NEPARAMETRICKÉ METODY

Transkript

1 NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost veliči. Na rozdíl od parametricých metod, terými testujeme hypotézy o parametrech ormálího rozděleí a testovaé soubory musí splňovat přepolad ormality, eparametricé metody můžeme použít bez utosti splěí předpoladů ormality. Ta silý předpolad totiž při praticých apliacích ebývá často splě a proto je lepší zvolit ěterou eparametricou metodu, terá vycházejí z pořadí pozorovaých hodot v jejich vzestupém uspořádáí. Poud se ulová hypotéza týá mediáu rozděleí, eparametricé metody jsou velmi vhodé a dooce mají proti parametricým i řadu výhod.

2 Obecě vša platí, že tyto výhody jsou vyvážey evýhodou ve srováí s testy parametricými jsou eparametricé testy slabší, tz. že pravděpodobost zamítutí ulové hypotézy v situaci, dy eplatí, je meší. Proto by eparametricé testy měly být užíváy je tehdy, dyž předpolady pro parametricé testy splěy ejsou. Shrutí: Neparametricé testy můžeme použít i v případě, že ezáme rozložeí áhodé veličiy jsou uiverzálější. Ale mají meší statisticou účiost, tj. schopost rozpozat i malé odchyly od ulové hypotézy. Výpočetě jsou jedodušší a rychlejší. Obvyle vyžadují větší počet pozorováí ež parametricé.

3 JEDNOVÝBĚROVÝ ZNAMÉNKOVÝ (MEDIÁNOVÝ) TEST Nejjedodušším testem pro jede výběr je zaméový test:. uvažujme výběr ze spojitého rozděleí (emusí být symetricé). testujeme ulovou hypotézu, že mediá tohoto rozděleí x 0 proti jedostraé alterativě, že mediá tohoto rozděleí > x 0, de x 0 je předem daá hodota. Zaméový test je založe a pricipu sledováí proceta aměřeých hodot meších, ež hodota, se terou soubor porováváme. Test zjistí, zda se toto proceto statisticy výzamě liší od 50% - proto mediáový test. POSTUP:. Utvoříme rozdíly hodot veličiy X a daé hodoty x 0 : X x 0, X x 0,..., X x 0.. Náhodá veličia Z pa bude ozačovat počet těch rozdílů, teré mají ladé zaméo, tj. testovou statistiou Z je počet hodot, splňujících podmíu, že x i > x 0.

4 Tabula riticých hodot a pro zaméový test α 0,05 α 0,0 α 0,05 α 0,0 N N V případě malého rozsahu výběru (tj. pro malá ) jsou tabelováa čísla, ta, že α P( Z ), P( Z ) α Kriticé hodoty, je možé alézt v tabulce. Hypotézu H 0 tedy zamítáme, jestliže zjistíme, že Y ebo Y. Přílad a Zaméový test alezete v souboru 6a_prilad_eparametrice_testy.xlsx

5 ) ( p Z E Za předpoladu platosti hypotézy H 0 má áhodá velicia Z biomicé rozděleí, Z ~ Bi(, p), de hodota parametru p 0,5 (z defiice mediáu), je rozsah výběru. Při oboustraém testu tvoří riticý obor jeda příliš malé hodoty Z (tj. hodoty ležící blízo ule), jeda příliš velé hodoty Z (tj. hodoty blízé ). Pravděpodobost P(Z z) α lze spočítat jao z z z Z P ) ( Z vlastostí biomicého rozděleí můžeme určit za platosti ulové hypotézy středí hodotu a rozptyl testové statistiy 4 ) ( ) var( p p Z

6 Pro větší rozsahy výběru je možo použít aproximaci rozložeí testovací statistiy pomocí ormálího rozložeí. Náhodá veličia pa má přibližě ormovaé ormálí rozděleí N (0, ) Z Z U Platí to přibližě pro větší ež 0. 4 Zaméový test bývá velmi často užívá jao test párový, dy máme dva závislé výběry ze spojitých dat, tz. dvě pozorováí pro aždý objet a testujeme hypotézu, že mediáy obou veliči jsou shodé, většiou proti hypotéze, že mediá druhého výběru (měřeí) je větší (meší) ež prvího výběru (měřeí). Jedá se apř. o posouzeí, zda došlo e změě v čase apod. (sížeí váhy ebo jiých uazatelů po úpravě stravy, cvičeí, zlepšeí výou).

7 JEDNOVÝBĚROVÝ WILCOXONŮV TEST Wicoxoův test je silější ež zaméové (sáz odhalí statisticy výzamé rozdíly). Použijeme ho především v případech, dy rozsah výběru je malý a veličia emá ormálí rozděleí. Teto test pracuje s pořadím aměřeých hodot. Seřadíme bez ohledu a zaméo odchyly od "ormy" a budeme se ptát, zda se statisticy výzamě liší průměré pořadí odchyle v ladém a záporém smyslu. Postup:. vypočteme absolutí odchyly d i x i µ. seřadíme tyto odchyly podle veliosti a ozačíme r i pořadí hodot d i 3. R + R ozačíme součet všech hodot, pro terá je + r i a R - součet všech hodot, pro terá je R x i r i < µ x i µ

8 4. meší z obou hodot porováme s riticou hodotou Wilcoxoova testu 5. H0 zamítáme, poud je Z < tabelovaá riticá hodota Wilcoxoova testu Pro větší eí toto rozděleí tabelováo, proto vypočteme testovací statistiu W R 4 + ( + ) 4 ( + )( + ) a použijeme aproximaci rozložeí testovací statistiy ormálím rozložeím. Přílad a Wicoxoův test alezete v souboru prilady_eparametrice_testy.xlsx

9 DVOUVÝBĚROVÝ ZNAMÉNKOVÝ TEST eboli MEDIÁNOVÝ TEST Nejprve vypočteme mediá pozorováí z obou supi spojeých dohromady. Testovací statistia S je pa počet pozorováí z prvího výběru, terá jsou větší, ež společý mediá. Pro test využijeme to, že statistia S má hypergeometricé rozložeí. DVOUVÝBĚROVÝ WILCOXONŮV TEST Opět spojíme oba soubory a e aždému pozorováí vypočteme pořadí v tomto společém souboru. Sečteme všechy pořadová čísla pozorováí, terá byla v prvím souboru a ozačíme je R +.

10 Pro meší rozsahy výběrů porováme R + s riticými hodotami dvouvýběrového Wicoxoova testu Pro větší rozsahy použijeme aproximaci pomocí ormálího rozložeí ta, že vypočteme testovací statistiu W x R + y ( x x + y y + ), terá má ormálí rozděleí a pa stačí zjistit, zda W < u α Většia programů, teré v abízí teto test, vypočte i dosažeou hladiu výzamosti (p-hodotu).