Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum"

Transkript

1 Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK

2 Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky Kvatily Středí hodota Rozptyl a směrodatá odchylka 1.4. Některá důležitá rozděleí Biomické rozděleí Poissoovo rozděleí Expoeciálí rozděleí Normálí rozděleí 2. Základy statistiky 2.1 Základí pojmy, metody výběru 2.2 Typy dat 2.3 Prezetace dat 2.4 Sipmsoův paradox 3. Testováí hypotéz 3.1 Základí pojmy 3.2 t-test 3.3 χ 2 test dobré shody 4. Použitá literatura

3 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.Základy počtu pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti doprovází člověka sad od epaměti. Vždyť její ejvětší aplikací byly hazardí hry. Nicméě teorií pravděpodobosti začse al výzaměji zabývat až Blais Pascal v 17. století. Shrutí a formalizaci provedl Pierre Simo de Laplace v díle Essai Philosophique sur les Probabilités (1814). Říká se, že šlo o zakázku jistého šlechtice toužícího zbohatout a hazardu. Právě od Laplacea pochází tzv. klasiká defiice pravděpodobosti: Může-li ějaký jev vykázat N vzájemě se vylučujících stejě možých výsledků a má-li m z těchto výsledků za ásledek realizaci jevu A a -m výsledků teto jev vylučuje, pak pravděpodobost jevu A položíme: P A = m (1.1) Je jasé, že ejde o defiici v pravém slova smyslu, ale pro řešeí základích úloh zcela postačuje. Neřeěitelým problémem je z hlediska této defiice asymetrická kostka. Určitým zobecěím je geometrická pravděpodobost, kdy je v klasické defiici ahraže počet ějakou geometrickou mírou délkou, plochou, objemem. V situaci, kdy chceme pravděpodobostí počet uchopit poěkud exaktěji, je uté pravděpodobost zavést jiak. Pro ematematika hůře uchopitelá, icméě další úvahy podstatá, je axiomatická defiice pravděpodobosti (A.N.Kolgomorov, 1924): Pravděpodobostím modelem azveme trojici (Ω,, P), kde: 1. Ω je všech růzých, vzájemě se vylučijících výsledků. Její prvky azýváme elemetárí jevy. 2. je taková možia podmožiω, pro iž platí: a) Ω b) je-li A, potom i A C = Ω - A c) jsou-li A1, A2,..., potom je li Ai Prvky možiy azveme jevy. 3. P je fukce z do <0,1> taková, že platí: a) P(Ω) = 1 b) P(A C ) = 1 P(A) pro všecha A c) P( Ai) = P(Ai) pokud jsou všecha Ai disjuktí. Fukci P azveme pravděpodobostí mírou ebo krátce pravděpodobostí.

4 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis Náhodá veličia je de facto fukce zobrazující z Ω do R, která musí splňovat jisté podmíky. Klasickým příkladem je přiřazeí čísel straám kostky podle počtu teček. Jiým vhodým příkladem je pohyb ručky měřícího přístroje áhodému jevu "výchylka ručky" přiřadíme hodotu "veličia odečteá a stupici".i takto e zcela korektě zavedeá áhodá veličia je velmi důležitá a vlastě se jako červeá it bude viout téměř celým textem. Distribučí fukce áhodé veličiy X je taková reálá fukce F(t) defiovaá pro každé t R, pro kterou platí: F t =P [ X,t ]=P [ X t ] (1.2) Slovy vztah 1.2 říká, že distribučí fukce je taková fukce, která udává, s takou pravděpodobostí abývá áhodá veličia hodoty ejvýše t. Každou distribučí fukci má ěkteré důležité vlastosti: 1. F t 0,1 2. F je eklesající 3. lim t 4. lim t F t =0 F t =1 poz.:jako syoymum k pojmu se distribučí fukce se používá pojem rozděleí áhodé veličiy. Diskrétí rozděleí je takové, že existuje koečá ebo ejvýše spočetá možia reálých čísel {t1, t2,...} taková, že pro každé ti je P[X = ti] = pi > 0. Distribučí fukce je pak dáa součtem všech pi s ti meším ebo rovým daému t. Jde tedy o áhodý děj abývající koečého (ebo spočetého) počtu hodot. Příkladem může být házeí kostkou, ruleta ebo losováí Sportky. Fukci defiovaou vztahem P(t) = P[X = t] (1.3) azveme pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X. Pravděpodobostí fukce má ěkteré zajímavé vlastosti: 1. P[X = a] = P(a) 2. P[X < a] = F(a) - P(a) 3. P[X a] = F(a) 4. P[X > a] = 1 - F(a) 5. P[X a] = 1 F(a) + P(a) Absolutě spojité rozděleí áhodé veličiy X je takové rozděleí, pro jehož distribučí fukci F(t) existuje ezáporá reálá fukce f(t) taková, že pro všecha x R platí: x F x = f t dt (1.4) Fukci f(t) azvemehustotou pravděpodobosti ebo krátce je hustotou. A jaká tedy je spojiá áhodá veličia? Obecě taková, jejíž hodota může abývat všech reálých čísel ebo všech hodot z ějakého itervalu reálých čísel. Pro praktické užití se uvažuje i u hodot, které jsou pricipiálě kvatovaé (laboratorí výsledky). Za předpokladu spojitosti F(t) platí: df x f x = (1.5) dx

5 Pro určeí pravděpodobosti kokrétích jevů lze použít ásledující vztahy: 1. P[X = a] = 0 2. P[X < a] = P [X a] = F(a) 3. P[X > a] = P [X a] = 1 F(a) 4. P[a < X < b] = P[a X b] = F(b) F(a) Na závěr by bylo vhodé se zmíit o tom, že existují i smíšeá rozděleí, tedy taková rozděleí, jejichž distribučí fukci lze vyjádřit jako součet spojité a diskrétí složky. Taková fukce by popisovala apř. situaci, kdy je určitá část výrobků vadých ihed po vyrobeí a zbytek výrobků má životost určeou ějakým rozděleím. Obvykle se však takové případy uvažují odděleě. 1.3 Číselé charakteristiky Pro popis áhodého děje je ejpřesější distribučí ebo pravděpodobostí (resp. hustotí) fukce. Protože jde ale o rovici, emá pro většiu lidí valou vypovídací hodotu. Pro hrubou charakteristiku (a ěkdy i hrubou deziformaci) jsou ejvhodbější číselé ukazatele Kvatily Nejdříve defiice: Nechť je α (0,1), pak hodotu áhodé veličiy X azveme α-kvatilem a ozačíme x α, jestliže splňuje obě ásledující podmíky: P[X < x α ] α a současě P[X x α ] 1 - α (1.6) Tato defiice umožňuje určit jedozačě α-kvatil u spojitého rozděleí, u diskrétího lze však určit pouze iterval, ve kterém se daý kvatil achází. Některé kvatily mají své speciálí ázvy: x0.5 mediá x0.25 dolí kvartil x0.75 horí kvartil x0.1 dolí decil x0.9 horí decil (x0.75 x0.25) mezikvartilové rozpětí Zvláští pozorost si zasluhuje mediá, x. Jde o jedu z často užívaých "průměrých hodot" Středí hodota Pro áhodou veličiu s diskrétím rozděleím je středí hodotou zobecěý aritmetický průměr: EX = x i P [ X =x i ] = x i p i (1.7) i i Pro áhodou veličiu se spojitým rozděleím platí obdobý vztah: EX = x f x dx (1.8) Rozptyl a směrodatá odchylka Kromě "průměru" je vhodé určovat i "šíři" áhodé veličiy. K tomu se používá zejméa rozptyl (σ 2, var X) (1.9), který je vlastě průměrou čtvercovou odchylkou od středí hodoty a směrodatá odchylka(σ) (1.10), která je druhou odmociou rozptylu. var X =E X EX 2 (1.9) = var X (1.10)

6 1.4 Některá důležitá rozděleí Začá část studovaých áhodých jevů má vlastosti blízké ěkterému ze základích rozděleí. Tím je velmi usaděa práce, protože většiu případů lze řešit mechaicky pomocí "statistické kuchařky". Je ovšem třeba mít eustále a paměti, že počet všech možých rozděleí je omeze je aší matematickou fatazií a příroda je v tomto směru lehce zlomyslá Biomické rozděleí Biomické rozděleí modeluje situaci, kdy probíhá ezávislých dějů, z ichž každý má je dvě možosti výsledku obvykle ao/e, 1/0, atp. Pravděpodobost, že se dílčí jev realizuje, je p, pravděpodobost, že k realizaci edojde, je 1 p. Otázkou pak je, s jakou pravděpodobostí astae právě k jevů a k jevů eastae. Pravděpodobostí fukce biomického rozděleí je: P [ X =k ]= k pk 1 p k (1.11) To, že áhodá veličia X má biomické rozděleí, začíme X~Bi(,p). Základí číselé hodoty rozděleí jsou: středí hodota EX = p rozptyl var X = p(1-p) Poissoovo rozděleí Poissoovo rozděleí je vlastě biomické rozděleí pro rostoucí k ekoeču a velmi vzácý výskyt přízivé události (tedy p se blíží k ule). V praxi se může použít všude tam, kde by byl výpočet biomického rozděleí díky vysokému velmi obtížý. Jeho častějším použitím je však popis áhodých událostí, které astaou za časovou jedotku. Příkladem takových událostí mohou být mutace, průchod exotické částice detektorem ebo počet telefoích hovorů spojeých ústředou. Časový rozměr ale eí podmíkou tímto rozděleím lze apříklad modelovat počet baktérií v objektivu mikroskopu. Pravděpodobostí fukce Poissoova rozděleí je: P [ X =k ]= k k! e (1.12) To, že áhodá veličia X má Poissoovo rozděleí, začíme X~Po(λ). Koeficiet λ ozačuje průměrý počet událostí ve sledovaém časovám ebo prostorovém itervalu (itezitu). Základí číselé hodoty rozděleí jsou: středí hodota EX = λ rozptyl var X = λ Expoeciálí rozděleí Expoeciálí rozděleí určuje dobu čekáí a áhodou událost. V praxi se může jedat apříklad o čekáí a pacieta ebo určeí doby mezi vzikem dvou chyb. Hustota rozděleí je: f x = 1 x A e Celkem bez problémů lze spočítat i distribučí fukci: (1.13) F x =1 e x A (1.14) To, že áhodá veličia X má expoeciálí rozděleí, začíme X~E(A,δ). Parametr A určuje posu v čase od začátku ("okamžik startu") a parametr δ je vlastě středí délka itevalu mezi událostmi. Základí číselé hodoty rozděleí jsou: středí hodota EX = A + δ rozptyl var X = δ 2

7 1.4.4 Normálí (Gaussovo) rozděleí Normálí rozděleí je jedo z ejčastěji používaých rozděleí vůbec. Bohužel se stává, že jsou metody založeé a předpokladu ormálího rozděleí aplikováy a jiak rozděleý soubor a výsledky jsou zcela špaté. Normálí rozděleí je určeo dvěma parametry - μ a σ 2. Parametr μ je středí hodota a parametr σ 2 je rozptylem rozděleí. To, že áhodá veličia X má ormálí rozděleí, začíme X~N(μ,σ 2 ). Hustota ormálího rozděleí je: x 2 f x = 1 2 e 2 2 (1.15) Poměrě zámý je i graf hustoty. Protože se bude hodit při úvahách o testováí hypotéz, uvádím jej: V obrázku jsou vyzačey (e ejlépe, ale lepší jsem ealezl) důležité hodoty, apříklad že zhruba 68% hodot leží v itervalu ±. Z výpočetího hlediska je výhodá trasformace áhodé veličiy X a áhodou veličiu U~N(0,1) podle vztahu: U = X (1.16) Náhodá veličia U má pak rozděleí x = 1 x 2 2 e 2 (1.17) a distribučí fukci x = 1 2 x e t 2 2 dt (1.18)

8 Vzhledem k tomu, že itegrál v (1.18) elze aalyticky řešit, jsou fukce tabelováy. Důležité je, že pomocí ich lze vyjádřit i hustotu a distribuci áhodé veličiy s obecými parametry: f x = 1 x (1.19) F x = x (1.20) Díky výše uvedeé trasformaci můžeme celkem jedoduše (s pomocí tabulek) počítat jakékoliv ormálí rozděleí prostě tak, že si svá data trasformujeme.

9 2.1 Základí pojmy, metody výběru 2. Základy statistiky Nejdříve si defiujme statistiku jako vědu: Statistika je obor zabývající se popisem existující variability dat a hodoceím hypotéz vysvětlujících tuto variabilitu.její vývoj začíá ěkdy v 17. století, je motivová zejméa dvěma vlivy politicky a zájmem o teorii her. Statistický zak je prostorově a časově přesě defiovaý pojem, jehož vlastosti sledujeme. Může jím být apříklad příjem domáctosti v určitém měsíci, přítomost choroby u jedice v daém období ebo fermetace cukrů určitou barkteriálí koloií.hodotu statistického zaku obvykle azýváme statistická proměá. Statistická jedotka je objekt statistického zkoumáí, hodotí se u ěj statistické zaky. Například může jím o paciety, domáctosti ebo o koloie mikrobů. Statistický soubor je sada statistických jedotek, a ichž je prováděo vlastí zkoumáí. Příkladem mohou býl všichi lidé v daé populaci, všichi okologičtí pacieti ebo myslivci a Vysočiě. Statistické zjišťováí je proces zjišťováí statistických zaků u statistických jedotek v daém statistickém souboru. Může být vyčerpávající, kdy je zkoumá celý subor, ebo výběrové, kdy je zkoumáa je část souboru. V případě výběrového zjišťováí existuje ěkolik způsobů výběru statistických jedotek, které by měly reprezetovat celý soubor. Dlužo však pozameat, že oprávěý je je radomizovaý výběr, tedy takový výběr, kdy má každá jedotka v souboru stejou pravděpodobost, že bude vybráa, přičemž svým výběrem eovliví pravděpodobost výběru jiých jedotek. Jakákoliv forma eáhodého výběru může hrubě zkreslit výsledek (což může být zeužito), ale alespoň ve společeských vědách jde o podstatě levější záležitosti. 2.2 Typy dat Statistickým šetřeím můžeme získat růzá data. Podle jejich charakteru je můžeme dělit do ěkolika skupi: 1. miktodata - údaje o jedotlivých statistických jedotkách (statistické proměé) 2. makrodata ageregovaá mikrodata, tedy ukazetele (průměry, růzé idexy, atp.) 3. metadata charakteristiky makrodat, tedy defiice ukazatelů Statistické zaky můžeme dělit do ěkolika skupi: kvatitativí zak je vyjádře číslem majícím výzam rozměru. Dále se dělí a zak: spojitý libovolý eprázdý iterval reálých číselé (výška, apětí, glykémie) diskrétí - řada odděleých čísel (počet dětí v rodiě, počet úmrtí) Kvatitativí zak můžeme vyjádřit a dvou stupicích podle volby uly: itervalová stupice ula je libovolě volitelá, proto lze určit je vzdáleost dvou bodů poměrová stupice ula je pevě defiovaé, lze určit i (smysluplý) poměr dvou hodot kvalitativí zak je zak, který charakterizuje přítomost určité vlastosti. Může být: omiálí, kdy se ptáme je a přítomost prvku určité možiy (barva, pohlaví) ordiálí, kdy má výzam uvažovat i pořadí, apř. spokojeost={ao, částečě, e} Zaky omiálí, ordiálí a diskrétí můžeme ozačit jako kategoriálí zaky a jejich možosti jako kategorie ebo též třídy. Kategoriálí zaky můžeme dále dělit: vícekategoriálí mají více ež dvě kategorie dichotomické - mají právě dvě kategorie symetrické obě možosti jsou stejě výzamé (muž žea) asymetrické jeda z možostí je výzamější (přežil zemřel)

10 2.3 Prezetace dat Primárím produktem statistického šetřeí je ovbykle etříděá tabulka údajů matice dat. Deskriptiví statistika pak dispouje řadou metod, jak z této epřehledé změti údajů získat přehledou charakteristiku zkoumé populace. Důležitou iformaci poskytují číselé charakteristiky souboru: Kvatily jsou probráy výše Modus x říká, které hodoty je v souboru ejvíce. V případě spojitého rozděleí je výpočet (alespoň formálě) jedoduchý stačí zjistit maxima hustotí fukce.v případě diskrétí distribuce se staovuje tzv. modálí iterval a ěkdy staovuje pomocí iterpolace i modus. Pro kategoriálí zaky je určeí ejsažší prostě se vybere ejčetější kategorie. Aritmetický průměr x je často užívaý pro svůj jedoduchý výpočet. Je však velmi citlivý a extrémí hodoty. x= 1 x i (2.1) Geometrický průměr x G je méě často používaou charakteristikou. Lze použít je tam, kde jsou všechy prvky souboru větší ež ula. Je odolější vůči vlivu extrémích hodot. x G = i=1 i=1 Harmoický průměr x H je zřídka užívaou charakteristikou. x H = i=1 x i (2.2) 1 (2.3) x i Kromě měr polohy existují (a používají se) i míry variability výběru. Výběrový rozptyl s 2 je protějškem rozptylu rozděleí, z ěhož výběr pochází. Lze ukázat, že středí hodota výberových rozptylů je rova rozptylu rozděleí populace. s 2 = 1 1 x i x 2 (2.4) i=1 Výběrová směrodatá odchylka s je obdobou směrodaté odchylky. s= 1 1 x i x (2.5) Většiou však jedo číslo estačí a data je třeba prezetovat v tabulkách. Základem je prostá tabulka, která v podstatě odpovídá matici dat. Přehledější je skupiová tabulka, ve ktré jsou data rozdělea podle tříd ebo třídích iterval a a kombiačí tabulka, ve které jsou data tříděa podle více kritérií.každé políčko tabulky by mělo být vyplěo číslem ebo symbolem. Speciálí výzam mají zaky: 0,000 velmi ízký výskyt (počet des. míst odpovídá ostatím hodotám) evyskytl se žádý případ hodotu ezáme ebo elze zjistit zápis eí možý z logických důvodů Data je třeba ejdříve rozdělit do tříd. U kategoriálích zaků je existece tříd celkem jasá, u spojitých veliči si pomáháme zavedeím třídího itervalu. Pro odhad počtu třídích itervalů můžeme použít apř. vzorec TI = 10*log, kde je počet prvků v souboru. Je vhodé, aby se počet kategorií pohyboval v rozmezí 5 až 20. i=1

11 U každé kategorie je vhodé určit četost. Ta může být: absolutí, tedy počet prvků daé kategorie v souboru relativí, tedy poměré zastoupeí daé kategorie v souboru kumulativí četost je součet četosti daé kategorie s četostmi všech ižších kategorií Velice ázorý výstup, ale také ejsáze maipulovatelý, je výstup v podobě grafů. bodový graf zázorňuje aměřeé hodoty v podobě bodů. Vhodý je pro sledováí závislosti dvou veliči. V případě vyášeí více závislostí se body graficky rozlišují. spojicový graf je podobý bodovému, body jsou však spojey úsečkami. Často se používá ke začeí časových řad. sloupcový graf je velmi často používaý. Jede sloupec reprezetuje jedu třídu respektive třídí iterval (pak bude šířka sloupce úměrá šířce itervalu), plocha sloupce je úměrá četosti. histogram je sloupcový graf charakterizovaý tím, že sloupce jsou vždy vertikál, vodorová osa má vždy měřítko a plocha sloupců odpovídá četosti třídy. kruhový (výsečový) graf zachycuje relativí zastoupeí jedotlivých tříd celého souboru. krabicový graf zachycuje poměrě komplexí údaje. Bohužel symbolika eí jedotá. c a b d e f a horí extrém, ejvýše však 1.5 ásobek mezikvartilového rozpětí b horí kvartil c průměr d mediá e dolí kvartil f dolí extrém, ejvýše však 1.5 ásobek mezikvartilového rozpětí 2.4 Simpsoův paradox V rámci statistického hodoceí dochází často ke spojováí růzých dat do jedé kategorie. Na ebezpečí euvážeého spojováí růzých dat, obdorě zvaého též sčítáí jablek s hruškami, upozorňuje ásledující příklad. Uvažujme dvě emocice, apříhlad Horí Sádrovice a Stará Dlaha. Pro jedoduchost uvažujme je dvě skupiy pacietů lehce emocí a těžce emocí, a dva možé výssledky léčby vyléčeí a úmrtí pacieta.násleující tabulka srovává obě emocice: stav přijatých pacietů emocice Horí Sádrovice Stará Dlaha dobrý kritický celkem přijato přijato přijato % % % % % % Pokud je paciet v dobrém stavu, jistě si vybere emocici v Horích Sádrovicích, pobyt tam bude jistě méě rizikový. I paciet v kritickém stavu bude mít jistě větší aději, pokud bude doveze (apříklad trpělivými dědici) do emocice v Horích Sádrovicích. Když se však udělá průměrá hodota všech úmrtí ze všech přijatých, tak vyjde lepší hodoceí emocici ve Staré Dlaze. Čím to je způsobeo? Odpověď spočívá ve spekru přijímaých pacietů. Zatímco v Horích Sádrovicích představují pacieti v kritickém stavu 40% případů, ve Staré Dlaze je jich je 10%.

12 3. Testováí hypotéz 3.1 Základí pojmy Iduktiví statistika je obor, který se pokouší a základě zalostí souboru testovat platost hypotéz o rozděleí výsledků a který umožňuje ejistotu závěrů kvatifikovat. Základí metodika testu je velmi jedoduchá. Nejdříve si formulujeme ulovou hypotézu, tedy teorii, jejíž platost testujeme. Obecě se začí H0. Proti í formulujeme alterativí hypotézu H1, která představuje opačé tvrzeí k ulové hypotéze. Nulovou hypotézu obvykle formulujeme tak, že se ějaké dva parametry rovají. Aletrativí hypotéza může být erovost obou parametrů (oboustraá alterativí hypotéza), ale i poměr větší-meší, zejméa pokud to eodporuje logice uspořádáí (jedostraá alterativíhypotéza). Po formulaci hypotéz je třeba staovit (určit si) hladiu výzamosti α, tedy maximálí povoleou pravděpodobost, že ulová hypotéza eplatí, i když elze podle výsledků testu zamítout. Často se staovuje a 5% (α = 0,05) ebo 1% (α = 0,01). Z dat si lze staovit dostažeou hladiu výzamosti p (p-value), tedy pravděpodobost, že ulová hypotéza eplatí. Tedy pokud p vyjde meší ež α, elze ulovou hypotézu zamítout. Pokud vyjde p větší ež α, zamítáme ulovou hypotézu. Pro vlastí výpočet si staovíme testovou statistiku: pozorovaá hodota očekávaá hodota testová statistika= (3.1) směrodatá chyba pozorováí Za předpokladu dostatečě velkého výběru ( > 60) a spojité áhodé veličiy lze předpokládat ormálí rozděleí hodot změřeých průměrů kolem středí hodoty. Testová statistika se pak bude začit Z: X Z = 0 (3.2) / Za předpokladu, že platí H0, bude platit Z ~ N(0,1). Další postup je tedy v případě oboustraé alterativí hypotézy jedoduchý. V tabulkách si alezeme z 1 kvatil ormálího rozděleí s 2 parametry 0 a 1. Nalezeý kvatil pak porováme s hodotou Z. Je-li Z vyšší ež tabulková hodota příslušého kvatilu, zamíteme ulovou hypotézu. Je-li Z ižší ež tabulková hodota příslušého kvatilu prohlásíme, že ulovou hypotézu elze zamítout a hladiě výzamosti α. V případě jedostraé alterativí hypotézy hledáme v tabulkách kvatil z 1. Při testováí hypotéz může dojít ke vziku chyb, která jsou dvojího druhu.chyba I. druhu (α) vzike, jestliže ulová hypotéza platí, ovšem došlo k jejímu zamítutí. Zcela ekvivaletě chyba II. druhu (β) astae v situaci, jestliže ulová hypotéza eplatí, ovšem edošlo k jejímu zamítutí. Obvykle volíme riziko chyby I. druhu (hladia výzamosti) a jsme si vědomi toho, že chyba II. druhu může být poměrě vysoká. Proto by měl být výsledek testu formulová buď "ulovou hypotézu zamítáme"(s chybou α) ebo "o hypotézách elze udělat žádé rozhodutí". V souvislosti s chybou II. druhu je vhodé se zmíit o síle testu defiovaé jako 1 β. Ta závisí (podobě jako β) a rozsahu výběru a vlastostech souboru. Správou volbou rozsahu výběru tak lze zvyšovat sílu testu, respektive sižovat β.

13 3.2 t-test V praxi obvykle ezáme směrodatou odchylku testovaého zaku, která je třeba pro výpočet testové statistiky Z. Nahrazujeme jí tedy jejím odhadem výběrovou směrodatou odchylkou, čímž ovšem zvyšujeme ejistotu. Počítáme statistiku T: T = X 0 s/ Tato charakteristika již emá ormálí rozděleí, ale Studetovo t-rozděleí. Parametrem dohoto rozděleí je počet stupňů volosti (df), přičemž df = 1. Toto rozděleí je podobé ormálímu rozděleí a pro > 100 lze již poměrě aproximovat ormálím rozděleím. V tabulkách se vyhledá kvatil pro zvoleé α a pro přislušý počet stupňů volosti ( 1) a celý postup je obdobý postupu uvedeému výše. (3.3) 3.3 χ 2 -test dobré shody χ 2 -test slouží k testováí kategoriálích dat. Testuje se hypotéza, zda rozložeí kategorií aměřeých dat odpovídá teoretickému rozděleí. Předpokládejme, že zjistíme k kategorií, každá bude mít četost oi a budeme testovat, zda mají daé kategorie teoretické rozděleí četostí πi. Hypotézu o shodě aměřeých a předpokládaých četostí zamíteme, jestliže bude platit: o i i 2 i=1 i 2 1 k 1 (3.4) 2 Přičemž 1 k 1 je (α 1) kvatil rozděleí χ 2. Velkými rizikem je, že zde uvedeá statistika má rozděleí χ 2 pouze pro blížící se k ekoeču. Proto se požaduje, aby teoretická četost každé testovaé kategorie v soubou byla ejméě Použitá literatura [1] Zvárová J: Biomedicíská statistika I Základy statistiky pro biomedicíské obory, Karolium, Praha 2002 [2] Rogalewicz V: Pravděpodobost a statistika pro ižeýry, Vydavatelství ČVUT, Praha1998 [3] Řezaková H et al: Iteraktiví učebice statistiky, [4] Friesel M: Pravděpodobost a statistika hypertextově, [5] Houser P: Sipmsoův paradox a slučováí dat, ScieceWorld, , [6] Duchoslav M: Předášky k předmětu Statistika pro biology, [7] Svršek J, Bartoš R: Z historie matematiky a fyziky 1, Natura 6, 2001

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Regulace frekvence a velikosti napětí Řízení je spojeno s dodávkou a přenosem činného a jalového výkonu v soustavě.

Regulace frekvence a velikosti napětí Řízení je spojeno s dodávkou a přenosem činného a jalového výkonu v soustavě. 18. Řízeí elektrizačí soustavy ES je spojeí paralelě pracujících elektráre, přeosových a rozvodých sítí se spotřebiči. Provoz je optimálě spolehlivá hospodárá dodávka kvalití elektrické eergie. Stěžejími

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více