Dr. Petr Jizba. I. Relativistická QM a dráhové integrály. Ia. Bezspinová částice a bosonová struna

Transkript

1 Příklady k předmětu Metody Funkconálního Integrálu Dr Petr Jzba I Relatvstcká QM a dráhové ntegrály Ia Bezspnová částce a bosonová struna Příklad 1: Dokažte, že na úrovn pohybových rovnc jsou následující akce τ2 S[xτ, τ 1, τ 2 ] = m c dτ ẋ µ τẋ µ τ, τ 1 S[xτ, η, τ 1, τ 2 ] = 1 2 τ2 τ 1 dτ η 1 ẋ µ τẋ µ τ + η m 2 c 2, Wheeler 1962, Polyakov 198, ekvvalentní Proměnná η je enban a přjatá sgnatura Lorentzovské metrky v D dmenzích je +,,,, Příklad 2: Dokažte, že v nerelatvstcké lmtě tj, když v 2 /c 2 1 jak S tak S přechází na akc volné nerelatvstcké částce Příklad 3: Dokažte, že na úrovn pohybových rovnc jsou následující strunové akce S[xτ, σ, Σ] = 1 dσdτ det a x 2πα µ σ, τ b x µ σ, τ, Drac, Nambu & Goto 193, Σ S[xτ, σ, h ab, Σ] = 1 dσdτ hh ab a x µ σ, τ b x µ σ, τ, Polyakov, Dezer & Zumno 1981, 4πα Σ ekvvalentní h = det h ab, Σ je objem světoplochy, a a b ndexují proměnné σ a τ Příklad 4: Dokažte, že Polyakovova strunová akce ma 2D Weylovu symetr, tj, je nvarantní vzhledem k přeškálování metrky h ab τ, σ fτ, σh ab τ, σ, fτ, σ > d usledkem Weylovy varance je, že T a a = T ab je tenzor momentu a hybnost na světoploše Příklad 5: Dokažte, že akce S[h ab, Σ] = 1 dτdσ h R, 4π Σ R je Rccho skalárn křvost je nvarantní vzhledem ke globální Weylově symetr, ke grupě dffeomorphsm u a k Poncarého grupě Hnt: R je defnován prostřednctvím Chrstoffel Remannova tenzoru křvost R abcd vztahem R = h ab R c acb, R a bcd = c Γ a bd d Γ a bc + Γ e bdγ a ec Γ e bcγ a ed, Γ a bc = 1 2 had b h dc + c h db d h bc

2 Příklad 6: Dokažte, že pro lokální Weylovu transformac platí hr hr 2 2 ω, 2 = a a = h 1/2 a hh ab b je Laplace Beltramho operátor Konformní faktor fτ, σ = exp2ωτ, σ Využjte faktu, že dv X = 1 h a h X a, a dokažte, že akce z příkladu 5 je nvarantní také vzhledem k lokální Weylově symetr modulo případný povrchový člen Příklad 7: Dokažte, že ve 2D platí R ab = 1 2 h abr a tudíž, že Enstenova gravtační rovnce ve 2D je trvální V 2D musí tedy člen hr být totáln dervací Hnt: R = h ab R ab = h ab h cd R dacb R ab je Rccho tenzor D ukaz se dá zredukovat na určení počtu nezávslých složek Chrstoffel Remannova tenzoru K tomu slouží následující symmetre R abcd = R bacd, R abcd = R cdab, R abcd = R abdc, R abcd + R acdb + R adbc =, Rccho cyklcká rovnost R acdb má v 2D jednu nezávslou složku, v 3D má 6 nezávslých složek, v 4D má 2 nezávslých složek, atd Příklad 8: Feynman Fockova metoda 5 parametru Dokažte, že pokud funkce ϕx, λ splňuje rovnc ϕx, λ λ = 1 2 xϕx, λ, x s d Alambertán potom funkce ψx která splňuje Klen Gordonovu rovnc x +m 2 ψx = je svázána s funkcí ϕx, λ vztahem: ϕx, λ = expm 2 λ/2ψx Dedukujte z tohoto faktu, že propagátor pro Klen Gordonovu rovnc má následující dráhově ntegrální reprezentac: x a x b = dλ exp m2 xλ=xb λ Dx µ exp 2 x=x a λ dτlxτ Lx je Polyakovuv Lagrangán pro volnou částc s kalbrační podmínkou η = 1 reprezentací odvozenou na přednášce Srovnej s Ib Reprezentace Lorentzovy grupy a částce se spnem 1 2 Příklad 9: Přesvěčte se, že generátory J µν = x µ ν x ν µ splňují Leovu SO3, 1 algebru [J µν, J ϱσ ] = η νϱ J µσ η µϱ J νσ η νσ J µϱ + η µσ J νϱ Příklad 1: Zkontrolujte, že Σ µν = 4 [γµ, γ ν ] splňují SO3, 1 algebru, tj, [Σ µν, Σ ϱσ ] = η νϱ Σ µσ η µϱ Σ νσ η νσ Σ µϱ + η µσ Σ νϱ

3 Hnt: Muže se vám hodt relace: [Â ˆB, Ĉ] = Â{ ˆB, Ĉ} {Â, Ĉ} ˆB Příklad 11: Zkontrolujte, že generátory M µν ρ τ = η ρµ δ ν τ tj, η ρν δ µ τ splňují SO3, 1 algebru, [M µν, M ϱσ ] = η νϱ M µσ η µϱ M νσ η νσ M µϱ + η µσ M νϱ Defnujte J = 1 2 ε jkm jk a určete príslušný spn odpovídající této reprezentac tato reprezentace je typu 1 2, 1 2 Příklad 12: jestlze {γ µ, γ ν } = 2η µν a J = 1 2 ε jkσ jk = 4 ε jkγ j γ k, potom [J, J j ] = ε jk J k a [γ, J ] = [γ 5, J ] = Zde γ 5 = γ γ 1 γ 2 γ 3 {γ 5, γ µ } =, a že J 1 2 = J 2 2 = J 3 2 = 1 4 Verfkujte tyto výsledky ve specální reprezentac Dracově reprezentac γ 12 2 = γ =, γ σ = γ 1 = 2 2 σ, a ukažte, že v této reprezentac platí J = J = 1 2 σ σ, γ 5 γ 5 = Proč má tato reprezentace spn 1/2? Jedná se o reprezentac 1 2,,, 1 2 a nebo 1 2,, 1 2? Příklad 13: Grupové elementy pro spnorovou reprezentac Lorentzovy grupy mají tvar Uθ αβ = exp 2 θ αβσ αβ γ α se transformuje jako 4-vektor vzhledem k Uθ αβ, tj, ukažte, že Uθ αβ γ δ U 1 θ αβ = [ ] δ exp 2 θ αβm αβ γ γ = Λ 1 θ αβ δ γ γγ, γ kde Λθ αβ = exp 2 θ αβm αβ je vektorová reprezentace Lorentzovy grupy Hnt: M uže se vám hodt relace: eâ ˆBe Â = n= 1 n! C n, C = ˆB, C n = [Â, C n 1] Příklad 14: Defnujme a= a µ γ µ Dokažte, že a1a 2 = 2a 1 a 2 a 2 a 1, p m cp+ m c = p µ p µ m 2 c 2 Tr a 1 a 2 = 4a 1 a 2, Tr a 12 a n a =, pokud je n lché, γ µ aγ µ = 2a, γ µ a 1 a 2 γ µ = 4a 1 a 2 Příklad 15: Foldy Wouthuysenova transformace Dracova rovnce má tvar m cψx =

4 Drac uv Hamltonán má tvar Hp = γ γ p c + γ m c 2 = m c p σ p σ c m c Protože předchozí matce je hermtovská, muže být dagonalzována untární transformací Dokažte, že c p2 + m H dag = 2 c c p 2 + m 2 = e S Hpe S, c kde p θ S = γ p 2, cos θ = m c p2 + m, sn θ = p 2 c2 p2 + m 2 c2 Velčna θp/ p se nazývá rapdta Interpretujte fyzkáln význam rapdty Příklad 16: Dokažte, že det m c = det + m c a tudíž ukažte, že det m c = det x m 2 c Hnt: M uže se vám hodt relace: det A = exp Tr log A Příklad 17: Uvažujte Dracovu reprezentac γ matc z příkladu 12 a přepšte vlnovou funkc bspnor ψ jako ϕ ψ =, χ kde ϕ a χ jsou matce 1 2 Dracova rovnce z příkladu 15 se dá přepsat ve tvaru ϕ = m ϕ + 1 σ χ, χ = m χ + 1 σ ϕ Ukažte dále, že př operac party t t, x x dostáváme, že ϕ ϕ a χ χ Příklad 18: Uvažujte Weylovu reprezentac γ matc, tj, γ 12 2 =, γ = σ σ Přesvěčte se, že tyto matce splňují defnční vztah {γ µ, γ ν } = 2η µν Dokažte, že γ 5 = γ γ 1 γ 2 γ 3 je v této reprezentac dagonáln a má tvar γ = pro J = 4 ε jkγ γ k a K = M = 2 γ γ platí 1 J = 2 σ σ, K = 2 σ 1 2 σ Tedy N = 1 2 J + K = dag, 1 2 σ, zatímco N+ = 1 2 J K = dag 1 2 σ, Dokažte, tudíž že spnor ϕ se transformuje podle reprezentace 1 2, zatímco χ podle reprezentace, 1 2 Všmněte s, že χ = γ5 ψ ϕ L a ϕ = γ5 ψ ϕ R

5 Ukažte dále, že př operac party t t, x x dostáváme, že χ ϕ Ic Částce se spnem 1 a SUSY Příklad 19: Uvažujte první sadu Maxwellových rovnc, tj, rote + B tyto se dají přepsat do tvaru =, rotb E = E = 1 S B, B = 1 S E, kde S jk = 1/ε jk Přesvěčte se, že [S, S j ] = ε jk S k, a že 3 S 2 = =1 Matce S tedy hrají pro foton tj, částc se spnem 1 a m = stejnou rol jako Paulho matce σ mají pro elektron tj, částc se spnem 1/2 Podobně, E, B jsou analogcké k ϕ, χ Dskutujte tento výsledek Dokažte, že vektor E se transformuje podle reprezentace 1, zatímco B podle reprezentace, 1 Takže E, B se transformuje podle vektorové reprezentace 1,, 1 Příklad 2: Použjte analog z Dracovy rovnce a určete jak vypadá jedno-fotonový Hamltonán Hp Příklad 21: dervace složené funkce na G n Necht θ k G n Mějme lneární transformac θ k = p a kp Y p, Y k G n Y p fθy = k a kp fθ, θ k θ=θy a současně, že fθy Y p = k a kp fθ θ k θ=θy Příklad 22: dervace součnu funkcí na G n Necht f 1 je lchá funkce tj, G n a necht f 2 je obecná funkce z G n Dokažte, že θ p f 1 f 2 = f 2 f 1 θ p = f 2 f 1 f 2 f 1 f 2, θ p θ p f 1 f 2 f 1 θ p θ p

6 Příklad 23: Dokažte, že pro θ G n a η, η G 2n platí následující Gaussovské ntegrály dθ 1 dθ n exp 1 1 det 2 θt Aθ θ T χ = exp 2 χt A 1 χ A, d η dη exp η T Aη η T χ χ T η = exp χ T A 1 χ det A Příklad 24: Mějte SUSY generátory a SUSY kovarantní dervace Q = θ θ a Q = θ + θ, D θ = θ θ a Dθ = θ + θ Dokažte, že {D θ, Q} = {D θ, Q} = a { D θ, Q} = { D θ, Q} =, a, že a tudíž dokažte, že δd θ = [D θ, Qε + ε Q] = a δ D θ = [ D θ, Qε + ε Q] =, δd θ A = ε Q + QεD θ A a δ D θ A = ε Q + Qε D θ A, platí pro lbovolné superpole a SUSY transformac: δt = θε + εθ, δθ = ε a δ θ = ε Hnt: Muže se vám hodt relace: {Â ˆB, Ĉ} = Â{ ˆB, Ĉ} [Â, Ĉ] ˆB = {Ĉ, Â} ˆB Â[Ĉ, ˆB] Příklad 25: Uvažujte superkovarantní akc S = 1 2 dtd θdθ D θ φ µ D θ φ µ Superpole φ µ ma rozklad φ µ t, θ, θ = x µ t + θψ µ t ψ µ t θ + θ θd µ t Dokažte, že S = 1 2 = dt ẋ µ ẋ µ + ψµ ψµ ψ µ ψ µ + D µ D µ dt 1 2ẋµ ẋ µ ψ µ t ψ µ + D µ D µ Uvažujte nyní nerelatvstckou QM v 1D Superkovarantní akce muže být psána ve tvaru S = dtd θdθ D θ φd θ φ fφ, kde fφ je nějaká analytcká funkce superpole S = dt 1 2ẋ2 + ψ t f xψ D2 + Df

7 Defnujte superpotencál W t = Dt = f t a ukažte že opovídající Hamltonán má tvar: H = 1 2 p W [ψ, ψ]w Pozn: Proč následující akce S = 1 2 dtd θdθ D θ φ µ Dθ φ µ, S = 1 2 dtd θdθ D θ φ µ D θ φ µ, nejsou vhodným kanddát pro superkovarantní akc Příklad 26: Dokažte, že akce S[x, ψ, η, χ] = 1 2 L je nvarantní vzhledem k lokálním SUSY transformacím dt η 1 ẋ µ ẋ µ ψ µ ψ µ + η 1 χψ µ ẋ µ, δx µ t = εt ψ µ t δψ µ t = εt η 1 ẋ µ 2η χψ µ δηt = εt χt δχt = 2 εt předchozí akce lze psát v kanonckém tvaru S[x, p, ψ, η, χ] = L dt p µ ẋ µ + η 2m p ψ µ ψ µ χψµ p µ Dokažte, že akce má následující lokální SUSY δx µ t = εt ψ µ t δψ µ t = εtp µ t δηt = εt χt δχt = 2 εt δp µ t =

8 II Úvod do QFT a funkconální ntegrály Ia Skalární pole Příklad 27: Dokažte, operátorový Wck uv teorém pro reálné skalární pole a dedukujte z něj obvklou formu Wckova teorému pro Greenovy funkce volných polí, tj, T [ ˆφ n x 1 ˆφ n x k ] = {, jestlže k lché r uzná párování F x 1, x 2 F x k 1, x k,jestlže k sudé Hnt: M uže se vám hodt následující postup: Příklad 28: Dokažte, že operátorový Wck uv teorém pro realné skalární pole lze psát v kompaktním tvaru generující rovnc [ T exp ] d 4 x ˆφ n xjx = : exp d 4 x ˆφ n xjx : exp 1 2 d 4 xd 4 y Jx F x, yjy, kde Jx je c-číselný zdroj Příklad 29: Gaussovské ntegrály dx exp a 2 x2 = 2π a, kde Re a > dx exp a 2π 2 x2 + bx = a exp kde Re a > a b C Pomocí konturového ntegrálu dokažte, že N =1 b 2 2a, dx exp a { 2 x2 2π pro a >, = a 1/ pro a < dx exp 12 [ ] x A j x j + b x = 2πN/2 1 exp det A 2 b A 1 j b j, kde A = A j je N N reálná symetrcká matce Vlastní hodnoty λ matce A splňují nerovnost Re λ > N =1 dz dz exp z C j z j + ζ z + z ζ = πn det C exp [ ζ C 1 j ζ j ],

9 kde z, ζ C a C je hermtovská matce Příklad 3: Greenova funkce harmonckého osclátoru Uvažujte funkconál dráhový ntegrál Z[j] = Dx e S[x,j], 1 kde S[x, j] = S[x] dtjtxt a S[x] = 1 2 dtẋ 2 ω 2 x 2, je klascká akce pro harmoncký osclátor s hmotností m = 1 V rámc příkladu z předchozího paragrafu, se Z[j] dá chápat jako zobecnění Gaussovského ntegrálu, v tom smyslu, že x je zaměněno za xt Čas t tedy hraje formálně rol spojtého ndexu xt = x t + dt Gt t jt, je staconární řešení akce S[x, j], kde 2 t + ω 2 Gt t = δt t a d 2 x /dt 2 = ω 2 x [ Z[j] = Z[] exp ] dt dt jtgt t jt 2 Ukažte dále, že Gt 1 t 2 = δ 2 Z[j] Z[] δjt 1 δjt 2 = j= Z[] Dx xt 1 xt 2 e S[x] Hnt: Pro funkconální dervac platí δxt/δxt = δt t, což se dá chápat jako zobecnění parcální dervace pro dskrétní ndexy: x /x j = δ j Spočtěte T [ˆxt 1 ˆxt 2 ], kde T [ˆxt 1 ˆxt 2 ] θt 1 t 2 ˆxt 1 ˆxt 2 + θt 2 t 1 ˆxt 2 ˆxt 1 Srovnejte získaný výsledek s Gt