Relativistická kvantová mechanika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Relativistická kvantová mechanika"

Transkript

1 Relatvstcká kvantová mechanka Mchal Lenc Poznámky k přednášce v jarním semestru Obrazy Postulát o kvantové kausaltě Evoluční operátor 3 Schrödngerův a Hesenbergův obraz 3 4 Interakční obraz4 Relatvta a antčástce podle Feynmana 5 3 Relatvstcká kvantová mechanka7 3 Hstorcký přístup 7 4 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol8 4 Vlastnost spnorů 8 4 Lorentzova transformace spnorů 43 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce 44 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol3 45 Hesenbergův obraz 4 46 Rovnce kontnuty5 5 Rovnné vlny 6 6 Transformace Dracovy rovnce 7 6 Rovnce volné částce Foldyova - Wouthuysenova transformace 7 6 Rovnce částce v elektromagnetckém pol 8 7 Rozptyl elektronu na jádře 8 Invarantní účnný průřez 4 9 Spnová matce hustoty5 Spnové středování 8

2 Obrazy Postulát o kvantové kausaltě Postulát o kvantové kausaltě říká že: a Stav systému v čase t jednoznačně určuje stav systému v lbovolném okamžku t > t v okamžku t < t b Platí prncp superposce: Jsou-l stavy ψ t a t ψ t a ψ t pak také stav c ψ t c ψ t ψ c ψ t c t ψ časové evoluce stavů má časovou evoluc c Norma stavového vektoru se běhen časové evoluce nemění Evoluční operátor Podle postulátu o kvantové kausaltě exstuje jednoznačný vztah mez vektory ψ t a ψ t a lze tedy defnovat evoluční operátor T t t ψ Ze zachování normy dostáváme a platí tak Dále porovnáním t T t t ψ t T t t = = t t T t t t T t t t t t ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ T t t T t t = 3

3 t = T t t t = T t t T t t t ψ ψ ψ ψ t = T t t ψ t 4 dostáváme Evoluční operátor je untární neboť také a dále máme Pro Taylorův rozvoj T t t t T t t = T t t T t t 5 dostáváme T t t T t t = 6 T t t = T t t 7 T t t t = H t ħ 8 kde Ĥ je nějaký hermteovský operátor Evoluční operátor splňuje rovnc d ħ T t t = H t T t t T t t = 9 d t 3 Schrödngerův a Hesenbergův obraz Ve Schrödngerově obraze předpokládáme že se v čase mění stavový vektor Pro stavový vektor platí přrozeně ta samá rovnce jako pro evoluční operátor Schrödngerova rovnce d ħ S t H S t S t d t ψ = ψ a pokud operátory závsí na čase tak pouze explctně V Hesenbergově obraze naopak předpokládáme že se stavový vektor v čase nemění Požadavek rovnost vyjádření střední hodnoty lbovolné fyzkální velčny v obou obrazech vede ke vztahu mez operátory 3

4 t T t t t ψ ψ = ψ H S S t F t = F t = T t t F t T t t ψ ψ ψ ψ ψ ψ S S S H H H H H H tedy F t = T t t F T t t H S Rovnc pro časovou změnu operátoru v Hesenbergově obraze získáme dervováním předchozího vztahu d d T d T FS F H = FS T T FS T T = d t d t d t t FS T H S FS T T FS H S T T T ħ t 3 S uvážením 6 máme d FH FH = FH H H d t ħ t 4 4 Interakční obraz Velm důležtým pro aplkace je nterakční obraz Předpokládáme že hamltonán je složen ze dvou částí H H V t = kde část která může explctně závset na čase Zvolíme a dostáváme pak Ĥ je na čase nezávslá základní část a ψ ψ I S I S V t je nterakční T t t = exp H t t ħ 5 F = T t t F T t t t = T t t t 4

5 d ħ ψ I t = H I t ψ I t H I t = T t t V t T t t d t d V t F I T = t t T t t H F I d t t 6 Relatvta a antčástce podle Feynmana mpltuda pravděpodobnost přechodu 3 * φ χ = d x χ x U x φ x = χ U φ Předpokládáme φ φ = φ U φ = Působení v čase t označme U působení v čase t jako U atd Máme pak Za { } m m m 3 = φ φ φ U ψ exp E t t ψ U φ m ψ m vezmeme rovnné vlny S označením = φ = φ a x E U x t x b x E U x t x p p 4 kde E p m p = ne nutně kladná větev odmocnny můžeme psát φ φ = { } 3 3 * 3 d p 5 d xb x d x a x exp E 3 p t t p x x π E p Proč jsme vyděll člen s energí je vdět z úpravy relatvstcky nvarantního výrazu δ δ p p m 3 d p d p d p d p E p m 3 d E d p 3 3 d p 6 δ E Ep δ E E p d E d p = nv E E p = = p Označme t = t t a r = r r a všmněme s chování funkce 5

6 { } 3 d p G r t = exp p r E 3 p t π Ep 7 Předpokládejme E p > a prostorupodobný nterval proměnné dostaneme λ = s = r t Integrací přes úhlové p exp { } G r t = d p p r p m t = 8π r p m { } d p exp p r p m t 8π r r p m 8 Substtuce p = msnhϕ a označení r = λ cosh ϕ t = λ snhϕ převedou ntegrál na G r t = d ϕ exp { mλ snh ϕ ϕ } = K mλ 8π r r 9 8π r r kde K x = d y cos xsnh y je Besselova funkce Pomocí vztahu K x = K x přepíšeme 9 na m G λ = K mλ 8π λ 6

7 3 Relatvstcká kvantová mechanka 3 Hstorcký přístup V nerelatvstcké teor máme p H H p ħ = ħ 3 m t a Schrödngerovu rovnc ψ r t ħ ħ = ψ r t 3 t m V relatvstcké teor 3 E µ p = p p p p = p c E pµ = p p p p3 = p c 33 Invarantní délka čtyřvektoru mpulzu je 7

8 Hamltonán je tedy E c p p = p = m c 34 H = p c m c a analoge ke kvantování v souřadncové representac 4 35 p ħ x 36 naloge ke Schrödngerově rovnc je ovšem r t ψ ħ ħ 37 t 4 = c m c ψ r t 4 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol 4 Vlastnost spnorů Přpomeňme Paulho matce pro úplnost dodejme jednotkovou matc σ = σ x σ y σ z = = = 4 V trojrozměrném případě je operace nverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné soustavě proto u tensorových velčn je P = U trojrozměrných spnorů mohou nastat rotace o a π nejsou ekvvalentní dvě možnost P P P P = = ± = = ± 4 Ve čtyřrozměrném prostoru však prostorová nverse mění znaménko pouze tří x y z ze čtyř c t x y z časoprostorových souřadnc a nekomutuje tedy s rotacem souřadnc které obsahují časovou osu Specálně pro Lorentzovu transformac platí = P L V L V P 43 Př transformac z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spnor jako 8

9 = = = 44 ξ α ξ β ξ ξ γ ξ δ ξ α δ β γ Koefcenty α β γ a δ jsou funkcem úhlů rotace čtyřrozměrné souřadné soustavy Blneární forma ξ Ξ ξ Ξ 45 je nvarantem částce se spnem nula složená ze dvou částc se spnem / Je užtečné zavést matc která umožňuje snžovat a zvedat ndexy a tak využívat součtové konvence B g B B B = g = ξ = g Bξ ξ = g ξb 46 Potom můžeme psát místo 45 V nerelatvstcké teor určuje ψ ψ ξ Ξ = ξ Ξ = nv 47 ψ ψ hustotu pravděpodobnost a je tedy skalární * * * * velčnou proto musí být spnorová transformace 44 untární α = δ β = γ V relatvstcké teor je hustota pravděpodobnost časupodobnou složkou čtyřvektoru a podmínka untarty nevznká Proto musíme uvažovat ne jeden spnor ale dvojc spnorů ξ a η transformujících se podle komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy ξ podle 44 a η podle * * * * * * * * η = α η β η η = γ η δ η α δ β γ = 48 Komponenty spnoru který se transformuje podle komplexně sdružené representace Lorentzovy grupy budeme značt tečkou nad velkým písmenem Pro zvedání a snžování ndexů platí tady vztah 46 Působení operátoru prostorové nverse můžeme nyní zapsat jako volíme representac kde nebol P = Pξ = η ɺ Pη ɺ = ξ 49 9

10 ɺ Pξ = η Pη ɺ = ξ 4 Dvojce bspnorů ξ η ɺ a Pro skalární velčny skalár a pseudoskalár je Ξ Η ɺ representuje mmo jné skalární a vektorové velčny Pro vektorové velčny Vzhledem k relacím ɺ ζ = ξ Ξ η ɺ Η P ζ = ζ ɺ ζ = ξ Ξ η ɺ Η Pζ = ζ Bɺ Bɺ Bɺ Bɺ ζ = ξ Η Ξ η P ζ = ζ ɺ B Bɺ Bɺ Bɺ Bɺ ζ = ξ Η Ξ η Pζ = ζ ɺ B 4 4 B ζ a a a Tr{ } a Tr{ } ζ = ɺ = σ σ = ζ σ = ζ 43 odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru s trojrozměrným polárním vektorem a druhý případ čtyřrozměrnému pseudovektoru s trojrozměrným axálním vektorem = = P a a a a P a a a a 44 4 Lorentzova transformace spnorů Vztahů mez bspnorem ζ a čtyřvektorem a využjeme pro nalezení konkrétního tvaru koefcentů transformace Označme ɺ ɺ α β ξ ζ ζ ɺ ɺ L = ξ = η = η η ζ = γ δ ɺ ɺ ξ ζ ζ ξ = L ξ η = η L ζ = Lζ L Pro nfntesmální transformac píšeme L = λ ζ = ζ λζ ζ λ Př nfntesmální Lorentzově transformac máme jednak 45 46

11 = = δ V Tr { ζ } = = δ V Tr a a a nδ V a n a a a nδ V a n { σ ζ } 47 a také { ζ σ} a { ζ σ λ λ σ } a = Tr = Tr a = Tr{ ζ } = a Tr { ζ λ λ } 48 Porovnáním obou zápsů dostaneme δ V λ = λ = σ n S využtím vztahu můžeme psát pro konečné velkost rychlost n σ n = 49 4 L φ exp cosh snh φ φ = σ = σ tanh φ = V 4 Př nfntesmální rotac souřadnc v geometrckém prostoru máme pak Tr { } δ θ a = a δ θ n a = a ζ σ n a = a 4 odkud δ θ λ = λ = n σ 43 Pro konečné rotace potom L exp θ n cos θ n sn θ = σ = σ 44

12 43 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce Př známém vztahu mez čtyřvektory a spnory můžeme operátoru čtyřmpulsu p přřadt operátorový spnor p Bɺ resp p Bɺ Jedné vhodné relatvstcky nvarantní výrazy jsou pak které se značením Bɺ p η m p ɺ = ξ ɺ ξ = mη ɺ 45 B B B ξ ηɺ ξ = η = ξ η ɺ 46 můžeme přepsat na p σ p σ η = mξ p σ p σ ξ = mη 47 Zavedení bspnorů a γ matc je posledním krokem př odvození obvyklého tvaru Dracovy rovnce Se značením ξ ψ = γ = σ γ = σ η σ σ 48 přejde 47 na γ p γ p ψ = mψ 49 Zcela kompaktní záps dostaneme po zavedení matc V souřadncové representac na chvíl v SI jednotkách p γ p p m ψ = 43 p m c ψ = p = γ = γ x c t ħ t ħ ħ ħ γ ħ ψ = H ψ H = cα m c β 43 kde matce α a β jsou dány vztahy

13 σ α = γ γ = β = γ = σ α α α α δ β α α β β k k = k = = Dracova rovnce v elektromagnetckém pol Se čtyřpotencálem Φ Φ = = c c 433 a záměnou v komutačních relacích vystupuje zobecněný mpulz oprot volné částc dostáváme Dracovu rovnc ve vnějším elektromagnetckém pol p p e 434 γ p e ψ = m cψ 435 kde γ je čtyřvektor matc které mají ve spnorové representac tvar jsou možné jné representace získané untárním transformacem σ γ = γ γ γ = γ = σ 436 a ψ je čtyřkomponentový bspnor V souřadncové representac je p = ħ = p ħ ħ = ħ ħ 437 x c t c t a Dracova rovnce má tvar nebo po přepsání c ħ Φ = t ħ 438 γ e γ e m c ψ 3

14 ψ ħ = cα p e β mc eφ ψ 439 t kde jsme označl = = γ β α β γ Hesenbergův obraz Přpomeňme s vztah pro časovou změnu operátoru v Hesenbergově obraze d F = H F F d t ħ t Zavedeme operátor mechanckého mpulzu π = p e r Výpočet komutátorů H r ħ cα = 443 a trochu komplkovaněj e ec ec α α H p ħ ħ ħ e r = Φ 444 S využtím vztahu α = α α α α = α α B 445 dostaneme e ħ ec ħ H p e r = Φ α B 446 Tedy d r d t = cα d π = e Φ e cα B d t 447 4

15 Charakter operátoru rychlost dal vznk názvu Ztterbewegung 46 Rovnce kontnuty Dracovu rovnc γ m c c t γ ħ ħ ψ = 448 komplexně sdružíme a s využtím vztahů γ = γ γ γ tedy γ = γ γ = γ 449 napíšeme jako γ c t γ ħ ħ ψ 45 * ɶ ɶ m c = Rovnc 45 transponujeme na dferencální operátory působí doleva ψ γ m c c t γ ħ ħ = 45 a po zavedení Dracova sdružení ψ = ψ γ s využtím antkomutačních relací γ matc máme ψ γ m c c t γ ħ ħ = 45 S použtím symbolů = γ můžeme 448 a 45 zapsat jako a a p m c ψ ψ p m c = = 453 Vynásobení první rovnce v 453 zleva ψ a druhé rovnce zprava ψ dává výrazy jejchž sečtením dostáváme rovnc kontnuty j x k k k k = j = ψ γ ψ 454 Časupodobná komponenta je = = > j ψ γ ψ ψ ψ 5

16 5 Rovnné vlny Dosadíme-l do 453 rovnné vlny volba normovací konstanty ε = c p = p c m c 4 se ozřejmí pozděj ψ dostáváme a = exp = exp 5 ε ε p u p p x ψ p u p p x p m c u p p mc u p = = 5 u p p mc = u p p mc = 53 podmínkou řeštelnost je p p = m c Bspnory normujeme tak že u p u p m c u p u p mc = = 54 Násobení zleva první rovnce v 5 u p a druhé rovnce u p vede na 3 γ γ u ± p p u ± p = m c = c p p u ± p u ± p = c p 55 Pro čtyřvektor toku pak c p v j = ψ ± p ± p = = ε c γ ψ 56 Ve standardní representac kde píšeme φ ψ = χ se Dracova rovnce rozpadá na dvě vázané rovnce 57 m c m c 58 ε φ c p σ χ = ε χ c p σ φ = 6

17 Máme pak ε m c w ε mc n σ w u p = u p = ε mc n σ w ε m c w 59 kde n = p p a w ± jsou lbovolné dvoukomponentové velčny splňující w w ± ± = Pro relatvstcky sdružené bspnory máme z 59 ε σ ε = ε ε σ u p m c w m c w n = u p mc w n m c w 5 6 Transformace Dracovy rovnce 6 Rovnce volné částce Foldyova - Wouthuysenova transformace Hamltonán je H cα p β m c = 6 Ve standardní reprezentac jsou matce α a β dány vztahy σ β α = = σ 6 Uvažujme o takové untární a na čase explctně nezávslé transformac která by odstranla operátory které vážou velké komponenty s malým Platí U = exp S S = S S = t S ψ ψ = exp ħ ψ = exp S H ψ = exp S H exp S ψ = H ψ t Velké a malé komponenty spojuje operátor cα p Uhádneme tedy poměrně snadno potřebný tvar Ŝ 7

18 p θ 65 sn exp S = exp β α p θ = cos p θ β α p p θ = θ p Pro transformovaný hamltonán dostáváme exp H = exp S H S = p θ cos cα p β m c exp β α p θ p θ p θ sn sn cos cos p θ β α p cα p β m c p θ β α p = p p cα p β m c sn p θ β α p p = = sn c p cos p p θ α θ m c p θ p θ sn cos β m c p p m c 66 Položíme-l teď dostáváme výsledný hamltonán tan p p θ = m c 67 H = β m c p c Rovnce částce v elektromagnetckém pol Hamltonán v tomto případě je H = cα p e β m c eφ = β m c E O 69 kde E = eφ O = cα p e 6 Platí β O = O β β E = E β 6 8

19 Uvažujme opět o takové untární ale teď už možná na čase závslé transformac která by odstranla lché operátory které vážou velké komponenty s malým a ponechala jen operátory sudé Pro ψ exp S = ψ dostáváme U = exp S S = S 6 odkud pak ħ exp S ψ = exp S ħ ψ ħ exp S ψ = t t t H ψ = H exp S ψ 63 ħ ψ = H ψ H = exp S H ħ exp S 64 t t Mějme výraz chápaný jako funkce parametru λ který pak položíme roven jedné Dervováním 65 dostáváme n n exp exp λ F F λ = B λ B λ = n n = n! λ 65 λ = F λ λ = B = 66 n F n λ λ = n = B B B takže ponecháme-l v rozvoj pouze členy do třetího řádu nebo čtvrtého násobí-l člen kldovou energ v Ŝ dostáváme H = H S H S S H S 6 S S H m c ħ ɺ ħ S S S S β S S S S ɺ ɺ S S ħ Ponecháme-l v 67 jen členy nejnžšího řádu máme H m c E O m c S 68 = β β 9

20 Tento tvar vede k tomu že zkusíme zvolt S m c β 69 S označením matce spnu ta je stejná ve spnorové standardní representac σ Σ = σ 6 máme po delších výpočtech výsledný hamltonán ve tvaru 4 H β = mc p e p 3 eφ m 8m c e ħ e ħ e ħ e ħ Σ B Σ E p Σ E E m 4m c 8m c 8m c 6 Pro rotačně souměrné pole máme E r dv r r = d r r 6 a příslušný člen nabude tvaru e ħ e ħ dv r Σ E p = Σ L L = r p 4m c 4m c r d r 63 kterým popsujeme spn - orbtální nterakc Poslední člen se nazývá Darwnův jeho vznk se dá se chápat jako rozmazání energe Coulombova působení V V j ħ V r δ r V r δ x δ x δ x V j x x x 6 mc 64 Schéma nejnžších hladn je na obrázku:

21 S / Lambův posuv S / P 3/ P / Hyperjemné = spnová nterakce s jádrem Jemné = spn - orbtální nterakce 7 Rozptyl elektronu na jádře Budeme počítat rozptyl elektronu na nekonečně těžkém jádře náboje Ze Volba souřadné soustavy je velm důležtá pro zjednodušení výpočtu Impuls elektronu před rozptylem ať je ve směru osy x mpuls elektronu po rozptylu ať leží v rovně x-y značíme γ γ γ t p p = E c p t E x t E x y p = γ γ p x p = γ γ px γ p y c c 7 Čtyřvektor potencálu je φ Z e Z e t = = = = γ c 4π ε c r 4π ε c r 7 Přpomeňme Dracovu rovnc p e m c ψ = p = ħ 73

22 Počáteční a koncový stav je pokud píšeme obvykle vynechávaný normovací faktor p x p x ħ ħ x ψ = u e x ψ = u e 74 E V E V mpltuda pravděpodobnost přechodu je ψ t T u p r 3 γ u Z e p r E t E t ħ ħ ħ ħ H ψ = e e d r e e d t ħ E E V 4π ε r nt 75 Pro ntegrály máme vyjádření E E sn T T E E 3 4 p r p r E t E t T π ħ e e d r e e d t ħ ħ ħ ħ ħ ħ = = e r p E p E ħ 76 První ntegrál počítáme jako π π qr cosϑ λ r 4π λ r lm d ϕ d ϑ snϑ d r r e lm d r sn q r e λ q λ π = = 4π 4π lm = λ q q λ 77 Pro pravděpodobnost přechodu za jednotku času w = lm ψ Hnt ψ = T T E E t sn T u γ u Z e ħ lm ħ 4 ħ E T E V ε T p p E E T ħ 78 Jedním z vyjádření Dracovy delta funkce je δ x Využtím 79 upravíme vztah 78 na xt sn = lm 79 T π x T

23 t π u γ u Z e ħ w = δ E E ħ 4 E E V ε p p 7 4 Hustota stavů v okolí koncového stavu stav je E = p c m c 3 V d p V E p 3 3 d ρ = = d Ω d E c π ħ π ħ 7 a tak můžeme psát platí p = p V d Ω p t Z e d w = 3 w E p d E = u γ u d Ω π c E V ħ 4π ε p p 7 Poněvadž v = E p máme pro hustotu toku částc výraz j v V p c E V = = 73 a pro dferencální účnný průřez pak t Z e γ π ε q θ d σ = u u d Ω q = p p = 4 p sn 4 74 Nyní zvolme bspnory jako Platí E mc E m c E mc E mc c px py 75 c px py u p = u p = θ E mc p c e v = = t γ E m c θ u u 4 E sn c 76 Obdobně spočteme další výrazy takže máme 3

24 t v θ t u γ u = 4 E sn u γ u = c t t v θ u γ u = u γ u = 4 E sn c 77 Pro dferencální účnný průřez rozptylu je tedy konečný výraz θ rel = Ruth Ruth = E c 4π ε m v mc v Z e d Ω d σ sn d σ d σ θ 4 sn 78 8 Invarantní účnný průřez Mějme dva svazky částc které se srážejí Počítejme v kldové soustavě částce počet srážek v objemu d V za čas d t dν = n σ v d t n d V dν = n n d t dv 8 rel kde v rel je velkost rychlost částce v kldové soustavě částce n a n jsou hustoty částc a konečně σ je účnný průřez Velčny dν a d t d V jsou nvaranty musí tedy být nvarantem také velčna n n přčemž musí v kldové soustavě jedné z částc přejít na vrel σ Máme n ε n d V = n d V n = = n v c m c 8 a tedy ε ε = = = n n nv εε nv nv p p 83 kde skalární součn označujeme jako p p = p p V kldové soustavě částce je ε ε ε = vrel σ p = = mc p = p p = nv = v rel σ c c c 84 4

25 a dále m c v m m c p p = m c = rel vrel c c p p 85 Spojením vztahů dostáváme dν c d w = = cσ n n p p m m c d V 86 d t ε ε Účnný průřez dostaneme tedy z pravděpodobnost přechodu za jednotku času p p m m c d w σ = J = n J n d V ε ε 87 V těžšťové soustavě je p = p = p a tedy p v v j = = V ε ε V 88 v souladu s obvyklou defncí hustoty toku 9 Spnová matce hustoty Spnory vyhovují řeštelným determnant je roven nule soustavám algebrackých rovnc Normujeme je tak aby platlo Ve standardní representac máme p m u p p m u p = = 9 u p u p = m u p u p = m 9 5

26 ε m w p ε m nσ w p u p = u p = ε m nσ w p ε m w p n = p w p w p = w p w p = p 93 Pro relatvstcky sdružené výrazy pak ε σ ε = ε ε σ u p m w p m w p n = u p m w p n m w p 94 V těchto výrazech jsou w p a w p lbovolné normované dvoukomponentové velčny Uvedené volnost můžeme užít pro vhodnou volbu vlnové funkce Možnou volbou je například σ = σ = * σ = w p = w p = σ y w p = σ = σ = * σ = w p = w p = σ y w p = 95 Platí Pro bspnory pak máme w p w p = w p w p = σ σ 96 σ σ σ σ σ σ σ u p u p p m u p u p σ = = p m 97 σ Prvky spnové matce hustoty jsou v čstém stavu trvální výrazy σ p u p u p ρ = 98 B B Poněkud odlšně oprot běžné matc hustoty zde stopa není rovna Tr{ ρ p } = u p u p = u p u p = m 99 6

27 Ze 98 je zřejmé že matce hustoty v čstém smíšeném stavu bude splňovat Dracovu rovnc p m ρ p ρ p p m = = 9 V čstém stavu spočteme střední hodnotu spnu podle vztahu ψ ψ γ 4ε 4ε s = * d 3 u * p Σ u p = u p Σ u p 9 a odpovídající výraz pro stav částečné polarzace je pak s = u p γ Σ ub p = 4ε B B { } ρ p γ Σ = ρ p γ γ 4ε 4ε { } 5 Tr Tr 9 Polarzační vektor v kldové soustavě označme ζ = s platí tedy pro čstý stav ζ = pro smíšený stav ζ < Čtyřvektory mpulsu a spnu v kldové soustavě jsou p = m a a = ζ a v lbovolné nercální souřadné soustavě tedy musí platt p p m a a ζ p a = = = 93 Lorentzova transformace do laboratorní soustavy dává a ζ ζ p p p = a = ζ m m m ε 94 Matce hustoty pro nepolarzovaný svazek bude mít tvar musí obsahovat pouze mpuls jako jednou charakterstku a splňovat dané rovnce ρ n p = p m 95 Pro obecný smíšený stav bude mít tvar 7

28 ɶ 96 ɶ ρ p = p m ρ a p m 4 m ɶ ρ a = = Přpomeňme s že platí p m m p m = Matce ρɶ a má na čtyřvektoru a závset 5 lneárně Napšme tedy ρ = γ a a Konstantní matc určíme výpočtem střední hodnoty spnu v kldové soustavě m 5 m 5 p = = ρ 4 γ γ γ ζ γ γ γ γ ζ ζ = 5 s = Tr{ ρ p γ γ } = Tr{ γ ζ γ } = ζ m 4 97 a musí být tedy = Protože je a p = p antkomutuje s a a komutuje s γ 5 a Výraz pro spnovou matc hustoty lze přepsat do konečného tvaru ρ = 98 5 p p m γ a Vektor spnové polarzace lze naopak z matce hustoty spočítat pomocí vztahu a Tr 5 = { ρ p γ γ } 99 m Obdobně by bylo možné odvodt obecný vztah pro spnovou matc hustoty postronů 5 ρ p = p m γ a 9 Spnové středování Máme-l ve Feynmanově dagramu jen jednu fermonovou čáru rozptyl na vnějším pol Comptonův rozptyl anhlace nebo kreace páru můžeme použít následujícího způsobu spnového středování středování přes počáteční spnové stavy a součtu přes koncové spnové 8

29 stavy pro rozptyl středování přes spnové stavy elektronu a postronu př anhlac nebo kreac Matcový element M f je ve zmíněných případech možno zapsat jako M = u Q u = u Qu f f B B f B Potom máme B C D E * * * * * M = f u f QB u B = u f C γ C QB u = B B B C u γ γ Q γ u = u Q u * B B D D E B C f C f kde jsme využl vlastností γ γ = γ = γ a označl Q = γ Q γ Můžeme teď psát { } M = u Qu u Q u = Tr u u Qu u Q 3 f f f f f Takže máme Tr Tr Tr Tr { ρ f p Q ρ p Q} ρ p Q ρ p Q { f } { ρ f p Q ρ p Q} { ρ f p Q ρ p Q} rozptyl elektronů na vnějším potencále Comptonův rozptyl anhlace páru kreace páru 4 9

Poznámky k přednášce o grupách

Poznámky k přednášce o grupách Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Poznámky k přednášce o grupách Defnce a příklady grup Příklad : Cyklcká grupa o čtyřech prvcích Příklad : Grupy matc Příklad : Grupa O(n) 4 Příklad 4: Grupa U(n) 4 5 Příklad

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Lambertův-Beerův zákon

Lambertův-Beerův zákon Lambertův-Beerův zákon Intenzta záření po průchodu kavtou se vzorkem: Integrovaný absorpční koecent: I nal = I ntal e ε c L A = ε ( ~ ν ) d~ ν Bezjednotková včna síla osclátoru: v cm -1 = 4.3 10 9 A Síla

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá

Více

Maticová exponenciála a jiné maticové funkce

Maticová exponenciála a jiné maticové funkce Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě

Více

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)

Více

Odraz a lom rovinné monochromatické vlny na rovinném rozhraní dvou izotropních prostředí

Odraz a lom rovinné monochromatické vlny na rovinném rozhraní dvou izotropních prostředí Odraz a lom rovnné monochromatcké vlny na rovnném rozhraní dvou zotropních prostředí Doplňující předpoklady: prostředí č.1, ze kterého vlna dopadá na rozhraní neabsorbuje (má r r reálný ndex lomu), obě

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Relativistická kinematika

Relativistická kinematika Relativistická kinematika 1 Formalismus čtyřhybnosti Pro řešení relativistických kinematických úloh lze často s výhodou použít formalismus čtyřhybnosti. Čtyřhybnost je čtyřvektor, který v sobě zahrnuje

Více

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část)

KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V první kaptole jsme se senáml s algebrackým tvarem komplexního čísla. Některé výpočty s komplexním čísly je však lépe provádět ve tvaru gonometrckém. Pon. V následujícím textu

Více

Sdílení tepla. Úvod - Přehled. Sdílení tepla mezi termodynamickou soustavou a okolím je podmíněno rozdílností teplot soustavy T.

Sdílení tepla. Úvod - Přehled. Sdílení tepla mezi termodynamickou soustavou a okolím je podmíněno rozdílností teplot soustavy T. 7.4.0 Úvod - Přehled Sdílení tepla Sdílení tepla mez termodynamckou soustavou a okolím je podmíněno rozdílností teplot soustavy T s a okolí T o. Teplo mez soustavou a okolím se sdílí třem základním způsoby:

Více

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC 25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc

Více

Vlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy

Vlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných

Více

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má

Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět SMR Pavel Padevět Oganzace předmětu Přednášející Pavel Padevět, K 3, D 09 e-mal: pavel.padevet@fsv.cvut.cz Infomace k předmětu: https://mech.fsv.cvut.cz/student SMR Heslo: odné číslo bez lomítka (případně

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

ÚVOD DO KVANTOVÉ CHEMIE

ÚVOD DO KVANTOVÉ CHEMIE ÚVOD DO KVANTOVÉ CHEME. Navození kvantové mechanky Postuláty kvantové mechanky, základy operátorové algebry, navození kvantové mechanky, jednoduché modely.. Vodíkový atom 3. Základní aproxmace používané

Více

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

Hartreeho-Fockova metoda (HF)

Hartreeho-Fockova metoda (HF) Staonární Shrödngerova rovne H Ψ = EΨ Metoda konfgurační nterake Metoda vázanýh klastrů Poruhová teore Zahrnutí el. korelae Bornova-Oppenhemerova aproxmae Model nezávslýh elektronů Vlnová funke ve tvaru

Více

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model

Elementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle

Více

Elektrárny A1M15ENY. přednáška č. 5. Jan Špetlík. Katedra elektroenergetiky, Fakulta elektrotechniky ČVUT, Technická 2, Praha 6

Elektrárny A1M15ENY. přednáška č. 5. Jan Špetlík. Katedra elektroenergetiky, Fakulta elektrotechniky ČVUT, Technická 2, Praha 6 Elektrárny AM5ENY přednáška č 5 Jan Špetlík spetlj@felcvutcz -v předmětu emalu ENY Katedra elektroenergetky, Fakulta elektrotechnky ČVUT, Techncká 2, 66 27 Praha 6 Nárazový proud bude: F κ 2 I,7 225 59,9

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

Statika soustavy těles v rovině

Statika soustavy těles v rovině Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Dr. Petr Jizba. I. Relativistická QM a dráhové integrály. Ia. Bezspinová částice a bosonová struna

Dr. Petr Jizba. I. Relativistická QM a dráhové integrály. Ia. Bezspinová částice a bosonová struna Příklady k předmětu Metody Funkconálního Integrálu Dr Petr Jzba I Relatvstcká QM a dráhové ntegrály Ia Bezspnová částce a bosonová struna Příklad 1: Dokažte, že na úrovn pohybových rovnc jsou následující

Více

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:

Hamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli: Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

9 PŘEDNÁŠKA 9: Heisenbergovy relace neurčitosti, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku.

9 PŘEDNÁŠKA 9: Heisenbergovy relace neurčitosti, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku. 9 PŘEDNÁŠKA 9: Hesenbergovy relace neurčtost, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku. Hesenbergovy relace neurčtost(tnqu.5., SKM) Jednoduchý pohled na věc: Vždy exstuje určtá

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI

CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI Stojící povrch, Pohybující se povrch Příklad č. 1: Vodorovný volný proud vody čtvercového průřezu o straně 25 cm dopadá kolmo na rovinnou desku. Určete velikost

Více

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os

Více

1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.

1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o. . Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

11 Kvantová teorie molekul

11 Kvantová teorie molekul 11 Kvantová teore molekul Pops molekul v rámc kvantové teore je ústředním tématem kvantové cheme. Na rozdíl od atomů nejsou molekuly centrálně symetrcké, což výpočty jejch vlastností komplkuje. V důsledku

Více

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015 Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Atom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =

Atom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e = Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program

Více

Fyzika na malých rozměrech

Fyzika na malých rozměrech Fyzka na malých rozměrech Mění se klascká fyzka př zmenšování? Mění! mění se poměr mez povrchem a objemem vlv povrchového napětí vody pevnost materálů Budeme zmenšovat ještě víc! ZS 6/7 Fyzkální obraz

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích

15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 1 15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 151 Definice hypersférických souřadnic r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ v E N Hypersférické souřadnice souvisejí s kartézskými souřadnicemi

Více

SPINORY A MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS

SPINORY A MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS Spinory a Minkowského prostoročas 1 SPINORY A MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS Michael Krbek Obsah 1. Lineární a antilineární zobrazení 1 2. Komplexní sdružení a reálné formy 3 3. Struktury na tenzorových součinech

Více

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je: Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat

Více

Parametrické rovnice křivky

Parametrické rovnice křivky Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice

Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice Zadání 1. Určete infinitezimální generátor Lorentzovy transformace X = ξ x x, t) + ξt x, t) 1). Řešením systému obyčejných diferenciálních rovnic

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Příklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx

Příklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx 1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f

Více

Molekulová vibrace dvojatomové molekuly. Disociační křivka dvojatomové molekuly

Molekulová vibrace dvojatomové molekuly. Disociační křivka dvojatomové molekuly Molekulová vbrace dvojatomové molekuly Dsocační křvka dvojatomové molekuly x Potencální energe, E Repulsvní síly x Přtažlvé síly síly x Pro malé odchylky [(x-x ) ] možno aproxmovat parabolou, jak plyne

Více

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární

Více

Spinový moment hybnosti /magnetický moment, interakce s magnetickým polem

Spinový moment hybnosti /magnetický moment, interakce s magnetickým polem Spnový oent hybnost /anetcký oent, nterakce s anetcký pole Velkost jednoho elektronového spnu: Velkost jednoho jaderného spnu: s s( s ) 3 ( ) Sudé Sudé Z 0 Sudé Lché Z... apř: He, C, 6 O celočíselné apř:

Více

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...) . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou

Více

Řešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e

Řešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e 8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Lehký úvod do kvantové teorie II

Lehký úvod do kvantové teorie II 1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Úvod do kvantového počítání

Úvod do kvantového počítání 2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více