Neřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Neřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných"

Transkript

1 České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.

2 1 Limity funkcí více proměnných 1.1. Určete definiční obor funkcí f(, y) = ln ++y +y, f(, y, z) = rcsin z. +y 1.. Určete definiční obor funkcí f(, y, z) = y+z, g(, y) = 1 y Nčrtněte grf funkcí f(, y) = + y, g(, y) = 4 + 9y, diskutujte tvr vrstevnic. e 1.4. Ukžte, že lim y sin sin y = 1, lim (,y) (1,) +y =, lim 4 yz (,y,z) (,,) yz = Přibližováním se k počátku různými cestmi ukžte, že následující limity neeistují: lim 4 4 +y, lim y, +y lim 4 y 4 +y, lim 1.6. Pomocí ε-δ- definice ukžte, že lim 3 +y 3 +y =, lim +y 4 +y 4. y =, lim y =. +y +y 1.7. Použijte polární souřdnice = r cos ϑ, y = r sin ϑ k určení limit z předchozích příkldů Určete c R tk, by funkce f(, y) = v počátku dokžte pomocí ε-δ-definice. { y + y (, y) (, ) byl všude spojitá. Eistenci limity c (, y) = (, ) 1.9. Připomeňte si kvdrtické povrchy (kvdriky). Nčrtněte je pro = b = c = 1: 1. + y b + z c = 1 elipsoid. + y b z c = 1 jednodílný hyperboloid 3. y b + z c = 1 dvoudílný hyperboloid 4. z c = + y b z 5. c = + y b z 6. c = y b kužel eliptický prboloid hyperbolický prboloid 7. + y b = 1 eliptický válec 8. y = prbolický válec. Prciální derivce, totální diferenciál.1. Pro funkci f(, y) = sinh 3 + 4y určete D(f), f, f y... Pro funkci f(, y, z) = y z 3 ln( + y + 3z) určete D(f), f, f y, f z..3. Pro funkci f(, y, z) = e y + 4 y 4 z 3 ukžte, že f y = f y, f z = f z, f zy = f yz. Určete f yz..4. Je funkce f(, y) = y řešením Lplceovy rovnice f + f y =?.5. Njděte linerizci funkce f(, y, z) = e + cos(y + z) v bodě (, π 4, π 4 )..6. Pro funkci f(, y) = ln( 3y) nlezněte její linerizci (, y ) = (7, ). Použijte ji k přibližnému určení hodnoty funkce f v bodě (6.9,.)..7. Pro funkci f(, y) = e y nlezněte její linerizci (, y ) = (6, ). Použijte ji k přibližnému určení hodnoty funkce f v bodě (5.9,.1).

3 .8. Určete tečnou rovinu k ploše z = ln( + y) v bodě ( 1, 3, ). { 3 y y 3.9. Ukžte, že funkce f(, y) = +y (, y) (, ) (, y) = (, ), je spojitá, f f y eistují všude, le přitom druhé prciální derivce se nerovnjí v počátku, tj. f y (, ) f y (, )..1. Pro z = 1 + y, = te t, y = e t určete dz dt..11. Pro z = sin cos y, = (s t), y = s t určete z s z t..1. Pro u = y + yz + z, = st, y = e st, z = t určete u s u t..13. Poloměr R kruhového válce klesá rychlostí 1. cm/s součsně se jeho výšk h zvyšuje rychlostí 3 cm/s. Jkou rychlostí se mění objem válce při R = 8 cm h = 15 cm?.14. Poloměr R prvoúhlého kruhového kuželu se zvětšuje rychlostí 1.8 cm/s součsně jeho výšk h klesá rychlostí.5 cm/s. Jkou rychlostí se mění objem povrch kuželu při R = 1 cm h = 14 cm?.15. Ukžte, že kždá funkce tvru h(, t) = f( + t) + g( t), R, je řešením vlnové rovnice h t = h..16. Dokžte, že rovnice y + 3 y = definuje y jko funkci v okolí bodu P = (, 4) určete dy P této funkce. d.17. Pomocí věty o implicitní funkci určete v dném bodě tečnu křivky, která je určená příslušnou rovnicí: y + y 4 = 3, A = (1, 1); cos y + y cos = 1, B = (1, ), y y = 3 +, C = (, 4)..18. Vyjádřete Lplceovu rovnici f + f y = pomocí polárních souřdnic..19. Vyřešte prciální diferenciální rovnici f + y f y = 1 jejím převedením do polárních souřdnic... Určete f P pro funkci f(, y) = ln( + y ) v bodě P = (1, 1)..1. Určete f P pro funkci f(, y, z) = e +y cos z + (y + 1) sin v bodě P = (, π/)... Určete D u f P pro funkci f(, y, z) = 3e cos(yz) v bodě P = (,, ) podle vektoru v =<, 1, >..3. Určete D u f P pro funkci f(, y, z) = + y 3z v bodě P = (,, ) podle vektoru v =< 1, 1, 1 >..4. Nlezněte tečnou rovinu normálu k dnému povrchu v dném bodě: 4 + y + z 9 = 3 v P = (, 1, 3), y 3z + yz = 4 v A = (3,, 1), z + 1 = e y cos z v B = (1,, )..5. Ukžte, že elipsoid 3 + y + z = 9 sfér + y + z 8 6y 8z + 4 se dotýkjí v bodě P = (1, 1, )..6. Nlezněte rychlost mimálního minimálního možného přírůstku (úbytku) funkce f(, y) = e y + 3y v bodě P = (1, )..7. Nlezněte rychlost mimálního minimálního možného přírůstku (úbytku) funkce f(, y, z) = v bodě P = (4,, 1). y + y z 3

4 3 Lokální, bsolutní vázné etrémy 3.1. Připomeňme, že proimce druhého řádu funkce f( ) v bodě je definován jko Q( ) = f( ) + Df( )( ) + 1 ( )T Hf( )( ) pokud prciální derivce funkce f druhého řádu eistují jsou spojité n nějkém okolí bodu. Určete proimci druhého řádu funkce f(, y) = (1 + )e +y v bodě = (, ), funkce g(, y) = e y + 1 v bodě = (1, ). 3.. Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = y + 6y Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = 4y 4 y Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = y y + 6y Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = y 8+y y Njděte čísl b tk, by hodnot b (6 ) d byl největší možná. Úlohu interpretujte geometricky Nlezněte bsolutní etrémy funkce f(, y) = +y +y 6+ ve čtverci 5, 3 y Nlezněte bsolutní etrémy funkce f(, y) = 3 + y 4 v množině D = {(, y) R : + y 1} Nlezněte bsolutní etrémy funkce f(, y) = + y 6 4y + 11 v množině D = {(, y) R : + y 4 5} Teplot zhřáté desky je dán jko T (, y) = 4 4y + y. Brouk leze po desce podél kružnice se středem v bodě (, ) s poloměrem 5. Určete nejteplejší nejstudenější body n broukově cestě Metodou Lgrngeových multiplikátorů nlezněte mimum minimum funkce f(, y, z) = + 3y +5z n množině +y +z = 1. Pk použijte geometrický význm grdientu fktu, že f je lineární funkce, byste nlezli řešení úlohy geometricky Nlezněte bod n křivce y = 54, který je nejblíže k počátku. 4 Dvojný integrál 4.1. Spočítejte integrál z funkce f(, y) = e (y) n čtverci 1, y Spočítejte integrál z funkce f(, y) = 1 +y n čtverci 1, y Nčrtněte oblst integrce vyčíslete integrál 1 y 3y 3 e y d dy Spočítejte ln 8 ln y e +y ddy Spočítejte D sin ddy, kde D je trojúhelník s vrcholy (, ), (1, ), (1, 1) Změňte pořdí integrce u následujících integrálů 1 f(, y) ddy, π sin f(, y) dyd, 1 f(, y) dyd Změnou pořdí integrce spočítejte 1 1 e y ddy Změnou pořdí integrce spočítejte ln 3 ln 3 e ddy. y/ 1 f(, y) dyd. 4

5 4.9. Přepište integrály nejdříve pomocí změny pořdí integrce pk trnsformcí do polárních souřdnic: 1 y f(, y) ddy, f(, y) dyd, > Pomocí polárních souřdnic spočítejte D e +y ddy, kde D je polovin kruhu se středem v (, ) poloměrem 1, který leží nd -ovou osou Pomocí dvojného integrálu spočítejte obsh kruhu o poloměru Nčrtněte dnou křivku určete velikost plochy, kterou křivk (zdná pomocí polárních souřdnic) ohrničuje: ρ = sin ϑ, ϑ [, π], ρ = 1 + sin ϑ, ϑ [, π], ρ = cos(ϑ), ϑ [, π], ρ = ϑ + 1, ϑ [ π, π] Určete velikost plochy, která je ohrničená křivkmi zdnými pomocí polárních souřdnic: ρ = 3 + sin ϑ, ρ = Použitím polárních souřdnic spočítejte: y ddy, y 1 + y ddy, 4 y y y ddy. + y dyd, rctn y dyd, Určete objem těles ohrničeného rovinou z = prboloidem z = 1 y Určete objem těles ohrničeného rovinou z = 9 prboloidem z = + y Určete objem těles ohrničeného prboloidy z = 4 y z = y Pomocí polárních souřdnic určete objem prvoúhlého kruhového kuželu s výškou h kruhovou zákldnou s poloměrem R Definujme střední hodnotu funkce f vzhledem k oblsti D jko 1 E(f) = f(, y) ddy. Obsh(D) Určete střední hodnotu funkce f(, y) = cos(y) vzhledem k oblsti D = [, π] [, 1]. 4.. Hmotnost m těžiště C = (, y ) plošného útvru D s hustotou ρ(, y) je definován jko m = ρ(, y) da, = 1 ρ(, y) da, y = 1 yρ(, y) da. m D m D Určete hmotnost těžiště pro ) trojúhelník s vrcholy (, ), (1, 1), (4, ) hustotou ρ(, y) =, b) plochy omezené prbolou y = 9 osou, kde hustot je ρ(, y) = y. D 4.1. S použitím substituce určete R ( + y) 3 y da, kde R je omezená oblst určená křivkmi y =, y = 1, + y =, + y =. D 5

6 4.. S použitím substituce spočítejte y(y ) dyd S použitím substituce spočítejte ( + y) cos(π( y)) da, kde R R = {(, y) R : + y, 1, 1 + y + y} S použitím substituce spočítejte y R ey da, kde R je omezená oblst určená křivkmi y =, y = 4, y =, y = Spočítejte integrál T e y da, kde T = {(, y) R : y} je neomezená oblst Spočítejte integrál y 1 ln y 3 da. 5 Trojný integrál 5.1. Spočítejte integrál 1 π π y sin z ddydz. 5.. Spočítejte integrál Nčrtněte oblst integrce yz dydzd. 1 z y π 4 z fddydz, fddzdy, 5.4. Nčrtněte oblst integrce spočítejte integrál: 1 +y 3 9 fdzdyd, fdydzd y dz dy d, π ln(sin y) z e d dz dy Vyjádřete integrál fdv pomocí všech možných pořdí integrce, kde E je omezené oblst E určená pomocí: ) + z = 4,, y =, y = 6, b) z =, z = y, = 1 y, 9 + 4y + z = Spočítejte E e dv kde E = {(, y, z), y 1, y, z + y} Spočítejte y dv kde E je shor omezená rovinou z = + y leží nd oblstí v rovině y E určené křivkmi y =, y =, = Spočítejte y dv kde E je čtyřstěn s vrcholy (,, ), (, 1, ), (1, 1, ), (, 1, 1). E 5.9. Spočítejte E dv kde E je určená prboloidem = 4y + 4z rovinou = Pomocí cylindrických souřdnic spočítejte D +y dv, kde D je těleso zdol omezené kuželem z = + y shor rovinou z = Pomocí sférických souřdnic spočítejte B ( + y + z ) dv, kde B je jednotková koule + y + z Určete objem těles omezeného shor sférou z = + y + z zdol kuželem z = + y Určete objem těles omezeného eliptickým válcem 4 + z = 4 rovinmi y =, y = z Nčrtněte oblst integrce spočítejte integrály: π 4 r r dzdrdϑ, π π 1 ρ sin ϕ dρdϑdϕ Spočítejte E + y dv, kde E = {(, y, z), + y 4, 1 z }. 6

7 5.16. Spočítejte E dv, kde E je oblst uvnitř válce + y = 1, shor omezená kuželem z = 4 + 4y zdol rovinou z = Spočítejte E e( +y +z ) dv, kde E je oblst mezi sférmi se středy v počátku poloměry Zpište integrál pomocí cylindrických souřdnic pk ho spočítejte: 1 1 y y ( + y ) 3 dzdydz, 1 y +y yz dzddy. +y Zpište integrál pomocí cylindrických souřdnic pk ho spočítejte: y z + y + z dzdydz, 3 6 Křivkový integrál 9 y 18 y ( + y + z ) dzddy. +y 6.1. Určete délku spirály s prmetrizcí ϕ (t) =< cos t, sin t, t π >, pro t [, π]. 6.. Určete délku cykloidy s prmetrizcí ϕ (t) =< t sin t, 1 cos t >, pro t [, π] Určete délku křivky ρ = 1 + cos t, pro t [, π] Spočítejte ( + y) ds, kde C je kružnice se středem v (1/, ) poloměrem 1/. C 6.5. Integrujte funkci f(, y) = + y podél křivky z bodu A(, ) do B(1, 1) Určete y sin z ds, kde C je šroubovice s prmetrizcí = cos t, y = sin t, z = t, t π. C 6.7. Určete F d r, kde F =<, y > C je horní polovin (tj. y ) elipsy C orientcí. 4 + y 9 = 1 s kldnou 6.8. Určete práci síly F = i + y j + (z y) k, která je vykonná n částici pohybující se podél křivky s prmetrizcí r(t) =< t, t, 4t 3 >, t 1 z bodu A = (,, ) do bodu B = (1,, 4) Určete práci síly F =<, ye >, která je vykonná n částici pohybující se podél křivky = y +1 z bodu A = (1, ) do bodu B = (, 1) Ukžte, že pole F =< e cos y +yz, z e sin y, y +z > je konzervtivní njděte jeho potenciál. Pomocí něj spočítejte integrál C F d r kde C je cest z bodu A(1,, ) do bodu B(, π, 1) Zjistěte, zd jsou následující pole konzervtivní pokud no, njděte jeho potenciál: F (, y, z) =< e yz, ze yz, ye yz >, G(, y, z) =< 1, sin z, y cos z > Ukžte, že integrál nezávisí n cestě spočítejte ho: tn y d + sec y dy, C z bodu (1, ) do bodu (, π 4 ). C Pro pole F (, y) =<, y > určete C F d r, kde C je cest y = z bodu (1, ) do bodu (, 8). (Integrál spočítejte jk přímým výpočtem podél dné křivky, tk s použitím potenciálu pole F ). 7

8 6.14. Pro pole F (, y) =< y 1+, y rctn > určete C F d r, kde C je křivk s prmetrizcí r(t) =< t, t > pro t 1. (Použijte potenciál pole F ) Pomocí Greenovy věty spočítejte C 4 d+y dy, kde C je kldně orientovná hrnice trojúhelníku s vrcholy A = (, 1), O = (, ), B = (1, ) Pomocí Greenovy věty spočítejte C F d r, kde F =< y cos, +y cos > C je cest podél celé hrnice trojúhelník postupně procházející vrcholy O = (, ), A = (, 6), B = (, ) (v tomto pořdí) Mějme cestu C, která jde z bodu A = (, ) podél osy ž do bodu B = (, ) pk se vrátí zpět do bodu A = (, ) podél grfu funkce y = 4. Určete práci síly F =<, + y > která je vykonná n částici pohybující se podél této křivky C Spočítejte ( y) ds, kde C je jednotková kružnice v rovině y se středem v počátku. C Pomocí Greenovy věty určete C (3y esin ) d + (7 + y 4 + 1) dy, kde C je kldně orientovná kružnice + y = Pomocí Greenovy věty určete C < (y ), (5 e y ) > d r, kde C je kldně orientovná kružnice + y = Ověřte Greenovu větu pro F =< 3 y, + 5y >, jestliže C je kldně orientovná kružnice + y = Pomocí Greenovy věty spočítejte C y d+3y dy kde C = C 1 C je hrnice mezikruží určeného záporně orientovnou kružnicí C 1 s poloměrem středem v počátku kldně orientovnou kružnicí C s poloměrem 1 středem tké v počátku Mějme uzvřenou křivku C, která se skládá z části jdoucí z bodu O = (, ) do bodu A = (π, ) podél křivky s prmetrizcí (t) = t cos t, y(t) = t sin t, t π, části vedoucí podél osy z bodu A = (π, ) zpátky do bodu O = (, ). Pomocí Greenovy věty určete obsh oblsti D ohrničené křivkou C Pomocí Greenovy věty určete obsh oblsti D ohrničené cestou C, která má prmetrizci ϕ (t) =< sin t, sin t >, t π. 7 Plošný integrál 7.1. Určete povrch oblsti v rovině + y + z = 4, která leží uvnitř válce + y = Určete povrch oblsti v rovině + 3y z = 1, která leží nd čtvercem [1, 4] [, 4] Určete povrch části prboloidu z = + y, která leží n rovinou z = Určete povrch plochy n plášti válce + y = 1, která je vymezená rovinmi z = + y + z = Spočítejte S ds, kde S je jednotková sfér + y + z = Spočítejte z ds, kde S je částí válce + y = 1 mezi rovinmi z = z = + 1. S 7.7. Spočítejte yz ds, kde S je ploch s prmetrizcí = uv, y = u + v, z = u v, u + v 1. S 7.8. Spočítejte ( z + y z) ds, kde S je polosfér + y + z = 4, z. S 7.9. Určete hmotnost plochy S, která je leží n plášti kuželu z = + y je vymezená pomocí 1 z 4, jestliže její hustot je dán jko ρ(, y, z) = 1 z. (hmotnost(s) = S ρ ds) Určete y ds, kde S je ploch n povrchu válce + z = 1 mezi rovinmi y = + y =. S 8

9 7.11. Určete S y ds, kde S je šroubová ploch s prmetrizcí r (u, v) =< u cos v, u sin v, v >, u 1, v π Spočítejte S F d S, kde F =< y,, z >, S je část prboloidu z = 1 y pro z Spočítejte S F d S, kde F = e y i + ye j + y k S je část prboloidu z = + y, která leží nd čtvercem 1, y 1 je orientovná směrem vzhůru Spočítejte S F d S, kde F = i + y j + z k, S je část roviny 3 + y + z = 6, která leží v prvním oktntu je orientovná směrem vzhůru Spočítejte S F d S, kde F =<, y, z > S je uzvřená ploch s vnější orientcí, která vznikne sjednocením části prboloidu y = + z pro y 1 kruhu, který je průnikem válce + z 1 roviny y = Spočítejte S F d S, kde F =< y,, z > S je šroubová ploch s prmetrizcí r (u, v) =< u cos v, u sin v, v >, u 1, v π orientcí indukovnou touto prmetrizcí Kplin s hustotou 1 protéká s rychlostí dnou polem v =< y, 1, z >. Určete průtok kpliny směrem vzhůru plochou S, která je částí prboloidu z = 9 ( +y ) 4 pro +y 36. (Určete S v d S) Teplot látky v bodě (, y, z) s vodivostí k = 6, 5 je určen funkcí u(, y, z) = y + z. Určete tepelný tok, který vteče dovnitř oblsti uvnitř válce y + z = 6 s rozmezím 4. (Určete S k u d S, kde S je povrch oblsti orientovný vnitřně.) 8 Integrální věty 8.1. Pomocí Stokesovy věty spočítejte C F d r pro F =< yz, z, y > libovolnou uzvřenou křivku C v R Pomocí Stokesovy věty spočítejte S rot F d S, kde F =< yz,, e y cos z > S je polosfér + y + z = 1, z orientovná vzhůru Pomocí Stokesovy věty spočítejte C F d r, kde F =< z, 4, 5y > C je průnik roviny z = + 4 s válcem + y = Pomocí Stokesovy věty spočítejte S rot F d S, kde F =< y z, z, y > C je částí prboloidu z = + y, která leží uvnitř válce + y = 1 je orientovná vzhůru Pomocí Stokesovy věty spočítejte C F d r, kde F =< z, y, 3y > C je hrnice části roviny 3 + y + z = 3, která je v prvním oktntu. Ploch je orientovná v záporném smyslu při pohledu seshor Spočítejte práci síly F = ( + z ) i + (y y + ) j + (z z + y ) k vykonné n částici, která se pohybuje podél okrje části sféry + y + z = 4 ležící v prvním oktntu. Ploch je orientovná v záporném smyslu při pohledu seshor Pomocí Gussovy věty určete tok F plochou S (tj., plošný integrál S F d S), kde ) F = 3y z 3 i + 9 yz j 4y k S je povrch krychle s vrcholy (±1, ±1, ±1) s vnější orientcí; b) F = 3 i + y 3 j + z 3 k S je sfér + y + z = 1 s vnější orientcí Ověřte Gussovu větu pro vektorové pole F (, y, z) =< 3, y, z > oblst E, která je krychle vymezená rovinmi =, = 1, y =, y = 1, z = z = Pomocí Gussovy věty spočítejte S F d S, kde F =< y, z, z y > S je povrch kvádru vymezeného rovinmi =, = 3, y =, y =, z = z = Pomocí Gussovy věty spočítejte S F d S, kde F =< y, y +e z, sin(y) >, S je povrch oblsti vymezené prbolickým válcem z = 1 rovinmi z =, y = y + z =. 9

10 9 Fourierovy řdy { 1, t [, 1), 9.1. Nlezněte Fourierovu řdu periodického rozšíření funkce f(t) = 1, t [1, ). 9.. Pro funkci f(t) = t, t [ 1, 1], nlezněte její Fourierovu řdu. Pomocí Jordnov kritéri doszení t = 1 do nlezené řdy ukžte, že 1 k = π 6. k=1 { t + 1, t [, 1) 9.3. Pro vhodné periodické rozšíření funkce f(t) = njděte její Fourierovu řdu,, t [1, ) sinovou Fourierovu řdu kosinovou Fourierovu řdu. Určete součet kždé z řd. { t, t [, 1) 9.4. Pro vhodné periodické rozšíření funkce f(t) = njděte její Fourierovu řdu, sinovou 1, t [1, ) Fourierovu řdu kosinovou Fourierovu řdu. Určete součet kždé z řd Nlezněte Fourierovu řdu pro funkci f(t) = sin t Nlezněte Fourierovu řdu pro periodické rozšíření funkce f(t) = { sin t, t [, π),, t [π, π). 1

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010 právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

1. Pokyny pro vypracování

1. Pokyny pro vypracování 1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více