Pružnost a plasticita II

Transkript

1 Pružnost a pasticita II 3. ročník bakaářského studia doc. Ing. artin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební echaniky

2 Neineární chování ateriáů, podínky pasticity, ezní pastická únosnost

3 Úvod, zákadní pojy Teorie pasticity se zabývá studie stavu napjatosti a deforace těes, které se zcea nebo z části nacházejí v pastické stavu. Pastický stav je charakterizován vznike nepružných (nevratných deforací). Některé átky se chovají pružně téěř až do porušení, nevznikají v nich při zatěžování trvaé deforace a porušují se při zatěžování náhe, bez předchozího vzniku trvaých deforací (např. žeezniční koejnice). Tato vastnost je např. u ocei vei závisá na cheické sožení, ae také na stavových podínkách (tepota). Veká část átek se ae pasticky přetváří např. kovy a zeiny. 3

4 Úvod, zákadní pojy Pružnost těesa - vastnost spojitého těesa deforovat se působení vnějšího zatížení (síy, zěna tepoty atd.) a po odeznění těchto zatížení nabýt opět původní tvar obr. a), b). Vztah ezi napětí a deforací ůže být přito ineární obr. a), nebo neineární obr. b). Pasticita těesa - vastnost spojitého těesa deforovat se působení vnějšího zatížení (síy, zěna tepoty atd.) a po odeznění těchto zatížení nenabýt původní tvar obr. c). 4

5 Úvod, zákadní pojy Pastické chování těesa je podstatně sožitější, než chování pružné. Jedné hodnotě napětí A odpovídají na obr. dvě různé hodnoty deforace ε A a ε A. Jedné hodnotě deforace ε C pak dvě hodnoty napětí, a to C a. Patí: ε ε e + ε p pro ε > ε A Pro pružnou deforaci: Pro pastickou deforaci: ε ε e p E ε ε e E... ε E počáteční odu pružnosti Při odehčení: Deforace Napětí ε ε B ε ε B ( ε ε ) B E B B E 5

6 Ideání pružně-pastický ateriá Ve výchozí stavu se předpokádá ateriá bez napětí. Při zatěžování se ateriá chová pode Hookova zákona (je v pružné stavu) až do dosažení ezní hodnoty napětí. Pro < patí E.ε. Po dosažení napětí je ateriá v pastické stavu. ohou vznikat ibovoné přírůstky pastických deforací, usí ít ovše stejný sys jako působící napětí. Odehčení probíhá pružně, při < patí Δ E.Δε e V obecné případě (bod C) je protažení tvořeno pružnou a pastickou částí. Veikost pastické deforace není jednoznačně daná, je výsedke historie zatěžování. 6

7 Ideání pružnopastický ateriá, střídavé zpastizování v taku a v tahu Při střídavé zpastizování v tahu a v taku dochází k disipaci energie (přeěně vykonané práce v tepo) cykus EBCD. Důsedke ůže být zo ateriáu vive tzv. áocykové únavy. Ta, kde je toto nebezpečí, je nutno vyoučit využití pasticity. 7

8 Tuho-pastický ateriá Tuho-pastický ateriá je iitní případe ideáně pružně-pastického ateriáu. U tohoto ateriáu je pružná část deforace těesa nuová nebo nevýznaná pružné deforace se zanedbávají. odeově se voí: E 8

9 Podínky pasticity Podínky pasticity definují přechod z pružného do pastického stavu. Huber-ises-Henckyho podínka pasticity: Při obecné stavu napjatosti dochází k pastickéu přetvoření v okoí bodu těesa v případě, když ěrná hodnota potenciání energie odpovídající zěně tvaru dosáhne stáé hodnoty, která se rovná hodnotě ěrné potenciání energie při prosté tahu na ezi kuzu. Tato podínka zapsaná pro obecnou napjatost v havních napětích á tvar: f ( ) + ( ) + ( ) 3 3 Lze použít pro ateriá se stejnou pevností v tahu a taku. 9

10 Podínky pasticity ( ) () () τ τ τ τ f τ τ τ τ f Čistý syk Pro rovinnou napjatost patí: ( ) ( ) ( ) f f + ( ) ( ) ( ) f 3 f Pro jednoosou napjatost: Huber-ises-Henckyho podínka pasticity:

11 Podínky pasticity Huber-ises-Henckyho podínka pasticity pro rovinnou napjatost: f + usí být spněno: + y Ve sožkách tenzoru napětí: f f < f x x. y + y + 3. τ xy f y Čistý tah: x f y Čistý syk: τ xy f y 3

12 Podínky pasticity Tresca-Saint Venantova podínka pasticity: Při obecné stavu napjatosti dojde v okoí bodu těesa k pastickéu přetvoření, když axiání sykové napětí dosáhne sykového napětí při prosté tahu na ezi kuzu. Při prostorové stavu napjatosti dojde k pastické deforaci při spnění některého ze vztahů: 3 3 Lze použít pro ateriá se stejnou pevností v tahu a taku.

13 Podínky pasticity Tresca-Saint Venantova podínka pasticity se také nazývá podínka axiáních sykových napětí. Při rovinné stavu napjatosti (např. 3 ) se vztahy zjednoduší: ( ) f Případně ve sožkách tenzoru napětí: ( ) + 4 τ x y xy Pro čistý syk: τ τ 3

14 Podínky pasticity Tresca-Saint Venantova podínka pasticity: pro f pro f ( ) f. < ( ) f usí být spněno: y ax Čistý tah: Čistý syk:. > ( f, ) y f y x f y τ xy f y 4

15 Podínky pasticity Tresca-Saint Venantova podínka pasticity je v porovnání s Huber-ises-Henckyho podínkou bezpečnější (konzervativnější). Význa funkce f: Pro f <je átka v pružné stavu Pro f je átka v pastické stavu Pro f >je stav fyzikáně neožný 5

16 Podínky pasticity Kritériu ohr-couob: podobné jako kritériu pode Tresci, uožňuje pracovat s ateriáy, které ají rozdínou tahovou a takovou pevnost. fc f t ft + ft fc fc f t fc fc f t ft f c f t f c f c f c f t Kroě uvedených podínek pasticity existuje ceá řada daších Grafické zobrazení kritéria ohr-couob v rovině havních napětí a pro ateriá, který á dvakrát větší pevnost v taku než-i v tahu. 6

17 Pasticita, vztah ezi přírůstky napětí a deforací Vztah ezi napětí a deforací ze vyjádřit rovnicí v přírůstkové tvaru: [ ] EP D { } [ ] EP d D { dε} je pružně-pastická atice tuhosti, která nahrazuje atici tuhosti ateriáu v pružné stavu. Výsedný stav neze získat přío, je dán ceou historií zatěžování. Jedná se úohu vei sožitou, vztahy ezi napětíi a deforacei jsou neineární, a proto při řešení neze využít principu superpozice. 7

18 ezní únosnost konstrukce Při zvyšování zatížení konstrukce ůže nastat stav, kdy se ceá konstrukce nebo její část, deforuje bez růstu zatížení. Konstrukce (nebo její část) se stává tvarově neurčitou a postupně dochází k tzv. koapsu konstrukce. Deforačně-napěťový stav konstrukce (vnitřní síy, napětí, deforace) odpovídající ezníu zatížení je nazýván ezní stave nosné konstrukce. 8

19 ezní únosnost konstrukce Anaýza ezního stavu únosnosti konstrukce představuje: výpočet ezního zatížení, výpočet odpovídajících vnitřních si, stanovení ezního echanizu konstrukce. ezní stav únosnosti konstrukce ze určit: pružně-pastickou anaýzou konstrukce, anaýzou vzniku echanizu konstrukce. 9

20 Jednoduché úohy pružně-pastické rovnováhy, pružně-pastický tah Zadání: Prutová soustava je x staticky neurčitá. Pruty ají stejnou tuhost EA. ezní napětí každého prutu je. Určete ezní únosnost konstrukce. Řešení: Podínka rovnováhy v uzu O : N cos6 + N cos6 + N3 P N N Deforační podínka: P X ( P X ) X 3 s s3 cos6 s s cos6 P X X s X EA EA 4 Výsedné síy: X N3 P N N P 5 5 N 3 cos 6

21 Jednoduché úohy pružně-pastické rovnováhy, pružně-pastický tah Největší noráová sía vznikne v prutu 3. Při dosažení napětí se prut 3 zpastizuje (při zatížení P T ). X N3 P PT N3,p V prutech a budou přito osové síy: 5 N N PT X A A A 4 4 Při daší zatěžování už osová sía v prutu 3 neporoste, pruty a však ají ještě 75% rezervu únosnosti pro dosažení pastického stavu ceé konstrukce. A ezní únosnost konstrukce je: P N, A cos6 + N, cos6 N 3, (, 5 +, 5 + ) A 6, PT +

22 Jednoduché úohy pružně-pastické rovnováhy, pružně-pastický ohyb Pružně-pastický ohyb nosníku se dvěa osai syetrie zatížené rovnoěrný postupně rostoucí zatížení. Pro vnitřní síy patí znáé vztahy: h y 4 x b ( z ) z d z h V ( x ) 4 τ xz b( z ) dz Nejexponovanější průřez prochází při postupné zatěžování stave: pružný pružně-pastický pastický (po vytvoření pastického koubu)

23 Jednoduché úohy pružně-pastické rovnováhy, pružně-pastický ohyb Stav pružný: x < T x y EI y d w dx ( h z h) y z Pro: z ± h I y x ± W y y kde W y I y h Stav pružně-pastický: Část I. Část II. ( ξ < z < h) ( z < ξ ) S y T + I ξ II χ ( ±) x T z χ T ( z ξ x χ T ) ξ S I... statický oent části I k ose y I II... oent setrvačnosti části II k ose y 3 x

24 Jednoduché úohy pružně-pastické rovnováhy, pružně-pastický ohyb Stav pastický: < z h x T x χ T χ ( ±) y T χ T S Pro obdéníkový průřez o výšce h a šířce b patí: h F h S b h b h W b h 4 b h T p y,e We 5, 5% pastická rezerva 4 W p y y,e T W e W T p T

25 Nosník naáhaný ohybe a osový naáhání Podínka rovnováhy si a statických oentů: d d h h r N r N h z η Pro noráové síy N h a N d a pro raena r h a r d patí: ( ) 4 η h z h h r d d N h N N ( ) η h b z h b N T T h ( ) 4 +η + h z h z r h ( ) η h b z h b N T T h + +

26 Nosník naáhaný ohybe a osovou siou Pro kadnou osovou síu o ohybový oent patí: N T b h η N T η T b h T 4 ( ) ( η η ) Pro zápornou osovou síu o ohybový oenty patí: N N T η T ( η ) Úpravou výše uvedených vztahů ze odvodit: η N T N T 6

27 Nosník naáhaný ohybe a osovou siou Geoetrická interpretace vztahu: 7 N Φ (,N ) + T NT

28 ezní únosnost nosníků Průběh staticky přípustného ohybového oentu 8

29 ezní únosnost ráových konstrukcí, statické řešení U statického řešení se hedá největší hodnota P s P (P je ezní zatížení), která vyvoává staticky ožný průběh oentů a spňuje podínky vnitřní a vnější rovnováhy konstrukce, při něž se v žádné průřezu nepřekročí veikost ezního ohybového oentu. Při statické řešení se výpočte přibižuje statické hodnotě ezního zatížení zdoa, přičež se stanoví doní ez únosnosti konstrukce. 9

30 ezní stav únosnosti ráů Zadání: Určete statickou etodou ezní síu P oboustranně vetknutého ráu (3x S.N.), zatíženého pode obrázku. P P EI konst. K určení výsedného průběhu ohybových oentů ze využít např. siovou etodu.

31 3 Řešení: 3 4 ezní únosnost ráů Stav Výsedné ohybové oenty:,5 P, 5,5 P, 3 +,3 P,7,3875 P,93 +, 45 P 5, 45 P P 5, 4 Při toto zatížení vznikne. pastický koub v bodě 5 a x S.N. rá P EI P konst y

32 3 Řešení: ezní únosnost ráů Stav Výsedné ohybové oenty:, 976 ΔP, 3 Δ 3 +, 356Δ 4, 56 Δ P P P Ve stavu by. největší oent v bodě 4, kde vznikne. pastický koub (x S.N. rá) 4,93 Δ P - Δ P y 4

33 ezní únosnost ráů Řešení: Stav 4 4,6,93,6,56 ΔP ΔP, 389,56 P (,4 +,39), 8 Při toto zatížení vznikne. pastický koub v bodě 4 a x S.N. rá Veikosti ohybových oentů v uzech až 5 ve stavu i Stav Stav Stav 3 Stav 4 Ceke -,5. -,38. -,895. -,3. -,5. -, ,7.,4. +, ,93. -,

34 ezní únosnost ráů Řešení: Stav 3 Δ P 3 Výsedné ohybové oenty:, 85 ΔP +, 5 ΔP 3 +, 575Δ P Δ P 4 Ve stavu by 3. největší oent v bodě, kde vznikne 3. pastický koub (S.U. rá) + 3, y 34

35 ezní únosnost ráů Řešení: Stav 3,5,895,5,85 ΔP ΔP, 4,85 P (,8+,), 94 Při toto zatížení vznikne 3. pastický koub v bodě a S.U. rá Veikosti ohybových oentů v uzech až 5 ve stavu 3 i Stav Stav Stav 3 Stav 4 Ceke -,5. -,38. -,. - -,3. -,5. +,. -, ,7.,4. +,7. +, ,93. -,

36 Řešení: ezní únosnost ráů Stav 4 Δ 3 P 3 Δ 3 P 4 Výsedné ohybové oenty: Δ P 3 3 Δ 3 P Ve stavu 3 by 4. největší oent v bodě 3, kde vznikne 4. pastický koub (echanisus) , 937 y 36

37 ezní únosnost ráů Řešení: Stav 4 P,937,63 Δ3P Δ3P, 63 Vznikají pastické kouby v bodech (,94 +,6) 3,, 3, 4 a 5 a pohybivý echanisus o stupni vonosti 3 3 Veikosti ohybových oentů v uzech až 5 ve stavu 4 i Stav Stav Stav 3 Stav 4 Ceke -,5. -,38. -, ,3. -,5. +,. +,6. 3 +,7.,4. +,7. +, ,93. -,

38 ezní únosnost ráů Výsedky statické etody Výsedný průběh ohybových oentů y ezní pastická únosnost 3x staticky neurčitého ráu: P 3, 38

39 ezní únosnost ráových konstrukcí, kineatické řešení Při kineatické řešení se provádí rozbor kineaticky přípustných echanizů a hedá se nejnižší hodnota zatížení P k P (P je ezní hodnota zatížení), při něž se v žádné průřezu nepřekročí veikost ezního ohybového oentu. Kineaticky přípustný echanizus vyvoaný zatížení P k usí obsahovat takový počet pastických koubů, aby by uožněn virtuání pohyb ceé konstrukce nebo její části. Virtuání práce vnějších si usí být kadná. Při kineatické řešení se výpočte přibižuje skutečné hodnotě ezního zatížení shora, přičež se stanoví horní ez únosnosti konstrukce. 39

40 ezní stav únosnosti ráů Zadání: Určete kineatickou etodou ezní síu P oboustranně vetknutého ráu (3x S.N.), zatíženého pode obrázku. P P i F i δ i j j ϕ j EI konst. Patí: práce siového zatížení F i se rovná práci oentů j absorbované ve vznikých pastických koubech. 4

41 ezní stav únosnosti ráů Řešení: Výchykový echanisus Δ P P 3 Δ 4 ϕ ϕ EI konst. ϕ 5 ϕ ϕ,,4,5 tanϕ i Δ Δ P Δ 4 P 4

42 ezní stav únosnosti ráů Řešení: Kobinovaný echanisus (kobinace echanisu výchykového s nosníkový) Δ Δ P ϕ EI P Δ 3 konst. ϕ 4 ϕ 3 ϕ ϕ 4 ϕ,5 tanϕ ϕ 3 tanϕ,4 i i Δ Δ 4 Δ P Δ + P Δ ϕ + ϕ3 + ϕ4 + ϕ5 P Δ 6 P 3... výsedná ezní únosnost ráu (enší než u výchykového echanisu)