Entropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Entropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace"

Transkript

1 Etroie, relativí etroie a sdíleá vazebí iformace Pojem iformace je říliš rozsáhlý a to, abchom jej komleě osali jedoduchou defiicí. Pro libovolou distribuci ravděodobosti můžeme defiovat tzv. etroii, jež má moho vlastostí otřebých ro měřeí iformace. Vzájemá iformace je seciálí říad více obecé veliči relativí etroie, což je míra diferece mezi dvěma ravděodobostmi rozděleími. Ní odvodíme jedoduché vlastosti těchto veliči.. Etroie míra ejistot áhodé roměé a možiě X X diskrétí áhodá roměá s ravděodobostí = {X= } X Defiice: HX = - Σ log X Poz.: 0 log 0 = 0 log 0 0 [ bit] Etroie je fukcioál distribuce, ezáleží a skutečých hodotách, ale a ravděodobostech. Ozačme středí hodotu E, X, ak očekávaá hodota áhodé roměé gx je : E gx = Σ g X EgX Poz.: gx = log /X HX = E log /X Lemma: HX 0 Dk: 0 log/ 0 Lemma: H b X = log b a H a X Dk: log b log b a log a

2 Př.:. X = 0. - def HX = - log - - log - = H H Př.: a = / b / X = c /8 d /8 HX = - / log / - / log / - /8 log /8 - /8 log /8 = -/ log - - = = /+/+3/8+3/8 = 7/. Sdružeá etroie a odmíěá etroie

3 Ní rozšíříme defiici ro áhodé roměé. X,Y - vektorové vjádřeí áhodé roměé, sdružeá distribuce, Defiice: Sdružeá etroie což lze vjádřit jako: HX,Y = -, log, HX,Y = - E log X, Y Defiice: Podmíěá etroie Nechť X,Y, HY X = HY X= X =- log = -, log =- E, log Y X Teorém: Řetězové ravidlo Dk.: HX,Y = HX +HY X HX,Y = -, log, = -, log = -, log -, log = - log -, log = HX +HY X Ekvivaletě lze sát: log X,Y = log X + log Y X Př.: 3

4 X Y 3 3 /8 /6 /3 /3 /6 /8 /3 /3 /6 /6 /6 /6 / HX Y = Y=i HX Y=i i= = /H/, /, /8,/8 + /H/, /, /8,/8 + /H/, /, /,/ + + / H, 0, 0, 0 = /*7/+/*7/+/*+/*0 = /8 [bitů] Poz.: HY X HX Y ale: HX - HX Y = HY - HY X 3. Relativí etroie a sdíleá vazebí iformace - míra diferece mezi distribucemi Defiice: Relativí etroie mezi dvěma ravděodobostmi a D = log / = E log X/X X Poz.: 0 log 0/ = 0, log /0 = D 0 = Sdíleá iformace míra možství iformace, že jeda áhodá roměá obsahuje další áhodou roměou. To sižuje ejistotu jedé áhodé roměé vzhledem ke zalosti druhé.

5 Uvažujme X,Y se sdružeou ravděodobostí, a margiálími ravděodobostmi,. Vazebí iformace IX;Y je relativí etroie mezi sdružeou distribucí. IX;Y =, log, = D, = = E, log X, Y X Y Př.: Nechť X = 0, a eistují distribuce, ; 0 = r = r 0 = s = s D = r log r s D = s log s r + r log s r + s log r s a Je-li r = s ak D = D =0 Je-li r = / s = / ak: D = log + 3 log = / log / log = = -/ log 3 +/ +/ =-/ log 3 = 0,075 [bitů] ale 3 D 3 = log + log = 3/ log 3 = 0,887 [bitů] Obecě: D D 5

6 . Vzájemý vztah mezi etroií a sdíleá iformace Sdíleá iformace, IX;Y =, log =, log,, = -, log +, log,, = - log - -, log = HX - HX Y, Vzhledem k smetrii lze sát: Platí-li ak tudíž IX; Y = HY - HY X HX,Y = HX + HY X IX; Y = HX +HY - HX,Y IX; X = HX +HX X = HX Alikací těchto výsledků dostáváme ásledující teorém: IX; Y = HX - HX Y IX; Y = HY - HY X IX; Y = HX +HY - HX,Y IX; Y = IY; X IX; X = HX 6

7 HX,Y HX Y IX; Y HY X HX HY Př.: ro zadáí z ř.. sočtěte: IX; Y = HX +HY - HX Y = HY- HY X= = 7/ - /8 = 3/8 = 0,375 [bitů] 5. Řetězová ravidla ro etroii, relativí etroii a sdíleou iformaci Etroie kolekce áhodých roměých je součtem odmíěých etroií Teorém: Nechť X, X,, X je osáo,,, ak HX, X,, X = HX i X i-,, X i= Dk.: HX, X = HX + HX X HX, X, X 3 = HX + HX, X 3 X = HX + HX X +HX 3 X, X HX, X,, X = HX + HX X + HX X -,, X = HX i X i-,, X i= 7

8 Ní defiujeme odmíěou sdíleou iformaci jako zmešeí ejistot o X vzhledem ke zalosti Y, je-li dáo Z. Defiice: IX; Y Z = HY Z - HY X, Z = = E,, z log X, Y Z X Z Y Z Teorém: Řetězové ravidlo ro iformaci IX, X,, X ; Y = IX i ;Y X i-,, X i= Dk.: IX, X,, X ; Y = HX, X,, X ; Y - HX, X,, X Y= = HX i X i-,, X - HX i X i-,, X, Y = i= i= = IX i ;Y X,, X i- i= Defiice: Podmíěá relativí etroie D = log = = E, log Y X Y X Relativí etroii mezi vlastími distribucemi dvojice áhodých roměých je možo vjádřit součtem relativí etroie a odmíěé relativí etroie. Teorém3: Řetězové ravidlo ro relativí etroii D,, = D + D 8

9 9 Dk.: D,, =, log,, =, log =, log +, log = D + D Ig. Aroštka Netrvalová ZČU v Plzi, FAV, KIV - místost: UK, tel.:

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A. RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy,

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Materiály k X33KUI, ČVUT, FEL, Vytvořeno dne 11/5/2006 7:07 PM. Seminární cvičení 2. Kódování a přenos informace

Materiály k X33KUI, ČVUT, FEL, Vytvořeno dne 11/5/2006 7:07 PM. Seminární cvičení 2. Kódování a přenos informace Materiály k X33KUI, ČVUT, FEL, Vytvořeo de /5/6 7:7 M Semiárí cvičeí Kódováí a přeos iformace Osova cvičeí k čemu se má dojít??? Motivace úvodí příklad - holub Základí pojmy Zpráva Symbol Abeceda - jakákoliv

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí středisko ro odoru kvality Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Markovovy řetězce s diskrétním časem (Discrete Time Markov Chain)

Markovovy řetězce s diskrétním časem (Discrete Time Markov Chain) Stochastcé rocesy Marovovy řetězce s dsrétím časem (Dscrete Tme Marov Cha) Stochastcý roces Stochastcým rocesem {X(t), tr} je moža áhodých velč X(t) závslých a jedom arametru t. Stavový rostor : moža možých

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu.

1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu. Výrokový počet. Zjistěte, jestli ásledující formule jsou tautologie. V případě záporé odpovědi určete k daé formuli kojuktiví a disjuktiví ormálí formu. i) A C) = B C) = A B) ) ii) A B) = A C C B ) iii)

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

VaR analýza citlivosti, korekce

VaR analýza citlivosti, korekce VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI . Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika: - je věda o hotě (ta eistuje ve dvou forách jako látka, ebo jako pole), o jejích ejobecějších vlastostech, stavech, zěách, iterakcích Rozděleí fyziky: a)

Více

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

Testy homoskedasticity v lineárním modelu Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

; c) lim. 1 3x C x 2 x 2 x 6 x 5 6. tg.sin x/ sin.tg x/ x n : e) lim. x a sin x b tg x. ; f) n. sin 1 p n. log 1 C 3p 1. b) 1 C 2.x.

; c) lim. 1 3x C x 2 x 2 x 6 x 5 6. tg.sin x/ sin.tg x/ x n : e) lim. x a sin x b tg x. ; f) n. sin 1 p n. log 1 C 3p 1. b) 1 C 2.x. . TAYLORŮV POLYNOM. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě a ro ásledující fukce: a) arctg, k D, a D b) tg, k D, a D c) e, k D 5, a D. Vočtěte: a) cos.;/ s chbou meší ež. b) log.;/ s chbou meší ež. c) e s

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více