Elektromagnetick indukce

Transkript

1 31 lektromgnetick indukce Kdyû v polovinï pdes t ch let zël rock, vymïnili z hy kytristè svè kustickè n stroje z elektrickè. Jimi Hendrix jko prvnì z nich pojl elektrickou kytru jko elektronick n stroj. Z il n scènï öedes t ch let technikou rozezvuëov nì n stroje, polohou kytry u mikrofonu udrûovl zpïtnou vzu, y ji pk ve vrcholu ztlumil. Jeho myölenky ovlivúujì rock dodnes. Co le vlstnï ntolik odliöuje elektrickou kytru od kustickè, ûe Hendrix mohl tk vynlèzvï uûìvt tento elektronick n stroj?

2 31.3 FAADAYŮV ZÁKON LKTOMAGNTCKÉ NDUKC DVĚ SYMTCKÉ STUAC Pustíme-li proud do vodivé smyčky v mgnetickém poli, ude n ni mgnetické pole půsoit momentem síly, přičemž pltí: proudová smyčk + mgnetické pole moment síly; (31.1) to jsme zjistili včl A co když nopk vypneme proud udeme otáčet smyčkou ručně: orátí se šipk ve vzthu (31.1)? Ojeví se nyní ve smyčce proud? Odpově je kldná: moment síly + mgnetické pole elektrický proud. (31.2) Souvislosti vyjádřené vzthy (31.1) (31.2) jsou symetrické. Fyzikální zákon vyjdřující proces (31.2) se nzývá Frdyův zákon elektromgnetické indukce. Ztímco podle procesu (31.1) prcuje elektrický motor, je proces (31.2) zákldem činnosti elektrického generátoru. Frdyovým zákonem jeho důsledky se udeme zývt v následující kpitole DVA POKUSY Zkoumejme dv jednoduché pokusy jko příprvu k výkldu Frdyov zákon elektromgnetické indukce. První pokus. Or ukzuje vodivou smyčku připojenou k citlivému měřidlu elektrického proudu. Ovodem neteče žádný proud, protože vněm není zpojen 1. Vznik proudu je vázán n reltivní pohy mezi smyčkou mgnetem (jedno se musí pohyovt vůči druhému); proud znikne, ustne-li reltivní pohy. 2. ychlejší pohy způsoí větší proud. 3. Způsouje-li pohy severního pólu mgnetu směrem ke smyčce proud vjednom směru, potom pohy od smyčky způsouje proud ve směru opčném. Pohy jižního pólu mgnetu též vytváří proud, to vždy ve směrech opčných, než tomu ylo u pohyu pólu severního. Proud vytvořený ve smyčce tímto způsoem se nzývá indukovný proud, práce připdjící n jednotkový náoj při vytváření tohoto proudu se nzývá indukovné emn tento proces vytvoření proudu se nzývá elektromgnetická indukce. Druhý pokus. K tomuto pokusu použijeme prturu znázorněnou n or Skládá se ze dvou smyček, které jsou lízko see, le nedotýkjí se. Zpneme-li spínčem S proud ve smyčce n prvé strně, pk měřidlo n levé strně náhle krátce zznmená proud indukovný proud. Vypneme-li spínčem proud, měřidlo vlevé smyčce opět n krátký čs zznmená proud, tentokrát voráceném směru. ndukovný proud ( tedy tké emn) opět vzniká pouze tehdy, když se proud vprvé části mění (u při zpnutí, neo vypnutí), nikoliv le v přípdech, kdy je proud udící mgnetické pole stálý, i kdyy doshovl jkkoli vysokých hodnot. S + J Or Měřidlo proudu (mpérmetr) ukzuje proud ve smyčce, dokud se mgnet vůči smyčce pohyuje. terie ni jiný zdroj elektromotorického npětí. Pokud se všk přiližujeme tyčovým mgnetem ke smyčce, v ovodu se proud ojeví. Proud znikne, když se mgnet zství. Vzdlujeme-li se mgnetem od smyčky, proud opět ovodem protéká, le tentokrát v opčném směru. Ve smyčce vzniká proud tké tehdy, pohyujeme-li smyčkou vzhledem k mgnetu. Po chvíli experimentování můžeme učinit tyto závěry: S Or Měřidlo proudu ukzuje proud vlevé smyčce jednk po zpnutí proudu spínčem vprvé smyčce, jednk po následném vypnutí proudu. Smyčky se nepohyují. ndukovné emn indukovný proud v těchto pokusech zřejmě vznikjí tehdy, když se něco mění. Co le je ono něco? Frdy to poznl jko první FAADAYŮV ZÁKON LKTOMAGNTCKÉ NDUKC Frdy přišel n to, že emn proud mohou ýt ve smyčce indukovány (tk jko tomu ylo v nšich dvou pokusech) měnícím se mgnetickým polem procházejícím smyčkou. Dále přišel n to, že mgnetické pole lze znázornit pomocí

3 800 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC mgnetických indukčních čr procházejících smyčkou. Frdyůvzákon elektromgnetické indukce, vyjádřený n zákldě nšich pokusů, zní: Ve smyčce znázorněné n or se indukuje emn, když se mění počet indukčních čr procházejících plochou smyčky. Velmi důležité je, že nezáleží n počtu indukčních čr procházejících plochou* smyčky; velikost emn indukovného proudu závisí n rychlosti změny tohoto počtu. V nšem prvním pokusu (or. 31.1) vycházejí indukční čáry ze severního pólu mgnetu. Když tedy přiližujeme severní pól ke smyčce, roste počet indukčních čr procházejících smyčkou. Tímto nárůstem se zjevně vyvolá pohy vodivostních elektronů ve smyčce (indukovný proud) poskytuje se energie (indukovné emn) k jejich pohyu. Zství-li se mgnet, nemění se počet indukčních čr procházejících smyčkou indukovný proud i indukovné npětí zniknou. Pokud je vnšem druhém pokusu (or. 31.2) spínč vypnut, pk neteče elektrický proud, není žádné mgnetické pole tedy ni žádné indukční čáry. Když všk zpojíme elektrický proud do prvé smyčky, vytvoří vzrůstjící elektrický proud kolem ní, tedy i vokolí levé smyčky, rostoucí mgnetické pole. Tk jko vprvním pokusu i zde pole nrůstá, tedy indukčních čr přiývá v levé smyčce se indukuje emn, které v ní vyvolá proud. Dosáhne-li proud vprvé smyčce ustálené hodnoty, přestne se již měnit počet indukčních čr procházejících plochou levé smyčky indukovné emn i indukovný proud v ní vymizí. Kvntittivní pojednání Aychom mohli Frdyov zákon užívt k výpočtům,potřeujeme stnovit vhodnou míru mgnetického pole procházejícího smyčkou. V čl jsme vpodoné situci ke stnovení míry elektrického pole procházejícího plochou definovli tok elektrické intenzity Φ = S ds. Nyní definujeme mgnetický tok. Uvžujme orientovnou smyčku C ohrničující plochu S, vloženou do mgnetického pole. Mgnetický indukční tok smyčkou pk je: Φ = S ds (mgnetický tok plochou S ). (31.3) Tk jko vkp. 24 znčí ds vektor o velikosti ds, který je kolmý k plošce; jeho směr je svázán s orientcí smyčky prvidlem prvé ruky. (Ohneme-li prsty prvé ruky ve směru * Připomeňme, že podoně jko včl lze použít plochu liovolného tvru, má-li z svou hrnici uvžovnou smyčku. orientovné křivky, která oepíná plošku ds jejíž orientce je vsouldu s orientcí celé smyčky C, pk vztyčený plec ukzuje směr ds.) Jko zvláštní přípd uvžujme smyčku ležící v rovině kolmé k homogennímu mgnetickému poli. Orientujeme-li ds souhlsně s, je sklární součin vrov. (31.3) roven ds cos 0 = ds. Protože mgnetické pole je homogenní, lze vytknout před integrál. ntegrál ds potom udává osh S rovinné plochy ohrničené smyčkou. ov. (31.3) se tk redukuje n vzth Φ = S ( S, pole je homogenní). (31.4) Z rov. (31.3) i (31.4) vidíme, že jednotkou mgnetického indukčního toku je T m 2. Nzýváme ji weer (W): 1 weer = 1W= 1T m 2. (31.5) Použitím mgnetického indukčního toku můžeme vyslovit Frdyůvzákon tkto: Velikost emn indukovného ve vodivé smyčce je rovn rychlosti změny mgnetického indukčního toku procházejícího touto smyčkou. Mtemtický zápis tohoto zákon je = dφ (Frdyůvindukční zákon). (31.6) Zdůrzněme, že rov. (31.6) vyjdřuje indukovné emn nejen pro uvedené dv pokusy, le pro všechny procesy při nichž dochází ke vzniku emn. V příštím odstvci nvíc uvidíme, že indukovné emn rání změně mgnetického indukčního toku, což vyjdřujeme znménkem minus v rov. (31.6). (Zjímáme-li se jen o velikost indukovného emn, není záporné znménko podsttné.) Jestliže měníme mgnetický indukční tok procházející cívkou o N závitech, pk indukovné emn vzniká v kždém závitu celkové emn indukovné v cívce je součtem těchto jednotlivých indukovných npětí. Je-li cívk vinut těsně (hustě vinutá), je tok kždým z N závitů týž, tkže celkový tok je NΦ indukovné emn n celém vinutí je = N dφ (cívk o N závitech). (31.7) Mgnetický indukční tok cívkou můžeme měnit různě: 1. Měníme velikost mgnetického pole vcívce. 2. Měníme osh průřezu cívky,resp.té části plochy,která leží vmgnetickém poli ( už npř. rozpínáním cívky neo vysouváním cívky z mgnetického pole). 3. Měníme úhel mezi směrem mgnetického pole plochou cívky (npříkld otáčením cívky) tk, y se měnil počet indukčních čr procházejících plochou cívky.

4 31.4 LNZŮV ZÁKON 801 PŘÍKLAD 31.1 Dlouhý solenoid S n or má 220 závitů n 1 cm teče jím proud = 1,5A; jeho průměr je D = 3,2cm. V jeho středu umístíme hustě vinutou cívku C o 130 závitech průměru d = 2,1 cm. Proud solenoidem poklesne rovnoměrně n nulu z 25 ms. Jké emn se tím indukuje vcívce C? ŘŠNÍ: Cívk C je umístěn v mgnetickém poli vytvořeném proudem v solenoidu S. Klesá-li proud, klesá i. Tím klesá i mgnetický indukční tok cívkou. ěhem tohoto poklesu se v cívce indukuje emn podle Frdyov zákon. Aychom určili velikost emn, zjistíme nejdříve počáteční velikost mgnetické indukce i pole vsolenoidu doszením zdných hodnot do rov. (30.25) i = µ 0 n = = (4Ô 10 7 T m A 1 ) (1,5A)(220 cm 1 )(100 cm/m) = = 4, T. Osh plochy závitu cívky C je 1 4 Ôd2 = 3, m 2.Mgnetické pole solenoidu je kolmé k této ploše předpokládáme, že je n této ploše homogenní. Můžeme tedy njít počáteční mgnetický indukční tok Φ,i kždým závitem cívky C doszením do rov. (31.4): Φ,i = i S = (4, T)(3, m 2 ) = = 1, W = 14,4 ÑW. Koncové mgnetické pole f mgnetický indukční tok Φ,f jsou nulové. Změn mgnetického indukčního toku v kždém závitu cívky C yl Φ = 14,4 ÑW. Protože se proud vsolenoidu, tím i mgnetický indukční tok, zmenšovly rovnoměrně, můžeme zpst Frdyův zákon (31.7) ve tvru = N Φ, t kde N je počet závitů cívky. (V rov. (31.7) neuvžujeme znménko minus, protože hledáme pouze velikost ). Doszením dostáváme = (130) (14, W) ( s) = 7, V = 75 mv. (Odpově ) Or Příkld Cívk C je umístěn uvnitř solenoidu S, kterým teče proud. C = S os KONTOLA 1: Grf udává velikost (t) homogenního mgnetického pole procházejícího kolmo k rovině smyčky. Uspořádejte pět úseků grfu vzestupně podle velikosti emn indukovného ve smyčce. (t) c d e 31.4 LNZŮV ZÁKON Krátce poté, co Frdy ojevil formulovl zákon elektromgnetické indukce, vyslovil mil Lenz prvidlo nyní většinou nzývné Lenzův zákon k určování směru indukovného proudu ve smyčce: ndukovný proud má tkový směr, že mgnetické pole tímto proudem vzuzené půsoí proti změně mgnetického pole, která proud indukovl. Aychom získli dorou předstvu o použití Lenzov zákon, užijeme ho dvěm různými přitom rovnocennými způsoy vsituci n or. 31.4, kdy se severní pól mgnetu přiližuje k vodivé smyčce. J µ S S J Or Použití Lenzov zákon. Pohyujeme-li mgnetem ke smyčce, indukuje se ve smyčce proud proti směru otáčení hodinových ručiček; tento proud vytváří vlstní mgnetické pole s mgnetickým dipólovým momentem µ tkovým, že rání přiližování mgnetu. 1. Půsoení proti pohyu pólu. Přiližujeme-li severní pól mgnetu ke smyčce (or. 31.4), roste mgnetické pole vploše smyčky tím se ve smyčce indukuje proud. Z or víme, že smyčce protékné proudem odpovídá mgnetický dipól s jižním severním pólem že mgnetický dipólový moment µ směřuje od jihu k severu. Ay yl mgnet podle Lenzov zákon odpuzován (or. 31.4), tk se půsoilo proti nrůstání mgnetického pole způsoeného přiližujícím se mgnetem, musí severní t

5 802 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC pól smyčky ( tedy i µ) směřovt k přiližujícímu se severnímu pólu mgnetu. Podle prvidl prvé ruky pro µ (or ) proud indukovný ve smyčce teče ve směru vyznčeném n or Táhneme-li nopk mgnet od smyčky, indukuje se znovu ve smyčce proud. Nyní všk ude jižní pól smyčky přivrácen vzdlujícímu se severnímu pólu mgnetu, tkže rání vzdlování. Proud tedy ude indukován v opčném směru než n or Půsoení proti změně mgnetického indukčního toku. Podle or neprochází smyčkou prkticky žádný mgnetický indukční tok, pokud je mgnet dleko. Když se severní pól mgnetu líží ke smyčce, je jeho mgnetické pole nmířeno dolev tok smyčkou roste. Ay se ránilo růstu mgnetického toku, musí indukovný proud vytvořit vlstní pole uvnitř smyčky nmířené doprv, jk ukzuje or. 31.5; potom tok pole zesluje rostoucí tok pole. Podle prvidl prvé ruky z or musí proud téci vsituci n or proti směru oěhu hodinových ručiček. proti. Táhneme-li npříkld mgnet od smyčky, míří stále dolev, le jeho tok Φ se nyní zmenšuje. Tok pole tedy musí ránit poklesu Φ, proto vektory udou nyní mít stejný směr (or. 31.5). Or. 31.5c, d ukzují situce, vnichž se jižní pól mgnetu přiližuje neo vzdluje smyčce. lektrické kytry Or ukzuje FenderůvStrtocster, typ elektrické kytry, užívné Jimi Hendrixem mnohými dlšími hudeníky. Ztímco klsická kytr vytváří svůj zvuk v duté části nástroje kustickou rezonncí kmitů strun, nemá elektrická kytr dutou část, která y rezonovl. Místo toho jsou kmity kovových strun snímány elektrickými snímči, které převádějí mechnický podnět n elektrický signál, ten se dále zesiluje konečně převádí n zvuk v soustvě reproduktorů. vzrůstjící klesjící Or FenderůvStrtocster má tři skupiny po šesti elektrických snímčích (vširoké části nástroje). Přepínč snímčů umožňuje hudeníkovi volit, která skupin snímčů ude vysílt signály do zesilovčů reproduktorové soustvy. () vzrůstjící (c) (d) Or Proud indukovný ve smyčce má tkový směr, že mgnetické pole tohoto proudu rání změně mgnetického pole indukujícího. Pole je nmířeno proti vzrůstjícímu poli vor. (), (c), le má stejný směr jko klesjící vor. (), (d). () klesjící Doře si všimněme, že tok pole vždy rání změně toku pole, to le nemusí znment, že je nmířeno Zákldní konstrukce snímče je ptrná z or Je tvořen cívkou nvinutou n mlý permnentní mgnet, jehož mgnetické pole indukuje severní jižní pól v části kovové struny, která je právě nd mgnetem. Tto část má potom svoje vlstní mgnetické pole. rnkneme-li n strunu, zčne strun kmitt, její pohy vůči cívce mění indukční mgnetický tok cívkou tím se v cívce indukuje proud. Strun příčně kmitá k cívce od ní, indukovný proud mění směr se stejnou frekvencí jko kmity struny přenáší tyto kmity do zesilovče reproduktoru. kovová kytrová strun S J S mgnet cívk k zesilovči J Or oční pohled n elektrický kytrový snímč. ozkmitáme-li kovovou strunu (která půsoí jko mgnet), indukují změny mgnetického indukčního toku vcívce proud.

6 31.4 LNZŮV ZÁKON 803 N Strtocsteru jsou tři skupiny snímčů, umístěných lízko uchycení strun n široké části korpusu. Skupin nejlíže koylce lépe zchycuje kmity s vyššími frekvencemi, skupin nejdále od koylky zchycuje lépe frekvence nižší. Přepínčem n kytře může hudeník volit, které skupiny snímčů udou vysílt signály do zesilovče reproduktorů. Dlších efektů docilovl někdy Hendrix převinutím snímčů své kytry n jiný počet závitů. Měnil tk velikost emn indukovného v cívkách tím i jejich citlivost. ez tohoto dodtečného záshu všk nízí elektrická kytr mnohem větší možnosti ovládání vytvářeného hudeního zvuku než kytr klsická. KONTOLA 2: Orázek ukzuje tři situce, vnichž jsou stejné kruhové vodivé smyčky v homogenních mgnetických polích, která rostou neo klesjí stejně rychle. Přerušovná čár, vymezující hrnici změn pole, prochází vždy středem kruhu. Seř te situce sestupně podle velikosti proudu indukovného ve smyčce. roste roste () roste klesá () klesá roste PŘÍKLAD 31.2 Or ukzuje vodivou smyčku, kterou tvoří půlkružnice o poloměru r = 0,20 m tři přímé úseky. Půlkruh je vhomogenním mgnetickém poli vystupujícím kolmo ze stránky knám; = 4,0t 2 + 2,0t + 3,0 vjednotkách S. Do smyčky je zpojen ideální terie o emn t = 2,0V.Smyčkmá odpor 2,0. r (c) ŘŠNÍ: Podle rov. (31.6) je velikost ind rovn rychlosti dφ /, s níž se mění mgnetický indukční tok smyčkou. Protože je pole homogenní kolmé k rovině smyčky, je jeho tok dán rov. (31.4), tj. Φ = S. Použijeme-li tuto rovnici uvědomíme-li si, že se mění v čse jen velikost pole (nikolivosh plochy S), můžeme přepst rov. (31.6) do tvru ind = dφ = d(s) = S d. Protože mgnetický indukční tok prochází smyčkou jen uvnitř půlkruhu, je S = 1 2 Ôr2. Doszením výrzů pro S pro dostneme ind = S d V čse t = 10 s pltí = Ôr2 2 = Ôr2 (8,0t + 2,0) (vs). 2 d (4,0t2 + 2,0t + 3,0) = ind = Ô(0,20)2 (8, ,0) V = 2 = 5,152 V =. 5,2V. (Odpově ) N or vystupuje mgnetická indukce ze stránky k nám nrůstá. Podle Lenzov zákon tedy indukovné pole (způsoené indukovným proudem ) směřujeod nás. Užitím prvidl prvé ruky (or. 30.7c) zjistíme, že indukovný proud teče smyčkou ve směru otáčení hodinových ručiček, tkže orientce ind je táž. () Jký proud teče smyčkou včse t = 10 s? ŘŠNÍ: Ztímco indukovné emn o velikosti ind vyvolá proud smyčkou ve směru otáčení hodinových ručiček, má emn terie t tendenci hnát proud směrem opčným. Protože ind > t, je výsledné emn výs orientováno ve směru otáčení hodinových ručiček stejným směrem teče i proud. Jeho velikost v čse t = 10 s určíme pomocí rov. (28.2) ( = /): výs = = ind t (5,152 V) (2,0V) = = (2,0 ) = 1,58 A =. 1,6A. (Odpově ) + r/2 t Or Příkld Do smyčky vložené do homogenního mgnetického pole je zpojen terie. Pole vystupuje kolmo ze stránky k nám jeho velikost se s čsem mění. () Jká je velikost orientce emn ind indukovného ve smyčce včse t = 10 s? PŘÍKLAD 31.3 Or ukzuje prvoúhlou vodivou smyčku v nehomogenním čsově proměnném mgnetickém poli (x, t) vstupujícím kolmo do stránky od nás. Velikost pole je dán vzthem = 4t 2 x 2, kde, t, x jsou vjednotkách S. Smyčk má šířku d = 3,0 m výšku h = 2,0 m. Jká je velikost směr emn indukovného podél smyčky v čse t = 0,10 s?

7 804 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC ŘŠNÍ: Velikost indukovného emn plyne z Frdyov zákon: = dφ /. K výpočtu potřeujeme znát tok Φ smyčkou jko funkci čsu. Protože není homogenní n ploše ohrničené smyčkou, nemůžeme užít rov. (31.4) (Φ = = S), le musíme užít rov. (31.3) (Φ = ds). N or je vektor kolmý k rovině smyčky ( tedy rovnoěžné s vektorem plošného elementu ds). Vektor ds orientujeme souhlsně s vektorem. Potom sklární součin vrov. (31.3) je roven ds. Protože se mgnetické pole mění podél souřdnice x nikolivpodél souřdnice y, můžeme jko element plochy vzít plochu svislého proužku výšky h šířkydx (jk ukzuje or. 31.9). Potom ds = h dx tok smyčkou je d Φ = ds = ds = hdx = = d 0 0 4t 2 x 2 h dx (vs). Při této integrci ereme t jko konstntu. Po doszení integrčních mezí dostáváme 3,0 [ x Φ = 4t 2 h x 2 dx = 4t 2 3 ] 3,0 h = (72t 2 ), 3 kde Φ je ve weerech. Nyní můžeme užít Frdyův zákon ke zjištění velikosti vzávislosti n čse = dφ = d(72t2 ) 0 0 = (144t), kde je ve voltech. Pro t = 0,10 s je tedy 31.5 NDUKC A PŘNOSY NG A pohyujeme mgnetem n or ke smyčce neo od ní, rání podle Lenzov zákon tomuto pohyu síl, při jejímž přemáhání konáme práci. Součsně vmteriálu smyčky, kterou protéká indukovný proud, vzniká Joulovo teplo, protože mteriál smyčky má určitý elektrický odpor. nergie, kterou do uzvřené soustvy smyčk + mgnet zvnějšku dodáváme prcí konnou nší silou, je ve smyčce disipován. (Proztím znedáme energii, která se v průěhu procesu vyzáří jko elektromgnetické vlny.) Čím rychleji pohyujeme mgnetem, tím větší je výkon nší (vnější) síly tím rychleji se ve smyčce vyvíjí Joulovo teplo. K uvedené přeměně energie dochází ez ohledu n to, jk je proud ve smyčce indukován. Když npř. v or sepneme spínč S krátce se vlevé smyčce indukuje proud, přenese se energie z terie do levé smyčky, kde je v mteriálu smyčky (pokud není suprvodivý) disipován. Or ukzuje jinou situci, při níž vzniká indukovný proud. Odélníková drátěná smyčk šířky L má jednu strnu vhomogenním mgnetickém poli kolmém k rovině smyčky. (Toto pole můžeme vytvořit npř. velkým elektromgnetem s vhodnými pólovými nástvci.) Smyčku vythujeme stálou rychlostí v z mgnetického pole ven. Všimněme si rozdílu mezi situcí n or N or se mgnetický indukční tok mění proto, že se mění pole, ztímco n or se mění ploch smyčky zůstávjící v mgnetickém poli, které je neproměnné. = (144 V s 1 )(0,10 s). = 14 V. (Odpově ) x Mgnetická indukce (or. 31.9) vstupuje kolmo do stránky její velikost roste s čsem. F 2 y ds F 1 L h dx d Or Příkld Uzvřená vodivá smyčk o šířce d výšceh leží v nehomogenním, čsově proměnném poli vstupujícím do stránky. Pro výpočet toku Φ plochu rozdělíme n svislé proužky o výšce h,šířcedx plošeds. Podle Lenzov zákon vystupuje pole indukovného proudu, které rání tomuto vzrůstu, ze stránky. Proto je proud ve smyčce indukován proti směru otáčení hodinových ručiček stejně je tomu s indukovným emn. x F 3 Or Uzvřenou vodivou smyčku vythujeme konstntní rychlostí v z mgnetického pole. ěhem pohyu se ve smyčce indukuje proud ve směru otáčení hodinových ručiček n části smyčky vmgnetickém poli půsoí síly F 1, F 2 F 3.Hrnice mgnetického pole je vyznčen čárkovně; rozptyl pole n hrnici znedáme. Vypočítejme nyní výkon potřený pro vythování smyčky (vníž protéká indukovný proud). v

8 31.5 NDUKC A PŘNOSY NG 805 Ukážeme, že pokud chceme táhnout smyčku stálou rychlostí v, musíme n ni půsoit stálou silou F. Tmá stejnou velikost jko síl,kterou přemáháme,le má opčný směr. Podle rov. (7.49) je potom výkon roven P = Fv, (31.8) kde F je velikost nší síly. Chceme njít výkon P jko funkci velikosti mgnetické indukce chrkteristik smyčky, tedy jejího elektrického odporu šířkyl. Pohyujeme-li smyčkou n or doprv, zmenšuje se osh S plochy smyčky vnořené do mgnetického pole. Tím se zmenšuje i mgnetický tok smyčkou podle Frdyov zákon vzniká ve smyčce proud. Právě přítomnost tohoto proudu způsouje sílu (Ampérovu sílu), kterou musíme svým them přemáht. Proud určíme z Frdyov indukčního zákon (31.6). Je-li x délk části smyčky vmgnetickém poli, je Lx ploch této části. Potom podle rov. (31.4) je mgnetický indukční tok smyčkou Φ = S = Lx. (31.9) Zmenšuje-li se x, zmenšuje se tok. Podle Frdyov zákon se při tomto zmenšování toku indukuje ve smyčce emn. Dosdíme-li z rov. (31.9) do (31.6), dostneme = dφ = d (Lx) = Ldx = Lv, (31.10) kde velikost v rychlosti, s níž vythujeme smyčku z mgnetického pole, je rovn dx/, protožex(t) se s čsem zmenšuje. Or ukzuje ovod, jímž indukovný proud teče: emn je znázorněno n levé strně, celkový odpor smyčky je znázorněn n strně prvé. Směr indukovného proudu plyne z Lenzov zákon; mgnetické pole jím vytvořené rání poklesu mgnetického toku. indukovné emn nemůžeme definovt potenciál, jk uvidíme v čl Můžeme všk užít vzthu = /, jko jsme to udělli vpř Pomocí rov. (31.10) dostáváme = Lv. (31.11) Tři části proudem protékné smyčky leží vmgnetickém poli. N kždou z nich půsoí síl podle rov. (29.26): F = L. (31.12) Tyto síly jsou vor znčeny F 1, F 2 F 3. Všimněte si, že díky symetrii jsou síly F 2 F 3 soě rovny co do velikosti vzájemně se ruší. Zůstává pouze síl F 1 nmířená proti síle F, tj. proti síle, kterou táhneme smyčku. Posunujeme-li smyčku ez zrychlení, musí pltit F = F 1. Použijeme-li rov. (31.12) uvážíme-li, že úhel mezi vektorem L délky L levé strny odélník je 90, můžeme psát F = F 1 = Lsin 90 = L. (31.13) Doszením rov. (31.11) do (31.13) dostneme F = 2 L 2 v. (31.14) Hodnoty, L i jsou konstntní. Protože velikost v rychlosti pohyu smyčky je tké konstntní, musíme smyčku táhnout silou stálé velikosti F, to jsme chtěli dokázt. Doszením rov. (31.14) do rov. (31.8) dostneme výkon potřený pro vythování smyčky z mgnetického pole: P = vf = 2 L 2 v 2 (výkon). (31.15) K dokončení nší úvhy určíme, s jkým výkonem se ve smyčce vyvíjí Joulovo teplo, když ji vythujeme stálou rychlostí. To vypočteme z rov. (27.22), P = 2. (31.16) Doszením z z rov. (31.11) dostáváme Or Schém ovodu n or pro přípd pohyující se smyčky. Velikost indukovného proudu nemůžeme njít pomocí Kirchhoffov zákon pro npětí podél smyčky, protože pro ( ) Lv 2 P = = 2 L 2 v 2 (tepelný výkon), (31.17) což je přesně rovno výkonu vnější síly při vythování smyčky podle rov. (31.15). Práce vynložená při vythování smyčky se tedy projeví nárůstem vnitřní energie smyčky tím i zvýšením její teploty.

9 806 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC ho ovykle schemticky tk, jko kdyy sledovl jedinou dráhu, npř. n or Tk jko v přípdě vodivé smyčky n or vede indukování proudu v desce k přeměně mechnické energie venergii chotického pohyu tomů desky. Tto disipce energie je ptrnější v uspořádání n or : vodivá desk, otáčivá kolem vodorovné osy jko kyvdlo, prochází mgnetickým polem. Vždy ěhem vstupu do pole výstupu z něj se část mechnické energie kyvdl disipuje. Po několik kmitech mechnická energie klesne n nulu, desk se přestne kývt zství se v dolní rovnovážné poloze. Při vření n indukčních kmnech je cívk, umístěná přímo pod vrnou plochou, npájen vysokofrekvenčním střídvým proudem. Mgnetické pole vytvořené tímto proudem se periodicky mění indukuje proud ve vodivé pánvi. Protože má mteriál pánve nenulový odpor, vyvíjí se v ní teplo tím dochází k ohřevu jídl, které se n ní připrvuje. Sm vrná ploch se přitom nezhřívá. Vířivé proudy Předstvme si, že nhrdíme vodivou smyčku n or tuhou vodivou deskou. Vythujeme-li desku z mgnetického pole tk, jko jsme vythovli smyčku (or ), () vířivý proud (schemticky) Or () Vythujeme-li pevnou vodivou desku z mgnetického pole, indukují se vní vířivé proudy. N orázku je uzvřená křivk chrkterizující vířivý proud; ten oíhá ve směru otáčení hodinových ručiček, stejně jko proud ve smyčce n or () Vodivá desk se kývá kolem čepu jko kyvdlo, přičemž vstupuje do mgnetického pole. Vířivé proudy se indukují ěhem kždého vstupu do mgnetického pole i výstupu z něj tlumí pohy kyvdl. opět se vdesce indukuje proud. Opět tedy přemáháme sílu konáme práci. Vodivostní elektrony tvořící indukovný proud vdesce se všk nyní nepohyují po jediné dráze jko v přípdě smyčky, le krouží jko vod ve vířivé prčce. Tkový elektrický proud se nzývá vířivý. Zorzujeme čep () PŘÍKLAD 31.4 Or ukzuje prvoúhlou vodivou smyčku o odporu, šířce L délce, kterou táhneme konstntní rychlostí v přes olst o šířce d, v níž je elektromgnetem vytvořeno homogenní mgnetické pole o indukci. Nech L = 40 mm, = 10 cm, = 1,6, = 2,0Tv = 1,0m s 1. () () (c) (d) Φ (mw) L (mv) P (mw) x d v ve směru otáčení hodinových ručiček proti směru otáčení hodinových ručiček 0 cívk cívk cívk cívk cívk mimo vstupuje uvnitř vystupuje mimo x (cm) Or Příkld () Uzvřená vodivá smyčk je prothován stálou rychlostí mgnetickým polem. () ndukční tok smyčkou jko funkce polohy x prvé strny smyčky. (c) ndukovné emn jko funkce x. (d) Výkon, s nímž vzniká Joulovo teplo ve smyčce jko funkce x. () Nkreslete závislost toku Φ smyčkou n poloze x prvé strny smyčky.

10 31.6 NDUKOVANÉ LKTCKÉ POL 807 ŘŠNÍ: Není-li smyčk vpoli, je mgnetický tok smyčkou nulový. Je-li smyčk zcel v mgnetickém poli, je tok smyčkou roven L = 8 mw. Vstupuje-li smyčk do pole, je tok roven Lx vystupuje-li pk z něj, je roven L( (x d)). Výsledky jsou vyneseny n or ; ověřte je. () Nkreslete závislost indukovného emn n poloze smyčky. Vyznčte směr indukovného emn. ŘŠNÍ: Podle rov. (31.6) je indukovné emn rovno = dφ = dφ dx dx = dφ dx v, kde dφ /dx je směrnice tečny ke křivce n or N or c je emn vyneseno jko funkce x. Vstupuje-li smyčk do pole (or ), teče indukovný proud podle Lenzov zákon proti směru otáčení hodinových ručiček; při výstupu z pole má proud směr opčný. N or c jsme emn přiřdili kldnou hodnotu polohám, v nichž indukovný proud teče ve směru otáčení hodinových ručiček. Žádné emn se neindukuje, je-li smyčk u zcel mimo pole, neo zcel uvnitř pole, protože v oou těchto přípdech se mgnetický indukční tok smyčkou nemění. (c) Vyneste do grfu výkon, s nímž se ve smyčce vyvíjí Joulovo teplo, jko funkci polohy smyčky. ŘŠNÍ: Doszením = / do rov. (31.16) dostáváme výkon P = 2 = 2. Tk z or c odvodíme or d. Všimněme si, že se teplo vyvíjí jen tehdy, když smyčk vstupuje do mgnetického pole neo z něj vystupuje. V prxi nemá mgnetické pole ostrou hrnici, kde y náhle kleslo n nulu, le líží se k nule spojitě hldce. N křivkách vynesených n or y tedy yly rohy zoleny. KONTOLA 3: Orázek ukzuje čtyři vodivé smyčky s délkmi strn L neo 2L. Všechny smyčky udou vnikt stejnou stálou rychlostí do olsti homogenního mgnetického pole (vystupujícího kolmo ze stránky). Seř te tyto čtyři smyčky podle velikosti emn, indukovného ěhem vstupu do pole, největší uve te jko první. c d 31.6 NDUKOVANÉ LKTCKÉ POL Umístěme měděný prstenec o poloměru r do homogenního mgnetického pole, které vyplňuje válcový ojem o poloměru (or ). Předpokládejme, že rovnoměrně zvětšujeme mgnetickou indukci pole, npř. zvětšováním proudu ve vinutí elektromgnetu, jímž pole vytváříme. Mgnetický indukční tok prstencem potom rovnoměrně poroste podle Frdyov zákon vzniká v prstenci indukovné emn tím i indukovný proud. Z Lenzov zákon plyne, že indukovný proud n or směřuje proti směru otáčení hodinových ručiček. () (c) r měděný prstenec elektrické siločáry kruhová dráh Or () Nrůstá-li mgnetické pole s čsem rovnoměrně, indukuje se vměděném prstenci o poloměru r stálý proud. () lektrické pole se vprostoru indukuje, i když je prstenec odstrněn. (c) Úplný orz indukovného elektrického pole zorzeného siločármi. (d) Čtyři stejné uzvřené křivky ohrničují plochy o stejném oshu. V křivkách 1 2 ležících zcel v olsti měnícího se mgnetického pole se indukuje stejné emn. Menší emn se indukuje podél křivky 3, která leží v této olsti jen zčásti. Žádné emn se neindukuje podél křivky 4, která leží zcel mimo mgnetické pole. Teče-li měděným prstencem proud, musí ýt podél prstence elektrické pole, které zjistí pohy vodivostních elektronů. Toto indukovné elektrické pole je zřejmě vyvoláno měnícím se mgnetickým indukčním tokem je právě tk reálné jko elektrické pole vytvořené sttickými náoji. Oě pole půsoí silou Q 0 n částici o náoji Q 0. Tto úvh nás přivádí k užitečnému poučnému přeformulování Frdyov zákon elektromgnetické indukce: 3 2 () (d) r 1 4

11 808 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC Měnící se mgnetické pole vytváří pole elektrické. Pozoruhodné je, že podle této formulce se elektrické pole indukuje i tehdy, když vněm žádný měděný prstenec není. K upevnění těchto pozntků uvžujme or , který je shodný s or jen s tím rozdílem, že měděný prstenec je nhrzen myšlenou kružnicí o poloměru r.předpokládáme opět, že velikost mgnetického pole vzrůstá stálou rychlostí d/. ntenzit elektrického pole indukovného v různých odech podél kružnice musí z důvodů symetrie ležet v tečně* ke kružnici, jk ukzuje or Tto kružnice je tedy tké siločárou. Zvolený poloměr r není ničím zvláštní, tkže elektrické siločáry pole vyvolného proměnným mgnetickým polem vytvářejí zřejmě svzek soustředných kružnic jko n or c. Pokud mgnetické pole s čsem vzrůstá, trvá elektrické pole zorzené kruhovými siločrmi. Je-li všk mgnetické pole v čse neproměnné, nevzniká žádné indukovné elektrické pole (n orázku y žádné elektrické siločáry neyly). Nopk, jestliže se mgnetické pole s čsem zmenšuje, vzniká elektrické pole, jehož siločáry jsou opět soustřednými kružnicemi jko n or c, le nyní mjí opčný směr. To vše máme n mysli, když říkáme, že měnícím se mgnetickým polem se vytváří elektrické pole. Přeformulování Frdyov zákon Uvžujme částici o (kldném) náoji Q 0 pohyující se po kružnici podle or Práce n náoji Q 0 vykonná indukovným elektrickým polem při jednom oěhu je W = Q 0, kde je indukovné emn předstvující práci připdjící n jednotkový náoj, který se pohyuje po této dráze. Oecně lze tuto práci vyjádřit vzthem W = F ds = (Q 0 )(2Ôr). (31.18) (Kroužek znčí, že integrál ereme po uzvřené křivce; připomeňme, že jde o cirkulci vektoru F.) Zde Q 0 je velikost síly půsoící n náoj Q 0 2Ôr je dráh, n níž tto síl půsoí. Porovnáním oou výrzů pro W dostáváme = 2Ôr. (31.19) * Symetrie úlohy nevylučuje, že y siločáry pole mohly mít podél kružnice rdiální směr nikolivtečný. Tkové rdiální siločáry y všk znmenly, že kolem osy symetrie jsou symetricky rozloženy volné náoje, n nichž siločáry zčínjí neo končí; zde všk žádné tkové náoje nejsou. ov. (31.18) můžeme zoecnit pro liovolnou uzvřenou dráhu: W = F ds = Q 0 ds. (31.20) Doszením Q 0 z W získáme vzth = ds. (31.21) Pomocí rov. (31.21) můžeme rozšířit fyzikální význm emn. Dosud jsme spojovli emn s prcí, kterou ylo nutno dodt k zjištění pohyu náoje, už smosttného neo tvořícího elektrický proud. ov. (31.21) všk umožňuje zvést indukovné emn, niž ychom k tomu potřeovli elektrický proud neo částici. ndukovné emn je součet vyjádřený integrcí veličin ds podél orientovné uzvřené křivky, kde je intenzit elektrického pole indukovného měnícím se mgnetickým indukčním tokem ds je vektor infinitezimálního délkového elementu uzvřené dráhy. Dosdíme-li (31.21) do rov. (31.6) ( = dφ /), dostáváme Frdyův zákon ve tvru ds = dφ (Frdyůvzákon). (31.22) Tto rovnice vyjdřuje, že měnícím se mgnetickým polem je indukováno elektrické pole. Měnící se mgnetický tok vystupuje n prvé strně této rovnice, cirkulce elektrického pole n levé. Frdyův zákon ve tvru rov. (31.22) můžeme použít n jkoukoli uzvřenou křivku, kterou vedeme měnícím se mgnetickým polem. Or d npříkld ukzuje čtyři stejné křivky, které jsou různě umístěny v měnícím se poli. Podél křivek 1 2 se indukuje stejné emn ( = ds), protože oě zcel leží vmgnetickém poli odpovídá jim tedy stejná hodnot dφ /. Tk je tomu, i když je průěh elektrického pole podél těchto křivek rozdílný, jk je ptrno z průěhu elektrických siločár. V křivce 3 se indukuje emn menší, protože jí prochází menší tok Φ, proto je menší idφ /. Pro křivku 4 je indukovné emn nulové, i když je elektrické pole ve všech odech křivky nenulové. Jiný pohled n elektrický potenciál ndukovná elektrická pole nejsou vytvářen sttickými elektrickými náoji, le měnícím se mgnetickým polem. Ačkoli elektrická pole vytvořená jedním i druhým způsoem půsoí n nité částice úplně stejně, existuje mezi nimi význmný rozdíl. Ptrný projev tohoto rozdílu je, že siločáry indukovných elektrických polí vytvářejí uzvřené

12 31.6 NDUKOVANÉ LKTCKÉ POL 809 křivky jko n or c, ztímco siločáry vytvořené sttickými náoji vždy zčínjí n kldných náojích končí n záporných. ozdíl mezi elektrickým polem vytvořeným elektromgnetickou indukcí polem sttických náojů můžeme vyjádřit těmito slovy: lektrický potenciál má smysl jen pro pole sttických náojů. Nelze ho zvést pro elektrická pole vzniklá elektromgnetickou indukcí. Kvlittivně můžeme porozumět tomuto výroku, když uvážíme, co se stne s částicí s jednotkovým náojem po jednom oěhu kruhové dráhy (or ). Částice vyšl z určitého odu vrátil se do něj; ěhem cesty n ni půsoil síl, která vykonl práci odpovídjící emn, řekněme, = 5 V. Její potenciál y yl musel vzrůst o tuto hodnotu. To všk není možné, protože y týž od v prostoru musel mít dvě rozdílné hodnoty potenciálu. Docházíme k závěru, že pro elektrická pole vyvolná měnícím se mgnetickým polem nelze zvést potenciál jednoznčně. Mtemtický náhled získáme, vzpomeneme-li si n rov. (25.18) definující potenciální rozdíl mezi počátečním (i) koncovým (f) odem: f ϕ i ϕ f = ds. (31.23) i V kp. 25 jsme se ještě nezývli Frdyovým zákonem elektromgnetické indukce, tkže elektrická pole uvžovná při odvození rov. (25.18) yl výhrdně pole sttických náojů. Splyne-li vrov. (31.23) počáteční od s koncovým, je integrční cest uzvřená, ϕ i ϕ f jsou totožné rov. (31.23) se redukuje n tvr ds = 0. (31.24) Když se všk mění mgnetický indukční tok, není tento integrál roven nule, le je roven dφ /, jk plyne z rov. (31.22). Přicházíme tk k závěru, že elektrický potenciál nelze zvést pro elektrická pole vyvolná elektromgnetickou indukcí. PŘÍKLAD 31.5 N or je = 8,5cmd/ = 0,13 T s 1. () Njděte vzth pro velikost intenzity indukovného elektrického pole v odech ve vzdálenosti r od osy mgnetického pole. Vypočtěte pro r = 5,2cm. ŘŠNÍ: Závislost (r) můžeme njít, užijeme-li Frdyův zákon ve tvru rov. (31.22) pro uzvřenou integrční křivku tvru kružnice o poloměru r (or ). Ze symetrie jsme usoudili, že n or má směr tečny k uvžovné kružnici v kterémkoli jejím odě. lement ds je tečný ke kružnici orientován souhlsně s, tkže sklární součin ds vrov. (31.22) je roven ds ve všech odech křivky. Ze symetrie můžeme též usoudit, že má podél křivky stejnou hodnotu. Pltí tedy ds = ds = ds = = (2Ôr) = dφ. (31.25) Podle rov. (31.3) je mgnetický indukční tok plochou ohrničenou uvžovnou kružnicí Φ = S cos 180 = (Ôr 2 ). (31.26) Doszením tohoto výsledku do rov. (31.25) zjistíme, že (2Ôr) = (Ôr 2 ) d, odkud = r d. (Odpově ) (31.27) 2 ov. (31.27) udává velikost elektrické intenzity v liovolném odě pro r<(tj. uvnitř mgnetického pole). Doszením zdných hodnot dostáváme, že velikost pro r = 5,2cmje = (5, m) (0,13 T s 1 ) = 2 = 0,003 4 V m 1 = 3,4mV m 1. (Odpově ) () Njděte vzth pro velikost intenzity indukovného elektrického pole vodech vně mgnetického pole. Vypočtěte pro r = 12,5cm. ŘŠNÍ: Postupem jko v () dostáváme znovu rovnici (31.25). Mgnetický indukční tok všk nyní prochází jen plochou Ô 2, tkže Φ = S = (Ô 2 ). (31.28) Doszením do rov. (31.25) dostneme = 2 2r d. (Odpově ) (31.29) ndukovné elektrické pole tedy není rovno nule, třeže dokonce ni kousek křivky (kružnice s poloměrem r větším než ) neleží vmgnetickém poli, jehož změnou je elektrické pole indukováno! To se upltňuje npř. v činnosti trnsformátorů, jk uvidíme v čl Doszením zdných hodnot do rov. (31.29) dostáváme = (8, m) 2 2(12, m) (0,13 T s 1 ) = = 3, V m 1 = 3,8mV m 1. (Odpově )

13 810 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC ov. (31.27) (31.29) dávjí stejný výsledek pro r =. Or ukzuje závislost (r) podle těchto dvou rovnic. (mv m 1 ) r (cm) Or Příkld ndukovné elektrické pole (r). KONTOLA 4: Orázek ukzuje pět olstí oznčených písmeny. Homogenní mgnetické pole vnich u vystupuje ze stránky k nám (npř. volsti ), neo do ní vstupuje. Oshy olstí jsou stejné pole v nich vzrůstá stejným způsoem. Jsou tké vyznčeny čtyři očíslovné křivky, podél nichž ds má udné hodnoty. Určete, zd mgnetické pole vjednotlivých olstech ž e směřuje od nás, neo k nám. 3 1 Křiv k: ds 1V 2V 3V 0 d 31.7 CÍVKA A NDUKČNOST V kp. 26 jsme viděli, že k vytvoření elektrického pole můžeme použít kondenzátor. Z zákldní typ kondenzátoru jsme povžovli deskový kondenzátor. Podoně mgnetické pole můžeme vytvořit cívkou. V ovodech ji znázorňujeme podle normy SO, podle merické normy. Jko zákldní typ cívky udeme uvžovt dlouhý solenoid neo konkrétněji, krátký úsek ve střední části dlouhého solenoidu, kde se prkticky neprojevuje rozptyl mgnetického pole n jeho koncích. Podoně jko tomu ylo vkp s kpcitorem kondenzátorem, česká terminologie rozlišuje cívku jko reálnou součástku induktor jko modelový prvek. v tomto přípdě zde c 2 e 4 udeme ze stejných důvodů jko dříve užívt ndále jen ěžné oznčení cívk. Proud, tekoucí jedním závitem cívky, vytváří uvnitř závitu indukční mgnetický tok Φ, který je přímo úměrný proudu: Φ. Všech N závitů cívky tedy vytvoří celkový tok NΦ rovněž přímo úměrný proudu; konstntu úměrnosti L ve vzthu NΦ = L nzýváme (vlstní) indukčnost cívky. Je tedy L = NΦ (definice indukčnosti). (31.30) Její velikost závisí n tvru rozměrech cívky; není-li cívk ve vkuu, pk i n mgnetických vlstnostech prostředí. Protože jednotkou mgnetického indukčního toku je T m 2, je jednotkou indukčnosti T m 2 A 1. Nzýváme ji henry (H) po merickém fyziku Josephu Henryovi, spoluojeviteli zákon elektromgnetické indukce, Frdyově součsníku. Je tedy 1henry= 1H= 1T m 2 A 1. (31.31) Ve zytku této kpitoly předpokládáme, že žádné cívky, ez ohledu n jejich geometrické uspořádání, nemjí ve své lízkosti mgnetické mteriály jko npř. železo. Tyto mteriály y indukčnost cívky výrzně ovlivnily. ndukčnost solenoidu Uvžujme dlouhý solenoid o průřezu S. Jká indukčnost připdá n jednotku jeho délky (nikoli vlízkosti okrjů)? Aychom mohli užít definiční rovnici indukčnosti (31.30), musíme vypočítt mgnetický tok vytvořený proudem tekoucím vinutím solenoidu. Ten je pro úsek délky l vinutí solenoidu roven NΦ = (nl)(s), kde n je počet závitů n jednotku délky solenoidu je velikost mgnetické indukce uvnitř solenoidu. Velikost je dán rov. (30.25), = µ 0 n, tkže z rov. (31.30) dostneme L = NΦ = (nl)(s) = (nl)(µ 0n)(S) = = µ 0 n 2 ls. (31.32) Oud pro indukčnost připdjící n jednotku délky dlouhého solenoidu (dosttečně dleko od okrjů) plyne L l = µ 0 n 2 S (solenoid). (31.33)

14 31.7 CÍVKA A NDUKČNOST 811 kde r je vzdálenost od osy toroidu. Tto rovnice pltí ez ohledu n tvr neo rozměry průřezu toroidu. Protože pole není vprůřezu toroidu homogenní, nemůžeme k výpočtu toku užít rov. (31.4) (Φ = S), le musíme užít rov. (31.3), tj. Φ = ds. (31.36) S Mgnetická indukce je všude kolmá n průřez, jk ukzuje or , je tedy rovnoěžná s vektorem elementární plochy ds průřezu. Sklární součin vrov. (31.36) dává tedy ds. Jko element plochy ds můžeme vzít plochu h dr proužku vyznčeného n or Doszením těchto veličin do rov. (31.36) integrováním od r = do r = dostneme Prosté cívky, s nimiž Michel Frdy ojevil zákon elektromgnetické indukce. V oněch doách neyly vochodě k dostání tkové vymoženosti, jko je izolovný drát. Trduje se, že Frdy izolovl své dráty tím, že je olovl proužky ze spodničky své mnželky. ndukčnost, podoně jko kpcit, závisí pouze n geometrii cívky. Závislost n čtverci počtu závitů n jednotku délky je pochopitelná. Jestliže, řekněme, ztrojnásoíme n, ztrojnásoíme nejen počet závitů N, le tké tok Φ = S = µ 0 ns kždým závitem zvětšíme tk celkový tok NΦ devětkrát. Proto se zdevítinásoí indukčnost L. Je-li solenoid mnohem delší než jeho poloměr, pk rov. (31.32) doře proximuje jeho indukčnost. Tto proximce znedává rozptyl mgnetického pole políž konců solenoidu právě tk, jko vzth pro kpcitu rovinného kondenzátoru (C = ε 0 S/d) znedává rozptyl elektrického pole políž okrjů desek kondenzátoru. Z rov. (31.32) plyne, že µ 0 můžeme vyjádřit v jednotkách henry n metr µ 0 = 4Ô 10 7 T m A 1 = = 4Ô 10 7 H m 1. (31.34) PŘÍKLAD 31.6 Or ukzuje příčný řez toroidem o N závitech odélníkového průřezu. Jeho rozměry jsou vyznčeny. () Jká je jeho indukčnost L? ŘŠNÍ: Aychom mohli použít definici indukčnosti z rovnice (31.30),potřeujeme znát mgnetický tok Φ způsoený proudem vtoroidu. Z rov. (30.26) dostneme velikost mgnetického pole vtoroidu = µ 0N 2Ôr, (31.35) Φ = = µ 0Nh hdr = 2Ô h µ 0 N 2Ôr h dr = dr r = µ 0Nh ln 2Ô. Or Příkld Řez toroidem, ukzující proud ve vinutí příslušné mgnetické pole (viz též or ). Nehomogennost mgnetického pole toroidu je znázorněn nerovnoměrným rozložením teček křížků. tkže ov. (31.30) potom dává L = NΦ L = µ 0N 2 h 2Ô = N r dr µ 0 Nh ln, 2Ô ln. (Odpově ) (31.37) () Toroid n or má N = závitů, = 52 mm, = 95 mm h = 13 mm. Jkou má indukčnost? ŘŠNÍ: Podle rov. (31.37) L = µ 0N 2 h ln = 2Ô = (4Ô 10 7 H m 1 )(1 250) 2 ( m) (95 mm) ln 2Ô (52 mm) = = 2, H. = 2,5mH. (Odpově )

15 812 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC 31.8 VLASTNÍ NDUKC Jsou-li dvě cívky lízko see, pk proud tekoucí první cívkou vytváří mgnetický tok Φ, který prochází lespoň zčásti i druhou cívkou. Měníme-li tento tok tím, že měníme proud, vzniká v druhé cívce (podle Frdyov zákon) indukovné emn, jk jsme viděli již dříve. Avšk v první cívce vzniká indukovné npětí tké. ndukovné emn vzniká v kždé cívce,v níž se elektrický proud mění. Tento jev(or ) se nzývá vlstní indukce (dříve též smoindukce). Příslušné indukovné emn lze opět vyjádřit Frdyovým zákonem elektromgnetické indukce. Podle rov. (31.30) je NΦ = L. (31.38) Z Frdyov zákon pk plyne, že emn je rovno L = d(nφ ). (31.39) zákon je toto zvětšování npětí onou změnou, proti níž ude indukovný proud půsoit. ndukovné emn proto má tkový směr, že rání zvětšování proudu. Zmenšujeme-li nopk proud (or ), ude indukovné npětí nmířeno tk, že tomuto zmenšování rání, jk ukzuje orázek. V čl jsme viděli, že nemůžeme definovt elektrický potenciál pro elektrické pole, které je indukováno měnícím se mgnetickým indukčním tokem. To znmená, že uvnitř cívky n or , v níž se indukuje emn měnícím se indukčním tokem, nemůžeme definovt elektrický potenciál. Potenciál všk lze zvést v odech v ovodu mimo tuto olst (tedy tm, kde jsou elektrická pole vyvolán jen rozložením elektrických náojů). Kromě toho můžeme definovt rozdíl potenciálů (tj. npětí) U L n cívce (tj. mezi jejími svorkmi, o nichž předpokládáme, že jsou mimo olst měnícího se mgnetického toku). Je-li cívk ideální (její drát má znedtelný odpor), je velikost U L rovn velikosti indukovného emn: L. rostoucí klesjící L L + Or Posouváním kontktu po rezistoru měníme proud v cívce. Když se proud cívkou mění, vzniká v ní indukovné emn. Z rov. (31.38) (31.39) dostáváme L = L d L (indukovné emn). (31.40) V kždé cívce (npř. v solenoidu neo toroidu) tedy vzniká indukovné emn, kdykoli se v ní mění proud. Sm velikost proudu n indukovné emn nemá vliv; záleží jen n rychlosti změny proudu. Směr indukovného emn můžeme určit pomocí Lenzov zákon. Znménko minus v rov. (31.40) znčí v souldu s Lenzovým zákonem že indukovné emn rání změně, která jej vyvoll. Předpokládejme (or ), že zvedeme do cívky proud zvětšujeme jej rychlostí d/. Podle Lenzov () Or () Proud roste indukuje tím vcívce emn vtkovém směru, y ránilo tomuto vzrůstu. Šipku předstvující L můžeme umístit podél cívky. () Proud klesá indukovné emn má tkový směr, že rání tomuto poklesu. Má-li drát skutečné cívky odpor r, můžeme si ho předstvit oddělený od cívky (mimo olst měnícího se indukčního toku). Skutečnou cívku pk vyjádříme jko seriové zpojení rezistoru o odporu r ideální cívky indukující emn o velikosti L. Podoně jko vpřípdě reálné terie s emn o velikosti s vnitřním odporem r, i zde se liší npětí n svorkách reálné cívky od jejího emn. Pokud neude výslovně uvedeno jink, udeme v dlším předpokládt, že cívky jsou ideální. KONTOLA 5: Orázek ukzuje elektromotorické npětí L, indukovné v cívce. Které z následujících vrint mohou nstt? Proud cívkou je () stálý teče L ()

16 31.9 OVODY L 813 doprv; () stálý teče dolev; (c) rostoucí teče doprv; (d) klesjící teče doprv; (e) rostoucí teče dolev; (f) klesjící teče dolev OVODY L V čl jsme viděli, že připojíme-li náhle emn o hodnotě k sériovému ovodu s odporem kpcitou C, nevzroste náoj Q kondenzátoru okmžitě n koncovou, ustálenou hodnotu Q 0 = C, le líží se k ní exponenciálně podle vzthu Q = C (1 e t/τ C ). (31.41) ychlost, s níž náoj vzrůstá, je určen čsovou konstntou τ C ovodu C, pro níž pltí τ C = C. (31.42) Z rov. (28.36) tké víme, že vypneme-li v tomto ovodu náhle emn, neklesne náoj kondenzátoru okmžitě n nulu, le líží se k ní exponenciálně: Q = Q 0 e t/τ C. (31.43) Vidíme, že čsová konstnt τ C chrkterizuje rychlost klesání i nrůstání náoje. Odoně se zpomlí růst neo pokles proudu, jestliže zpneme neo vypneme emn v jednoduchém ovodu s rezistorem cívkou L. Dáme-li přepínč S n or npř. do polohy, zčne vzrůstt proud procházející rezistorem. Kdyy v ovodu cívk neyl, vzrostl y proud okmžitě n ustálenou hodnotu /. Cívk všk vytváří v ovodu indukovné emn L. To podle Lenzov zákon rání růstu proudu, což znmená, že má opčnou polritu než má emn terie. Proud rezistorem je tedy určen dvěm emn: konstntním terie proměnným L = L d/, vzniklým elektromgnetickou indukcí v cívce. Dokud vzniká L, je proud rezistorem ( tedy celým ovodem) menší než /. + S Or Ovod L. Když dáme přepínč S do polohy, proud roste, ž dosáhne mezní hodnoty /. Proud roste stále povlovněji, tkže i velikost indukovného emn, která je úměrná d/, se zmenšuje. Proud vovodu se proto líží hodnotě / symptoticky. Tento výsledek můžeme vyjádřit tkto: L Cívk zpočátku rání změnám protékjícího proudu. Později, v ustáleném stvu, se chová jko oyčejný vodič. Nyní rozeerme situci kvntittivně. Při zpnutí přepínče S n or do polohy je ovod ekvivlentní ovodu n or Použijme smyčkové prvidlo pro součet npětí vovodu (2. Kirchhoffůvzákon). Zčněme vodě x n or postupujme podél ovodu ve směru otáčení hodinových ručiček. Pro vyznčený směr proudu ude mít od x vyšší potenciál než od y, což znmená, že se při přechodu změnil potenciál o.ody má vyšší potenciál než od z, protože při rostoucím proudu rání indukovné npětí tomuto růstu, má proto směr vyznčený n orázku. Když tedy přecházíme podél cívky z odu y do odu z, změní se potenciál o L = L d/. Při průchodu terií zznmenáváme nárůst potenciálu o +. Smyčkové prvidlo tedy dává L d + = 0, tkže L d + = (ovod L). (31.44) x + Or Ovod n or s přepínčem v poloze. Použijeme smyčkové prvidlo pro součet npětí v ovodu. Zčneme vodě x postupujeme ve směru otáčení hodinových ručiček. ov. (31.44) je diferenciální rovnice, oshující hlednou funkci (t) její první derivci d/. Řešit tuto rovnici zmnená njít funkci (t), která splňuje tuto rovnici vyhovuje tké počáteční podmínce (0) = 0. ov. (31.44) její počáteční podmínk mjí stejný tvr jko rov. (28.29) pro ovod C, jestliže nhrdíme Q, L nhrdíme nhrdíme 1/C. Řešení rov. (31.44) musí tedy mít tvr rov. (28.30) s uvedenou záměnou veličin. Toto řešení je = (1 e L t ), (31.45) což můžeme zpst ve tvru = (1 e t/τ L ) (růst proudu), (31.46) L y z L

17 814 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC U (V) vněmž τ L je čsová konstnt ovodu Lurčená vzthem τ L = L (čsová konstnt). (31.47) Or ukzuje, jk se mění s čsem npětí U = = n rezistoru npětí U L = L d/ n cívce pro určité hodnoty, L. Srovnejte pečlivě tento orázek s odpovídjícím orázkem pro ovod C (or ) t (ms) () UL (V) t (ms) () Or Čsový průěh () U, tj. npětí n rezistoru vovodu n or , () U L, tj. npětí n cívce v témže ovodu. Mlé trojúhelníky vyznčují násoky čsové konstnty τ L = L/. Orázek je vynesen pro = 2 000, L = 4,0H = 10 V. Ukážeme, že veličin τ L = L/ má rozměr čsu: 1 H = 1 H ( )( ) 1V s 1 A = 1s. 1H A 1V První veličin v závorkách je převodní koeficient odvozený z rov. (31.40) druhá je převodní koeficient odvozený ze vzthu U =. Fyzikální význm čsové konstnty vyplývá z rovnice (31.46). Položíme-li vtéto rovnici t = τ L = L/, redukuje se n tvr = (1 e 1 ). = 0,63. Čsová konstnt τ L je tedy do, z niž proud vovodu dosáhne o 1/e (tj. si o 37 %) nižší hodnotu, než je koncová ustálená hodnot /. (Je to tedy do, z niž dosáhne si 63 % této ustálené hodnoty.) Protože je npětí U n rezistoru úměrné proudu, má čsová závislost rostoucího proudu stejný tvr jko závislost U vynesená n or Ponechme přepínč S n or dosti dlouho vpoloze, y proud nyl ustálené hodnoty /, pk ho náhle přepněme do polohy. Tím vyřdíme terii z ovodu. (Předpokládejme, že máme přepínč typu mke-efore-rek-switch, který ěhem přepojování z do se nejprve propojí s vtuchvilkujsoutedytké propojeny ody nvzájem teprve potom se odpojí od.) Proud vrezistoru nepoklesne n nulu skokem, le plynule. Diferenciální rovnici, která tento pokles popisuje, dostneme z rov. (31.44) doszením = 0 L d + = 0. (31.48) Podle nlogie s rov. (28.35) (28.36) má řešení této diferenciální rovnice při splnění počáteční podmínky (0) = = 0 = / tvr = e t/τ L = 0 e t/τ L (pokles proudu). (31.49) Vidíme, že vovodu L jk růst proudu (rov. (31.46)), tk jeho pokles (rov. (31.49)) je chrkterizován stejnou čsovou konstntou τ L. PŘÍKLAD 31.7 Or ukzuje ovod se třemi stejnými rezistory o odporu = 9,0, dvěm stejnými cívkmi o indukčnosti L = 2,0 mh ideální terií o = 18 V. L + + L () + + (c) () (d) /3 Or Příkld () Několiksmyčkový ovod L, spínč je vypnut. () kvivlentní ovod okmžitě po zpnutí spínče. (c) kvivlentní ovod delší dou poté. (d) Jednosmyčkový ovod ekvivlentní ovodu (c). () Jký proud teče terií okmžitě po sepnutí spínče? ŘŠNÍ: Protože proud kždou z cívek je před zpnutím nulový, je tké nulový okmžitě po zpnutí. Okmžitě po zpnutí se tedy cívky chovjí jko přerušené dráty, jk je ukázáno n or Tím dostáváme jednosmyčkový ovod, pro nějž prvidlo pro součet npětí dává = 0.

18 31.10 NG MAGNTCKÉHO POL 815 Doszením zdných hodnot dostáváme = (18 V) = = 2,0A. (Odpově ) (9,0 ) () Jký proud teče terií dlouho po sepnutí spínče? ŘŠNÍ: Dlouho po sepnutí (t τ L ) dosáhnou proudy v ovodu svých ustálených hodnot. Tehdy se cívky chovjí jko oyčejné vodiče, jk ukzuje or c. Máme pk ovod se třemi prlelně zpojenými rezistory; podle rov. (28.20) je toto zpojení ekvivlentní rezistoru p = = /3 = (9,0 )/3 = 3,0. kvivlentní ovod n or d potom splňuje rovnici p = 0 neoli = p = (18 V) = 6,0A. (Odpově ) (3,0 ) PŘÍKLAD 31.8 Solenoid má indukčnost 53 mh odpor 0,37. Z jk dlouho po připojení k terii vzroste proud n polovinu své koncové ustálené hodnoty? ŘŠNÍ: Ustálené hodnoty dosáhne proud pro t ; podle rov. (31.46) je tto hodnot /. Pro poloviční hodnotu proudu hledný čs t 0 tto rovnice dává 1 2 = (1 e t 0/τ L). Vykrátíme /, osmosttníme exponenciální výrz, oě strny zlogritmujeme. Tk dostneme t 0 = τ L ln 2 = = L ln 2 = ( H) ln 2 = (0,37 ) = 0,10 s. (Odpově ) KONTOLA 6: Orázek ukzuje tři ovody se stejnými teriemi, cívkmi rezistory. Seř te v sestupném pořdí ovody podle velikosti proudu terií () okmžitě po zpnutí vypínče, () z dlouho poté NG MAGNTCKÉHO POL Ohujeme-li od see opčné náoje, roste jejich elektrická potenciální energie o ní už víme, že se hromdí velektrickém poli těchto náojů. Můžeme ji dostt z pole zpět, necháme-li náoje přilížit se zpátky k soě. O energii nhromděné vmgnetickém poli můžeme uvžovt stejným způsoem. Npříkld dv dlouhé rovnoěžné dráty protékné proudy stejného směru se přithují musíme vykont práci, ychom je oáhli od see. Tím nhromdíme energii vmgnetickém poli těchto proudů. Tuto energii můžeme kdykolivdostt zpět, přesunou-li se dráty zpět do původních poloh. Kvntittivní výrz pro energii nhromděnou v mgnetickém poli odvodíme, uvážíme-li znovu or , který ukzuje zdroj emn připojený k rezistoru cívcel. ov. (31.44), tj. = L d +, (31.50) je diferenciální rovnice, popisující růst proudu v tomto ovodu. Zdůrzněme, že tto rovnice plyne ezprostředně z prvidl pro součet npětí v ovodu; toto prvidlo zse vyjdřuje zákon zchování energie pro jednoduchý ovod. Násoíme-li oě strny rov. (31.50) veličinou, dostneme rovnici = L d + 2, (31.51) která má tento fyzikální výkld v pojmech práce energie: 1. Projde-li náoj dq terií s emn z dou, vykoná terie n náoji práci dq. Výkon, s nímž koná terie práci, je dq/ neoli. Levá strn rov. (31.51) tedy předstvuje výkon, s jkým dodáváme energii zdrojem emn do zytku ovodu. 2. Druhý člen n prvé strně rov. (31.51) předstvuje rychlost disipce energie vrezistoru, tj. tepelný výkon rezistoru. 3. nergie, která není disipován, se v souhlse se zákonem zchování energie hromdí v mgnetickém poli cívky. Protože rov. (31.51) vyjdřuje zchování energie, vyjdřuje prostřední člen rov. (31.51) rychlost d mg / hromdění energie vmgnetickém poli, tkže d mg = L d. (31.52) (1) (2) (3) Tuto rovnici můžeme přepst do tvru d mg = L d.

19 816 KAPTOLA 31 LKTOMAGNTCKÁ NDUKC ntegrcí dostáváme mg 0 d mg = L d neoli (pro liovolně zvolené ) mg = 1 2 L 2 (mgnetická energie cívky). (31.53) 0 Přitom plyne z rov. (31.46) = /. Proto (1 e t/τ L) = 2. Zkrácením / úprvou dostáváme e t/τ L = = 0,293, Vzth (31.53) předstvuje celkovou mgnetickou energii cívky, tj. energii mgnetického pole vytvořeného cívkou, kterou teče proud. Všimněme si podonosti mezi tímto výrzem výrzem (26.21) pro elektrickou energii kondenzátoru, tj. elektrického pole vytvořeného kondenzátorem o kpcitě C s náojem Q: což dává oud t τ L = ln 0,293 = 1,23 t. = 1,2τ L. (Odpově ) el = Q2 2C. (31.54) Hromděná energie tedy dosáhne poloviny své ustálené hodnoty z dou 1,2τ L. PŘÍKLAD 31.9 Cívk má indukčnost 53 mh odpor 0,35. () Cívku připojíme ke zdroji emn = 12 V.Kolik energie se nhromdí vmgnetickém poli, když proud dosáhne ustálené hodnoty (tj. pro t, prkticky pro t τ L )? ŘŠNÍ: Nhromděná energie je vyjádřen rov. (31.53) mg = 1 2 L 2. Ke stnovení energie v ustáleném stvu musíme do tohoto výrzu dosdit ustálený proud. Ten je podle rov. (31.46) roven PŘÍKLAD Cívk o indukčnosti 3,56 H je zpojen vsérii s rezistorem 12,8 k tomuto ovodu L je náhle připojeno emn 3,24 V. () Jký příkon P je dodáván terií do ovodu v čse τ L po připojení? ŘŠNÍ: Proud vovodu je dán rov. (31.46) (t) = (1 e t/τ L), = (t ) = Doszením dostáváme = (12 V) (0,35 ) = 34,3A. odkud = (3,24 V) (12,8 ) (1 e 1 ) = 0,1600A. mg = 1 2 L 2 = ( 1 2 )( H)(34,3A) 2 = = 31 J. (Odpově ) () Po jké doě (vyjádřené jko násoek čsové konstnty) se vmgnetickém poli nhromdí polovin ustálené hodnoty energie mgnetického pole? ŘŠNÍ: Otázk zní, z jkou dou t ude pltit vzth mg = 1 2 mg. ov. (31.53) umožňuje přepst tuto podmínku do tvru 1 2 L 2 = ( 1 2 ) 1 2 L 2 Příkon dodávný terií je pk dán rov. (27.21), kde roli U hrje. V okmžiku t = τ L je tedy P = = (3,24 V)(0,1600A) = = 0,518 4 W. = 518 mw. (Odpově ) () Jký je tepelný výkon rezistoru v tomtéž okmžiku? ŘŠNÍ: Tepelný výkon je vyjádřen rov. (27.22). Pro t = = τ L dostáváme P = 2 (τ L ) = (0,160 0 A) 2 (12,8 ) = = 0,3277W. = 328 mw. (Odpově ) oud = ( 1 2 ). (c) S jkým výkonem se hromdí energie v mgnetickém poli vtomtéž okmžiku?

20 31.11 HUSTOTA NG MAGNTCKÉHO POL 817 ŘŠNÍ: Vyjdeme z rov. (31.52), vyždující znlost d/. Derivce rov. (31.45) dává d = Pro t = τ L dostáváme d = L (e t/l ) = L (e t/τ L). (3,24 V) (3,56 H) (e 1 ) = 0,334 8 A s 1. Podle rov. (31.52) je hledný výkon roven P mg = d mg = L d = = (3,56 H)(0,1600A)(0,3348A s 1 ) = Všimněme si, že = 0,190 7 W. = 191 mw. (Odpově ) P = P + P mg, jk vyžduje zákon zchování energie HUSTOTA NG MAGNTCKÉHO POL Uvžujme dlouhý solenoid s průřezem o oshu S. Vněm udeme sledovt úsek délky l (ne lízko u krjů); ten vymezuje uvnitř solenoidu ojem V o velikosti Sl. Protéká-li solenoidem proud,vytvoří se uvnitř ojemu V homogenní mgnetické pole ; pole vně solenoidu je prkticky nulové. nergie pole vytvořeného uvžovným úsekem musí ýt zřejmě uložen vojemu V, to rovnoměrně (díky homogenitě mgnetického pole) s hustotou w mg = mg. Sl Protože všk mg = 1 2 L 2, můžeme vyjádřit hustotu energievetvru w mg = L 2 = L 2 2Sl l 2S po doszení z L/l z rov. (31.33) w mg = 1 2 µ 0n 2 2. (31.55) Pomocí rov. (30.25) ( = µ 0 n) můžeme konečně hustotu energie vyjádřit pomocí mgnetické indukce: w mg = 1 2 (hustot energie mgnetického pole). (31.56) 2 µ 0 Tto rovnice udává hustotu energie všude, kde je mgnetické pole. Ačkolivjsme rov. (31.56) odvodili pro speciální přípd pole včásti solenoidu, pltí pro všechn mgnetická pole, jkkoli vytvořená. ov. (31.56) je odoou rov. (26.23) w el = 1 2 ε 0 2, (31.57) která udává (ve vkuu) hustotu energie elektrického pole. Všimněme si, že jk hustot w mg, tk hustot w el je úměrná druhé mocnině odpovídjící veličiny, neo, popisující pole. KONTOLA 7: Tulk udává počet závitů n jednotku délky, proud průřez pro tři solenoidy. Seř te solenoidy sestupně podle hustoty energie mgnetického pole uvnitř nich. ZÁVTY NA SOLNOD JDNOTKU DÉLKY POUD PLOCHA 2n 1 1 2S 1 n S 1 c n 1 1 6S 1 PŘÍKLAD Dlouhý koxiální kel (or ) je vytvořen ze dvou tenkostěnných souosých vodivých dutých válců s poloměry. Vnitřním válcem A teče stálý proud, vnějším válcem se tento proud vrcí. dr r dutý válec dutý válec A Or Příkld Průřez dlouhého koxiálního kelu sestávjícího ze dvou tenkostěnných vodivých dutých válců. Poloměr vnitřního válce je, poloměr vnějšího válce je. () Vypočtěte energii nhromděnou vmgnetickém poli mezi válci n délce l kelu. ŘŠNÍ: Uvžujme ojem dv válcové vrstvy mezi dvěm válci o poloměrech r r + dr délce l. nergied mg osžená vtomto ojemu je d mg = w mg dv,