Matematická analýza KMA/MA2I Dvojný integrál

Transkript

1 temtická nlýz KA/A2I Dvojný integrál 1 Problém Jko byl Riemnn v integrál odpov dí n otázku obshu rovinného obrzce, bude dvojný integrál odpov dí n otázku objemu t les. Tentokrát se obejdeme bez historických motivcí p ejdeme p ímo k formulci problému: Úloh 1 Je dán mnoºin R 2 (rovinný obrzec) funkce f : R 2 R jejíº deni ní obor je práv mnoºin, p itom f je n omezená nezáporná. Ptáme se, jký objem má t leso T = {(x, y, z) R 3 : (x, y) 0 z f(x, y)} (nkreslete si obrázek). K e²ení p istoupíme podobným zp sobem jko v jednodimenzionálním p ípd (tj. u Riemnnov integrálu). V jedné dimenzi jsme integrovli p es intervl. y bychom ov²em rádi nyní integrovli p es nejr zn j²í mnoºiny - tverce, obdélníky, trojúhelníky, kruhy, elipsy, pod. Tkto r znorodá ²kál mnoºin s sebou nese spoustu komplikcí. Integrál funkce jedné prom nné jsme denovli pomocí dolních horních Riemnnových sou t, které jsme vypo ítli mimojiné pomocí rozsekání intervlu n podintervly. Rádi bychom tuto my²lenku pouºili i ve dvou dimenzích. Nejprve se musíme tedy ptát, jk rozsekt mnoºiny v R 2. Ukáºe se to jko pom rn obtíºný problém - k tomu je t eb denovt t eb Jordnovu míru mnoºiny v R 2 - viz knihu [Hr z, Brbec: temtická nlýz II., SNTL/ALFA, Prh,1988] n strnách y tento problém obejdeme tk, ºe budeme vºdy integrovt p es obdélník (= krtézský sou in dvou intervl ). 2 Dvojný integrál p es obdélník V této kpitole budeme uvºovt dv uzv ené omezené intervly I,J R (pro ur itost ozn íme I =, b, J = c, d ) funkci f : R 2 R denovnou omezenou n obdélníku I J. Denice 2 Jsouli I,J R intervly, pk krtézský sou in I J nzýváme (dvojrozm rným, dvoudimenzionálním) intervlem. 1

2 Poznámk 3 Jsouli I, J R kompktní (tzn. uzv ené omezené) intervly, pk intervl I J je kompktní (tzn. uzv ená omezená) mnoºin v R 2 budeme mu íkt kompktní intervl. Denice 4 Nech jsou dány kompktní intervly I =, b, J = c, d jejich d lení D I = {x 0, x 1,..., x n } (I), D J = {y 0, y 1,..., y m } (J). Pro i = 1,..., n, j = 1,..., m denujeme d lící intervl D ij = x i 1, x i y j 1, y j. noºinu v²ech D ij nzýváme sí ovým d lením intervlu I J. Poznámk 5 Obsh mnoºiny D ij je z ejm roven (x i x i 1 )(y j y j 1 ) budeme ho zn it symbolem µ(d ij ). Poznámk 6 Z denice 4 je si jsné, pro integrujeme p es dvourozm rný intervl - ten si rozsekáme n dvourozm rné intervly D ij. Hlvní výhod spo ívá v tom, ºe obsh kºdého tkového intervlu je sndno ur itelný - viz poznámku 5. Denice 7 Nech f je omezená funkce n intervlu I J. Pro sí ové d lení D = {D ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m} intervlu I J denujeme () dolní Riemnn v integrální sou et s(f, D) = n i=1 j=1 m m ij µ(d ij ), kde m ij = inf Dij f pro kºdé i = 1,..., n, j = 1,..., m (b) horní Riemnn v integrální sou et S(f, D) = n i=1 j=1 m ij µ(d ij ), kde ij = sup Dij f pro kºdé i = 1,..., n, j = 1,..., m. Poznámk 8 D leºitý je op t geometrický význm ísel s(f, D) S(f, D) nkreslete si obrázek! V t 9 Nech f je omezená n kompktním intervlu I J, D je sí ové d lení intervlu I J. Pk m(b )(d c) s(f, D) S(f, D) (b )(d c), kde m = inf f, = sup f. 2

3 Prove te d kz inspirujte se d kzem z p edná²ky o Rintegrálu funkce jedné prom nné. D sledek 10 Z v ty 9 plyne, ºe mnoºin je omezená zdol mnoºin {s(f, D) : D je sí ové d lení I J} {S(f, D) : D je sí ové d lení I J} je omezená shor. Tedy inm suprem t chto mnoºin jsou kone ná ísl. Poznámk 11 Co je vlstn mnoºin {s(f, D) : D je sí ové d lení I J}? Jde o mnoºinu v²ech dolních odhd objemu t les T z úvodní kpitoly. Je si jsné, ºe horkým kndidátem n objem je supremum této mnoºiny. Podobn, horkým kndidátem n objem t les T je inmum mnoºiny {S(f, D) : D je sí ové d lení I J}. Denice 12 Nech f je omezená funkce n kompktním intervlu I J. ƒíslo f(x, y) dx dy = sup{s(f, D) : D je sí ové d lení I J} nzýváme dolním Riemnnovým integrálem funkce f p es intervl I J. ƒíslo f(x, y) dx dy = inf{s(f, D) : D je sí ové d lení I J} nzýváme horním Riemnnovým integrálem funkce f p es intervl I J. Poznámk 13 Intuitivn o ekáváme, ºe tto ísl jsou stejná ur ují (pro f 0) objem t les T. Ov²em, stejn jko tomu bylo u funkce jedné prom nné, ne vºdy to bude pltit viz p íkld 14. P íkld 14 Uvºujme funkci f : R 2 R denovnou p edpisem { 1 jeli x Q y Q, f(x, y) = 0 v op ném p ípd. e²ení. Vypo ítejme horní dolní Riemnn v integrál této funkce p es intervl 0, 1 0, 1. Vezmeme libovolné sí ové d lení tohoto intervlu D = {D ij }. Pk m ij = inf D ij f = 0, ij = sup D ij f = 1 pro kºdé i = 1,..., n, j = 1,..., m. Z toho plyne, ºe f(x, y) dx dy = 0, f(x, y) dx dy = 1. 0,1 0,1 Jde tedy o r zná ísl. 0,1 0,1 3

4 Následující p íkld ukzuje, ºe to tk ²ptné vºdy nebude. Je si jsné, ºe integrovt funkce typu uvedeného v p íkldu 14 nebudeme p íli² sto vlstn uº se tkovými o²klivými funkcemi ni nesetkáme. P íkld 15 Pro konstntní funkci f(x, y) = k pro (x, y) R 2 vypo t te f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy.,b c,d,b c,d e²ení. Vezmeme libovolné sí ové d lení D = {D ij : i = 1,..., n, j = 1,..., m} intervlu, b c, d. Pk m ij = inf D ij f = k, ij = sup D ij f = k pro kºdé i = 1,..., n, j = 1,..., m. Z toho plyne, ºe s(f, D) = S(f, D) = n,m i,j=1 n,m i,j=1 kµ(d ij ) = k kµ(d ij ) = k Pk f(x, y) dx dy =,b c,d n,m i,j=1 n,m i,j=1,b c,d µ(d ij ) = k(b )(d c), µ(d ij ) = k(b )(d c). f(x, y) dx dy = k(b )(d c). V tomto p ípd jsou hodnoty stejné. ƒemu se rovnjí? Jeli k 0, pk jejich spole ná hodnot má jednoduchou geometrickou interpretci. Jde o objem kvádru o délkách hrn k, b d c (nkreslete si obrázek!). Nyní m ºeme denovt (Riemnn v) dvojný integrál p es intervl (obdélník). Denice 16 Nech f je omezená n kompktním intervlu I J. Jestliºe f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy, pk íkáme, ºe f má n intervlu I J (Riemnn v) dvojný integrál (je n I J integrovtelná). Jejich spole nou hodnotu nzýváme (Riemnnovým) dvojným integrálem funkce f p es intervl I J zn íme symbolem f(x, y) dx dy. Je²t uvedeme jednoduchou podmínku, pomocí které m ºeme sndno zjistit, jestli je dná funkce n kompktním intervlu integrovtelná. V t 17 (post ující podmínk integrovtelnosti funkce n intervlu) Spojitá funkce spojitá n kompktním intervlu je n n m integrovtelná. 4

5 3 Dvojný integrál p es m itelnou mnoºinu Jk uº jsme le zmínili, cht li bychom integrovt funkce n mnohem sloºit j²ích mnoºinách neº je intervl (=obdélník). Rádi bychom integrovli n trojúhelnících, kruzích i n mnoºinách, jejichº hrnice je ur en grfy funkcí jedné prom nné. Obecn, budeme integrovt (omezené) funkce p es tkové mnoºiny, u kterých umíme ur it jejich obsh. Obsh omezené mnoºiny R 2 zde budeme denovt následujícím zp sobem: Denice 18 ekneme, ºe mnoºin má obsh (je rektikovtelná; má Jordn Pen v objem; je jordnovsky m itelná; je m itelná), jestliºe funkce χ je integrovtelná n n jkém kompktním intervlu I J, pro který pltí I J. Obshem (JordnPenovým objemem; Jordnovou mírou; mírou) mnoºiny rozumíme íslo µ() = χ (x, y) dx dy. Jiný (lep²í) zp sob denice m itelné mnoºiny Jordnovy míry njdete v knize [Brbec, Hr z:temtická nlýz II, SNTL/ALFA, Prh, 1986] n strnách (doporu uji se n to podívt je to velmi pou né). Poznámk 19 P ipomínám, ºe pro kºdou mnoºinu R 2 denujeme tzv. chrkteristickou funkci mnoºiny p edpisem { 1 pro (x, y), χ (x, y) = 0 pro (x, y). V následujícím p íkld si lespo trochu osv tlíme smysl denice 18. P íkld 20 Ur ete obsh kruhu o st edu v bod (0, 0) polom ru r > 0 podle denice 18. e²ení. áme tedy ur it µ() pro Z ejm = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 r 2 }. r, r r, r. V denici 18 jsme denovli obsh mnoºiny jko χ (x, y) dx dy. Jký je jeho geometrický význm? Po nkreslení grfu funkce χ nám to je jsné (kreslete si obrázek!!). Jde o objem válce, jehoº podstv je kruh o 5

6 polom ru r vý²k válce je rovn 1. Ze st edo²kolského vzorce pro objem válce dostáváme µ() = χ (x, y) dx dy = πr 2 1 = πr 2. Vidíme, ºe obsh kruhu podle denice 18 odpovídá obshu kruhu tk, jk jsme se u ili n st ední ²kole. V²imn te si, ºe tto shodnost je zp í in n práv zvolením chrkteristické funkce χ. oºná si te íkáte, pro denujeme obsh rovinného obrzce tk sloºit, vºdy kºdá mnoºin má n jký obsh. To ov²em není prvd. Podívejme se n obsh mnoºiny = {(x, y) Q 2 : 0 x 1 0 y 1} R 2. Podíváteli se n p íkld 14, zjistíme, ºe k mnoºin nejde podle denice 18 ur it obsh. Nkonec je t eb poznment, ºe zp sob m ení (obsh ) mnoºin je spoust. Viz np. teorii Lebesgueovy míry. Poznámk 21 Jk poznt m itelnou mnoºinu? Dá se dokázt, ºe mnoºin v R 2 jejíº hrnice je tvo en k ivkou (tzn. obrzem kompktního intervlu α, β spojitého zobrzení R R 2 ) je m itelná, sjednocení pr nik kone ného po tu m itelných mnoºin je m itelná mnoºin, rozdíl dvou m itelných mnoºin je m itelná mnoºin. Nyní se podívejme n Riemnn v dvojný integrál v plné obecnosti. Denice 22 Nech f : R 2 R je omezená n m itelné mnoºin R 2. Denujeme funkci { f f(x, y) pro (x, y), (x, y) = 0 pro (x, y). Riemnnovým dvojným integrálem funkce f p es mnoºinu rozumíme integrál f (x, y) dx dy kde I J zn íme ho symbolem f(x, y) dx dy. Poznámk 23 Je si jsné, ºe v denici 22 nezávisí n výb ru kompktního intervlu I J. itelná mnoºin m ºe být pom rn komplikovná. y budeme v n²ich p íkldech integrovt jen p es tzv. elementární oblsti (coº jsou podle poznámky 21 m itelné mnoºiny). 6

7 Denice 24 Elementární oblstí prvního druhu rozumíme mnoºinu {(x, y) R 2 : x b g(x) y h(x)}, kde g, h : R R jsou spojité n intervlu, b, g(x) h(x) pro v²echn x, b. Elementární oblstí druhého druhu rozumíme mnoºinu {(x, y) R 2 : c y d g(y) x h(y)}, kde g, h : R R jsou spojité n intervlu c, d, g(y) h(y) pro v²echn y c, d. Poznámk 25 Elementární oblst prvního druhu má obsh roven µ() = b (h(x) g(x)) dx elementární oblst druhého druhu má obsh roven µ() = d c (h(y) g(y)) dy. 4 Vlstnosti dvojného integrálu Dvojný integrál má stejné vlstnosti jko integrál funkce jedné prom nné. V následujících v tách jsou shrnuty (bez d kzu) ty nejd leºit j²í. V t 26 Nech f, g mjí n m itelné mnoºin R 2 integrál. Pk pltí Pro c, d R pltí cf(x, y) + dg(x, y) dx dy = c Funkce f g má integrál n. Jeli f g n, pk f(x, y) dx dy Funkce f má integrál n pltí f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy + d g(x, y) dx dy. g(x, y) dx dy. f(x, y) dx dy. Jeli α f(x, y) dx dy β pro v²echn (x, y), pk αµ() f(x, y) dx dy βµ(). 7

8 V t 27 Jsouli 1 2 m itelné mnoºiny, int 1 int 2 = f má integrál n 1 i 2, pk f má integrál n = 1 2 pltí f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy + 1 f(x, y) dx dy. 2 V t 28 (o st ední hodnot ) Nech f : R 2 R je integrovtelná n souvislé uzv ené mnoºin D. Pk existuje íslo c m,, kde m = inf D f, = sup D f tk, ºe f(x, y) dx dy = cµ( D). D Jeli f n D spojitá, pk existuje bod (ξ, η) D tk, ºe f(x, y) dx dy = f(ξ, η)µ( D). D V t 29 (post ující podmínk integrovtelnosti) Nech f je spojitá n uzáv ru m itelné mnoºiny R 2. Pk f je integrovtelná n. 5 etody výpo tu V této kpitole se podíváme n efektivní metody výpo tu dvojného integrálu. Nejprve si ukáºeme jk spo ítt dvojný integrál p es intervl poté si ukáºeme, jk po ítt dvojný integrál p es elementární mnoºiny prvního druhého druhu. V t 30 (Fubiniov) Nech f : R 2 R je integrovtelná n intervlu I J. Existujeli jeden z integrál f 1 (x) = d c f(x, y) dy pro kºdé x, b, f 2 (y) = pk existuje i druhý pltí (tzn.,b c,d,b c,d b f(x, y) dx dy = f(x, y) dx f(x, y) dx dy = b ( d Poznámk 31 Je t eb si uv domit, ºe c b pro kºdé y c, d, b f 1 (x) dx = ) f(x, y) dy dx = f(x, y) dx d c d c f 2 (y) dy ( b ) f(x, y) dx dy 8

9 je ur itý integrál, který závisí n prmetru y. To lze chápt jko funkci prom nné x (v tvrzení Fubiniovy v ty jsme ji ozn ili symbolem f 1 ), kterou pk zintegrujeme p es intervl, b. Fubiniov v t íká, ºe tento výsledek je roven práv integrálu funkce f p es intervl, b c, d. K lep²ímu pochopení Fubiniovy je dobré si uv domit geometrický význm funk ních hodnot funkcí f 1 f 2. Obecn j²í vrint v ty pro elementární oblsti je následující. V t 32 (Fubiniov) Nech f je integrovtelná n m itelné mnoºin re 2. (A) Nech je elementární oblst 1. druhu, tj. = {(x, y) R 2 : x b g(x) y h(x)}. Existujeli pro kºdé x, b integrál pk pltí h(x) g(x) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy, b ( h(x) g(x) (B) Nech je elementární oblst 2. druhu, tj. ) f(x, y) dy dx. = {(x, y) R 2 : c y d g(y) x h(y)}. Existujeli pro kºdé y c, d integrál pk pltí h(y) g(y) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx, d ( h(y) c g(y) ) f(x, y) dx dy. 5.1 Substituce v dvojném integrálu N kdy m ºe být mnoºin p es kterou integrujeme docel komplikovná. Sice jde o elementární oblst prvního nebo druhého druhu, le popis její hrnice m ºe být pom rn sloºitý. Uvºujme t eb mnoºinu = {(x, y) R 2 : x 0 y 0 1 x 2 + y 2 4} (1) (nkreslete si obrázek!). Pokud se rozhodneme k integrci s pouºitím Fubiniho v ty, e²ení je komplikovné n dvou místech. Prvním místem je smotné popsání hrnice, druhým je sloºit j²í integrování. Abyste m li p edstvu zkuste vypo ítt x 2 y dx dy 9

10 kde je dná v (1). e²ením by mohl být trnsformce n jednodu²²í oblst. Np íkld si v²imn me, ºe mnoºin z (1) je obrzem intervlu (coº je velmi jednoduchá mnoºin pro integrci pomocí Fubiniovy v ty) 1, 2 0, π/2 v zobrzení Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) (jde o polární sou dnice). Toto zobrzení je n 1, 2 0, π/2 regulární tento pojem si hned p edstvíme. Denice 33 ekneme, ºe zobrzení Φ : R 2 R 2 je t ídy C 1 [ teme: t ídy cé jedn] n uzv ené mnoºin K R 2, máli spojité v²echny prciální derivce n n jké otev ené mnoºin G, která je ndmnoºinou K. Denice 34 Nech D R 2 je otev ená mnoºin. Zobrzení Φ : R 2 R 2 nzveme regulární n D, jestliºe Φ je prosté zobrzení n D, Φ je t ídy C 1 n D, Φ(x, y) je regulární mtice pro v²echn (x, y) D (neboli det( Φ(x, y)) 0 (x, y) D). P íkld 35 Dokºte, ºe zobrzení Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) je regulární zobrzení n D = (1, 2) (0, π/2). e²ení. Je t eb ov it vlstnosti regulárního zobrzení. d (i) Zobrzení Φ je prosté n D: Dokáºeme sporem. Uvºujme tk, ºe To znmená, ºe pk (r, ϕ), (r, ϕ ) D, Φ(r, ϕ) = Φ(r, ϕ ). r cos ϕ = r cos ϕ, r sin ϕ = r sin ϕ, (2) tg ϕ = tg ϕ coº vzhledem k fktu, ºe ϕ, ϕ (0, π/2) prostot funkce tngens n tomto intervlu znmená, ºe ϕ = ϕ. Odtud z (2) plyne, ºe tké r = r. d (ii) Z ejm Φ (r, ϕ) = r ( ) cos ϕ sin ϕ Φ (r, ϕ) = ϕ ( ) r sin ϕ, r cos ϕ 10

11 coº jsou spojitá zobrzení n R 2. d (iii) Pltí Φ(r, ϕ) = Φ r, Φ ϕ = cos ϕ sin ϕ protoºe r (1, 2). r sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + r sin 2 ϕ = r 0, Poznámk 36 Dá se dokonce dokázt, ºe zobrzení ( ) r cos ϕ Φ(r, ϕ) = r sin ϕ je regulární n kºdém intervlu kde k R je libovolné (dokºte!). (0, ) (k, k + 2π), Nyní zformulujeme v tu o substituci. V t 37 Nech zobrzení Φ = (Φ 1, Φ 2 ) =: R 2 R 2 je regulární n m itelné otev ené mnoºin D R 2. Nech N D je m itelná mnoºin, = Φ(N) funkce f je omezená spojitá n. Pk f(x, y) dx dy = f(φ 1 (u, v), Φ 2 (u, v)) Φ(u, v) du dv. P íkld 38 Vypo t te kde je dná v (2). e²ení. pltí N Φ(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ), x 2 y dx dy, Z p íkldu 35 plyne, ºe vezmemeli Φ(N) =, N = 1, 2 0, π/2 Φ je n int(n) regulární Φ(r, ϕ) = r. Z v ty 37 tedy dostáváme x 2 y dx dy = r 4 sin ϕ cos ϕ dr dϕ. Dále postupujeme podle Fubiniovy v ty. Výsledek by m l být (si) 3, 1. 6 N které plikce dvojného integrálu 6.1 Hmotnost tenké desky N Udáváli σ(x, y) hustotu tenké (tzn. ºe hustot je konstntní ve sm ru osy z) desky R 2 pk její celková hmotnost je rovn h() = σ(x, y) dx dy 11

12 6.2 Výpo et obshu plochy Je dán ploch {(x, y, z) R 3 : (x, y) z = f(x, y)} kde R 2 je m itelná mnoºin, f : R 2 R je denován n, má n spojité prciální derivce prvního ádu. Pk obsh plochy je roven ( ) 2 ( ) 2 f f 1 + (x, y) + (x, y) dx dy. x y 12