Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček"

Transkript

1 Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček

2

3 Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček

4

5 Obsh Úvod Číselná os, supremum infimum Zákldní číselné množiny Zákldní vlstnosti číselných množin Supremum infimum Několik vět o reálných číslech číselných množinách Klsifikce bodů vzhledem k množině Rozšířená reálná os Číselné posloupnosti Pojem posloupnosti Zákldní vlstnosti číselných posloupností Limit posloupnosti Nulové posloupnosti Aritmetická posloupnost geometrická posloupnost Některé význmné limity Číslo e Pojem funkce Definice funkce Řešení rovnic nerovnic Vlstnosti funkcí Operce s funkcemi Funkce inverzní Rozšíření pojmu funkce Elementární funkce Přehled elementárních funkcí Algebrické funkce Goniometrické funkce funkce cyklometrické Funkce exponenciální logritmické Funkce hyperbolické hyperbolometrické Limit funkce Limit funkce podle Heineho Věty o limitách funkcí Výpočet limit Limit funkce podle Cuchyho Spojitost funkce Pojem spojitosti funkce Funkce spojité n množině Vlstnosti funkcí spojitých n intervlu Stejnoměrná spojitost Derivce funkce Pojem derivce funkce Derivce funkce n množině

6 7.3 Vlstnosti derivcí Derivce elementárních funkcí Diferenciál funkce Derivce diferenciály vyšších řádů Derivce různých typů funkcí Zákldní věty diferenciálního počtu Úvod Věty o střední hodnotě Některé důsledky vět o střední hodnotě Tylorův vzorec Užití diferenciálního počtu Monotónnost funkce Lokální extrémy Největší nejmenší hodnot funkce n intervlu Konvexnost konkávnost Inflexe inflexní body Asymptoty Průběh funkce Užití extrémů funkcí Metody integrce pro funkce jedné proměnné Zákldní vzorce Integrce užitím substitucí Metod per prtes Integrce rcionálních funkcí Integrce některých ircionálních funkcí Eulerovy substituce Goniometrické hyperbolické funkce Goniometrické hyperbolické substituce Užití Eulerových vzorců pro výpočet některých integrálů Riemnnův určitý integrál Definice Riemnnov integrálu Newtonův vzorec Zákldní vlstnosti určitého integrálu Výpočet určitých integrálů Dlší vlstnosti určitého integrálu Užití Riemnnov integrálu Přibližné metody výpočtu Riemnnov integrálu Užití určitého integrálu v geometrii Technické křivky Užití určitého integrálu ve fyzice Nevlstní integrály Nevlstní integrál vlivem meze Nevlstní integrál vlivem funkce Vlstnosti nevlstních integrálů Kriteri konvergence nevlstních integrálů

7 14 Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic Zákldní pojmy Zákldní problémy Seprce proměnných Užití substitucí Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Ortogonální izogonální trjektorie Užití diferenciálních rovnic Číselné řdy Zákldní pojmy Některé vlstnosti číselných řd Řdy s nezápornými členy Řdy s libovolnými členy, bsolutní konvergence Alternující řdy Přerovnávání číselných řd Mocninné řdy Násobení řd Seznm doporučené litertury

8

9 Úvod Učební text Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) je určen především posluchčům prvního ročníku učitelských kombincí s mtemtikou n Přírodovědecké fkultě UP v Olomouci v rámci bklářského studijního progrmu. Skriptum vzniklo přeprcováním studijní opory, kterou vytvořil první z utorů této publikce jko doplněk ke stejnojmenné přednášce. Aktulizovný částečně doplněný učební text obshuje 15 kpitol, jejichž obsh pokrývá veškerou problemtiku zákldního kurzu mtemtické nlýzy v prvním ročníku výše uvedených studijních oboru, tj. úvod do diferenciálního integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné. N tomto místě bychom chtěli vyjádřit nše vřelé poděkování oběm recenzentům prof. RNDr. Svtoslvu Stňkovi, CSc., doc. RNDr. Jitce Litochové, CSc., z jejich cenné připomínky, jimiž přispěli ke zkvlitnění celého učebního textu. Vydání této publikce bylo podpořeno projektem A-Mt-Net, síť pro trnsfer znlostí v plikovné mtemtice, č. CZ.1.07/2.4.00/ Autoři Olomouc, duben

10

11 Kpitol 1 Číselná os, supremum infimum 1.1 Zákldní číselné množiny Uvedeme nejprve přehled zákldních číselných množin jejich oznčení. V celém textu budeme prcovt s následujícími množinmi, jejichž vlstnosti jsou probírány už n střední škole: N = {1, 2, 3,..., n,...} je množin všech přirozených čísel. Přirozená čísl používáme npř. jko pořdová čísl, třeb při zápisu členů posloupnosti: ( n ) = 1, 2, 3,..., n,... N 0 = {0, 1, 2, 3,..., n,...} = N {0} je množin celých nezáporných čísel. Těmito čísly je vyjádřen počet prvků konečných množin. Později uvidíme výhody použití čísel z N 0 jko indexů členů nekonečných mocninných řd: x + 2 x n x n +... Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} je množin všech celých čísel. Celá čísl používáme npř. pro zápisy vzthující se k periodičnosti funkcí; npř. funkce y = cotg x není definován pro x = kπ, kde k Z je libovolné (celé) číslo. Q množin všech čísel rcionálních. Rcionální číslo je definováno jko číslo, které lze vyjádřit ve tvru k n, kde k Z n N. Podle potřeby lze tkový zlomek uvést n zákldní tvr, kde čittel jmenovtel jsou čísl nesoudělná. Rcionální čísl se používjí npř. při konstrukci některých méně obvyklých mtemtických objektů (viz dále). Množin Q je n číselné ose hustě uspořádán, mezi kždými dvěm rcionálními čísly leží dlší rcionální číslo (npř. jejich ritmeticky průměr). Rcionální čísl lze zpst i jko čísl desetinná. Jejich desetinný (dekdický) rozvoj je ukončený nebo periodický, dostneme jej ze zlomku k n dělením. Obrácený postup je již náročnější. Příkld 1 Rcionální číslo = 1,572 zpište ve tvru zlomku. Návod: První způsob řešení vychází z toho, že periodická část desetinného rozvoje čísl je geometrická řd. Pltí tedy = 1, = Ve druhém způsobu řešení zpíšeme = 1, = 157,272, =... = odkud po odečtení první rovnice od druhé dostneme 99 = 155,7, tedy = =

12 R množin všech čísel reálných, je pro zákldní kurs mtemtické nlýzy zákldní číselnou množinou (pokud není řečeno jink, budeme rozumět pod pojmem číslo vždy číslo reálné). Dostneme ji tk, že vhodným způsobem zvedeme ircionální čísl. Reálná čísl zobrzujeme n číselné (reálné) ose: je to přímk, n níž zvolíme bod O jko obrz čísl 0 (počátek číselné osy) bod J jko obrz čísl 1, pomocí těchto dvou bodů pk n ní zobrzujeme všechn reálná čísl; body n číselné ose oznčujeme zprvidl přímo zobrzovnými čísly. Při rozšiřování pojmu číslo z Q n R vznikjí dvě otázky: zd existuje potřeb ircionálních čísel ( jk je zvést), zd zobrzení množiny R n číselnou osu je bijekce, tj. zd tké nopk i kždý bod číselné osy je obrzem nějkého reálného čísl. Vět Neexistuje rcionální číslo, jehož druhá mocnin by byl rovn 2. Důkz: (sporem) Předpokládejme, že není splněno tvrzení věty, tj. že r Q: r 2 = 2. Číslo r je zřejmě kldné; vyjádříme je zlomkem v zákldním tvru r = p q, tedy p, q jsou čísl nesoudělná pltí rq = p. Umocníme: r 2 q 2 = p 2, tj. 2q 2 = p 2, odtud p 2 je sudé, což nstne, právě když p je sudé. Tedy p = 2k, odtud 2q 2 = 4k 2, proto q 2 = 2k 2, tkže q je sudé. Odtud plyne, že zlomek p q lze krátit dvěm. To je spor s předpokldem, že tento zlomek je v zákldním tvru. Bez ircionálních čísel (tj. v množině Q) bychom tk npř. nedovedli změřit úhlopříčku jednotkového čtverce (neměl by délku). Existuje tedy potřeb čísel, která nejsou rcionální která jsme nzvli ircionální. Logik rozšiřování číselných oborů říká, že nový druh čísel zvádíme pomocí čísel již dříve definovných. Při zvádění čísel reálných (tedy vlstně ircionálních, jen t jsou nová) lze postupovt tk, že definujeme tzv. řez v množině Q jko kždý rozkld množiny Q n dvě třídy, dolní horní, kde tedy kždé rcionální číslo ptří právě do jedné z těchto tříd kždé číslo z horní třídy je větší než kždé číslo z dolní třídy. Ircionální číslo pk ztotožníme s tkovým řezem, kde v dolní třídě není největší prvek v horní třídě není prvek nejmenší. Npř. číslo 2 je dáno řezem v Q, kde do dolní třídy ptří všechn čísl záporná t x z nezáporných, pro něž je x 2 < 2, do horní třídy ptří všechn zbývjící rcionální čísl. S podrobnostmi toho přístupu se seznámíte v přednáškách z lgebry ve třetím ročníku, kdy budete probírt Dedekindovy řezy; tm se tké seznámíte s jiným přístupem pomocí Cntorovy teorie fundmentálních posloupností. Množinu všech ircionálních čísel oznčíme Q ; je Q Q = R = Q Q. Všimněme si dekdického rozvoje: rcionální čísl mjí dekdický rozvoj ukončený nebo periodický, ircionální čísl mjí svůj dekdický rozvoj neukončený neperiodický; pro ircionální čísl čsto známe jen konečný počet míst jejich dekdického rozvoje (npř. pro číslo π), le není to prvidlo. Příkld 2 Npište dekdický rozvoj tkového ircionálního čísl, u něhož dovedeme jednoduše určit číslici n libovolném místě rozvoje. Návod: Uvžujte npříkld číslo 1, , kde jedničky v desetinné části jsou po řdě odděleny 1, 2, 3, 4,... nulmi. Zjistěte, jké číslice jsou n desetinném místě. [1 0] 12

13 O množinách R Q říkáme, že jsou husté v množině R reálných čísel, což znmená, že mezi libovolnými dvěm reálnými čísly leží lespoň jedno číslo rcionální též lespoň jedno číslo ircionální. Důležitá cest k poznání množiny Q vede přes mohutnosti množin. Ztímco množiny N, Z, Q jsou spočetné (prvky těchto množin lze uspořádt do posloupnosti), tk množin R (tedy i Q ) spočetná není; říkáme, že R má mohutnost kontinu. C množin všech čísel komplexních; komplexní čísl zobrzujeme v Gussově rovině. Pltí: N N 0 Z Q R C. 1.2 Zákldní vlstnosti číselných množin O relcích opercích v číselných množinách o jejich přirozeném uspořádání pojednává podrobně lgebr. Avšk i v mtemtické nlýze se zbýváme mnoh význmnými číselnými množinmi. Při vyšetřování číselných množin využíváme jejich vlstnosti, o nichž dále pojednáme. Definice Množin M se nzývá shor omezená, právě když L R tk, že x M pltí x L. Toto číslo L se nzývá horní odhd (resp. horní závor). Množin M se nzývá zdol omezená, právě když K R tk, že x M pltí x K. Toto číslo K se nzývá dolní odhd (resp. dolní závor). Množin M se nzývá omezená, právě když je omezená shor i zdol. Příkld 1 Kolik horních (dolních) odhdů má číselná množin? Vyjádřete, co znmená, že dná množin M není omezená shor, zdol, že není omezená. Co znmená, že číslo B není horním odhdem dné množiny? Pokud některý horní odhd množiny M ptří do množiny M, pk jej nzýváme největší prvek množiny M oznčujeme jej mx M. Podobně nejmenší prvek množiny M (definujte) oznčujeme min M. Příkld 2 Určete největší nejmenší prvek množin M 1 = { 1, 1 2, 1 4, 1 8,...}, M 2 = { 1 2, 1 2, 2 3, 2 3, 3 4, 3 4,...}, M 3 = { 0, 1, 1 2, 1 3, 1 4,...}. Návod: Množin M 1 má největší nemá nejmenší prvek, M 2 nemá největší ni nejmenší prvek, M 3 má prvek největší i nejmenší. K nejdůležitějším číselným množinám ptří intervly. Definice Pro všechn, b R, < b, definujeme uzvřený intervl, b = {x R; x b}, otevřený intervl (, b) = {x R; < x < b}, podobně, b), (, b. Všechny tyto intervly mjí délku b. 13

14 Definice Množinu, + ) = {x R; x } nzýváme neomezený intervl. Podobně (, + ), (, b, (, b). Množinu R zpisujeme též jko (, + ). Příkld 3 Definujte intervl, který zprv uzvřený zlev otevřený. Definujte intervl, který je nopk zprv otevřený zlev uzvřený (tzv. polouzvřený nebo polootevřený intervl). Někdy uvžujeme též degenerovné intervly:, = {}, (, ) = (prázdná množin). Pojmem intervl budeme všk dále vždy rozumět nedegenerovný intervl. Jestliže J je intervl s koncovými body, b (npř. J = (, b ), pk J = b znčí délku tohoto intervlu. Definice Absolutní hodnot (modul) čísl R se oznčuje je definován tkto: { pro 0 = pro < 0. Vět (vlstnosti bsolutní hodnoty) Pro všechn, b R pltí ) 0, přičemž = 0, právě když = 0, b) =, c) + b + b, d) b b, e) b = b, f) pro b 0 je = b b. Vlstnost c) (trojúhelníkovou nerovnost) můžeme zobecnit (užitím principu mtemtické indukce vzhledem k n): c ) Pro všechny n-tice reálných čísel 1, 2,..., n pltí nebo zkráceně n n n i i=1 n i. Geometrický význm bsolutní hodnoty: znčí vzdálenost obrzu čísl od počátku číselné osy, b = b vzdálenost obrzů čísel, b n číselné ose. i=1 0 b b Příkld 4 V oboru reálných čísel řešte nerovnice rovnici: ) x 3 < 2, b) 2 x x 2x 4, c) x x x 2 = 0. 14

15 1.3 Supremum infimum Definice Nechť M R, M. Číslo β R nzýváme supremum množiny M píšeme β = sup M, právě když má tyto dvě vlstnosti: 1. Pro všechn x M pltí x β, 2. Pro kždé β < β existuje x M tk, že pltí x > β. Vlstnost 1. znmená, že β je horní odhd, vlstnost 2. říká, že β je ze všech horních odhdů nejmenší, tedy: sup M je nejmenší horní odhd (závor) množiny M. Ovšem z definice nijk neplyne, že tkový nejmenší horní odhd existuje. β x β Definice Nechť M R, M. Číslo α R nzýváme infimum množiny M píšeme α = inf M, právě když má tyto dvě vlstnosti: 1. Pro všechn x M pltí x α, 2. Pro kždé α > α existuje x M tk, že pltí x < α. Vlstnost 1. znmená, že α je dolní odhd, vlstnost 2. říká, že α je ze všech dolních odhdů největší, tedy: inf M je největší dolní odhd (závor) množiny M. Z definice opět nijk neplyne, že tkový největší dolní odhd existuje. Příkld 1 Určete sup M inf M pro množinu M = { 1 2, 2 3, 3 4,...}. Návod: Pltí sup M = 1, neboť všechny prvky množiny M jsou prvé zlomky jsou tedy menší než 1; jestliže všk vezmeme libovolné číslo r < 1, existuje vždy v M prvek n n+1, který je větší než r. Dále inf M = 1 2, neboť žádný prvek M není menší než 1 2, když zvolíme libovolné číslo s > 1 2, pk vždy právě pro prvek 1 2 pltí 1 2 < s. Přitom sup M není inf M je prvkem zdné množiny M. Tedy: supremum infimum množiny mohou, le nemusí být prvky této množiny. Pokud sup M je prvkem množiny M, je jejím největším prvkem; podobně pro inf M. Tké nopk, pokud má M největší prvek, je to součsně sup M; podobně pro nejmenší prvek. Vět (o existenci suprem infim) Kždá neprázdná shor omezená množin reálných čísel má supremum. Kždá neprázdná zdol omezená množin reálných čísel má infimum. Tuto větu budeme povžovt z xiom vyjdřující zákldní vlstnost číselné osy. Tedy: existuje bijekce množiny R n číselnou osu kždé reálné číslo lze zobrzit n číselné ose kždý bod číselné osy je obrzem nějkého reálného čísl. Říkáme též: číselná os je spojitá. Pojmy číslo bod číselné osy povžujeme z synonym říkáme npř. bod x 0 místo číslo x 0 pod. Pojmy supremum infimum vět o existenci suprem infim jsou pro mtemtickou nlýzu velmi důležité. Hrjí podsttnou roli v řdě důkzů (viz npř. dále 1.4, důkz věty o vložených intervlech) při definici dlších důležitých mtemtických pojmů. 15

16 Reálná čísl relit Mtemtik svými prostředky modeluje relitu přitom používá metody bstrkce: bstrhuje od mnoh vlstností reálných objektů (které mohou být pro relitu velmi význmné) ponechává jen ty, které upotřebí při vytváření mtemtických modelů. Vytváří tk různé bstrktní objekty, jko je bod, čtverec, číslo, funkce, řd d. Tyto bstrktní modely jsou velmi vhodné pro popis studium relity, le přesto nesmíme změňovt model relitu. V určitých přípdech se nše reálné předstvy zkušenosti dostávjí do rozporu s některými mtemticky zcel přesně definovnými pojmy vlstnostmi. Npř. v reálném životě není nekonečno, tkže některé jeho vlstnosti odporují nšim prktickým zkušenostem, třeb to, že nekonečná množin je ekvivlentní s některou svou prvou částí; npř. množin všech lichých přirozených čísel má týž počet prvků (tj. stejnou mohutnost) jko množin N. Podobně n zákldě zkušeností z reálného svět je nepředstvitelné, že Q má větší mohutnost než Q (že ircionálních čísel je více než čísel rcionálních. Nše zkušenost říká, že když vedle sebe jsou umístěny nějké objekty, tk mezer mezi nimi je tk nějk stejně jko objektů (plňkový plot), le u čísel rcionálních ircionálních je to úplně nepředstvitelně jink. Mezi kždými dvěm čísly rcionálními je lespoň jedno číslo ircionální mezi kždými dvěm čísly ircionálními je lespoň jedno číslo rcionální, přičemž těch ircionálních mezi dvěm rcionálními je množin mohutnosti kontinu, ztímco rcionálních mezi dvěm ircionálními je jen spočetná množin. Definice ircionálních čísel, ť už použijeme jkoukoli metodu, vytváří jen mtemtický model nikoli relitu. Spojitost číselné osy, která se skládá z rcionálních ircionálních bodů, si nelze předstvit; snd i proto, že v reálném světě je to jink, tm neexistuje žádná přímk pohodu číselné osy jko dobře fungujícího mtemtického modelu nrušují různé fyzikální částice. N počítči se s reálnými čísly prcuje dvěm způsoby: čísl celá jsou uložen ve dvojkové soustvě podle počtu použitých bytů je dán jejich rozsh dostčující pro použití v prxi, výpočty jsou přesné; desetinná čísl se ukládjí jiným způsobem, to jen s určitou přesností, která hrje u složitých rozsáhlých výpočtů velkou roli. 1.4 Několik vět o reálných číslech číselných množinách Vět (o ritmetickém geometrickém průměru dvou nezáporných čísel) Jsou-li, b libovolná nezáporná reálná čísl, pk jejich ritmetický průměr je větší nebo roven jejich průměru geometrickému, tj. + b b, 2 přičemž rovnost průměrů nstává právě při rovnosti obou čísel, b. Důkz: (princip) Zde je vhodný důkz přímý, přičemž vyjdeme z pltné nerovnosti ( b ) 2 0, jejíž úprvou dostneme přímo dné tvrzení. Příkld 1 Všimněte si slovní formulce věty. Přepište ji do formy převážně symbolické do formy zcel symbolické. Předcházející větu lze zobecnit následujícím způsobem, její důkz zde neuvádíme. 16

17 Vět (nerovnost mezi ritmetickým geometrickým průměrem, AG nerovnost) Jsou-li 1, 2,..., n libovolná nezáporná reálná čísl, potom pltí n n Rovnost nstává, právě když 1 = 2 =... = n. n n Vět (Bernoulliov nerovnost) Pro kždé reálné číslo h > 1, kde h 0 pro kždé přirozené číslo n 2 pltí (1 + h) n > 1 + nh. Důkz: (princip) Užijeme princip mtemtické indukce vzhledem k n. V prvním kroku dokážeme tvrzení pro n = 2, tedy (1 + h) 2 = 1 + 2h + h 2 > 1 + 2h, ve druhém kroku předpokládáme, že pro jisté n 2 pltí (1 + h) n > 1 + nh. Obě strny poslední nerovnosti vynásobíme kldným číslem (1+h) dále n prvé strně vynecháme člen nh 2. Bernoulliov nerovnost se používá npř. při některých důkzech vlstností posloupností. Vět (o rovnosti reálných čísel) Nechť p, q R. Jestliže ε > 0 pltí p q < ε, pk p = q. Důkz: (sporem) Kdyby p q, bylo by p q > 0. Zvolíme-li ε = p q, dostáváme, že p q < ε součsně p q = ε, což dává spor. Proto p = q. Tto jednoduchá vět usndňuje některé důkzy, npř. důkz následující věty. Vět (o vložených intervlech) Nechť (J n ) je posloupnost omezených uzvřených intervlů J n = n, b n tkových, že J 1 J 2 J 3... Pk existuje bod x 0, který leží ve všech intervlech J n pro n N. Jestliže nvíc ε > 0 n N tk, že J n < ε, je tkový bod x 0 jediný. Důkz: (princip) Uvžujeme množinu A všech levých krjních bodů n intervlů J n množinu B jejich prvých krjních bodů b m ; pro všechn m, n N pltí n < b m. Podle věty o existenci suprem tedy existuje α = sup A, pro něž α b m ; podobně existuje β = inf B pro všechn n N pltí n α β b n, tedy n N: α, β n, b n. Pro důkz tvrzení věty stčí volit x 0 α, β. Je-li intervl α, β degenerovný, dostáváme x 0 jednoznčně. To nstává právě tehdy, když je splněn druhá podmínk věty, tedy když ε > 0 n N tk, že b n n < ε. Jelikož je β α b n n < ε, je podle věty o rovnosti reálných čísel α = β. Podmínk věty, zjišťující jednoznčnost společného bodu x 0 může být formulován i tkto: Jestliže posloupnost ( J n ) délek intervlů J n je nulová... Větu o vložených intervlech používáme při důkzech některých důležitých vlstností posloupností funkcí, zejmén ve spojení s tzv. Bolznovou metodou důkzu. 17

18 1.5 Klsifikce bodů vzhledem k množině Definice Okolím bodu nzveme kždý otevřený intervl (c, d) konečné délky, který obshuje bod (tj. kde (c, d)); oznčení okolí bodu : U(). c d Tto je definice je formulován ve smyslu topologickém. Vět (vlstnosti okolí) Okolí bodu má tyto vlstnosti: Pro kždé U() je U(). Ke kždým dvěm okolím U 1 (), U 2 () existuje okolí U() tk, že U() U 1 () U 2 (). Je-li b U(), pk existuje U 1 (b) tk, že U 1 (b) U(). Pro libovolná b existují U 1 (), U 2 (b) tk, že U 1 () U 2 (b) =. Pro důkzy některých vět je vhodnější definovt okolí bodu ve smyslu metrickém. Definice ε-okolím bodu, kde ε R, ε > 0, nzýváme intervl ( ε, + ε); oznčení: U(, ε) nebo též U(). ε + ε Lehce ověříme, že ε-okolí má všechny uvedené vlstnosti okolí. Místo x U(, ε) lze rovněž psát x < ε. Definice Prstencovým (redukovným) okolím bodu nzýváme množinu P () = U() {}. Podobně P (, ε) = U(, ε) {}. Dále se definuje levé U( ) resp. prvé U(+) okolí bodu jko intervl (c, nebo ( ε, resp., d) nebo, + ε); jsou to tzv. jednostrnná okolí. Ještě uvžujeme jednostrnná prstencová (redukovná) okolí P ( ) resp. P (+) to když z jednostrnného okolí vypustíme bod. Užitím pojmu okolí bodu lze klsifikovt body z R vzhledem k dné číselné množině M. Uvedeme si nyní zkrácené definice některých důležitých pojmů, používných v mtemtické nlýze. Vnitřní bod množiny M: Bod množiny M, který do M ptří i s některým svým okolím. Vnitřek množiny M: Množin všech vnitřních bodů množiny M. Hrniční bod množiny M: V kždém jeho okolí existuje bod množiny M též bod, který do M neptří. (Hrniční bod může, le nemusí ptřit do M.) 18

19 Hrnice množiny M: Množin všech hrničních bodů množiny M. Vnější bod množiny (vzhledem k množině) M: Bod číselné osy, který není vnitřním ni hrničním bodem množiny M. Vnějšek množiny M: Množin všech vnějších bodů množiny M. Množin M je otevřená: Kždý její bod je jejím vnitřním bodem. Množin M je uzvřená: Obshuje svou hrnici. Uzávěr M množiny M: Sjednocení množiny M její hrnice. Hromdný bod množiny M: V kždém jeho prstencovém okolí leží lespoň jeden bod množiny M. Izolovný bod množiny M: Bod množiny M, který není jejím hromdným bodem. Diskrétní množin: Všechny její body jsou izolovné. Derivce M množiny M: Množin všech hromdných bodů množiny M. Jelikož všechny tyto pojmy jsou zloženy vlstně jen n pojmu okolí, setkáváme se s nimi ve všech prostorech, kde se prcuje s okolím. N číselné ose (n rozdíl npř. od roviny) všk prcujeme i s pojmy levé okolí prvé okolí můžeme tedy definovt i levý hromdný bod prvý hromdný bod těchto pojmů skutečně využíváme při definování jednostrnných limit funkce. Příkld 1 Všechny výše uvedené pojmy plikujte n množinu M = 1, 0) { 1 2, 2 3, 3 } 4, Rozšířená reálná os Je to model číselné osy, kterou rozšíříme o dv nové prvky: nevlstní číslo + nevlstní číslo. Oznčení rozšířené reálné osy: R = R {, + }. Zvedení nevlstních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe jednodušeji formulovt mnohé pozntky mtemtické nlýzy. 19

20 Vlstnosti nevlstních čísel N rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání početní operce tk, že rozšíříme příslušná prvidl pltná n R. Uspořádání : x R: < x < +, zvláště < + ; ( ) = +, (+ ) =, + = = +. Okolí : U(+ ) toto oznčení budeme používt pro kždý intervl (c, + R ), le pokud budeme prcovt n R, použijeme toto oznčení (pro zjednodušení vyjdřování) též pro intervly (c, + ) R, což jsou vlstně prstencová okolí P (+ ) n R. Podobně pro U( ) P ( ). Supremum infimum: Pro množinu M, která není shor omezená, je sup M = +, pro množinu M, která není zdol omezená, je inf M =. Hromdné body: Definice je formálně stejná, tedy + nzveme hromdným bodem množiny M R, právě když v kždém jeho okolí P (+ ) leží lespoň jeden bod množiny M. Podobně pro. Npř. množin Z všech celých čísel má hromdné body +, sup Z = +, inf Z =, le smozřejmě + / Z, / Z. Početní operce s nevlstními čísly Operce s reálnýmy čísly můžeme rozšířit n nevlstní čísl následujícím způsobem: Sčítání odčítání : x R definujeme ±x + (+ ) = (+ ) ± x = ±x ( ) = (+ ) + (+ ) = (+ ) ( ) = +, ±x + ( ) = ( ) ± x = ±x (+ ) = ( ) + ( ) = ( ) (+ ) =. Nedefinujeme (+ ) (+ ), (+ ) + ( ), ( ) + (+ ), ( ) ( ). Násobení : x R, x > 0 definujeme Podobně pro x < 0. x (+ ) = (+ ) x = (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = +, x ( ) = ( ) x = (+ ) ( ) = ( ) (+ ) =. Nedefinujeme 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. Dělení : x R definujeme x/(+ ) = x/( ) = 0. Pro x > 0 je + /x = +, /x =, pro x < 0 je + /x =, /x = +. 20

21 Nedefinujeme + /+, + /, td., x/0 pro žádné x R, ni 0/0 nebo ± /0. Mocniny: n N definujeme (+ ) n = +, (+ ) n = 0, ( ) n = ( 1) n (+ ). Nedefinujeme (+ ) 0, ( ) 0, 0 0, 1 +, 1. Poznámk: Z prktických důvodů se někdy píše místo + jen, tkže npř. místo výrzu (+ )+(+ ) lze npst jen +. Jestliže všk prcujeme v komplexním oboru, kde se zvádí jediné komplexní nekonečno oznčovné, musíme dát pozor n jeho odlišení od + z rozšířené reálné osy R. Příkld 1 Vypočtěte = + 5 ( )/3 + ( ) 3 (100 ) 1200!/+. 21

22 Kpitol 2 Číselné posloupnosti 2.1 Pojem posloupnosti Definice Kždé zobrzení N do R nzýváme číselná posloupnost. Zápis: ( n ) n=1 nebo jen ( n ); n se nzývá n-tý člen posloupnosti. Definici číselné posloupnosti lze zložit i n pojmu (reálné) funkce; pk je to funkce definovná n množině N všech přirozených čísel. Způsoby zdání posloupnosti Číselná posloupnost bývá zdán několik prvními členy (tk, by bylo ptrné prvidlo, jk vytvářet dlší členy), n-tým členem nebo rekurentně. Příkld 1 Je dán posloupnost Určete její n-tý člen. Návod: 1 1 4, 3 4 7, , ,... n = 2n 1 (3n 2)(3n + 1) Při zdání n-tým členem zse nopk lze z příslušného vzorce počítt jednotlivé členy posloupnosti. Příkld 2 ( Příkldy číselných posloupností zdných n-tým členem: (( n ) n), ( + (n 1)d). Vypočtěte členy jejich 1, 2, 3, 4. n n+1 ), ( ( 1) n n ), (q n 1 ), Rekurentní zdání obshuje zprvidl 1. člen (nebo několik prvních členů) prvidlo, jk vytvořit dlší člen ze členů předcházejících. Npříkld v sekci 2.5 n strně 27 je ritmetická posloupnost zdán tkto: 1 = n+1 = n + d pro n N. Podobně geometrická posloupnost je definován 1 = n+1 = n q pro n N. Příkld 3 Posloupnost ( n ) je zdán rekurentně tkto: 1 = 1, n+1 = 1 ( n + 10 ) ; 2 n je to posloupnost proximcí čísl 10. Vypočtěte první čtyři proximce. 22

23 Příkld 4 Fiboncciov posloupnost (f n ) je definován tkto: f 1 = 1, f 2 = 1, f n+2 = f n+1 + f n. Vypočtěte prvních 10 členů této posloupnosti. Posloupnost ( n ) je třeb odlišovt od množiny (všech) jejích členů (kdy se užívjí složené závorky). Npř. množin (všech) členů posloupnosti ( ) { 1 n je 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,...}, množin (hodnot) členů posloupnosti (( 1) n ) je { 1, 1}. Definice Posloupnost (b n ) se nzývá vybrná z posloupnosti ( n ) (nebo též podposloupnost), právě když existuje posloupnost přirozených čísel k 1 < k 2 < k 3 <... tk, že n N je b n = kn. Npř. posloupnost všech prvočísel je vybrná z posloupnosti (n) všech čísel přirozených, le není vybrná z posloupnosti (2n 1) všech čísel lichých. 2.2 Zákldní vlstnosti číselných posloupností V této kpitole se dále zbýváme jen číselnými posloupnostmi. Definice Posloupnost se nzývá (shor, zdol) omezená, právě když tuto vlstnost má množin všech jejích členů. Npř. posloupnost (2n 1) je zdol omezená, není omezená shor, není omezená. Posloupnost (( 1) n ) je omezená shor i zdol, je omezená. Stcionární posloupnost (c) je omezená. Definice Posloupnost ( n ) se nzývá rostoucí, právě když n N pltí n < n+1, klesjící, právě když n N pltí n > n+1, nerostoucí, právě když n N pltí n n+1, neklesjící, právě když n N pltí n n+1. Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní pro první dv druhy: posloupnosti ryze monotonní. Definice Operce s posloupnostmi jsou definovány tkto: násobení reálným číslem c: c ( n ) = (c n ); ritmetické operce součet, rozdíl, součin, podíl: ( n ) + (b n ) = ( n + b n ), ( n ) (b n ) = ( n b n ), ( n ) (b n ) = ( n b n ), ( n )/(b n ) = ( n /b n ), (pro b n 0); opčná posloupnost k ( n ) je ( n ); reciproká posloupnost k ( n ) je (1/ n ) (pro n 0). 23

24 2.3 Limit posloupnosti Definice Říkáme, že posloupnost ( n ) má limitu, právě když pro kždé okolí U() existuje n 0 N tk, že pro všechn n N tková, že n n 0, pltí n U(), symbolicky zpsáno U() n 0 N n N: n n 0 n U(). Je-li R, nzývá se vlstní limit posloupnost ( n ) se nzývá konvergentní, pokud = ±, nzývá se nevlstní limit. Neexistuje-li vlstní limit, nzývá se posloupnost ( n ) divergentní. Zápisy: lim n = ; lim n = ; n pro n +. n Posloupnost tedy buď konverguje, nebo diverguje. V tomto druhém přípdě buď diverguje k + nebo k, nebo osciluje (tj. nemá limitu vlstní ni nevlstní). ( Npř. posloupnost n n+1 ) je konvergentní, má limitu 1, stcionární posloupnost (c) je konvergentní má limitu c, posloupnost ( n 100) je divergentní, má nevlstní limitu +, posloupnost (q n ) je pro q 1 divergentní, nemá limitu (osciluje). Definice Je-li V (n) nějká výroková form pltí-li, že výrok: Existuje n 0 N tk, že pro všechn n N z nerovnosti n n 0 plyne V (n), je prvdivý výrok, pk říkáme, že V (n) pltí pro skoro všechn n. Pomocí tohoto vyjádření lze vyslovit definici limity posloupnosti npř. tkto: Říkáme, že posloupnost ( n ) má limitu, právě když v kždém okolí U() leží skoro všechny členy této posloupnosti. Věty o limitách Vět Kždá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkz: (sporem) Kdyby existovly dvě limity, b, pk by existovl disjunktní okolí U(), U(b) tk, že pro skoro všechn n by mělo pltit součsně n U(), n U(b), což je spor. Vět Má-li posloupnost ( n ) limitu, pk kždá posloupnost (b n ) vybrná z posloupnosti ( n ) má tutéž limitu. Důkz: Oznčme tuto limitu ; pk U() n 0 N tk, že n N: n n 0 n U(); pro k n > n 0 je ovšem též b m = kn U(), tkže b m U() pro skoro všechn m. Limit posloupnosti se tedy nezmění, vynecháme-li nebo pozměníme-li libovolný konečný počet členů posloupnosti. Při výpočtu limit využíváme tké tohoto postupu: 1. zjistíme, že dná posloupnost je konvergentní 2. njdeme limitu nějké vhodné vybrné posloupnosti. Pk toto je i limitou dné posloupnosti. Když nopk zjistíme, že nějká vybrná posloupnost je divergentní, znmená to podle předchozí věty, že je divergentní i dná posloupnost. Podobně zjistíme-li, že dvě vybrné posloupnosti mjí různou limitu, je dná posloupnost divergentní. 24

25 Vět Kždá konvergentní posloupnost je omezená. Důkz: Oznčme limitu ; zvolme ε = 1. Pk množin M těch členů posloupnosti, které neleží v okolí U(, 1), je konečná. n N pk pltí min{min M, 1}, mx{mx M, + 1}. Tto vět ovšem nepltí obráceně, neboť npř. posloupnost (( 1) n ) je omezená, le je divergentní. Větší hloubku pohledu do vzthu mezi omezeností konvergencí dává následující vět. Vět (Bolzno-Weierstrssov) Z kždé omezené posloupnosti lze vybrt konvergentní podposloupnost. Důkz: (princip: Bolznov metod půlení intervlů) Nechť ( n ) je omezená posloupnost, tj. K 1, L 1 tk, že n N je n K 1, L 1. Konstrukce vybrné posloupnosti: Z b 1 zvolíme libovolný člen dné posloupnosti ( n ), nechť v ní má index k 1. Intervl K 1, L 1 rozpůlíme oznčíme K 2, L 2 tu část, do níž je zobrzeno nekonečně mnoho členů posloupnosti ( n ). V K 2, L 2 vybereme z b 2 libovolný tkový člen posloupnosti ( n ), který má index k 2 > k 1. Intervl K 2, L 2 rozpůlíme, td. Oznčíme (jediný) společný bod všech intervlů K n, L n (podle věty o vložených intervlech). Pk U() pro skoro všechn n pltí inkluze K n, L n U(), tkže též b n U(), tedy b n. Vět Kždá neklesjící shor omezená posloupnost je konvergentní. Důkz: (princip) Mějme dánu posloupnost ( n ); z omezenosti množiny M = { 1, 2,...} plyne existence vlstního suprem = sup M. Ze druhé vlstnosti suprem plyne, že v libovolném levém okolí U( ) leží lespoň jedno n, tkže vzhledem k monotónnosti ( n ) leží v U( ) skoro všechny členy posloupnosti ( n ). Vět (o limitách součtu, rozdílu, součinu podílu) Nechť lim n =, lim b n = b. Pk pltí, pokud výrzy n prvých strnách mjí v R smysl: ) lim( n + b n ) = + b, lim( n b n ) = b, b) lim( n b n ) = b, c) pro b n 0, b 0 je lim( n /b n ) = /b, d) lim n =. Důkz: ukázk pro součet, kde, b jsou vlstní limity: ε > 0 n 1, n 2 N tk, že: n n 1 n U(, ε/2); n n 2 b n U(b, ε/2). Nechť n 0 = mx{n 1, n 2 } n n 0. Pk pltí ε/2 < n < + ε/2, b ε/2 < b n < b + ε/2. Sečtením obou nerovností dostneme ( n + b n ) U( + b, ε). Příkld 1 Dokžte větu pro součet, kde je vlstní limit b = +. 25

26 Vět (limit nerovnosti) Nechť lim n =, lim b n = b pro nekonečně mnoho n pltí n b n. Pk b. Důkz: (sporem) Kdyby bylo > b, existovl by disjunktní okolí U(), U(b) tk, že x U() y U(b) by pltilo x > y. Pro skoro všechn n je všk n U(), b n U(b), tedy by pltilo n > b n, což dává spor s předpokldem věty. Pro konvergentní posloupnosti ( n ), (b n ) zřejmě pltí, že když pro nekonečně mnoho členů je n b n pro nekonečně mnoho členů je n > b n, pk = b. Vět (vět o třech limitách) Nechť lim n =, lim b n = nechť pro skoro všechn n je n c n b n. Pk lim c n =. Důkz: (princip) Podle definice limity ptří do libovolného okolí U() skoro všechny členy posloupnosti ( n ) tké skoro všechny členy posloupnosti (b n ). Proto do U() ptří tké skoro všechny členy posloupnosti (c n ). Pro nevlstní limity má vět o třech limitách (zvná též vět o třech posloupnostech) speciální tvr. Je-li totiž lim n = +, lze brát z b n posloupnost (+ ), proto z nerovnosti n c n plyne lim c n = +. Podobně lze větu o třech limitách uprvit pro nevlstní limitu. 2.4 Nulové posloupnosti Jsou to posloupnosti, kde lim n = 0. Nulové posloupnosti fkticky nejsou jen zvláštním přípdem konvergentních posloupností, le i nopk, konvergenci bychom mohli definovt užitím nulových posloupností podle věty: Vět n, právě když ( n ) 0. Dále uvedeme některé věty, které mjí vzth k nulovým posloupnostem. Vět Jestliže n, pk n. Obrácená vět k této větě pro 0 nepltí, le pro = 0 no. Vět Jestliže n +, je 1/ n posloupnost nulová. Jestliže jmenovtel zlomku konverguje k nule, je situce složitější: Vět Je-li n N: n > 0, n 0, pk 1/ n +, n < 0, n 0, pk 1/ n, n 0, n 0, pk 1/ n +. Nulových posloupností se s výhodou využívá při výpočtech limit. 26

27 Příkld 1 Vypočtěte následující limity 6n 2 + n lim n + 4n 2 + 5, lim 6 2 2n n 4 n + 2 2n+1 2 n + 15, lim 7n n + n 2 0,25, lim n + n 3 8n 9n Aritmetická posloupnost geometrická posloupnost Někdy se pro uspořádné n-tice používá název konečné posloupnosti, který zčásti nvozuje použití posloupností v prxi. V prxi je mnoho situcí, kdy známe několik prvních členů 1, 2, 3,..., n nějké posloupnosti pomocí této znlosti chceme zjistit, zkonstruovt nebo předpovědět její dlší člen n+1. Může jít o posloupnost peněžních částek, (čsovou) posloupnost údjů o objemu výroby, posloupnost čsových termínů nebo intervlů d. Problémem je, jk určit dlší člen (nebo lespoň jeho přibližnou hodnotu) ze znlosti předchozích. Může jít o nlezení vzorce pro n-tý člen, rekurentního prvidl nebo i o jiný postup. Zvláštní pozornosti si zslouží posloupnost ritmetická posloupnost geometrická, které se v prxi vyskytují poměrně čsto. Aritmetická posloupnost je (definován jko) posloupnost, která je dán svým prvním členem 1, konstntní diferencí d rekurentním prvidlem n N: n+1 = n + d. Pokud nebude řečeno jink, budeme předpokládt, že 1 d jsou reálná čísl. Aritmetickou posloupnost lze všk rovněž definovt jko posloupnost, u níž rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstntní. Z rekurentního prvidl dostneme vzorec pro n-tý člen: n = 1 + (n 1) d. (Dokzuje se jednoduše npř. užitím principu mtemtické indukce). Vidíme, že ritmetická posloupnost má pro d > 0 limitu +, pro d < 0 limitu. Příkld 1 V posledních třech měsících činil celkový objem zkázek přibližně 1 = 325 tis. Kč, 2 = 354 tis. Kč 3 = 383 tis. Kč. Jký objem lze očekávt ve 4. měsíci? Návod: Lze vyslovit hypotézu, že objem zkázek tvoří ritmetickou posloupnost, kde 1 = 325, d = 29 (tis. Kč). Pk 4 = 3 + d = 412 (tis. Kč). Lze očekávt objem zkázek z 412 tis. Kč. (Smozřejmě korektnost vyslovení tkové hypotézy závisí n prktických okolnostech.) Prktický význm může mít i součet s n prvních n členů ritmetické posloupnosti. Vzorec pro s n lze odvodit npř. tkto: Vyjádříme s n dvěm způsoby: s n = 1 + ( 1 + d) + ( 1 + 2d) ( 1 + (n 1)d), s n = n + ( n d) + ( n 2d) ( n (n 1)d) po sečtení máme 2s n = n( 1 + n ), tkže s n = n 2 ( 1 + n ). Příkld 2 N skládce jsou uloženy roury tk, že v dolní vrstvě jich je 26 kždá rour v kždé vyšší vrstvě vždy zpdá mezi dvě roury ve vrstvě nižší; vrstev je celkem 12. Kolik je n skládce rour? Návod: Položíme 1 = 26; pk d = 1. V horní vrstvě je 12 = ( 1) = 15 rour celkem s 12 = 6( ) = 246 rour. 27

28 Geometrická posloupnost je (definován jko) posloupnost, která je dán svým prvním členem 1, konstntním kvocientem q rekurentním prvidlem n N: n+1 = n q. V této definici mohou být 1 q libovolná reálná čísl, v dlším textu všk budeme předpokládt (pokud nebude řečeno jink), že 1 0 q 0. Z těchto předpokldů lze tedy geometrickou posloupnost rovněž definovt jko posloupnost, u níž podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstntní. Z rekurentního prvidl dostneme vzorec pro n-tý člen: n = 1 q n 1. (Dokzuje se jednoduše npř. mtemtickou indukcí). Příkld 3 V prvním měsíci roku činil obrt Kč v kždém dlším měsíci byl o 5 % větší než v měsíci předchozím. Určete předpokládný listopdový obrt. Návod: Jde o geometrickou posloupnost, kde 1 = 300, q = 1,05, n = 11. Pk 11 = 300 1, ,629 = 489 tis. Kč. Viz poznámku z příkldem 1. Je-li 1 > 0, pk geometrická posloupnost ( 1 q n 1 ) má limitu 0 (pro q < 1) nebo 1 (pro q = 1) nebo + (pro q > 1) nebo nemá limitu (pro q 1). Prktický význm může mít opět součet prvních n členů geometrické posloupnosti (tj. n-tý částečný součet geometrické řdy). Vzorec pro s n lze odvodit tkto: Vyjádříme s n q s n : s n = q + 1 q q n 1 q s n = 1 q + 1 q q n q n. Odečtením druhé rovnice od první obdržíme s n (1 q) = 1 (1 q n ), tudíž s n = 1 1 q n 1 q tj. též s n = 1 q n 1 q 1. Příkld 4 Vynálezce šchové hry poždovl podle pověsti odměnu z kždé ze 64 polí šchovnice tkto: z 1. pole jedno obilní zrno, z 2. pole 2 zrn, z 3. pole 4 zrn, td., z kždé dlší vždy dvojnásobek. Kolik zrnek obilí měl dostt? Návod: Jde o geometrickou posloupnost, kde 1 = 1, q = 2, n = 64. Proto s 64 = = , to je více obilí, než se kdy n Zemi urodilo. Aritmeticko-geometrická posloupnost (c n ) je definován jko součin ritmetické posloupnosti ( n ) geometrické posloupnosti (b n ) ve smyslu definice součinu dvou posloupností. 2.6 Některé význmné limity Vět > 0: lim n + n = 1. Důkz: (princip) Pro > 1 položíme n = 1 + u n, tedy u n > 0. Podle Bernoulliovy nerovnosti je = (1 + u n ) n > 1 + nu n, odkud 0 < u n < 1 n podle věty o třech limitách je u n 0. Pro < 1 použijeme předchozí výsledek n číslo 1/, pro = 1 je výsledek zřejmý. Podobně lze užitím vhodných odhdů odvodit následující limity: 28

29 Vět n n = 1. lim n + Vět > 1, k > 0: než mocnin n k.) Příkld 1 log Dokžte, že > 1: lim n n + n n lim n + n k = +. (Říkáme, že exponenciál n roste k + rychleji = 0. Návod: Pro ε > 0 je ε > 1, tkže pro skoro všechn n pltí 1 < n n < ε, odkud po zlogritmování nerovnosti při zákldu plyne uvedené tvrzení. Příkld 2 Vypočtěte lim n + q n, kde q > 0. n! Návod: Pro q 1 je tto limit rovn 0. Pro q > 1 má čittel i jmenovtel limitu +, tkže nelze použít větu o limitě podílu. Uvedený výrz oznčme n ; pk n+1 = q n + 1 n, ( ) proto pro skoro všechn n je posloupnost ( n ) klesjící zdol omezená (nulou), tkže má limitu; oznčme ji. Přejdeme-li v rovnosti ( ) k limitě, máme = 0. Říkáme, že fktoriál roste k + rychleji než exponenciál q n. Příkld 3 Ukžte, že kždé ircionální číslo je limitou neklesjící posloupnosti rcionálních čísel; njděte tyto posloupnosti pro r = π, s = 2. Návod: Lze uvžovt npř. posloupnost dolních desetinných proximcí. Poznámk: Kromě číselných posloupností prcujeme v mtemtické nlýze i s dlšími typy posloupností; uvžují se třeb posloupnosti množin (npř. intervlů), posloupnosti funkcí, td. Definice těchto posloupností vytvoříme podle stejného schémtu. Npř. posloupnost funkcí definujeme jko zobrzení množiny N do množiny všech funkcí. Prcujeme-li s jinými posloupnostmi než s posloupnostmi číselnými, je třeb dbát n korektnost definice posloupnosti, přípdně její limity. 2.7 Číslo e Funkce y = e x funkce y = ln x(= log e x) ptří k nejdůležitějším funkcím v mtemtické nlýze; v obou přípdech je zákldem Eulerovo číslo e. Číslo e je definováno jko limit posloupnosti (( n) n ). Abychom tuto definici mohli povžovt z korektní, je třeb dokázt, že uvedená posloupnost je konvergentní; její členy oznčujme dále n. Důkz existence limity posloupnosti ( n ) lze provést ve dvou krocích: (i) dokážeme, že tto posloupnost je rostoucí, (ii) dokážeme, že je shor omezená. Existence konečné limity pk plyne z věty o limitě monotónní posloupnosti. d (i) Užitím AG nerovnosti pro n čísel ( n) číslo 1 dostneme ( ) n < n ( ) n + 1 n n + 1 n+1 = n + 2 n

30 Umocněním obou strn této nerovnosti číslem n + 1 dostneme n = ( 1 + n) 1 n ( < ) n+1 = n+1, n + 1 což znčí n < n+1, tedy posloupnost ( n ) je rostoucí. d (ii) Ukážeme, že posloupnost s členy b n = ( n) n+1 = n ( n) je klesjící. Jelikož n > 1, dostneme pk n < b n < b 1 = 4. Vskutku, podle AG nerovnosti pro n + 1 čísel 1 číslo ( n) pltí n n < (n + 1) + (1 + 1 n ) n + 2 = (n + 1)2 n(n + 2). Obě strny této nerovnosti umocníme n n + 2, vynásobíme n (n + 2) n+2 vydělíme (n + 1) n+2. Tím získáme s ní ekvivlentní nerovnost ( ) n+2 ( < n+1, n + 1 n) tedy b n+1 < b n, což znčí, že posloupnost (b n ) je klesjící. Závěr: Podle věty o limitě monotónní posloupnosti existuje limit posloupnosti ( n ); nzýváme ji Eulerovo číslo oznčujeme ji e. Z předchozího plyne, že 2 < e < 4. Jiný přístup: d (i) Podle binomické věty je n = ( n) n = 1 + ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n ( ) n 1 k n k ( ) n 1 n n n. První dv členy součtu n prvé strně jsou rovny 1, pro kždý dlší člen provedeme úprvu ( ) n 1 n(n 1)...(n k + 1) = k nk n k 1 ( k! = 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 k 1 ) 1 n n n k!. Pro posloupnost ( n ) tk pltí, že kždý její člen n je součtem n + 1 kldných výrzů, v nichž jsou činitelé tvru ( 1 ( n) j. Jestliže ) nyní přejdeme ( ) od n k n + 1, je n+1 součtem n + 2 výrzů s činiteli tvru 1 j n+1. Jelikož 1 j n+1 > ( 1 n) j nvíc v n+1 je o jeden kldný sčítnec víc, je n+1 > n, posloupnost ( n ) je rostoucí. ( ) d (ii) Ve výrzu pro n nhrdíme všechny závorky 1 j n+1 číslem 1, tkže pltí 30 n < c n = ! + 1 3! n! < < 3. 2n 1

31 Výpočet čísl e Hodnotu čísl e lze vcelku sndno určit jko součet číselné řdy. Vidíme, že pro konstntní k < n pltí ( n > ) ( 1 n 2! ) ( 1 2 ) (... 1 k 1 ) 1 n n n k!. Odtud pro n + máme e c k tkže pltí n < c n e; podle věty o třech limitách pk je lim c n = e. Přitom c n je podle své definice tzv. n-tým částečným součtem řdy n + tkže ( e = lim ) n = n + n 1! + 1 2! = 2, n! Tto řd poměrně rychle konverguje má jednoduchý lgoritmus výpočtu členů, tkže výpočet hodnoty čísl e n zdný počet desetinných míst lze provést vcelku rychle. 31

32 Kpitol 3 Pojem funkce 3.1 Definice funkce Písmeno x nzýváme proměnná n (číselné) množině M, právě když může být ztotožněno s libovolným prvkem množiny M. Pojem funkce nvzuje n pojem binární relce n pojem zobrzení jejichž zákldní znlost zde předpokládáme. Definice Kždé zobrzení f z R do R (tj. zobrzení v R) nzýváme reálná funkce jedné reálné proměnné. Je-li (x, y) f, píšeme y = f(x); x se nzývá nezávisle proměnná, y závisle proměnná; říkáme též, že y je funkcí x. Chceme-li vyjádřit, že y je (ztím nepojmenovnou) funkcí x, zpíšeme y = y(x). Vedle vyjádření funkce f se tolerují též zápisy funkce f(x) (chceme-li zdůrznit oznčení nezávisle proměnné) nebo funkce y = f(x) (chceme-li zdůrznit oznčení obou proměnných). S pojmem funkce jsou spjty dvě význmné množiny: definiční obor funkce: D(f) = {x R; (x, y) f}, funkční obor (obor hodnot): H(f) = {y R; (x, y) f}. Hodnotu proměnné vyjdřujeme číslem nebo symbolem proměnné s indexem. Npř. v bodě x 0 = 2 má funkce y = 3x hodnotu y 0 = 6. Je-li M D(f), je f(m) oznčení pro {f(x); x M}. Je tedy H(f) = f(d(f)). Nopk, je-li B H(f), pk definujeme f 1 (B) jko množinu {x D(f); f(x) B}. Grfem funkce f v krtézských souřdnicích rozumíme množinu všech bodů krtézské soustvy souřdnic Oxy, pro jejichž souřdnice x, y pltí (x, y) f. Grfické znázornění funkce čsto svou názorností pomáhá k pochopení vlstností průběhu funkce; pro některé funkce všk grf nedovedeme sestrojit, npř. pro Dirichletovu funkci (viz dále). Grfy funkcí lze uvžovt tké v polární souřdnicové soustvě, kdy ovšem dostáváme jiné křivky. Npř. grfem přímé úměrnosti y = kx v krtézských souřdnicích je přímk, grfem téže funkce ϱ = kϕ v polárních souřdnicích je Archimedov spirál. Neřekneme-li jink, uvžujeme vždy grf v krtézských souřdnicích. Způsoby definice funkce Funkci f lze vyjádřit tkto: f = {(x, y) D(f) R; V (x, y)}. Zdt (definovt) funkci f tedy znmená udt její definiční obor D(f) jisté prvidlo V (x, y), jehož oborem prvdivosti je f které stnovuje, jk k zdnému x D(f) njít (vypočítt) hodnotu f(x). Podle toho, jk je toto prvidlo formulováno, rozlišujeme tto zdání funkce: ) (Explicitní) rovnicí, npř. f = {(x, y) R R; y = x 2 1}, nebo jednoduše f: y = x

33 U funkce definovné rovnicí, není-li řečeno jink, bereme z D(f) nejširší množinu, pro niž má rovnice smysl. Je-li předepsán jiný definiční obor, musíme jej uvést, npř. f: y = x 1, x N. b) Tbulkou, npř. x y Tké zdání funkce výčtem prvků lze povžovt z zdání tbulkou, jde jen o jinou formu zápisu; npř. f = {( 2; 3), ( 1; 0), (0; 1), (1; 0), (2; 3), (3; 8)}. Tbulkou či výčtem prvků bývjí zdávány funkce, jejichž funkční hodnoty byly získány měřením nebo kde jsou tyto hodnoty důležitější než příslušné prvidlo (npř. dňové tbulky, bodovcí sportovní tbulky). Tbelci funkce všk používáme i u funkcí definovných jink, pokud může tbulk posloužit lépe k přehlednosti nebo jiné prktické potřebě (npř. tbulk cen v závislosti n hmotnosti zboží). c) Grfem (zprvidl krtézským (obr. vlevo)). Dlší druhy grfů šchovnicový, uzlový (obr. vprvo) nebo grf v polární soustvě souřdnic bývjí méně čsté. y x 5 4 Grfem bývjí čsto vyjdřovány ty funkce, jejichž průběh je zpisován v přístrojích grficky n ppírová médi nebo n displeji. d) Po částech; tk je definován npř. Dirichletov funkce { 0 pro x ircionální χ(x) =. 1 pro x rcionální Podobným způsobem je definován funkce signum (znménko) { 1 pro x < 0 sgn x = 0 pro x = 0. 1 pro x > 0 Rovnice y = χ(x) y = sgn x všk již povžujeme z rovnice funkcí. e) Implicitní rovnicí, npř. x 2 + y 2 = 25; tkto se definují implicitní funkce y = y(x), s nimiž je technik práce někdy poněkud odlišná. Zejmén bývá vymezen množin M R R, pro niž má pltit (x, y) M. Npř. u výše uvedené rovnice může být zdáno, že M je polorovin y 0. f) Prmetricky: Prmetrické vyjádření je tvru x = ϕ(t), y = ψ(t), t J, kde ϕ, ψ jsou funkce definovné n množině (intervlu) J, přičemž funkce y = f(x) je definován vzthem f = {(x, y) R R; t J tk, že (x = ϕ(t)) (y = ψ(t))}. 33

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12 Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

KMA/MA2AA. Matematika 2

KMA/MA2AA. Matematika 2 KMA/MA2AA Matematika 2 ZS 2015 Obsah 1 Číselné posloupnosti 4 1.1 Motivační příklady.......................... 4 1.2 Pojem posloupnosti.......................... 6 1.3 Základní vlastnosti číselných posloupností.............

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

f k nazýváme funkční řadou v M.

f k nazýváme funkční řadou v M. 6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více