyřvektoru a podmínka untarty nevznká Proto musíme uvažovat ne jeden spnor ale dvojc spnorů ξ a η transformujících se podle komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy ξ podle (4) a η podle / * * / * * * * * * η = α η + β η η = γ η + δ η α δ β γ = (46) Komponenty spnoru který se transformuje podle komplexně sdružené representace Lorentzovy grupy budeme značt tečkou nad velkým písmenem Pro zvedání a snžování ndexů platí tady vztah (44) Působení operátoru prostorové nverse můžeme nyní zapsat jako (volíme representac kde ˆ P = ) nebol ˆ ˆ Pξ = η ɺ Pη ɺ = ξ (47) ˆ ɺ ˆ ɺ Pξ = η Pη = ξ Dvojce bspnorů ( ξ η ) ɺ a ( ) (48) Ξ Η ɺ representuje mmo jné skalární a vektorové velčny Pro skalární velčny (skalár a pseudoskalár) je ɺ ζ = ξ Ξ ˆ + η ɺ Η P ζ = ζ ɺ ζ = ξ Ξ ˆ η ɺ Η Pζ = ζ Pro vektorové velčny (49)
23 Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Vzhledem k relacím Bɺ Bɺ Bɺ ˆ Bɺ ζ = ξ Η + Ξ η P ζ = ζ ɺ B Bɺ Bɺ Bɺ ˆ Bɺ ζ = ξ Η Ξ η Pζ = ζ ɺ B ( ζ ) a a a Tr{ } a Tr{ } ζ = ɺ = σ + σ = ζ σ = ζ B (4) (4) odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru (s trojrozměrným polárním vektorem) a druhý případ čtyřrozměrnému pseudovektoru (s trojrozměrným axálním vektorem) ( ) = ( ) ˆ ( ) = ( ) Pˆ a a a a P a a a a (4) 44 Lorentzova transformace spnorů Vztahů mez bspnorem ζ a čtyřvektorem transformace Označme a využjeme pro nalezení konkrétního tvaru koefcentů ɺ ɺ α β ξ ζ ζ ɺ ɺ L = ξ = η = ( η η ) ζ = γ δ ɺ ɺ ξ ζ ζ Pro nfntesmální transformac píšeme = L = L = L L / / + / + ξ ξ η η ζ ζ L = + λ ζ = ζ + λ ζ + ζ λ + / Př nfntesmální Lorentzově transformac máme jednak a také δ δ V Tr { ζ } = δ = δ V Tr / a = a a n V = a n / a a a n V a n { σ ζ } { } { } / + a = Tr ζ σ = a + Tr ζ σ λ + λ σ / + a = Tr{ ζ } = a + Tr { ζ ( λ + λ ) } Porovnáním obou zápsů dostaneme S využtím vztahu δ V + λ = λ = σ n n σ n = (4) (44) (45) (46) (47) (48)
24 Mchal Lenc Poznámky ke grupám můžeme psát pro konečné velkost rychlost L φ exp cosh snh φ φ = σ = σ tanh φ = V Př nfntesmální rotac souřadnc v geometrckém prostoru máme pak / Tr { } / δ θ a = a δ θ n a = a ζ σ n a = a odkud δ θ + λ = λ = n σ Pro konečné rotace potom L exp θ n cos θ ( n) sn θ = σ = + σ (49) (44) (44) (44) 45 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce Př známém vztahu mez čtyřvektory a spnory můžeme operátoru čtyřmpulsu p ˆ přřadt operátorový spnor pˆ Bɺ které se značením můžeme přepsat na resp pˆ Bɺ Jedné vhodné relatvstcky nvarantní výrazy jsou pak Bɺ pˆ η m pˆ ɺ = ξ ɺ ξ = mη ɺ (44) B B B ξ ηɺ ξ = η = ξ η ɺ ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) p σ + p σ η = mξ p σ p σ ξ = mη (444) (445) Zavedení bspnorů a γ matc je posledním krokem př odvození obvyklého tvaru Dracovy rovnce Se značením přejde (445) na ξ ψ = γ = σ γ = σ η σ σ (446) ( ˆ ) γ pˆ γ p ψ = mψ Zcela kompaktní záps dostaneme po zavedení matc ( ˆ ) (447) p ˆ γ pˆ p m ψ = (448) V souřadncové representac (na chvíl v SI jednotkách)
25 Mchal Lenc Poznámky ke grupám p m c ψ = p = γ = + γ x c t = ˆ ˆ ħ = + t ( ˆ ) ˆ ħ ħ ħ γ ħ ψ H ψ H cα m c β kde matce α a β jsou dány vztahy σ α = γ γ = β = γ = σ α α α α δ β α α β β k + k = k + = = (449) (45) 46 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol Se čtyřpotencálem Φ Φ = = c c a záměnou (v komutačních relacích vystupuje zobecněný mpulz) oprot volné částc (45) p p e (45) dostáváme Dracovu rovnc ve vnějším elektromagnetckém pol ( ˆ ) γ pˆ e ψ = m cψ (45) kde γ je čtyřvektor matc které mají ve spnorové representac tvar (jsou možné jné representace získané untárním transformacem) σ ( ) γ = γ γ γ = γ = σ (454) a ψ je čtyřkomponentový bspnor V souřadncové representac je pˆ ˆ = ħ = p ħ ħ = ħ ħ (455) x c t c t a Dracova rovnce má tvar c ħ Φ + ( + ) = t ħ (456) γ e γ e m c ψ nebo po přepsání
26 Mchal Lenc Poznámky ke grupám kde jsme označl ˆ ( ) ψ ħ = cα pˆ e + β mc + eφˆ ψ (457) t = = γ β α β γ (458) 47 Hesenbergův obraz Přpomeňme s vztah pro časovou změnu operátoru v Hesenbergově obraze d ˆ ˆ ˆ ˆ F = H F F + d t ħ t Zavedeme operátor mechanckého mpulzu ˆ π = p ˆ e r ˆ (459) (46) Výpočet komutátorů ˆ H rˆ ħ cα = a trochu komplkovaněj S využtím vztahu dostaneme Tedy ( ˆ ) e ec ec α ( α ) ˆ H pˆ ħ ħ ħ e r = Φ + α = α + α + α + α = α + α B ( ˆ ) ˆ ˆ e ħ ec ħ H p e r = Φ + α B d rˆ d t = cα d ˆ π = e Φ + e cα B d t (46) (46) (46) (464) (465) Charakter operátoru rychlost dal vznk názvu Ztterbewegung 48 Rovnce kontnuty Dracovu rovnc γ m c c t γ ħ + ħ ψ = (466) γ + = γ γ γ tedy komplexně sdružíme a s využtím vztahů
27 Mchal Lenc Poznámky ke grupám γ = γ γ = γ (467) napíšeme jako γ m c c t γ ħ ħ ψ (468) * ɶ + ɶ = Rovnc (468) transponujeme na (dferencální operátory působí doleva) ψ + γ m c c t γ ħ + ħ = (469) + a po zavedení Dracova sdružení ψ = ψ γ s využtím antkomutačních relací γ matc máme ψ γ m c c t γ ħ + ħ + = (47) S použtím symbolů = γ můžeme (466) a (47) zapsat jako a a ( pˆ m c) ψ ψ ( pˆ m c) = + = (47) Vynásobení první rovnce v (47) zleva ψ a druhé rovnce zprava ψ dává výrazy jejchž sečtením dostáváme rovnc kontnuty j x k k k k = j = ψ γ ψ (47) Časupodobná komponenta je = = > j ψ γ ψ ψ + ψ
Relativistická kvantová mechanika
Relatvstcká kvantová mechanka Mchal Lenc Poznámky k přednášce v jarním semestru Obrazy Postulát o kvantové kausaltě Evoluční operátor 3 Schrödngerův a Hesenbergův obraz 3 4 Interakční obraz4 Relatvta a
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
Vícepermutace, popisující nějaké symetrie, je i π permutace, popisující nějakou symetrii.
DSM Cv Pólyova věta Budeme se zabývat objekty (na množně X - to jsou vrcholy těchto objektů) s různým prvky symetre (například to mohou být různé brože, tsky, ale také strukturní vzorce různých chemckých
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
VíceLambertův-Beerův zákon
Lambertův-Beerův zákon Intenzta záření po průchodu kavtou se vzorkem: Integrovaný absorpční koecent: I nal = I ntal e ε c L A = ε ( ~ ν ) d~ ν Bezjednotková včna síla osclátoru: v cm -1 = 4.3 10 9 A Síla
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceMaticová exponenciála a jiné maticové funkce
Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceSPINORY A MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS
Spinory a Minkowského prostoročas 1 SPINORY A MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS Michael Krbek Obsah 1. Lineární a antilineární zobrazení 1 2. Komplexní sdružení a reálné formy 3 3. Struktury na tenzorových součinech
VíceSMR 1. Pavel Padevět
SMR Pavel Padevět Oganzace předmětu Přednášející Pavel Padevět, K 3, D 09 e-mal: pavel.padevet@fsv.cvut.cz Infomace k předmětu: https://mech.fsv.cvut.cz/student SMR Heslo: odné číslo bez lomítka (případně
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceRovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA
Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic
VíceHartreeho-Fockova metoda (HF)
Staonární Shrödngerova rovne H Ψ = EΨ Metoda konfgurační nterake Metoda vázanýh klastrů Poruhová teore Zahrnutí el. korelae Bornova-Oppenhemerova aproxmae Model nezávslýh elektronů Vlnová funke ve tvaru
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceStatika soustavy těles v rovině
Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M
Více15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích
15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 1 15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 151 Definice hypersférických souřadnic r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ v E N Hypersférické souřadnice souvisejí s kartézskými souřadnicemi
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
Více27 Systémy s více vstupy a výstupy
7 Systémy s více vstupy a výstupy Mchael Šebek Automatcké řízení 017 4-5-17 Stavový model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Má obecně m vstupů p výstupů x () t = Ax() t + Bu() t y()
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceElektrárny A1M15ENY. přednáška č. 5. Jan Špetlík. Katedra elektroenergetiky, Fakulta elektrotechniky ČVUT, Technická 2, Praha 6
Elektrárny AM5ENY přednáška č 5 Jan Špetlík spetlj@felcvutcz -v předmětu emalu ENY Katedra elektroenergetky, Fakulta elektrotechnky ČVUT, Techncká 2, 66 27 Praha 6 Nárazový proud bude: F κ 2 I,7 225 59,9
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePříprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz
Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceDr. Petr Jizba. I. Relativistická QM a dráhové integrály. Ia. Bezspinová částice a bosonová struna
Příklady k předmětu Metody Funkconálního Integrálu Dr Petr Jzba I Relatvstcká QM a dráhové ntegrály Ia Bezspnová částce a bosonová struna Příklad 1: Dokažte, že na úrovn pohybových rovnc jsou následující
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na
VíceRelativistická kinematika
Relativistická kinematika 1 Formalismus čtyřhybnosti Pro řešení relativistických kinematických úloh lze často s výhodou použít formalismus čtyřhybnosti. Čtyřhybnost je čtyřvektor, který v sobě zahrnuje
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceOdraz a lom rovinné monochromatické vlny na rovinném rozhraní dvou izotropních prostředí
Odraz a lom rovnné monochromatcké vlny na rovnném rozhraní dvou zotropních prostředí Doplňující předpoklady: prostředí č.1, ze kterého vlna dopadá na rozhraní neabsorbuje (má r r reálný ndex lomu), obě
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceR β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra
Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceParametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
VíceVlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy
Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2018/19 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek Obsah Seznam použitých symbolů a konvencí.............................................. 2 0. Opakování.........................................................................
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
VíceLorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice
Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice Zadání 1. Určete infinitezimální generátor Lorentzovy transformace X = ξ x x, t) + ξt x, t) 1). Řešením systému obyčejných diferenciálních rovnic
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005)
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Obsahuje 1413 hypertextových odkazů Zapsal Jan Šustek Aktualizováno 29. května 2005 Obsah Seznam použitých symbolů
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceVlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů
Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní
VíceKonstrukce realizací Lieových algeber
1 České vysoké učení technické v Praze F4 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Konstrukce realizací Lieových algeber Daniel Gromada Realizace Lieovy algebry 2+ Realizace Lieovy algebry
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Více( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Více2 ab. ), (ii) (1, 2, 3), (iii) ( 3α+8,α+12,6α 16
Řešení úloh... Hroch dostane 80 mg prvního a 80 mg druhého přípravku.. V hospodě je 0 čtyřmístných šestimístných a osmimístné stoly.. i) pro ab právě jedno řešení: x = 5b ab y = a+5 ab pro a = 5 ab = nekonečně
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceČísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.
Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný
Více