Studijní texty FYZIKA II. Fakulta strojní Šumperk

Transkript

1 Studijní texty FYZIKA II Fakulta stojní Šumpek RNd Eva Januová, PhD Kateda fyziky, VŠB-TU Ostava 6

2 Obsah Mechanické kmitání 3 Mechanické vůnění 3 Teplo, teplota 9 4 Elektostatické pole 47 5 Stacionání elektické pole, elektický poud 6 6 Magnetické pole 66 7 Optika 79 8 Kvantová fyzika 87 9 Atomová fyzika 99

3 Mechanické kmitání Kmitání je takový pohyb hmotného bodu (tělesa), při němž hmotný bod nepřekočí konečnou vzdálenost od učité polohy, kteou nazýváme ovnovážnou polohou RP Pohybuje se peiodicky z jedné kajní polohy (H) do duhé kajní polohy (S) a zpět Jakýkoliv kmitající objekt se nazývá osciláto Mechanické kmity hmotných bodů postředí mají tu výhodu, že jsou názoné, a poto je studujeme nejdříve Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakýkoliv opakující se peiodický děj, při němž dochází k pavidelné změně libovolné fyzikální veličiny v závislosti na čase Například při peiodické změně velikosti a oientace intenzity elektického pole nebo intenzity magnetického pole hovoříme o elektických nebo magnetických kmitech Popisují je stejné ovnice Kmitavý netlumený pohyb Pužina je chaakteizovaná veličinou k, kteou nazýváme tuhost pužiny Jednotkou tuhosti pužiny je Nm - Při potažení pužiny vzniká v pužině síla pužnosti F p, jejíž velikost se v závislosti na podloužení zvětšuje Síla pužnosti je oientovaná poti potažení pužiny výchylce z ovnovážné polohy y F k y p Po uvolnění tělesa vzniká kmitavý pohyb Děj se peiodicky opakuje mezi kajními polohami KP a KP Největší vzdálenost kuličky od ovnovážné polohy nazýváme amplitudou a značíme A Okamžitá vzdálenost je okamžitá výchylka (elongace) a značíme ji y Jednotkou amplitudy a okamžité výchylky je met Síla pužnosti je úměná okamžité výchylce a je chaakteizovaná vztahem 3

4 Kmitavý pohyb je pohyb peiodický Lze jej sovnat s jiným peiodickým pohybem, a sice pohybem po kužnici Doba, za kteou se kulička dostane z jedné kajní polohy do duhé a zpět, se nazývá peioda T, podobně jako doba jednoho oběhu hmotného bodu (kuličky) po kužnici Převácená hodnota doby kmitu (peiody) je fekvence f Jednotkou peiody je sekunda, jednotkou fekvence je Hz=s - Platí, že f T Úhlová ychlost pohybu po kužnici je f T Při kmitavém pohybu používáme po temín úhlová fekvence a po označení fáze Jednotkou je ads -, jednotkou fáze je ad Při ovnoměném pohybu po kužnici je úhlová dáha t Rovnice netlumeného kmitavého pohybu Síla pužnosti působící hamonický kmitavý pohyb je F k y p Tuto sílu lze podle Newtonova pohybového zákona zapsat ve tvau ma k y Jejím řešením je ovnice chaakteizující dáhu hmotného bodu (okamžitou výchylku y), y Asin t, kde A je amplituda kmitu, je úhlová fekvence netlumeného kmitavého k pohybu, je počáteční fáze Jednotkou počáteční fáze je ad Počáteční fáze učuje m velikost okamžité výchylky v čase t s Výaz v závoce je fáze pohybu 4

5 Vzhledem k tomu, že se při kmitavém pohybu jedná o peiodickou změnu okamžité výchylky y v závislosti na čase t, lze tuto veličinu v časovém ozvinutí popsat pomocí peiodické funkce sinustakový pohyb nazýváme hamonickým pohybem Příklad: Závaží o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pužinu Pužina se tím podlouží o 6 cm vzhledem ke své nezatížené délce a) Jaká je tuhost pužiny? b) Dané závaží odstaníme a na tutéž pužinu zavěsíme závaží o hmotnosti,5 kg Poté pužinu ještě poněkud potáhneme a uvolníme Jaká bude peioda vzniklých kmitů? Řešení: m =4 kg, y =,6, k =? a) Na těleso působí síla pužnosti a tíhová síla, kteé jsou v ovnováze pak m g 49,8 k y m g k k k 45,5 Nm - y,6 Tuhost pužiny je 45,5 Nm - 4 m,5 b) Po tuhost pužiny platí k m T, 84 s T k 45,5 Peioda kmitů je,84 s 3 Rychlost a zychlení netlumeného kmitavého pohybu Rychlost, kteou se těleso při kmitavém pohybu pohybuje a její změnu, si velmi dobře představíme, když pozoujeme pohyb tenisty na zadní čáře tenisového kutu Povádí v podstatě kmitavý pohyb Rychlost v kajních polohách (amplitudách), kdy se musí háč zastavit, je nulová Rychlost, kdy pochází středem (ovnovážnou polohou) je maximální Rychlost jakéhokoliv pohybu, a tudíž i pohybu kmitavého, učíme deivací dáhy podle času Potože dahou kmitavého pohybu je okamžitá výchylka, pak deivujeme ovnici po výchylku podle času a dostaneme 5

6 d y v A cos t, dt kde výaz v A představuje maximální ychlost v, kteou kmitající objekt pochází ovnovážnou polohou V amplitudě je ychlost nulová Pak ovnice v v cos t je ovnice ychlosti kmitavého pohybu Zychlení dostaneme deivací ychlosti podle času Deivujeme tedy ovnici dále Pak zychlení je dv a A sin t, dt kde výaz a A je maximální zychlení a Toto zychlení má hmotný bod v amplitudě V ovnovážné poloze je zychlení nulové Pak ovnice zychlení je a a sin t Příklad: Učete velikost ychlosti a zychlení ve duhé sekundě kmitavého pohybu, jestliže okamžitá výchylka je dána vztahem y,4sin 5 t (m,s) 6 Řešení: Z ovnice po výchylku Asin t - 5 ads a počáteční fázi ad y učíme amplitudu A =,4 m, úhlovou fekvenci 6 a) dosadíme do vztahu po okamžitou ychlost A cos t Pak v,45 cos 5,45 cos 6 6 Potože cosinus je funkce peiodická můžeme psát v 3 v,45 cos,453,4 5,4 ms - 6 b) dosadíme do vztahu po okamžité zychlení a A sin t Pak a,4 5 sin5 t,4 5 sin 6 6 6

7 Potože sinus je funkce peiodická můžeme psát a,4 5 sin,4 53,4 49, 3 ms - 6 Velikost ychlosti daného kmitavého pohybu ve duhé sekundě je 5,4 ms -, velikost zychlení téhož pohybu je ve duhé sekundě 49,3 ms - 4 Páce sil pužnosti Při vychýlení tělesa z ovnovážné polohy, působí na vychýlený objekt síla pužnosti F p k y Při posunutí o dáhový element ds vykoná elementání páci dw dw F ds F ds cos Potože síla pužnosti a vychýlení mají opačný smě, je úhel 8 cos8 Obecný dáhový element ds nahadíme elementem výchylky dy, k je konstanta pužnosti Pak páce sil pužnosti je W Fp dy cos kydy kydy k y dy k y W k y 5 Potenciální enegie pužnosti netlumeného kmitavého pohybu Potenciální enegie závisí na vzájemné poloze dvou objektů a na páci, kteou je nutné při jejich vzdálení (přiblížení) vykonat 7

8 Podobně jako u potenciální enegie tíhové (tíhová síla enegie ovna páci F G m g ) je změna potenciální E p W Zde koná páci síla pužnosti Potenciální enegii pužnosti získáme jako páci W, potřebnou k vychýlení hmotného bodu z ovnovážné polohy do vzdálenosti y Při výchylce y působí na hmotný bod síla pužnosti F k y Potenciální enegii pužnosti pak stanovíme výpočtem (viz výše) p E p W kydy kde y y k y y ky ky y m, pak y E p k y Představuje příůstek potenciální enegie pužnosti hmotného bodu vzhledem k potenciální enegii hmotného bodu v ovnovážné poloze při vychýlení do vzdálenosti y Potenciální enegie pužnosti (potože je ovlivňovaná silou pužnosti) mění během peiody svou velikost v závislosti na výchylce y V libovolném časovém okamžiku má hodnotu učenou vztahem E k A sin t p Potenciální enegie pužnosti závisí na okamžité výchylce Mění v půběhu hamonického pohybu svou velikost Poznámka: V ovnovážné poloze je potenciální enegie pužnosti nulová, v amplitudách je maximální a její hodnota je učená vztahem E k A p max 6 Kinetická enegie netlumeného kmitavého pohybu E mv k v A cos t hamonického pohybu dostaneme Kinetická enegie je učena známým vztahem po ychlost E m A cos t k Použitím vztahu k m Po dosazení odvozeného vztahu 8

9 zapíšeme kinetickou enegii ve tvau E k A cos t k Kinetická enegie je závislá na okamžité hodnotě ychlosti Mění v půběhu hamonického pohybu svou velikost Poznámka: Potože je učená ychlostí oscilátou, je v amplitudách nulová, při půchodu ovnovážnou polohou je maximální Maximální kinetická enegie v ovnovážné poloze je stanovena výazem E k A k max 6 Celková enegie netlumeného kmitavého pohybu Celková enegie E hamonického pohybu je v každém okamžiku ovna součtu enegie kinetické E k a potenciální enegie pužnosti E p E E E k p Jestliže sečteme okamžité hodnoty kinetické enegie a potenciální enegie pužnosti, dostaneme celkovou enegii kmitavého pohybu E E k E p k A cos t k A sin t Úpavou získáme E k A cos t sin t k A Po celkovou enegii kmitavého pohybu tedy platí vztah E k A Potože tuhost pužiny k je po každou pužinu konstantní a amplituda A netlumených kmitů je ovněž konstantní, je i celková enegie hamonického pohybu konstantní 9

10 Enegie potenciální a kinetická jsou s časem poměnné a přeměňují se navzájem Příklad: Těleso hmotnosti kg koná netlumený hamonický pohyb podle ovnice - y 3sin t ms Učete jeho potenciální enegii v bodě vatu Řešení: m = kg, A = 3 m, ω = ads -,E p =? Po potenciální enegii platí vztah E m A 3 36 p J Potenciální enegie je 36 J E p k y V bodě vatu je výchylka ovna amplitudě, Příklad: Těleso hmotnosti kg koná netlumený hamonický pohyb podle ovnice y,sin3 tms Ve vzdálenosti, m od ovnovážné polohy má potenciální enegii,9 J Učete v této poloze jeho kinetickou enegii Řešení: m = kg, A =, m, ω =3 ads -,E p =,9 J, E k =? Celková enegie A E k je ovna součtu E E E Pak p k E E E m A E 3,,9,7 J k p p Kinetická enegie je,7 J Příklad: Těleso koná netlumený hamonický pohyb Peioda pohybu je s Celková enegie tělesa je 3-5 J a maximální síla působící na těleso má velikost,5-3 N Učete amplitudu výchylky

11 Řešení: T = s, E = 3-5 J, F m =,5-3 N, A =? Celková enegie je Dosadíme do vztahu po enegii, pak E k A, maximální síla je F k A Vyjádříme m 5 F m E 3 5 E A E F A A 4 m A m F 3 m,5 Amplituda výchylky je 4-5 m k F m A

12 Mechanické vlnění Dosud jsme při studiu uvažovali pouze hamonický pohyb izolované částice (hmotného bodu nebo tělesa), kteá konala kmitavý pohyb kolem ovnovážné polohy Jestliže takový objekt bude součástí hmotného postředí (tuhého, kapalného, plynného), pak se kmity neomezí jen na samotný hmotný bod, ale budou se přenášet i na sousední body tohoto postředí Z místa pvotního kmitu zdoje se bude přenášet ozuch i na ostatní body postředí Říkáme, že v postředí vzniká vlnění, případně, že postředím se šíří postupná vlna Typickým příkladem vzniku vlnivého pohybu je vlnivý pohyb, kteý vzniká na vodní hladině po dopadu kamene Molekuly vodní hladiny jsou postupně uvedeny do kmitavého pohybu V tomto případě se šíří ze zdoje vlnění (místa ozuchu) ovinná vlna Dalším příkladem může být ozkmitání volného konce hadice ukou Jednotlivé body hadice postupně vykmitávají ze svých původních klidových ovnovážných poloh Hadicí se pak šíří vlnění

13 V uvedených (nebo dalších) případech se daným postředím šíří vlnění konečnou ychlostí, kteá závisí na molekulových vazbách mezi částicemi Postředí jako celek však zůstává v klidu Jednotlivé body pouze kmitají kolem ovnovážných poloh Tato poloha zůstává stálá Vlnění je jedním z nejozšířenějších fyzikálních dějů Šíří se jím zvuk, světlo, pohyby v zemské kůře při zemětřesení Vlnění má ůznou fyzikální podstatu a může mít i složitý půběh Základní poznatky o vlnění je možné nejsnadněji objasnit na vlnění mechanickém Popis mechanického vlnění Mechanické vlnění se šíří v hmotném postředí Jednotlivé body jsou navzájem spojeny molekulovými silami (pužnou vazbou) Postřednictvím této vazby se přenáší ozuch z jednoho bodu na duhý Nejpřehlednější je vlnivý pohyb v bodové řadě, kdy jedna její částice začne kmitat Vznikne lineání postupná vlna Body postředí mohou kmitat v libovolných směech: napříč ke směu šíření vlnění příčná vlna, 3 podél směu šíření vlnění podélná vlna Rychlost šíření vlnění V daném hmotném postředí se vlnění šíří konstantní ychlostí v To znamená, že po popis ychlosti můžeme použít vztah po ychlost ovnoměného pohybu s v t Vzdálenost, do kteé se ozuch ozšíří za dobu kmitu ( peiodu ) T kajního bodu, se nazývá vlnová délka Jednotkou vlnové délky je m Peioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s) Převácenou hodnotou peiody je fekvence f Jednotkou je hetz (Hz=s - ) Platí f T 3

14 Jednotkou peiody je s, jednotkou fekvence je s - nebo též Hz Úhlová fekvence (ads - ) je na základě teoie kmitavého pohybu daná vztahem f T Pak ychlost šíření vlnění je možné vyjádřit vztahem v T nebo v f Rychlost v nazýváme fázovou ychlostí Pak vlnová délka je nejkatší vzdálenost dvou bodů, kteé kmitají se stejnou fází Při přestupu vlnění do jiného postředí zůstává fekvence stejná, mění se fázová ychlost a vlnová délka Příklad: Postředím se šíří postupné vlnění, jehož úhlová fekvence je ads - a ychlost šíření vlnění je 6 ms - Učete vlnovou délku tohoto vlnění = ads -, v = 6 ms -, v Po vlnovou délku platí ze vztahu po fázovou ychlost f Fekvenci f kmitavého pohybu vyjádříme ze vztahu f Pak f v 6 Po dosazení do vztahu po vlnovou délku je m Vlnová délka je m 4

15 3 Matematické vyjádření okamžité výchylky postupné vlny Budeme uvažovat řadu bodů Kajní bod řady ( zdoj vlnění ) kmitá s výchylkou popsanou ovnicí u Asin t Poznámka: Okamžitá výchylka hmotného bodu z ovnovážné polohy při vlnivém pohybu se obvykle značí u Bod řady ve vzdálenosti x bude uveden do kmitavého pohybu s časovým zpožděním Pak ovnice po výchylku tohoto bodu bude zapsaná ve tvau u Asin t - Potože vlnění se šíří konstantní ychlostí, pak x x v v Dosadíme do vztahu po výchylku x u Asin t - v Potože fázová ychlost je v, T pak x T x u Asin t - Asin t T Vzhledem k tomu, že, pak T T x u Asin t T Po úpavě získáme ovnici t x u Asin T Tato ovnice představuje vztah po okamžitou výchylku bodu, kteý leží ve vzdálenosti x od zdoje vlnění v časovém okamžiku t Jestliže nebudeme uvažovat útlum vlnění v daném postředí, pak amplituda kmitů jednotlivých bodů řady bude stejná Vlnění se šíří v kladném směu osy x V případě, že by se vlnění šířilo opačným směem, bylo by v ovnici kladné znaménko Příklad: Jakou ovnici má vlna o fekvenci 4 Hz, amplitudě cm, kteá postupuje ychlostí 8 ms - a) v kladném směu osy x b) v záponém směu osy x 5

16 Řešení: f = 4 Hz, A =, m, v = 8 ms - a)rovnice okamžité výchylky vlny je t x u Asin T Vlnová délka v 8 m f 4 Můžeme ji přepsat do tvau x x u Asin f t,sin 4t m b)v ovnici změníme po oientaci znaménko x x u Asin f t,sin 4t m 4 Fázový a dáhový ozdíl Jestliže ovnici po okamžitou výchylku t x u Asin T upavíme na tva t x x u Asin Asin t T A sovnáme s ovnicí kmitavého pohybu u Asin t, pak člen x představuje fázový posuv bodu ve vzdálenosti x od zdoje vlnění vůči tomuto bodu Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdálenostech x a x, pak jejich fázový ozdíl bude Fázový ozdíl x x x x x bude úměný dáhovému ozdílu x 6

17 Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude ovna sudému násobku polovin vlnových délek x k to je x k, kde k,,3,, pak fázový ozdíl bude oven k a oba body budou kmitat ve fázi Budou dosahovat maxima a minima současně Příklad: Učete fázový ozdíl mezi dvěma body, kteé leží ve vzdálenostech x 6cm a - x 48cm od zdoje vlnění, jestliže vlnění se šíří ychlostí v 8ms s fekvencí f 4Hz Řešení: x =,6 m, x =,48 m, v = 8 ms -, f = 4 Hz Fázový ozdíl je x x K výpočtu je nutné učit vlnovou délku v 8,3m f 4 Pak,48,6,3 ad,3,3 Body budou ve fázi 5 Enegie vlnění Každá částice kmitající kolem ovnovážné polohy má enegii kmitavého pohybu E k A, kde k m je konstanta chaakteizující pužnost postředí a A je amplituda kmitů 7

18 Kmitová enegie se přenáší z jednoho bodu na duhý, poudí z jednoho místa postředí do duhého Hovoříme o toku enegie Pokud se bude postředím hustoty šířit postupná vlna, pak v objemovém elementu kteý bude mít hmotnost d m bude celková enegie de dm A Zavedeme veličinu hustotu enegie w, kteá bude obsažena v objemovém elementu Pak w de dv dm dv A A V, V případě, že budeme uvažovat objem d V, kteý bude tvořit kvád ABCDEFGH, pak se ozuch, kteý postoupí ploškou ds ABCD ychlostí v, dostane za dobu d t do vzdálenosti d s (znak nahazujeme znakem d velmi malá část, je nutné použít vždy, když se jedná o poměnné hodnoty) Po celkovou enegii pak bude platit de wdv wds ds wds vdt Tok enegie vysílané zdojem vlnění do postředí za jednotku času dt představuje výkon zdoje vlnění P Jednotkou toku enegie výkonu je watt (W) Výkon, a tím záoveň tok enegie, chaakteizuje vztah de P dt Jestliže by zdoj vlnění vysílal do postou enegii poměnné hodnoty, bylo by nutné tento vztah zapsat ve tvau d E dt Zavedeme veličinu intenzita vlnění I, což je množství celkové enegie E, kteá pojde jednotkovou plochou S kolmou na smě šíření vlnění za jednotku času t Definujeme ji vztahem I t E S nebo d E d I dt d S d S 8

19 Po úpavě lze intenzitu zapsat jako Jednotkou intenzity je Wm - Potože de wdv wds ds wds vdt, pak I wv v A I P ds Příklad: Popište změnu intenzity vlnění v závislosti na vzdálenosti od bodového zdoje vlnění konstantního výkonu P Řešení: Vlnění se šíří ze zdoje ve tvau kulových vlnoploch Plochu kulové vlnoplochy učíme jako obsah povchu koule o poloměu Pak S 4 P Intenzita I S ostoucí vzdáleností intenzita klesá 4 36 Vlnová ovnice Vlnová ovnice představuje pohybovou ovnici postupné vlny Jejím řešením by měl být vztah po okamžitou výchylku y, kteou máme zapsanou ve tvau t x u Asin T Poznámka: d y Zapíšeme-li pohybovou ovnici kmitavého pohybu y, vidíme, že obsahuje dt deivaci duhého řádu Jejím řešením je ovnice y A t má jen jednu poměnnou veličinu, a tou je čas t sin Tato pohybová ovnice Potože vztah po okamžitou výchylku y hmotného bodu postupné vlny obsahuje dvě poměnné čas t a umístění x, bude obsahovat pohybová ovnice dvě paciální deivace podle x a podle t Rovnici po okamžitou výchylku nejpve upavíme, a pak budeme postupně dvakát deivovat podle obou poměnných veličin t x xt u Asin Asin t T T λ 9

20 Potože T v, pak v x t A u sin Povedeme pvní a duhou deivaci posledního výazu podle času t: v x t A t u v cos představuje vztah po okamžitou ychlost bodu ve vzdálenosti x v čase t v x t A t u a sin představuje vztah po okamžité zychlení bodu ve vzdálenosti x v čase t Nyní povedeme pvní a duhou paciální deivaci podle místa x: v x t- A v x u cos v x t A v v x t A v x u sin sin Sovnáme obě duhé paciální deivace a můžeme psát t u v x u Tato ovnice představuje pohybovou ovnici postupné lineání vlny, kteá se šíří ve směu osy x, a to jednoozměnou Pokud bychom chtěli zapsat pohybovou ovnici postupné vlny šířící se v postou, pak by ovnice obsahovala paciální deivace podle t, x, y, z t u v z u y u x u V tomto případě se jedná o tříozměnou pohybovou ovnici, kteou můžeme pomocí tzv Laplaceova opeátou z y x zapsat ve zkáceném tvau t u v u

21 V nejobecnějším případě, výchylku (elongaci) uvažujeme jako vekto, je vlnová ovnice ve tvau u u v t Poznámka: Označení u by nyní představovalo okamžitou výchylku hmotného bodu kolmou ke směu šíření vlny u příčné vlny a ovnoběžnou se směem šíření vlny u podélného vlnění 7 Intefeence vlnění V pužném postředí se mohou současně šířit vlnění z ůzných zdojů Nastává skládání kmitů příslušejících jednotlivým vlněním V někteých oblastech, kde se vlny setkají, se vlnění překývají a pak se opět ozcházejí a šíří se tak, jakoby se nikdy nesetkala Každé vlnění se tak šíří nezávisle na ostatních vlněních a chová se tak, jakoby v postou bylo samo Tento fakt nazýváme pincipem nezávislosti šíření vlnění Výsledné skládání vlnění se nazývá intefeence Jevy, kteé skládáním vlnění vznikají jsou intefeenční jevy Intefeenční jevy můžeme pozoovat v ůzných všude tam, kde dochází k šíření vlnění Pozoujeme je při vlnění: mechanickém, akustickém, 3 elektomagnetickém (optika) Poznámka: K intefeenci dochází například tehdy, když na klidnou vodní hladinu hodíme na dvě ůzná místa dva kamínky Dopad kamenů ozkmitá vodní hladinu Stane se zdojem vlnění, ze kteého se šíří vlny v kuhových vlnoplochách Kuhové se vzájemně postoupí, pojdou jedna duhou a pokačují tak, jakoby se nesetkaly Kmity jednotlivých bodů se skládají na pincipu supepozice Výsledné kmitání je dáno vektoovým součtem jednotlivých kmitů Amplitudy kmitů se peiodicky mění V někteých místech nastane zesílení (zvětšení amplitudy) v jiných místech zeslabení (zmenšení amplitudy)

22 Obecně jsou intefeenční jevy velmi složité Důležité intefeenční případy nastávají tehdy, když sledujeme intefeenci koheentních vln Koheentní vlny mají stejnou fekvenci, vlnovou délku, stejný smě kmitání, šíří se stejnou ychlostí a mají konstantní fázový ozdíl Jestliže se obě vlny ve společném bodě M setkají tak, že by měl kmitnou vzhledem k oběma vlnám současně jedním směem, pak se amplitudy budou sčítat a výsledné vlnění se zesílí Jestliže se obě vlny ve společném bodě M setkají tak, že by měl kmitnou vzhledem k oběma vlnám současně opačným směem, pak se amplitudy budou odečítat a výsledné vlnění se zeslabí Amplituda výsledného kmitu je podle teoie skládání stejnosměných kmitání A A, A A Acos kde fázový ozdíl je úměný dáhovému ozdílu x x Mohou nastat významné případy: a) jestliže x x k pak k, kde k,,,3,, Obě vlnění se setkají ve fázi a nastane intefeenční maximum o amplitudě A A A b) jestliže x x pak k, kde k,,,3,, k Obě vlnění se setkají v opačné fázi a nastane intefeenční minimum o amplitudě A A A

23 Může nastat případ, kdy A A Pak se obě vlnění zuší Příklad: Vlnění je chaakteizováno vlnovou délkou 4 m a) Učete fázový ozdíl mezi dvěma body, kteé leží ve vzdálenostech m a m od zdoje vlnění b) Učete, zda body kmitají ve fázi Řešení: = 4 m, x = m, x = m, =? Po fázový ozdíl platí x x 4 ad 4 Fázový ozdíl je oven sudému násobku ad, body jsou ve fázi 8 Stojaté vlnění Stojaté vlnění vznikne intefeencí dvou postupných vlnění stejné amplitudy a stejné vlnové délky, kteé se šíří poti sobě Typickým příkladem je stojaté vlnění, kteé vznikne při chvění stuny Stuna je upevněna na dvou koncích Dnkneme-li na stunu v učitém místě, bude se z tohoto místa šířit postupná vlna na obě stany Dospěje k místům, kde je upevněná Tam se odazí a od obou konců budou poti sobě postupovat dvě koheentní vlny se stejnou amplitudou Tyto dvě vlny se složí budou intefeovat Vznikne stojaté vlnění, kteé se svými vlastnostmi bude lišit od vlnění postupného Odvodíme ovnici stojaté vlny vlna postupující v kladném směu osy x bude mít ovnici t x u Asin T vlna postupující v záponém směu osy x bude mít ovnici 3

24 t x u Asin T Výchylka výsledného vlnění libovolném bodě M se bude ovnat součtu výchylek t x t x u u u Asin Asin, T T t x t x u Asin sin T T Použijeme goniometický vzoec sin sin sin cos, pak ovnice stojaté vlny bude mít tva x u Acos sin t T Je tvořena ze dvou částí Pvní představuje amplitudu kmitu bodu v umístění x Duhá část je hamonická Amplituda bude v každém bodě jiná a je učena výazem A V Acos x V bodech, kde je cos je A V těchto bodech bude amplituda tvale nulová Nazývají se uzly Kmitová enegie těchto bodů je ovna nule E J Na Ob se jedná o body,, 3, 4, 5, 6 4

25 x V bodech, kde je cos je amplituda maximální A V těchto bodech bude mít amplituda tvale maximální hodnotu Nazývají se kmitny Kmitová enegie těchto bodů je tvale maximální E ka Na Ob se jedná o body E, B, C, D, E Ve všech ostatních bodech bude mít amplituda učitou hodnotu závislou na vzdálenosti x Vzdálenost d dvou uzlů je ovna polovině vlnové délky d Ze duhé části (hamonické) sin t, kteá je po všechny body stejná, plyne, že body mezi T dvěma uzly kmitají ve stejné fázi Tzn, že v daném okamžiku dosahují svého maxima a minima současně Poznámka: Stojaté vlnění může nastat i při odazu na volném konci V tom případě je na konci bodové řady kmitna Se stojatým vlněním se můžeme setkat i v ovině Typickým příkladem jsou tzv Chladniho obazce Na kovovou desku upevněnou ve středu nasypeme pášek Táhnutím smyčcem v kolmém směu desku ozechvějeme Vlnění bude postupovat k hanám, tam se odazí a bude se vacet zpět na desce vznikne ovinné stojaté vlnění V místech, kde budou uzly, budou zníčka v klidu V místech kmiten budou kmitat s maximální amplitudou Jev je možné demonstovat i na dětském bubínku Sovnání vlnění U postupného vlnění kmitají všechny body se stejnou amplitudou, ale ůznou fází Kmitová enegie, kteá je po všechny body stejná se šíří postředím U stojatého vlnění závisí amplituda kmitů na poloze bodu a fáze mezi dvěma uzly je stejná Kmitová enegie se liší po jednotlivé body v závislosti na jejich amplitudě a nedochází k jejímu přenosu Příklad: V učitém postředí vzniklo stojaté vlnění intefeencí dvou postupných vln s fekvencí 48 Hz Učete ychlost vlnění v tomto postředí, je-li vzdálenost dvou sousedních uzlů stojatého vlnění,5 m Řešení: f=48 Hz, d=,5 m, v=? Po fázovou ychlost vlnění platí v f Po dosazení ze vztahu po vzdálenost sousedních uzlů d dostaneme v d f, ms - Rychlost šíření vlnění je 44 ms - 5

26 9 Odaz vlnění Dosud jsme studovali vlnění, kteé se šíří pužným postředím neomezeně Toto postředí je však většinou omezené Na jeho konci začíná postředí o jiné hustotě, tzn o jiných mateiálových vlastnostech Vazby mezi molekulami mají jiný chaakte a hodnotu Snadno si jevy, kteé nastanou, představíme na hadici, kteá je na jednom konci upevněná Duhý konec uchopíme a kmitneme jím dolů Vznikne pohlubeň, kteá se bude šířit hadicí Dospěje k překážce Tam se odazí a postupuje zpět jako vch Na pevném konci nastává odaz s opačnou fází Jestliže hadice nebude upevněná, pak se tam i zpět bude ozuch šířit jako pohlubeň Na volném konci nastane odaz se stejnou fází Tento jev nastane například při šíření vlnění vzduchového sloupce v píšťalách Podobné jevy nastanou při přechodu vlnění z jednoho postředí do duhého, jestliže jsou jejich hustoty ůzné Jestliže ychlost vlnění v pvním postředí v bude větší než ve duhém v, nastane odaz s opačnou fází Pokud bude ychlost v pvním postředí v menší než ve duhém v, nastane odaz se stejnou fází Huygensův pincip V hmotném postředí se ozuch šíří všemi směy Pokud se bude šířit ve všech směech stejnou ychlostí, pak toto postředí bude izotopní V opačném případě bude anizotopní Vlnoplocha V izotopním postředí se enegie ozšíří za stejný časový inteval do stejné vzdálenosti Všechny body v této vzdálenosti budou kmitat se stejnou fází Množina všech těchto bodů se nazývá vlnoplocha Smě šíření vlnění se nazývá papsek Je kolmý k vlnoploše Jestliže je zdojem vlnění jeden hmotný bod, pak vlnoplochy v postou budou mít tva koule V případě, že se vlnění bude šířit v ovině, budou vlnoplochy tvořit kuhy (např známá kola na vodní hladině) Jednotlivé body postředí se postupně ozkmitávají a samy se tak stávají zdoji vlnění Šíří se z nich tzv elementání vlnoplochy Jejich vnější obálka se pak stane celkovou výslednou vlnoplochou Teoií vlnoploch se zabýval Chistian Huygens Poto se tento závě nazývá Huygensovým pincipem Ze zdoje Z se šíří vlna Za dobu t dospěje do vzdálenosti Všechny body v této vzdálenosti se ozkmitají a vytvoří dobné elementání vlnoplošky Při pečlivějším pozoování je můžeme 6

27 sledovat na vodní hladině Tyto elementání vlnoplošky jsou zvýazněny a ohaničeny hlavní vlnoplochou Jestliže bude zdoj kmitů přímkového tvau, pak vlnoplochy budou ovinné V případě, že postavíme hlavním vlnoplochám do cesty překážku (např desku s vyříznutými otvoy), pak se hlavní vlnoplochy ozšíří do těchto otvoů Body postředí se v těchto otvoech ozkmitají a vytvoří elementání vlnoplochy Hlavní vlnoplocha bude mít tva překážky Pomocí Huygensova pincipu jsou odvozeny např zákony lomu a odazu vlnění nebo ohyb vlnění na překážce Zákon odazu Při vysvětlení zákona odazu použijeme ovinných vlnoploch Tyto vlnoplochy se vytvářejí, když má zdoj vlnění přímkový tva nebo je zdoj vlnění v tak velké vzdálenosti, že polomě vlnoplochy je příliš velký a zakřivení je zanedbatelné Zákon odazu je odvozován pomocí Huygensova pincipu Papsek p dopadne na ozhaní dvou postředí o ůzných hustotách Bod dopadu se ozkmitá a stane zdojem vlnění, ze kteého se šíří vlnoplocha ve směu papsku p, zpět do původního postředí Úhel dopadu se ovná úhlu odazu Zákon lomu Budeme opět uvažovat ovinnou vlnu Papsek p dopadne na ozhaní postředí Bod na ozhaní se ozkmitá a vlnoplocha se šíří do duhého postředí ve směu papsku p, Potože duhé postředí má jinou hustotu, budou se vlnoplochy v jednotlivých postředích šířit ůznou ychlostí a výsledná vlnoplocha bude mít jiný sklon I v tomto případě je možné pomocí goniometických a tigonometických vztahů odvodit souvislost mezi úhly dopadu a lomu a ychlostmi v postředí Jestliže v pvním postředí se šíří vlnění ychlostí v a ve duhém ychlostí v, pak zákon lomu zapíšeme ve tvau Úhel je úhel dopadu, úhel je úhel lomu sin sin v n v 7

28 Veličina n je ovna poměu ychlostí v obou postředích a nazývá se index lomu vlnění po daná postředí Lom ke kolmici nastává tehdy, jestliže v v Pak Lom od kolmice nastává tehdy, jestliže v v Pak Při specifickém úhlu dopadu (mezním úhlu m ), kteý je po každé postředí jiný, nastává totální odaz Úhel lomu je v tomto případě oven 9º Ohyb vlnění Je jev, kteý nastává při dopadu vlnění na překážku, kteá je umístěná v daném postředí Budeme uvažovat vlnění, kteé se bude šířit ve tvau ovinných vlnoploch Kolmo ke směu šíření je umístěna překážka s otvoem Vlnění dospěje k otvou Částice postředí v otvou se ozkmitají a šíří se z nich vlnoplochy i za překážku do postou geometického stínu 8

29 Tento jev nastává tehdy, když je velikost překážky sovnatelná s vlnovou délkou vlnění Příklad: Pod jakým úhlem může nejvýše dopadnout zvuková vlna, aby se úplně od desky odazila? Rychlost vlnění ve vzduchu je 34 ms -, v mosazi 3 ms - Řešení: v =34 ms -, v =3 ms -, =? Úhel lomu je v tomto případě 9 Pak zákon lomu zapíšeme ve tvau Po dosazení je sin,69 6 sin v sin 9 v 9

30 3 Teplo, teplota Tepelný stav látek je chaakteizován veličinou temodynamická teplota T Jednotkou je kelvin T K Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotní stupnicí existuje převodní vztah T 73,5C t POZNÁMKA: V USA se používá ještě Fahenheitova teplotní stupnice Převodní vztahy jsou vzhledem k volbě základních bodů složitější: 9 5 t F t C 3, t C t F Tepelný stav látek souvisí s tepelným (temickým) pohybem částic (molekul, atomů, iontů) V pevné látce částice kmitají kolem ovnovážných poloh, V kapalině částice kmitají kolem ovnovážných poloh, ty se mohou posouvat, V plynu se částice pohybují chaoticky Bownovým pohybem Jestliže se teplota látky zvýší, pak se zychlí temický pohyb částic Při zahřívání se zvětší kinetická enegie částic Teplota látky se zvýší dodáním tepelné enegie (tepla) Q Jednotkou tepla je joule Q J Teplo, kteé je nutné dodat pevné látce nebo kapalině, aby se zahřála o učitý teplotní ozdíl T, vyjádříme vztahem T T dq mc dt Q mcdt Q mct T Q mct kde m je hmotnost látky, T, T je počáteční a konečná teplota, c je měná tepelná kapacita Při ochlazení musíme stejné množství tepla odebat Teplo vždy přechází z tělesa teplejšího na těleso studenější Komě měné tepelné kapacity c zavádíme ještě tepelnou kapacitu K Jednotkou K JK K mc, Q k T T Platí, že Q c m T 3

31 Měná tepelná kapacita je množství tepla, kteé je třeba dodat kg látky, aby se zahřála o jeden stupeň teplotního ozdílu Jednotkou je Jkg - K - Poznámka: měření ukázala, že závisí na teplotě a tlaku Při paktických výpočet, když nedochází k velkým teplotním a tlakovým změnám, můžeme c považovat za konstantní Rozlišujeme měnou tepelnou kapacitu při zahřívání za stálého tlaku kapacitu při zahřívání za stálého objemu c V c p a měnou tepelnou Pokud vyjadřujeme množství látky v molech, definujeme molání tepelnou kapacitu Molání tepelná kapacita je množství tepla, kteé je třeba dodat molu látky, aby se zahřála o jeden stupeň teplotního ozdílu Jednotkou je Jmol - K - Platí, že C M c - Kde M je molání hmotnost látky, M kgmol Po pevné a kapalné látky se měná a molání kapacita liší jen nepatně a můžeme je v paxi zanedbat Po plynné látky zavádíme molání tepelnou kapacitu při stálém tlaku C p a molání tepelnou kapacitu při stálém objemu C V Pomě je oven Poissonově konstantě kapa, jejich ozdíl podle Mayeovy ovnice plynové konstantě R 8,34JK - mol - C C p V C p C V R Obě molání tepelné kapacity závisí na počtu stupňů volnosti i je to počet nezávislých paametů, kteé učují danou veličinu nebo systém Rychlost, a tím enegii, můžeme učit nejvýše třemi složkami ychlosti tanslačního pohybu v, v, v a třemi složkami ychlosti otačního pohybu,, x y z x y z Jednoatomové molekuly i 3 Dvouatomové molekuly i 5 Tří a víceatomové molekuly i 6 Pak i i C V R C p R 3

32 Toto pavidlo je v dobém kvalitativním souhlasu s expeimentálními výsledky za běžných a vyšších teplot Při nízkých teplotách molání tepelná kapacita všech pevných látek ychle klesá a v okolí absolutní nuly konveguje k nule Poblém je řešen pomocí kvantové fyziky 3 Fázové přeměny Fázová přeměna je děj, při kteém dochází ke změně skupenství látky Rozlišujeme tato skupenství: pevné kapalné plynné TÁNÍ, TUHNUTÍ Tání představuje fázovou přeměnu z pevné fáze na kapalnou Dochází k ní při zahřívání Kystalické látky tají při teplotě tání T t Ke změně skupenství je třeba dodat skupenské teplo tání Q l m, kde l t je měné skupenské teplo tání, jednotkou je Jkg - Je to množství tepla, kteé je nutné dodat kg pevné látky, aby se přeměnila na kapalinu téže teploty t Amofní látky postupně při zahřívání měknou Konkétní teplota tání neexistuje Závislost teploty na dodaném teplotě při zahřívání Tuhnutí představuje změnu kapalného tělesa na pevné těleso Je to poces opačný k tání, kteý nastává při ochlazování Kystalické látky mají po chemicky čisté látky teplotu tuhnutí ovnu teplotě tání za téhož vnějšího tlaku Při tuhnutí je nutné látce odebat teplo Q l m, aby se z ní stala pevná látka Má stejnou hodnotu jako skupenské teplo tání pevného tělesa z téže látky a stejné hmotnosti Amofní látky tuhnou postupně Většina látek při tání objem zvětšuje a při tuhnutí zmenšuje 3 t

33 SUBLIMACE, DESUBLIMACE Sublimace je změna pevné látky na látku plynnou (např jód, naftalen, kaf, suchý led (CO ) Během sublimace je nutné pevné látce dodat skupenské teplo sublimace Q l m l s je měné skupenské teplo sublimace, jednotkou je Jkg - Desublimace je změna plynné látky na látku pevnou (např jinovatka) VYPAŘOVÁNÍ, VAR, KONDENZACE Vypařování je přeměna kapalné látky na látku plynnou Pobíhá vždy a za jakékoliv teploty a jen z povchu kapaliny (čím větší povch, tím ychlejší vypařování) Různé kapaliny se vypařují za stejných podmínek ůznou ychlostí Skupenské teplo vypařování s Q l je teplo, kteé musí kapalina přijmout, aby se změnila na páu téže teploty lv je měné skupenské teplo vypařování Va je speciální případ vypařování Kapalina se vypařuje nejen na svém volném povchu (jako u vypařování), ale také uvnitř svého objemu Přijímá-li kapalina teplo, va nastává při učité teplotě, tzv teplotě vau Va se pojevuje vytvářením bublin syté páy uvnitř kapaliny, kteé se postupně zvětšují a vystupují k volnému povchu v m 3 Teplotní oztažnost látek Při zahřívání látek libovolného skupenství dojde ke zvýšení kinetické enegie částic látky a zvýšení jejich temického pohybu U pevných látek a kapalin se zvýší fekvence kmitů částice kolem ovnovážné polohy a zvětší se jejich ozkmit Tím dojde ke zvětšení střední vzdálenosti částic, pevná látka a většina kapalin zvětší své ozměy DÉLKOVÁ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK U někteých těles převládá svou velikostí jeden z ozměů (tyče, dáty), zbývající ozměy pak můžeme zanedbat Uvažujme, že počáteční délka tyče při počáteční teplotě t je l Potom při zahřátí tyče na teplotu t se tyč podlouží na délku l Zavedeme absolutní změnu délky tyče l l l Tato absolutní změna délky je úměná změně teploty t, původní délce l a mateiálové konstantě součiniteli teplotní délkové oztažnosti - 33

34 Pak platí, že l l t Pak definujeme součinitele teplotní délkové oztažnosti l l t Z toho plyne jednotka součinitele teplotní délkové oztažnosti Jednotkou je K - Po úpavě dostaneme vztah po novou délku l l t Komě absolutního podloužení Je to bezozměné číslo l zavádíme ještě elativní podloužení l l PLOŠNÁ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK Někteá tělesa jsou učená dvěma ozměy (desky) Třetí ozmě zanedbáváme Pak při zahřátí o teplotní ozdíl t dojde ke zvětšení obou hlavních ozměů Jestliže uvažujeme desku o ozměech a, b při teplotě t, pak po zahřátí na teplotu t získají oba ozměy novou velikost a a t, b b t Plocha při teplotě t pak bude S a b a tb t a b t S t t Vzhledem k malé hodnotě součinitele teplotní délkové oztažnosti můžeme člen t zanedbat Pak S S t OBJEMOVÁ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK A KAPALIN U pevných těles, jejichž všechny tři ozměy jsou nezanedbatelné, je a a t, b b t, c c t Objem při teplotě t pak bude V abc a t V 3 t t t bc Členy 3 t, t můžeme po jejich malou hodnotu zanedbat Pak V V 3 t V t, kde 3 je součinitel teplotní objemové oztažnosti Jednotkou je K - Je v poměně šiokém ozsahu teplot stálý, tj nezávislý na teplotě 34

35 U kapalin, kteé nemají stálý tva, lze vyjádřit změnu objemu vztahem V V t Součinitel teplotní objemové oztažnosti kapalin není konstantní Kapaliny se oztahují neovnoměně Při změně teploty se zvětšuje objem a nemění se hmotnost, poto dochází ke změně hustoty těles Platí m V V m t t Změny hustoty s teplotou jsou celkem malé, v paxi je lze zanedbávat, avšak při přesném měření, zejména u kapalin, je nutné k nim přihlížet 33 Tepelná vodivost Vedení se uplatňuje především u pevných látek Částice v teplejších oblastech kmitají s vyšší fekvencí a větším ozkmitem Svou kinetickou enegii předávají částicím chladnějším Střední poloha částic se nemění Důležitým pojmem je teplotní spád pokles teploty v tělese, pak se tepelná enegie Q přenáší z míst o vyšší teplotě T do míst o nižší teplotě T Množství přeneseného tepla pak je T T T Q S, Q S d d kde d je délka tělesa (šířka stěny) ve směu šíření, S je plocha kolmá ke směu šíření, je čas, během kteého dochází k šíření tepla, je součinitel tepelné vodivosti látky s jednotkou Wm - K - Množství tepla, kteé pojde stěnou kolmou ke směu šíření tepla za s představuje tepelný tok (tepelný výkon) Jestliže je stěna jednotková, pak zavádíme veličinu hustota tepelného toku q Jednotky jsou Js W, q Jm s Platí Q q Q S Rozlišujeme vedení dvojího typu: Ustálené (stacionání) teploty T,T jsou tvale udžovány na stejných hodnotách (např vnější a vnitřní stěna domu), Neustálené (nestacionání) teploty T,T se po učité době vyovnají 35

36 Poudění tepla je výazné u kapalných a plynných látek, kdy dochází záoveň k poudění tekutiny Se zvětšením teploty klesne její hustota a teplejší tekutina tak vlivem vztlakové síly stoupá vzhůu Sálání je přenos tepelné enegie postřednictvím elektomagnetických vln, kteé se mohou šířit i vakuem Takto se přenáší tepelná enegie ze Slunce 34 Kaloimetická ovnice Při vzájemném kontaktu si tělesa vyměňují tepelnou enegii Q (teplo) Teplejší těleso o teplotě T, hmotnosti m a měné tepelné kapacitě c předá teplo tělesu chladnějšímu o teplotě T, hmotnosti m a měné tepelné kapacitě c Tato výměna tvá do té doby, než se teplota obou těles ustálí na stejné teplotě T, platí T T T Teplejší těleso odevzdá teplo Q m c T T, chladnější těleso přijme teplo Q m c T T Při vzájemné styku dvou těles platí zákon zachování tepelné enegie Stejné množství tepla, kteé teplejší těleso odevzdá, chladnější těleso přijme: m c Q Q T m c T T T POZNÁMKA: Tato ovnice platí za předpokladu, kdy nedochází k žádným tepelným ztátám V ostatních případech je třeba ovnici po jednotlivé případy sestavit 35 Kinetická teoie plynů Kinetická teoie plynů studuje plyn z mikoskopického hlediska Používá statistické metody, kteé se uplatňují v systémech s velkým počtem částic Zavádíme pojem ideálního plynu, má tyto základní vlastnosti: Všechny molekuly mají stejnou hmotnost a objem, Objem molekul je vzhledem k postou, ve kteém se pohybují zanedbatelný Mezi sážkami se molekuly pohybují ovnoměným přímočaým pohybem, Sážky jsou dokonale pužné, Mezi molekulami nepůsobí síly vzájemné inteakce, Všechny směy pohybu jsou stejně pavděpodobné, Sážkami se ychlosti molekul mění, celková enegie však zůstává konstantní (při konstantní teplotě systému) Potože ychlosti molekul jsou ůzné, je kinetická enegie i-té molekuly Ek i mv i 36

37 Celková kinetická enegie systému je pak ovna součtu kinetických enegií jednotlivých molekul N je počet molekul plynu E k N E N ki i i mv i Po výpočty je vhodné zavést pojem střední kvadatické ychlosti Označujeme ji v k Je to taková ychlost, kteou by musely pohybovat všechny molekuly daného plynu, přičemž by jejich celková kinetická enegie zůstala nezměněná Jestliže počet molekul plynu je N, pak N N N mvk mv i N mvk m v i i i Po úpavě vychází v N i k N v i Podle Maxwell-Boltzmannovy statistiky je střední kvadatická ychlost učena vztahem 3RT v k M Po jednu molekulu lze zavést pojem střední kinetické enegie je 3RT m M Potože N = je 3 m M 3 RT nrt 3 N N RT 3 kt kt kt kt kde k je Boltzmannova konstanta 3 N R N 3 T NkT A A k,38 3 JK - Výaz platí po jednoatomovou molekulu, kteá má tři stupně volnosti, Obecně po dvou a víceatomové molekuly je Ekvipatiční teoém: Na jeden stupeň volnosti připadá enegie kt i kt mv k Po dosazení za v k 37

38 36 Vnitřní enegie plynu U J Molekuly plynu o hmotnosti m se pohybují ůznými ychlostmi v i Těmto ychlostem odpovídá kinetická enegie Ek mv i i U ideálního plynu součet všech kinetických enegií jednotlivých molekul tvoří vnitřní enegii plynu: Značí se jako U, jednotkou je U E k E k E k3 E k4 E kn N i E ki Po N molekul plynu je i i U N N kt N R N i T N N i i RT nrt n RT A A U nc V RT Zahříváním plynu se teplota plynu zvýší, tím se zvýší i ychlosti jednotlivých molekul a jejich kinetické enegie V závislosti na tom dojde ke zvýšení vnitřní enegie plynu du nc kde n je látkové množství plynu, C V je molání tepelná kapacita při stálém objemu, d T je změna teploty Celkovou změnu vnitřní enegie vyjádříme vztahem V d T U T T nc V dt nc V T T Ochlazováním plynu teplota naopak klesá a vnitřní enegie plynu se zmenšuje 37 Páce plynu Molekuly plynu uzavřeného v nádobě naážejí při svém temickém pohybu na stěny nádoby F Silové náazy molekul plynu vyvolávají tlak p Jestliže je nádoba uzavřená pohyblivým S pístem, může se vlivem síly F p S píst posunout po dáze ds vykonat tak páci dw F ds ps ds pdv V V dw pdv W pdv Jestliže plyn zvětšuje svůj objem (expanduje), pak páci koná Jestliže objem zmenšuje (je kompimován), pak páci přijímá 38

39 38 Stavová ovnice plynu Stav plynu je chaakteizován stavovými veličinami teplotou T, objemem V a tlakem 3 plynu p Jednotkami, kteé používáme, jsou T K, V m, p Pa Při vyšetřování stavu plynu předpokládáme, že se celkové množství plynu nemění Tzn, že hmotnost m = konst, látkové množství n = konst Platí vztah: m n M kde M je molání hmotnost plynu Jednotkami jsou m kg, n mol, M kgmol Souvislost mezi stavovými veličinami je vyjádřena stavovou ovnicí plynu m pv n RT, pv RT, M kde R=8,34 Jkg - K -, M je molání hmotnost plynu - (,3kgmol - M O,,8kgmol - M N, M,9kgmol ) Změny stavu plynu (tzn změny teploty, objemu a tlaku) mohou být nahodilé Jestliže plyn přechází ze stavu ( p, V, T ) do stavu ( p, V, T ), Pak můžeme použít stavovou ovnici po změnu stavu vzduch p V T p V T Po učité technické účely je vhodné zavést pojmy ideálních dějů, kteé pobíhají za zcela konkétních podmínek: děj izochoický - V konst děj izobaický - p konst děj izotemický - T konst děj adiabatický - Q O, plynu se nedodává teplo, je tepelně izolovaný od okolí, děj polytopický všechny veličiny se mění - eálný děj 39 I hlavní věta temodynamiky (I temodynamický zákon) Vyjadřuje zákon zachování enegie po plyny Představme si plyn uzavřený v nádobě s pohyblivým pístem Plyn je ve stavu p, V, T Jestliže plynu dodáme teplo Q, plyn zahřejeme Stav plynu v nádobě změní hodnoty 39

40 p, V, T Zvýší se teplota plynu, tím se zvětší ychlost molekul a jejich kinetická enegie, a tím se záoveň zvětší tlak plynu v nádobě Molekuly plynu naážejí na stěny nádoby větší silou Mohou pohnout pístem a zvětšit tak objem nádoby Při zahřátí plynu nastanou dva případy: zvětší se vnitřní enegie plynu U U U, zvětší se objem a plyn tím vykoná páci W Pak I temodynamický zákon zapíšeme ve tvau: Q d U W Teplo dodané plynu se spotřebuje na změnu vnitřní enegie a na páci, kteou plyn vykoná POZNÁMKA: Vnitřní enegie závisí na jen na změně teploty Při zahřátí plynu oste Popíšeme ji úplným (totálním) difeenciálem du Páce plynu závisí na změně objemu Při zvětšení objemu plyn vykoná páci Důležitý je způsob změny objemu Po každý děj páci vypočteme jinak Páci a dodané teplo popíšeme pomocí neúplného difeenciálu W, Q U ideálních dějů používáme všude totální difeenciál dw, dq Rovnice má po každý děj jiný tva dq du dw dq ncv dt pdv IZOCHORICKÝ DĚJ Při tomto ději udžujeme objem konstantní, V = konst Plyn je uzavřen v nádobě konstantního objemu Jestliže plyn zahříváme, pak s ostoucí teplotou oste tlak plynu Pak V V a platí p p T T Gafickým znázoněním je izochoa Hovoříme o izochoickém ohřevu (případně izochoickém ochlazení) 4

41 Zapíšeme I Hlavní větu temodynamiky pomocí totálních difeenciálů: dq du dw dq ncv dt pdv Potože je změna objemu nulová dv, nekoná plyn páci dq ncv dt Integujeme ovnici T T dq nc V dt Látkové množství i molání tepelná kapacita jsou konstanty, vytkneme je před integál Q nc V dt T T Po integaci je Q ncv T T, Q U Všechno dodané teplo se spotřebuje jen na zahřátí plynu IZOBARICKÝ DĚJ Tlak plynu v nádobě udžujeme konstantní, p konst Při zahřívání plynu musíme zvětšovat objem nádoby, abychom tlak plynu v nádobě udželi konstantní Pak p p a platí V V T T Gafickým znázoněním je izobaa 4

42 I hlavní věta temodynamiky je: dq du dw dq ncv dt pdv Mění se objem i teplota, oba členy zůstanou Integujeme levou i pavou stanu T d ncv dt T V Q pdv V Potože je tlak konstantní, vytkneme všechny konstanty před integál a dostaneme T T pv Q ncv V Plyn se zahřeje (změní se jeho vnitřní enegie) a záoveň vykoná páci Obsah plochy pod křivkou je oven vykonané páci Teplo se ozdělí na zahřátí plynu a na páci vždy ve stejném poměu Tento pomě zjistíme po následujících úpavách: Pomocí stavové pv nrt, pv nrt ovnice dostaneme Q ncv T T nr T T C RT T Q n V Q ncp T T Stanovíme pomě dodaného tepla a změny vnitřní enegie i R U ncv T T CV i Q nc T T i p Cp R i Pak i U Q i Podobně po páci je W n RT T R R Q nc T T i p Cp R i Pak 4

43 W Q i 5 Např po dvouatomový plyn po i 5 vychází U Q, W Q 7 7 tepla se spotřebuje na změnu vnitřní enegie a 7 na páci Tzn, že 7 5 z dodaného IZOTERMICKÝ DĚJ Teplotu plynu udžujeme konstantní, T konst Abychom při zahřívání plynu udželi teplotu konstantní, zvětšíme objem nádoby a tím zmenšíme tlak plynu Gafickým znázoněním je izotema Pak T T a platí p V p V I hlavní věta temodynamiky je: dq du dw dq ncv dt pdv Potože je teplota konstantní, je dt a změna vnitřní enegie plynu je nulová dq pdv Integujeme ovnici V V dq pdv Potože tlak není u izotemického děje konstantní, ale mění se, vyjádříme ho pomocí stavové ovnice plynu nrt pv nrt p V Dosadíme do integálu nrt Q V d dv V V Konstanty vytkneme před integál V dv dq nrt V V Po integaci 43

44 V lnv nrt lnv Q nrt V lnv Po úpavě je V Q nrt ln Q W V Všechno teplo se spotřebuje na páci plynu Obsah plochy pod křivkou je oven vykonané páci ADIABATICKÝ DĚJ Při adiabatickém ději je plyn tepelně izolovaný od svého okolí Žádné teplo nepřijímá ani neodevzdává V někteých případech může být zněna tak ychlá, že k tepelné výměně nedojde Adiabata je stmější než izotema Platí ovnice adiabaty p V p V kde je Poissonova konstanta Po dvouatomový plyn má hodnotu,4 Obecně je i C R p i C i V R i I hlavní věta temodynamiky je: dq du dw dq ncv dt pdv Potože dq je du dw du dw T ncv dt T dw W ncv T T W U 44

45 Plyn zvětší svůj objem, tím vykoná páci, ale jeho vnitřní enegie klesne Říkáme, že při adiabatickém ději koná plyn páci na úko vnitřní enegie Páci můžeme vypočítat záoveň podle vztahu odvozeného pomocí difeenciální ovnice pv p V W Obsah plochy pod křivkou je oven vykonané páci POLYTROPICKÝ DĚJ Je to děj, kteý se nejvíce blíží skutečnosti (není možné udžet hodnoty teploty tlaku a objemu konstantní a plyn dokonale tepelně izolovat od okolí Stavová ovnice po změnu stavu je ve tvau n n p V pv n je exponent polytopického děje Je závislý na podmínkách děje a učíme ho ze vztahu p log p n V log V Co do velikosti je exponent polytopického děje mezi hodnotou a Poissonovou konstantou n Gafickým znázoněním je polytopa, kteá leží v pv diagamu mezi izotemou a adiabatou I hlavní věta temodynamiky je: dq du dw dq ncv dt pdv Páci plynu při izotemickém ději učíme podle vztahu pv p V W n Shnutí: děj U W izochoický mění se nekoná W Q U izobaický mění se koná Q U W izotemický nemění se koná Q W adiabatický klesá koná U W 45

46 POZNÁMKA: Výše uvedené děje byly zakesleny v pv diagamu (závislost tlaku na objemu) Můžeme je zakeslit např i do pt diagamu nebo VT diagamu nebo jiných 3 Kuhový děj Mezi temodynamickými změnami má paktický význam tzv kuhový děj (cyklus) Je chaakteizován tím, že se systém po navazujících jednoduchých temodynamických změnách vátí zpět do výchozího stavu Potože jde o uzavřený děj, je konečná teplota plynu stejná jako počáteční Celková změna vnitřní enegie je nulová, U Ze stavu (o stavových veličinách p, V, T ) přejde plyn postupnými změnami do stavu (o stavových veličinách p, V, T ) Při přechodu z do plyn přijme teplo Q a zvětší svůj objem (expanduje) Při přechodu ze stavu do zmenší objem (je kompimován) a odevzdá teplo Q Q Q Q je pod křivkou (a), Q je pod křivkou (b) Rozdíl těchto dvou tepel je oven páci, kteou plyn během celého cyklu vykoná W Q Q Pak po tento děj můžeme definovat účinnost Q Q Q Tato účinnost je vždy menší než, Q Q Někteá liteatua zapisuje výše uvedený vztah takto:, kde teplo Q Q Na tomto pincipu jsou založeny tepelné cykly tepelných stojů Účinnost kuhových dějů zkoumal fancouzský inžený Sadi Canot a zjistil, že nejvyšší účinnost má kuhový děj, kteý je tvořen: izotemickou expanzí, 46

47 adiabatickou expanzí, 3 izotemickou kompesí, 4 adiabatickou kompesí Po dosazení za příslušná tepla a úpavě vychází T T T Kde T je teplota ohřívače a T je teplota chladiče 3 II Hlavní věta temodynamiky I hlavní věta temodynamiky nijak neomezuje u tepelných cyklů libovolné zvyšování účinnosti tepelných stojů, což je ovšem v ozpou s paktickými zkušenostmi Úpavu vyslovuje II Hlavní věta temodynamiky Uvedeme tři její znění, kteé pocházejí od tří ůzných autoů v ůzných časových obdobích Všechny vystihují podstatu fomulují podmínky, za nichž je možné využívat tepla ke konání páce: Thompson (853) Je nemožné tvale vykonávat páci pouze tím, že bychom ochlazovali jedno těleso na nižší teplotu, než je teplota nejchladnější části jeho okolí Clausius (854) Je nemožné přenášet cyklickým pocesem teplo z chladnějšího tělesa na teplejší, aniž se přitom jisté množství tepla změnilo na páci 3 Planck (93) Je nemožné sestojit peiodicky pacující stoj, kteý by tvale konal kladnou mechanickou páci pouze ochlazováním jednoho tělesa, aniž přitom dochází k jiným změnám v ostatních tělesech 3 Entopie Entopie se značí S a závisí na teple, kteé je dodáno systému Chaakteizuje míu neuspořádanosti systému Čím větší množství tepla dodáme, tím je mía entopie (neuspořádanost) větší Je definována vztahem Q d S T - Jednotkou je S JK Clausius definoval entopii takto: Dodáme-li temodynamické soustavě, kteá je v ovnovážném stavu a má teplotu T, při vatném ději nekonečně malé množství tepla Q (aby se teplota soustavy pakticky Q nezměnila), zvýší se tím entopie soustavy o Ubeeme-li teplo Q, entopie soustavy T Q se o zmenší T 47

48 Po nevatné děje ovnice neplatí Entopie je veličina, kteá chaakteizuje stav systému podobně jako vnitřní enegie U je možné učit pouze změny těchto veličin S, U S Q ds, S T Q S S, T Q S T představuje pvní stav, představuje duhý stav Vlastnosti entopie: Entopie je funkce stavu soustavy Její hodnota je v kteémkoliv okamžiku půběhu děje učena paamety soustavy a nezávisí na způsobu, jakým se soustava do tohoto stavu dostala V případě vatné změny kuhového cyklu je S 3 Při nevatném cyklu entopie oste 33 III Hlavní věta temodynamiky Nenst vyslovil hypotézu, že entopie tuhých látek má při teplotě absolutní nuly nulovou hodnotu Přesněji: Klesá-li teplota kteékoliv chemicky čisté látky k absolutní nule, blíží se i entopie neomezeně k nule Tato Nenstova věta má mnoho důsledků, kteé byly ověřeny v paxi např měné tepelné kapacity, a tím i molání tepelné kapacity všech tuhých a kapalných látek klesají při absolutní nule k nulové hodnotě Podle Placka se tento důsledek považuje někdy za třetí hlavní větu temodynamiky: Není možné žádným konečným pocesem ochladit čistou tuhou látku až na teplotu absolutní nuly Tato věta není dosud bezpečně expeimentálně ověřena Nejnižší dosažená teplota je asi 5 K 48

49 4 Elektostatické pole Elektické pole existuje v okolí každé elekticky nabité částice nebo každého elekticky nabitého tělesa Pokud je náboj nebo těleso v klidu, hovoříme o elektostatickém poli 4 Elektický náboj Je jednou ze základních chaakteistik mikočástic Značí se Q, q Jednotkou je coulomb (C) Elektický náboj je kladný nebo záponý Existenci náboje chaakteizují obecně platné zákony: a) zákon zachování náboje: náboj je nevytvořitelný a nezničitelný Součet nábojů v izolovaném systému je konstantní b) zákon invaiantnosti náboje: náboj je při všech tansfomacích vztažné soustavy invaiantní (nemění se) c) zákon supepozice: při současném působení několika nábojů je celkový účinek úměný jejich počtu d) zákon kvantování náboje: všechny náboje jsou celistvými násobky dále nedělitelného elementáního náboje e,6 9 C Platí tedy Q ne, kde n,, 3, 4 e) zákon o silovém působení nábojů (Coulombův zákon): každé dva náboje Q, q na sebe navzájem působí silou F Qq 4, kde je vzdálenost nábojů, je pemitivita postředí (chaakteizuje elektické vlastnosti postředí, jednotka C N m ), 8,854 C N m je pemitivita vakua, je elativní pemitivita (bez jednotky), je jednotkový vekto učující smě působící síly 4 Intenzita elektického pole Elektické pole znázoníme pomocí elektických siloča Jsou to křivky, kteé začínají na kladném náboji a v postou se naváží na záponý náboj (mají začátek a konec) Ob Siločáy elektického pole 49

50 Intenzita E je vektoová veličina: v každém místě popisuje elektické pole, je tečnou k elektické siločáře, je oientovaná od kladného náboje k záponému Představme si elektické pole tvořené nábojem Q Do tohoto pole umístíme náboj q do vzdálenosti Pak bude centální náboj Q působit na vložený náboj q působit silou Qq F 4 Intenzita elektického pole náboje Q ve vzdálenosti je definovaná jako podíl síly F a vloženého náboje q F E q Jednotkou intenzita je NC - Po dosazení za sílu z Coulombova zákona dostaneme Qq 4 E, pak q Q E 4 Ob Vekto intenzity elektického pole Z uvedených vztahů plyne, že elektické pole o intenzitě E působí na vložený náboj q silou Qq F E q 4 F E q Dostaneme vektoové intenzitní pole Jestliže má intenzita ve všech bodech stejnou velikost a smě E konst, pak hovoříme o poli homogenním V opačném případě se jedná o pole nehomogenní Jestliže intenzita nezávisí na čase, jedná se pole stacionání Jestliže závisí na čase, pak je pole nestacionání Pole bodového náboje je adiální (papsčité) 5

51 5 Pole popisuje i vekto elektické indukce elektického pole je E D Oba vektoy jsou lineáně závislé 43 Elektické pole dipólu Dipól je dvojice opačných nábojů Q Q, stejné velikosti, kteé jsou ve vzájemné vzdálenosti l Dipól je chaakteizován momentem dipólu l Q p Učíme velikost intenzity elektického pole a) na spojnici ve vzdálenosti od středu dipólu v bodě P Po velikost intenzity v bodě P platí 4 l Q E Q a záoveň 4 l Q E Q Potože po výslednou intenzitu platí Q Q E E E a vektoy intenzit jsou oientovány opačnými směy, pak Q Q E E E Tudíž l l Q l Q l Q E P Vzhledem k tomu, že l, pak l Q l Q E P Výslednou intenzitu můžeme zapsat ve tvau 3 4 p E P

52 Ob Intenzita elektického pole dipólu na podloužení spojnice b) na ose dipólu v bodě R Velikost intenzity v bodě R na ose dipólu vypočteme ze vztahu ER ER sin E E Odtud plyne E R Esin l F Q Platí E, a záoveň sin q 4 l l Pak intenzita je Ql E R, což je po l 4 3 l p E R Tok vektou intenzity plochou, Gaussova věta Gaussova věta umožňuje vypočítat velikost a smě intenzity elektického pole, kteé se vytvoří kolem tělesa v libovolném místě Zavedeme veličinu elektický intenzitní tok E Intenzitní tok (tok vektou elektické intenzity plochou S učuje počet siloča N, kteé pocházejí učitou plochou S Každým bodem elektostatického pole je možné vést elektickou silpčáu To by znamenalo, že celý posto byl vyplněn nekonečně mnoha siločaami, kteé by nebylo možno od sebe odlišit I Faaday omezil vhodně počet siloča N tak, aby je bylo možné využít ke stanovení směu a velikosti intenzity E Stanovil, že počet N siloča, kteé pobíhají plochou jednotkové velikosti postavenou kolmo ke směu siloča je oven číselně velikosti součinu intenzity elektostatického pole E a plochy S v místě, ve kteém je plocha postavena (ob ) 5

53 Jestliže je plocha postavena kolmo k vektou elektické intenzity, tj nomálový vekto plochy S je ovnoběžný s vektoem E, je intenzitní tok největší (skalání součin) N E S Budeme uvažovat po jednoduchost homogenní elektické pole o vektou intenzity E konst, kteé bude chaakteizované ekvidistantními siločaami Plocha je popsána nomálovým vektoem S Počet siloča (a tím i intenzitní tok), kteé potínají plochu, bude závislý na hustotě siloča a na oientaci siloča vzhledem k ploše Zavedeme úmluvu (Faaday): Počet siloča potínajících jednotkovou plochu postavenou kolmo na smě siloča je oven velikosti intenzity pole v dané oblasti N E S cos E Úhel je úhel mezi vektoem intenzity E a nomálou plochy S Vztah je možné zapsat pomocí skaláního součinu takto E E S Pokud by se jednalo o nehomogenní elektické pole, pak bychom poblém řešili pomocí elementáního intenzitního toku d E, kteý by pocházel elementání plochou d S : d E E d S Celkový intenzitní tok by se pak řešil pomocí integálu (součtu) přes celou plochu E N E ds II Gauss učil, že počet siloča N závisí na velikosti náboje Q, kteý pole tvoří a na pemitivitě postředí, ve kteém je náboj umístěn S E N Q III Spojením obou vztahů po intenzitní tok (počet elektický siloča) sestavil Gauss vztah po výpočet intenzity elektického pole S Q E ds 53

54 45 Páce sil elektostatického pole Jestliže vložíme náboj q do elektostatického pole vytvořeného centálním nábojem Q, pak Q q toto pole na náboj q působí silou F 4 ( je jednotkový vekto ) a posune ho po dáze ds ze vzdálenosti do vzdálenosti Tím vykoná páci dw F ds Fds cos (po jednoduchost úhel mezi silou a posunutím je ) W Q q ds 4 Pak po nahazení W 4 Po další úpavě ds d (oba difeenciály mají stejný ozmě a smě) Q q Q q Q q d d d Q q W Q q 4 Q q 4 Q q 4 Pak páce je W Q q 4 Při obecnějším způsobu řešení bychom zjistili, že velikost vykonané páce závisí jen na počáteční a konečné vzdálenosti náboje q od centálního náboje Q 46 Potenciální enegie elektostatická Potenciální enegie závisí na vzájemné poloze dvou objektů a na páci, kteou je nutné při jejich vzdálení (přiblížení) vykonat Podobně jako u potenciální enegie tíhové (tíhová síla F G m g ) je změna potenciální enegie ovna páci E p W Zde koná páci elektostatická síla F Q q 4 Pak po předchozím výpočtu je Q q Q q E d p W

55 Q q Q q E p E p E p 4 4 Pokud hladinu nulové potenciální enegie vztahujeme na, pak Q q E p 4 47 Potenciál elektostatického pole Elektostatické pole je komě intenzity E v každém bodě popsáno potenciálem Potenciál je skalání veličina Jednotkou je volt V Množina bodů, kteé mají stejný potenciál, tvoří tzv ekvipotenciální plochu (množinu bodů stejného potenciálu) Po bodový náboj Q mají ekvipotenciální plochy v izotopním postředí tva koule Jestliže je náboj Q ozložený na ovném dátu, mají ekvipotenciální plochy v izotopním postředí tva válců Pokud je náboj Q ozložený ovné desce, pak mají ekvipotenciální plochy v izotopním postředí tva ovin Mezi dvěma body elektostatického pole, kteé mají ozdílný potenciál, je zavedena veličina napětí U Jednotkou je volt U V Jestliže tyto dva body mají souřadnice x a x, pak po napětí U a intenzitu E platí vztah U Ex x El POZN: Odtud je odvozena často používaná jednotka po intenzitu Vm - Potenciál učíme jako podíl potenciální enegie E p v místě, kde je vložený náboj q E q p Q q 4 q Q 4 Po páci sil elektostatického pole k přemístění náboje ůzného od jednotkového můžeme na základě předchozích úvah psát W q d q E d q W = qu 55

56 48 Náboj v elektostatickém poli Budeme uvažovat elektostatické pole o konstantním vektou elektické intenzity E Do tohoto pole vložíme náboj q Pole na tento náboj bude působit silou F qe a udělí mu F qe podle II Newtonova zákona zychlení a, kde m je hmotnost náboje m m POZN: Kladný náboj se bude pohybovat ve směu intenzity, záponý náboj se bude pohybovat poti směu intenzity Dojde ke změně ychlosti náboje, a tím i ke změně kinetické enegie Elektické pole přitom vykoná páci W Ek mv mv Páce jakékoliv síly je učena jako skalání součin síly F a posunutí ds W F dscos F ds Potože pole je homogenní a intenzita je konstantní, pak ovněž i síla je konstantní Můžeme ji tedy vytknout před integál, úhel cos W F s q E s Po součin intenzity E a vzdálenosti dvou míst potenciálu U platí U El s l elektostatického pole o ozdílném Pak W q El qu Jestliže byl náboj původně v klidu, pak W mv qu Elektostatické pole tak působí jako uychlovač elekticky nabitých částic 49 Dipól v homogenním elektostatickém poli Vložíme do elektostatického pole dipól o momentu p Ql tak, že jejich spojnice l svíá s vektoem E intenzity úhel Vlivem působící dvojice sil F Q E se dipól natočí do směu intenzity E 56

57 Otáčivý účinek dvojice sil je chaakteizován momentem dvojice sil Pak M QElsin Ql Esin p Esin Tento vztah lze přepsat pomocí vektoového součinu M p E M F d F lsin 4 Kapacita vodiče, kondenzáto Potenciál na povchu vodivé kulové plochy o poloměu s ovnoměně ozloženým nábojem Q je dán vztahem Q, 4 o kteý můžeme přepsat ve tvau Q = 4 o Náboj koule je tedy přímoúměný jejímu potenciálutento závě platí po jakýkoliv elektický nabitý izolovaný vodič, takže lze psát Q = C Konstanta úměnosti C závisí obecně na tvau a velikosti vodiče; je to kapacita vodiče a je definována podílem náboje izolovaného vodiče a jeho potenciálu, tedy C Q Jednotkou kapacity je faad (F) s ozměem kg - m - s 4 A Je to jednotka elativně velká, poto se v paxi používají její díly, nejčastěji F, nf a pf V paxi je z tohoto pohledu důležitá soustava dvou vodičů, kteé jsou od sebe odděleny nevodivým postředím, dielektikem Tato soustava se nazývá kondenzáto Pokud mají dva zmíněné vodiče stejně velké náboje opačných znamének, pak říkáme, že kondenzáto je nabitý Jeho kapacitu vypočteme ze vztahu 57

58 C Q U Q kde U je napětí mezi vodiči o potenciálech,, Rozlišují se tři duhy kondenzátoů: deskový, kulový válcový Deskový kondenzáto je nejběžnějším typem Je to soustava dvou ovnoběžných kovových desek nazývaných elektody C S d Válcový kondenzáto je tvořen dvěma elektodami tvau souosých válcových ploch délky l, z nichž vnitřní má pomě a a vnější b Válcový kondenzáto má po výpočtu pomocí Gaussovy věty kapacitu C o l b ln a Kulový kondenzáto představují dvě elektody ve tvau soustředných kulových ploch, z nichž vnitřní má polomě a a vnější b Kapacita kulového kondenzátou je C 4 o ab b a Příklad: Učete kapacitu deskového kondenzátou pomocí Gaussovy věty elektostatiky Řešení: Mezi deskami kondenzátou vznikne homogenní elektostatické pole Vekto intezity je E konst, úhel mezi intenzitou E a nomálou plochy S je, 58

59 59 a poto Gaussovu větu elektostatiky S d Q S E upavíme Q S E cos d Q S E d Q ES Pak po náboj Q plyne Q = o ε E S Potože je pole mezi deskami homogenní, po napětí ze vztahu při E vychází d d x x x x d E x x E E E U Po kapacitu deskového kondenzátou potom dostáváme, d S E d E S U Q C o o kde S je tzv účinná plocha kondenzátou 4 Zapojení kondenzátoů V paxi se často setkáváme s bateiemi kondenzátoů, se spojenými kondenzátoy Spojení může být séiové (denzátoy jsou za sebou ) nebo paalelní (kondenzátoy jsou vedle sebe) Z obázku plyne, že při: při séiovém zapojení musí být náboje na všech kondenzátoech stejné, tedy Q = Q = Q 3 = Q, a po výsledné napětí U bateie bude platit 3 3 C Q C Q C Q U U U U Dělením tohoto vztahu Q dostaneme 3 C C C C Q U

60 a obecně po séiové zapojení potom platí C i Ci při pa al el ní m z apoj ení je ozdíl potenciálú po všechny větve stejný, a poto napětí je po všechny větve stejné U = U = U 3 = U Pak Q = Q + Q + Q 3 = C U + C U + C 3 U a dělením U potom po výslednou kapacitu C naší bateie tří kondenzátoů dostáváme C = C + C + C 3, obecně po paalelní zapojení bateie kondenzátoů platí C i C i Kondenzátoy jsou jedním ze základních pvků ve sdělovací a přístojové technice a obecně v elektonice 4 Enegie nabitého kondenzátou Mezi deskami kondenzátou o kapacitě C je napětí U Pak po náboj platí Q = C U Jestliže zvětšíme jeho náboj o elementání hodnotu dq musíme elementání páci dw U dq q dw dq C Celková páce, kteou je nutno vykonat, aby původně nenabitý kondenzáto získal náboj Q, je potom W Q Q Q q dq q dq q Q C C Po dalších úpavách je W C C U CU C C 6

61 Mezi deskami vznikne homogenní elektické pole, jehož enegie E se ovná páci nutné k jeho vytvoření E W CU Po homogenní pole platí U = Ed (kde d je vzdálenost mezi deskami) Z Gaussovy věty elektostatiky po homogenní elektostatické pole E S Q, dostaneme dosazením za Q E E S d nebo vektoově W E D Sd Součin Sd představuje posto mezi deskami kondenzátou, tedy objem, kteý zkoumané elektostatické pole zaujímá Elektostatickou enegii nehomogenního pole bychom mohli na základě vztahů po pole homogenní psát ve tvau o W o E dv E D dv, V přičemž se integace vztahuje na celý posto pole, na objem V, kteý pole zaujímá V 6

62 5 Stacionání elektické pole, elektický poud Stacionání elektické pole je chaakteizováno konstantním elektickým poudem Elektický poud I je usměněný pohyb elektických nábojů Jednotkou je ampé, I A K vzniku elektického poudu je nutný ozdíl potenciálů ve vodiči přítomnost zdoje napětí Po vložení do elektostatického pole jsou přinuceny k usměněnému pohybu elektickou silou F q E Vznikne elektický poud Po množství přeneseného náboje platí vztah dq I, d t dq I dt Z hlediska vodivosti ozdělujeme látky na: Vodiče vedou elektický poud, obsahují volné nosiče náboje, Polovodiče - vedou elektický poud jen za učitých podmínek, Nevodiče (izolanty) - nevedou elektický poud, neobsahují volné nosiče náboje 5 Vznik elektického poudu ve vodiči K pevným elekticky vodivým látkám patří kovy Jsou to kystalické látky Atomy jsou pavidelně uspořádány v kystalové mřížce, kde kmitají kolem ovnovážných poloh Elektony z valenční (poslední) sféy jsou velmi slabě vázány k jádu a navíc jsou odstíněny elektony, kteé jsou na vnitřních sféách Záponé valenční elektony se uvolní se z přitažlivosti kladného jáda a volně se mohou pohybovat kovem Vytvářejí tzv elektonový plyn Jestliže připojíme kovový vodič ke zdoji napětí elektického pole (bateii), vytvoří se ve vodiči délky l elektické pole o intenzitě E 6

63 Na každý elekton (náboj q) začne pole působit elektickou silou F e E q a přinutí elektony pohybovat se směem ke kladnému pólu zdoje Pohybují se poti směu intenzity Vznikne elektický poud I Q I t Elektický pou je definován jako celkový náboj Q, kteý pojde vodičem za čas t Celkový náboj Q n q nebo po elekton Q n e, Kde e =,6-9 C, je elementání náboj (velikost náboje elektonu) Čím déle elektický poud vodičem pochází, tím je množství pošlého náboje větší POZNÁMKA: Dohodnutý smě poudu (technický poud) je poti směu pohybu elektonů od kladného pólu zdoje k záponému pólu (ve směu intenzity elektického pole) 63

64 5 Odpo vodiče Elektony, kteé se pohybují vodičem, naážejí do kmitajících atomů kystalové mříže Tím se jejich pohyb zbzdí Tyto sážky jsou příčinou elektického odpou R jednotkou je ohm R Velikost odpou je dána vztahem l R S Kde je měný odpo, l je délka vodiče, S je půřez vodiče Jednotky jsou l m, S m, m S ostoucí teplotou se zvětšují kmity atomů v kystalové mřížce Zvětšuje se fekvence kmitů a oste ozkmit Tím se zvyšuje pavděpodobnost sážky elektonu s kmitajícím atomem a oste odpo R R T Kde R je odpo při počáteční teplotě T, R je odpo při teplotě T, je teplotní součinitel odpou s jednotkou K R R T T 53 Řazení ezistoů Technický název odpoové součástky je ezisto Séiové řazení - ezistoy jsou řazeny za sebou Každým ezistoem pochází stejný elektický poud I, na každém ezistou je jiné napětí U Výsledný odpo je R R R Paalelní řazení ezistoy jsou řazeny vedle sebe 64

65 Poud se v uzlu dělí na dva poudy Každým ezistoem podle velikosti jeho odpou pochází jiný poud Napětí na obou ezistoech je stejné Výsledný odpo je R R R 54 Ohmův zákon Chaakteizuje souvislost mezi napětím, poudem a odpoem vodiče Pokud má kovový vodič konstantní teplotu, je poud pocházející vodičempřímo úměný napětí mezi konci vodiče Pomě napětí a poudu je konstantní Pak U R I U R I Převácená hodnota učuje elektickou vodivost, G I U R JOULEOVO TEPLO jednotkou je siemens, S G Při půchodu elektického poudu vodičem naážejí elektony do atomů kystalové mřížky Elektony předají svou kinetickou enegii atomům Dochází ke tření a vodič se zahřívá Vyvíjí se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule, Q J Množství tepla závisí na počtu pošlých elektonů souvisí s velikostí poudu I, ychlosti elektonů souvisí s velikostí napětí U, době t, po kteou poud pochází Platí Q U I t VÝKON ELEKTRICKÉHO PROUDU Jouleovo teplo vyvinuté ve vodiči je jako foma enegie ovna páci elektického poudu Pak výkon elektického poudu je Jednotkou je watt, P W P Q t U I t t U I 65

66 55 Páce a výkon elektického poudu Při půchodu elektického poudu I vykonávají elektické síly přenesením celkového náboje Q páci W UQ Po částečný náboj platí: Pak dw UI dt Po celkovou páci platí po integaci v případě konstantního poudu a napětí W UI t Jiný způsob zápisu po páci po dosazení z Ohmova zákona je W R I t Při půchodu elektonů vodičem dochází ke tření a kinetická enegie elektonů se přeměňuje v enegii tepelnou Po výkon elektického poudu platí Q T R I t P dw dt U I 56 Elektomotoické napětí K vzniku elektického poudu je nutný zdoj napětí U (ozdíl potenciálů) Nejjednodušším způsobem je elektolyt (- oztok s volnými kladnými a záponými ionty) Do oztoku jsou zasunuty kovové destičky (elektody) s opačnou afinitou (jedna má nadbytek elektonů Katoda a duhá má nedostatek elektonů Anoda) Mají ozdílný potenciál, (galvanický článek) Tím vznikne mezi elektodami elektomotoické napětí U e Někdy je značeno jako Mezi elektodami se vytvoří elektické pole o intenzitě E Na volné ionty působí pole silou F q E a ty se přemísťují k elektodě s opačným nábojem Napětí mezi svokami je největší před připojením vodičů k elektodám napětí napázdno U Po připojení vodičů a spotřebičů k elektodám pochází obvodem elektický poud a napětí na svokách se zmenší U S Elektomotoické napětí U e pak je ovno součtu napětí svokového U S a vnitřního napětí zdoje U i 66

67 Svokové napětí U S R spotřebičů Vnitřní napětí Pak U i U s U i I, kde R je odpo všech vnějších částí obvodu svoek, vodičů a R I, kde R i je vnitřní odpo zdoje i R R I Výaz představuje Ohmův zákon po jednoduchý obvod s jedním zdojem napětí Obecně je elektickým zdojem každé zařízení, ve kteém se jakýkoliv duh enegie mění v enegii elektickou i 57 Kichhoffovy zákony Používají se po řešení obvodů s více zdoji a více větvemi, (uzly) Uzel je místo, ve kteém se spojují aspoň tři vodiče Větev je část obvodu mezi dvěma uzly Smyčka je uzavřené spojení větví Síť je soustava smyček Kichhoffův zákon součet poudů, kteé do uzlu vstupují se ovná součtu poudů, kteé z uzlu vystupují Součet poudů v uzlu je oven n k I k Kichhoffův zákon Součet elektomotoických napětí se ovná součtu ohmických napětí na odpoech (ezistoech) n k k n k R k I k 67

68 6 Magnetické pole Magnetické pole najdeme kolem magnetu (i kolem Země) Tvoří se kolem každé částice s nábojem Q, kteá je v pohybu Magnetické pole znázoňujeme pomocí magnetických siloča Na ozdíl od elektických siloča (začínají na kladném a končí na záponém náboji) jsou to křivky uzavřené Oientace siloča a tím i vektoů magnetické indukce a intenzity se učí podle Ampéova pavidla pavé uky V každém bodě popisuje magnetické pole vekto magnetické intenzity H (jednotka Am - ) a vekto magnetické indukce B (jednotka T tesla) Jsou to lineáně závislé vektoy ( mají stejný smě) a jsou tečnou k magnetické siločáře Platí B H kde je pemeabilita a chaakteizuje magnetické vlastnosti postředí 7 4 kg m s A je pemeabilita vakua, Poznámka: jeelativní pemeabilita 68

69 Podobně pemitivita chaakteizuje elektické vlastnosti postředí a elektická indukce je násobkem elektické intenzity D E Velikost magnetické indukce (magnetické intenzity) magnetického pole vodiče libovolného tvau potékaného poudem I se učí pomocí Biott-Savatova-Laplaceova zákona I dl db 3 4 Ve vzdálenosti a nekonečně dlouhého přímého vodiče je magnetická indukce I B a I H a Ve středu kuhové smyčky poloměu je magnetická indukce I B, I H 3 Ve středu dlouhé válcové cívky délky l o N závitech magnetická indukce N I B l N I H l 6 Duhy magnetických látek 6 Magnetické vlastnosti látek Velikost magnetické indukce cívky je závislá na pemeabilitě postředí, kteým je tvořeno její jádo Poto je magnetická indukce cívky navinuté na uzavřeném ocelovém jádře větší než magnetická indukce téže cívky bez jáda Hodnota elativní pemeability je učena vlastnostmi atomů, z nichž je látka složena Zjednodušený model vypadá takto: 69

70 Elektony při svém oběhu kolem jáda atomu vytvářejí elementání magnetická pole, kteá se skládají a vytvářejí výsledné magnetické pole atomu Podle uspořádání elektonů v atomu dělíme magnetické látky do tří skupin: Diamagnetické látky se skládají z diamagnetických atomů (mají nulový magnetický moment) Jejich elativní pemeabilita nepatně menší než (μ <) To znamená, že tyto látky míně zeslabují magnetické pole (patří sem inetní plyny, voda, zlato, měď, tuť, ) Diamagnetická látka se od magnetu odpuzuje Paamagnetické látky jsou složeny z paamagnetických atomů (mají nenulový magnetický moment) Jejích elativní pemeabilita je nepatně větší než (μ >) Tyto látky míně zesilují magnetické pole (daslík, sodík, hliník, modá skalice, ) Atomy těchto látek mají vlastní magnetické pole Vnějším magnetickým polem by tedy bylo možné je uspořádat tak, aby došlo k souhlasné oientaci magnetických polí jednotlivých atomů, a tím i ke značnému zesílení magnetického pole v látce Ve skutečnosti tento stav nenastává - bání mu tepelný pohyb Magnetické pole v paamagnetické látce není možné zesílit ani vnějším polem o velké magnetické indukci Paamagnetická látka se k magnetu přitahuje a bude sama přitahovat dobné kovové předměty (kancelářské svoky, ) pouze v případě, že bude v blízkosti magnetu Paamagnetickou látku není možné zmagnetovat tvale Feomagnetické látky jsou složeny také z paamagnetických atomů, ale v takovém uspořádání, že výazně zesilují magnetické pole Jejich elativní pemeabilita je mnohem větší než (μ» ) Již slabým magnetickým polem lze u nich vyvolat takové uspořádání atomů, že se magnetické pole zesílí a dojde k magnetování látky Magnetické pole ve feomagnetické látce zůstává, i když vnější pole zanikne Příčinou magnetizace látky je působení tzv výměnných sil mezi sousedními atomy Jejich vlivem nastává i bez vnějšího magnetického pole souhlasné uspořádání magnetických polí v malé oblasti látky Při této spontánní (samovolné) magnetizaci vznikají v látce zmagnetované mikoskopické oblasti (o objemu -3 mm 3 - mm 3 ) zvané magnetické domény, kteé jsou oientovány nahodile Působením vnějšího magnetického pole se tyto domény oientují souhlasně a látka získává vlastnosti magnetu Při tomto ději se objem domén postupně zvětšuje, až při jejich souhlasném uspořádání doménová stuktua mizí - látka je magneticky nasycena Feomagnetickou látku lze zmagnetovat 7

71 tvale: např přejedeme-li magnetem nůž nebo šoubovák, začne přitahovat dobné kovové předměty (kancelářské svoky, šoubky, ) Feomagnetická látka je tvořena týmž duhem atomů jako látka paamagnetická, liší se ale v jiném uspořádání atomů a tedy i v jiném vzájemném silovém působení Počet feomagnetických látek není velký, přesto mají značný paktický význam: vyábějí se z nich jáda cívek v elektomagnetech, tansfomátoech, elektických stojích, 6 Základní vlastnosti feomagnetických látek: Feomagnetismus se pojevuje jen tehdy, je-li látka v kystalickém stavu - v kapalném nebo plynném stavu se chovají jako látky paamagnetické Feomagnetismus je tedy vlastností stuktuy, ne jednotlivých atomů Po každou feomagnetickou látku existuje učitá teplota (tzv Cuieova teplota), při jejímž překočení látka ztácí feomagnetické vlastnosti a stává se látkou paamagnetickou Po překočení Cuieovy teploty (řádově stovky stupňů Celsia) je tepelný pohyb tak intenzivní, že se vzniklé magnetické domény ozpadají zpět na jednotlivé atomy Chcete-li tedy někomu zničit jeho magnet, vhoďte jej do ohně Necháte-li jej chladnout bez přítomnosti magnetického pole, získáte kus nemagnetického mateiálu Zahřejete-li jej ovšem znovu na Cuieovu teplotu a necháte-li jej poté chladnout v magnetickém poli, získáte opět magnet Vzniku domén totiž bání vnitřní tepelný pohyb částic Poto se tyto domény snáze vytvoří v přítomnosti vnějšího magnetického pole Před opětovným vytvořením magnetických domén je nutný ohřev na Cuieovu teplotu poto, aby se intenzivním tepelným pohybem ozpadly zbytky magnetických domén, kteé mohly ve stuktuře látky zůstat z předchozího magnetování Bez ohřevu na Cuieovu teplotu by bylo nutné použít velmi silné vnější magnetické pole Mezi látky feomagnetické patří také feimagnetické látky (feity) sloučeniny Fe O 3 s oxidy jiných kovů (Mn, Ba, ) Mají mnohem větší elektický odpo než kovové feomagnetické látky, a poto nalezly šioké uplatnění v paxi (slabopoudá elektotechnika, pemanentní magnety, ) 6 Hysteezní smyčka Hysteezní křivka (smyčka) magnetického mateiálu je uzavřená křivka magnetování, kteá vyjadřuje závislost magnetické indukce B na intenzitě magnetického pole H při pomalé, plynulé změně intenzity magnetického pole od +Hs do -Hs Matematicky lze zmíněný vztah mezi dvěma veličinami vyjádřit: B = f(h) 7

72 Jinými slovy jde o gaf podávající infomaci o tom, jaký vliv má působení vnějšího magnetického pole na magnetické schopnosti mateiálu, kteý se v tomto poli nachází Z gafu hysteezní smyčky odečítáme učité chaakteistické hodnoty, kteé podávají klíčové infomace o možnostech zkoumaného mateiálu Jsou to maximální hodnoty a hodnoty, kde smyčka potíná osu x a y: H s - intenzita nasycení Pokud zvýšíme intenzitu magnetického pole nad tuto hodnotu, magnetická indukce se již nezvýší, dochází k nasycení mateiálu a gaf by od této chvíle pokačoval jako přímka ovnoběžná s osou x B s - maximální magnetická indukce při nasycení B - emanentní (zbytková) indukce, kteá v mateiálu zůstává i po snížení intenzity magnetického pole na nulu (po tom, co mateiál přestaneme magnetovat) H c - koecitivní síla (koecivita) Je to síla potřebná k odmagnetování mateiálu (zušení B ) Čím je koecitivita větší, tím je mateiál tzv magneticky tvdší (Haniční hodnotou mezi magneticky měkkým a tvdým mateiálem je ka/m) Na tva hysteezní smyčky má vliv především chemické složení a stav kystalové mřížky, související se způsoby technologického zpacování, jako např válcováním za studena nebo za tepla, žíháním nebo kalením Hysteezní smyčka se získá povedením jednoho tzv cyklu magnetování, je po každý mateiál odlišná Používá se mimo jiné také k učení hysteezních ztát v magnetickém obvodu Integací lze vypočítat plochu uzavřenou ve smyčce, kteá je těmto ztátám úměná Hysteezní ztáty vznikají při přemagnetování mateiálu střídavým magnetickým polem 63 Magnetický indukční tok Magnetický indukční tok B (jednotka je Wb webe) je tok vektou magnetické indukce plochou S Plocha je učená nomálovým vektoem S 7

73 Jestliže je plocha postavena kolmo k vektou magnetické indukce, tj nomálový vekto plochy S je ovnoběžný s vektoem B, je magnetický indukční tok největší (skalání součin) B B S B S cos Výše uvedený vztah platí v případě, když je pole homogenní, tj V případě nehomogenního pole je d B B d S B konst Souvislost magnetického indukčního toku a magnetického intenzitního toku platí d B d H 64 Magnetická síla působící na náboj Q Fyzikové Loentz a Ampé zjistili, že silové působení magnetického pole na náboj Q, závisí na: velikosti náboje Q, elativní ychlosti náboje a magnetického pole v 3 velikosti magnetického pole B, 4 úhlu mezi v a B a) jestliže je pak je silové působení nulové b) jestliže je 9 pak je silové působení největší tuto závislost chaakteizuje funkce sinus Pak magnetická síla je df m dqv Bsin Je možné přepsat na tva d F m d Q v B Magnetická síla je kolmá k vektou ychlosti v i vektou magnetické indukce B Její smě učuje Flemingovo pavidlo levé uky 73

74 65 Magnetická síla působící na vodič potékaný poudem I Jestliže do magnetického pole zasahuje vodič délky l, kteým potéká poud I, pak je možné výše uvedený vztah upavit dl je vzdálenost, kteou náboj dq uazí ve vodiči za dobu dt Pak po ychlost a poud dl dq můžeme psát v I dt dt Po dosazení a úpavě je d F m dl dq dq Bsin dl Bsin I dl Bsin dt dt d F I dl B sin m tedy d F m I dl B Vodič je vytlačován kolmo k magnetickým indukčním čaám (k vektou magnetické indukce) podle Flemingova pavidla levé uky Vzhledem k tomu, že se magnetické pole vytváří kolem každého vodiče, kteým potéká poud, pak tyto vodiče na sebe navzájem působí silou F m II d l 74

75 Kde l je délka vodičů a d je vzdálenost vodičů Vztah platí po přímé nekonečně dlouhé vodiče V případě souhlasných poudů se přitahují, v případě nesouhlasných poudů se odpuzují 66 Elektomagnetická indukce, střídavý poud Elektomagnetická indukce je jev, ke kteému dochází v nestacionáním (nestálém, měnícím se) magnetickém poli Nestacionání magnetické pole může způsobit: a) vodič, kteý se nepohybuje, ale mění se poud, kteý jím pochází b) pohybující se vodič s poudem (konstantním nebo poměnným) c) pohybující se pemanentní magnet nebo elektomagnet Připojíme-li k cívce voltmet a budeme-li pohybovat magnetem v blízkosti cívky, Změříme na voltmetu indukované napětí Napětí bude kladné nebo záponé podle směu, kteým pohybujeme magnetem Když ovinnou plochou o obsahu S umístíme do homogenního magnetického pole s mag indukcí B, pak magnetický indukční tok je učen vztahem = B S cos Po děje v poměnném magnetickém poli jsou chaakteistické změny indukčního toku Ty mohou být způsobeny změnou B (změna velikosti poudu vodiče nebo změnou polohy vodiče či magnetu), S nebo (otace cívky nebo magnetu) Obecně uvažujeme změnu indukčního toku za čas t V paxi se lze setkat s tím, že se v homogenním magnetickém poli otáčí kolem své osy ovinný závit Když se otáčí s úhlovou ychlostí, pak po úhel platí = t a po indukční tok 75

76 = B S cos t indukční tok se mění hamonicky podle goniometické funkce V závislosti na změnách indukčního toku se na závitu indukuje napětí, kteé je také hamonické Je však velmi malé, poto zvyšujeme indukované napětí tím, že používáme ovinnou cívku s N závity Pak bude platit = N B S cos t Velikost indukovaného napětí učuje Faadayův zákon elektomagnetické indukce: Změní-li se magnetický indukční tok uzavřeným vodičem za dobu t o, indukuje se ve vodiči elektomotoické napětí, jehož střední hodnota je Největší změna indukčního toku nastává při půchodu polohou, kdy je závit ovnoběžný s vektoem magnetické indukce (po = / ad nebo 3/ ad) u i je okamžitá hodnota indukovaného napětí a U m je největší hodnota indukovaného napětí (amplituda) Je to střídavé hamonické napětí Lenzův zákon: Indukovaný elektický poud v uzavřeném obvodu má takový smě, že svým magnetickým polem působí poti změně magnetického indukčního toku, kteá je jeho příčinou Ve fomulaci Faadayova zákona je Lenzův zákon zahnut ve znaménku Po indukovaný poud I i platí Indukované poudy vznikají v cívkách, ale i v masivních vodičích (plechy, desky, hanoly), kteé jsou v nestacionáním magnetickém poli, nebo se pohybují ve stacionáním magnetickém poli 76

77 67 Vlastní indukce Připojíme-li cívku do elektického obvodu, začne poud, kteý jí pochází, vytvářet mag pole Poud při zapojení nemá hodnotu, kteou udává odpo cívky, okamžitě, ale oste až na ni Když cívku zapojíme, mění se poud (oste), tím se mění mag indukce cívky a mění se i mag indukční tok Podle Lenzova zákona se začne indukovat napětí, kteé působí poti změně, kteá ho vyvolala, tzn, že působí poti připojenému zdoji Když dosáhne poud hodnoty, kteou udává odpo, přestane se měnit Tím se už nemění ani mag indukční tok, takže indukované elektické pole zaniká Indukované elektické pole vzniká ve vodiči i při změnách magnetického pole, kteé vytváří poud pocházející vlastním vodičem Tento jev se nazývá vlastní indukce Vlastní mag pole vytváří v cívce mag indukční tok, kteý pochází závity cívky o N závitech Jestliže cívka je v postředí s konstantní pemeabilitou, je tento indukční tok přímo úměný poudu v cívce N = L I Indukčnost cívky L je veličina, kteá chaakteizuje magnetické vlastnosti cívky Její velikost závisí na vlastnostech cívky na délce cívky, obsahu plochy každého závitu, na počtu závitů a na pemeabilitě jáda Indukčnost je důležitý paamet elektického obvodu (spolu s odpoem R a kapacitou C) Jednotkou indukčnostiu je [L] = H (heny) = V s A = Wb A = m kg s A Po cívku platí: Vodič má indukčnost H, jestliže se v něm při změně poudu o A za s indukuje napětí V Dá se odvodit, že indukčnost cívky je Indukčnost je vlastnost každého obvodu U většiny pvků je však zanedbatelná Pojevuje se především u cívek Cívky bez jáda mají indukčnost 6 až H, cívky s feomagnetickým jádem - H Cívky s jádem se nazývají tlumivky jsou např součástí obvodu zářivky (tlumivka o L = H) 68 Obvody RLC Obvod RLC je analogový eálný oscilační elektický obvod složený z ezistou R, cívky L a kondenzátou C spojených séiově nebo paalelně Rezisto R většinou nebývá tvořen 77

78 samostatnou součástkou, ale jedná se o symbolické vyjádření nedokonalosti použitých součástek (zejména cívky) Při séiovém zapojení pochází pvky obvodu stejný poud, ale napětí na jednotlivých pvcích se liší jak hodnotou, tak vzájemnou fází Napětí na ezistou U R je s poudem I ve fázi Napětí U L poud I předbíhá o Napětí U C se za poudem I zpožďuje o Tyto skutečnosti lze vyjádřit gaficky jedním fázovým diagamem Díky fázovým ozdílům není možné získat výslednou hodnotu napětí U v celém obvodu aitmetickým součtem Po efektivní hodnotu U výsledného napětí dostáváme Odpo ezistou Odpo cívky Odpo kondenzátou ezistance Induktance kapacitance Kde, a jsou efektivní hodnoty napětí na jednotlivých pvcích obvodu Dále můžeme psát: 78

79 Při úpavě vytkneme a vykátíme poud I, pak celkový odpo Ipedance Z bude Nebo Impedance je celkový odpo obvodu se střídavým poudem nebo součástky (sluchátka, zesilovač, vstupní nebo výstupní konekto, ) Po fázový ozdíl φ mezi výsledným napětím a poudem v obvodu pak můžeme psát podle nákesu Po dosazení za jednotlivá napětí a vykácení poudu I přičemž Jediný pvek, na kteém se může měnit enegie elektomagnetického pole na teplo nebo mechanickou páci, je ezisto Enegie cívky a kondenzátou se přelévá mezi cívkou a kondenzátoem bez schopnosti konat páci Zvláštní případ nastává v RLC obvodu v séii, jestliže je induktance obvodu stejně veliká jako jeho kapacitance, tj 79

80 Z toho vyplývá, že Z=R Fázový ozdíl poudu a napětí je nulový a obvod má vlastnost ezistance Složený střídavý obvod se chová, jako kdyby v něm byl zapojen pouze ezisto Změny fáze, způsobené cívkou a kondenzátoem se vzájemně vykompenzují V tomto případě dosahuje poud v obvodu maximální hodnot a tento stav obvodu označujeme jako ezonance střídavého obvodu a příslušnou ezonanční fekvenci f učíme z podmínky Tento vztah bývá označován jako Thomsonův vztah 8

81 7 Optika Optika se studuje elektomagnetické vlnění v učitém intevalu vlnových délek, kteé můžeme vnímat zakem, a sice jevy světelné Rozlišujeme základní pojmy: Optické postředí postředí, kteým se světlo šíří, Půhledné postředí světlo popouští bez podstatného zeslabení, Nepůhledné postředí světlo nepopouští (pohlcuje nebo odáží), Půsvitné postředí světlo popouští, ale záoveň ozptyluje všemi směy, Izotopní postředí má ve všech směech stejné vlastnosti, Papsek učuje smě šíření světla, je kolmý na vlnoplochu 7 Vznik elektomagnetického vlnění Zdojem elektomagnetického vlnění je elektomagnetický osciláto Vlastnosti elektomagnetického oscilátou může mít učité elektonické zařízení, ale také každá částice nábojem, kteá se pohybuje kmitavým pohybem (osciluje) Kolem pohybující se částice vzniká elektické a záoveň magnetické pole Elektické pole je v daném místě a času chaakteizováno vektoem elektické intenzity a indukce E, D, magnetické pole je v tomtéž místě chaakteizováno vektoem magnetické intenzity a indukce H, B Pokud částice s nábojem kmitá s fekvencí f a peiodou T, pak se se stejnou fekvencí mění i hodnoty vektoů, kteá obě pole popisují Tyto změny se šíří do postou Každá změna pole elektického vyvolá změnu pole magnetického a naopak Tzn, že změny pole elektického a magnetického jsou symetické Jestliže se postoem šíří jednoozměná elektomagnetická vlna o vlnové délce, fekvenci f a ychlosti v, pak ji můžeme popsat ovnicí t x E E sin, nebo T t x H H sin T E, H jsou okamžité hodnoty intenzit, E, H jsou maximální hodnoty intenzit Vektoy elektického a magnetického pole jsou na sebe v každém místě kolmé U postupné vlny mají stejnou fázi 8

82 Smě šíření vlnění je učen Poyntingovým vektoem P E H Jedná se o vlnění příčné Dochází k přenosu elektomagnetické enegie E elmag E D H B je pemitivita postředí, je pemeabilita postředí Změny elektomagnetického pole nejsou vázány na hmotné postředí, mohou se šířit i vakuem Rychlost šíření elektomagnetické vln je v f V daném postředí je konstantní V závislosti na elektických a magnetických vlastnostech postředí je c v n Kde c je ychlost elektomagnetické vlny ve vakuu, po dosazení je 8 c ms - n je index lomu a chaakteizuje optické vlastnosti postředí Učuje, kolikát je ychlost elektomagnetického vlnění ve vakuu větší než v hmotném postředí c n v Podle fekvence a vlnové délky můžeme sestavit elektomagnetické vlny do vlnového spekta Část spekta, kteou můžeme egistovat zakem, označujeme temínem světlo, 8 35nm Elektomagnetické vlny z této oblasti vlnových délek egistujeme subjektivně jako bavy, kde každá bava má konkétní vlnovou délku Rozlišujeme sedm základních baev čevená, oanžová, žlutá, zelená, modá, indigová, fialová Čevená bava má nejdelší vlnovou délku, fialová nejkatší vlnovou délku Světlo všech vlnových délek nazýváme světlo polychomatické (vícebaevné) Světlo jedné vlnové délky monochomatické (jednobaevné) Elektomagnetické vlny všech vlnových délek podléhají stejným zákonům odaz, lom, ohyb, polaizace, intefeence, dispeze Ve viditelné části spekta (světle) můžeme tyto jevy přímo pozoovat 7 Odaz a lom vlnění Při dopadu vlny na ozhaní dvou postředí o indexech lomu n,n, ve kteých se papsek šíří ychlostmi v,v, dochází k odazu a lomu vlnění Postředí o větší ychlosti papsku je opticky řidší, postředí o menší ychlosti papsku je opticky hustší Na základě Huygensova pincipu byl odvozen pomocí tigonometických vztahů zákon odazu úhel dopadu se ovná úhlu odazu Dopadající a odažený papsek leží v tomtéž postředí 8

83 Ob Odaz papsku zákon lomu papsek přechází z postředí o jednom indexu lomu do postředí duhého Poblém studoval Willebod van Royen Snell (59-66) sin v n nebo n sin n sin sin v n Mohou nastat dva případy: lom ke kolmici jestliže v v lom od kolmice jestliže v v 3 Ob Lom papsku úplný odaz nastává tehdy, jestliže se papsek síří z postředí opticky hustšího do postředí opticky řidšího Se zvětšujícím se úhlem dopadu oste záoveň i úhel lomu Při učitém mezním úhlu m je úhel lomu oven 9 a lomený papsek se šíří po ozhaní obou postředí 83

84 Ob Úplný odaz Zákonů odazu a lomu se využívá při zobazení odazem (zcadla) a lomem (čočky) 73 Dispeze Po ychlost šíření vlnění, tedy i světelného, platí vztah v f Světlo s ůznými fekvencemi způsobuje v oku subjektivní dojem ůzných baev Při měření ychlosti světla v ůzných postředích se zjistilo, že ychlost je v každém postředí jiná, závisí na fekvenci Tento fyzikální jev se nazývá dispeze c Potože index lomu je n, je zřejmé, že v důsledku dispeze světla také index lomu daného v postředí závisí na fekvenci světla Tento jev potvzuje jednoduchý pokus Ob Rozklad bílého světla na ovinném ozhaní Úzký svazek bílého světla dopadá na ovnou stěnu skleněného půlválce, a to do jejího středu O pod úhlem Pozoováním zjistíme, že lomené světlo není bílé, ale že jeho okaje mají čevenou a fialovou bavu Říkáme, že světlo se při lomu ozložilo na baevné složky Nejvíce se láme fialové světlo, nejméně čevené Po lomu světla hanolem vzniká soustava baevných puhů (spektum) f č 84

85 Ob 77 Bavy - fialová,,7 čevená 74 Polaizace Intefeence a ohyb světla dokazují, že světlo je vlnění Z těchto jevů však není možné zjistit, jestli se jedná o vlnění příčné nebo podélné Rozdíl zjišťujeme pomocí polaizace Mechanický model je na Ob 78 Ob Mechanický model polaizace Polaizáto P vybee z vlnového svazku jen vlny v učité kmitové ovině Vzniká vlnění polaizované Analyzáto A učí, zda se jedná o vlnění příčné Jestliže je analyzáto ve stejném směu jako polaizáto vlna pojde V případě, že se jedná o vlnění příčné, pak při zkříženém analyzátou vlnění nepojde 85

86 Přiozené světlo (a elektomagnetické vlnění obecně) je vlnění nepolaizované Vekto elektické a magnetické intenzity E, H jsou sice vždy na sebe kolmé, ale mění svou velikost ve všech kmitových ovinách Ob Polaizace světla Při polaizaci necháme světelný papsek bílého světla pocházet polaoidem (ve funkci polaizátou) tak, aby na něj dopadalo kolmo Po půchodu polaizátoem zjistíme, že se částečně pohltilo Jestliže otáčíme polaizátoem v ovině kolmé na smě šíření papsku světla, už žádnou další změnu intenzity na stínítku nezaznamenáme Potom vložíme mezi polaizáto a stínítko další polaoid (ve funkci analyzátou) Zvolna jím otáčíme v ovině kolmé na smě šíření Při pomalém otáčení zjistíme, že se intenzita světla na stínítku mění Při zkřížení pojde světla nejméně nebo vůbec žádné Světlo, ve kteém vektoy lineáně polaizované Polaizace světla odazem a lomem E, H kmitají kolmo na sebe jen v jedné kmitové ovině, je světlo Na skleněnou desku P necháme dopadat světlo z přiozeného zdoje Ob Polaizace odazem 86

87 O tom, zda je světlo polaizované se přesvědčíme analyzátoem Odazem se světlo částečně lineáně polaizuje Úplná polaizace nastává při konkétním úhlu dopadu (je po každý mateiál jiný), kteý nazýváme Bewsteův polaizační úhel Po sklo je B 57 Obecně platí tan n B n Odažený a lomený papsek jsou na sebe kolmé Ob Polaizace lomem Lomený papsek není nikdy úplně polaizovaný, i když opakovaným lomem se polaizace zvětšuje Polaizace světla dvojlomem Dosud bylo vždy uvažováno opticky izotopní postředí, ve kteých je ychlost světla ve všech směech stejná plyny, většina kapalin, pevné nekystalické látky, kystaly kychlové soustavy Kystaly všech ostatních soustav jsou opticky anizotopní V takovém postředí se papsek šíří v ůzných směech ůznou ychlostí K dvojlomu dochází v případě, že světelný papsek dopadá na neizotopní postředí Při dopadu na anizotopní kystal se světelný papsek ozloží na dva Řádný odináius, řídí se zákony lomu, je polaizovaný v jedné kmitové ovině Mimořádný extaodinálius, neřídí se zákony lomu, je polaizovaný v kolmé kmitové ovině Ob Polaizace dvojlomem Světlo řádného i mimořádného papsku jsou úplně lineáně polaizované Vhodnou úpavou kystalu islandského vápence, např odstaněním jednoho z papsků začeněním stěny, na kteou dopadá (pohltí se), dostaneme polaizáto zvaný nikol o velmi dobých polaizačních vlastnostech 87

88 POZN: V kystalogafických soustavách, kteé mají jednu osu hlavní souměnosti (čtvecová, šestiúhelníková), existuje jeden smě ovnoběžný s osou souměnosti, ve kteém dvojlom nenastává Tento význačný smě je optická osa kystalu Ve všech ostatních směech nastává Takové kystaly jsou jednoosé, např vápenec, tumalín, křemen 88

89 8 Záření tělesa 8 Kvantová fyzika Částice (molekuly, ionty) pevných a kapalných látek, kteé jsou zahřáté na učitou teplotu, kmitají kolem ovnovážných poloh Při tomto pohybu kolem nich vzniká poměnné elektické a magnetické pole, jež se může šířit i vakuem Do postou se šíří změny elektomagnetického pole, tzn elektomagnetické vlnění Při běžných teplotách těles se jedná o vlnové délky ( ) m, kteé zahnují záření tepelné, infačevené, ultafialové a částečně též entgenové c Čím je teplota látky větší (vyšší fekvence kmitů), tím katší je vlnová délka záření f Vysílané záření se stává viditelným, překočí-li teplota tělesa přibližně hodnotu 55C Každé těleso, kteé záření vysílá, záření ovněž pohlcuje Můžeme zavést koeficient pohltivosti (absopce) těles Dopadá-li na jednotku plochy povchu tělesa za jednotku času zářivá enegie E a jestliže se z této enegie pohltí v tělese množství E, pak E E Jestliže budeme uvažovat jen vlnění učité vlnové délky, dostaneme monochomatickou pohltivost E E Zářivá enegie, kteou vysílá (emituje) povch tělesa za jednotku času je intenzita vyzařování de M e e dt ds 8 Zákony tepelného záření absolutně čeného tělesa Kichhoffův zákon Kichhoff v oce 86 na základě temodynamických úvah vyslovil zákon: Pomě intenzity vyzařování M a pohltivosti v ovnovážném stavu závisí jen na teplotě tělesa M e F T e Záoveň po monochomatické vyzařování platí f, T hustota intenzity monochomatického vyzařování Závislost spektální hustoty vyzařování na vlnové délce je na ob 7 M, kde M je spektální 89

90 Ob 8 Spektální hustota intenzity vyzařování Těleso, kteé pohlcuje (vyzařuje) všechnu dopadající zářivou enegii, nazýváme absolutně čeným tělesem Všechna ostatní tělesa, po kteá platí jsou tělesa šedá Těleso, kteé vysílá záření učitých vlnových délek, ovněž tyto vlnové délky absobuje Těchto těles se používá ke konstukci světelných filtů popouštějí z bílého (polychomatického) světla jen úzkou část spekta, nebo v absopční spektoskopii Stefan-Boltzmanůnv zákon Učení funkcí F T f, T, naáželo na velké obtíže Přímým měřením intenzity vyzařování absolutně čeného tělesa v závislosti na teplotě T zjistil Stefan v oce 879, že M e T, kde 5,67 Wm K Celková intenzita vyzařování vzůstá se čtvtou mocninou teploty tělesa Boltzmann odvodil tento vztah čistě temodynamicky na základě představy, že záření uvnitř dutiny se vyznačuje nejen hustotou enegie, ale působí také učitým tlakem na stěny dutiny a chová se tedy jako enegetický plyn s nesmíně malou hustotou Wienův posunovací zákon V oce 896 se Wienovi podařilo opět pouze na základě temodynamických úvah odvodit výaz po monochomatické vyzařování absolutně čeného tělesa M fce T 5 Funkce zůstala neznámá Ze vztahu v agumentu funkce je možné učit vlnovou délku m, při kteé absolutně čené těleso vysílá při dané teplotě maximu, enegie, tzn při níž má M maximum 3 Platí T b, kde b,898 mk je Wienova konstanta m 9

91 Ob 8 Wienův posunovací zákon S ostoucí teplotou se maximum intenzity vyzařování posunuje ke katším vlnovým délkám Planckův vyzařovací zákon I když předchozí zákony se měřením plně potvzují a vedly k důležitým poznatkům, neřešily f,t poblém monochomatického vyzařování, tzn tva funkce Vztah po funkci spektální hustoty vyzařování se podařilo sestavit Planckovi ve tvau c T f, T c e, kde c,c jsou konstanty Učil je později Planck i jeho předchůdci si představovali povch tělesa složený z obovského počtu Hetzových oscilátoů Přesnou fyzikální podstatu těchto moikoskopických oscilátoů ještě Planck neznal, ale na ozdíl od svých předchůdců, kteří integovali přes spojité hodnoty vyzařované enegie, povedl součet diskétních hodnot enegie vyzařované jednotlivými oscilátoy, každý s jinou fekvencí Tak se objevil pojem kvantování enegie Dospěl k tomu, že zákony temodynamiky mohou zůstat v platnosti, jestliže přijmeme předpoklad, že emise a absopce se neděje spojitě Předpokládal, že existuje jisté nejmenší kvantum emitované a absobované enegie úměné fekvenci - foton E h, kde 34 h 6,63 Js Stanovil hodnoty konstant c,c Pak po spektální hustotu intenzity vyzařování platí h c hc k T M e, 5 8 kde c,9 ms - 3 je ychlost světla, k,38 JK - Naměřené a vypočtené hodnoty podle Planckova zákona se shodují 83 Fotony Základním kvantem enegie elektomagnetického záření je foton, kteý je zařazen mezi elementání částice Enegie fotonu je 34 E h, kde h 6,63 Js Hmotnost fotonu souvisí s enegií známým Einsteinovým vztahem šíření elektomagnetického záření ve vakuu Pak z ovnosti mc h vyplývá po hmotnost fotonu h m c E mc, kde c je ychlost 9

92 Čím vyšší je fekvence elektomagnetického záření, tím větší mají enegetická kvanta (fotony) hmotnost Po hybnost fotonu platí h h p mc c Kvantová teoie záření vysvětluje i světelný tlak Hypotézu vyslovil J Keple, velikost vypočítal z elektomagnetické teoie JC Maxwell a pvní jej změřil PN Lebeděv v oce 899 pomocí adiometu Ob 83 Tlak záření Jednoduchá soustava dvou Z, Z zcadel je zavěšená na křemenném vlákně a umístěná ve vakuu Je-li jedna stana začeněná a světlo dopadá na obě zcadla, pak se pootočí o učitý úhel, potože z nezačeněné stany působí větší tlak záření K jevům, kteé potvzují kvantovou povahu elektomagnetického záření patří fotoelektický jev, Comptonův jev, gavitační udý posuv, zakřivení papsku v gavitačním poli 84 Fotoelektický jev Popvé byl pozoován v oce 887 H Hetzem Na základě Planckovy hypotézy jej vysvětlil a expeimentálně ověřil A Einstein v oce 95 Ob 84 Fotoelektický jev 9

93 Jev spočívá v tom, že se při ozáření kovové destičky vhodným elektomagnetickým zářením uvolňují z kovu elektony Dopadající záření předá elektonům v kovu enegii potřebnou k uvolnění elektonů z kovu Tato enegie je ovna výstupní páci A v Kdyby mělo elektomagnetické záření pouze vlnový chaakte, tvalo by 6 s, než by elektony nastřádaly potřebnou enegii Žádné zpoždění ovšem nebylo pozoováno Elektony se uvolňují bezpostředně po ozáření Což je vysvětleno faktem, že potřebná enegie je předávána po kvantech Rovnice enegie fotoelektického jevu (oceněná Nobelovou cenou) vyjadřuje zákon zachování Enegie dopadajícího fotonu E h se spotřebuje na uvolnění elektonu z kovu A v (výstupní páci) a na jeho kinetickou enegii E k mv, se kteou se pohybuje k duhé elektodě Rovnice fotoelektického jevu má tva E A v E k, h v A m v POZN: Po malé ychlosti elektonu můžeme jeho kinetickou enegii řešit klasicky Mohou nastat tři případy: h Av, pak elektony nezískají enegii potřebnou k uvolnění, fotoefekt nenastane h Av, pak elektony získají enegii potřebnou k uvolnění, fotoefekt nastane, navíc se část enegie fotonu použije na kinetickou enegii elektonu h Av, z tohoto vztahu je možné stanovit mezní hodnotu fekvence záření, po kteou fotoefekt už nastane Této mezní fekvenci odpovídá i mezní vlnová délka c Při přepólování zdoje dojde k bždění elektonů mezi elektodami vlivem odpudivých elektických sil F Ee Z teoie elektického pole plyne, že páce sil elektického pole je A Ek mv eu Jestliže U je napětí (bzdné), při kteém kinetická enegie elektonu klesne na nulu, pak ovnici fotoelektického jevu můžeme přepsat do tvau h A eu POZN: Souvislost změny kinetické enegie elektonu a páce sil elektického pole vyjadřuje 9 jednotkový vztah ev,6 J Jeden elektonvolt je enegie, kteou získá elekton při uychlovacím napětí jednoho voltu v 93

94 Z expeimentu plynou tři závěy: Enegie emitovaných elektonů nezávisí na intenzitě dopadajícího záření (zabzdí je stejné bzdné napětí-potenciál) Se zvyšující se intenzitou se zvyšuje jen počet emitovaných elektonů Ob 85 Souvislost intenzity dopadajícího záření a bzdného potenciálu Se zvyšující se fekvencí dopadajících fotonů je nutná větší hodnota bzdného napětí emitovaných elektonů Ob 86 Bzdné napětí závisí na enegii 94

95 3 Enegie emitovaných elektonů závisí na fekvenci dopadajícího záření Uvolňování elektonů je způsobeno zářením, jehož fekvence je větší než fekvence mezní Ob 87 Enegie elektonů v závislosti na fekvenci dopadajícího záření 85 COMPTONŮV JEV Při expeimentech v oce 9 bylo zjištěno, že fotony pošlé látkou mají nižší fekvenci než fotony, kteé na látku dopadají Tento jev vysvětlil Compton pomocí ozptylu fotonů na elektonech Ob 88 Comptonův jev Na elekton v klidu o klidové hmotnosti m a klidové enegii h m dopadne foton o enegii c Při střetu se elekton a foton chovají jako kulečníkové koule 95

96 Foton část své enegie předá elektonu, kteý tím získá enegii přičemž se jeho hmotnost podle teoie elativity zvětší na hodnotu m a celková enegie bude m c Enegie fotonu se tak zmenší na h, kde, Samotný foton se bude pohybovat odkloněný od původního směu o úhel Platí zákon zachování enegie (řešeno elativisticky) h m c h mc Rovněž se změní i hybnost elektonu z nuly na h p Platí zákon zachování hybnosti c p p mv mv Hybnost fotonu se změní z h p na c Po úpavě těchto dvou ovnic dostaneme vztah po vlnovou délku ozptýleného fotonu ve tvau h m c cos Absolutní změna vlnové délky závisí jen na úhlu ozptylu Největší ozptyl (změna) nastane při středovém ázu, kdy 8 POZN: Při malých změnách hmotnosti klidové částice můžeme poblém řešit klasicky 86 GRAVITAČNÍ RUDÝ POSUV Přestože foton nemá žádnou klidovou hmotu, chová se, jako by měl hmotu setvačnou h m V souvislosti s tímto faktem vyvstala otázka, jestli má foton hmotu gavitační c Budeme uvažovat foton emitovaný z povchu hvězdy s hmotou M a s poloměem R Ob 89 Gavitační udý posuv Potenciální enegie hmoty m na povchu hvězdy je E p M m R 96

97 M h Potenciální enegie fotonu je podle toho E p R c Celková enegie fotonu pak je součtem kvantové a potenciální enegie M h M E h h Rc Rc Ve velké vzdálenosti od hvězdy, např na Zemi, je foton již mimo gavitační pole hvězdy, ale jeho celková enegie zůstává stejná Enegie fotonu je nyní čistě elektomagnetická a je ovna E h, kde je fekvence přilétajícího fotonu Potenciální enegie fotonu v tíhovém poli Země je zanedbatelná ve sovnání s potenciální enegií v poli hvězdy Je tedy M h h R c Pak M M Rc Rc M M M Rc Rc Rc Z toho plyne, že foton má při dopadu na Zemi nižší kmitočet Úbytek enegie závisí na tom, kolik enegie ztatil při úniku z pole hvězdy Foton se tak enegeticky posunuje z kátkovlnné oblasti spekta do oblasti dlouhovlnné (k čevené bavě) Gavitační udý posuv pozoujeme u velmi hmotných hvězd tzv bílých tpaslíků Jejich hustoty se pohybují kolem hodnot 3 8 kgm -3 Byl zjištěn i expeimentálně u papsků 87 ZAKŘIVENÍ PAPRSKU V GRAVITAČNÍM POLI h Vzhledem k úvaze, že foton má pohybovou hmotnost m, byla vyslovena hypotéza o c silovém působení gavitačního pole na foton pohybující se postoem V okolí velmi hmotných objektů by mělo dojít ke změně tajektoie fotonů Gavitační silové působení M m F g mezi hvězdou o hmotnosti M a fotonem hmotnosti m, jež je ve vzdálenosti, ovlivní jeho dáhu Opticky se tak pozoovaná hvězda jeví v jiném místě, než ve skutečnosti je 88 PAPRSKY X entgenové záření Byly pozoovány už v oce 895 Tepve po vysvětlení fotoelektického jevu byla objasněna Wilhelmem Roentgenem povaha papsků X Jedná se v podstatě o obácený fotoelektický jev 97

98 Z katody žhavené pomocným obvodem jsou vlivem temoemise emitovány elektony Elektony jsou v postou mezi elektodami uychlovány elektickým polem Ob 8 Rentgenové záření Získají kinetickou enegii Při dopadu na anodu dojde k náhlému zabždění elektonů Jejich enegie, kteá se podle zákona zachování enegie nemůže ztatit, se vyzáří v podobě elektomagnetického záření fotonů o enegii E h Pak můžeme psát E h E eu k Někdy bývá toto záření označováno temínem bzdné záření Fekvence vyzářených fotonů bude závislá na velikosti uychlovacího napětí Při dostatečně vysokém uychlovacím napětí je nutné přihlížet k elativistické změně hmotnosti elektonů a kinetickou enegii v zápisu řešit elativisticky 89 DIFRAKCE RENTGENOVÉHO ZÁŘENÍ Povaha a vznik papsků X nazvaných entgenovým zářením byla objasněna Bylo nutné zjistit jejich vlastnosti vlnovou délku Jako u každého záření musí i u tohoto docházet k difakci (ozptylu) na překážkách a následné intefeenci Aby byl tento jev pozoovatelný, musí být velikost překážky sovnatelná s vlnovou délkou záření Intefeenční obazce nebyly dlouho pozoovány Nakonec byl vysloven předpoklad o velmi kátké vlnové délce příslušného záření Na důkaz byl poveden expeiment, při kteém Max von Laue zvolil ozptyl na kystalu 98

99 Ob 8 Rozptyl entgenového záření na kystalu Monochomatický svazek papsků X dopadající na kystal se ozptyluje do všech směů uvnitř kystalu Avšak vlivem pavidelného uspořádání atomů v mřížce se ozptýlené vlny v učitých směech zeslabí a v jiných zesílí podle pavidel intefeence Stavební částice jsou v kystalu pavidelně uspořádány v ovinách Tyto oviny se nazývají Baggovy oviny a jejich vzdálenosti jsou tzv mřížkové konstantyvzdálenost dvou sousedních ovin je velmi malá, což se ukázalo jako vhodné vzhledem k očekávané vlnové délce papsků X Svazek s vlnovou délkou dopadá pod úhlem vůči systému Baggových ovin se vzdáleností a Vyznačené papsky I, II se ozptylují na atomech A,B Od těchto atomů se ozptýlené záření šíří všemi směy Zesílení intefeencí nastane jen v takových směech po kteé platí, že dáhový ozdíl příslušných papsků je oven sudému násobku polovin vlnové délky To znamená, že k k, přičemž k je celé číslo Potože papsek II je zpožděn za papskem I o vzdálenost Baggovu ovnici ve tvau asin, pak dostaneme a sin k, kde k =,,3, Intefeence byla skutečně pozoována na kystalu siníku zinečnatého ZnS a později dalších Očekávaná vlnová délka papsků byla potvzena a je přibližně ( ) m V současné době se entgenové záření využívá v kystalogafii 99

100 9 Atomová fyzika 9 Bohův model atomu Atom je základní stavební jednotkou všech látek Je to nejmenší část chemického pvku schopná vstoupit do chemické eakce Atom se skládá z elektonového obalu o poloměu asi - m (toto je tedy i ozmě atomu jako celku) a jáda o poloměu řádově -4 až -5 m Stuktua atomu je odpovědná téměř za všechny vlastnosti hmoty, jež utváří svět kolem nás V oce 9 uskutečnil Ruthefod spolu s Geigeem a Masdenem pokusy s ozařováním kovových fólií adioaktivním zářením α (jády hélia) Intepetace výsledků těchto expeimentů zásadně změnila dosavadní představy o atomu a můžeme ji pokládat za pvní vědeckou teoii stavby atomu Rozbo expeimentů vedl Ruthefoda k vytvoření tzv planetáního modelu atomu, kteý předpokládá, že: a) atom každého pvku je složen z jáda, v němž je soustředěna pakticky veškeá hmotnost (99,9 %) atomu, a elektonů obíhajících kolem jáda b) půmě atomu je řádově - m, půmě jáda -5 m c) elektický náboj jáda je kladný a oven celkovému náboji elektonového obalu, takže atom je navenek neutální elektony se pohybují kolem jáda po eliptických dahách obdobně jako planety kolem Slunce (odtud planetání model Velmi zjednodušená představa Ruthefodova intepetace atomu je sice v souladu s někteými zákony klasické fyziky (zákony Newtonovy, Coulombův), ale nesouhlasí již např s elektomagnetickou teoií Podle ní pohybující se elekton (elektický náboj) vyzařuje elektomagnetickou enegii, enegii tedy postupně ztácí a přibližuje se k jádu, až by do jáda spadl, což není eálné Rozpoy mezi Ruthefodovou teoií a expeimentem se pokusil odstanit Boh v oce 93 svým modelem atomu vodíku

101 Na sklonku 9 století bylo totiž zjištěno, že vlnové délky přítomné v atomových spektech se řadí do učitých skupin nazývaných spektální séie Vlnové délky v každé séii lze udat jednoduchým vztahem R,,3,4,5, n k n Veličina R, tzv Rydbegova konstanta, má hodnotu R =,97 7 m - Existence tak význačných pavidelností ve spektu vodíku a nakonec i ve spektech složitějších pvků je objektem ozhodujícího testu po každou teoii atomové stuktuy Z těchto pavidelností spolu s Planckovou kvantovou hypotézou vyšel v oce 93 i Boh při fomulaci svých známých Bohových postulátů: I Elektony obíhají kolem jáda atomu po kuhových tajektoiích o poloměech n daných podmínkou m v nh, n,,3,, n n kde m je (klidová) hmotnost elektonu, v n jeho obvodová ychlost, h Planckova konstanta a n hlavní kvantové číslo Elekton se tedy nemůže pohybovat po kužnicích libovolných poloměů, říkáme, že jeho tajektoie jsou kvantovány Poto se někdy tento postulát nazývá Bohovou kvantovou podmínkou II Při pohybu elektonu po učité kvantové dáze je enegie atomu stálá, W n konst, n,,3,, Atom enegii ani nepřijímá, ani nevydává (nezáří) Hovoříme o tzv stacionáním stavu

102 III Při přechodu elektonu na jinou kvantovou dáhu, na níž má menší enegii, vyzáří atom foton, jehož enegie se ovná úbytku enegie elektonu Naopak při absopci fotonu přejde elekton na jinou kvantovou dáhu, na níž má enegii větší o enegii pohlceného fotonu Vysílané (případně pohlcené) záření má enegii W W h, i j kde levá stana představuje ozdíl enegií příslušejících elektonům v kvantových dahách o hlavních kvantových číslech i > j vyhovujících I postulátu Uvedený III postulát se nazývá Bohovou fekvenční podmínkou (ν fekvence fotonu) Zůstaňme ještě chvíli u Bohovy teoie, i když ji dnes považujeme za histoickou Po pohyb elektonu (jako kuličky o el náboji atomu vodíku po kužnici o poloměu n musí platit e ) kolem nehybného jáda (potonu s nábojem) v