Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy"

Transkript

1 Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = P(A) = Naejvýš l kostek: m... maximum A = [m l], [m = l] = [m l] \ [m l ], P(A) = ( l 6 )4 Úloha: Jaká je pravděpodobost, že ve skupiě lidí existuje dvojice s arozeiami ve stejý de? (rok = 365 dí) Řešeí: Jev A Ω Ω \ A = A C doplňkový jev A Zde je sazší zjistit P(A C ) = P(A). Ω = 365, A = 365! (365 )!, P(AC ) = ! Úloha: Mějme N jediců {,..., N}. Z ich vybíráme : {s,..., s }. Jaká je pravděpodobost, že bude vybrá i-tý jediec? Řešeí: Ω = ( ) N = N! (N )!!, (365 )! A = ( ) N (, P(A) = N ) = ( N ) N Jaká je pravděpodobost, že budou vybrái oba i-tý a j-tý jediec? Řešeí: Ω = ( ) N, Ai j = ( ) N Jaká je pravděpodobost, že bude vybrá i-tý ebo j-tý jediec? Řešeí: A i j = A i A j, P(A i j ) = P(A i A j ) = P(A i ) + P(A j ) P(A i j ) Pojem: Maxwellovo schéma. Máme r rozlišitelých prvků, přihrádek. r/ λ; p k = λk k! e λ Cviˇceí 7..9 Úloha: Mějme obec o r = 5 lidech, = 365 dí v roce. λ = Jaká je pravděpodobost, že dva lidé mají arozeiy ve stejý de? Řešeí: p.5

2 Úloha: B i = i-tá přihrádka je prázdá. Řešeí: P( B i ) = i= P(B i ) P(B i B j ) + P(B i B j B k )... + ( ) + P( B i ) i= i j i j k i= P(B i ) = ( )r... (všechy ostatí možosti kromě B i) r (všechy možosti) ; P(B i B j ) = ( )r (ostatí kromě B i,b j ) r (všechy možosti) P( i B i ) = ( )r ( ) r ( ) r + ( ) r 3 ( 3) r... r Pojem: Bose-Eistei Máme r erozlišitelých prvků, přihrádek. (s,..., s r ), s i {,..., } jsou prvky, (t,..., t ), i= t i = r jsou přihrádky. Úloha: Kolika způsoby lze rozdělit prvky a příčky? } {{ } přihrádek příček Řešeí: ( ) ( ) r + r + = r } {{ } = Ω symetrie kombiačích čísel Pravděpodobost, že v přihrádce je k prvků. Řešeí: p k = (r k+ ) r k ) ( r+ r ostatí ež k prvků možosti Pravděpodobost, že eexistuje prázdá přihrádka = p (za předpokladu r ). Řešeí: p = ((r )+ ) ( r+ ) Pojem: Geometrická pravděpodobost. Obrázek P(A) = U(A) Y(Ω) v každé přihrádce alespoň jede prvek zbývá r prvků všechy možosti Úloha: Mějme přístav, každý de připlují dvě lodi v áhodý čas, jeda setrvá hodiu, druhá dvě hodiy. Jaká je pravděpodobost, že se ebudou blokovat? Řešeí: Obrázek p blok = ( +3 ) eblokováí 4 všechy časy p A = p blok Úloha: x, y [, ], chceme pravděpodobost { x+y< x y<.9 Řešeí: Obrázky S + S + S 3 =. y = x; y = 9 x P(A) = S =. +.O9 l x dx = 9 [l x]..9 S = 9 l 9 Pojem: Podmíěá pravděpodobost. A P(A); B P(A B) = P(A B) P(B)

3 Příklad: P(A) =.5, P(B) =.3. Pak P(B A C ) =.3.5 =.6 Pojem: Úplý systém jevů. Necht (A i ) i=, i j : A i A j =, i= A i = Ω, P(A i ) >, pak P(B) = i= P(B A i ) P(A i ) Úloha: Semifiále: P(K > F) =.7, P( > R) =.55, fiále: P( > K) =.6, P( > F) =.75. Opakováí: Jevy A, B jsou ezávislé, pokud P(A B) = P(A) P(B) P(B A) = P(A B) P(A) }{{} = = P(B) ez. (A i ) i= ezávislé ( j,..., j ) : P( k= A jk ) = k= P(A jk ) Úloha: Mějme ezávislé jevy A, B, C tž. P(A) = P(B) = P(C) =.. Chceme P(A B C) Cviˇceí 4..9 Řešeí: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) = Úloha: Mějme lovce A, B, C, kteří zároveň vystřelí a kace k. Pravděpodobosti zásahu jsou P(A) =., P(B) =.4, P(C) =.6. Jaká je pravděpodobost zásahu k jedotlivými lovci právě jedou kulkou? Řešeí: P(lovec []) ejdříve potřebujeme P([]) = P(A B C C C ) + P(A C B C C ) + P(A C + B C + C) = P(A) P(B C ) P(C C ) + P(A C ) P(B) P(C C ) + P(A C ) P(B C ) P(C) P(A []) = P(A []) P([]) = P(A B C C C ) = P(A) P(B C ) P(C C ), etc. Opakováí: Bayesova věta. Mějme (A i ) i=, P(A i) >, B, P(B) >. Pak P(A j B) = P(B A j) P(A j ) i= P(B A i ) /(A i ). Úloha: Mějme třídu, kde je P(C C ) = 3% dívek a P(C) = 7% chlapců. Víme, že P(D C C ) = 8% dívek a P(D C) = % chlapců má dlouhé vlasy. Když áhodě vybereme žáka s dlouhými vlasy, jaká je pravděpodobost P(C C D), že půjde o dívku? Řešeí: P(C C D) = P(D C C ) P(C C ) P(D C C ) P(C C )+P(D C) P(C) Úloha: V populaci se vyskytuje emoc D. Pravděpodobost pozitivího výsledku u emocého člověka (sezitivita) je P(+ D) =.999, u zdravého člověka je P(+ D C ) =. (a tedy P( D C ) =.99). Nemocí trpí setia populace, P(D) =.. Chceme zát pravděpodobost akažeí při pozitivím testu P(D +). Řešeí: P(D +) = P(+ D) P(D) P(+ D) P(D)+P(+ D C ) P(D C )=.5 Pojem: Náhodá veličia. Biomické rozděleí Bi(, p). Máme pokusů a úspěch astae s pravděpodobostí p. X počet úspěchů v pokusech B i (, p) P(X = k) = ( ) k pk ( p) k x... k= p k = ( ) k= k pk ( p) k = (p + p) = Úloha: X Bi(4, 3 ), Y = (X ). Určit rozděleí veličiy Y a spočítat její středí hodotu. 3

4 Řešeí: Obecě E[Z] = k= k P(Z = k). X : 34 Y : 44 q = P(Y = ) = p ; q = p + p 3 ; q 4 = p + p 4 Část chybí! p = ( p) 4 = ( p) 4 ; p = 4 p( p) 3 ; p 3 = 6 p ( p) Úloha: X Bi(, p), chceme E[X] = k= k P(X = k) = k = k ( k) pk ( p) k = p l = k l= (l + )! ( (l+))! (l)! pl+ ( p) l = p l= aebo: Bi(, p) Alt(p) Část chybí! Úloha: Viz. foto z tabule - doplit! ( l ) { }} { Pojem: Geometrické rozděleí. Udává počet eúspěchů před prvím úspěchem. X Ge(p); q = p; p k = P(X = k) = q k p ( )! ( l)! l! pl ( p) l = (p + ( p)) Úloha: a, x N, máme a eúspěchů a chceme zát pravděpodobost, že bude x dalších. Řešeí: P(X a + x x a) = P(X a+x X a) P(X a) = P(X a+x) P(X a) = qa+x q a = q x = P(X x) Vlastosti geometrického rozděleí. Vytvořující fukce f (s) = k= p k s k f (s) = k= k p k s k = E[X]. f (s) = k= k (k ) p k s k ; f () = k= k (k ) p k = E[X(X )] E[X ] = E[X(X )] + E[X] = f () + f () var[x] Úloha: Vytvořující fukce pro Ge(p) Řešeí: f (s) = k= q k p s k = p k= (q s) k f (s) = p q s = p ( q s) f (s) = p q Postup: Obecě, E[X] = { E[X] = f () = E[g(X)] = { p q ( q) = p q x dfx (x) spojitý případ i=... x i P(X=x i ) diskrétí případ g(x) f (x) dx i= g(x i ) P(X=x i ) Úloha: Viz předchozí, rozptyl. Řešeí: f (s) = p q ( q s) 3 f () = p q = q = E[X(X )] p 3 p E[X ] = q + q p p var[x] = f () + f () ( f ()) = E[X ] E[X] q p + q p q p = q +q p p = q (q+p) p = q p ( q s) Cviˇceí..9 4

5 Pojem: Poissoovo rozděleí. X Po(λ); p k = P(X = k) = λk k! e λ, k =,,... Úloha: E[X] Poissoova rozděleí. Řešeí: f (s) = λ k k= k! e λ s k = (λ s) k k= k! e λ f (s) = λ e λ (s ) f () = E[X] = λ = e λ s λ = e λ (s ) Úloha: Máme N = 4 koulí, z toho M = 8 bílých, vytáheme = 5 koulí a chceme zát rozděleí: X = # bílých. Koule vždy vracíme, pokusy jsou ezávislé. Řešeí: Počet úspěchů v ezávislých pokusech biomické rozděleí X Bi(, p), přičemž p = P(bílá) = M N. Pokud koule vracíme, pokusy a sobě závisí. Řešeí: P(Y = k) = k zbylých vybíráme z M zbylé evybraé {}}{ ( ) ({ }} {) M N M k ( ) k, přičemž předpokládáme k M. N }{{} možosti Hypergeometrické rozděleí. Úloha: Máme dva čtyřstěy se stěami O,,, 3, X = # bodů, které padou. Distribučí fukce. Řešeí: Obrázek. Pojem: R(, ) budiž rovoměré rozděleí a itervalu [, ]. Pozámky: F(x) = x f (z) dz; F F( ) = P(X ) = ; P(a < X b) = F(b) F(a) = b a R (x) = f (x) f (x) d(x) = f (x) dx E[X] = x f (x) dx f (x) = I[, ]... I[, ] dz = dz E[X ] = x f (x) dx dz = x; x (, ) E[X ] = x dx = 3 var[x] = E[X ] E[X] = 3 ( ) = F(X) = x Úloha: Mějme R(a, b). Chceme, aby c = b a byla hustota. Řešeí: f (x) = { b a prox (a,b) jiak F(x) = x f (z) dz = x x a a b a dz = b a E[X] = a+b, var[x] = fuj Cviˇceí

6 Pojem: Spojitá rozděleí. (): X F : F(x) = P(X < x) = x f (t) dt F = f ; f je hustota, vždy se itegruje a. E[X] = x f (x) dx E[g(x)] = g(x) f (x) dx E[X ] = x f (x) dx var[x] = E[X E[X]] = E[X X E[X]+E[X] ] = E[X ] E[X] E[X]+E[X] = E[X ] E[X] (): X Exp(λ) f (x) = λ e λ x ; x F(x) = X = e y dy = e y [ e λ x ] x = e λ x E[X] = var[x] = λ } λ {{ e λ x } y=λ t; dy=λ dt x λ e λ x dx = [ X e λ x ] } {{ } e λ x λ λ dx = λ [ e t ] = λ Úloha: P(x [, )) = F() F() = e λ + e λ = e λ e λ Pojem: Fukce přežití je H = F(x) = P(X x) = e λ x Pozámka: P(X x + y x y) = P(X x) Úloha: Mějme X životost v letech, f (x) = c e 3 x, x >, = c e 3 x dx = c 3. Určete c. Řešeí: = c 3 c = 3 P(X ) Řešeí: P(X ) = P(X < ) = ( e } {{ } 3 ) = e 6 F() Pojem: Normálí rozděleí. X N(, ) f (x) = e x, x R π Φ(x) = x e t dt π Y = a + b X Y N(a, b ) N(µ, σ ) f (x) = π σ Obrázek. Příklad: N(µ, ) (x µ) e σ E[X] = x π e (x µ) dx = + µ e (x µ) } π {{ } = } {{ } =µ dx =... }{{} x+=(x µ)+µ; x µ=y z=y ; dz= y dy (x µ) e (x µ) dx + π y y e dy Příklad: X N(, ); P( X < ) = P( < X < ) = Φ() Φ( ) 6

7 Příklad: Z N(, 4) σ N(, ) P(Z (, )) = P(Z < ) = P( Z < ) = P(N < ) = Φ( ) Příklad: < Z < (Z µ) P( < Z < ) = Φ( ) Φ( ) Pozámka: Φ( x) = Φ(x); Φ( x) + Φ(x) = Příklad: X N(µ, σ); E[ X µ ] = π σ Úloha: X R(, ), f = : x [,] : x [,]. Chceme objem E[X3 ]. Řešeí: E[g(x)] = g(x) f (x) dx E[X 3 ] = x3 dx = 4 [x4 ] = 4 = 5 Cviˇceí..9 Defiice: Náhodé veličiy X,..., X jsou avzájem ezávislé, když jejich sdružeá distribučí fukce F X (x) = P(X x,..., X x ) =Nekozistetí zápis. Pozámka: Učebicová defiice je ekvivaletí. Úloha: Mějme X,..., X se stejou distribučí fukcí F. Y = mi{x,..., X }, Z = max{x,..., X }. Chceme zát F Y, F Z. Řešeí: F Z (z) = P(Z z) = P(X z,..., X z) = F(z). F Y (y) = P(Y y) = P(Y > y) = ( F(y)). Úloha: T Exp(λ), λ >, f (t) = λ e λ t, f. Chceme zát pravděpodobost, že ejkratší doba zpracováí jedoho z pěti dotazů bude větší ež 3 sekud. Zpracováí jsou avzájem ezávislá. Spočítat středí hodotu a rozptyl. Řešeí: T i Exp(λ), i =,..., 5. P(mi(T,..., T 5 ) > 3 ) = (P(T > 3 ))5 = ( F( 3 ))5 = e 5 λ 3. Víme F(t) = e λ t, tedy E[T i ] = λ, var[t i] =. λ Chceme E[mi(T,..., T 5 )]. F mi (y) = e 5 t f mi (y) = F E[mi(T,..., T 5 )] = y f mi (y) dy, to je ovšem velmi pracé! Lepší je všimout si, že F mi (y) je distribučí fukce Exp(5 λ). Příklad: P(T a) =, určit a (= mediá) α (, ), α-kvatil. F(a) = α, je-li rostoucí, mootóí, prostá F (α). Pro espojitou F(x) defiujeme F (α) := if{x : F(x) α. e λ a = α a = log( α) α. P(T log(a λ) λ ) = α. Pozámka: Mediá je mohem lepší charakteristika ež průměr, eovliví jej tolik extrémí hodoty (typickým příkladem budiž tzv. průměrý plat). Téma: Rozděleí áhodých vektorů. X = (X,..., X ), položky vektoru mohou být avzájem závislé. E[X] = ( E[X ]... ). E[X ] 7

8 E[X E[X]][X E[X]] T Σ matice, kde a pozici Σ i, j je E[X i E[X i ]][X j E[X j ]] = cov(x i, X j ) (a a diagoále máme tedy rozptyl). cov(x cor(x i, X j ) = i,x j ) var[xi ] var[x. j ] Pro ezávislé X, Y(X Y) platí E[XY] = E[X] E[Y] cov(x, Y) =, tedy také X Y cor(x, Y) = (ovšem eplatí ). cor(a X + b, X) =, cor(x, Y) [, ]. Normálí rozděleí: X N(, ) f (x) = e x, x R, Y = X π E[XY] = E[X] E[Y] = E[X 3 ] = (itegrál liché fukce) cov(x, Y) = E[XY] E[X] E[Y] = cor(x, Y) =, ale závislé jevy! Příklad: P(X = x i ) = p i diskrétí rozděleí. P(X = x i,..., X = x i ) = p i, i p i =. X X = (. ) f (x,..., x ) P(X }{{} B ) = B f (x,..., x ) dx... dx. X iterval f (x, x ) = F x x. X X f (x, x ) = f X (x ) f X (x ). F(x, y) = x y f (a, b) da db. Příklad: Diskrétí ( Y X). Y\ X 3 P X P Y. X Y? Ověřit defiici, chceme P(X = a, Y = b) = P(X = a) P(Y = b), ale P(X =, Y = ) P(X = ) P(Y = O), SPOR.. cov(x, Y), potřebujeme tučě vyzačeé psti: E[XY] = = 7 3, E[X] = E[Y] = = 3 cov(x, Y) = 7 3 ( 3 ) =... Úloha: Jsou e X+Y a e X Y ezávislé? Řešeí: e emá vliv, stačí ověřit X + Y X Y tabulka pravděpodobostí... Cviˇceí 8..9 Úloha: X N(, 4), chceme P( X < 3). Řešeí: 3 < X < 3 3 < X P( < Z < ) = Φ() Φ( ). Pozámka: platí Φ( a) = Φ(a). }{{} Z N(,) < 3. Věta: Mějme (X i ) i ezávislé, stejé rozděleí, E[X ] = µ, var[x ] = σ k= X. Pak P( k µ < x) σ Φ(x) 8

9 Pozámky: (X µ), X σ = k= X k P( X µ < x) Φ(x) σ Úloha: Jede zákazík zabere T Exp() sekud, máme = 36 zákazíků T,..., T 3 6. Jaká je pravděpodobost, že zaberou dohromady méě ež? Řešeí: X = 3 i= 6T i P(X < )? f (x) = { λ e λ x : x> : x. E[X] = x f (x) dx = x }{{} G [ λ e λ x ] = + λ = λ. µ = E[T ] =, σ = var[t ] = 4. P(X < ) = P( 3 i= 6T i < ) = P( λ } {{ e λ x } f i T i 36 3 } {{ } X dx = [ x e λ x ] + e λ x dx = [ x e λ x ] < 36 3 } {{ } x ) Φ(x) = Φ( 3 ).75 Úloha: = krát házíme kostkou, chceme pravděpodobost, že součet hodů X = i= K i (3, 38). Řešeí: µ = E[K i ] = 3.5 E[X] = 35. σ = var[k i ] = E[Ki ] E[K i] = = 35. P(3 < X < 38) = P((X 35) < 3) = P( X < ) Φ( 3 35 ) Cviˇceí 5..9 Úloha: = lidí, ějaký z ich zemře s pravděpodobostí p =.. Pojisté čií a = 5kč a pojistka při úmrtí A = kč. S jakou pravděpodobostí bude mít pojišt ova ztrátu? Řešeí: Příjmy P = a, výdaje V = X A, X = i= X i. X i =, pokud i-tý člověk zemřel, jiak. X i Alt(p). Chceme zát P(V > P) = P(X A > a ) = P(X > a A }{{} y=5 ) = µ = E[X i ] = p, E[X ] = p σ = E[X ] E[X] = p p = p ( p) X Bi(, p) i= Alt(p) i. E[... ] = E[... ] = p a pokud jsou jevy, pak var[... ] = var[... ] = p ( p). i= X i p y p y p = P( > ) p ( p) p ( p) Φ( ).56 p ( p) Úloha: = hodů symetrickou micí (p =.5). Chceme zát pravděpodobost, že počet líců bude větší ež 4. Řešeí: P(X > 4), x = i= X i, X i Alt(.5), X Bi(, ). ) Φ( ) = Φ(). P( x µ σ > Úloha: Každé ráo a odpolede cesta metrem, čekáí až 3 miuty. Jaká je pravděpodobost, že během dů stráví cestující čekáím déle ež hodiu? Řešeí: X i U(, 3), X = 4 i= 4X i, chceme P(X > 6). E[X i ] = 3, E[X i ] = 3 x x3 3 dx = [ 9 ]3 = 3. var[x i ] = E[Xi ] E[X i] = 3 ( 3 ) = 3 4. P(X > 6) = P( X > ) = Φ( 6 33 ) = Φ( 6 33 ) 9

10 Úloha: Hody micí, V četost líců, chceme P( V.5).95 Řešeí : Čebyševova erovost: Pro X, ɛ platí P( X E[X] > ɛ) var[x] (omezuje pravděpodobost, ɛ že se X odchyluje od své středí hodoty o více ež ɛ). Pozámka, P = E[I[ X E[X] > ɛ]] E[ X E[X] I[... ]] X E[X] = var[x]. ɛ ɛ ɛ P( V >.5) =.5. 4 (.5) Řešeí : Cetrálí i= limití věta. X V = i, E[V ] =, var[v ] = 4 = 4. P( V >.5).95.5 P(... )... P( V.5 ) = P( V. ) = Pozámky: Pro N N(, ): P( N < U) =.95 P(N < U) =.95)... 95%-kvatil Φ(U)... U-kvatil (Φ(U.95 ) =.95, Φ(U.975 ) =.975, P(N > U.975 ) =.5... Pozámka: Shrutí pro písemku. E[X] = x f (x) dx. E[X ] = x f (x) dx. var[x] = E[X E[X]] = E[X ] E[X]. Rovoměré rozděleí (R, U). Cetrálí limití věta. X,..., X (iid) F, Y = mi(x,..., X ), Z = max(... ), G(y) = P(Y < y), H(z) = P(Z < z) = P(max(... ) < z) = [F(z)]. Vlastosti f, F, etc.

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Klasická pravděpodobnost

Klasická pravděpodobnost NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I Klasická pavděpodobost 1. Házíme čtyřmi šestistěými hacími kostkami. Učete, jaká je pavděpodobost, že (a padou čtyři ůzá čísla, (b padou pouze lichá čísla,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:

Více

Entropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace

Entropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace Etroie, relativí etroie a sdíleá vazebí iformace Pojem iformace je říliš rozsáhlý a to, abchom jej komleě osali jedoduchou defiicí. Pro libovolou distribuci ravděodobosti můžeme defiovat tzv. etroii, jež

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Odhady Parametrů Lineární Regrese

Odhady Parametrů Lineární Regrese Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více