Číselné charakteristiky náhodných veličin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Číselné charakteristiky náhodných veličin"

Transkript

1 Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí chováí áhodé veličiy. Číselé charakteristiky vystihují pouze ěkteré rysy tohoto chováí, apř. popisují polohu realizací áhodé veličiy a číselé ose či jejich promělivost (variabilitu). Jsou jedodušší ež číselé charakteristiky, ale esou je částečou iformaci. Podobě jako v popisé statistice volíme vhodou číselou charakteristiku podle toho, jakého typu je daá áhodá veličia - zda je ordiálí ebo itervalová či poměrová. Číselé charakteristiky zaků mají své teoretické protějšky v číselých charakteristikách áhodých veliči. Číselé charakteristiky spojité áhodé veličiy aspoň ordiálího typu Charakteristika polohy : α-kvatil Nechť je spojitá áhodá veličia aspoň ordiálího typu s distribučí fukcí Φ() a hustotou pravděpodobosti φ(). Nechť α (0, ). Číslo K α (), které splňuje podmíku α = Φ(K α ()) = K () ( )d, se azývá α-kvatil áhodé veličiy. K 0,50 () - mediá, K 0,5 () - dolí kvartil, K 0,75 () - horí kvartil, K 0,0 (),..., K 0,90 () -. až 9. decil, K 0,0 (),..., K 0,99 () -. až 99. percetil. Kterýkoliv α-kvatil je charakteristikou polohy číselých realizací áhodé veličiy a číselé ose. Charakteristika variability: kvartilová odchylka q = K 0,75 () - K 0,5 ().

2 Ilustrace Ozačeí pro kvatily speciálích rozložeí ~ N(0, ) K α () = u α, ~ χ () K α () = χ α(), ~ t() K α () = t α (), ~ F(, ) K α () = F α (, ). Tyto kvatily ajdeme ve statistických tabulkách. Používáme vztahy: u α = - u -α, t α () = - t -α (), F α (, ) = F (, ).

3 Výzam kvatilu u 0,5 = -0,6745 Výzam kvatilu χ 0,95(8) = 5,5073

4 Výzam kvatilu t 0,90 (5) =,4759 7,3 8,8867 Výzam kvatilu F 0,05 (3,7) = 0, 5 F 0,95

5 Příklad: Nechť U ~ N(0, ). Pomocí systému STATISTICA ajděte mediá a horí a dolí kvartil. Prví možost: Použijeme Pravděpodobostí kalkulátor. Do okéka průměr apíšeme 0, do okéka Sm. Odch. apíšeme, do okéka p apíšeme pro mediá 0,5, pro dolí kvartil 0,5 a pro horí kvartil 0,75. V okéku se objeví 0 pro mediá, -0,67449 pro dolí kvartil a 0,67449 pro horí kvartil. Ilustrace pro horí kvartil: Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,75 a hodota distribučí fukce v bodě 0,67449 je 0,75 (začeo šrafovaě). Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o třech proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa prví proměé apíšeme =VNormal(0,5;0;). Dostaeme 0. Do dlouhého jméa druhé proměé apíšeme =VNormal(0,5;0;). Dostaeme -0, Do dlouhého jméa třetí proměé apíšeme =VNormal(0,75;0;). Dostaeme 0,67449.

6 Příklad: Nechť ~ N(3, 5). Pomocí systému STATISTICA ajděte dolí kvartil. Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí Normálí. Do okéka průměr apíšeme 3, do okéka Sm. Odch. apíšeme,36, do okéka p apíšeme 0,5 a v okéku se objeví,498. Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa této proměé apíšeme =VNormal(0,5;3;sqrt(5)). Dostaeme, Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete χ 0,05(5). Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí Chi. Do okéka sv. apíšeme 5 a do okéka p apíšeme 0,05. V okéku Chi se objeví 3,97. Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa této proměé apíšeme =VChi(0,05;5). Dostaeme 3,97.

7 Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete t 0,99 (30) a t 0,05 (4). Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí t (Studetovo). Do okéka sv. apíšeme 5 (resp. 4) a do okéka p apíšeme 0,99 (resp. 0,05). V okéku t se objeví,4576 (resp. -,7630). Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa této proměé apíšeme =VStudet(0,99;30) (resp. VStudet(0,05;4)). Dostaeme 3,97 (resp. -,763). Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete F 0,975 (5, 0) a F 0,05 (, 0). Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí F (Fisherovo). Do okéka sv apíšeme 5 (resp. ), do okéka sv apíšeme 0 (resp. 0) a do okéka p apíšeme 0,975 (resp. 0,05). V okéku F se objeví 3,89056 (resp. 0,0556). Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a dvou případech Do dlouhého jméa prví proměé apíšeme =VF(0,975;5;0), do dlouhého jméa druhé proměé apíšeme =VF(0,05;;0).Dostaeme 3,89 (resp. 0,0556).

8 Číselé charakteristiky diskrétích a spojitých áhodých veliči aspoň itervalového typu Charakteristika polohy: středí hodota E() číslo, které charakterizuje polohu realizací áhodé veličiy a číselé ose s přihlédutím k jejich pravděpodobostem. Diskrétí případ: áhodá veličia má pravděpodobostí fukci π(). Středí hodota E, pokud je suma vpravo koečá. Fyzikálí výzam: středí hodota je těžiště soustavy hmotých bodů, jejichž celková hmotost je a bod o souřadici má hmotost π(). Spojitý případ: áhodá veličia má hustotu pravděpodobosti φ(). Středí hodota E d, pokud je itegrál vpravo koečý. Fyzikálí výzam: středí hodota je těžiště hmoté přímky, jejíž celková hmotost je a hmota je a přímce rozprostřea podle předpisu φ (). Cetrovaá áhodá veličia: Y = - E(). (Pro áhodou veličiu Y platí: E(Y) = 0.)

9 Středí hodota trasformovaé áhodé veličiy Y = g() E Y g g d - Středí hodota trasformovaé áhodé veličiy Y = g(, ) E Y g g,,,, d d

10 Charakteristika variability: rozptyl D() - číslo, které charakterizuje promělivost realizací áhodé veličiy kolem její středí hodoty s přihlédutím k jejich pravděpodobostem. Defiičí vzorec: D E E (rozptyl je středí hodota kvadrátu cetrovaé áhodé veličiy). Výpočetí vzorec: D - D Směrodatá odchylka - d - E d E (rozptyl je středí hodota kvadrátu míus kvadrát středích hodot). D - vyjadřuje průměrou variabilitu realizací áhodé veličiy kolem její středí hodoty. E Stadardizovaá áhodá veličia: Z D (Pro áhodou veličiu Z platí: E(Z) = 0, D(Z) =.)

11 Příklad a výpočet středí hodoty a rozptylu diskrétí áhodé veličiy: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů. Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobostí 0,8. Náhodá veličia udává počet zkoušeých přístrojů. Vypočtěte středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy. Řešeí: abývá hodot,, 3, 4 a její pravděpodobostí fukce je π() = P(=) = 0,, π() = P(=) = 0,8*0, = 0,6, π(3) = P(=3) = 0,64*0, = 0,8, π(4) = P(=4) = 0,5*0, + 0,64 = 0,5, π(0) = 0 jiak E() = *0, + *0,6 + 3*0,8 + 4*0,5 =,95 D() = *0, + *0,6 + 3 *0,8 + 4 *0,5,95 =,4697

12 Postup ve STATISTICE: Otevřeme ový datový soubor o dvou proměých a cetost a čtyřech případech. Do proměé apíšeme,, 3, 4, do proměé cetost apíšeme 00, 60, 8, 5. Statistiky Základí statistiky/tabulky Popisé statistiky OK zavedeme proměou vah cetost OK - Proměé OK Detailí výsledky - zaškrteme Průměr, Rozptyl Výpočet. Popisé statistiky (Tabulka) Proměá N platých Průměr Rozptyl 000,95000,4767 Rozptyl však musíme upravit, musíme ho přeásobit číslem 999/000. Do výstupí tabulky tedy přidáme za proměou Rozptyl ovou proměou a do jejího Dlouhého jméa apíšeme =v3*999/000 Popisé statistiky (Tabulka) Proměá N platých Průměr Rozptyl NProm 000,95000,4767,469696

13 Středí hodoty a rozptyly vybraých diskrétích a spojitých rozložeí ~ Dg(μ) E() = μ, D() = 0 ~ A( ) E() =, D() = (- ) ~ Bi(, ) E() =, D() = (- ) ~ Ge E, D M ~ Hg N,M, E, N ~ Po E, D ~ Rd G E, D a b E, D ~ Rs(a, b) E() = ~ E D, D() = M N b a M N N N ~ N(μ, σ ) E() = μ, D() = σ ~ E, D ~ t E 0 pro (pro středí hodota eeistuje), ~ F, E,,3,4 rozptyl eeistuje). pro 3 (pro, středí hodota eeistuje), D D pro 3 (pro, rozptyl eeistuje). 4 pro 5 (pro

14 Čebyševova erovost: Jestliže áhodá veličia má středí hodotu E() a rozptyl D(), pak t 0 : P E t D. t (Výzam: pokud ezáme rozložeí áhodé veličiy, ale záme její středí hodotu a rozptyl, pak můžeme odhadout pravděpodobost, s jakou se od své středí hodoty odchýlí o více ež t-ásobek své směrodaté odchylky.) Ilustrace:

15 Příklad: Nechť E() = μ, D() = σ. a) Odhaděte P 3. b) Jestliže ~ N(μ, σ ), vypočtěte P 3 Řešeí: ad a) P 3 0, (Teto výsledek je zám jako pravidlo 3σ a říká, že ejvýše,% realizací áhodé veličiy leží vě itervalu (μ - 3σ, μ + 3σ).) ad b) P 3 = P(-3σ μ 3σ) = P(-3 3) = Φ(3) + Φ(-3) = [ - Φ(3)] = = ( 0,99865) = 0,007. (Má-li áhodá veličia ormálí rozložeí, pak pouze 0,7% realizací leží vě itervalu (μ - 3σ, μ + 3σ).)

16 Charakteristika společé variability: kovariace C(, ) číslo, které charakterizuje variabilitu realizací dvou áhodých veliči, kolem jejich středích hodot s přihlédutím k pravděpodobostem těchto realizací. Defiičí vzorec: C, E E E (kovariace je středí hodota součiu cetrovaých áhodých veliči). C, E E E Výpočetí vzorec: středích hodot). (kovariace je středí hodota součiu míus souči C,,, - d d d d Výzam kovariace: Je-li kovariace kladá (záporá), pak to svědčí o eisteci jistého stupě přímé (epřímé) lieárí závislosti mezi realizacemi áhodých veliči,. Je-li kovariace ulová, pak říkáme, že áhodé veličiy, jsou ekorelovaé a zameá to, že mezi jejich realizacemi eí žádý lieárí vztah. Pozor z ekorelovaosti evyplývá stochastická ezávislost, zatímco ze stochastické ezávislosti plye ekorelovaost.

17 Charakteristika těsosti lieárího vztahu: koeficiet korelace R(, ) - číslo, které charakterizuje těsost lieárí závislosti realizací áhodých veliči,. Čím bližší je, tím těsější je přímá lieárí závislost, čím bližší je -, tím těsější je epřímá lieárí závislost. Defiičí vzorec: R, E E D E D pro kladé směrodaté odchylky, jiak klademe R(, ) = 0 (koeficiet korelace je středí hodota součiu stadardizovaých áhodých veliči). Výpočetí vzorec: odchylek). R, C, D D (koeficiet korelace je podíl kovariace a součiu směrodatých

18 Příklad a výpočet koeficietu korelace diskrétího áhodého vektoru: Náhodá veličia udává příjem mažela (v tisících dolarů) a áhodá veličia Y příjem maželky (v tisících dolarů. Je záma simultáí pravděpodobostí fukce π(,y) diskrétího áhodého vektoru (,Y): π(0,0) = 0,, π(0,0) = 0,04, π(0,30) = 0,0, π(0,40) = 0, π(0,0) = 0,, π(0,0) = 0,36, π(0,30) = 0,09, π(0,40) = 0, π(30,0) = 0, π(30,0) = 0,05, π(30,30) = 0,, π(30,40) = 0, π(40,0) = 0, π(40,0) = 0, π(40,30) = 0, π(40,40) = 0,05, π(,y) = 0 jiak. Vypočtěte koeficiet korelace příjmů mažela a maželky. Řešeí: Náhodá veličia i áhodá veličia Y abývají hodot 0, 0, 30, 40. Sestavíme kotigečí tabulku: Y ,0 0,04 0,0 0,00 0,5 0 0,0 0,36 0,09 0,00 0, ,00 0,05 0,0 0,00 0,5 40 0,00 0,00 0,00 0,05 0,05 y 0,30 0,45 0,0 0,05,00 Spočteme E() = 0.0,5+0.0, ,5+40.0,05 = 0, E(Y) = 0.0,30+0.0, ,0+40.0,05 = 0, D() = 0.0,5+0.0, ,5+40.0,05 0 = 60, D(Y) = 0.0,30+0.0, ,0+40.0,05 0 = 70, C(,Y) = 0.0.0, , , = 49, R(,Y) = 49/ = 0,76.

19 Postup ve STATISTICE: Vytvoříme ový datový soubor o třech proměých, Y, cetost a 6 případech. Do proměé apíšeme 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 30, 30, 30, 30, 40,40 40, 40, do proměé Y 4 pod sebe 0, 0, 30, 40 a do proměé cetost 0, 4,, 0, 0, 36, 9, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 5. Statistiky - Základí statistiky/tabulky zavedeme proměou vah cetost OK - Korelačí matice OK sezam proměých, Y OK. Korelace (Tabulka6) Oz ač. korelace jsou výzamé a hlad. p <,05000 N=00 (Celé případy v yecháy u ChD) Proměá Průměry Sm.odc h. Y Y 0, ,784989, , , , ,756086,000000

20 Vlastosti středí hodoty a) E(a) = a b) E(a + b) = a + be() c) E( E()) = 0 d) E i i = i E ( i ) e) Jsou-li áhodé veličiy,..., stochasticky ezávislé, pak E i Vlastosti kovariace a) C(a, ) = C(, a ) = C(a, a ) = 0 b) C(a + b, a + b ) = b b C(, ) c) C(, ) = D() d) C(, ) = C(, ) e) C(, ) = E( ) E( )E( ) f) C i m i, Y j = m j i j C ( i,yj) i = i E ( i )

21 Vlastosti rozptylu a) D(a) = 0 b) D(a + b) = b D() c) D() = E( ) - E () d) D i i i = D ( i ) ) i i ) C(i, j) i j i D ( (jsou-li áhodé veličiy,..., ekorelovaé, pak D i Vlastosti koeficietu korelace a) R(a, ) = R(, a ) = R(a, a ) = 0 b) R(a + b, a + b ) = sg(b b ) R(, ) c) R(, ) = pro D() 0, R(, ) = 0 jiak d) R(, ) = R(, ) e) R(, ) = C( D( 0 jiak ), ] D( pro ) D( ) D( ) 0 i = f) R(,) a rovost astae tehdy a je tehdy, když mezi veličiami, eistuje s pravděpodobostí úplá lieárí závislost, tj. eistují kostaty a, a tak, že P( = a + a ) =. (Uvedeá erovost se azývá Cauchyova Schwarzova Buňakovského erovost.)

22 Příklad a využití vlastostí číselých charakteristik: Náhodé veličiy, Y jsou áhodé chyby, které vzikají a vstupím zařízeí. Mají středí hodoty E() = -, E(Y) = 4 a rozptyly D() = 4, D(Y) = 9. Koeficiet korelace těchto chyb je R(,Y) = -0,5. Chyba a výstupu zařízeí souvisí s chybami a vstupu fukčí závislostí Z = 3 Y + Y - 3. Najděte středí hodotu chyby a výstupu. Řešeí: E(Z) = E(3 Y + Y 3) = 3E( ) E(Y) + E(Y ) E(3) = = 3{D() + [E()] } [C(,Y) + E()E(Y)] + D(Y) + [E(Y)] 3 = = 3[D() + [E()] ] [R(,Y) D () D(Y) + E()E(Y)] + D(Y) + [E(Y)] - 3 = 3(4 + 4) -[-0,5 3 + (-) 4] = = 68

23 Cetrálí limití věta: Jsou-li áhodé veličiy,, stochasticky ezávislé a všechy mají stejé rozložeí se středí hodotou μ a rozptylem σ, pak pro velká ( 30) lze rozložeí součtu i N,. i i i aproimovat ormálím rozložeím N(μ, σ ). Zkráceě píšeme i i Pokud součet i stadardizujeme, tj. vytvoříme áhodou veličiu U, pak rozložeí této áhodé veličiy lze aproimovat stadardizovaým ormálím rozložeím. Zkráceě píšeme U i N(0,) Normálí rozložeí je tedy rozložeím limitím, k ěmuž se blíží všecha rozložeí, proto hraje velmi důležitou roli v počtu pravděpodobosti a matematické statistice.

24 Ilustrace cetrálí limití věty: Uvažme stochasticky ezávislých áhodých veliči,,, přičemž každá z ich má rovoměré spojité rozložeí a itervalu (0,), tj. i ~ Rs(0,), i =,,. Protože E i a D i, podle cetrálí limití věty áhodá veličia U i i i i N 0,. Položíme-li =, pak U i 6 N 0,. i Při ilustraci působeí cetrálí limití věty a počítači postupujeme tak, že pro každou z veliči i ~ Rs(0,), i =,, vygeerujeme dostatečě velký počet realizací, apř. 000 a uložíme je do proměých v až v. Do proměé v 3 uložíme součet proměých v až v zmešeý o 6. Histogram kterékoliv proměé v až v se svým tvarem bude blížit obdélíku, zatímco histogram proměé v 3 se svým tvarem bude blížit Gaussově křivce.

25 Důsledkem cetrálí limití věty je Moivreova Laplaceova věta: Nechť,, jsou stochasticky ezávislé áhodé veličiy, všechy se řídí alterativím rozložeím A( součet i i ). Pak jejich Y má biomické rozložeí Bi(, ). Středí hodota veličiy Y je E(Y ) =, rozptyl je D(Y ) = (- ). Podle cetrálí limití věty se stadardizovaá áhodá veličia rozložeím N(0,). Y asymptoticky řídí stadardizovaým ormálím Aproimace se považuje za vyhovující, když jsou splěy podmíky: a (- ) 9. Na základě Moivreovy Laplaceovy věty se používá aproimativí vzorec, který složitý výpočet distribučí fukce biomického rozložeí ahrazuje jedoduchým hledáím v tabulkách hodot distribučí fukce stadardizovaého ormálího rozložeí. Máme áhodou veličiu Y ~ Bi(, ). Pak y y pravděpodobostí fukce P Y y pro y = 0,,,, y distribučí fukce Aproimativí vzorec: t 0 y y t t P Y y P Y t - složitý výpočet t 0 y P(Y y). ( ) t

26 Příklad a aplikaci Moivreovy Laplaceovy věty: 00 ezávisle a sobě hodíme hrací kostkou. Jaká je pravděpodobost, že šestka pade aspoň 0? Řešeí: Y 00 počet šestek ve 00 hodech, Y 00 ~ Bi(00, 6 ). Ověřeí podmíek dobré aproimace: a (- ) a 00 6 Aproimativí výpočet: 0,66-6 0, , Y00 9 P Y P Y00 9 P P U , ,66 Přesý výpočet: P Y 00 0 P Y 00 9 t t 6 t t 0,975

27 Příklad a aplikaci Moivreovy Laplaceovy věty: Osobě prohlašující, že má proutkařské schoposti, předložíme 00 dvojic zakrytých ádob. V každé dvojici je jeda ádoba prázdá a druhá aplěá vodou. Výsledky proutkaře srováme s výsledky hypotetické osoby, která pracuje zcela áhodě. Nechť áhodá veličia Y 00 udává počet úspěšě idetifikovaých dvojic ádob. Jaká je pravděpodobost, že Y 00 překročí přirozeé číslo y, y = 0,,, 00? Řešeí: Je zřejmé, že Y 00 ~ P Y 00 y P Y 00 y Bi 00,. P Y ,5 00 0,5 0,5 y = 50: P Y ,5 0, 5 y = 55: P Y ,8434 0, 5866 y = 60: P Y ,9775 0, 075 y = 65: Y , , 0035 P 00 y ,5 0,5 0,5 P Y y 50 5 y 50 5 Ilustrace: závislost, P Y 00 y a y,0 0,8 0,6 p 0,4 0, 0,0-0, y

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více