Teorie jazyků a automatů I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie jazyků a automatů I"

Transkript

1 Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205

2 Anotce: Tto skript jsou určen pro studenty předmětů Teorie jzyků utomtů I Zákldy teoretické informtiky I. Jedná se o sírku příkldů, která zhrnuje látku proírnou n cvičení dného předmětu. Zde uvedené definice jsou pouze orientční, jejich úkolem je připomenout znčení postupy používné v následných příkldech. Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení RNDr. Šárk Vvrečková, Ph.D. Dostupné n: Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Bezručovo nám. 3, Opv Sázeno v systému L A TEX Tto inovce předmětu Teorie jzyků utomtů I, cvičení je spolufinncován Evropským sociálním fondem Státním rozpočtem ČR, projekt č. Z..07/2.2.00/28.004, Interdisciplinární vzdělávání v IT s jzykovou kompetencí.

3 Osh Jzyky regulární výrzy. Řetězec, množin, jzyk Regulární výrzy Určení jzyk Operce nd jzyky Regulární operce Dlší potřené operce Prefixy postfixy slov K vlstnostem jzyků Konečné utomty 7 2. Vytváříme konečný utomt Nedeterministický konečný utomt Totální utomt Konečné jzyky Odstrnění nepotřených stvů (redukce) Uzávěrové vlstnosti regulární operce Sjednocení Zřetězení Iterce (Kleeneho uzávěr) Uzávěrové vlstnosti dlší operce Pozitivní iterce Zrcdlový orz (reverze) Průnik Homomorfismus Sestrojení konečného utomtu podle regulárního výrzu Regulární grmtiky Vytváříme regulární grmtiku Konečný utomt podle regulární grmtiky Regulární grmtik podle konečného utomtu iii

4 iv 4 Bezkontextové grmtiky Vytváříme ezkontextovou grmtiku Derivční strom Úprvy ezkontextových grmtik Převod n nezkrcující ezkontextovou grmtiku Redukce grmtiky Odstrnění jednoduchých prvidel Grmtik ez cyklu vlstní grmtik Levá prvá rekurze Zásoníkový utomt o je to zásoníkový utomt Definice Typy zásoníkových utomtů Vytváříme zásoníkový utomt Nedeterminismus Zásoníkový utomt podle ezkontextové grmtiky

5 Kpitol Jzyky regulární výrzy. Řetězec, množin, jzyk U konečných utomtů je nejmenší (tomickou, dále nedělitelnou) jednotkou, se kterou prcujeme, signál (znk). nožinu signálů, se kterými dokáže konkrétní utomt prcovt, nzýváme eced znčíme symolem Σ (velké řecké písmeno sigm). Aeced je vždy konečná množin. Automty rozpoznávjí (tj. přijímjí n svém vstupu) posloupnosti signálů (přípdně znků; tyto posloupnosti nzýváme slov) utomty n vstupu postupně čtou signály zároveň mění svůj vnitřní stv. Jeden utomt ovykle dokáže rozpoznávt více tkových slov. nožin všech slov, která dokáže utomt rozpoznt, je jzyk rozpoznávný utomtem. Pokud je utomt oznčen A, pk jzyk jím rozpoznávný znčíme L(A). Oecně (nejen ve vzthu k utomtům) je jzyk množinou slov nd dnou ecedou. Protože jzyky mohou ýt i hodně rozsáhlé množiny, je tře si zápis jzyk tké jeho slov vhodně zkrátit. ůžeme použít toto znčení: ε tkto znčíme prázdné slovo, tedy řetězec o délce nul (řecké písmeno epsilon) 2, 3, 4,... počet opkování ojektu, který je tkto umocněn, npříkld 3 znmená slovo (symol zřetězení nemusíme psát), 0 předstvuje ε (počet signálů je nul) operátor (Kleeneho operátor, iterce) znmená, že ojekt, z kterým následuje (signál, prvky množiny, pod.) může ýt ve slově opkován, to jkýkoliv počet krát (může ýt i nul opkování), z hvězdičku můžeme dosdit jkoukoliv nezápornou celočíselnou mocninu, tedy předstvuje množinu slov {ε,,,,...} {,, c} = {ε,,, c,,, c,,, c, c, c, cc,,,...} (operce hvězdičk se provádí přes všechny prvky množiny, kterýkoliv z nich může ýt použit n kterémkoliv místě) (c) 4 = cccc (prvky v posloupnosti nrozdíl od prvků množiny nejsou odděleny čárkou, mezi nimi je vzth zřetězení () = {ε,, () 2, () 3,...} = {ε,,,,...} {, dfg, } = {ε,, dfg,,, dfg,, dfg, dfgdfg, dfg,,...} P

6 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 2 + je pozitivní iterce, uvedený ojekt může ýt v jkémkoliv počtu výskytů podoně jko u operce, le nejméně jednou, tkže + = {, 2, 3,...} operátor pozitivní iterce se z důvodů sndné změnitelnosti s jiným operátorem čsto přepisuje do tvru neo operátor + může ýt použit tké jko inární: + c npříkld určuje množinu dvou slov, c, tedy množinu {, c} tento operátor čsto upltňujeme n dv výrzy, npříkld () +() předstvuje množinu slov, ve kterých se střídjí znky s tím, že slovo může zčít kterýmkoliv z těchto znků, délk slov je vždy sudé číslo ( + ) = {, } o zápisy předstvují množinu všech slov nd ecedou {, } Protože jzyk je vlstně množin slov, můžeme použít klsický mtemtický množinový zápis: { i j ; i, j 0} je totéž jko. Příkld. Zápis výrzů je čsto možné minimlizovt (zjednodušit). Npříkld: 2 ε = 2 (protože ε je neutrálním prvkem vzhledem k operci zřetězení, podoně jko číslo 0 u sčítání čísel) + ε = (protože výrz už v soě zhrnuje slovo ε) ( + ε) = (zdůvodněte) ( + ) = (zdůvodněte) () + + ε = () (zdůvodněte) () + ( + ) = ( + ) ( 2 ) 3 = 6 Příkld.2 Jzyk může ýt specifikován tké pomocí mtemtických opercí. Npříkld: { 2n ; n 0 } je totéž jko (), tedy množin {ε, 2, 4, 6,...} poslední dvě množiny, získáme množinu {, } { 2n ; n } je totéž jko (), tedy množin { 2, 4, 6,...} { 2n ; n 0 } je něco jiného (!), jedná se o množinu { 20, 2, 22, 23,...} = {, 2, 4, 8,...} {w {, } ; w > 5} je množin všech slov nd ecedou {, }, jejichž délk je větší než 5 {w {, } ; w 5} je množin všech slov nd ecedou {, }, jejichž délk je menší neo rovn 5, tedy pokud sjednotíme tuto předchozí množinu, dostneme: {w {, } ; w > 5} {w {, } ; w 5} = {, } {w {, } ; w = w } je množin všech slov nd ecedou {, } tkových, že počet znků je stejný jko počet znků, tj. {ε,,,,,,,,,...} { n n ; n 0} oproti předchozímu přidává podmínku n pořdí (nejdřív znky, ž pk ), tedy: {ε,,,...}, do množiny neptří npříkld slovo ni slovo

7 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 3 { i j ; i, j 0 } pro změnu stnovuje pouze podmínku n pořdí: {ε,,,,,,,,...}, do této množiny neptří npříkld slovo { i j ; i 2, j } je definováno podoně jko předchozí, le máme odlišnou spodní hrnici pro hodnotu proměnných i j, nejkrtší slovo je Příkld.3 Npíšeme všechn slov následujících jzyků krtší než 5. Postup: nejdřív místo všech proměnných indexů + dosdíme nejnižší možnou hodnotu, tj. npříkld ve výrzu vytvoříme slovo 0 0 = ε, pk postupně doszujeme vyšší hodnoty v různých možných komincích. + = {,,,,,...} 2 {0, } = { 2, 20, 2, 200, 20, 20, 2, 2000, 200, 200, 20, 200, 20, 20, 2,...} { i j ; i, j } {() i ; i 0} = {,,,...} {ε,,,...} = = {,,, ε,,,...} Zde si všimněme odlišných spodních mezí pro proměnné i, j v oou sjednocovných jzycích pokud i, pk i znmená + neoli. (0) 0 = {0, 00,...} (0) (0) = {ε, 0, 0, 00, 00, 00,...} { i c j ; 0 i < j} = {c, c,...} (všimněte si, že kdyy ve slově ylo jedno, musel y následovt nejméně dvě, což y le znmenlo, že délk slov y neyl krtší než 5) {w {, } ; w < w } = {,,,,,,,,,,,...} (do jzyk všk neptří npříkld slovo, protože není splněn podmínk w < w ) {w {, } ; w = w + } = {,,,,...} (všimněte si, že vedlejším důsledkem podmínky je lichá délk slov jzyk) Úkoly Npište všechn slov následujících jzyků krtší než 5. (c) ( ) () c ( ) c {() i j ; i 0, j } 0 (0) { i j ; i, j 0, i j} {w {, } ; w = w + }

8 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 4 {w {, } ; w < w } { w i ; w {, }, i } {w {, } ; w < 3}.2 Regulární výrzy S regulárními výrzy jsme se již setkli, ted se n ně změříme formálněji. Oznčme pomocnou množinu Φ = {, ε, +,,, (, )}. nožin RV (Σ) všech regulárních výrzů nd ecedou Σ je nejmenší množin slov (řetězců) tková, že slov se skládjí ze symolů ecedy Σ Φ, Σ Φ jsou disjunktní, RV (Σ), ε RV (Σ), RV (Σ) pro kždé Σ, jestliže α, β RV (Σ), pk tky (α + β) RV (Σ), (α β) RV (Σ), (α) RV (Σ). Symol pro zřetězení se nemusí psát. Pro operce používné v regulárních výrzech pltí podoná prvidl jko pro operce v ritmetických výrzech. Npříkld operátory + jsou socitivní distriutivní, + tké komuttivní. Prvky ε plní v regulárních výrzech podonou roli jko v ritmetice nul jedničk. Těchto vlstností lze využít při úprvách složitějších regulárních výrzů. P Příkld.4 + = ε = ε = ε + c = c + ( + c) = + c + = ( + ) = + (c + d) = ( + c + d) ( ) = ( ) = {, } = ( + ) ( + ε) = ( + ε) = + ε = () = () = () + (c) = (ε + (c) ) = (c) + () = (() + () ) = () Úkoly Zjednodušte tyto regulární výrzy: + ( + ε) () + () + c(c) + ( + ε) + {, } () + () {, } + () 0(0) (0) 0(0) (0) {0, }

9 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 5.3 Určení jzyk Když máme sestvit předpis jzyk (tj. množiny řetězců) splňujícího určitou podmínku, musíme vždy zpst mximální množinu vyhovující dné podmínce. Jkýkoliv řetězec vyhovující zdné podmínce musí ptřit do tkového jzyk. Příkld.5 Sestvíme předpis jzyk L splňujícího následující podmínku: L oshuje všechn slov zčínjící řetězcem končící symolem, je nd ecedou {, }: L = ( + ) = {} {, } {} = { w ; w {, } } slov jzyk L oshují nejméně 2 symoly mximálně 0 symolů, nd ecedou {, }: L = {w {, } ; w 2, w 0} v první části slov jsou pouze symoly, v druhé části slov jsou pouze symoly : L = = { i j ; i, j 0} v kždém slově je stejný počet symolů, nd ecedou {, }: L = {w {, } ; w = w } ve slovech je symolů méně než symolů, nd ecedou {, }: L = {w {, } ; w < w } všechn slov mjí sudou délku, nd ecedou {, }: L = (( + ) 2 ) = {w {, } ; w = 2n, n N 0 } (N 0 povžujme z množinu všech přirozených čísel, včetně nuly) jzyk nd ecedou {}, počet symolů ve slově je druhou mocninou některého přirozeného čísl neo nuly: L = { n2 ; n 0} jzyk nd ecedou {, }, počet symolů ve slově je druhou mocninou některého přirozeného čísl neo nuly: L = {w {, } ; w = n 2, n 0} jzyk je nd ecedou {, }; slov zčínjí symolem oshují sudý počet symolů, neo zčínjí symolem oshují lichý počet symolů : L = { w ; w = 2n, n 0} { w ; w = 2n +, n 0}

10 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 6 slov mjí méně symolů než symolů, zároveň stejný počet symolů c jko symolů, jsou nd ecedou {,, c}: L = {w {,, c} ; w < w } {w {,, c} ; w c = w } = {w {,, c} ; w < w, w c = w } Úkoly Sestvte předpis jzyk, kde. všechn slov zčínjí písmenem počet symolů je větší než 5, 2. počet symolů je dvojnásokem počtu symolů, 3. délk slov je některou (přirozená čísl) mocninou čísl 3, jzyk je nd ecedou {, }, 4. počet symolů ve slovech je některou (přirozená čísl) mocninou čísl 3, jzyk je nd ecedou {, }, 5. počet symolů je větší neo roven počtu symolů ve slově, zároveň délk slov je nejméně 8, jzyk je nd ecedou {, }, 6. počet symolů je větší než počet symolů ve slově, neo délk slov je nejméně 8, jzyk je nd ecedou {, }, 7. jedná se o jzyk přirozených inárních čísel nd ecedou {0, }; symolem 0 může zčínt pouze jednociferné číslo (tj. jednoznkový řetězec 0 ), všechn osttní slov zčínjí symolem, jzyk neoshuje prázdné slovo, 8. jedná se o jzyk reálných inárních čísel s desetinnou tečkou nd ecedou {0,,.}; pro celou část slov (reálného čísl) pltí podmínk z předchozího odu, je nd ecedou {0, }, dále následuje desetinná tečk s reálnou částí, v reálné části z desetinnou tečkou (tké nd ecedou {0, } musí ýt lespoň jeden symol. R.4 Operce nd jzyky Protože jzyky jsou množiny řetězců (slov), lze n nich provádět množinové řetězcové operce. Jzyk reprezentujeme ud množinově neo výrzem (konkrétněji regulárním výrzem). Správně ychom měli používt znčení opercí odpovídjící reprezentci jzyk (tj. množinové operce, jko je npříkld sjednocení či průnik, provádět zásdně n množinových reprezentcích jzyků), le pokud y způso reprezentce yl příliš komplikovný, můžeme od tohoto předpisu upustit. Typicky operci průniku udeme používt i u reprezentce jzyk regulárním výrzem. V následujících definicích udeme vždy předpokládt, že jzyky jsou nd ecedou Σ. Nejdřív se udeme zývt regulárními opercemi sjednocení, zřetězení iterce, které mjí lízký vzth k regulárním výrzům.

11 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 7.4. Regulární operce Sjednocení: Slovo ptří do sjednocení dvou množin, jestliže je prvkem lespoň jedné z těchto P množin. Formální zápis: L L 2 = {w Σ ; w L neo w L 2 } (.) Jedná se o jednu z regulárních opercí, což znmená, že má svůj orz v reprezentci jzyk formou regulárního výrzu. Tm místo symolu používáme symol +. Příkld.6 Pokud L = {c, c, c} L 2 = {, c}, pk L L 2 = {c, c, c, } Pokud L = L 2 = c, pk L L 2 = + c = ( + c) Pokud L = L 2 = { 2n ; n 0 }, pk L L 2 = L (protože zde L 2 L ) L = L (prázdná množin zde plní roli neutrálního prvku) Zřetězení: Zřetězení dvou slov není tře definovt, zpisujeme je u v, kde u, v Σ. Zřetězením dvou jzyků je jzyk, jehož slov lze rozdělit n dvě části první ptří do prvního stnoveného jzyk, druhá část do druhého jzyk. P L L 2 = {u v ; u L, v L 2 } (.2) Zřetězení jzyků provedeme jednoduše tk, že po dvojicích zřetězujeme slov těchto jzyků (kždé slovo prvního jzyk postupně s kždým slovem druhého jzyk). Příkld.7 Pokud L = {c, c, c} L 2 = {, c}, pk L L 2 = {c, cc, c, cc, c, cc} Pokud L = {ε, } L 2 = {, c}, pk L L 2 = {ε, ε c,, c} = {, c,, c} Pokud L = {ε, } L 2 = {ε, c}, pk L L 2 = {ε ε, ε c, ε, c} = {ε, c,, c} Pokud L = L 2 =, pk L L 2 = Pokud L = L 2 = { 2n L L 2 = (proč?) ; n 0 }, pk

12 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 8 L {ε} = L (prázdné slovo zde plní úlohu neutrálního prvku) L = (podoně jko když násoíme nulou) Iterce: Iterce (Kleeneho uzávěr) je nám již známá operce hvězdičk. Definujme postupně: P L 0 = {ε} (neutrální prvek vzhledem k zřetězení) (.3) L = L (.4) L n = {w w 2... w n ; w i L, i n}, n (.5) L n+ = L L n, n 0 (.6) L = L 0 L L 2... (.7) = L n (.8) n=0 Příkld.8 L = {}, pk L = Pokud L = {c, c, c}, pk L = (c + c + c) Pokud L = { 2n ; n 0 }, pk L = (protože do L ptří i slovo, z něj lze poskládt všechn slov delší než ε) = {ε} (Je to správně? Proč no/ne? Nápověd: dosd te si do výše uvedeného vzorce pro iterci.) {ε} = {ε} Úkoly. Které z výše uvedených regulárních opercí jsou inární která z těchto inárních je komuttivní? Jsou socitivní? 2. Jsou dány tyto jzyky: L = {} L 2 = L 3 = () L 4 = { i i ; i 0} L 5 = {ε, }. Jk vypdjí následující jzyky?

13 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 9 L L 2 L L 5 L L 3 L L 4 L L 5 L L 2 L L 3 L 3 L 4 L, L 3 L 2 L 4 L 5 Jk víme z přednášek, regulární výrz je tkové vyjádření (zápis) množiny řetězců, ve kterém používáme operce +, zřetězení iterce. Zde jsme prorli tři operce nd množinmi řetězců sjednocení, zřetězení iterci, nzvli jsme je regulárními opercemi. Shrňme si nyní vzth regulárních opercí k regulárním výrzům: Regulární výrz Jzyk, tedy prázdný jzyk ε {ε} (jzyk oshující jen slovo s nulovou délkou), Σ {} (jzyk oshující jen slovo s délkou ) α + β α β (α) {α} {β} (sjednocení) {α} {β} (zřetězení) {α} (iterce) Tulk.: Vzth mezi zápisem regulárních výrzů jzyků.4.2 Dlší potřené operce Průnik: Do průniku dvou jzyků ptří všechn slov, která jsou jk v prvním, tk (zároveň) P i v druhém jzyce. L L 2 = {w Σ ; w L w L 2 } (.9) (všimněte si vzthu průniku konjunkce; v podoném vzthu pro sjednocení disjunkce) Příkld.9 Pokud L = {c, c, c} L 2 = {, c}, pk L L 2 = {c} Pokud L = {c, c} L 2 = {, c}, pk L L 2 = Pokud L = L 2 =, pk L L 2 = {ε} Pokud L = L 2 = { 2n ; n 0 }, pk L L 2 = L 2 (protože zde L 2 L ) L =

14 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 0 Rozdíl: Rozdíl dvou jzyků je množin všech slov, která ptří do prvního z těchto jzyků zároveň neptří do druhého jzyk. L L 2 = {w Σ ; w L w / L 2 } (.0) Příkld.0 Pokud L = {c, c, c} L 2 = {, c}, pk L L 2 = {c, c} P Pokud L = {c, c} L 2 = {, c,,, c}, pk L L 2 = Pokud L = L 2 =, pk L L 2 = L {ε} = L = L Doplněk: Doplněk (komplement) jzyk vzhledem k dné ecedě Σ je množin všech slov nd P dnou ecedou, která do původního jzyk neptří. Doplněk jzyk L zpisujeme L neo L. L = L = {w Σ ; w / L} (.) Příkld. Pokud L = {c, c, c}, pk L = Σ {c, c, c} Pokud L = {w Σ ; w > 0}, pk L = {w Σ ; w 0} Pokud L = Σ, pk L = ( nopk) Tké zde pltí Deorgnovy zákony: L L L 2 = L L 2 neo L L 2 = L L 2 L L 2 = L L 2 neo L L 2 = L L 2 (.2) nožinové operce sjednocení průniku jsou nvzájem duální nvzájem n see převeditelné (pokud použijeme operci negce) tk, jk vidíme v Deorgnových zákonech.. Zrcdlový orz: Zrcdlový orz (reverze) slov vznikne převrácením tohoto slov. V reverzi P jzyk provedeme totéž s kždým slovem tohoto jzyk. L R = L = {w R ; w L} (.3)

15 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY Příkld.2 L = {c, mnp, ε}, pk L R = {c, pnm, ε} Pokud L =, pk L R = (změn pořdí symolů není pozntelná, totéž pltí pro všechny jzyky nd jednoznkovou ecedou) L = { n n ; n 0}, pk L R = { n n ; n 0} L = {wcw R ; w {, } }, pk L R = {wcw R ; w {, } } Pozitivní iterce: Pozitivní iterce (operce plus je definován podoně jko iterce: P L + = L L 2... (.4) = L n (.5) n= Homomorfismus: orfismus (homomorfismus je to totéž) je zorzení h zchovávjící neutrální prvek (zde ε) operci n dné struktuře (u nás zřetězení) v dné ecedě Σ, tj. splňuje homomorfní podmínky:. h(ε) = ε 2. h( w) = h() h(w), Σ, w Σ Pokud zorzení splňuje homomorfní podmínky, lze je definovt jednodušeji pro jednotlivé symoly jzyk. Pltí vzorec: h(l) = h(w) (.6) Příkld.3 N jzyk L = { 2 i () i+ ; i } upltníme homomorfismy h h 2 definovné následovně: h () = cd h () = c 3 h 2 () = c h 2 () = c w L Potom pltí: h (L) = {(cd) 2 c 3i (cdc 3 ) i+ ; i } h 2 (L) = { c i+2 (cc) i+ ; i } = { c 3i+4 ; i } = c 4 c 3 ( c 3) P

16 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 2 Úkoly. Které z výše uvedených opercí jsou inární které z těchto inárních jsou komuttivní? Jsou socitivní? 2. Jsou dány tyto jzyky: L = {} L 2 = L 3 = () L 4 = { i i ; i 0} L 5 = {ε, }. Jk vypdjí následující jzyky? L L 3 L L 4 L 2 L 5 L 2 L L L 3 L 5 L 3 L L +, L+ 3 L + 5 L R, LR 3 L R 2 L R 4 3. Je dán homomorfismus h definovný následovně: h() = 0, h() = 0. Určete h(l ), pokud L = {ε,,, } Určete h(l 2 ), pokud L 2 = () Určete h(l 3 ), pokud L 3 =.4.3 Prefixy postfixy slov Následující operce nám umožňují prcovt s prefixy (predponmi) postfixy (příponmi) slov. Levý prvý derivát určují množinu slov dného jzyk, jejichž prefixem či postfixem je dné slovo, levý prvý kvocient používjí místo jednoho prefixu či postfixu celou množinu (tedy jiný jzyk). Levý prvý derivát: Levý derivát jzyk L podle slov x je množin všech slov tkových, že pokud je k nim zlev opercí zřetězení přidáno slovo x, ptří do jzyk L. δ l x(l) = {w Σ ; x w L} (.7) Prvý derivát jzyk L podle slov x je množin všech slov tkových, že pokud je k nim zprv opercí zřetězení přidáno slovo x, ptří do jzyk L. δ r x(l) = {w Σ ; w x L} (.8) Příkld.4 Pokud L = {() i () i ; i 2}, pk δ l (L) = {()i () i ; i 2} δ r (L) = {()i () i 2 ; i 2} = {() i+2 () i ; i 0} δ() r (L) = {() i+4 () i ; i 0} (všimněte si, že některá slov jzyk L do výsledného 4 jzyk neyl vůec zřzen)

17 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 3 Levý prvý kvocient: Jedná se o zoecnění levého prvého derivátu. Levý kvocient jzyk L vzhledem k jzyku L 2 je sjednocením levých derivátů jzyk L vzhledem ke všem slovům jzyk L 2. Podoně prvý kvocient jzyk L vzhledem k jzyku L 2 je sjednocením prvých derivátů jzyk L vzhledem ke všem slovům jzyk L 2. L 2 \L = {w Σ ; existuje x L 2 tk, že x w L } L \ = {w δ l x(l ) ; x L 2 } (.9) L 2 = {w Σ ; existuje x L 2 tk, že w x L } = {w δ r x(l ) ; x L 2 } (.20) nemotechnická pomůck: z toho jzyk, který je níže, ereme prefix (tj. slovo x z výše uvedených vzorců). Ten jzyk, který je výše, ude zlev neo zprv osekán. L Příkld.5 Jsou dány tyto jzyky: L = {,, c} L 2 = { i c i ; i 0} L 3 = L 4 = L 5 = () L 6 = () + L 7 = {ε, c, } Stnovíme tyto levé prvé kvocienty: L \L 2 = {c, cc} (všimněte si, že oprvdu jde o konečný jzyk, třeže L2 je nekonečný) L 2 \L = (protože žádné slovo z jzyk L2 není prefixem žádného slov jzyk L ; pozor, nejkrtší slovo z jzyk L 2 je, nikoliv ε) L 3 \L 2 = { m c i ; 0 m i} (postup: vezmeme slovo z L 2, npříkld 4 c 4, použijeme jko prefixy postupně slov ε,, 2, 3, 4 z jzyk L 3 všechn do délky počtu symolů ve slově z jzyk L 2, pk dlší slovo, td.) L 4 \L 2 = L2 { m c i ; 0 m i} {c i ; i 0} (první část: z L 4 zvolíme ε; druhá část: z L 4 zvolíme slov ; třetí část: z L 4 zvolíme ) protože L 2 { m c i ; 0 m i}, výsledek můžeme zjednodušit; jk? L 5 \L 2 = L2 {c} (pokud x = ε, pk získáme L 2 ; pokud x = {}, získáme {c}; dlší slov z L 4 nelze použít) L 6 \L 2 = {c} L 7 \L 2 = L2 {ε, c} L L \ L 5 = L {ε, } (pozor, ted už počítáme prvý kvocient) \ L 6 = {ε, }

18 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 4.5 K vlstnostem jzyků Příkld.6 Ještě si trochu procvičíme operce nd jzyky. L = { i j ; i, j 0} L 2 = {w {, } ; w = w } L L 2 = { n n ; n 0} L R = {j i ; i, j 0} L R 2 = L 2 (kždé slovo po reverzi opět ptří do původního jzyk nopk) L = () L 2 = () L L 2 = {ε} L L 2 = () + () L R = L 2, L R 2 = L L = L 2 = L L 2 = {ε} L L 2 = + (pozor, ne ( + ), ve slovech udou vždy ud jen symoly neo jen symoly ) {, } L = {w {, } ; w } (proč?) L R = L, L R 2 = L 2 L = { n c n n ; n 0} L 2 = {wcw R ; w {, } } L L 2 = {c} L L 2 = { n c n n ; n 2} {ε} = L {c} (všimněte si minim pro hodnotu n) L R = {n c n n ; n 0} L R 2 = L 2 L = L 2 = { 2n ; n 0} L L 2 = L (protože L 2 L ) L L 2 = L 2 (z téhož důvodu) L 2 L = (le nopk y to nepltilo, operce není komuttivní) Z příkldu.6 je zřejmé, že + ( + ) L Tké ychom si měli dávt pozor n to, že operce zřetězení není komuttivní (nicméně socitivní je). Nproti tomu operce + má stejné vlstnosti jko operce sjednocení množin, včetně vlstnosti komuttivity socitivity.

19 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 5 Příkld.7 Njdeme jzyk L, který splňuje dnou vlstnost: L = L L npříkld: L = {, }, protože pltí {, } {, } = {, } jiné možnosti: L =, L = (), L = {ε}, L = {w {, } ; w = w }, td. šptně y ylo npříkld L = {}, L = {, c}, L = { 2n }, L = {w {, } ; w = w +} L = L npříkld: L =, protože jk L, tk i L oshují právě všechny řetězce nd ecedou {} jiné možnosti: L = {, }, L = {w {, } ; w = w }, L = {ε}, td. šptně y ylo npříkld L = {, }, L = { n n ; n 0}, L = + L = L + npříkld: L = { n n ; n 0}, protože L i L + oshují ttáž slov včetně ε jiné možnosti: L =, L = {, }, L = {w {, } ; w = w }, td. (je tře, y ε L) šptně y ylo npříkld L = { n n ; n }, L = {w {, } ; w < w } L L R = npříkld: L = { n n ; n } (v reverzi je opčné pořdí, v jzycích není slovo ε) jiné možnosti: L = (), L = {c} šptně y ylo npříkld L = (), L = {, }, L = {w {, } ; w = w } L = L {ε} npříkld: L = {w {, } ; w < w }, zde nevdí, že v L není ε jiné možnosti: L =, L = {, }, L = { n n ; n }, td. šptně y ylo npříkld L = {c}, L = { n n ; n } Příkld.8 Njdeme jzyk L, který nesplňuje dnou vlstnost: L = L npříkld: L = {c, }, protože L = {ε, c,, cc, c,, c,...} šptně: L =, protože L = ( ) = (pozor, v zdání je nesplňuje ) L L R = npříkld: L = { n n ; n 0}, protože L i L oshují slovo ε šptně: L = { n n ; n }, zde oprvdu L R nemjí žádné společné slovo, jsou disjunktní

20 KAPITOLA JAZYKY A REGULÁRNÍ VÝRAZY 6 Úkoly. Ke kždému vzthu npište jzyk L, který dnou vlstnost splňuje, jzyk L n, který dnou vlstnost nesplňuje: L = L R L L = {ε} L = {, } L 2. Ke všem vlstnostem z příkldů.6.8 určete, zd je následující jzyky splňují: L = {,, c} L 2 = {wcw R ; w {, } } L 3 = {ww R ; w {, } } L 4 = { 2n ; n 0 } 3. Je dán jzyk L = () () následující homomorfismy: h () = 0 h () = 0 Zjistěte jzyky h (L) h 2 (L). h 2 () = 0 h 2 () = Připomeňte si, jk je u lgerických struktur definován vlstnost komuttivity, socitivity distriutivity. Zjistěte, zd je operce zřetězení distriutivní vzhledem k operci + nopk. 5. Je dán jzyk L = {vypst, vylít, vymzt}. Vytvořte: {vy}\l = δvy l = ( {pře} {vy}\l ) = R

21 Kpitol 2 Konečné utomty Konečný utomt je jednoduchý mtemtický model, který se skládá z řídicí jednotky (včetně stvu), vstupní pásky (vstupní souor či jiná dtová struktur) čtecí hlvy. V kždém kroku tento utomt nčte jeden symol ze vstupu činnost v tomto kroku je určen podle tohoto nčteného symolu momentálního stvu, spočívá ve změně stvu. 2. Vytváříme konečný utomt Konečný utomt lze zpst celkem třemi způsoy:. použitím plné specifikce s δ-funkcí 2. stvovým digrmem 3. tulkou přechodů Ukážeme si všechny tři způsoy. Exktní postup vytvoření konečného utomtu si ukážeme později (kpitol 2.8 n strně 44), le ychom mohli sestrojovt už ted lespoň menší konečné utomty, podíváme se n zjednodušený postup. Příkld 2. Vytvoříme konečný utomt pro jzyk L = ( ( + ) ) = ( ( + ) ) ve všech třech reprezentcích. U menších utomtů je nejjednodušší vytvořit stvový digrm: q 0 q q 3 q 4, q 2 P δ-funkce včetně plné specifikce: A = ({q 0, q, q 2, q 3, q 4 }, {, }, δ, q 0, {q 3 }) 7 δ(q 0, ) = q δ(q, ) = q 2 δ(q, ) = q 3 δ(q 2, ) = q 4 δ(q 2, ) = q 4 δ(q 4, ) = q δ(q 3, ) = q 3

22 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 8 Tulk přechodů: q 0 q q q 2 q 3 q 2 q 4 q 4 q 3 q 3 q 4 q Ztímco u stvového digrmu tulky přechodů nemusíme uvádět plnou specifikci řetězec A = ({q 0, q, q 2, q 3 }, {, }, δ, q 0, {q 3 }), při použití δ-funkce je plná specifikce nutná. Bez ní ychom nepoznli, který stv je počáteční které stvy jsou koncové. Příkld 2.2 Sestrojíme konečný utomt rozpoznávjící celá čísl. Používáme číslice , číslo se musí skládt z lespoň jedné číslice. Víceciferná čísl nesmí zčínt nulou. Vytvoříme utomt se třemi stvy. Oddělíme zprcování jednociferného čísl 0 od osttních, která nulou nesmí zčínt. q,..., q 2 q 0,..., 9 Úkoly. Pro následujích šest jzyků sestrojte konečný utomt ve všech třech reprezentcích: () () {0, } (c) {0, } (d) () (e) { i ; i } { i ; i 0} (f) {, c} 2. Podle zdání vytvořte zylé dvě reprezentce dného konečného utomtu. () Podle δ-funkce vytvořte stvový digrm tulku přechodů: A = ({q 0, q, q 2 }, {,, c}, δ, q 0, {q, q 2 }) δ(q 0, ) = q δ(q 0, ) = q 2 δ(q, c) = q δ(q 2, c) = q () Podle kždé tulky přechodů vytvořte stvový digrm δ-funkci s plnou reprezentcí utomtu: 0 A B B B D D D q 0 q q 0 q q q 2 q 2 q 3 q 3

23 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 9 Všimněte si, že podle druhé tulky je počáteční stv zároveň koncový (šipk vede oěm směry). (c) Podle kždého stvového digrmu vytvořte tulku přechodů δ-funkci s plnou reprezentcí utomtu: q c 0, q 0 0 q 0 q 2 q 0 c q 2 q 3 3. Sestrojte konečný utomt (stvový digrm) rozpoznávjící reálná čísl. elá část je podle zdání v předchozím příkldu, následuje desetinná čárk pk opět sekvence číslic (lespoň jedn, může to ýt i číslice 0). 4. Podle stvového digrmu pro reálná čísl vytvořte tulku přechodů. 2.2 Nedeterministický konečný utomt Nedeterministický konečný utomt je tkový utomt, kde v lespoň jednom stvu lze n některý signál regovt více různými způsoy. Protože se tento typ utomtu šptně progrmuje (je těžké vložit do instrukcí náhodnost zvolit jednu z nízených cest, to pokud možno tk, y vedl správným směrem, do koncového stvu), může se hodit postup, jk nedeterministický utomt převést n deterministický se zchováním rozpoznávného jzyk. Příkld 2.3 Zdný nedeterministický utomt převedeme n deterministický (je dán stvový digrm tulk přechodů). P 0 q 0 0, 0 q 0 q 2 q 0 q q q 0, q 2 q 0 q 2 Tento převod je nejjednodušší n tulce přechodů. V některých uňkách je více než jedn položk, proto osh uněk udeme chápt jko množiny. Vytváříme tedy nový konečný (deterministický) utomt tkový, že jeho stvy jsou množinmi stvů původního utomtu. Novou tulku přechodů tedy vytvoříme z původní tulky tk, že nejdřív jk osh uněk, tk i stvy v oznčení řádků uzvřeme do množinových závorek. Tím le v některých uňkách (zde v jedné) dostneme stv, který není v oznčení žádného řádku. To nprvíme jednoduše tk, že přidáme nový řádek tulky s tímto oznčením osh uněk zjistíme sjednocením řádků původní tulky oznčených prvky množiny, se kterou právě prcujeme:

24 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY {A}... {B, } {B} {D, E}... {G} {} {F }... {H, I} {A} {B} {D, E} {B, } {D, E, F }... {B, }... {} {F }... {H, I} {G, H} {G, H, I} ůže se stát, že sjednocením množin v uňkách opět vznikne množin, která se nenchází v oznčení žádného řádku. Pk opět vytvoříme nový řádek pro uňky použijeme operci sjednocení množin. Postup je tedy rekurzivní. Tkže k příkldu: 0 {q 0 } {q } {q } {q 0, q 2 } {q 0 } {q 2 } 0 {q 0 } {q } {q } {q 0, q 2 } {q 0 } {q 2 } {q 0, q 2 } {q } = {q } = Vlstnost ýt koncovým stvem se tké dědí v rámci sjednocení pokud lespoň jeden z prvků množiny stvů je v původním utomtu koncovým stvem, stává se koncovým stvem i celá tto množin. Uvedený postup je vlstně zkrácený. Ve skutečnosti ychom měli postupovt tk, že ychom jko stvy použili všechny možné komince stvů opět operci sjednocení množin: 0 {q 0 } {q } {q } {q 0, q 2 } {q 0 } {q 2 } {q 0, q } {q 0, q, q 2 } {q 0 } {q 0, q 2 } {q } {q, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0 } {q 0, q, q 2 } {q 0, q, q 2 } {q 0 } 0 q 0 0 q 0, q 0 q, q 2 q q 0 q 0, q, q 2 0 q 0, q 2 Ve stvovém digrmu můžeme vidět, že stvy, které jsou oproti předchozímu postupu nvíc, jsou nedosžitelné z počátečního stvu tedy se nencházejí n žádné cestě při zprcování slov jzyk. Proto je vlstně můžeme ez újmy n oecnosti z utomtu odstrnit.

25 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 2 Úkoly Uvedené nedeterministické konečné utomty reprezentovné tulkmi převed te n ekvivlentní deterministické. Ke kždému vytvořte stvový digrm původního nedeterministického utomtu i vytvořeného deterministického porovnejte. X Y Y Z Z X X, Z 0 q 0 q 0, q q 0, q q q, q 2 q 2 c q 0 q, q 2 q q q 2 q, q 2 q 2 q 0 q Totální utomt V totálním (úplném) utomtu lze v kždém stvu regovt n jkýkoliv symol. Při převodu (netotálního) utomtu n totální vytvoříme nový stv ( odpdkový koš, chyový stv), do kterého přesměrujeme všechny chyějící přechody. Nesmíme zpomenout, že poždvek možnosti rekce n kterýkoliv symol se vzthuje tké n tento nově přidný stv. Postup převodu n totální utomt lze použít pouze n deterministický konečný utomt, proto u nedeterministického utomtu je prvním krokem vždy převod n deterministický. Příkld 2.4 K zdnému deterministickému konečnému utomtu vytvoříme ekvivlentní totální utomt: c q 0 q q 0 q q 2 q q 2 q 2 q c q 2 P Tento utomt určitě není totální npříkld ve stvu q 0 nelze regovt hned n dv signály. Vytvoříme nový stv, oznčíme jej symolem přesměrujeme do tohoto stvu všechny chyějící přechody: c q 0 q q q 2 q q 2 q 2 q 0 q c, c,, c c q 2,

26 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 22 Příkld 2.5 V příkldu 2.3 jsme k nedeterministickému utomtu vytvořili ekvivlentní deterministický. Tento deterministický utomt nyní zúplníme (převedeme n totální). Stv {q 2 } není dosžitelný z počátečního stvu, proto jej tké vypustíme. Aychom trochu zjednodušili znčení, udeme místo množin {...} používt velká písmen, provedeme přeznčení: Původní: Přeznčený: Totální: {q 0 } {q } {q } {q 0, q 2 } {q 0 } {q 0, q 2 } {q } A B B A B Stvové digrmy přeznčeného zúplněného utomtu: 0 A 0 B 0 0 A 0 B 0 0, A B B A B Úkoly. Všechny konečné utomty, které jste v úkolu č n strně 2 převedli n deterministické, zúplňte (převed te n totální). 2. Následující konečný utomt převed te n totální nkreslete jeho stvový digrm (signál v záhlví posledního sloupce je desetinná čárk): 0,..., 9, 0,..., 9 A B B B B D D D E E E E E A,..., 9 0, B, 0,..., 9 E 3. Následující (nedeterministický!) konečný utomt zúplňte. 0 A B B B, A A, 0 A 0 0 B

27 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY Konečné jzyky Všechny konečné jzyky jsou regulární, proto pro ně dokážeme sestrojit konečný utomt. U konečného utomtu pro konečný jzyk ývá ovyklý poždvek n rozlišitelnost nčítných slov podle koncového stvu, tedy pro kždé slovo jzyk y měl existovt smosttný koncový stv. Pk ez nutnosti porovnávání vstupu s jednotlivými slovy jzyk sndno zjistíme, které slovo ylo nčteno podle koncového stvu, ve kterém skončil výpočet. Postup je jednoduchý pro kždé slovo jzyk vytvoříme větev ve stvovém digrmu. Jestliže chceme utomt deterministický (opět jde o ovyklý poždvek, pokud tento postup používáme při progrmování), stčí sloučit počátky těch větví, které stejně zčínjí (konce větví nesmíme sloučit, neylo y možné rozpoznt slov jzyk podle koncových stvů!). Příkld 2.6 Podle zdného konečného jzyk vytvoříme konečný utomt. L = {hrd, hrom, polom, ohrd} q r q 2 q d 3 q 4 h h q r 5 q o 6 q m 7 q 8 q 0 p q o o 9 q l 0 q o q m 2 q 3 q h 4 q r 5 q 6 q d 7 q 8 q 9 Dále chceme, y utomt yl deterministický se zchováním možnosti rozlišit rozpoznávná slov podle koncového stvu. První dvě slov jzyk zčínjí stejným podřetězcem, tedy zčátky prvních dvou větví sloučíme: q r q 2 h o q d 3 q 4 q m 7 q 8 q 0 p q o o 9 q l 0 q o q m 2 q 3 q h 4 q r 5 q 6 q d 7 q 8 q 9 Kdyychom netrvli n podmínce odlišení slov koncovými stvy, ylo y možné sloučit všechny koncové stvy v jeden, tké stvy q 7 q 2. V konečném utomtu pro konečný jzyk nesmí ( ni nemůže) ýt žádná smyčk (cyklus) kdyy yl, pk y ylo možné tuto smyčku jkýkolivpočetkrát zopkovt rozpoznávný jzyk y yl nekonečný.

28 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 24 Úkoly. Vytvořte konečný utomt pro následující jzyky (deterministický, to tk, y pro kždé slovo jzyk existovl jeden konečný stv): () L = {strom, stroj, výstroj} () L = {if, else, elif} (c) L c = {red, write, writell, mtrix} (d) L d = {delfín, ry, velry} Poznámk: V přípdě (c) ude koncový stv větve pro druhé slovo součástí větve pro třetí slovo (pokud vytvoříme deterministický utomt). To je v pořádku, vlstnost rozpoznávání podle koncového stvu zůstává zchován. 2. Vytvořte konečný utomt (stvový digrm), který ude rozpoznávt všechn slov nd ecedou Σ = {,, c}, jejichž délk je () právě 3 znky, () nejvýše 3 znky (tj. 0,, 2 neo 3 znky). Nápověd: Jde o konečné jzyky. Víme, že v utomtu pro konečný jzyk nesmí ýt cyklus, tké víme, že přechody ve stvovém digrmu mohou ýt oznčeny více než jedním znkem. 2.5 Odstrnění nepotřených stvů (redukce) Nepotřené stvy jsou stvy, které nejsou použity při žádném úspěšném výpočtu (tj. končícím v koncovém stvu). Jedná se o stvy nedosžitelné neexistuje k nim cest z počátečního stvu, ndytečné neexistuje cest z tohoto stvu do jkéhokoliv koncového stvu. S odstrňováním (lépe řečeno ignorováním, neuvedením či vypuštěním) prvního typu nepotřených stvů nedosžitelných jsme se setkli už u zkráceného postupu pro převod nedeterministického utomtu n deterministický. Pokud nové řádky tulky přechodů tvoříme jen pro tkové množiny původních stvů, které se již vyskytly v některé uňce, většinu nedosžitelných stvů (le ne vždy všechny) utomticky odstrňujeme. Když chceme odstrnit nepotřené stvy, vždy zčínáme nedosžitelnými stvy ž potom odstrníme ndytečné. V oou přípdech postupujeme rekurzívně, to ud podle stvového digrmu neo podle tulky přechodů. nedosžitelné stvy: jko ázi (zákldní množinu) zvolíme S 0 = {q 0 } (oshuje pouze počáteční stv), dlší prvky přidáváme ve směru šipek v stvovém digrmu, resp. v tulce přechodů ve směru oznčení řádku osh uněk n řádku, postupně vytváříme množinu všech stvů, do kterých vede cest z počátečního stvu o délce mx. 0,,..., n kroků (toto číslo je dolní index u oznčení vytvářené množiny S i );

29 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 25 ndytečné stvy: jko ázi nopk zvolíme množinu koncových stvů E 0 = F, dlší prvky přidáváme proti směru šipek v stvovém digrmu, resp. ve směru osh některé uňky tulky přechodů oznčení řádku, vytváříme množinu všech stvů, ze kterých vede cest do některého koncového stvu o délce mx. 0,,..., n kroků. Příkld 2.7 V zdném konečném utomtu odstrníme nedosžitelné ndytečné stvy. c q 0 q q 3 q q q 2 q 5 q 2 q 3 q 0 q 3 q 3 q 4 q 5 q 2 q 3 q 5 q 5 q 0 c q 3 q c q 2 c q 5 q 4 Odstrníme nedosžitelné stvy (do kterých neexistuje cest z počátečního stvu): S 0 = {q 0 } S = {q 0 } {q, q 3 } = {q 0, q, q 3 } (ze stvu q 0 vede přechod do q q 3 ) S 2 = {q 0, q, q 3 } {q 5, q 2 } = {q 0, q, q 3, q 5, q 2 } S 3 = {q 0, q, q 3, q 5, q 2 } = S 2 (konec, v posledním kroku žádný stv do množiny nepřiyl) V množině S 3 není stv q 4, je tedy nedosžitelný z počátečního stvu můžeme ho z utomtu odstrnit. V kždé z množin S i, které jsme postupně vytvořili, njdeme všechny stvy, které jsou z počátečního stvu dosžitelné po nejvýše i krocích. Dále zjistíme, ze kterých stvů nevede cest do koncových stvů. Budeme prcovt již s utomtem po odstrnění stvu q 4. E 0 = F = {q, q 5 } E = {q, q 5 } {q 0 } = {q, q 5, q 0 } (do stvů z E 0 vede přechod pouze ze stvu q 0 ) E 2 = {q, q 5, q 0, q 2 } E 3 = {q, q 5, q 0, q 2 } = E 2 V množině E 3 není stv q 3, to znmená, že z tohoto stvu neexistuje žádná cest do koncového tedy když tento stv odstrníme, neovlivníme výpočet žádného slov, které utomt rozpoznává. Odstrníme tento stv tké všechny přechody s ním přímo související. Po odstrnění stvů neptřících do množin S i E i dostáváme tento konečný utomt: c q 0 q q q q 2 q 5 q 2 q 0 q 5 q 5 q 0 c q c q 2 q 5

30 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 26 Úkoly. Podle zdání následujícího utomtu vytvořte tulku přechodů stvový digrm. Potom odstrňte nepotřené stvy. Tkto uprvený utomt pk zúplňte (převed te n totální utomt). A = ({A, B,, D, E, F }, {0,, 2}, δ, A, {A, }) s funkcí δ: δ(a, 0) = E δ(a, ) = B δ(a, 2) = E δ(b, 0) = δ(b, ) = D δ(b, 2) = E δ(, 0) = δ(, ) = δ(d, 2) = δ(e, ) = E δ(e, 2) = E δ(f, 0) = δ(f, ) = E δ(f, 2) = F 2. K následujícímu konečnému utomtu vytvořte zývjící dvě reprezentce δ-funkci tulku přechodů. Potom odstrňte všechny nepotřené stvy. A c D B F E G 3. Podle následujících konečných utomtů určených tulkmi přechodů sestrojte stvové digrmy pk odstrňte všechny nepotřené stvy. c A A A B B B D A E B E B c q 0 q 4 q q q 4 q 0 q 2 q 3 q q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 3 4. Zmyslete se nd těmito přípdy: jk y vypdl jzyk uprveného utomtu (ez nepotřených stvů), kdyy do množin S i neyly zřzeny žádné koncové stvy? Jk y vypdl tento jzyk, kdyy do množin E i neyl zřzen počáteční stv? 2.6 Uzávěrové vlstnosti regulární operce Tříd jzyků je množin všech jzyků s dnou společnou vlstností. Tké regulární jzyky tvoří třídu tříd regulárních jzyků je množin všech jzyků, pro které lze sestrojit konečný utomt. P

31 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 27 Víme, že n řetězce lze použít operci zřetězení. Jzyk je množin řetězců, tedy n jzyk můžeme použít různé množinové operce (sjednocení, průnik, doplněk zrcdlení, sustituci), tké operce odvozené z práce s řetězci znky (signály) zřetězení, dále iterci (operce hvězdičk ) dlší. Tříd jzyků je uzvřen vzhledem k nějké operci, pokud po upltnění operce n jzyky z této třídy vždy vznikne jzyk ptřící do stejné třídy. Postupně si ukážeme všechny zákldní operce, to n konečných utomtech. Pokud jde o inární operci (upltňuje se n dv jzyky), je ovykou podmínkou disjunktnost průniku množin stvů utomtů (žádný stv existuje v oou utomtech zároveň) Sjednocení V přípdě sjednocení využijeme celou definici původních utomtů. Přidáme nový stv z tohoto stvu povedeme přechody do všech stvů, do kterých vede přechod z počátečního stvu. Nový stv nám tedy simuluje použití počátečních stvů v původních utomtech. Postup si můžeme předstvit tře tk, že vezmeme všechny přechody, které vedou z původních počátečních stvů, zkopírujeme (ne přeneseme, ty původní musejí zůstt) jejich zčátky (tj. u stvů, ze kterých vycházejí) k novému stvu. Pokud některý z původních počátečních stvů ptří i do množiny koncových stvů, pk tké tuto vlstnost přidáme novému počátečnímu stvu. Oznčme A = (Q, Σ, δ, q, F ) je první utomt, A 2 = (Q 2, Σ 2, δ 2, q 2, F 2 ) je druhý utomt, pk utomt rozpoznávjící jzyk, který je sjednocením jzyků oou utomtů, je A = (Q Q 2 {s 0 }, Σ Σ 2, δ, s 0, F F 2 ), pltí, že s 0 / Q Q 2, přechodová funkce: δ(s 0, x) = { δ (q, x) δ 2 (q 2, x), x Σ Σ 2 δ (r, x) ; r Q, x Σ, δ(r, x) = δ 2 (r, x) ; r Q 2, x Σ 2 To znmená, že přechodovou funkci prkticky přejmeme z původních utomtů, změn ude jen n zčátku. Příkld 2.8 Ukážeme si operci sjednocení n následujících jzycích utomtech: L = {() i ( ) : i 0} L 2 = { i j ; i, j 0} Konečné utomty pro tyto jzyky jsou následující: P P q 0 q q 0 q q 2 q q q 2 q 0 q 2 A B A A B B

32 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 28 A = ({q 0, q, q 2 }, {, }, δ, q 0, {q 0, q }) δ (q 0, ) = q δ (q 0, ) = q 2 δ (q 2, ) = q 0 δ (q 2, ) = q A 2 = ({A, B, }, {, }, δ 2, A, {}) δ 2 (A, ) = A δ 2 (A, ) = B δ 2 (B, ) = δ 2 (, ) = Přidáme nový stv s 0 všechny přechody z tohoto stvu nsměrujeme oznčíme stejně jko přechody z počátečních stvů původních utomtů. Postup je nejnázornější n stvovém digrmu, le je jednoduchý tké v tulce přechodů stčí oě tulky shrnout do jedné přidt nový řádek, jehož uňky udou sjednocením uněk n řádcích původních počátečních stvů n příslušných sloupcích. Protože jeden z původních počátečních stvů (q 0 ) ptří do množiny koncových stvů, tké nový počáteční stv s 0 ude zároveň koncovým. q 0 q s 0 A q 2 B s 0 q, A q 2, B q 0 q q 2 q q 2 q 0 q A A B B A = ({s 0, q 0, q, q 2, A, B, }, {, }, δ, s 0, {q 0, q, }) δ(s 0, ) = δ (q 0, ) δ 2 (A, ) = {q, A} δ(s 0, ) = δ (q 0, ) δ 2 (A, ) = {q 2, B} δ(q 0, ) = {q } δ(q 0, ) = {q 2 } δ(q 2, ) = {q 0 } Je zřejmé, že L(A) = L(A ) L(A 2 ). δ(q 2, ) = {q } δ(a, ) = {A} δ(a, ) = {B} δ(b, ) = {} δ(, ) = {} Pokud y žádný z původních počátečních stvů neptřil do množiny koncových stvů, pk ni stv s 0 nesmíme zřdit do množiny koncových stvů! Znmenlo y to, že do výsledného jzyk nemá ptřit prázdné slovo. L Úkoly. Použijte operci sjednocení n následující konečné utomty: A B D E

33 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY Použijte operci sjednocení n následující konečné utomty (q 3 zároveň koncový!): c q 0 q 0, q 2 q q q 2 q 2 q 2 q 3 q 4 q 6 q 4 q 5 q 5 q 3 q 6 3. Pro o konečné utomty ze zdání předchozího příkldu tké pro výsledný utomt vytvořte zylé dv typy reprezentcí stvový digrm δ-funkci včetně plné specifikce utomtu. 4. Zmyslete se nd tím, jk y vypdlo sjednocení více než dvou konečných utomtů Zřetězení Zřetězení dvou jzyků vytvoříme tk, že ve výsledném jzyce jsou všechny možné řetězce, jejichž první část je kterékoliv slovo z prvního jzyk druhá část zse kterékoliv slovo z druhého jzyk. Záleží n pořdí, části slov nemůžeme přehodit, řídí se pořdím zřetězovných jzyků. Příkld 2.9 Princip zřetězení jzyků si ukážeme n těchto konečných jzycích: L = {ε, c, } L 2 = {dd, dc} Zřetězením těchto dvou jzyků získáme jzyk L = L L 2 : L = {ε dd, ε dc, c dd, c dc, dd, dc} = {dd, dc, ccc, cdc, dd, dc} P Při zřetězení není tře ve výsledném utomtu vytvářet nový stv. Opět využijeme všechny stvy přechody z původních utomtů udeme přidávt nové přechody, které je propojí. Při ukončení výpočtu první části slov (tj. v prvním původním utomtu) je tře plynule nvázt n výpočet druhého původního utomtu. Proto nově přidávné přechody udou vést z koncových stvů prvního utomtu, jejich cílový stv (stv, do kterého ude směřovt šipk přechodu) oznčení přejmeme (zkopírujeme) od přechodů z počátečního stvu druhého původního utomtu. Počátečním stvem výsledného utomtu ude smozřejmě počáteční stv prvního původního utomtu. Do množiny koncových stvů zřdíme koncové stvy druhého původního utomtu, pokud počáteční stv druhého utomtu yl zároveň koncovým (to znmená, že do druhého jzyk ptřilo slovo ε), pk do množiny koncových stvů výsledného utomtu zřdíme tké koncové stvy prvního původního utomtu.

34 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 30 Oznčme A = (Q, Σ, δ, q, F ) je první utomt, A 2 = (Q 2, Σ 2, δ 2, q 2, F 2 ) je druhý utomt, zde je již důležité jejich pořdí, pk utomt rozpoznávjící jzyk, který je zřetězením jzyků oou utomtů, je A = (Q Q 2, Σ Σ 2, δ, q, F ), koncové stvy: F = F 2, pokud ε / L(A 2 ) F = F F 2, pokud ε L(A 2 ) (tj. jestliže v jzyce druhého utomtu ylo prázdné slovo, tedy počáteční stv ptřil do množiny koncových stvů, znmená to, že do výsledného jzyk udou ptřit i všechn slov rozpoznávná prvním utomtem zřetězená s ε, lze skončit tké ve stvech z F ) Přechodová funkce: δ(r, x) = δ (r, x) ; r Q F, x Σ, δ (r, x) δ 2 (q 2, x) ; r F, x Σ Σ 2, δ 2 (r, x) ; r Q 2, x Σ 2 Znmená to, že v koncových stvech prvního původního utomtu udeme (kromě existujících původních rekcí) regovt stejně, jko v počátečním stvu druhého původního utomtu (což je podle nšeho znčení q 2 ). P Příkld 2.0 Zřetězíme jzyky těchto konečných utomtů: q 0 q A q 0 q q 2 q q q 2 q 0 q 2 A B A 2 A A B B A = ({q 0, q, q 2 }, {, }, δ, q 0, {q 0, q }) δ (q 0, ) = q δ (q 0, ) = q 2 δ (q 2, ) = q 0 δ (q 2, ) = q A 2 = ({A, B, }, {, }, δ 2, A, {}) δ 2 (A, ) = A δ 2 (A, ) = B δ 2 (B, ) = δ 2 (, ) = V utomtu A (prvním) jsou dv koncové stvy. Z nich udou vést nové přechody ke stvům utomtu A 2 ke všem stvům, do kterých vede přechod z počátečního stvu A. q 0 q q 2 A B q 0 q, A q 2, B q A B q 2 q 0 q A A B B

35 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 3 A = ({q 0, q, q 2, A, B, }, {, }, δ, {}) δ(q 0, ) = {q, A} δ(q 0, ) = {q 2, B} δ(q, ) = {A} δ(q, ) = {B} δ(q 2, ) = {q 0 } δ(q 2, ) = {q } δ(a, ) = {A} δ(a, ) = {B} δ(b, ) = {} δ(, ) = {} Pltí L(A) = L(A ) L(A 2 ). Příkld 2. Nyní použijeme stejné zdání jko v předchozím příkldu, jen orátíme pořdí zřetězovných utomtů. usíme rát v úvhu to, že počáteční stv utomtu, který je ted druhý v pořdí, je zároveň koncovým stvem, což ude mít vliv tké n množinu koncových stvů: A B q 0 q q 2 A A B B, q q 2 q 0 q q 2 q q 2 q 0 q A = ({q 0, q, q 2, A, B, }, {, }, δ, {, q 0, q }) δ(a, ) = {A} δ(a, ) = {B} δ(b, ) = {} Pltí L(A ) = L(A 2 ) L(A ). δ(, ) = {, q } δ(, ) = {q 2 } δ(q 0, ) = {q } δ(q 0, ) = {q 2 } δ(q 2, ) = {q 0 } δ(q 2, ) = {q } Úkoly. Proved te operci zřetězení jzyků následujících konečných utomtů: 0 0 A B 0 D E 2. Proved te operci zřetězení jzyků následujících konečných utomtů nejdřív v pořdí podle zdání (L(A ) L(A 2 )) potom v opčném pořdí (L(A 2 ) L(A )). Sestrojte tké stvové digrmy.

36 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 32 A q 0 q 0, q 2 q q q 2 q 2 q 2 A 2 c q 3 q 4 q 6 q 4 q 5 q 5 q 3 q Iterce (Kleeneho uzávěr) Při iterci zřetězujeme jzyk sám se seou, to 0,, 2,..., pk všechny výsledné jzyky po zřetězení sjednotíme. Formálně to můžeme zpst následovně: L = L i i=0 P kde L i je i-násoné zřetězení jzyk L sm se seou (npříkld pro i = 3 ylo L 3 = L L L). Zřetězení jsme již proírli. Příkld 2.2 Princip iterce jzyk si ukážeme n tomto konečném jzyce: L = {c,, cd} Itercí získáme jzyk L = L : L = { ε, c,, cd, cc, c, ccd, c,, cd, cdc, cd, cdcd, ccc, cc, cccd, cc, c, ccd,...} ,... Výsledkem iterce je vždy nekonečný jzyk oshující prázdné slovo ε, i kdyy původní jzyk L yl konečný i kdyy prázdné slovo neoshovl. Úprv konečného utomtu při iterci spočívá v těchto dvou krocích:. vytvoříme nový počáteční stv, přechody z něj vedoucí určíme stejné jko ty, které vedou z původního počátečního stvu, 2. vytvoříme nové přechody umožňující návrt z koncových stvů n počátek výpočtu (dlší slovo z jzyk), 3. nový počáteční stv zřdíme do množiny koncových stvů (tím zřdíme do jzyk slovo ε). První od je nevyhnutelný především tehdy, pokud v původním utomtu vede některý přechod do počátečního stvu zároveň tento stv neyl v množině koncových stvů; je tře zránit tomu, y zřzení počátečního stvu do množiny koncových stvů mělo z následek rozpoznávání tkových slov, která do jzyk správně ptřit nemjí. L P

37 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 33 Oznčme A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) původní utomt, pk utomt rozpoznávjící jzyk, který je itercí původního jzyk, je A = (Q {s 0 }, Σ, δ, s 0, F {s 0 }), přechodová funkce: δ (r, x) ; r Q F, x Σ, δ(r, x) = δ (r, x) δ (q 0, x) ; r F, x Σ, δ (q 0, x) ; r = s 0, x Σ Nové přechody povedou z původních koncových stvů, to do všech stvů, do kterých vede přechod z počátečního stvu. Princip je prkticky stejný jko u dříve proírných opercí, kopírujeme počátky přechodů od počátečního stvu se zchováním jejich cíle i oznčení (signálu). Příkld 2.3 Vytvoříme iterci jzyk následujícího utomtu: A = ({A, B,, D}, {0,, 2}, δ, A, {B, D}) P 0 A B D 0 2 A A B B D B D D δ (A, 0) = A δ (A, ) = B δ (A, 2) = δ (B, ) = D δ (B, 2) = B δ (, 0) = D Postup: Koncové stvy jsou dv. Z kždého přidáme přechody do všech stvů, do kterých směřují přechody z počátečního stvu. Vytvoříme nový počáteční stv přechody z něj vedoucí zkopírujeme z původního počátečního stvu (tj. v novém počátečním stvu se utomt ude chovt stejně jko v původním). Tento krok je sice u většiny utomtů zytečný, le u některých nutný zmezíme vzniku smyček přes počáteční stv generujících slov neptřící do jzyk (tkové smyčky jsme mohli vytvořit předchozím krokem). Potom (nový) počáteční stv oznčíme jko koncový, y utomt přijíml prázdné slovo ε. s A , 2 B D 0 2 s 0 A B A A B B A D, B B, D D A B 0

38 KAPITOLA 2 KONEČNÉ AUTOATY 34 A = ({s 0, A, B,, D}, {0,, 2}, δ, s 0, {s 0, B, D}) δ(s 0, 0) = A δ(s 0, ) = B δ(s 0, 2) = δ(a, 0) = A δ(a, ) = B δ(a, 2) = δ(b, ) = D δ(b, 2) = B δ(, 0) = D δ(b, 0) = A δ(b, ) = B δ(b, 2) = δ(d, 0) = A δ(d, ) = B δ(d, 2) = Kdyy stv A v původním utomtu ptřil do množiny koncových stvů, tk y smozřejmě koncovým stvem zůstl. Úkoly. Zkonstruujte konečný utomt jzyk, který je itercí jzyk následujícího utomtu: q 0 q q 2 A q 0 q q 2 q q 2 q 0 q 2. Zkonstruujte konečný utomt jzyk, který je itercí jzyk následujícího utomtu: 0 D 0 D D E E E E Pro výsledný utomt tké vytvořte třetí typ reprezentce δ-funkci s plnou specifikcí. 2.7 Uzávěrové vlstnosti dlší operce 2.7. Pozitivní iterce Pozitivní iterce je podoná operce jko předchozí, le ztímco iterce znmená řetězení 0,, 2,..., při pozitivní iterci zčínáme při řetězení ž, 2,.... temtický zápis oojího: L = L i L + = L i i=0 i= Postup je stejný jko u iterce, le pokud počáteční stv původního utomtu neptřil do množiny koncových stvů (tj. slovo ε neptřilo do jzyk), neude koncovým stvem ni po úprvě utomtu. Oznčme A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) původní utomt, pk utomt rozpoznávjící jzyk, který je P P

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012 Ulice Agentur sociální práce, o. s. Účetní závěrk z rok 2012 Osh: I. OBECNÉ INFORMACE... 2 1. POPIS ÚČETNÍ JEDNOTKY... 2 2. ZAMĚSTNANCI A OSOBNÍ NÁKLADY... 2 3. POSKYTNUTÉ PŮJČKY, ZÁRUKY ČI JINÁ PLNĚNÍ...

Více

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Test studijních předpokladů Varianta B2 FEM UO, Brno 2014 1

Test studijních předpokladů Varianta B2 FEM UO, Brno 2014 1 Test studijních předpokladů Varianta B2 FEM UO, Brno 2014 1 Příklad 1. Z uvedených možností vyerte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Jestliže v sootu neude pěkně, koncert se

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

ROZVAHA. ke dni... BAB mont s.r.o. Klíčovská 805/11 Praha 9 190 00 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0

ROZVAHA. ke dni... BAB mont s.r.o. Klíčovská 805/11 Praha 9 190 00 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 Minimální závzný výčet informcí podle vyhlášky č. 500/2002 S. Písemnost yl podán elektronicky dne: 20.6.2012 Podcí : 2172526 Heslo zjištění stvu: c3d895fe Stv podání: vyřízeno ROZVAHA ke dni... 3 1. 1

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Uživtelská příručk pro Windows Řešení prolémů s instlcí Kontrolní seznm pro řešení ěžných prolémů při instlci. Zákldní informce o tiskárně Informce o částech tiskárny softwru

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

ROZVAHA. ke dni... Roset s.r.o. 31. 12. 2011. Raisova 1004 Strakonice 386 01

ROZVAHA. ke dni... Roset s.r.o. 31. 12. 2011. Raisova 1004 Strakonice 386 01 Minimální závzný výčet informcí podle vyhlášky č. 500/2002 S. ROZVAHA ke dni... 31. 12. 2011 jednotky: 1000 Kč Rok Měsíc IČ 2011 1 2 28065280 Ochodní firm neo jiný název účetní jednotky Roset s.r.o. Sídlo

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Word praktická cvičení

Word praktická cvičení Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: Informční.. Ing. Andre komunikční (podle ooru Květen 03 Modrovská tehnologie změření) Název zprovného elku: Textový proesor Word prktiká vičení Word prktiká vičení Tento

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Ó Á Ň Í Ž Č Í Ž ň Ž Ž ú Ž Ž Á Ž Í ú ú ú Í Í ť ť ď Í Í ú Í ď Ž Ř Í ň ď Č Í Č Č ď ď Ž Č ď Ž Ž ď Í Ž ú ď Ó ď ú Í Í ď ď ď ď ň Žď ú ú ť ď ď ď Ž Ž Á ď Ž Í Ž Ž Ž ď Ž Č Ž Ž ú Ž Í ú ň Ž ú ď ň ď Č Č ď ú Č ť Ó Í

Více

Sekvenční a podmíněné provádění

Sekvenční a podmíněné provádění Programování v Bourne shellu Sekvenční a podmíněné provádění Sekvenční provádění znamená vykonávání jednoho příkazu za druhým bez ohledu na okolnosti. Pro oddělení příkazů při sekvenčním provádění se používá

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING CO JE TO SMARTSELLING SmartSelling je první kompletní nástroj n[ českém [ slovenském trhu, který pod jednou střechou spojuje všechny nezbytné nástroje moderního online

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

Příklad síťového adresování

Příklad síťového adresování Příklad síťového adresování Pro rozadresování podsítí je potřebné stanovit kolik bitů bude potřeba pro každou podsíť. Je nutné k počtu stanic v síti připočíst rozhraní připojeného routeru a adresu sítě

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění GRAFY SOUVĚTÍ AUTOR Mgr. Jn Piklová OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí jejich grfických znázornění FORMA VZDĚLÁVACÍHO MATERIÁLU prcovní list pro žák POMŮCKY ppír kopírk OBSAH 1. Prcovní list s grfy

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Č Ž Á Í ž é é ě ě ú ů ů ě ě š ů Ť é ě é ě š ě š ě ě š ů é ú é ě ž ě ě š ů ú ú ě é ú ě ě š ů ě ů ů ě ěž ů ž ěž ů é ú ěž ž ů ě ě ú é ů ů ú š ó ě ú ů ů ů ů ů ů š ú ž ú é ň ú ů ů š ě ě ě ú ú é ú ě ů ě ú ů

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Referenční příručka pro instalační techniky

Referenční příručka pro instalační techniky Referenční příručk pro instlční techniky Tepelné čerpdlo země/vod Dikin Altherm Referenční příručk pro instlční techniky Tepelné čerpdlo země/vod Dikin Altherm češtin Osh Osh 1 Všeoecná ezpečnostní optření

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

SINEAX C 402 Hlásič mezních hodnot

SINEAX C 402 Hlásič mezních hodnot pro stejnosměrné proudy neo stejnosměrná npětí Použití SINEAX C 402 (or. 1) se používá především k sledování mezních hodnot při měřeních s proudovými neo npěťovými signály. Signlizce se přitom provádí

Více

óš ř Ř Í É ŘÍ Í Á Í Á Á Ý Á Í Č Á Ž Í Ř Í ŠÍÚ Ý Í Í Č Í Ú ÁŠ Í Č Á Í ĚŘ ú é ú ěš é ř š ě č ř š ř š č ě š ě é é č ř č č é é ž ř ě ěš ž óě Í ř ě ř ě ě š ě ě ř ě é ž é šť ě ř ě ě č č č šé ě ř ě é é Č é š

Více

Rozvaha a změny rozvahových položek. Rozvahové a výsledkové účty. Podvojný účetní zápis. Syntetické a analytické účty.

Rozvaha a změny rozvahových položek. Rozvahové a výsledkové účty. Podvojný účetní zápis. Syntetické a analytické účty. Rozvaha ZÁKLADY ÚČETNICTVÍ 5 5 ZÁKLADY ÚČETNICTVÍ Rozvaha a změny rozvahových položek. Rozvahové a výsledkové účty. Podvojný účetní zápis. Syntetické a analytické účty. 5.1 Rozvaha 5.1.1 Aktiva a pasiva

Více

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám Sttik stvebních konstrukcí I.,.ročník bklářského studi Tém 4 Rovinný rám Zákldní vlstnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzvřený rám Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

00GR_AV500P_EEuro.book Page 1 Thursday, December 13, 2007 6:06 PM. AV50* Series

00GR_AV500P_EEuro.book Page 1 Thursday, December 13, 2007 6:06 PM. AV50* Series GR_AV5P_EEuro.ook Pge 1 Thursdy, Decemer 13, 27 6:6 PM AV5* Series GR_AV5P_EEuro.ook Pge 3 Thursdy, Decemer 13, 27 6:6 PM sh NASTAVENÍ Bezpečnostní zásdy...4 Instlce důležité informce ohledně instlce...5

Více

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu Studijní informční systém Elektronický zápis předmětů rozvrhu V odoí elektronického zápisu předmětů proíhá tzv. předěžný zápis. Student má předměty zpsné ztím pouze předěžně může je po celé odoí elektronického

Více

Č š ú Í ť úď ů Í ů Í Í ú ů ú Ž Í ů ů ů Í ů ů Í Í ň Ó ň ň Í Í š ť ň ž ň ň ů Ů ů ň ů ů ů ů ň ž Ž ž Ž Ž Ž Š Š Ž ů Ž Í Ž ů Í Č Ž ž ň ň Ž ů Ž Ž ú Í ů ů Ý ň ň ň ů Ž Í ď ů ů ů ů ň Ó ů Í ů Š ú ů ú ú Í ů Í ů ů

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE

ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE MUDr. Mgdlen Koťová, Ph.D. ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE Recenzent: Prof. MUDr. Jiří Mzánek, DrSc. Grd Pulishing,.s., 2006 Fotogrfie z rchivu utorky. Perokresy podle návrhů utorky nkreslil

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

Budova mateřské školy je řešena jako sendvičová

Budova mateřské školy je řešena jako sendvičová 42 Sendvičová dřevěná stv s jednoduchým půdorysem Stv Mteřské školy Sklníkov v Mriánských Lázních-Úšovcích je příkldem použití dřevěné konstrukční áze pro udovu očnského vyvení. Proszení tkovéto stvy stále

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

Nástrčné tvarovky 167

Nástrčné tvarovky 167 Nástrčné tvrovky Nástrčné tvrovky 167 Nástrčné tvrovky Přehled produktů Tectite Sprint je nerozeírtelný systém ideální pro rychlé efektivní tepelně odolné spojení. Díky jednoduchému systému spojování

Více

ř ú ú Š Í Á É ř ř ř é é ř ř š é ř ř š ř é ž é ž š é š é é ř ů ž ž ř é ř ů é é ž é ř é é ř é ú é é ž é é š ň é ř š é š é Ť é ř ů ž ž ď ř é é é ž ř é Š ů é ř é ř é Š ú ř Í ž ž ř ř Í é š ž é ř Ť š ř ř ř š

Více

ň ý ě ý ý ý ě ň ý ě ý Ú ú ň ň ý ě ý ó ž ý ň ě ě ě ú ú Ř ň ň ý ě ý ě ě ž ý ž ě ý ě ý ě ě ů ě Ů Č Í Ě Á Á Í ě ě ě ě Ž Ů ú ě ě ě Ú ě ů ě ý ě ě ú ň ý ě Ů ž ů ž ě ý ý ý ý ě Č Č ě Č ě ů ý ě ý ý ž ě ě ž ů ž ě

Více

ě ě ú ě ě ě ě ě ň ě ň ů ě ů Ý ě ě ů ň ě Í ě ň ě ě Ž ě ň ě ě ú ů ú ě ě ě ú ě ě ě ě ě ě ů ě ů ě ě ú ů ě ě ě Ž ů ě ě ú Ž Ž Ú ě ě ě ě Ž Ž ě ť Ž Í ě Ž ě Ž Ž ů ěž ů ěž ě Í Ú ů ě ů ě Ž Ž Ž ě ě ě ů ě ě ě ě ě ů

Více

Podmínky externí spolupráce

Podmínky externí spolupráce Podmínky externí spolupráce mezi tlumočnicko překldtelskou genturou Grbmüller Jzykový servis předstvující sdružení dvou fyzických osob podniktelů: Mrek Grbmüller, IČO: 14901820, DIČ: CZ6512231154, místo

Více

ŘEŠENÍ OBVODŮ S TRANSIMPEDANČNÍMI OPERAČNÍMI ZESILOVAČI POMOCÍ GRAFŮ SIGNÁLOVÝCH TOKŮ

ŘEŠENÍ OBVODŮ S TRANSIMPEDANČNÍMI OPERAČNÍMI ZESILOVAČI POMOCÍ GRAFŮ SIGNÁLOVÝCH TOKŮ ŘEŠENÍ OBVODŮ S ANSMPEDANČNÍM OPEAČNÍM ESLOVAČ POMOÍ AFŮ SNÁLOVÝH OŮ ÚVOD Dlior Biolek, VA Brno rnsimpenční operční zesilovče (O) jsou perspektivní tegrovné ovoy, které jsou svými přenosovými vlstnostmi

Více

Staveništní malty a suché maltové směsi při obnově památek

Staveništní malty a suché maltové směsi při obnově památek Společnost pro technologie ochrny pmátek Národní technické muzeum Stveništní mlty suché mltové směsi při onově pmátek odorný seminář 18. dun 2013 Národní technické muzeum Kostelní 42, Prh 7 1 Stveništní

Více

Odpověď. konkurenci domácnosti firmy stát a. makroekonomie mikroekonomie mezinárodní ekonomie. Co? Jak? Pro koho? Proč? d

Odpověď. konkurenci domácnosti firmy stát a. makroekonomie mikroekonomie mezinárodní ekonomie. Co? Jak? Pro koho? Proč? d Přijímcí řízení kdemický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek ekonomický přehled 1 Koš Znění otázky Odpověď Odpověď Odpověď Odpověď Správná ) ) c) d) odpověď 1. 1 Mezi ekonomické sujekty trhu

Více

ň ť Č Á ť ň ň Ú Ú Á Ň ď Ú Ů Ý É Ů Ď Č ň ď ň ň ň ň Č ň ň Ď Č ň Š ň Š Š Č ň Ú Š Š Š Ě Ú ť ď ď Á Ď ť É Č ť Ó ň ť Ď Ď Ď Ý Ď Ž Ď Ď Ý Ď Ú ň ň Ď Ď Ý Ď Ď Ď ň ť Ť Ů Ú ň ď ň Ř Ů ň Á Š ť Č ň Š Š ň ň ň ť ť ť ť ť ť

Více

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Využití shlukové analýzy a metody hlavních komponent při identifikaci faktorů ovlivňující přijetí IFRS pro SME

Využití shlukové analýzy a metody hlavních komponent při identifikaci faktorů ovlivňující přijetí IFRS pro SME Trendy ekonomiky mngementu / Trends Economics nd Mngement Využití shlukové nlýzy metody hlvních komponent při identifikci fktorů ovlivňující přijetí IFRS pro SME The Use of Cluster Anlysis nd Principl

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

ě Ň ť Ť ě šň Č ů ě ě Ň ě ě ě ž Ú Ň ě ě ě ě ě Ň ě Ť Ť ě Áě Ú ů ň ě ě ě Ú ě Ť ě ž ů ě ž ě ž ě ů ž ů ě ě ů ě ž ěď Á ů ě Ť ě ž ž ě ů ě ž ů ď ď ď ě ě Ú Ň ů ů ď ě ě ě ů ě Á Ň ě ě ě ď ě ě ď Č ž ě ž ě Ý ě š ě

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa Smlouv o ustájení zjišťování veterinární péče pro toulvá opuštěná zvířt odchycená n území měst Česká Líp Smluvní strny Objedntel: Město Česká Líp, náměstí TGM 1,47001 Česká Líp Zstoupené : p. Jiřím Pzourkem,

Více

Rodné èíslo: Èíslo OP: Telefon:

Rodné èíslo: Èíslo OP: Telefon: Pøedávjící: Boøivojov 84 130 00, Prh 3 tel: +420 775 125 143, www.volnedodvky.cz Dále jen vlstník Pøebírjící è. 1 Dále jen nájemce 1 Smluvní strny sepsly dnešního dne tuto Výpùjèní smlouvu Pøedávjící prohlšuje,

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla Dobývání znlostí z dtbází (MI-KDD) Přednášk číslo 4 Asociční prvidl (c) prof. RNDr. Jn Ruch, CSc. KIZI, Fkult informtiky sttistiky VŠE zimní semestr 2011/2012 Evropský sociální fond Prh & EU: Investujeme

Více

FUNKCE 3. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 3. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 3 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury 1 / 34 Obsah přednášky Základní řídící struktury posloupnost příkazů podmínka cyklus s podmínkou na začátku cyklus s podmínkou na konci cyklus s pevným počtem opakování Jednoduchá

Více

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání Čtvrtek 3. listopadu Makra v Excelu Obecná definice makra: Podle definice je makro strukturovanou definicí jedné nebo několika akcí, které chceme, aby MS Excel vykonal jako odezvu na nějakou námi definovanou

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

č ě č ě Ž Ž č č Ť ě Ú ě Ž ě ě ě ě ž ě ď ě Ť ě ě ě Ť Ť ž č ě Ř Á Ř Ě Á ÁŘ Á Á Ť ě Š Š ě ť čď č Ě Í Á Ť Žč Ť č Ť Ť Ť Ť č Ó Ť ě Ť č Š ě ě č č ě č ě č ď ě ě Í ř Ť ď ě ě ě ě ě ť Ě Í Ť ě č Í ě č ě Ť č Í ě Ť

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více