A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

Transkript

1 A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu distribuci šipkou jednotkové velikosti viz obr ) Obrázek : Znázornění Dircovy distribuce δx) 2) Filtrční vlstnost Dircovy distribuce je jinou možnou definicí: Předpokládejme, že funkce fx) je spojitá v intervlu x, x 2, nebo že má v tomto intervlu nejvýše konečný počet bodových nespojitostí Pk [ 2 fx ) + fx + )], když x x, x 2 ), fx) δx x ) dx x x2 2 fx+ ), když x x, 2 fx ), když x x 2,, když x x, x 2 Je-li funkce fx) spojitá, redukuje se ovšem první ze vzthů 2) do tvru x2 x fx) δx x ) dx fx ), když x x, x 2 ), 2) což je nejčstěji se vyskytující tvr výběrové vlstnosti viz obr 2) 2) Obrázek 2: Filtrční vlstnost Dircovy distribuce 3) Při konkrétních výpočtech čsto dospějeme k Dircově distribuci jko k limitě posloupnosti funkcí δ p x) δx) lim δ px)

2 2 A DIRACOVA DISTRIBUCE Funkce δ p x) musí splňovt dvě podmínky: lim δ p x) dx ; lim Ve většině přípdů splňují funkce δ p x) přísnější podmínky: δ p x ) 3) lim x δ p x) δ p x) dx ; lim δ px ) 3) A2 Příkldy funkcí δ p x) ) Snd nejnázornějším příkldem funkcí δ p x) je viz obr 3) Je zřejmé, že tyto funkce splňují podmínky A3) δ p x) p rect px) ) Obrázek 3: Grf funkce δ p x) p rect px) b) Jiným názorným příkldem jsou funkce δ p x) p tri px) 2) viz obr 4) Tké tyto funkce splňují podmínky A3) Obrázek 4: Grf funkce δ p x) p tri px) c) Dlším důležitým příkldem je posloupnost funkcí p δ p x) π exp px2 ) 3) viz obr 5) Ukážeme, že tké tyto funkce splňují podmínky A3): p δ p x) dx exp px 2 ) dx exp t 2 ) dt π π Integrál I exp t2 ) dt vypočteme tkto:

3 A DIRACOVA DISTRIBUCE 3 I 2 exp x 2 ) dx, tkže Obrázek 5: Grf funkce δ p x) p/π) exp px 2 ) I π π/2 exp x 2 ) dx exp y 2 ) dy 4 exp r 2 )r dϕ dr 2π exp s) ds π Odtud I π) Druhá podmínk A3) je rovněž splněn: lim δ px ) p lim π exppx 2 ) x exp r 2 )r dr exp [ x 2 + y 2 ) ] dx dy 2x 2 π lim exp px 2 ) p x d) Rovněž funkce viz obr 6) splňují podmínky A3): δ p x) dx π δ p x) π p dx + p 2 x 2 π lim δ px ) π lim p + p 2 x 2 p + p 2 x 2 4) dt + t 2 π rctg t π lim x 2px 2 t t x e) Při výpočtech důkzech vět o Fourierově trnsformci se čsto setkáváme s formálně různými vyjádřeními funkce

4 4 A DIRACOVA DISTRIBUCE Obrázek 6: Grf funkce δ p x) π p +p 2 x 2 Obrázek 7: Grf funkce δ p x) sin px πx δ p x) p exp±itx) dt 2π p π viz obr 7) První z podmínek A3) je splněn: p cos tx dt π sin px x p π sin px px 5) δ p x) dx π 2 π sin px x sin y y dx π dy 2 π π 2 srov npř [2], 372, [3], 5225) Druhá z podmínek A3) všk splněn není, neboť příslušná limit sin px neexistuje Funkce δ p x) πx pro x nbývá totiž hodnoty z intervlu πx, πx, jenž nezávisí n p Podmínk A3) ovšem splněn je, neboť lim x δ p x) p π, tkže δ p x ) lim lim x δ p x) lim sin px π sin px lim πx p px x x sin y y dy

5 A DIRACOVA DISTRIBUCE 5 A3 Vlstnosti Dircovy distribuce ) Jsou-li x n kořeny rovnice fx) je-li f x n ), pltí δfx)) n δx x n ) f x n ) ) Důkz: Zvolme v okolí kždého kořene x n tková čísl n, b n, že n < x n < b n fx) je v intervlu < n, b n > monotónní Pk zřejmě pltí kde gx)δfx)) dx n I n, 2) I n b n n gx)δfx)) dx Substitucí x x n )f x n ) t dostneme I n f x n ) b n b n x n)f x n) n x n)f x n) Je-li f x n ) <, je dolní mez integrce větší než horní pltí I n f x n ) n x n)f x n) b n x n)f x n) g n gx)δx x n )f x n )) dx 3) g ) t f x n ) + x n δt) dt 4) ) t f x n ) + x n δt) dt gx n) f x n ) Ze vzthů 2) 3) z filtrční vlstnosti Dircovy distribuce A2) pk plyne gx)δfx)) dx n gx n ) f x n ) n b n f gx)δx x n ) dx 5) x n ) n Je-li f x n ) >, vyplývá pltnost vzthu 5) bezprostředně z 2), 4) A2) Tím je tvrzení ) dokázáno Důležitými důsledky vzthu ) jsou: δ x) δx), 6) b) Pltí tj δx x ) δ δ sin π x ) π δx 2 2 ) δx) 2 m x x ), 7) δx m), 8) δx ) + δx + ) 9) 2 ) d x, ) dx x δx) dhx) dx, )

6 6 A DIRACOVA DISTRIBUCE kde je Hevisidov funkce Důkz: 2 ) d x dx x 2 lim Hx) 2 d 2 dx + x ) x π rctg px π lim 2) p + p 2 δx) 3) x2 srv A24)) c) Při výpočtech konvoluce korelce se používá těchto vlstností Dircovy distribuce: fx) δx ) f) δx ), 4) d c δx ) δx b) dx δ b), c < min, b), d > mx, b) 5) A4 Dircov distribuce získná úplným systémem ortonormálních funkcí Zjímvá čsto potřebná vyjádření Dircovy distribuce lze získt pomocí soustvy ortonormálních funkcí Tvoří-li funkce ψ n x), kde n jsou celá čísl, úplný ortonormální systém funkcí n intervlu x, x + jsou-li x x vnitřní body tohoto intervlu, tj x, x x, x + ), je ψnx) ψ n x ) δx x ), ) n kde se sčítá přes všechn n, pro něž je ortonormální systém {ψ n x)} úplný Důkz: K důkzu tvrzení ) stčí ukázt, že levá strn rovnice ) má filtrční vlstnost Dircovy distribuce tj že pltí x+ x fx) δx x ) dx fx ), x+ fx) ψnx) ψ n x ) dx fx ) 2) x n Abychom dokázli 2), rozložíme funkci fx) do funkcí ortonormálního systému {ψ n x)}, tj: fx) m c m ψ m x), 3) kde c m x+ x fx) ψ mx) dx Řdu 3) dosdíme z funkci fx) ve výrzu n levé strně vzthu 2), změníme pořdí integrce sčítání použijeme podmínku ortonormlity x+ x ψ nx) ψ m x) dx δ m,n : x+ x m c m ψ m x) n x+ ψnx) ψ n x ) dx c m ψ n x ) ψnx) ψ m x) dx m n x c m ψ n x ) δ m,n m n c m ψ m x ) fx ) m

7 A DIRACOVA DISTRIBUCE 7 Tím jsme dostli prvou strnu vzthu 2) tvrzení ) je tím dokázáno Funkce ψ n x) exp in2π x ), n, ±, ±2, tvoří úplný ortonormální systém n kždém intervlu délky, tedy tké n intervlu /2, /2 Podle ) tedy pltí n exp in2π x x ) δx x ), x, x 2, ) 2 Kždý sčítnec nekonečné geometrické řdy n levé strně předcházejícího vzthu je periodickou funkcí s periodou Má proto touž periodu i součet této řdy, proto pro všechn x, x pltí n exp in2π x x ) m δx x m) 4) Vzth 4) je důležitý k důkzu tvrzení, že Fourierov trnsformce mřížkové funkce je úměrná mřížkové funkci chrkterizující reciprokou mřížku viz odst 43) To pltí pro mřížky libovolné dimenze N, kde N je přirozené číslo Abychom se připrvili n důkz v prostoru libovolné dimenze N, oznčujeme délku intervlu, tkže v 4) může mít kldnou nebo zápornou hodnotu) Řdu n levé strně vzthu 4) lze npst v různých tvrech Npříkld + 2 n cos n2π x x ) m Řd n levé strně 4) je geometrickou řdou s kvocientem exp i2π x x n exp in2π x x ) lim Sečteme-li 2p + sčítnců této limity, dostneme lim Tkže p n p exp in2π x x ) lim lim lim { { exp exp p n p δx x m) 5) exp in2π x x ) ) Můžeme ji nhrdit limitou ip2π x x ) [ ]} exp i2p + )2π x x exp ) i2π x x ip2π x x ) [ exp i2p + )π x x ] exp ) iπ x x ] [ ]} exp i2p + )π x x exp [ i2p + )π x x lim exp iπ x x ] sin [ 2p + )π x x sin ) π x x sin [ ] 2p + )π x x sin ) π x x m ) exp iπ x x ) δ x x m ) 6) A5 Dircov distribuce v E N ) Krtézské souřdnice D f x)δ x x ) d N x f x ), když x D )

8 8 A DIRACOVA DISTRIBUCE Poněvdž D fx, x 2,, x N )δx x )δx 2 x 2 ) δx N x N ) dx dx 2 dx N fx, x 2,, x N ), plyne z toho, že v krtézských souřdnicích Je zřejmé, že N δ x x ) δx x )δx 2 x 2 ) δx N x N ) δx k x k ) 2) k δ x) δ x) 3) N b) Obecné souřdnice Nechť x, x 2,, x N je N-rozměrná krtézská soustv souřdnic y, y 2,, y N je N-rozměrná soustv obecných souřdnic Nechť obě soustvy spolu souvisejí vzthy x x y,, y N ), x 2 x 2 y,, y N ), x N x N y,, y N ) s jcobiánem Jy,, y N ) x x y N y,, x N y,, x N y N Má-li bod P souřdnice x P ), x P ) 2,, x P ) N yp ), y P ) 2,, y P ) ) N je-li JyP,, y P ) N ), je δx x P ) )δx 2 x P ) 2 ) δx N x P ) N ) Jy,, y N ) δy y P ) )δy 2 y P ) 2 ) δy N y P ) N ) 4) Je-li všk Jy P ),, y P ) ) N ) je-li bod P určen k souřdnicemi yp, y P ) 2,, y P ) k to znmená, že N k souřdnic y k+, y k+2,, y N je pro určení bodu P nepodsttných), oznčíme integrál z jcobiánu přes nepodsttné souřdnice J k y,, y k ) Jy,, y N ) dy k+ dy N pltí δx x P ) )δx 2 x P ) 2 ) δx N x P ) N ) J k y,, y k ) δy y P ) )δy 2 y P ) 2 ) δy k y P ) k ) 5) c) Příkld: Polární souřdnice v E 2

9 A DIRACOVA DISTRIBUCE 9 x r cos ϕ, x 2 r sin ϕ, Jr, ϕ) cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ r i) V bodech P r P ), ϕ P )), r P ), je δx x P ) )δx 2 x P ) 2 ) δr rp ) )δϕ ϕ P ) ) r ii) V bodě P r P ) je ϕ nepodsttná souřdnice, tkže J r) α+2π α r dϕ 2πr, d) Příkld: Sférické souřdnice v E 3 viz obr 8) δx )δx 2 ) δr) 2πr x r sin ϑ cos ϕ, x 2 r sin ϑ sin ϕ, x 3 r cos ϑ, Obrázek 8: Sférické souřdnice Jr, ϑ, ϕ) x r x 2 r x 3 r x ϑ x 2 ϑ x 3 ϑ x ϕ x 2 ϕ x 3 ϕ sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ cos ϑ r sin ϑ r 2 sin ϑ i) V bodě P, jehož souřdnice jsou r P ), ϑ P ), ϑ P ) π, tj když Jr P ), ϑ P ), ϕ P ) ), je δx x P ) )δx 2 x P ) 2 )δx 3 x P ) 3 ) δr rp ) )δϑ ϑ P ) )δϕ ϕ P ) ) r 2 sin ϑ ii) V bodě P, jehož souřdnice jsou r P ), ϑ P ), nebo ϑ P ) π, je Jr P ), ϑ P ), ϕ P ) ) J 2 r, ϑ) 2π r 2 sin ϑ dϕ 2πr 2 sin ϑ

10 A DIRACOVA DISTRIBUCE Tkže δx )δx 2 )δx 3 x P ) 3 ) δr rp ) )δϑ) 2πr 2 sin ϑ iii) V bodě P, jehož souřdnice r P ), je Jr P ), ϑ P ), ϕ P ) ) Tkže J r) π 2π r 2 sin ϑ dϕ dϑ 4πr 2 δx )δx 2 )δx 3 ) δr) 4πr 2 e) Příkld: Kosoúhlé souřdnice důležité pro Fourierovu trnsformci mřížek) Nechť Jink zpsáno x i ik y k, det ik det A nebo s použitím mtic x y + + N y N, x N N y + + NN y N, x x N,, N N,, NN y y N, tj x A y Poněvdž je x i y k ik, Jy,, y N ),, N N,, NN det A tj δx x P ) ) δx N x P ) N ) det A δy y P ) ) δy N y P ) N ), δ x x P ) ) det A δ y yp ) )

11 A DIRACOVA DISTRIBUCE A6 Poznámky zjímvosti δ p x) 22n 3 n )!n 2)! 2n 3)! δ p x) p ) 2 + p 2 x 2 ) 3/2 p π + p 2 x 2, n 2, 3, 2) ) n ) 2 sin px 3) δ p x) p π px δy y ) y J m xy)j m xy )x dx 4) δ p x, y) p π exp{ p[ exp x2 y 2 )]} 5) δ p x, y) p2 π circ p x 2 + y 2 ) δ p x, y) p 2 J p ) x 2 + y 2 4π p 7) x 2 + y 2 δxy) 6) δx) + δy) x2 + y 2 8) Reference [] Dirc P A M: The Principles of Quntum Mechnics 4th edition At the Clrendon Press, Oxford 958, 5 [2] Grdshteyn I S, Ryzhik I M: Tble of Integrls, Series, nd Products Acdemic Press, New York nd London 994 [3] Abrmowitz M, Stegun I A: Hndbook of Mthemticl Functions Dover Publictions, Inc, New York 972

12 2 A DIRACOVA DISTRIBUCE