1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
|
|
- Květoslava Zemanová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u, v) = (xu yv, xv + yu). Pozorovní. Obě operce jsou komuttivní. Pozorovní. Jednotkovým prvkem je (1, ). Pozorovní. K prvku (x, y) C, (x, y) (, ) existuje právě jeden inverzní prvek dný předpisem ( x x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2. Zákldní vlstnosti komplexních čísel Množin C s opercemi sčítání násobení tvoří komuttivní těleso. Těleso R je izomorfní podtělesu {(x, y) C : y = }. N C není definováno přirozené uspořádání. Vět. Zákldní vět lgebry. Kždý polynom stupně lespoň 1 s komplexními koeficienty má lespoň jeden kořen v C. Pro polynomy stupně 1 ž 4 lze njít předpis pro řešení, pro stupeň 5 vyšší není znám lgebrický důkz. Dokážeme později jko plikci komplexní nlýzy. Zápisy komplexního čísl. Prvek (, 1) oznčíme jko i. Algebrický. Prvek (x, y) zpisujeme jko x + iy, prvek (x, ) zkráceně jko x. ( ) x y Mticový. Prvek (x, y) zpisujeme jko. Sčítní násobení y x n C odpovídá sčítání násobení mtic. Trigonometrický. Prvek (x, y) zpisujeme jko r(cos + i sin ). Zákldní operátory n C. Pro z = x + iy = r(cos + i sin ) definujeme tyto operátory. Reálná část. Re z = x Imginární část. Im z = x Absolutní hodnot (modul). z = x 2 + y 2 = r Číslo komplexně sdružené. z = x iy Argument rg z =, hlvní hodnot rgumentu volb [ π, π), znčíme Arg. Vlstnosti: Pro kždá z, w C pltí z + w = z + w z z = z 2 zw = z w Re z z, Im z z z = z 1
2 2 C jko metrický prostor. Metrik n C je definován jko d(z, w) = z w. Metrik n C je izomorfní metrice n R 2. Otevřené, uzvřené, kompktní množiny stejné jko v R 2. Limit posloupnosti, limit funkce, spojitost stejné jko v R 2. Komplexní funkce reálné proměnné Komplexní funkce reálné proměnné je zobrzení f : M C, M R. Rozšíření běžných pojmů: Derivce. Derivcí funkce f v bodě x rozumíme číslo f f(y) f(x) (x) = lim, y x y x pokud tto limit existuje (v C.) Primitivní funkce. Funkce F : (, b) C je primitivní funkce k f n (, b), jestliže F (x) = f(x) pro všechn x (, b). Integrál. Riemnnůvintegrál z funkce f definujeme jko b f(x)dx = b Ref(x)dx + i b Imf(x)dx, pokud ob integrály n prvé strně konvergují. Sndná pozorování: Nechť Nechť f : M C, je komplexní funkce reálné proměnné, R z C. Pk pltí lim x + f(x) = z, právě když lim x + Ref(x) = Rez lim x + Imf(x) = Imz. Podobně pro limity zlev oboustrnné. f je spojitá (zlev, zprv) v bodě, právě když obě funkce Ref Imf jsou spojité (zlev, zprv) v bodě. f (x) existuje, právě když existují vlstní derivce (Ref) (x) (Imf) (x). Pk f (x) = (Ref) (x) + i(imf) (x). Funkce F : (, b) C je primitivní funkce k f n (, b), právě když ReF je primitivní funkcí k Ref n (, b) ImF je primitivní funkcí k Imf n (, b). Vět. Odhd integrálu Nechť < b jsou reálná čísl f : [, b] C je spojitá funkce. Pk pltí b f(x)dx b f(x) dx (b ) mx x [,b] f(x). Komplexní funkce komplexní proměnné Komplexní funkce komplexní proměnné je zobrzení f : M C, M C. Definice. Nechť f je komplexní funkce komplexní proměnné C. Potom derivcí funkce f v bodě rozumíme číslo f f(z) f() () = lim, z z pokud tto limit existuje (v C.) Definice. Nechť Ω C, Ω otevřená. Řekneme, že funkce f je holomorfní n množině Ω, pokud má v kždém bodě Ω derivci. Nechť M C. Řekneme, že funkce f je holomorfní n množině M, pokud existuje Ω C, Ω otevřená, M Ω f je holomorfní n Ω.
3 3 Definice. Funkce holomorfní n C se nzývá celá funkce. Pro funkci f komplexní proměnné oznčíme f 1 (x, y) = Ref(x + iy) f 2 (x, y) = Imf(x + iy) f = (f 1, f 2 ). Vět. Cuchy-Riemnnovy podmínky Nechť z = + ib, kde, b R. Pk f má v bodě z derivci podle komplexní proměnné, právě když f má v bodě (, b) totální diferenciál pltí f 1 x = f 2 y f 1 y = f 2 x. Poznámky Věty o ritmetice skládání derivcí pltí pro derivci komplexní funkce stejně jko pro derivci reálné funkce. Pro funkci f komplexní proměnné g funkci reálné proměnné x R pltí (f(g(x))) = f (g(x))(g(x)), pokud derivce n prvé strně existují. Pokud má f v bodě z derivci, potom je v z spojitá. Pokud Ω C je otevřená konvexní množin pro kždé z Ω pltí f (z) =, potom f je n Ω konstntní. 2. Elementrní funkce n C Exponenciální funkce Definice. Pro z C, z = + ib,, b R definujme exp(z) = e z = e +ib = e (cos b + i sin b). Funkci exp nzýváme exponenciální funkce. Pozorování. N R splývá s obvyklou definicí e x. Vět. Vlstnosti funkce exp. Funkce exp je definovná n C, je n C holomorfní pltí exp (z) = exp(z) pro z C. Pro z, w C pltí exp(z + w) = exp(z) exp(w). Eulerův vzorec Pro b R pltí exp(ib) = cos b + i sin b. Pro z C pltí exp(z), exp( z) = exp(z), exp(z) = e Rez. Goniometrické hyperbolické funkce Definice. Pro z C definujeme: Funkci sinus: sin z = exp(iz) exp( iz) 2i. Funkci kosinus: cos z = exp(iz)+exp( iz) 2. Funkci hyperbolický sinus: sinh z = exp(z) exp( z) 2. Funkci hyperbolický kosinus: cosh z = exp(z)+exp( z) 2. Pozorování. N R splývá s obvyklou definicí. Vět.Vlstnosti goniometrických hyperbolických funkcí. Funkce sin, cos, sinh, cosh jsou definovány n C jsou n C holomorfní. Pro kždé z C pltí sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z, exp(z) = cos z + i sin z. Pro kždé z C pltí sin z = cos z, cos z = sin z, sinh z = cosh z, cosh z = sinh z.
4 4 Im z Re z 1 2 Obrázek 1. Re exp(z) Im z Re z Obrázek 2. Im exp(z) Pro kždé z C pltí sin 2 z + cos 2 z = 1, cosh 2 z sinh 2 z = 1. Součtové vzorce pltí stejně jko v R. Vět. Funkce exp zobrzuje C n C \ {}. Komplexní logritmus Reálný logritmus (definovný n (, )) budeme znčit ln. Definice. Pro z C \ {} oznčme log z = {w C : exp(w) = z}.
5 5 Obrázek 3. Re sin(z) Hlvní hodnotou logritmu z nzveme ω log z tkové, že Imw = [ π, π). Hlvní hodnotu znčíme Logz. Poznámk. Někteří utoři používjí opčnou konvenci pro Log log, nebo jiný intervl, npř [, 2π). Vět.Vlstnosti logritmu. Pro kždé z C \ {} pltí log z = {(Logz) + 2πki : k Z}. Funkce Logz je holomorfní n množině C \ (, ] n této množině pltí Log z = 1/z. Pro kždé z C \ {} pltí rg z = {Imw : w log z} Argz = ImLogz. Obecná komplexní mocnin Definice. Pro z C \ {} C znčíme z = exp(logz) m (z) = {exp(w) : w log z}. Pozorování. Pro z C \ {} pltí z = 1, m (z) = {1}. Definice z n pro n N odpovídá lgebrické definici. Dále z = 1/z. Pro = 1/n, n N má množin m (z) n prvků. 3. Stejnoměrná konvergence Definice. Nechť M je množin nechť (Q, σ) je metrický prostor. Nechť f f n, n N jsou zobrzení definovná n M s hodnotmi v Q. Řekneme, že posloupnost f n konverguje bodově k f n M, pokud pro kždé x M lim n f n (x) = f(x), stenoměrně k f n M, pokud pro kždé ε > existuje n tk, že pro kždé x M pro kždé n n σ(f(x), f n (x)) < ε.
6 6 Obrázek 4. Im log(z) Pokud M je nvíc metrický prostor, řekneme, že posloupnost f n konverguje k f lokálně stejnoměrně n M, pokud pro kždé x M existuje ε > tk, že posloupnost f n konverguje k f stenoměrně n B(x, ε). Vět.Moore Osgoodov Nechť (P, ϱ) je metrický prostor, x P nechť funkce f n s hodnotmi v R nebo C konvergují stenoměrně k funkci f n B(x, r) \ x pro nějké r >. Nechť pro kždé n N lim x x f n (x) = n. Potom exitují lim x x f(x) lim n n tyto limity jsou si rovny. Vět.Stejnoměrná konvergence spojitost Nechť (P, ϱ) (Q, σ) jsou metrické prostory. Nechť f f n, n N jsou zobrzení definovná n P s hodnotmi v Q. Nechť f n jsou spojitá nechť konvegrují lokálně stejnoměrně k f. Potom f je spojité. Vět.Stejnoměrná konvergence integrál Nechť [, b] je omezený intervl nechť f n je posloupnost spojitých reálných funkcí n (, b). Nechť f n konvegrují stejnoměrně k f. Pk b lim n f n (x)dx = b f(x)dx. Vět.Stejnoměrná konvergence derivcí Nechť (, b) je omezený intervl nechť f n je posloupnost reálných funkcí n (, b). Nechť kždá f n má spojitou vlstní derivci f n n (, b). Nechť existuje x (, b) tkové, že f n (x ) je konvergentní posloupnost. Nechť posloupnost f n je stejnoměrně konvergentní n (, b). Pk existuje reálná funkce f n (, b) tk, že f n stejnoměrně konvergují k f f n stejnoměrně konvergují k f n (, b). Řdu funkcí n=1 f n interpretujeme jko posloupnost částečných součtů, plikujeme n ni tyto pojmy věty. Říkáme tedy, že řd konverguje stejnoměrně, pokud konvergují stejnoměrně její částečné součty, pod.
7 7 4. Mocninné řdy Definice. Nechť C {c n } n= je posloupnost komplexních čísel. Nekonečnou řdu funkcí tvru (*) c n (z ) n n= nzýváme mocninnou řdou o středu. Poloměrem konvergence této řdy rozumíme R [, + ] definovné vzorcem Množinu R = sup{r [, + ) : c n r n konverguje}. n=1 U(, R) = {z C : z < R}, nzýváme kruhem konvergence této řdy. Vět. Kždá mocninná řd konverguje bsolutně lokálně stejnoměrně n svém kruhu konvergence. Vět. Položme L = lim sup n cn. m n>m Potom poloměr konvergence řdy (*) je R = 1 L pokud L > R = pro L =. Pokud existuje c n+1 K = lim, n c n pk K = L. Pozorovní. Řdy nc n (z ) n 1, n=1 mjí stejný poloměr konvergence jko (*). Pro řdu (*) definujeme funkci n U(, R). f(z) = n= c n (z ) n n= Vět. Funkce f je holomorfní n U(, R) n U(, R). Oznčme f (z) = F (z) = nc n (z ) n 1 n=1 n= n U(, R), potom F (z) = f(z) n U(, R). c n (z )n+1 n + 1 c n (z )n+1 n + 1
8 8 5. Křivky v C. Definice. Křivkou v C rozumíme spojité zobrzení uzvřeného intervlu do C. Definice. Je-li : [, b] C křivk, pk obrzem křivky rozumíme její obor hodnot, znčíme, počátečním bodem křivky rozumíme (), koncovým bodem bod ψ(b), křivku nzýváme uzvřenou, pokud () = (b), opčnou křivkou k rozumíme křivku : [ b, ] C definovnou vzthem (t) = ( t). Definice. Nechť : [, b] C ψ : [c, d] C jsou křivky pro které pltí (b) = ψ(c), pk jejich spojením ψ rozumíme křivku definovnou n intervlu [, b + d c] vzthy ( ψ)(t) = (t) pro t [, b] ( ψ)(t) = ψ(t b + c) pro t (b, b + d c]. Příkldy křivek Orientovná úsečk (t) = z(1 t) + wt; t [, 1] (z bodu z do bodu w.) Kružnice ψ(t) = z + re it ; z C, r >, t [, 2π] (o středu z poloměru r.) Lomená čár je spojení konečně mnoh orientovných úseček. Definice. Cest je po částech hldká křivk. (Tedy má spojitou derivci vyjm nejvýše konečně mnoh bodů, ve kterých má derivce vlstní jednostrnné limity.) Definice. Délkou cesty : [, b] C rozumíme L() = b (t)dt. 6. Integrál podél cesty Definice. Nechť : [, b] C je cest f je spojitá funkce n. Potom definujeme integrál f podél jko b f(z)dz = f((t)) (t)dt. Vět.Vlstnosti integrálu podél cesty. Nechť : [, b] C je cest f je spojitá funkce n. Nechť h je rostoucí C 1 zobrzení intervlu [c, d] n [, b], pk f(z)dz = f(z)dz. h f(z)dz = f(z)dz. Nechť ψ : [c, d] C je křivk pro kterou pltí (b) = ψ(c), g je spojitá funkce n ψ, pk g(z)dz = g(z)dz + g(z)dz. ψ ψ f(z)dz L() mx f(z). z
9 9 Definice. Nechť G C je otevřená f : G C je funkce. Funkci F nzveme primitivní funkcí k f n G pokud pro kždé z G. F (z) = f(z) Vět. Nechť G C je otevřená, f : G C je spojitá funkce F je primitivní k f n G. Nechť : [, b] C je cest tková, že G. Potom f(z)dz = F ((b)) F (()). Pokud je uzvřená křivk, pk f(z)dz =. 7. Oblst Definice. Otevřená množin Ω C je souvislá, pokud neexistují dvě neprázdné disjunktní otevřené množiny G 1, G 2 Ω tkové, že G 1 G 2 = Ω. Souvislou otevřenou množinu v C nzýváme oblst. Definice. Otevřená množin Ω C je křivkově souvislá, pokud pro kždé dv body z, w Ω existuje křivk tk, že z, w Ω. Vět.Chrkterizce oblsti. Otevřená množin Ω C je souvislá, právě když je křivkově souvislá. (Dále pltí, že kždé dv body Ω lze spojit lomenou črou.) 8. Primitivní funkce Vět.Primitivní funkce křivkový integrál. Nechť Ω C je oblst f : Ω C je spojitá funkce. Pk následující podmíky jsou ekvivlentní (1) f má v Ω primitivní funkci. (2) Pro kždé dvě cesty : [, b] Ω ψ : [c, d] Ω tkové, že () = ψ(c) (b) = ψ(d) pltí f(z)dz = f(z)dz. (3) Pro kždou uzvřenou cestu : [, b] Ω pltí f(z)dz =. Definice. Nechť je uzvřená cest C \. Pk index bodu vzhledem k cestě je definován jko ind = 1 dz 2πi z. Vět. Jordnov vět pro křivky. (bez důkzu) Nechť křivk : [, b] C je prostá n [, b) uzvřená. Pk existují otevřené souvislé neprázdné disjunktní množiny G 1 G 2 tk, že C \ = G 1 G 2. ψ
10 1 Obrázek 5. N Möbiově proužku Jordnov vět nepltí Obrázek 6. Kochov křivk
11 11 9. Cuchyov vět její důsledky Pro tři body z, v, w C definujeme τ z,v,w = [z, v] [v, w] [w, z], ([z, v] je úsečk spojující z v) T z,v,w množinu všech konvexních kombincí z, v, w. (T je trojúhelník, τ je jeho hrnice.) Vět. Cuchy-Gourstov Nechť z, v, w Ω C, kde Ω otevřená, T z,v,w Ω, nechť p Ω nechť f je spojitá n Ω holomorfní n Ω \ {p}. Potom τ z,v,w f(z)dz =. Definice. Množin M C se nzývá hvězdovitá, pokud existuje z M tk, že pro kždé z M je úsečk [z, z] celá obsžená v M. Vět. Cuchyov vět pro hvězdovitou množinu. Nechť Ω C je otevřená hvězdovitá množin nechť p Ω. Nechť f je spojitá n Ω holomorfní n Ω\{p}. Potom f má primitivní funkci n Ω. ( A tedy pro kždou uzvřenou cestu : [, b] Ω pltí f(z)dz =.) Vět. Cuchyův vzorec pro kruh Nechť funkce f je holomorfní n uzvřeném kruhu o středu C poloměru r > nechť (t) = + re it, t [, 2π]. (Kružnice o středu poloměru r.) Potom pro kždé w U(, r) pltí f(w) = 1 2πi f(z) z w dz. Dále má funkce f v bodě w derivce všech řádů pltí f (n) (w) = n! f(z) dz. 2πi (z w) n+1 Pozorování. Funkce holomorfní n množině M C má n této množině derivce všech řádů. Pozorování. Nechť Ω C je otevřená, nechť p Ω nechť f je spojitá n Ω holomorfní n Ω \ {p}. Potom f je holomorfní n Ω. Pozorování. Nechť funkce f je holomorfní n uzvřeném kruhu o středu C poloměru r >, potom f() = 1 2π 2π f( + re it )dt. Vět. Vyjádření mocninnou řdou Nechť funkce f je holomorfní n U(, r), C r >. Pk f je n U(, r) součtem mocninné řdy c n (z ) n, kde pro n N n= c n = f (n) () n! c = f(). Vět. Cuchyův odhd Nechť funkce f je n U(, r), C r > součtem řdy c n (z ) n. n=
12 12 Pro < ϱ < r oznčíme M ϱ = sup{ f(z) ; z = ϱ}. Potom pro n celé pltí c n M ϱ ϱ n. Vět. Liouvilleov Kždá omezená celá funkce je konstntní. Vět. Zákldní vět lgebry. Kždý polynom stupně lespoň 1 s komplexními koeficienty má lespoň jeden kořen v C. Vět. O kořenech Nechť funkce f je holomorfní n U(, r), C r >. Nechť f() = f není konstntní n U(, r). Pk existuje právě jedno n N právě jedn funkce g holomorfní v U(, r) tk, že pro kždé z U(, r) f(z) = (z ) n g(z) g(). Vět. Weierstrssov Nechť G C je otevřená f n jsou holomorfní funkce, které lokálně stejnoměrně konvergují k funkci f. Pk f je holomorfní v G pro kždé m N funkce f n (m) konvergují k f (m) lokálně stejnoměrně. Vět. Klsifikce singulrit Nechť C r >, funkce f je holomorfní n B(, r) \ {}. Pk nstává právě jedn z následujících možností: (1) Existuje tkové ϱ (, r), že f je omezená n P (, ϱ). Pk existuje vlstní lim z f(z). Dodefinujeme-li funkci f v bodě hodnotou této limity, dostneme funkci holomorfní n U(, r). Pk říkáme, že f má v bodě odstrnitelnou singulritu. (2) lim z f (z) =. Pk existuje právě jedno p N, pro které existuje vlstní nenulová lim z (z ) p f(z). Nvíc existují jednoznčně určená čísl 1,..., p tk, že funkce f(z) 1 (z ) p (z ) p má v bodě odstrnitelnou singulritu. Pk říkáme, že f má v bodě pól násobnosti p. (3) lim z f (z) neexistuje. Pk říkme, že f má v podsttnou singulritu. 1. Reziduová vět Definice. Nechť C {c n } n= je posloupnost komplexních čísel. Nekonečnou řdu funkcí tvru (*) c n (z ) n n= nzýváme Lurentovou řdou o středu. Mocninnou řdu c n (z ) n n= nzýváme regulární částí řdy (*) řdu (**) nzýváme hlvní část řdy (*). 1 n= c n (z ) n
13 13 Pozorování Nechť C r >, funkce f je holomorfní n B(, r) \ {}. Nechť f má v bodě pól násobnosti p. Pk je n B(, r) \ {} součtem Lurentovy řdy ve tvru (1.1) c n (z ) n. n= p Definice.Reziduum Nechť funkce f je holomorfní n B(, r) \ {}, C < R. Nechť f má v pól násobnosti p nechť c n (z ) n n= p je Lurentovou řdou funkce f n P (,, R). Pk reziduem f v bodě nzveme číslo res f = c 1. Vět.Reziduová vět Nechť Ω C je otevřená množin, M Ω konečná množin : [, b] Ω \ M uzvřená cest. Předpokládejme, že pro Ω pltí Cuchyov vět, tj. g(z)dz = pro kždou funkci g holomorfní n Ω. Pk pro kždou funkci f holomorfní n Ω \ M, která má póly v bodech množiny M, pltí f(z)dz = 2πi ind res f. M Pozorování.Prvidl pro výpočet rezidu Nechť f g jsou holomorfní funkce v nějkém prstencovém okolí bodu C. (1) Má-li funkce f v bodě pól násobnosti p, pk res f = 1 (p 1)! lim z (f(z)(z )p ) (p 1). (2) Jsou-li f, g holomorfní v bodě g má v bodě kořen násobnosti 1, pk f res g = f() g (). (3) Je-li f holomorfní v g má v pól násobnosti 1, pk res fg = f()res g. (4) Je-li f holomorfní v bodě g má v bodě pól násobnosti p, pk p f (k 1) () res fg = (k 1)! b k, k=1 kde b k je k-tý koeficient Lurentovy řdy funkce g v bodě. Lemm.Jordnovo Nechť α < β π f je funkce spojitá n {z C : Argz [α, β], z > R} pro nějké R >, pro kterou pltí lim f(z) =. z ;Argz [α,β] Nechť pro r > t [α, β] je r (t) = re it. Pk pro kždé x > lim e ixz f(z)dz =. r r Lemm.Nechť C f je holomorfní v nějkém prstencovém okolí bodu. Dále nechť α < β, r > r (t) = re it, t [α, β]. Pokud je f holomorfní v, pk lim f(z)dz =, r r
14 14 pokud má f v pól násobnosti 1, pk lim r r f(z)dz = i(β α)res f. 11. Fourierovy řdy Definice. Nechť komplexní funkce reálné proměnné f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π]. Pro n Z definujeme Řdu c n = 1 2π 2π n= f(x)e inx dx. c n e inx nzývme Fourierov řd funkce f. Čísl c n nzveme koeficienty této řdy. Definice. Nechť reálná funkce f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π]. Pro n N definujeme Řdu n = 1 π b n = 1 π 2π 2π = 1 π f(x) cos(nx)dx, f(x) sin(nx)dx, 2π f(x)dx. 2 + n cos(nx) + b n sin(nx). n=1 nzývme Fourierov řd funkce f v reálném tvru. Pozorování Nechť reálná funkce f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π] n, b n c n jsou jko výše. Pk pro n N pltí c n = c n, n = 2Rec n, b n = 2Imc n. = 2c. Pozorování Nechť funkce f je ve tvru N f(x) = n= N d n e inx, potom pro koeficienty její Fourierovy řdy pltí c n = d n f je součtem své Fourierovy řdy. Pozorování Pokud je funkce součtem Fourierovy řdy, pk je periodická. Můžeme tedy hovořit buď o funkcích n intervlu [, 2π], nebo o periodických funkcích s periodou 2π. Pozor le n spojitost derivci v koncových bodech. Definice. Konvoluce Nechť f, g jsou 2π periodické funkce, které mjí Riemnnův integrál n intervlu [, 2π]. Pk definujeme operci konvoluce f g(x) = 1 2π π π f(t)g(x t)dt.
15 15 Pozorování Konvoluce je komuttivní distributivni vzhledem ke sčítni. Výsledkem konvoluce je 2π periodická funkce. Poznámk Konvoluce je tké socitivní výsledkem konvoluce je spojitá funkce. (Důkz vynecháme.) Definice. Dirichletovo jádro Pro N N {} definujeme Dirichletovo jádro předpisem N D N (x) = e inx. n= N Pozorování Pro N N x R \ {2kπ}, k Z, D N (x) = sin((n )x). sin(x/2) V bodech 2kπ D N spojitě dodefinujeme 2N + 1 rovnost tké pltí. Vět Nechť 2π periodická funkce f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π] má koeficienty Fourierovy řdy c n. Pk pro x R N n= N c n e inx = (D N f)(x). Definice. Fejérovo jádro Pro N N definujeme Fejérovo jádro předpisem F N (x) = 1 N N 1 n= Pozorování. Pro N N x R \ {2kπ}, k Z, F N (x) = 1 N D n (x). sin 2 ( N 2 x) sin 2 (x/2). V bodech 2kπ F N spojitě dodefinujeme N rovnost tké pltí. Definice. Stejnoměrná spojitost Řekneme, že funkce f je n intervlu I stejnoměrně spojitá, pokud pro kždé ε > existuje δ > tk, že pokud x, y I x y δ, pk f(x) f(y) ε. Vět. Nechť I je uzvřený intervl f je spojitá funkce n I, pk f je stejnoměrně spojitá n I. Nechť f je spojitá periodická funkce n R, pk f je stejnoměrně spojitá n R. Vět. Aproximtivní jednotk Nechť K n jsou 2π periodické spojité funkce tkové, že pro kždé n 1 1 π K n (x)dx = 1, 2π π pro kždé n 1 x R K(x) pro kždé π > δ > ( 1 δ ) π lim K n (x)dx + K n (x)dx =. n 2π π Pk pro kždou spojitou 2π periodickou funkci f konverguje K n f stejnoměrně k f n R. δ
16 16 Vět. Rekonstrukce funkce z Fourierovy řdy Nechť f je 2π periodická spojitá funkce nechť má koeficienty Fourierovy řdy c n. Pk pro x R N 1 1 n lim c n e inx = lim N N (F N f)(x) = f(x). N n= k= n Tto konvergence je nvíc stejnoměrná. Vět.O jednoznčnosti Fourierovy řdy Nechť f je 2π periodická spojitá funkce nechť koeficienty její Fourierovy řdy jsou všechny nulové. Pk f je nulová funkce. Vět.O konvergenci Fourierovy řdy Nechť spojitá komplexní funkce reálné proměnné f je periodická s periodou 2π, nechť koeficienty její Fourierovy řdy jsou c n. Nechť je řd c n n= bsolutně konvergentní. Pk její Fourierov řd je stejnoměrně konvergentní n R f je jejím součtem. Vět.Fourierov řd hldké funkce Nechť komplexní funkce reálné proměnné f je periodická s periodou 2π, má spojitou druhou derivci n R. Pk její Fourierov řd je stejnoměrně konvergentní n R f je jejím součtem. Vět.O proximci trigonometrickým polynomem Nechť f je 2π periodická spojitá funkce, pk pro kždé δ > existuje konečná posloupnost d n, N n N, tk, že pro kždé x R N f(x) d n e inx δ. n= N Vět.Weierstrssov o proximci polynomem Nechť f je spojitá funkce n uzvřeném intervlu I. Pk pro kždé δ > existuje polynom p tk, že pro kždé x I f(x) p(x) δ. 12. Fourierov řd jko ortonormální systém Definice. Sklární součin funkcí, norm. Pro f, g spojité, 2π periodické funkce n R definujeme sklární součin Dále definujeme L 2 normu f, g = 1 2π f 2 = f, f = 2π ( 1 2π f(x)g(x)dx. 2π f(x) 2 dx) 1/2. Pozorování. Funkce e ikx, k Z jsou po dvou kolmé, jejich normy jsou 1. Tyto funkce tvoří ortonormální systém. Pozorování. Nechť funkce f je ve tvru N f(x) = d n e inx, n= N
17 17 potom f 2 = N n= N d n 2. Vět. L 2 konvergence Fourierovy řdy. Nechť f je spojitá, 2π periodická funkce n R, potom lim f D N f 2 =. N Vět. Prsevl Nechť f je spojitá, 2π periodická funkce n R c n jsou koeficienty její Fourierovy řdy. Potom f 2 = c n 2. n= Vět. Riemnn-Lebesgueovo lemm Nechť f je spojitá, 2π periodická funkce n R c n jsou koeficienty její Fourierovy řdy. Potom lim c n = = lim c n. n n
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceDoc. RNDr. Ondřej Kalenda, PhD., DSc.
Úvod do komplexní analýzy Doc. RNDr. Ondřej Kalenda, PhD., DSc. Texty k přednáškám doplněny důkazy Obsah Úvod 3. Množina komplexních čísel.......................................... 3.2 Komplexní funkce
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Více%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% množina komplexních čísel algebraický zápis komplexního
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceZ aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005
Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti......................................2 Úplné, seprbilní kompktní prostory......................... 7.3 Zobrzení
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceKomplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Více15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak
5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VícePředpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):
Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více1. Komplexní funkce Komplexní čísla, elementární funkce. Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2 s následujícími operacemi:
1. Komplexní funkce 1.1. Komplexní čísl, elementární funkce Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2 s následujícími opercemi: sčítání násobení reálným číslem (definovnými stejně jko v
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceSPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1 MARTIN KOLÁŘ
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1 MARTIN KOLÁŘ Kpitol 1 Fourierovy řdy 1.1 Úvod 1.1.1 Motivční příkld Z hledisk historie vznikl teorie Fourierových řd ve fyzice, při snze njít řešení rovnice vedení tepl. Uvžujme šíření
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceSvazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:
vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE Komplexní integrce je do určité míry vrchol klsické nlýzy. Jádrem komplexní integrce je uchyov vět, což je komplexní form zákonu zchování, v podsttě jde o zákldní věty nlýzy. KŘIVKOVÝ
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
Vícerovnice 8.1 Úvod Kapitola 8
Kpitol 8 Zobecněné lineární diferenciální rovnice 8.1 Úvod Všechny integrály v této kpitole jsou KS-integrály, jejichž definice je rozšířen ve smyslu odstvce 6.8 n mticové funkce (tj. funkce zobrzující
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI
ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
VícePoznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceToto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá
Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceMatematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Více