zanedbáme odstředivou sílu, úměrnou kvadrátu úhlové velikosti Ω, jako veličinu druhého řádu. Za uvedeného předpokladu má pohybová rovnice tvar 2( )

Transkript

1 Příkad Jakou trajektorii popisuje aserový paprsek v CD přehrávači vzhede a) k těesu přehrávače b) ke zdroji aserového paprsku c) k CD desce? Najděte veikost odchk od vertiká těesa padajícího voný páde vvoané otáčení Zeě (za předpokadu aé veikosti úhové rchosti rotace) V hoogenní tíhové poi U = g r zanedbáe odstředivou síu úěrnou kvadrátu úhové veikosti Ω jako veičinu druhého řádu Za uvedeného předpokadu á pohbová rovnice tvar vɺ = v Ω + g () Uvedenou rovnici budee řešit etodou postupných aproiací (poruchový počte) Poožíe v = v + v kde v je řešení v nuté přibížení v ɺ = g tj v = gt + v Uvedené řešení dosadíe do pravé stran do rovnice () a dostanee pohbovou rovnici v prvé přibížení pro v vɺ = v Ω = t g Ω + v Ω Po integraci dostanee 3 r = h + v t + gt + t g Ω + t v Ω 3 kde h je počáteční pooha těesa Zvoíe osu z ve sěru vertiká a osu ve sěru g g Ω Ωcos ϕ Ωsinϕ poedníku s orientací sěre k póu poto a kde ϕ je zeěpisná šířka kterou zvoíe z důvodů jednoznačnosti severní Poožíe-i v = dostanee 3 = ; = t g Ωcosϕ 3 Dosadíe-i dobu pádu t h g dostanee 3 h = ; = gωcosϕ 3 g Těeso se odchýí po dopadu východní sěre 3 Dva autoobi současně vje z ísta A a za hodinu doje do ísta B První autoobi proje první poovinu dráh rchostí v = 6 k/h a druhou poovinu rchostí v = 9k/h Druhý autoobi proje ceou dráhu rovnoěrně zrchený pohbe V které okažiku b rchosti obou autoobiů stejné? Setkají se autoobi běhe cest? 4 Baón o hotnosti M je bez pohbu nad zeský povrche Z baónu visí provazový žebří na které stojí čověk o hotnosti V určité okažiku začne čověk po žebříku vstupovat stáou rchostí vzhede k žebříku a) Vsvětete fzikáně danou situaci b) Jakou rchostí se při výstupu čověka pohbuje baón vzhede k Zei? 5 Vrtuník etí rchostí 54 k/h Vrtue při jedné otáčce vkoná posuvný pohb po dráze 48 Vpočtěte úhovou rchost vrtue

2 6 Hotnost parašutist s padáke je = kg Otevřený padák je brzděn odpore vzduchu úěrný v a poše S průětu padáku do vodorovné rovin (F R = ksv ) Při rchosti 3 /s je brzdící sía rovna N na jednotku poch průětu padáku do vodorovné rovin Jak veký usí být průět padáku do vodorovné rovin ab rchost dopadu parašutist ba bezpečná v /s? (S 65 ) 7 Odvoďte závisost zěn tíhového zrchení v závisosti na zeěpisné šířce t = g + β sin ϑ kde g e je tíhové zrchení na rovníku β konstanta a θ zeěpisná šířka e daného ísta 8 Po otevření panákuje počáteční rchost výsadkáře /s Na jaké hodnotě se ustáí jeho rchost působí-i na jeho pohb odporová sía určení vztahe F = kv kde k = Ns/ a v je rchost výsadkáře? Jeho ceková hotnost je 9 kg 9 Žebřík dék L a hotnosti M je šiko opřen o hadkou stěnu viz obr Ve vzdáenosti L 4 od jeho horního konce je uístěno závaží hotnosti Určete a) síu F kterou působí žebřík na stěnu b) vodorovnou a svisou sožku sí kterou žebřík působí na vodorovnou rovinu F F3 Částice se pohbuje v hoogenní tíhové poi po stěně hadkého váce pooěru R jehož osa setrie svírá se svisý sěre úhe viz obr Naezněte reakci vazb jako funkci pooh částice ve vácových souřadnicích 3 F R h F F g L 4 Obr 9 L R R 3 A F 3 F 3 g X 3 g X Obr Obr Zvoe kartézskou a vácovou souřadnicovou soustavu tak že g viz obr Vazebná podínka pro pohb částice po stěně vácové poch o pooěru R á ve vácových souřadnicích tvar f = ρ R = f ɺ =ρ ɺ = ɺɺ f =ρ ɺɺ = Určíe sožk tíhové sí Fg ( X X X3) ve vácových souřadnicích Kartézské F X X X jsou souřadnice tíhové sí g 3 X = ; X = g sin; X3 = g cos

3 Kartézské sožk bázových vektorů vácové souřadnicové soustav jsou určen vztah e ϕ sin ϕcos ϕ e e ρ ( cos ϕ sin ϕ) z Pro vácové sožk tíhové sí pak obdržíe Xρ = Fg eρ = gsin sinϕ; Xϕ = Fg eϕ = gsincosϕ ; Xz = Fg ez = gcos Fg = ( gsinsin ϕ gsincos ϕ g cos) D Aebertova setrvačná sía ve vácových souřadnicích je určena vztah d J ( aρ aϕ az ) ( ɺɺ ρ ρϕɺ ) ( ρ ϕɺ ) z ɺɺ ρ dt f f f Reakce vazb R = λ λ λ = ( λ) R( λ;;) ρ ϕ z Lagrangeov rovnice I druhu ají tvar ( ɺɺ ɺ ) ρ ρϕ = gsinsin ϕ+λ d ( ρ ϕ ɺ) = gsincos ϕ ρ dt z ɺɺ = gcos Z vazební podínk pne ρ= R = konst ρ=ρ= ɺ ɺɺ Lagrangeov rovnic I druhu zapíšee ve tvaru Rɺ sin sin Rϕ ɺɺ = gsincos ϕ ϕ = g ϕ+λ ɺɺ z = gcos Vnásobíe druhou rovnici ϕɺ a po integraci dostanee Rϕ ɺ = g sinsinϕ+ C Dosazení uvedeného výrazu do první z rovnice dostanee λ = 3g sinsinϕ C R g C e ρ Reakci vazb ůžee ted zapsat jako vektor = ( 3 sinsinϕ+ ) Kartézské sožk vektoru R získáe poocí vztahu R = 3g sinsinϕ+ C cosϕ i + sinϕ i + i ( 3) R = 3gsinsinϕcosϕ+ Ccos ϕ R = 3g sinsin ϕ+ Csin ϕ R = 3 Hoogenní tč dék se opírá o dokonae hadkou stěnu viz obr a je v této pooze udržována vnější siou V určité okažiku tč uvoníe tak že začne bez tření kouzat po podaze i po stěně V jaké výšce bude horní konec tče kdž se odděí od stěn? Původní výška tohoto konce nad podahou je h Eistující vazb = = + = B A B A 3

4 Reakce vazeb F = λ F = λ Lagrangeov pohbové rovnice I druhu pak jsou ɺɺ = λ ɺɺ = λ Jɺɺ ϕ = gcosϕ λcos ϕ kde uvažujee otáčení v bodě A V bodě ve které tč ztrácí kontakt se stěnou patí F = λ = ɺɺ = Z vazebních podínek vpývá B A tgϕ = = => ϕ = arctg ; A = A A a dáe ɺ ɺ ϕ = ( ) ɺɺ + ɺ ɺɺ ϕ = 3 Moent setrvačnosti tče která se otáčí koe bodu A je J = + = Pohbová rovnice pro rotaci tče koe bodu A pak á tvar 4 3 ɺɺ ( ) + ɺ g λ 3 3 = V okažiku kd ztrácí tč na vrchou kontakt se stěnou λ = ɺɺ = pak patí ɺ g = 3 3 ( ) Zákon zachování energie tče vzhede k těžišti á tvar ɺ g gh 6 + = a ted ɺ g ( h ) 3 = Dosazení do () dostanee ( ) g h a konečně = h 3 g = Těísko o hotnosti je pookoue o pooěru R viz obr 3 B h F g F R ϕ Obr Obr A F () 4

5 a) Jak vekou rchost usí ít těeso ve vodorovné sěru ab se od pookoue odtrho již na počátku pohbu? b) Ve které bodě se těísko odtrhne od povrchu pookoue jestiže ho vchýíe z rovnovážné pooh Jaká je výška tohoto bodu od vodorovné rovin (těísko se odděí ve výšce /3R pod vrchoe pookoue) 3 Uvažujte váec o pooěru R nacházející se v tíhové poi jehož osa setrie je vodorovná viz obr 3 Přes vrcho váce je nataženo nehotné vákno dék = πr na jehož koncích jsou upevněna těíska o hotnostech a Určete rovnovážnou poohu těes na váci ( ϕ = arctan ϕ = ϕ + π ) 4 Závaží o hotnosti je zavěšeno uprostřed drátu ABC viz obr 4 kde AC= BC AB = AC Určete napěťové sí v drátu T a T Obr 3 A B R r T T C Obr 4 Obr 5 5 Cívka á hotnost a její veký a aý pooěr jsou R a r viz obr 5 Poocí vákna navinutého na enší pooěr cívk je cívka zavěšena na tráci Na větší pooěru cívk je zavěšeno závaží o hotnosti M Jaká usí být hotnost závaží ab ba cívka v rovnováze? (M = r/(r r)) 6 Dvě nakoněné hadké rovin které svírají s vodorovnou rovinou úh β tvoří nehbný kín Na těchto rovinách eží hrano o stejné hotnosti spojené vákne přes kadku viz obr 6 Jakou rchost budou ít hrano projdou-i od začátku pohbu vzdáenost d? 7 O vnitřní stěn rotačního parabooidu Určete její rovnovážnou poohu + = pz se opírá hoogenní tč dék a (pro a = p je v rovnovážné pooze tč vodorovná Pro a > peistují dvě rovnovážné pooh v jedné je tč vodorovná ve druhé tč prochází ohniske parabo) M M Obr 6 β M 5

6 8 Sestavte Lagrangeovu funkci eektronu který se nachází v hoogenní eektrické poi E E E = const L = ɺ ee kde E je intenzita eektrického poe ( ) Nápověda: Vztah ezi potenciání energií eektronu a intenzitou eektrického poe je ee = dv d 9 Sestavte Lagrangeovu funkci soustav zobrazené na obr 9 Bod se pohbuje po vertikání ose a ceá soustava se otáčí s konstantní úhovou rchostí Ω koe svisé os Nápověda: d = a dϑ + a sin ϑdϕ ; d = asinϑdϑ ( L = a dɺ ϑ +Ω sin ϑ + a sin ϑϑɺ + ga + cos ϑ) a A θ Obr 3 Sestavte Lagrangeovu funkci pro ateatické kvado jehož bod závěsu se rovnoěrně pohbuje po vertikání kružnici s konstantní frekvencí γ Nápověda: = acosγt + sin ϕ ; = sinγt + cosϕ ( L = ɺ ϕ + aγϕɺ sin ϕ γ t + gcos ϕ) Sestavte Lagrangeovu funkci soustav na obr která se nachází v hoogenní gravitační poi ɺ ɺ ɺ ɺ ( ) ( ) g cos g cos ) ( L = + ϕ + ϕ + ϕ ϕ cos ϕ ϕ ϕ + ϕ a ϕ Obr Sestavte Lagrangeovu funkci pro rovinné kvado o hotností jehož bod závěsu o hotností se ůže pohbovat po horizontání příce viz obr 3 ɺ ( ɺ ɺɺ ) [ L = + + ϕ + ϕcosϕ + gcos ϕ] ϕ ϕ ϕ Obr Obr 3 3 Určete viv otáčení Zeě na aé výchk kvada (tzv Foucautovo kvado) ɺɺ + ω = Ω ɺ ; ɺɺ + ω = Ωɺ ɺɺ ξ + Ω iɺ ξ + ω ξ = ; ξ = + i Ωit Ωit ξ = + i = e + i = e cos ωt + ϕ 6

7 4 Zvedací zařízení tvoří hoogenní tč dék a hotnosti M která je svý doní konce koubově spojena se svisou stěnou Ve vzdáenosti a od doního konce tče je upevněn vodorovný napjatý drát který přidržuje tč pod úhe ϑ ke stěně Na horní konci tče visí závaží o hotnosti viz obr 4 Určete síu která napíná vodorovný drát 5 Po nakoněné rovině o výšce h a úhe skonu ϕ se kutáí bez tření váec o hotnosti a pooěru R Porovnejte jeho rchost na konci nakoněné rovin s rchostí kterou b dosáh voný páde z výšk h Moent setrvačnosti váce je J T = / R ( v VP = gh ; vrp = 4gh 3 ) ϑ a Obr 4 6 Koue vaící se po vodorovné rovině rchostí v = 5 /s dorazí k nakoněné rovině po níž se začne vait bez kouzání vzhůru Nakoněná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhe 37 Jak douho bude koue na nakoněné rovině? Moent setrvačnosti koue je J T = / 5 R (t = 33 s) 7 Míč je třeba přehodit přes svisou stěnu o výšce H nacházející se ve vzdáenosti S od ísta hodu Pod jaký úhe ϕ je třeba íč hodit ab veikost jeho počáteční rchosti ba iniání viz obr 7? Trajektorie íče bude procházet bode o souřadnicích S H usí ted patit H g = tg cos S + S ϕ v ϕ v gs gs Stgϕ H cos ϕ Stgϕcos ϕ Hcos ϕ = = gs S sin ϕ H cos ϕ = v cos ϕ+ cos ϕ = gs = Ssinϕ H cosϕ H v Poožíe H sin S H = + gs a S cos S H = v = ; S + H sin( ϕ ) H a ted + sin ϕ = ( + + ) S S H H π ϕ = + 4 gs g vin = = = g ( S + H + H) S + H H S 8 Dvě koejničk jsou spou pevně spojen tak že svírají pravý úhe Po každé koejničce se ůže pohbovat vozík Vozík jsou spou koubovitě spojen čepe dék Vozík A S Obr 7 H 7

8 začíná svůj pohb z průsečíků koejniček a pohbuje se vzhůru stáou rchostí v Najděte zákon pohbu vozíčku B a určete jeho rchost v A Pohb vozíku A popisuje rovnice je =v t Pohb vozíku B rovnice dostanee d v t = dt v t = v t Derivací pode času B 9 Z bodu A nacházejícího se na břehu řek je nutnou dopout do bodu B po příce AB viz obr 9 Šířka řek je AC = k a BC = k Maiání rchost oďk - vzhede k vodě je u =5 kh a rchost a - proudu řek je v = kh Může oďka urazit vzdáenost AB za 3 inut? Úhe nechť určuje sěr rchosti u oďk vzhede k břehu Pak patí ( cos ) u v t = BC = S ; utsin = AC = d Z těchto vztahů voučení dostanee S + Svt + vt utcos v t = S ; cos = u t d utsin = d ; sin = u t u v t Sv t S + d = => t = 5 7 > 3in ( ) 3 Po řece z bodu A do bodu B na protiehé břehu puje podé přík AB svírající s břehe úhe otorový čun viz obr 3 Vítr vanoucí rchostí u koo k břehů stáčí vajku na stožáru čunu tak že svírá se sěre pohbu čunu úhe β Určete rchost čunu vzhede k břehů Označe u vektor rchosti větru vzhede ke čunu jehož sěr udává sěr vajk na stožáru Je-i A Obr 3 v rchost čunu vzhede k břehů patí u = u v Patí DCF =+β-π a FDC=π- β pne to z hodnot součtu vnitřních úhů rovnoběžníka Ze sinové vět pro FCD pne v u sin +β π cos( +β = v = u = ) u sin +β π sin π β sin π β sinβ v B D u u v F u β Obr 8 Obr 9 C v C A v B 8

9 3 Sestavte Haitonovu funkci pro hotný bod v dekartských vácových a kuových souřadnicích p ϕ ( H = ( p + p + pz ) + U ( z) H = pr + + p z + U ( r ϕ z) r p p ϑ ϕ H = pr + + U + ( r ϑ ϕ) ) r r sin ϑ 3 Sestavte Haitonovu funkci částice v soustavě která se rovnoěrně otáčí L( r v) = v U ( r) v = v + Ω r ; v = v + v Ω r + Ω r L = v + v ( Ω r) + ( Ω r) U ( r) L = p = v + ( Ω r) ; v = p ( Ω r) v p H r p = pv L = v Ω r + U r = Ω p r + U r 33 Poocí Lagrangeových rovnic určete zrchení těesa hotnosti na obr 33 Kadk i ano považujte za nehotné d = d ; C = ; ɺ = ɺ T = ɺ + ɺ = + ɺ 4 V = g + g = g + g ( C ) L = + g 4 ɺ + + g = 4 ɺɺ 4( ) ɺɺ = g Vpočtěte havní hodnot oentu setrvačnosti spojitých hoogenních těes: a) Tenké tče o déce ( J = J = ; J = ) 3 b) Koue o poěru R ( J = J = J3 = 5R ) c) Kruhového váce o pooěru R a výšce h ( d) Hrano o stranách a b c J = b + c ; J = a + c ; J = a + b ) ( 3 J = J = 4 R + h 3 ; J = R ) 3 Obr 33 9

10 35 Určete frekvenci kitů hotného bodu o hotnosti který se pohbuje po příce a je upevněn k pružině jejíž druhý konec je v bodě A ve vzdáenosti od přík viz obr 35 Pro natažení pružin na déku je nutná sía F Nápověda: δ = + U = Fδ ( ω = F ) 36 Určete frekvenci kitů hotného bodu o hotnosti který se pohbuje po obouku kružnice o pooěru r a je upevněn k pružině jejíž druhý konec je v bodě A ve vzdáenosti od obouku viz obr 36 Pro natažení pružin na déku je nutná sía F ( F r r ) Nápověda: δ = r + ( + r) r( + r) cosϕ r( + r) ϕ ω= + A A Obr 35 Obr Najděte kinetickou energii soustav na obr 37 OA a AB jsou tenké hoogenní tče o déce které jsou koubově spojen v bodě A Tč OA se otáčí v rovině obrázku koe bodu O a konec B tče AB kouže podé os Rchost těžiště tče OA je ϕɺ a ted ceková kinetická energie tče OA je J T = ɺ ϕ + ɺ ϕ 8 Kartézské souřadnice těžiště tče AB jsou 3 X = cos ϕ ; Y = sin ϕ Protože úhová rchost tče AB je stejná jako u tče OA ϕɺ je ceková kinetická energie tče AB J J T = ( Xɺ + Yɺ ) + ɺ ϕ = ( + 8sin ϕ) ɺ ϕ + ɺ ϕ 8 Ceková kinetická energie soustav je T = ( + 3sin ϕ) ɺ ϕ 3 38 Najděte kinetickou energii váce o pooěru R který se kutáí po vodorovné rovině viz obr 38 Hotnost váce je rozděena v jeho objeu tak že jedna z havních os setrvačnosti je rovnoběžná s osou váce a je od ní vzdáena na vzdáenost a Moent setrvačnosti vzhede k této ose je J

11 A Obr 3 7 Obr Určete rchost dopadu konce tenké tče jejíž spodní konec je spojen koube s podožkou a která padá voně v tíhové poi Zeě z pooh kd stojí koo k podožce ( v = 3g ) 4 Hoogenní tč o hotnosti a déce rotuje konstantní rchostí koe svisé (pevné) os procházející její (hotný) střede Vzdáenosti opor os otáčení v bodech A B od středu tče jsou stejné a rovn a Úhe ezi tčí a osou otáčení je stáý Určete reakce RA RB opor a pohbový zákon rotující tče Vtištěné sí ají v soustavě z sožk F ; gsin ; gcos R g A ( RA RA RAz ) A A B B Určení Euerových úhů Zavedee pevnou aboratorní vztažnou soustavu XYZ a rotující soustavu z totožnou s havníi osai rotace tče Počátek obou soustav nechť je v těžišti viz obr 4 Poto pro Euerov úh patí ϑ = ϕ = ϕ ( t) a ztotožníe-i osu s uzovou příkou ψ = Os Z z a eží v jedné rovině která rotuje koe os Z Orientaci soustav z voíe tak ab ba pravotočivá Pro sožku ω poto patí ω = Sožk tenzoru setrvačnosti tče v soustavě z jsou RB ( RB RB RBz ) Pro oent vtištěných si vzhede k těžišti v soustavě z patí M = r R + r R ; ra ( ; asin ; acos) rb ; asin ; acos O ϕ X R B ( A B) cos ( Bz Az) sin M = a RB RA cos M = a R R + R R Mz = a RA RB sin Rovnováha tče vůči transaci Výsednice vtištěných si F = F + RA + RB = a ted RA + RB = gsin+ R + R = A A Z B o B R A Obr 4 B z g Y I = I = I = a I = () a ϕ R z () (3)

12 g cos+ R + R = Az Bz Euerov kineatické rovnice ω = ɺ ϕsinϑsinψ + ɺ ϑcos ψ ω = ɺ ϕsinϑcosψ ɺ ϑsin ψ ωz = ɺ ϕcos ϑ + ψɺ ϕ = ϕ ϑ= ψ = ω = ; ( t) ω =ϕɺ sin; ω = ϕɺ cos ω= ϕ=const ɺ Euerov dnaické rovnice dω I + ( Iz I) ω ω z = M dt dω I + ( I Iz) ω ω z = M dt dω z Iz + ( I I) ω ω = Mz dt Dosazení z rovnic () () se Euerov dnaické rovnice zredukují na rovnici ( B A ) ( Az Bz) I a R R a R R ω sin = cos + sin (4) Reakce opor z RA z Pro sožk reakcí rovnoběžných s osou otáčení patí R + R = g AZ BZ Sožk RA a RB koé na osu otáčení určíe násedující úvahou: Zastavíe rotující tč v okažiku kd R = B RBY a X X-ové sožk v obou soustavách hedaných vektorů jsou v dané okažiku v obou soustavách nuové viz obr 4 Z obrázku pne R R B B = RA ; RB = RBY = R cos ; R = R sin BY Bz BY Dosazení uvedených vztahů do rovnice (4) dostanee pro sožk reakcí koých na osu rotace vztah Iω Iω RB = sin RA = sin 4a 4a 3 Pro jednotivé Euerov úh pak patí časové závisosti ϕ=ω t +ω ; ϑ= ψ = Z B o A Obr 4 RB 4 Určete havní oent setrvačnosti desk viz obr 4 o hotnosti Y a Obr 4 b

13 a a b ( J = b d = a J = b ; J = ( + ) dd = ( a + b )) 3 a a b 4 Na raeni o déce a hotnosti které je opřeno o podožku v bodě B je zavěšeno břeeno o hotnosti M Raeno je jištěno ane které je upevněno k podožce v bodě A viz obr 4 Určete reakce podožk v bodech A a B a napětí T jistícího ana Rovnice rovnováh pro tč AC F = => R F + R sin = í í A C T RC cos = Mí = => F cos RC sin( π ) = í Rovnice rovnováh pro tč BC A F í = => RB RC sin = T RC cos = í Řešení uvedeného sstéu rovnic je 3 RA = F RB = F RC = F T = Fcot g 4 4 4sin 4 kde je úhe CAB viz obr 4 43 Určete výšku na které se ustáí hadina vod v nádrži do které vtéká voda v nožství V ɺ [/s] otvore o poše S a vtéká otvore o poše S patí-i S > S ( h = V ɺ gs ) 44 Hoogenní obruč hotnosti a pooěru R rotuje koe os procházející střede křivosti koo na rovinu obruče a á frekvenci f Jakou frekvenci bude ít obruč při jinak stejných podínkách zenšíe-i její pooěr na poovinu (f = 4f ) 45 Dokažte že vastní frekvence reverzního kvada je f = g π kde je vzdáenost závěsu kvada ve kterých kvado kýve se stejnou vastní frekvencí = ɺ ϕ + cosϕ => ɺɺ ϕ + ϕ = => = π L J g J g T J g J J = ; J = J + J = J + g + g ( ) + ( ) g( ) ( ) + J + J = => J = = = g g g J g 46 Sestavte pohbové rovnice soustav jejíž Lagrangeova funkce á tvar a B b T Obr 4 T ϕ Obr 45 M 3

14 ɺ ɺ ɺ L = e + e ɺ e d ɺ L ( + ɺ ) = e 4 e ɺ e d L ( + ɺ ) ( ) + ɺ = e ɺ + e e d + e = e e d ɺ ɺ d L ( + ɺ ) = 4e ɺ e d + e dt ɺɺ ɺ d L L = => ɺɺ + = dt ɺ ɺ ɺ 47 Po nakoněné rovině hranou o hotnosti se skone a výšce h kouže krchička o hotnosti viz obr 45 Hrano se ůže pohbovat po hadké vodorovné rovině Určete zrchení a h hranou Tření zanedbejte q(t) A ɺ Obr 47 Hrano a částice tvoří soustavu se dvěa stupni vonosti n = Obecné souřadnice s s t q = q t = Souřadnice bodu A reprezentujícího hrano jsou q( t ) = Souřadnice částice jsou ( t) = q( t) + s( t)cos ( t) = h s( t)sinlagrangeova funkce dané soustav je L = qɺ + ( qɺ + sɺ + qs ɺɺcos) ( g ht + ) g ssin Pohbové rovnice ají tvar ( + ) qɺɺ + ɺɺ scos = ɺɺ s + qɺɺ cos gsin = Zrchení hranou qɺɺ je ted rovno sincos qɺɺ = at = g + sin h s(t) 48 Jakou déku usí ít hiníkový drát zavěšený ve svisé pooze ab se přetrh působení vastní tíhové sí Hustota hiníku je ρ = 7 3 kg/ 3 pevnost v tahu σ t = 45 MPa (667 ) U = 4

15 49 Těeso o hotnosti M je taženo rovnoěrný zrchený pohbe svise vzhůru Určete zrchení při které se tažné ano přetrhne jestiže jeho pevnost v tahu je σ t a = Sσ M g) ( t 5 Dutý uzavřený váeček pave na hadině kidné kapain tak že je částečně ponořen s podénou osou koo k hadině viz obr 5 Ukažte že pohb váečku je při porušení rovnováh periodický Váeček á pooěr r déku a hotnost hustota kapain je ρ k Na obr 5 a) je váeček v rovnovážné pooze v hoogenní tíhové poi kd výsednice tíhové a vztakové sí je nuová F = F = > πr ρ g = πr h ρ g g VZ v k Obr 5 b) zachcuje stav po porušení rovnovážného stavu povtažení váečku z kapain Vnořená část váečku á déku Obr 5 h + s < Veikost vztakové sí je v toto případě enší než veikost tíhové sí a výsednice si F íří do kapain F = FVZ Fg = πr ρkg h s πr ρ vg = k s F = k s ; k = πr ρkg > Potenciání energie V a kinetická energie T jsou určen vztah dv = Fds = ksds => V = ks ; T = sɺ L s sɺ a z ní vpývající pohbová rovnice jsou poto Lagrangeova funkce ( ) L = sɺ k s => s ɺɺ + ks = Uvedená pohbová rovnice je rovnicí ineárního haronického osciátoru 5 Skeněná trubice ve tvaru písene U je napněna kapainou tak že ceková déka kapainového soupce je viz obr 5 Nakonění trubice a její vrácení do původní pooh se soupec kapain rozkitá Určete vastní frekvenci jeho pohbu Tuení zanedbejte F = Sρg F = k ; k = Sρ g > T = Sρ ɺ ; V = Fd = k L = Sρɺ k Sρ ɺɺ + k = => ɺɺ +ω = k k g ω = => f = = π π 5 Při jak veké rchosti vaku dojde k aiáníu rozkitání vagónů násedke nárazů ko na spoje ezi koejnicei? Déka koejnice je péra vagónu jsou zatížena jeho tíhou G a siou o veikosti F se péra dáe stačí o h 5 a) r ρ v F vz T F g F g h s b) ρ k Obr 5 T F

16 Siové ipus působící na vagón při nárazech ko na koejnicové spoje ůžee považovat za působení periodické haronické budicí sí jejíž frekvenci určíe jako podí f =v Vastní frekvenci f osciátoru tvořeného vagóne hotnosti = Gg a jeho pér o tuhosti k = F h určíe ze vztahu f k = = π π Fg Gh Při rezonanci budící sí a vagónu patí f v 4Fg F g = f = v = π Gh π Gh 53 Kadka zanedbatené hotnosti je zavěšena na dvou stejně douhých pružinách o tuhostech k k viz obr 53 a) Zavěšení závaží o hotnosti na tuto kadku pokesne její těžiště o viz obr 53 b) Určete vastní frekvenci osciátoru tvořeného oběa pružinai a závaží Po zavěšení závaží se ustaví rovnovážný stav G g k = k = = při které patí pro prodoužení obou pružin g g = ; = k k Z obr 53 c) je zřejé že pokes o déce je Obr 53 střední příčkou ichoběžníka jehož zákadn ají dék takže patí + g ( k + k) = = 4kk Výsedná tuhost osciátoru usí spňovat podínku g 4kk k = G = g k = = k + k Pro výsednou tuhost osciátoru ted patí = + k k k Pro periodu vastních kitů osciátoru konečně dostáváe T ( k + k ) = π = π k kk 54 Určete časovou závisost proudu i v obvodu na obr 54 k k a) S c) b) S G G G 6

17 C Na uvedený obvod použijee II Kirchhofův zákon di uc = ul + ur => idt Ri L C = + dt Derivací uvedené rovnice dostanee d i R di + + ω i = ; ω = dt L dt LC Uvedená rovnice je rovnice ineárního haronického osciátoru s tuení Časový průběh proudu i( t ) uvedeného obvodu je na obr 54 R Obr 54 L I t Obr Vácová nádrž o pooěru 9 c stojí na podstavci vsoké 6 a je do výšk 3 napněna vodou U dna je nádrž utěsněna zátkou o poše 63 c viz obr 55 Určete: Jakou rchostí dopadne proud vod na ze kdž zátku odstraníe? Jak douho potrvá než se nádrž zcea vprázdní? 56 Nádrž á ve stěně dva otvor jeden ve výšce h ode dna a druhý ve výšce h V jaké výšce H usí být hadina vod v nádobě chcee-i ab voda z obou otvorů stříkaa do stejné vzdáenosti? Odpor vzduchu zanedbejte ρgh = ρv + ρgh ; ρgh = ρv + ρgh H h H h v v = gt = h gt = h ; = vt = vt h p v h p 3 v 3 Obr 55 p v 7

18 v t h = = v t h H h h = => h H h = h H h H h h H = h h 57 Jaká usí být výška otvoru h ode dna nádob která je do výšk H napněna vodou ab vtékající proud vod dostřík nejdáe? Odpor vzduchu zanedbejte ρ ρ ρ 4 gh = v + gh = vt => = H h h ( H h) ( H h) h d 4h+ 4 = = => h = H dh 4 58 Řetěz dék je poožen rovně na stoe tak že jeho část dék a visí voně přes hranu stou V okažiku t = řetěz uvoníe tak že začne bez tření kouzat ze stou Všetřete pohb řetězu Za jakou dobu skouzne řetěz ceý ze stou? g g = ɺ + => ɺɺ = => ɺɺ ω = ω = ωt ωt = Ce + C e => a = C + C = C C L g = a cosh t ; t = Arc cosh g a 59 Ve vrchoech čtverce o déce stran a jsou rozožen hotnosti a M viz obr 6 Určete sožk tenzoru setrvačnosti vzhede ke vztažné soustavě: a) z b) z Pro danou vztažnou soustavu z jsou sožk tenzoru setrvačnosti určen vztah ( + z ) z ( + z ) z z z ( + z ) Poto a + M a M a) a ( M ) a ( + M ) 4a + M 8 M Obr 6 M

19 4a b) 4a M 4a + M 9