1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY."

Transkript

1 . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý, dostl dort. d) Petr ebyl hodý, edostl dort. Ve kterých přípdech vyslovil prvdivý výrok. ) Rozhoděte, při kterých prvdivostích hodotách výroků A,B je uvedeá výroková formule prvdivá: ) ( A B) ( A B) b) ( A B) B ) Rozhoděte, zd jsou uvedeé výrokové formule tutologiemi: ) ( A) A b) ( A B) ( A B) c) Npište egce ásledujících slovích výroků. d) Přijde Ale Brbor. e) Přijde Cyril ebo Dvid. f) Jestliže přijde Ev, potom přijde i H. g) J přijde právě tehdy, když přijde Iv. ) Rozhoděte, které z ásledujících vět lze povžovt z výroky: ) Úhlopříčky čtverce jsou vzájem kolmé. b) Eistuje rovostrý trojúhelík. c) Pythgorov vět. d) Číslo je kldé. 5) Vyslovte egce ásledujících výroků: ) Aspoň šest přirozeých čísel splňuje erovost 0 p 0 b) Číslo 9 má ejvýše pět dělitelů. c) Kždé prvočíslo je liché číslo. 6) Tři stroje prcují z ásledujících podmíek: ) Prcuje-li prví, prcuje druhý. b) Prcuje druhý ebo třetí. c) Neprcuje-li prví, eprcuje i třetí. Jké jsou možosti pro práci strojů? 7) Obměňte ásledující výroky: ) N pltí : je sudé je sudé. b) Pes, který štěká, ekouše. Str /70

2 8) Vyslovte obměy obráceí implikcí: ) Jsem-li uveý, ihed usíám. Mturití opkováí.doc b) Je-li souči dvou přirozeých čísel číslo liché, jsou obě čísl lichá. c) Neí-li ve městě dosttek zeleě, zvyšuje se možství CO v ovzduší měst. 9) Vytvořte egce výrokových forem: ) < 0, R b) y,, y R 0) Vyslovte egce kvtifikových výroků: ) Všichi žáci ší třídy prospěli. b) Alespoň jede žák ší třídy získl vyzmeáí. c) Žádý žák v ší třídě eosí brýle. d) Alespoň tři žáci z ší třídy půjdou do ki. e) Bude pršet ejvýše čtyři dy. f) Rovice má právě dv kořey. ) Vyjádřete egce složeých výroků: ) Npiji se kávy ebo čje. b) Nejsem žízivý i hldový. c) Bude-li k dostáí čerstvé ovoce, ekoupím si kompot. d) Koupím slám právě tehdy, když ebude šuk. ) Vyjádřete egce ásledujících složeých výroků s kvtifikátory: ) Dá rovice má lespoň jede kldý ebo záporý koře. b) Jestliže dá rovice má jede dvojásobý koře, pk má lespoň jede dlší koře. ) Negujte ásledující výroky: ) N dešek se učili lespoň žáci. b) Tto úloh má právě řešeí. c) Stvb potrvá ejvýše tři roky. d) Mám hld i žízeň. e) Nebudou-li mít colu, objedám si čj ebo pivo. f) Přijde Dvid ebi Cyril. g) Bude-li pěkě, půjdu hrát teis ebo kopou. h) R : > 0 i) Dá rovice má ejvýše jedo řešeí. j) N pltí : / / k) R : 0 l) Všichi žáci ší třídy prospěli. m) 5/ / 5 / Str /70

3 . MATEMATICKÉ DŮKAZY. Přímý důkz ( A B): vycházíme z předpokldu dé věty musíme se doprcovt k jejímu tvrzeí Npř. Z ; liché č. liché č. k, kde ( ) liché č.: k, potom ( ) ( k k) k k je sudé. Nepřímý důkz ( A B B' A' ): dokzujeme větu obměěou pomocí přímého důkzu. Npř. m Z ; m dělitelé m dělitelé k, potom ( ) ( k k) ( k ) ( k k), kde ( k k) ( k k) edělitelé : k Důkz sporem ( ( A B) ' A B' Str /70 k ebo jsou dělitelá. ): b Npř., b R ; b b předpokládáme, b R ; < b, po úprvách rovice: ( b) < 0, protože emůže být <0 spor s předpokldem dá vět pltí. ) Vypište typy důkzů vysvětlete jejich podsttu. ) Dokžte ekvivleci: ) b) N : / / N : 5 / 5 / ) Dokžte implikci: ) N : 5/ 0 / b) N : / 6 / c) N : 5/ ( ) 5/ ) Dokžte, že číslo je ircioálí. 5) Dokžte: N : / /. 6) Dokžte: N : je sudé je sudé. 7) Dokžte ebo vyvrťte pltost erovosti: 0 0. ( ) 8) Vyslovte hypotézu o počtu úhlopříček v koveím -úhelíku ( p ) pk ji dokžte.. MATEMATICKÁ INDUKCE ) Dokžte mtemtickou idukcí: ) N :.. b) N :... ( ) ( )

4 c)... ( )( ) 5.. d) ( ) ) Dokžte, že pro kždé N Mturití opkováí.doc Po6/5 6 je. ) číslo dělitelé šesti. Po7/50 b) číslo 5 je dělitelé čtyřmi ) / 5 k ) Předpokládám: k : / 5 k k : / 5 ; 5 Po8/5 k k k k Dokzuji: ( 5 ) ; / / 5 c) N : 6 /( 5) 5 d) N : 5/( ) e) N : /( 5) f) N :6 /(9 8 9) Tk to je huté! Kdo bude mít všechy, tomu pogrtuluji. g) h) N : 5... ( ) ( ) N : (i ) i i) N : (i ) (i ) i!!! ( )! ( )! j) N :.... MNOŽINY A OPERACE S NIMI. ) Jsou dáy možiy reálých čísel A { R, 6 5 > 0 }, B { R, } Nlezěte: A B, A B, A-B, B-A itervlů zpište možiy 7 / / A B, A B, A, B, A B. ) Jsou dáy možiy A R; 0, B { R, > } ) Jsou dáy možiy A R; <, B R; 8 0, C Z ; / { } { } { < 5} Pomocí itervlů zpište možiy R R / A B, A B, A C, BR, B A. Str /70. Pomocí ) Zpište výčtem prvků ásledující možiy: M { N; 0 }, { Z ; 5 } < M M M M M. Zpište výsledek opercí M M, M, M, 5) Jsou dáy dvě možiy: M { N; / 60 }, M { N;7 p 0 }. Zpište výsledek opercí M M, M M, M M 6) Njděte tkové možiy, pro které pltí: A B { 0,,,,,5,6, 7 }, A B {,, }, B A { 5, 6 }

5 7) Jsou dáy tři itervly A 7;, B ;5), C ; ). Zpište: A B, A C, B A, ( A B) C, ( A B) C,,( A C) ( B C), A B 8) Co ejjedodušším způsobem zpište možiu, která je sjedoceím doplňku itervlu 5 ; v možiě R, s itervlem 0, 0 ( ) 9) Výčtem prvků zpište možiu: { N; 5 < 6} 0) Jsou dáy možiy B { R; p 6} A B C pomocí itervlu. A., C { R; }. Zpište možiu A R; 0, B { R,0 < } 5 ) Jsou dáy možiy. Pomocí itervlů / zpište možiy A B, A B, B A, BR. 5. ČÍSELNÉ MNOŽINY, ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL Společý ásobek dělitel Nejmeší spol. ásobek: (,8,) 7 8, v prvočíselém rozkldu má kždé prvočíslo obsžeé v ejvyšší mociě. Největší spol. dělitel: D (,8,), v prvočíselém rozkldu má pouze spol. prvočíslo. ) Určete ejvětšího společého dělitele ejmeší společý ásobek trojice čísel (pomocí rozkldu prvočiitele): ) 86,9,5 b) 78,56,5 ) Rcioálí čísl dá periodickými rozvoji vyjádřete ve tvru zlomků s celočíselými čitteli i jmeovteli. ) 0,8, 0,5, 6, 0, ) Zjedodušte dé početí výrzy pk vypočtěte pomocí klkulátoru jejich přibližou hodotu: 8, , ) Po7/7 ) Usměrěte zlomek: ) 5 Po7/ b) () c) 5) Vypočtěte: Str 5/70

6 Str 6/70 ) ( ) 9 b) 8 8 : c) R b b b b b, : : 6 d) ( ) e) ( ) f) b b g) : b b b b b b h) ( ) [ ] : b b b 6) Z možiy } 9 6, 69; ;,9; 6 0 ; 5 ;,; vyberte všech čísl. která ptří do možiy: ) N b) Z c) Q 7) Číslo 7,05 zokrouhlete: ) tisíciy b) čtyři plté číslice c) dále určete: d) řád číslice e) řád číslice 5 f) řád dého čísl 8) Určete bez tbulek ejmeší čtyřciferé prvočíslo. 9) Zpište v zákldím tvru číslo z.

7 0) Prodej má sjedý podíl zisku ve výši 5 procet z prodejí cey výrobku, jež předstvuje 0 procet jeho výrobí cey. Kolik procet z výrobí cey čií zisk prodejy? ) Vypočítejte výhodě, výsledek zpište ve tvru ) b) 0, 600 0, kde,0), Z : ) Vypočítejte přesě, výsledek zpište jko zlomek v zákldím tvru: ) [ 6 6 (7 8,) ] b) ( 6 ) 5 [(,5),5] ) Vypočtěte v oboru kompleích čísel: 8 {,, i, i} 6. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY ) Uprvte určete podmíky: : ) Z jistých podmíek bývá výrz v(, ) kosttí hodoty. Určete hodotu této ( ) ( ) ( ) kostty příslušé podmíky. v (, ) ( ) ) Je dá výrz v ( ). ) Zjedodušte výrz v (). b) Určete hodoty výrzu () v pro {,0, } c) Určete pro která R pltí v ( ).. d) Určete pro která R bývá v () bývá ekldých hodot. pltí pro všech R. Určete hodoty prmetrů, b. ) Rovost ( )( ) b 5) Zjedodušte výrz uveďte podmíky: ) y y : y y y y y b) y y y y y y,po9/ Str 7/70

8 y y c) : y y y y y y y y y, y 7. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE (ABSOLUTNÍ HODNOTA) ) Při jkých hodotách koeficietů,b,c má lieárí rovice b 0 s ezámou má jedo řešeí, žádé řešeí, ekoečě moho řešeí? ) Řešte v R ) b) 0 < < 5 c) 7 0 d) e) 6 9 > ( ; ) ; 0; ) (, ) (, ) f) ( 5 ) 5 5 g) 0( ) 5( ) { } h) 5 5 i) ( ) ( ) R j) {,} k) l) m) 0 { }, ) { } ) < o) p) 5 7 > ) Řešte v možiě N: 0, (, ), 0,,0, ( 0 ) { } Str 8/70

9 8. KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ) Řešte v R: ( ) 0 { ; } ) Určete dvojici čísel, jejichž součet je 00 souči 975. ) Určete všechy rovice, které mjí kořey:, ) Určete všechy rovice, které mjí kořey:, 5) Řešte v R: ) y y b) < c) y y > y ( ; ( 0; 6 R { } ( ;0) ( 0; ) ( ; ) d) ( ) e) 7 5 < 9 { } (,6), ( 5 ), f) 9 9 6) Řešte početě i grficky: ) { 0,} b) 7) V R řešte početě i grficky soustvu rovic erovic: y y 0 8) Určete defiičí obor výrzu: ; 9) Určete defiičí obor výrzu: 9 0) Rozhoděte, pro která t R je zlomek ) Vhodými substitucemi řešte rovici: 6t t 8 6 ekldý. ) 0 v v {,} b) ROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU ) Řešte v R: Str 9/70

10 ) b) r 5 Mturití opkováí.doc r { 0 } c) u u d) e) { } ( ; 8 5 { 0,} f) 8 { 0 ;} g) 5 { } h) 5 { 0 } i) 5 { 5 } j) ) Vhodými substitucemi řešte erovici: { 9,} 0. NEROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU ) 5 z < z ) z 5 z > 0 ) 5 ) v > v 5) < 6) > 8 7) 6 < 8) < 9) 5 0) v > v ) 6 9 > 5 < ) Po8/, ( ; 5 5 ; 7 ;0 5 ( 5; 5 ),,, 5,, ( ) Str 0/70

11 ) 0 Mturití opkováí.doc ) 5 > Po8/ ( Po8/,, (, 5, ( ) 5) 0 > 6 ( Po8/f, 6 6) 5 <. SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC ) Určete všech čísl ) Určete všech čísl, y R, y R y y 7 tk, by byl řešeím dé soustvy: y y y 0 tk, by byl řešeím dé soustvy: y 6 ) Řešte v ) ) Řešte v ) R soustvy lieárích rovic: y z y z 0 R soustvy lieárích rovic: y y U t R 5 5 ( t), ( t ), t Po8/0 {[ 5 ;9]} b) c) y y y y y y y 6 5y 7 Po8/0 {[ ;], [ ; ]} Po7/8 {[ 5; ], [,8;5, ]} 5) Řešte v R soustvy rovic (početě i grficky): ) y y 0 b) y > 6) Řešte v y < R, použijte efektiví metody: 5 5 [, y],,, y (, ) z y z y z y y z 6 5 Str /70

12 Str /70 7) Řešte soustvu rovic v R : 5 6 z y y 5 z y 7 0 z z y 8) Řešte soustvu rovic: y y [ ] { }, 6 9) Řešte soustvu rovic: z y p z py pz y. Proveďte diskusi vzhledem k prmetru p. [ ] { } R p p p p p R z y z y z y p,,, :,,,, :. LINEÁRNÍ ROVNICE A SOUSTAVY S PARAMETREM ) ( ) m m m 6 ) ( ) ( ) p p p ) 5 k ), prmetr 5) ( ) ( )( ) ( )( ) 5 p p p Po77/8 6) prmetry é reá q p q p p l,, Po77/9 7) ( ) ( )( ) p p p Po77/0 8) y y 9) Pro která reálá je splě erovice r <, kde r je prmetr { } ( ) r r >, 0 : 0 : 0) Pro která reálá je splě erovice r 5, kde r je prmetr. { } { } ( ) r r r > < 5, 5 0 : 5 0 : 0 :

13 ) Řešte soustvu rovic s ezámými, y reálým prmetrem 6 : { } y 8 y 6 :, 6 6 ) Řešte soustvu rovic s ezámými, y reálým prmetrem y : {( y, y) ; y R} y : {(, ) } ) V možiě reálých čísel řešte rovici p p p s ezámou prmetrem p. Pro které p má rovice jediý kldý koře? ) V R řešte rovici m( ) m s prmetrem m R m : K { 0,} { } m : t, kde t R m : p p 5) Pro které hodoty prmetru p R jsou kořey o ezámé R kldé? p,. KVADRATICKÉ ROVNICE S PARAMETREM ) Řešte rovice s ezámou reálým prmetrem p: p 0 : p< : p {} 0 p : p (, ) {} 0 6 ± 6 p : p ) Řešte rovice s ezámou reálým prmetrem p: p p ) Řešte v R: 0 { } p > 0 : p 0 : R p < 0 : { ± p} ) p p b) p p ) Je dá rovice 5 0 s ezámou reálým prmetrem. ) Pro které hodoty prmetru má tto rovice dv růzé reálé kořey?, 0 0, ( ) ( ) Str /70

14 b) Určete všechy hodoty prmetru, pro které má dá rovice dv růzé reálé 5 kořey, z ichž je jede dvojásobkem druhého.? 5) Diskutujte počet řešeí dé rovice v R vzhledem k reálému prmetru : 0 6) Řešte v oboru R rovici s reálým prmetrem m: m : K m, : K 5 ( m ) ( m ) m 0 m : K 5 m 5, (, ) 7) Stovte, kdy rovice z předchozí úlohy má dv růzé kořey ) ob kldé b) ob záporé c) jede kldý jede záporý {} m ± 5m : K m d) právě jede koře rový ule Po85/ 8) Při kterých hodotách prmetru p R má rovice ( p ) ( ) ( p 0) p : 0,6 dvojásobý reálá koře?po87/0 p : 9) Při kterých hodotách prmetru m R má rovice 9 8m 8m 6 0 jede m :, reálý koře rove dvojásobku druhého reálého kořee? 8 m :, 0) Jká je moži všech reálých čísel p, pro která má rovice p p 0 jede koře meší ež druhý koře větší ež?. ROVNICE SLOVNÍ ÚLOHY, KARTÉZSKÝ SOUČIN ) V roviě s krtézskou soustvou souřdic Oy zázorěte ) A (, y) { Z R; y < } {, y R R; y 0 } y b) B ( ) c) (, y) y { R R; y y } ) Turist šel po trse dlouhé 5 km. Kdyby z kždou hodiu urzil o 0,5 km méě, došel by do cíle o hodiu později. Jk dlouho šel jkou rychlostí? Str /70

15 ) Do 6 litrů vody o teplotě 5 C máme lít teplejší vodu tk, by výsledá teplot vody byl větší ež 0 C meší ež 0 C ) Kolik litrů vody o teplotě 50 C je třeb přilít? (,5;5) b) Jkou teplotu musí mít 0 l přilévé vody? ( 9 ;55) 5. FUNKCE ZÁKLADNÍ POJMY, VLASTNOSTI ) Rozhoděte, které z dých fcí jsou sudé, popř liché. Tvrzeí dokžte. ) y b) y c) y d) y log e) y tg f) y g) y ) Vyšetřete, zd jsou fce zdol shor omezeé ve svém defiičím oboru: (dokžte) ) y b) y c) y, D (, f d) y si e) y log ) Jestliže ásledující fce mjí mimum ebo miimum, potom určete ve kterém bodě jeho hodotu: ) y b) y log mi : [ 0,0] m: [,0] ) Rozhoděte, které z ásledujících fcí jsou prosté ve svém defiičím oboru: (dokžte) ) y 5 b) y 9 c) y d) y 5) Dokžte, že fce y je rostoucí v R. Str 5/70

16 6. FUNKCE LINEÁRNÍ ( S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) ) Určete reálé číslo b tk, by pro lieárí fukci h : y b pltilo: 5;5 je f ( ) 5; 5 ) Nčrtěte grfy fukcí, určete D f, H f, průsečíky s osmi vlstosti fukcí: ) y b) y c) y d) y e) y ) Určete předpis lieárí fukce f, pro iž pltí 5 f, f H f ) () ( ), (, 5 b) f ( ), f ( 5) 6 7. FUNKCE LINEÁRNÍ LOMENÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) ) Určete koeficiet k, pro fci f y k :, jestliže její grf prochází bodem [ ;6] ) Nčrtěte grfy fukcí, určete D f, H f, průsečíky s osmi vlstosti fukcí. ) y b) y c) y d) y e) y f) y g) y h) 7 y Str 6/70

17 i) j) y y 8. FUNKCE KVADRATICKÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) ) Je dá fce g : y. Fukčí předpis kvdrtické fce f určete tk, by grf fce f byl souměrý s grfem fce g: ) podle osy b) podle osy y c) podle počátku ) Fukčí předpis kvdrtické fce zpište rovicí, víte-li, že grf fce prochází body: K 0;, L ;0, M ; [ ] [ ] [ ] ) Nčrtěte grfy fukcí, určete D f, H f, průsečíky s osmi vlstosti fukcí. ) y b) y c) y d) y e) y 9 5 f) y 5 6 g) y 9. FUNKCE MOCNINNÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU) ) Řešte pomocí grfů mociých fcí: ) b) c) 5 < 6 < d) ( ) ) Nčrtěte grf fukce popište její vlstosti ( Hf, itervly ichž je fce klesjící rostoucí, průsečíky s osmi, pritu - dokžte, omezeost, m, mi) ) y ( ) b) y c) ( ) y Str 7/70

18 d) y ( ) e) y f) y (využijte fce iverzí) g) y h) y i) y 6 6 j) ( ) y k) y l) ( ) 5 y 0. FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ) Vypočítejte (odlogritmujte): log (log log b) log c, Str 8/70, b, c R { b c} ) Pomocí grfů epoeciálích fukcí rozhoděte,který ze vzthů 0 < < ebo > pltí, víme-li, že pltí: ) > b) > c) log,7 log, 8 > ) Nčrtěte grfy ásledujících fukcí určete u kždé defiičí obor, obor hodot, zd je prostá, pritu, itervly mootóosti, omezeost,ertémy. Vypočítejte souřdice průsečíků grfů se souřdicovými osmi. Pokud eistuje fce iverzí, určete její předpis, defiičí obor obor hodot, črtěte její grf. ) f : y b) f : y log c) f : y log ( ) d) y ( ) log e) y 0,5 f) y log (log ) g) y log ( )

19 y log h) i) y 0,5 j) y určit iverzí fci k) y l) y m) ( ) log ) y log log o) y ĺog St88/9 p) ( ) y log St88/9. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE Řešte rovice s ezámou ) 08 ) log 8 log log log ) 0 R 7 ) ) 6) 5 ( 5 5) ( 5 5 ) 50 7) ) ( ) 9 {,} 9) t t 0) 5 ) ) 7 0 ) ) u u u 5) Str 9/70

20 6) t t 6 7) 8) 8 0, ) 7 0) 0,5 ) 5 6 log 7 log 0,5 ) log log log5 0 (65) ) log6 log log 7 (6) Po98/5,{ 6,} ) log( 6) log( ) log ) log log ( 5 6) log ( ) 6) log log 7) ( log ) log 0 8) 5 log log log 9) log 0) Určete všech čísl, y R tk, by byl řešeím soustvy: ) y y 7. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ NEROVNICE ) 9 log 6 < 5, log ) < ) 0 log Po/( ;), sub : y Po/ K ( ; ) ) log K log, 5 < 0 Po/, Str 0/70

21 5) < log < 6) log < log 7) 5 < 8) > 9) < 0) ) log 5 8 ( ;) R 0 ) log ( ) log( ) < 0 ) log ( ) > log( 5 ) log log ) < log 5) log 6) log < 0 (0,0) (, ) 7) log( ) < log( 6) Po/,sub: y log, (,8). DEFINIČNÍ OBOR SLOŽENÉ FUNKCE 8) Určete defiičí obor fukce: ) y b) y log( tg ) c) y tg tg d) y l si e) f) y y log( ) 5 g) y 5 log( ) h) y l( 5) Str /70

22 i) y 5 7 j) y l( l ) k) Mturití opkováí.doc ( 0 ;e) y ( ;) U ( ; ) log( ) l) y 5. INVERZNÍ FUNKCE Iverzí fce k prosté fci f je fce f -, pro kterou pltí: ) D H f f b) Ke kždému y D je přiřzeo právě to D f, pro které je f ( ) y f ( y) f ) Určete defiičí obor dé fukce pomocí fukce k í iverzí lezěte tké obor hodot. y log ) Je dá fukce y ) Určete její defiičí obor obor hodot b) Nlezěte fukci k í iverzí c) Nčrtěte do jedoho obrázku grfy obou fukcí. ) K fukci f určete fukci iverzí určete defiičí obor obor hodot obou fukcí: ) y 6 5 Pe/90 b) f : y c) f : y log ( ) d) y log ( ) e) y f) f : y g) f : y h) i) y y y y,, y 0; ) (,0) ) Jsou dáy tři fukce f ( ), g( ), h( ). Vytvořte složeou fukci h(g(f())) určete její defiičí obor. Str /70

23 5. FUNKCE GONIOMETRICKÉ Mturití opkováí.doc ) Nčrtěte grfy ásledujících fukcí určete u kždé defiičí obor, obor hodot, zd je prostá, pritu, periodu, itervly mootóosti, omezeost,etrémy. Vypočítejte souřdice průsečíků grfů se souřdicovými osmi. ) y si si b) si si cos cos c) y tg( ) d) y cos( π ) π e) y si π f) y cot g g) y cos h) y si cos π, π i) y si cos, π, π j) y tg k) y tg cot g, 0, π π l) y si, π, π 6. GONIOMETRICKÉ VZORCE ) Dokžte určete pro která R má dý výrz smysl: ) si( y) si( y) si si b) cos( y) cos( y) cos cos y y c) cos si π cos ) Určete defiičí obor dého výrzu potom ho zjedodušte ) si si cos cos b) cos cos si si {}, RU cos k Z π k π, kπ Str /70

24 tg c) tg π { si cos }, kπ si d) cos cos si e) cos si si f) cos cos g) si si cos cos : cos cos si si ) Určete, pro která jsou defiováy ásledující rovost pk je dokžte: ) cot g si b) si tg cos cos tg c) cos tg si cos d) cot g cos si ) Dokžte: π 5π ) cos cos 0 b) si( π ) si( π ) si cos si π π, k cos si π π, k kπ cot g, Po6/8 c) si si si d) si cos cos π e) tg si Po6/59 7. GONIOMETRICKÉ ROVNICE Řešte v R rovice: ) tg cot g ) si si ) cos cos Str /70

25 ) si si 5) si 6cos si cos 6) si cos Mturití opkováí.doc Str 5/70 U{ rctg kπ; rctg kπ} k Z U{ kπ } π π kπ, kπ, kπ 7) si si 0 si cos 8) k Z π k π π 5π kπ, kπ, kπ 9) si cos 6 6 π π 6 0) 6 si cos cos k ) si cos 0,5 cos si 0 ) π kπ 8 π 0π π kπ, 8kπ, 8kπ kπ π π, k, ) si si0 6 8 π π si si si ) 6 6 5) si cos si π k π, k 6 π π kπ, kπ π π k π, k 6) si tg 7) si cos 0,5 π π kπ, kπ π π π π k, kπ, kπ 8) si cos 8 8 9) si cos si 0) cos tg ) si si π k π, k π π kπ π π kπ, kπ, kπ kπ π 5π ) si si si, kπ, kπ

26 Složitější goiometrická rovice: si si( 90 ) 8. GONIOMETRICKÉ NEROVNICE Řešte v R erovici: ) si si 0 ) si cos > 0 ) cot g < ) si si 5) cos si < 6) si si 7) si > 7si si cos cos si 0 π π 5 cos 0 si 0 π π 5 π kπ kπ π π kπ 7π 6 π 5π, 6 6 π ; π 0 5 kπ ( π,π ) 5π ;π π kπ, kπ 6 π 5π U kπ, kπ kπ, π kπ 8) si cos > k Z 6 6 9) cos cos 0) cot g < ) si U k Z π π kπ, kπ { π kπ} ) 5si si > cos Po5/ ) si π 5 > cos kπ, π kπ ) si si cos cos > π kπ, 7 π kπ Str 6/70

27 9. TRIGONOMETRIE ŘEŠENÍ TROJÚHELNÍKA ) N vrcholu hory stojí věž hrdu vysoká v 0 m. Křižovtku silic v údolí vidíme z vrcholu věže od její pty v hloubkových úhlech α 50, β 0 0. Jk vysoko je vrchol hory d křižovtkou? ) V lichoběžíku ABCD (AB CD) je AB 7,6mm, BC 57mm, CD 60mm, DA 58,6mm. Vypočítejte velikosti jeho vitřích úhlů. ) Dálkoměrem byly po osmi sekudách změřey vzdáleosti pozorovtele od přímočře rovoměrě letícího letdl l,6km, l,km, l,km. Vypočítejte rychlost letdl. ) Vypočítejte šířku řeky, jestliže jedom břehu byl vyzče úsečk KL délky 0m dále byly změřey úhly LKS 76 KLS 5, kde bod S je bod druhém břehu řeky. Str 7/70 Pe50/9 5) V lichoběžíku ABCD záte délky str AB 0cm, BC 5cm, CD 0cm, AD cm. Vypočítejte velikosti vitřích úhlů. 6) Řešte početě prvoúhlý trojúhelík ABC, je-li délk přepoy c 6,7cm, β 0 ' 7) V trojúhelíku ABC záte : 5, b cm, v cm. Vypočítejte obsh trojúhelíku ABC výšku v b. 8) Vypočítejte obsh lichoběžíku ABCD, záte-li délky str AB 8cm, BC 6cm, CD cm, AD 6cm. 9) Vypočítejte poloměr kružice opsé prvoúhlému trojúhelíku ABC, je-li délk přepoy c 5cm délk odvěsy cm. 0) Vypočítejte poloměr kružice vepsé prvoúhlému trojúhelíku ABC, je-li prvý úhel u vrcholu C, c 0cm, b 8cm. ) Tři síly F 0N, F 0N, F 7N působí těleso v jedom bodě v téže roviě jsou v rovováze. Vypočítejte úhly, které svírjí jedotlivé úhly vzájem. ) Vypočítejte velikost úhlů prvoúhlého trojúhelík s přepoou c, jestliže pltí: b c ) Vypočítejte velikosti str úhlů trojúhelíku ABC, je-li dáo: S m, (S obsh), β 7 5, c,7 m. ) Řešte početě trojúhelík je-li dáo: γ ) b cm, c,8 cm, β 0 Po/7 γ 5 8', α 96 5', 5,96cm 6 5', α 8',,6cm b) tc 5 cm, v cm, vb 6cm Po5/7 λ 60 7', 6,9cm, b,6cm, c 6,cm, α 78 ', β 0 50' 0. PLANIMETRIE GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINĚ ) Dvě rovoběžé tětivy v kružici o poloměru 6 cm mjí délky 6 cm 0 cm. Určete jejich vzdáleost. ) Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru cm, je 9 cm. Vypočítejte její obsh.

28 ) V prvidelém -úhelíku je velikost vitřího α 08 poloměr kružice vepséθ 5cm. Určete, o jký mohoúhelík se jedá vypočítejte jeho obsh. ) Který koveí úhelík má dvkrát víc úhlopříček ež str. 5) N ciferíku hodi vyzčte trojúhelík, který spojuje body odpovídjící číslům, 8,. Vypočítejte jeho vitří úhly. 6) Z kruhové výseče vzike kruhová úseč. Kolik %mteriálu odpde, je-li poloměr kruhu 5 cm středový úhel výseče i úseče α 60. 7) V prvoúhlém trojúhelíku s přepoou c je dá odvěs cm těžice t 6cm. Vypočítejte těžici t b. 6 8) V lichoběžíku ABCD, jehož zákldy mjí délky, c je průsečíkem M úhlopříček c vede příčk EF rovoběžá se zákldmi. Určete její délku. Po/8, c 9) Do kružice je vepsá trojúhelík ABC, jehož vrcholy dělí dou kružici tři kružicové oblouky, jejichž délky jsou v poměru ::7. Vypočítejte velikost vitřích úhlů v trojúhelíku ABC. 0,5, 05 0) Je dá kružice k( S r 8cm), bod M tkový, že MS 0cm. ) Užitím mocosti bodu M ke kružici k určete její seču p procházející bodem M vytíjící í tětivu AB tk, že pltí MB : MA b) Pro kterou seču p je poměr MB : MA ejvětší? ) Prvidelý úhelík má 5 úhlopříček poloměr kružice jemu opsé je cm. Vypočítejte jeho obvod obsh. uč87/.7 o 86,96, S 588cm. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY (MNOŽINY VŠECH BODŮ DANÉ VLASTNOSTI.) ) Je dá úsečk BC ( BC 5cm). Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, pro které pltí vb,5 cm, tc 5,5 cm. ) Kružice k ( O 5cm), k ( O ;cm), O O cm ; se protíjí ve dvou bodech. Ozčte C jede z těchto průsečíků. Sestrojte všechy rovormeé trojúhelíky ABC se zákldou AB tk, by pltilo A k B k ACB 0. Uveďte rozbor, postup, kostrukci diskusi. ) Sestrojte možiu všech bodů pod imiž je vidět úsečku AB ( AB cm) pod úhlem 9. Možiu zpište symbolicky. ) Sestrojte kružici, která se dotýká dé přímky prochází dvěm body, které leží uvitř téže poloroviy vyťté dou přímkou. 5) Sestrojte trojúhelík ABC, je-li dá jeho obvod o cm, úhly α 60, β 5. 6) Sestrojte kružici, která se dotýká dé přímky prochází dvěm body, které leží uvitř téže poloroviy vyťté dou přímkou. 7) Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, jestli-že : b : c 7 : : 5, vc cm ( Str 8/70

29 . KONSTRUKČNÍ ÚLOHY - ZÁKLADNÍ GEOMETICKÉ KONSTRUKCE ) Sestroj trojúhelík ABC: c8 cm, vc,5 cm, γ0 ) Sestroj trojúhelík ABC: c,5 cm, vc cm, t cm ) Sestroj trojúhelík ABC: tc cm, t6 cm, vc,5 cm ) Sestroj trojúhelík ABC: γ 75, v,5cm, r, 5cm, rpoloměr opsé kružice 5) Sestroj trojúhelík ABC: 5cm, α 5, ρ,5cm, poloměr vepsé kružice 6) Je dá úsečk AB 5 cm. Sestroj všechy tětivové čtyřúhelíky ABCD, v ichž je AC e8 cm, β0 ε05 (úhel AEB ε ).E je průsečík úhlopříček. 7) Jsou dáy kružice k(o,5 cm), k(o, cm), Sestroj všechy kružice o poloměru cm, které se dotýkjí těchto dvou kružic. OO 6 cm 8) Je dá úsečk CS cm.sestroj všechy trojúhelíky ABC, pro které je úsečk CS těžicí tc pro které dále pltí: α0, β5 9) Sestroj všechy trojúhelíky ABC záte-li b c0, α β 0) Sestrojte úsečky, které při zvoleé jedotkové úsečce mjí délky ) 0,, 5, 5 ) Jsou dáy tři úsečky o velikostech,b,c. Sestrojte úsečku: ) b) c) bc b b ) K dému prvoúhlému trojúhelíku o odvěsách,b sestrojte rovostrý trojúhelík o strě, který má stejý obsh. ) Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, je-li dá jejich obvod o cm úhly α 60, β 5 ) Jsou dáy dvě soustředé kružice l ( O cm), l ( O, cm), bod A ( OA cm ) všechy kružice, které se dotýkjí kružic l,l procházejí bodem A.. Sestrojte 5) Je dá úsečk BC ( BC 5cm). Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, pro které pltí v b,5 cm, t c 5,5 cm 6) Sestrojte kosodélík ABCD, pro který pltí: AC e 5 cm, BD f, v, 5cm 7) Sestrojte trojúhelík ABC, je-li dáo: c, t b, r( poloměrkruřiceopsé) Po5/ 8) Sestrojte rovormeý trojúhelík ABC se zákldou AB, je-li dáo: c, θ poloměr kružice vepsé Po5/. SHODNÁ ZOBRAZENÍ ) Jsou dáy dvě rovoběžé přímky, b přímk c, která rovoběžky protíá. Sestrojte kružici, která se dotýká všech přímek. ( Které zobrzeí lze použít? Str 9/70

30 ) Jsou dáy dvě rovoběžé přímky, b bod M, který eleží žádé z ich. Sestrojte kružici, která prochází bodem M dotýká se přímek, b. ) Kružice k ( O, r ), k ( O, r ) leží v opčých poloroviách s hričí přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tk, by jeho vrcholy A,C ležely po řdě kružicích k, k úhlopříčk BD ( BD 5cm) přímce p. ) Sestrojte trojúhelík ABC, je-li dáo :b :5, v c cm, γ 60. (V rozboru uveďte, jké jste použili zobrzeí.) 5) Do dého rovoběžíku KLMN vepište čtverec ABCD tk, by A KL, B LM, C MN, D KN 6) Sestrojte trojúhelík ABC, je-li dáo b, c, v 6/8 7) Do dého čtverce ABCD vepište rovostrý trojúhelík KLM tk, že jeho vrchol k bude ležet v dém bodě strě AB dého čtverce K AB vrcholy m, budou dlších strách čtverce Po67/57, otočeí 8) Jsou dáy dvě růzoběžky p,q úsečk MN. Sestrojte tkový čtverec ABCD, že pltí A p, B q, AB // MN, AB MN Po68/65.posuutí 9) Sestroj všechy trojúhelíky ABC, záš-li: b c 0, v c, γ 60 0) Je dá kružice k(o, cm) bod A. Sestroj všechy tětivy XY kružice k, které mjí délku 6 cm pro které pltí, že přímk XY prochází dým bodem A. OA cm ) Je dáy úsečk CS, CS. Sestroj všechy trojúhelíky ABC, pro které je úsečk CS těžicí t c pro které dále pltí: b 8 cm, β 0 ) Jsou dáy dvě růzoběžky p, q kružice k. Sestroj úsečku XY tk,by pltilo: X p, Y q úsečk XY je kolmá přímku q střed úsečky XY leží přímce q. Zvolte postupě vzájemou polohu kružice přímek tk, by úloh měl, resp., resp. 0 řešeí. ) Jsou dáy dvě růzoběžky p,q bod M( M p,m q), Sestroj úsečku XY tk, by pltilo: X p,y q bod M je střed úsečky XY. ) Je dá úsečk OP, OP cm. Sestroj kružici k(o,,5 cm) přímku p, p OP P p. Dále sestroj jede bod M, pro který pltí OM cm POM 0. Sestroj všechy čtverce ABCD tk,by pltilo A k C p MS, kde S je střed čtverce ABCD. 5) Je dá přímk p, kružice k bod M. vzájemou polohu p, k, M volte stejě jko v úloze 9. Sestroj všechy rovostré trojúhelíky ABC tk,by pltilo C k B p AM 6) Sestroj všechy trojúhelíky ABC, záš-li: b c cm, α 5,β 75. PODOBNÁ ZOBRAZENÍ ) Njdi středy stejolehlostí úseček, kružic. ) Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, jestli-že : b : c 7 : : 5, vc cm ) Jsou dáy dvě růzoběžky, b bod M ( M, M b) prochází bodem M dotýká se přímek, b. ).Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, záte-li: ) b : 5,γ60, v c cm. b) α 5, β 60,t c cm Str 0/70. Sestrojte kružici, která

31 c) : b : c : 5 : 6, vc cm 5) Do trojúhelíku ABC (5 cm, b6 cm, c7 cm) vepište čtverec KLMN tk, by pltilo KL AB M BC N AC 5. POLOHOVÉ VLASTNOST PŘÍMEK A ROVIN, ŘEZY ) Je dá krychle ABCDEFGH o hrě délky. Ozčte po řdě K, L, M středy hr AB,BC,CG. Sestrojte řez krychle roviou KLM vypočítejte obsh řezu. ) Je dá krychle ABCDEFGH, body X, Y, Z jsou po řdě středy hr FB, FE, FG. Určete vzájemou polohu přímek: ) XY, EZ mimoběžky b) YZ, EH růzoběžky c) XZ, AH rovoběžky ) Je dá krychle ABCDEFGH; body K, L, M, N jsou po řdě středy stě ABCD, BCFG, EFGH, ADHE. Jká je vzájemá poloh ) Přímky KL roviy CDH b) Přímky LN roviy ABG c) Přímky LM roviy BCE d) Přímky KN roviy EFG ) Sestrojte řez prvidelého čtyřbokého jehlu ABCDV roviou BPQ, bod P je bodem hry AV bod Q hry CV tk, AP : PV VQ : QC : ) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH roviou: S, S, S ) AB AD CG S, S, S b) AB BF HG. c) KLM, M střed hry HG, L střed hry EF, K střed hry BC d) XYZ, X střed hry CG, Y střed hry AD, Z střed hry AB e) XYZ, X střed hry HG, Y střed hry EH, Str /70 Z AB, AZ : ZB : 5) Sestrojte řez prvidelého čtyřbokého jehlu ABCDV roviou S Dv, R, T, kde R AB AR BR T CV VT CT 6) Je dá krychle ABCDEFGH. Sestrojte průik přímky PQ s povrchem P DH DP DH, B S QF krychle. 7) Je dá čtyřboký jehl ABCDV. Sestrojte průsečík přímky MB roviy ACV, M - střed hry DV 8) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV. Sestrojte průsečici rovi: S, S, D V, S, S ) AV BV AB CD b) ACV SADSBCV

32 c) ACV BDSCV d) ABSCV CDSBV 9) Je dá krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečici rovi: ) BGE HDS, S střed hry BC b) BFH EGS, S střed hry BC c) ACG AFH d) BCG AEO, O střed hry CD e) ACF CGS, S střed hry AB 0) Je dá prvoúhlý čtyřboký jehl ABCDV, cm, v 6 cm. Určete průsečici rovi BCV ADV. ) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV. Sestrojte průik přímky MN s jehlem. M BA, AM AB, N - střed výšky ) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV. Sestrojte průsečík přímky MN roviy DBV, M střed hry AV, N střed hry CV. ) Je dá krychle ABCDEFGH. Rozhoděte o vzájemé poloze přímek EC, AS GH. (Pe 90 / d) ) Je dá krychle ABCDEFGH. Rozhoděte o vzájemé poloze přímky roviy AG, BHS AB. (Pe 90/d) 5) Je dá krychle ABCDEFGH. Rozhoděte o vzájemé poloze tří rovi ADE, BCS EF, S AF, S CG, S BF. (Pe 90/c) 6) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV. Vyšetřete vzájemou polohu dvou rovi BVS AD, DS BC S CV. (Pe 90/5c) 7) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH roviou S AD, S BF, S GH. (Pe 9/7d) 8) Sestrojte řez prvidelého čtyřbokého jehlu ABCDV roviou RST, R AB AR BR S CV VS CS T S AV (Pe 9/8c) 9) Je dá krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečici rovi ACF, CGS AB. (Pe 9/9f) 0) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV. Sestrojte průsečík přímky VS AC s roviou AS BC S CV. (Pe 9/c) ) Je dá krychle ABCDEFGH. Sestrojte průik přímky PQ s povrchem krychle. P CB, CP,5 BC, Q EH, EQ, 5 EH. Pe 9/c) ) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV. Sestrojte průik přímky PQ s povrchem jehlu. P S AV, Q DC DQ, 5 DC. (Pe 9/c)

33 6. METRICKÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN ) Prvidelý čtyřboký jehl ABCDV má podstvou hru délky bočí hru délky. Vypočtěte délku úsečky AM, kde M je střed stry CV odchylku roviy podstvy bočí stěy ) Je dá krychle ABCDEFGH,. Vypočítejte vzdáleost mimoběžých přímek AC BH. ( Pe 9/c) ) Je dá krychle ABCDEFGH,. Vypočítejte vzdáleost bodu F od roviy BEG. ( Pe 9/b) ) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, AB cm,v 6 cm.vypočítejte vzdáleost bodu S AV od roviy BCV. ( Pe 9/5b) 5) Je dá prvidelý čtyřstě ABCD, AB cm.vypočítejte vzdáleost bodu S BD od roviy ABC. ( Pe 9/6c) 6) Je dá krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku přímek DE BH. ( Pe 9/9h) 7) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, AB cm,v 6 cm.vypočítejte odchylku přímek AC BV. ( Pe 9/f) 8) Je dá krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku roviy ABG BEG. ( Pe 9/5e) 9) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, AB cm,v 6 cm.vypočítejte odchylku rovi ADV BCS AV. ( Pe 9/6f) 0) Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, AB cm,v 6 cm.vypočítejte obvod obsh mohoúhelíku, který je shodý s řezem jehlu roviou S AV S CV B. ( Pe 95/c) ) Vypočítejte odchylku rovi ADV BCV v prvidelém čtyřbokém jehlu ABCDV, cm, v 6 cm ) V prvidelém šestibokém jehlu ABCDEFGH AB cm, VS v cm je bod S středem jeho podstvy, bod M středem hry AV. početě i kostrukčě určete odchylky přímky roviy ρ. Přitom: ) p AV, ρ ABC b) p VS, ρ AFV c) p BM, ρ ABC ) Prvidelý čtyřboký jehl ABCDV má podstvou hru délky bočí hru délky. Vypočtěte délku úsečky AM, kde M je střed stry CV odchylku roviy podstvy bočí stěy ) Vzdáleost dvou bodů v prvidelém čtyřbokém jehlu ABCDV, cm, v 6cm ) AV b) S BC 0 c) AS CV

34 5) Je dá krychle ABCDEFGH, cm. Vypočítejte vzdáleost bodu F od přímky AH. 6 6) Odchylky přímek v krychli ABCDEFGH ) b) c) AC HB AG CH DB BH DH BS d) GH 7) Odchylky přímek v prv. jehlu ABCDV, cm, v 6cm ) b) AD BV (použij rovoběžou přímku) AV AC S DV c) CV 8) Odchylky přímek rovi v krychli ABCDEFGH, cm ) přímky EC roviy CDH b) c) ABC ABC BDH BEG d) ACH DH 9) Odchylky přímek rovi v prv. čtyřbokém jehlu ABCDV, cm, v 6cm : '6' ' 5 5'8'' 90 5 ) odchylku rovi BCV VSABSCD b) odchylku přímek CD BSCV c) AV ABC 6 8 d) odchylku protějších stě 6 5 0) Vzdáleost bodu od přímky ebo roviy v krychli ABCDEFGH, cm ) Bodu E od roviy AFH (*) b) bod B AD c) bod B AC d) bod B GH e) bod B AG (*) f) bodu E od přímky BH (*) ) Vzdáleost bodu od přímky v prv. čtyřbokém jehlu ABCDV, cm, v 6cm ) bodu A od přímky CV. Řešte početě i kostrukčě. 5,

35 AV SCV S AC b) vzdáleost bodu SCV od přímky BD. ) Vzdáleost rovoběžých přímek rovi v krychli ABCDEFGH cm: ) AB S S BG AH b) přímek SABSBC SEHSGH. Řešte početě i kostrukčě. 6 c) d) BDG CFH (*) AFH BDG BEG S e) EF BF FG S S (*) ) Vzdáleost rovoběžých přímek v prv. čtyřb. jehlu ABCDV, cm, v 6cm ) AB S S CV DV 0 b) AV S S AB BV 7. MNOHOSTĚNY A ROTAČNÍ TĚLESA ) Určete objem povrch těles, které vyike rotcí prvidelého šestiúhelíku o strě délky kolem přímky, v íž leží delší úhlopříčk šestiúhelíku. ) Objem prvidelého šestibokého hrolu V 50. Délk podstvé hry je k délce výšky v poměru :5. Vypočtěte povrch hrolu ) Určete objem povrch těles, které vzike rotcí prvidelého šestiúhelíku o strě délky kolem přímky, v íž leží delší úhlopříčk šestiúhelíku. ) Vypočítejte objem půdy pod vlbovou střechou, která je obrázku. Půdorys střechy má rozměry 8 m 0 m, výšk hřebee je 6 m všechy střeší plochy mjí stejý sklo. 5) Vypočítejte objem povrch jedoho z poloprvidelých mohostěů - těles, které vzike z krychle o hrě délky 0 cm odřízutím všech jejích vrcholů rovimi procházejícími středy hr krychle. 5

36 6) Urči obsh lmpového stíítk tvru rotčího komolého kužele, průměry podstv d cm, d cm, jeho výšku v cm. 7) V rotčím válci je duti tvru kužele, přičemž podstvy obou těles jsou společé výšky též.vypočítejte objem tohoto těles, jestliže válec i kužel mjí stejé obshy plášťů. Poloměr podstvy je r. 8) Kulová výseč je tvoře kulovou úsečí kuželem se společou podstvou. Výšk úseče je cm poloměr podstvy 6 cm. Vypočti objem povrch kulové výseče. 9) Komí tvru dutého rotčího komolého kužele má výšku m, dolí průměry,m m, horí průměry,7m,m. Jká je celková hmotost komíu, je-li hustot zdiv? 0) Koule o středu S poloměru r 5cm je polože vodorové roviě ρ osvětle zdrojem Z; SZ jekolmé ρ, Zρ h 5cm. Určete: ) průměr kružice ohričující osvětleou část koule výšku v osvětleé části koule b) obsh vržeého stíu koule roviu ρ c) obsh osvětleé části koule ) Do álevky tvru rovostrého rotčího kužele o poloměru podstvy r je lito možství vody rovjící se poloviě objemu álevky. Určeme výšku hldiy vody od ústí álevky.( r ) 8. VEKTOROVÁ ALGEBRA ) Určete obsh trojúhelíku A[,-,], B[,,], C[0,0,5]. ) Vypočítejte obsh obvod trojúhelík ABC velikost úhlu α ) A [ 0, ], B[, ], C[,0] b) A [, ], B[,0 ], C[, ] c) A[,0, ], B[,, ], C[,6, ] d) A[,0, ], B[,, ], C[ 5,,] ) Je dá vektor (,9) u. Určete R m tk, by vektor ( m,) ) Leží vektory (,0, 5), b ( 0,, ), c (,, ) v jedé roviě? v byl kolmý k vektoru u. 6

37 5) Určete vektor tk, by pltilo b 5 6) Jsou dáy vektory u (,,0 ), v ( 9,,) z u z v z, kde (,6) b.. Určete souřdice vektoru z tk, by pltilo: 7) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlu ABCDV, záte-li souřdice bodů A,,, B,,, D 0,, 5, V,, [] [ ] [ ] [ ] [ ] 8) Vypočítejte objem rovoběžostěu ABCDEFGH, záte-li souřdice bodů A,0,, B,,, D,,6, E,, 5 [,] [ ] [ ] [ ] [ ] 9) Je dá vektor f (;). Určete m R tk, by pro vektor g ( 6; m) pltilo g f 5.[-,6] 0) Určete obsh trojúhelíku A[,-,], B[,,], C[0,0,5]. r r r ) Jsou dáy vektory (,, ), b (,, ), c (,, ). Určete souřdice vektoru r, který je kolmý k r i k b r ; r c r 6 ) Vypočítejte obsh obvod trojúhelík ABC velikost úhlu α ) A [ 0, ], B[, ], C[,0] b) A [, ], B[,0 ], C[, ] c) A[,0, ], B[,, ], C[,6, ] d) A[,0, ], B[,, ], C[ 5,,] ) Je dá vektor (,9) u. Určete R m tk, by vektor ( m,) ) Leží vektory (,0, 5), b ( 0,, ), c (,, ) v jedé roviě? 5) Jsou dáy vektory u (,,0 ), v ( 9,,) z u z v z v byl kolmý k vektoru u.. Určete souřdice vektoru z tk, by pltilo: 6) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlu ABCDV, záte-li souřdice bodů A,,, B,,, D 0,, 5, V,, [] [ ] [ ] [ ] [ ] 7) Vypočítejte objem rovoběžostěu ABCDEFGH, záte-li souřdice bodů A,0,, B,,, D,,6, E,, 5 [,] [ ] [ ] [ ] [ ] 8) Je dá vektor f (;). Určete m R tk, by pro vektor g ( 6; m) pltilo g f 5. 9) Rozhoděte, zd trojúhelík ABC je prvoúhlý. A [, ], B[,9 ], C[,7] [,6] 0) Rozhoděte, zd čtyřúhelík KLMN je rovoběžík. K [, ], L[,9 ], M [, ], N[ 0, 0] r ) Jsou dáy vektory (,, ), b (,, ), c (,, ) který je kolmý k r i k b r ; r c r 6 r r. Určete souřdice vektoru r, 7

38 9. LINEÁRNÍ ÚTVARY V ROVINĚ ) Určete prmetr m R tk, by přímky p q byly rovoběžé, pk určete jejich vzdáleost dále velikost úhlu, který tyto přímky svírjí s osou. Přitom p : m y 7 0, q : y 0 ) Vypočítejte odchylku přímek p,q: p {[ t,5], t R} ) N přímce p {[ t; t] ; t R}, q : y 6 0 určete bod C tk, by jeho vzdáleost od přímky q : 5 y 0 byl. ) N přímce p : y 5 0 určete body, které mjí od počátku soustvy souřdic vzdáleost d 0 5) Vypočítejte vzdáleost rovoběžek p,q: p : 8 6y 0, q :8 6y 0 6) Určete prmetr m R tk, by přímky p q byly rovoběžé, pk určete jejich vzdáleost dále velikost úhlu, který tyto přímky svírjí s osou. Přitom p : m y 7 0, q : y 0 7 7) V trojúhelíku ABC [ 0, ], [, ], C, A B určete ) obecou rci přímky, které leží výšk v c, b) souřdice pty výšky v c c) velikost výšky v c d) velikost úhlu β 8) Určete vzájemou polohu přímek popřípdě i jejich odchylku p: y 0 q: y 0 9) Určete souřdice bodu A, který je souměrě sdružeý s bodem B [-, 5] podle přímky p: 5 - y ) N ose y jděte bod Y, který má od bodu A [-,] vzdáleost 5. ) Určete souřdice vrcholů čtverce ABCD, záte-li S AB [0, -], S CD [, 5] ) V trojúhelíku ABC [, ], B[, ], C[,] A určete ) Obecé rovice přímek v ichž leží o t, v, AB, b souřdice těžiště velikost v b. b) Obecé rovice přímek v ichž leží o t, v, souřdice průsečíku výšek velikost AC, b c c) Obecé rovice přímek v ichž leží o, v velikost BC b t d) Obecé rovice přímek v ichž leží o, v velikost AB t b ) Jsou dáy dvě přímky p : y 0, q : y 8 0. Určete hodotu prmetru R tk, by ) p,q byly vzájem kolmé b) odchylk přímek p,q byl 5. 8

39 ) Npište obecou rovici přímky p, která prochází bodem A [-6, 5] je kolmá přímku q: y 9 0 5) Určete číslo p, tk by vektor v byl směrovým vektorem přímky AB [,, ] B[, ], v (, p) A 6) Pro přímku p sestvte obecou rovici, prmetrické rovice směricový tvr rovice ( pokud eistuje) určete směrový úhel vektor přímky: ) A p, A[; ] směrový úhel ϕ 0 b) p osu y, A[, ] p c) A[, ] p, směrice přímky k d) p q, q : y 7 0 prochází počátkem soustvy souřdic 7) V trojúhelíku ABC [, ], B[, ], C[,] A určete ) Obecé rovice přímek v ichž leží o t, v, AB, b souřdice těžiště velikost v b. b) Obecé rovice přímek v ichž leží o t, v, souřdice průsečíku výšek velikost v c. AC, b c c) Obecé rovice přímek v ichž leží o, v velikost BC b t d) Obecé rovice přímek v ichž leží o, v velikost AB t b 8) Zjistěte, zd bod C leží přímce AB. A [ 0,], B[, ], C[,0] 0. LINEÁRNÍ ÚTVARY V PROSTORU ) Vypočítejte souřdice bodů, ve kterých přímk p {[ ; t;t], t R} protíá,0,,,0, souřdicové roviy. [ ] [ ] eeistuje ) Npište obecou rovici roviy σ, víte-li,že v roviě leží body A[,,5 ], B[,,0 ] je rovoběžá s roviou σ. ) Vypočítejte vzdáleost bodu A od přímky p: A[0,0,5], p {[,0, t] ; t R} ) Je dá rovi ρ :{[ t k, t k,5t k] ; t, k R} os y. Vypočítejte průsečík roviy s osou průsečice roviy se souřdicovými rovimi y yz. ) Určete vzdáleost bodu A [5,-6,6] od přímky p {[ t, 5 t, ], t R} ) Npište obecou rovici roviy ρ, ve které leží body A[,,0 ], B[,, ] rovi ρ je y z 6 0 { y z 0} kolmá k roviě : A, který je obrzem bodu A[,0,] přímkou BC, kde [ ] [ ] ) Určete souřdice bodu ' B 0,,, C 5,, 6 5) Určete souřdice bodu M', který je s bodem M [,0,] ρ : y z 0 v osové souměrosti dé souměrý podle roviy 9

40 6) Jsou dáy body: A[ 0,, ], B[,, ], C[,6,] Mturití opkováí.doc. Npište obecou rovici roviy určeé body ABC. Vypočtěte souřdice bodu D tk, by čtyřúhelík ABCD byl rovoběžík. 5y 8z 0, D,7,0 [ [ ] 7) Vyšetřete vzájemou polohu rovi ρ δ. Jsou-li roviy růzoběžé, pište rovice ρ : y 9 0 jejich průsečice určete jejich odchylku. δ : y 0 {[, y, z t], t R} 8) Vyšetřete vzájemou polohu rovi ρ δ. Jsou-li roviy růzoběžé, pište rovice ρ : y z 0 jejich průsečice určete jejich odchylku. δ : y z 0 9) Vyšetřete vzájemou polohu rovi ρ δ. Jsou-li roviy růzoběžé, pište rovice ρ : 0 jejich průsečice určete jejich odchylku. 0) Jsou dáy body A[,,5 ], B[,, ], C[ 0,, ] δ : y 0. N ose z určete bod Z tk, by jeho vzdáleost od roviy určeé body A, B, C byl 5. ) N přímce p: t, y t, z t, t R určete bod C, který má stejou A,,5 B,0, C 8,, 6, vzdáleost od bodů [ ] [ ].Vypočtěte tuto vzdáleost. [ ] 5 ) Je dá přímk p {[ t; t;t], t R}. Vypočítejte odchylky přímky p od souřdicových os. ) Je dá přímk ; p {[ k; k; k], k R} vzdáleost od přímky p byl. ) Vypočítejte odchylku osy z od roviy 5) Je dá přímk p {[ k, k, k], k R}. N ose určete bod X tk, by jeho ρ : y z 0 { 9 8 }. N ose určete bod X tk, by jeho ± 6,0,0 vzdáleost od přímky p byl. {[ ]} 6) N přímce p {[ k, k, k]. k R} τ : y z 0 určete bod M tk, by jeho vzdáleost od roviy byl. {[,,6 ], [ 5,8,0] } 7) Npište obecou rovici roviy ρ, která prochází body A [,0,], B [,,0] ) rovoběžá s osou { y z 0} b) prochází osou y bodem A { z 0} c) Je rovoběžá se souřdicovou roviou yz prochází bodem A { 0} je 0

41 8) Určete průsečici rovi: δ : y z 0, ρ : y z 0 9) Určete kolmý průmět A bodu [ 7,8,] 0) Pro která c má rovi 0 {[ t, 5t, t ] t R} y z 0 B do přímky p, je-li p: y z 0 {[ 5,,] } y z c eprázdý průik s úsečkou AB, A[,0, ], B[ 0,,5 ] ) Npište obecou rovici roviy σ, víte-li,že v roviě leží body A[,,5 ], B[,,0 ] je rovoběžá s roviou σ ) Je dá rovi ρ : {[ t k, t k,5t k] ; t, k R} 5, 6 os y. Vypočítejte průsečík roviy s osou průsečice roviy se souřdicovými rovimi y yz. ) Dokžte, že body A [,, 6], B [0, -, -6], C [-,, 0] určují roviu pište její prmetrické rovice. ) Vypočítejte souřdice bodů, ve kterých rovi ABC protíá osu,osu y osu z b) Dou roviu zázorěte ve zvoleé soustvě souřdic c) Rozhoděte, zd body K [,, 5], L [-,, 6] leží v roviě ABC d) Vypočítejte z R tk, by bod M [-,, z] ležel v roviě ABC 5) Npište prmetrické rovice přímky q, která prochází bodem K [,, ] je rovoběžá s osou z. Přímku q kreslete. 7) 8) Je á přímk ; p {[ k; k; k], k R} vzdáleost od přímky p byl. A, který je obrzem bodu A[,0,] přímkou BC, kde [ ] [ ] 9) Určete souřdice bodu ' B 0,,, C 5,, 6. N ose určete bod X tk, by jeho v osové souměrosti dé ) Určete hodotu prmetru m R tk, by přímky p,q byly růzoběžé. Potom vypočítejte souřdice průsečíku přímek p {[ k, - k, ] k R, q {[- t, m t,- t]} t R 6) Vypočítejte souřdice bodů, ve kterých přímk p {[,- t, t] t R protíá souřdicové roviy. 0) Přímk p {[ t, -- t, 5], t R } je kolmá k roviě ρ. Bod M [, 0, -] leží v roviě ρ. Npište obecou rovici roviy ρ. ) Npište obecou rovici roviy υ, víte li, že rovi υ prochází počátkem soustvy souřdic, bodem A [,, ] rovi υ je kolmá k souřdicové roviě dé osmi y. ) Vyšetřete vzájemou polohu rovi ρ δ. Jsou-li roviy růzoběžé, pište rovice ρ : 0 jejich průsečice určete jejich odchylku. δ : y 0

42 ) Je dá přímk p {[ t; t;t], t R} souřdicových os. Mturití opkováí.doc ) Jsou dáy body A[ ;;5 ], B[ ; ; ], C[ 0; ; ]. Vypočítejte odchylky přímky p od. N ose z určete bod Z tk, by jeho vzdáleost od roviy určeé body A, B, C byl 5. 5) Určete souřdice bodu M', který je s bodem M [,0,] ρ : y z 0 souměrý podle roviy 6) Určete průsečici rovi ρ: y z 0, σ: y z 8 0 7) Určete vzájemou polohu přímky p roviy ρ vypočítejte jejich odchylku: p {[ t; t; t] }, t R ; ρ ABC, kde A [, 0, ], B [,, ], C [, -5, ] 8) Určete kolmý průmět A bodu B [ -7, 8, ] do přímky p, je-li p: 9) Vypočítejte vzdáleost bodu A [0, 0, 5] od přímky. KRUŽNICE A ELIPSA p {[, 0, t], t R y z - 0 ) Nlezěte délku ejkrtší tětivy kružice y 6 y 0 procházející bodem M,. [ ] ) Npište rovici kružice, která má střed v bodě S [ 5,] dotýká se přímky p : y 6 0 ( 5) ( y ) ) Npište rovici kružice, která se dotýká osy y v bodě [ 0, ] M [ 6,0] { 5} Y osu protíá v bodě ( y ) 69 9 ) Npište rovici kružice, která se dotýká přímky p : y 5 0, její střed leží přímce q : y 6 0 má poloměr 5. y 5, 5 y 9 5 {( ) ( ) ( ) ( ) } 5) Npište rovici kružici, která se dotýká osy i osy y. Střed kružice leží přímce p : y 0 6) Npište rovici kružice, která se dotýká přímky p : y 0 poloměr 5 7 y 0, v bodě P[,] r. ( ) ( ) ( y ) má 0 { } 7) Npište rovici kružice, která se dotýká osy i osy y prochází bodem [, 6] ( 5) ( y 5) 5, ( ) ( y ) M. { 9} 8) Npište rovici kružice, která se dotýká přímek p, p : y prochází bodem : { 9} M [, 5] ( ) ( y ) 5, ( ) ( y ) 9) Npište rovici kružice, která prochází bodem M [, ] se dotýká přímek p y 6 0, p : y 0 ( ) ( y ) 8, ( ) ( y ) : { 8}

43 0) Kružice k s poloměrem r 5 kružice k s poloměrem r 5 se dotýkjí v bodě T[,], jejich společá teč v tomto bodě má směrový vektor s (, ). Npište rovice obou kružic, mjí-li v bodě T vitří dotyk, resp. vější dotyk. St 0/5c ) Npište rovici elipsy, jsou-li její osy rovoběžé se souřdicovými osmi víte-li, že,0 B 0, elips se dotýká osy v bodě A [ ] osy y v bodě [ ] ) Npište rovici elipsy, která prochází bodem M(,-) dotýká se přímky t: y-00. PARABOLA A HYPERBOLA ) Určete všechy chrkteristické údje ásledujících křivek jejich vrcholovou ebo středovou rovici: ) y 6y 0 b) 9 y 8y 0 c) 9 y 5 8y 0 d) y 0 e) y 0 ) Dokžte, že y je rovicí hyperboly, určete její střed, vrcholy, ohisk symptoty. 5) Npište rovici hyperboly, která se dotýká přímky o rovici 5 6y 8 0 jejíž symptoty mjí rovice y, y. 6) Npište rovici hyperboly, je-li délk hlví poloosy ohisk jsou body [-0,],[6,]. 7) Npište rovici prboly, která má osu rovoběžou s osou y prochází / body A[5,-5], B[-,-], C[,] b/ bodem A[0,-60] má vrchol V[-,-6] 8) Npište rovici hyperboly, je-li délk hlví poloosy ohisk jsou body [-0,], 6,]. 9) Je dá hyperbol y 6 6y 0. Určete její střed, vrcholy, ohisk, symptoty dou hyperbolu zkreslete. Npište rovice přímek, které mjí s dou hyperbolou společý právě jede bod T [ 5, y0 ]. ( ) ( y ) 7 [ ] [ ], S,,, b, e 5, F ± 5,, : y ± [ ] 9 T 5,, 5, y, y 0) Bodem A[,] veďte všechy přímky, které mjí s hyperbolou dou rovicí jediý společý bod. y

44 ) Určete chrkteristické údje kuželosečky s obecou rovicí dále pište rovici její tečy v jejím bodě T[ 0,]. ) Hyperbol je dá středovou rovicí ( ) y rovice teče v těchto bodech. ) Určete chrkteristické údje kuželosečky s obecou rovicí T 0, y. pište rovici její tečy v jejím bodě [ ] ) Npište rovici hyperboly, která má ohisk F [, ], F [ 6,] 0 y 8 6 y 0,. Njděte její průsečíky s osou y y 5 0, dále hlví vrchol A[,]. 5) Npište rovici tečy hyperboly ( ) ( y ) v jejím bodě [ 6] 6) Npište rovici prboly, která má ohisko F[, ] této prboly v bodě dotyku T[, y0 ]?,. řídící přímku 7. Njděte teču 7) Prbol je dá rovicí y 0. Které její tečy procházejí počátkem soustvy souřdic?. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY ) Npište rovici tečy elipsy o rovici 9 5y 5, která je rovoběžá s přímkou p : 5y 7 0 ) Npište rovice teče z bodu M[0,-] k prbole y ( ) ) Prbol ( ) p(y ) má teču t: y 0. Určete prmetr p bod dotyku ) Npište rovici tečy prboly dé rovicí y 0, která je rovoběžá s přímkou : y 0 5) Npište rovici tečy z bodu A[0,] k prbole y y 0 6) Npište rovici kružice, která se dotýká osy dotýká v bodě T[,0] M [ 0,]. Npište rovici tečy v bodě M. 7) Npište rovice teče, které lze sestrojit z bodu M [ 0,] Určete souřdice bodů dotyku úhel, který obě tečy svírjí.. prochází bodem ke kružici ( ) y 8) Npište rovici přímky, která prochází počátkem soustvy souřdic je tečou kružice k : y 6 y 8 0. Určete souřdice dotykového bodu. p : y 0, p : 7 y 0, T [, ], T, 5 5 9) Npište rovice teče kružice dé rovicí k : y 0y 0 0 v jejích průsečících s přímkou q :. Určete společý bod obou teče poláru tohoto bodu vzhledem ke kružici k. 0) Veďte bodem M [,] 5 tečy ke kružici s rovicí ( ) ( y 0) 9.

45 ) Určete tečy ke kružici ( ) ( ) y 6 procházející bodem dotyku T [, t ] Určete odchylku těchto teče. ) Njděte teču prboly, která má rovici y p : y ) Npište rovici elipsy, která prochází bodem M [, ]. y 9 0, y 9 0, γ 60 y 6 0 rovoběžou s přímkou dotýká se přímky t : y 0 0 [ 6y 80, y 0] ) Je dá elips: y 6 přímk y c 0, určete hodotu reálého prmetru c, tk by přímk p byl ) sečou b) tečou c) vější přímkou. BINOMICKÁ VĚTA 0 ) V biomickém rozvoji výrzu určete čle, který obshuje, dále určete, pro která R je teto čle větší ebo rove 5. ) Určete bsolutí čle biomického rozvoje výrzu: 6 ) V rozvoji výrzu je součet prvích tří koeficietů rove 67. Určete bsolutí čle rozvoje. (Čle, který eobshuje ). ) Který čle rozvoje obshuje 5) Umocěte podle biomické věty: ( i ) 6 6) V rozvoji 0 určete 7) Umocěte podle biomické věty: ( i) 7 6? Vypočítejte jeho koeficiet. R tk, by pátý čle rozvoje byl 05. 8) Vypočítejte 0. čle biomického rozvoje ( b) 5. 9) Určete R 6 z tk, by 7. čle biomického rozvoje ( z z ) 9 byl rove 6 0) Njděte všechy čley biomického rozvoje, které jsou rcioálími čísly: ( 5 ) 6. ) Určete N tk, by koeficiet u 5 ) Pomocí biomické věty vypočítejte,0. 8 y v biomickém rozvoji ( y ) byl rove 0. 5

46 ) Zjistěte, který čle biomického rozvoje výrzu, > 0 eobshuje 5 proměou. Po98/77 k 0, ) Pro které R 6 rove 68? {} 5 je sedmý čle biomického rozvoje výrzu ( ) 9 5. FAKTORIÁL KOMBINAČNÍ ČÍSLA, PASCALŮV TROJÚHELNÍK 6 ) Njděte všech N, pro která pltí: < 9 ) Vypočtěte: )! ( )! ( )! {,,} b) c) ( )! ( ( )! )! ( )! ( )!, N, d)!! ( )! ( ) ) Řešte v N: (!) 7! 6 0 ) Řešte v N 5) Řešte rovici v oboru přirozeých čísel (ezámá je zde ): ) 9 ( )! ( )!... ( )! b)!!!... ( )! c) : 5 5 d) 8 e) Výsledky jsou podezřelé, moc bych jim evěřil. { 5} { 5} { 5}

47 f) 0 7 g) { 5} { 5} 6) Řešte rovici s ezámou N : ) b) ( ) ( )! ( 6 )! ( )!! ( )! ( )! ( )! ( 5 )! ( )! 50! ) Řešte erovice s ezámou _ N < { 8,9,0... } ) 7! ( )! b) c)! 0! ( ) 6 ( )! ( )!! 6. PRAKTICKÉ APLIKACE KOMBINATORIKY K,N N { } { 5} {,,...} {,,} Permutce z prvků je kždá -čleá vrice z těchto prvků. Počet: P ( )! Vrice k-čleá vrice z prvků je uspořádá k-tice sestveá z těchto prvků tk, že se v í kždý vyskytuje ejvýše jedou. Počet:! V k ( ) ( )( )...( k ); ( k)! k ;, k N Kombice k-čleá kombice z prvků je k-prvková podmoži možiy těmito prvky určeé Počet! C k ( ) k ; ( k)! k! k ;, k N Permutce s opkováím P ( ) Vrice s opkováím k V ( ) k ;, k N k Kombice s opkováím C k ( ) k k N k ;, k ) Zvětší-li se počet prvků o 5, zvětší se počet vricí druhé třídy bez opkováí vytvořeých z těchto prvků o 70. Určete původí počet prvků. { 5} ) Zmeší-li se počet prvků o 7, zmeší se počet vricí druhé třídy bez opkováí vytvořeých z těchto prvků desetkrát. Určete původí počet prvků. { 6} 7

48 ) Při přípitku oslvě rozei se ozvlo 5 ťukutí. kolik lidí bylo oslvě, jestliže si přiťukl kždý s kždým? { 6 } ) Je dáo 0 růzých bodů v prostoru. Zjistěte kolik rovi tyto body určují, jestliže: ) žádé čtyři body eleží v téže roviě b) právě 6 bodů leží v téže roviě 5) Zjistěte dále kolik přímek tyto body určují, jestliže: ) žádé tři body eleží v téže přímce b) čtyři body leží v jedé přímce jié tři body leží v druhé přímce. 6) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel dělitelých čtyřmi v ichž se vyskytují pouze číslice 0,,,,7? ) Kolik z ich je sudých? b) Kolik z ich (všech) je větších ež 0 000? c) Rozlište přípdy, kde se cifry v sestvových zápisech mohou či emohou opkovt. 7) Kolik přirozeých čísel větších ež 00 můžeme pst pomocí číslic,,,? ) jestliže se žádá číslice eopkuje b) jestliže se mohou opkovt c) kolik z jich je dělitelých čtyřmi? 8) Počet pětičleých vricí prvků je 6 krát větší ež počet tříčleých kombicí z prvků. Určete počet prvků. {6} 9) Kolik růzých trikolor lze sestvit z prvků spektrálích brev? {7.6.50} 0) Sportoví soutěže zúčstí 8 družstev. Kolik růzých umístěí může být prvích třech místech? { V (,8) 8.7.6} ) Kolik způsoby lze postvit 0 žáků do řdy při ástupu tělocvik? { 0!} ) Kolik způsoby lze dívky 8 chlpců rozdělit dvě šestičleá volejblová družstv tk, by v kždém družstvu byl děvčt chlpci? 8 ) Kolik způsoby lze rozdělit 0dětí do tří skupi tk, by v prví skupiě bylo 0 dětí, ve 0 druhé skupiě bylo 6 dětí ve třetí zbytek? ) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombicí druhé třídy bez opkováí vytvořeých z těchto prvků o 0. Určete původí počet prvků. { 6 } 5) Zvětší-li se počet prvků o 5, zvětší se počet kombicí druhé třídy bez opkováí vytvořeých z těchto prvků třikrát. Určete původí počet prvků. { } 6) Kolik zček Morseovy becedy lze sestvit z teček čárek, vytváříme-li skupiy o jedom ž čtyřech prvcích? 7) Kolik přímek je určeých 0 růzými body v roviě, jestliže: 8

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM. STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

9.5. Kolmost přímek a rovin

9.5. Kolmost přímek a rovin 9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14 Vážený čtenáři, sbírka příkladů, kterou jsi právě otevřel Vám chce pomoci při studiu jedné z nejkrásnějších vědních disciplín - matematiky. Sbírka obsahuje všechny typy příkladů, včetně výsledků, které

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více