3.5.1 Shodná zobrazení

Transkript

1 3.5.1 hdná zbrazení Předpklady: O zbrazení jsme mluvili, než jsme zavedli funkce. Jde takvu relaci z první mnžiny d druhé, při které každému prvku z první mnžiny přiřazujeme maximálně jeden prvek z mnžiny druhé (tím je zajištěna jednznačnst, když víme, kde začínáme, je dané, kde sknčíme). Ddatek: Funkce je zbrazení z libvlné mnžiny na pdmnžinu R. Př. 1: Které mnžiny budeme zbrazvat v planimetrii? Zřejmě mnžiny bdů v rvině. Zbrazení Z v rvině je předpis, který každému bdu X rviny přiřazuje právě jeden bd X rviny. Bd X se nazývá vzr, bd X se nazývá braz. Zapisujeme Z : X X. Důležité: Zbrazujeme bdy brazy statních útvarů získáme jak mnžinu brazů jejich bdů. Mnžinu brazů všech bdů útvaru U značíme U a nazýváme ji braz útvaru U. Př. 2: Rzhdni, které z následujících předpisů jsu zbrazení v rvině tabule. Každému bdu rviny tabule přiřadíme vyznačený bd. Každému bdu rviny přiřadíme bd, který leží s půvdním bdem na vdrvné přímce a je d půvdníh bdu vzdálen 20 cm. Každému bdu rviny přiřadíme bd, který leží s půvdním bdem na svislé přímce a leží 30 cm níže. Každému bdu rviny tabule přiřadíme vyznačený bd. Všem bdům přiřazujeme puze jediný bd je splněna pdmínka jednznačnsti jde zbrazení. Každému bdu rviny přiřadíme bd, který leží s půvdním bdem na vdrvné přímce a je d půvdníh bdu vzdálen 20 cm. Ke každému bdu přiřazujeme dva bdy, které s půvdním bdem leží na vdrvné přímce jsu d něj vzdáleny 20 cm (jeden vprav, druhý vlev) není splněna pdmínka jednznačnsti nejde zbrazení. Každému bdu rviny přiřadíme bd, který leží s půvdním bdem na svislé přímce a leží 30 cm níže. Ke každému bdu rviny náleží puze jeden bd, který s ním leží na svislé přímce a je 30 cm níže je splněna pdmínka jednznačnsti a jde zbrazení. Pedaggická pznámka: Ppisy v předchzím příkladu nepužívají standardní terminlgii schválně, její čas ještě přijde. Pr žáky není zcela průhledná, ti slabší by příklad vůbec neřešili. 1

2 tejně jak u funkcí i u zbrazení můžeme rzlišvat další vlastnsti (prsté, inverzní, vzájemně jednznačné). Zbrazení v bdu a v bdu předchzíh příkladu se liší: zbrazení v bdu zbrazuje všechny bdy rviny d stejnéh bdu není prsté není mžné brátit směr zbrazvaní, zbrazení v bdu zbrazuje různé bdy rviny d různých bdů je prsté je mžné brátit směr zbrazvaní existuje k němu zbrazení inverzní (jak inverzní funkce). Př. 3: Ppiš zbrazení k zbrazení: "Každému bdu rviny přiřadíme bd, který leží s půvdním bdem na svislé přímce a leží 30 cm níže.". Každému bdu rviny přiřadíme bd, který leží s půvdním bdem na svislé přímce a leží 30 cm výše. Obraz trjúhelníka ABC může v různých zbrazení vypadat různě. 5 vzr Pr nás budu zajímavé dvě skupiny zbrazení: zbrazení, ve kterých se každý trjúhelník zbrazí na trjúhelník stejnéh tvaru - pdbná zbrazení (pdbnsti), zbrazení, ve kterých se každý trjúhelník zbrazí na shdný trjúhelník - shdná zbrazení (shdnsti). Př. 4: Jaký mnžinvý vztah mezi shdnstmi a pdbnstmi? Najdi mezi zbrazenými trjúhelníky trjúhelníky shdné a trjúhelníky pdbné se vzrem. Předpkládej, že t, c vypadá shdné, je shdné, t, c vypadá pdbné, je pdbné. Každá shdnst je zárveň pdbnstí mnžina shdnstí je pdmnžinu pdbnstí. Trjúhelníky shdné se vzrem: 2,5, 6. Trjúhelníky pdbné se vzrem: 1, 2, 3, 5, 6. Pedaggická pznámka: Někteří žáci se diví, že brazem trjúhelníku může být útvar značený jak 7. Jde braz v kruhvé inverzi, která převádí kružnice na přímky. Př. 5: Nakresli brazy čtverce ABCD ve dvu základních shdnstech, které se prbírají už na základní škle. 2

3 tředvá suměrnst D C Osvá suměrnst C=C D D C D Na bu předchzích brázcích si červeně vyznačíme bdy, které jsu zajímavé tím, že se zbrazily sami na sebe. D C C=C D D C D Takvým bdům říkáme samdružné bdy (druží se samy se sebu). Na pravém brázku je dknce samdružný celý útvar - úsečka BC. D=A C=B A=D B=C Na tmt brázku vidíme dknce dvě samdružné úsečky AD a BC. Obě úsečky se zbrazí samy na sebe (a jsu samdružné), i když má každá z nich puze jeden samdružný bd ( případně BC ). AD Pedaggická pznámka: Následující část hdiny je třeba ukazvat na tabuli pmcí předmětů. Vhdné jsu například chňapky na hrké hrnce (ať už skutečné neb vystřižené z papíru). Žákům radím, ať si přelží papír a vystřihnut si tak dva palčáky najednu, u každéh si nabarví jednu stranu, aby rzeznali levý a pravý. Názrně si můžeme ukázat zbrazení pmcí placatých předmětů. 3

4 Př. 6: Umísti druhu rukavici tak, aby byla zbrazena naznačenu svu suměrnstí. Př. 7: Umísti druhu rukavici tak, aby byla zbrazena naznačenu středvu suměrnstí. Př. 8: Najdi další dvě základní shdná zbrazení. Odpvídají dalším dvěma základním phybům, které můžeme s rukavicí na tabuli prvést. rukavicí můžeme udělat další dva jednduché phyby. Rukavici můžeme psunut libvlným Rukavici můžeme tčit libvlný úhel. směrem. 4

5 hdné zbrazení psunutí. hdné zbrazení tčení. Každé shdné zbrazení je mžné získat slžením svých suměrnstí, středvých suměrnstí, psunutí a tčení. Př. 9: Rzlž následující shdnsti na sled základních shdnstí. hdnst je slžena z tčení a psunutí. hdnst je slžena z své suměrnsti a tčení. Př. 10: Rzděl všech shdnsti na dvě skupiny pdle th, jak si při umísťvání druhéh palčáku pstupval. V jedné skupině jsu zbrazení, která nevyžadvala převrácení palčáku takvým říkáme přímé shdnsti (ze základních shdnstí d tét skupiny patří středvá suměrnst, tčení a psunutí). Ve druhé skupině jsu zbrazení, která vyžadvala převrácení palčáku takvým říkáme nepřímé shdnsti (ze základních shdnstí d tét skupiny patří svá suměrnst). Pr všechny shdnsti platí: brazem přímky je přímka, brazem rvnběžných přímek jsu rvnběžné přímky, brazem plpřímky je plpřímka, brazem pačných plpřímek jsu pačné plpřímky, brazem plrviny je plrvina, brazem pačných plrvin jsu pačné plrviny, brazem úhlu je shdný úhel, brazem útvaru je shdný útvar. 5

6 hrnutí: 6