Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Transkript

1 Univerzita Karlva v Praze Pedaggická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH DŮKAZY 001/00 CIFRIK

2 MŘÚ Důkazy Důkazy matematických vět 1 Aximy Aximy jsu matematické výrky, které jsu pvažvány za pravdivé a nedkazují se. Definice Definice využívá základní pjmy (neb pjmy dříve zavedené) k určení názvu a charakteristických vlastnstí nvéh pjmu. Matematická věta Matematická věta je pravdivý matematický výrk, který je dvzený na základě aximů, definic a dříve dkázaných vět. Důkaz přímý Matematicku větu ve tvaru implikace A B dkážeme pmcí řetězce implikací. Je-li A axim neb platná (dříve dkázaná) věta, pak z platnsti všech implikací A A1, A1 A, K, An B plyne platnst implikace A B, tedy i výrku B. Důkaz nepřímý Při nepřímém důkazu nehradíme větu půvdní ( A B ) větu bměněnu ( B A ), která má stejnu pravdivstní hdntu. Důkaz sprem Důkaz sprem prvádíme ve třech krcích: 1. Prvedeme negaci A půvdníh výrku A.. Vytvříme řetězec implikací A B1, B1 B, K, B n 1 Bn, kde výrk B n neplatí lgický spr. 3. Negvaný výrk A neplatí, platí půvdní výrk A. Důkaz matematicku indukcí Důkaz se pužívá pr věření platnsti tvrzení, která se týkají vlastnstí přirzených čísel. Pstup při dkazvání je rzdělen d dvu krků: 1. Dkážeme, že věta platí pr nejmenší přirzené čísl n 0 z bru prměnné (není-li určen jinak, dkazujeme větu pr n 0 = 1).. Předpkládáme, že věta platí pr libvlné přirzené čísl n0 dkážeme, že platí i pr přirzené čísl k + 1 k > a. Tat část důkazu se nazývá indukční krk. Jestliže tedy věta platí pr první prvek dané mnžiny a pr každý prvek, který následuje za libvlným prvkem tét mnžiny, ptm platí pr každý prvek dané mnžiny přirzených čísel. 1 Janurvá, E. Janura, M.: Matematika, průvdce učivem základní a střední škly. Rubic, Olmuc

3 MŘÚ Důkazy Přímý důkaz I Přímým důkazem na základě rzbru věřte, že platí < Vypracvání: Rzbr: Vyvdíme důsledky z předpkladu, že daný výrk platí < < < 44 0 < 3 10 < < ( 10) (ve všech krcích jsu nezáprná čísla a byla zachvána nervnst) Důkaz na základě rzbru: 0 < 3 41 < < 10 < < < 4 11 ( 10) < < Při bráceném pstupu musíme prvádět úpravy, které vedu d jednduššíh výrazu ke slžitějšímu, čast vytváříme druhé mcniny dvjčlenů a ty dmcňujeme (pkaždé se ujistíme, že základ mcniny je nezáprný). Nalezli jsme vhdný začátek řetězce platný výrk 0 < 3 a sestrjili jsme řetězec implikací, který knčí dkazvaným výrkem. Daný výrk je dkázán přímým důkazem. Anekdta: 3 Přednášku P.Čebyševa ( ) v Paříži matematické terii tvrby šatů navštívili nejen krejčí předních pařížských závdů, ale i zástupci různých Maisns de haute cuture (módních dmů) a vyznavači módních nvinek. Čebyšev začal svji přednášku slvy: Pr jednduchst předpkládejme, že lidské těl má tvar kule. Zbytek přednášky však již prnesl bez tht auditria, nebť škvaná veřejnst bez prdlení dešla. Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 49/c 3 Beran, L. Ondráčkvá, I.: Prvěřte si své matematické nadání. SNTL Praha 1988.

4 MŘÚ Důkazy Přímým důkazem věřte, že platí Přímý důkaz II 4 ct 0 Q cs 40 Q. Vypracvání: Klíčem ke knstrukci ptřebnéh řetězce implikací je knstrukce výrazu pmcí čísla ct 0. Upravme becný vzrec V prvním krku umcníme a pak vyjádřeme cs x ct x 1+ cs x ct =. sin x ( 1+ cs x) x 1+ cs x ct = =, 1 cs x 1 cs x x 1+ cs x ct = 1 cs x x ( 1 cs x) = 1+ cs x x ct 1 = cs x + cs x ct x ct 1 cs x = x ct + 1 Důkazem dané implikace je ptm tent řetězec implikací: ct 0 Q ct ct ct Q x ( ct 0 1 Q) ( ct Q) 1 Q cs Q cs 40 Mtt: 5 G. N. Berman: matematik pracuje jak každý přírdvědec: vytváří dmněnky (hyptézy), prvěřuje je pmcí pzrvání a svérázné matematické zkušensti, hledá analgie atp. Když však získá výsledek uhdnutím neb ze zkušensti, musí jej krektně dkázat. Jinak vždy zůstává bava, že vyslvený výrk může být chybný. 4 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 49/1a 5 Beran, L. Ondráčkvá, I.: Prvěřte si své matematické nadání. SNTL Praha

5 MŘÚ Důkazy Přímým důkazem věřte, že platí Přímý důkaz III 6 cs 36 cs7 = 0,5. Vypracvání: Nebť 1. cs x = cs x sin x = 1 sin x = cs x 1. je cs36 cs = 4 cs7 = cs36 Najděte přímý důkaz věty ( cs 36 1) ( + 5) = = = 16 Přímý důkaz IV 7 x, y R + y : x y + xy x = = 8 16 = 1 Vypracvání: Rzbr: Vyvdíme důsledky z předpkladu, že daný výrk platí. prtže výraz ( x + y) ( x + y)( x xy ) x + y + 3 3, y R : x y + xy x + y xy y, Důkaz na základě rzbru: x + je kladný, můžeme jím vydělit celu nervnst xy x xy + y 0 x xy + y 0 ( x y) x, y R + xy : 0 ( x y) 0 x xy + y 3 3 ( x + y) ( x + y)( x xy + y ) x y + xy x + y xy x xy + y Pdali jsme důkaz dané věty, a t na základě rzbru, který nám ukázal začátek vhdnéh řetězce implikací. 6 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 49/1c 7 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 50/3c 4

6 MŘÚ Důkazy Dkažte, že neexistuje žádné Vypracvání: Důkaz nepřímý I 8, pr které by platil: n N n + 1! + n +! > n! + n + 3. ( ) ( ) ( )! Rzbr: Důkaz neexistence prvedeme tímt způsbem: Dkážeme, že platí M {} = 1. dkážeme větu x U : x M x W, tj. M W. ukážeme, že W = {}, prt i M = {} 9, cž je ekvivalentní s {} M. Řešení: Zkumanu mnžinu M je br pravdivsti dané rvnice v mnžině přirzených čísel N. Pstupnými úpravami tét rvnice z ní dvdíme jinu, jejíž br pravdivsti W umíme určit. n! ( n + 1 )! + ( n + )! > n! + ( n + 3 )! ( n + 1) + n! ( n + 1)( n + ) > n! + n! ( n + 1)( n + )( n + 3) ( n + 1)( 1+ n + ) > 1+ ( n + 1)( n + )( n + 3) ( n + 1)( n + 3) > 1+ ( n + 1)( n + )( n + 3) > ( n + 1)( n + )( n + 3) 0 > n + Prt pr n N : Je-li pak ( n + 1 )! + ( n + )! > n! + ( n + 3 )! 0 > n + K K n M n W Dkázali jsme, že platí M W. Přitm W = {}, prtže p dsazení jakéhkli přirzenéh čísla n není nervnst splněna. Je tedy M {}, ale t znamená, že M = {}. Aplikvali jsme pstup důkazu neexistence, který je jak celek nepřímým důkazem (míst M = {} dkazujeme M {}). Jeh první krk ale zahrnuje zpravidla dst rzsáhlý přímý důkaz, prt se někdy hvří přímém důkazu neexistence. 8 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 63/1a 9 MS Wrd neumí (pdle mne) napsat přeškrtnutu nulu ( ), která je zavedena pr značení prázdné mnžiny, a prt pužívám slžené závrky. 5

7 MŘÚ Důkazy Dkažte, že čísl lg 5 je iracinální. Důkaz sprem I 10 Vypracvání: Jde dekadický lgaritmus pěti; zvlíme důkaz sprem, vyslvíme negaci danéh výrku, tj. výrk lg 5 je racinální čísl. r 5 = s s Jestliželg 5 Q, pak existují r, s N takvá, že lg, pak 5 = 10, dále pak s r 5 = 10. s r s Odvdili jsme výrk r, s N : 5 = 10, který neplatí, prtže čísl 5 knčí r pětku pr každé s N a čísl 10 knčí nulu pr každé r N. Kdyby neplatil výrk lg 5 Q, musel by platit výrk negvaný lg 5 Q. Jak jsme však ukázali není tat pdmínka splněna, tj. dšli jsme ke spru, a tedy platí lg 5 Q. Dkažte, že čísl je iracinální. Důkaz sprem II 11 Vypracvání: Zvlíme důkaz sprem, vyslvíme negaci danéh výrku, tj. výrk je r racinální čísl. Jestliže Q, pak existují r, s N takvá, že =, kde r, s jsu nesudělná čísla. Rvnst upravíme s = r. Z tét rvnice plyne, že r je sudé, prt i r je sudé a dá se vyjádřit ve tvaru r = r1. Dsadíme-li nazpět bude s = r1 a bdbně zjistíme, že s je také sudé. Jsu-li však čísla r, s sudá, pak jsu sudělná, cž dpruje předpkladu, tj. dšli jsme ke spru. Čísl je iracinální r s 10 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 57/ 11 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 57/3 6

8 MŘÚ Důkazy Dkažte, že platí becná věta: n N Důkaz nepřímý II 1 : n není druhu mcninu přirzenéh čísla n Q, Vypracvání: Princip nepříméh důkazu spčívá v dkázání věty bměněné, tj. v našem případě n N : n Q n je druhu mcninu přirzenéh čísla Je-li r n Q, pak platí: n = r, s N s,. Rvnst upravíme: s n = r. Prtže jsu čísla r a s přirzená musí být přirzené i čísl n, prtže byl-li by iracinální, pak sučin s přirzeným číslem ( s ) na levé straně rvnice s n = r bude iracinální, jenže čísl na pravé straně je přirzené (nenastala by rvnst) byl-li by racinální necelé, pak jeh mcnina je též racinální necelá a t je ve spru s předpkladem n N Prtže je čísl n přirzené je n druhu mcninu přirzenéh čísla. Dkázali jsme bměněnu větu a tím i větu půvdní. Dkažte větu: Důkaz nepřímý III 13 n N :10 n Vypracvání: Uplatníme nepřímý důkaz dkážeme bměnu věty, tj. výrk Důkaz 5 n N : 5 n 10 n n n 5 n n + 6. Dkázali jsme, že platí 5 n 10 n + 6 a prt platí i Dkázali jsem bměnu půvdní věty, platí tedy i půvdní věta. n n n. 1 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 57/6 13 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 58/9 7

9 MŘÚ Důkazy Důkaz sprem III 14 Dkažte, že každým bdem A, který neleží v rvině ρ, prchází nejvýš jedna přímka p klmá na rvinu ρ. Nakreslete brázek. Vypracvání: Pdáme důkaz sprem. Vyslvená věta má tut negaci: Existuje aspň jeden bd A, který neleží v rvině ρ a kterým prcházejí aspň dvě přímky p klmé na rvinu ρ. Ilustrační brázek 1 ukazuje dvě přímky p, q, které prcházejí bdem A a jsu klmé na rvinu ρ. (Klmst je všem jen vyjádřena značkami, ve skutečnsti svírají přímky stré úhly mál dlišné d pravých.) brázek 1 Platí-li negace půvdní věty, pak vzniká (tj. existuje) trjúhelník APO, který má dva vnitřní úhly pravé, a tudíž sučet vnitřních úhlů větší než 180 0, cž je spr. Uzavíráme, že negace půvdní věty neplatí, platí tedy půvdní věta. 14 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 58/1. 8

10 MŘÚ Důkazy Přímý důkaz V 15 Dirichletův přihrádkvý princip Dkažte, že v každém čtverci s rzměry 10 cm 10 cm, kde je zakreslen 101 bdů, existuje trjúhelník bsahu 1 cm, který bsahuje aspň dva s daných bdů. Vypracvání: Obsah zadanéh čtverce je 100 cm. Lze d něj tedy vepsat právě st různých trjúhelníků bsahu 1 cm. Kdyby v každém z těcht trjúhelníku ležel právě jen jeden bd, byl by těcht bdů st. V celém čtverci jich je však zakreslen stjedna. Prt alespň jeden z trjúhelníků musí bsahvat alespň dva bdy. Důkaz indukcí I 16 n Dkažte, že n N x R : sin x + cs x 1 n. Vypracvání: I. Ověříme platnst pr n = 1. Platí II. Důkaz: sin x + cs x = 1. Nervnst je splněna. Indukční krk. Předpkládejme, že dkazvaná nervnst platí pr nějaké n = k N, tj. k k platí sin x + cs x 1. Máme dkázat, že za tht předpkladu dkazvaná nervnst platí také pr n = k + 1, tj. platí sin ( + 1) ( k+ 1) k x + cs x 1. ( k+ 1) ( k + 1) k+ k+ k k sin + cs = sin + cs = sin sin + cs cs < ( x x x x x x x x ) < sin = x sin k x + sin x cs k x + sin k x cs k k ( sin x + cs x)( sin x + cs x) 1 1 = 1 x + cs Pznámka: Ostrá nervnst () je zřejmě splněna, nebť jsme k pravé straně nervnsti přičetli k k nezáprný výraz sin x cs x + sin x cs x. x cs Tím jsem dkázali i druhý krk matematické indukce. Dkazvaná věta platí. k x = 15 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 69/7 16 Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 77/11 9

11 MŘÚ Důkazy Důkaz indukcí II 17 Dkažte, že mapy v rvině, které vytvářejí n kružnic, z nichž každá prtíná všechny statní, lze vybarvit dvěma barvami. Vypracvání: Pužijeme důkaz matematicku indukcí. 1. Pr jednu kružnici věta platí, stačí vybarvit vnitřní blast kružnice jinu barvu než je barva rviny.. Předpkládejme, že platí i pr k kružnic. Chceme dkázat, že pkud přikreslíme další kružnici (prtínající všechny kružnice statní), budeme mci vybarvit nvě vzniklé mapy tak, aby žádná nezanikla. Th dsáhneme tím, že při přidání každé nvé kružnice (s barvu jinu než má pzadí (rvina)), prhdíme barvy uvnitř jedntlivých průniků s půvdními kružnicemi. Tím je důkaz matematicku indukcí uknčen a věta platí. Literatura Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Janurvá, E. Janura, M.: Matematika, průvdce učivem základní a střední škly. Rubic, Olmuc Beran, L. Ondráčkvá, I.: Prvěřte si své matematické nadání. SNTL Praha Ovark, O. Calda, E.: Metdy řešení matematických úlh. SPN Praha Strana 77/8 10

12 MŘÚ Důkazy OBSAH Důkazy matematických vět... 1 Přímý důkaz I... Přímý důkaz II... 3 Přímý důkaz III... 4 Přímý důkaz IV... 4 Důkaz nepřímý I... 5 Důkaz sprem I... 6 Důkaz sprem II... 6 Důkaz nepřímý II... 7 Důkaz nepřímý III... 7 Důkaz sprem III... 8 Přímý důkaz V Dirichletův přihrádkvý princip... 9 Důkaz indukcí I... 9 Důkaz indukcí II...10 Literatura OBSAH