STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA"

Transkript

1 STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6

2 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Zákldí možiové pojmy Číselé možiy Itervly Absolutí hodot reálého čísl Početí operce v N, Q, R Výrzy Mohočley početí operce s imi Vzorce mociy Rozkld výrzů Lomeé výrzy početí operce s imi LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY..... Lieárí fukce, kosttí fukce..... Lieárí rovice..... Lieárí erovice..... Rovice erovice s bsolutí hodotou Soustv lieárích erovic Soustv lieárích rovic o více ezámých ODMOCNINY A MOCNINY té odmociy ezáporého čísl Počítáí s odmocimi Usměrňováí zlomků..... Mociy s rcioálím mocitelem.... KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A NEROVNICE..... Kvdrtická fce, grf..... Kvdrtická rovice, diskrimit...

3 .. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice Kvdrtické erovice Grfické řešeí FUNKCE Fukce rostoucí klesjící Nepřímá úměrost Mocié fukce Epoeciálí fukce Epoeciálí rovice Iverzí fukce Logritmické fukce Logritmus Věty pro počítáí s logritmy Logritmické rovice Přirozeé dekdické logritmy GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE Úhel jeho velikost Defiice goiometrických fukcí Určováí hodot goiometrických fukcí Grfy goiometrických fukcí Vlstosti goiometrických fukcí Goiometrické rovice Siová vět Kosiová vět KOMBINATORIKA Zákldí kombitorické prvidlo Vrice... 5

4 7.. Permutce Kombice Vlstosti kombičích čísel Biomická vět PLANIMETRIE Podobost trojúhelíků Pythgorov vět Euklidovy věty Obshy obvody roviých obrzců Délk kružice její části (kruhový oblouk) Obsh kruhu jeho částí KOMPLEXNÍ ČÍSLA Zvedeí kompleích čísel Početí operce s kompleími čísly Goiometrický tvr kompleího čísl Moivreov vět STEREOMETRIE Vzájemá poloh bodů, přímek rovi Povrchy objemy krychle, kvádru válce POSLOUPNOSTI Pojem poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití ritmetických geometrických posloupostí VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Vzdáleost dvou bodů Souřdice středu úsečky... 85

5 .. Vektor, velikost vektoru Sčítáí odčítáí vektorů Násobeí vektoru sklárem Lieárí závislost ezávislost vektorů Sklárí souči, odchylk kolmost vektorů Prmetrické vyjádřeí přímky Obecá rovice přímky Směricový tvr rovice přímky Vzájemá poloh dvou přímek ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Kružice Vzájemá poloh přímky kružice Elips Hyperbol Vzájemá poloh přímky hyperboly Prbol Vzájemá poloh přímky prboly...

6 .. Zákldí možiové pojmy Moži soubor ějkých prvků. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Podmoži moži A je podmožiou možiy B ( A B ), jestliže kždý prvek možiy A je zároveň prvkem možiy B. Kždá moži je podmožiou sebe sm. ( A A ) Prázdá moži emá žádý prvek Prázdá moži je podmožiou kždé možiy. Rovost moži možiy A,B se rovjí obshují-li tytéž prky (A B) Doplěk možiy je -li A podmožiou možiy B, pk doplěk možiy Á obshuje Všechy prvky možiy B, které eptří do možiy A. Pozámk: Rozlišit pojmy být prvkem být podmožiou je prvek možiy {,, } {} je podmožiou možiy {,, } Průik moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v obou možiách zároveň Disjuktí možiy - jejich průik je prázdý. ( A B ) Sjedoceí moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v jedé z obou moži ( A B ) Rozdíl moži - je moži všech prvků možiy A, které ejsou prvky možiy B Cvičeí: ( A B ). A {,,5,7 } B {,,,5 } Zjistěte ) A B, b) A B, c) A B, d) všechy podmožiy A. Podmoži je celkem ) {,5}, b) {,,,,5,7}, c) {,7} d), {}, {}, {5}, {7}, {,}, {,5}, {,7}, {,5}, {,7}, {5,7}, {,,5}, {,,7} {,5,7}, {,5,7}, {,,5,7} N, kde je počet prvků možiy. 5

7 . Podik má 6 změstců. změstců eumí žádý cizí jzyk, umí ěmecky 5 glicky. Kolik lidí umí ob jzyky? [5].. Číselé možiy Čísl přirozeá...n Čísl celá čísl přirozeá, čísl k im opčá...z p Čísl rcioálí lze zpst ve tvru, kde p, q, jsou čísl celá q...q q Čísl ircioálí elze zpst ve tvru p q Čísl reálá čísl rcioálí čísl ircioálí...r Čísl kompleí bi, kde i je imgiárí jedotk...k Rcioálí čísl p r q s ps rq q. s p. q r s p. r q. s p r : q s ps qr.. Itervly Omezeý itervl v možiě R lze zázorit úsečkou číselé ose uzvřeý, polozvřeý otevřey echť,b jsou libovolá reálá čísl, < b, b (, b, b ) (, b) Neomezeý itervl - zky -, ) ( -, (, ) ( -, ).. Absolutí hodot reálého čísl Defiice : Absolutí hodot kždého reálého čísl je rov vzdáleostí tohoto čísl číselé ose od počátku pro je 6

8 pro < je - Vět.. Pro kždé R je. Pro kždé R je - Opčé číslo k reálému číslu je reálé číslo, pro ěž pltí Převráceé číslo k reálému číslu je reálé číslo pro ěž pltí..5. Početí operce v N, Q, R b b,. b b. } komuttiví záko (b c) ( b) c,.(b. c) (. b). c } socitiví záko ( b). c. c b. c } distributiví záko.. Vět: Je- li. b je lespoň jedo z čísel,b rovo..6. Výrzy Proměé jsou písme, která v zápisu zstupují čísl z určité číselé možiy. příkld: o π r V π r². v Kužel c b Kostty písme hrzující určitá čísl z určité číselé možiy. příkld: π Číselé výrzy -, π, Výrzy s proměou - ², 5y - z Lomeé výrzy proměá je ve jmeovteli, musíme udt podmíky, kdy má výrz smysl. příkld:, b b, b Mohočley: N N N.. mohočle tého stupě 7

9 .7. Mohočley početí operce s imi N N N mohočle tého stupě Sčítáí: sečteme čley, které mjí stejé zákldy stejé epoety ( b c) ( -b c ) -b b c Odčítáí: přičteme mohočle s opčými zméky ( b c) ( b -c) b c - b c c Násobeí: kždý čle prvího mohočleu ásobíme kždým čleem druhého mohočleu. ( b b). ( b) b b 6 b b Děleí: dělitel musí být růzý od uly ) Ob mohočley uspořádáme sestupě podle klesjících moci proměé ) Dělíme: ) prví čle dělece dělíme prvím čleem dělitele. Získým podílem ásobíme všechy čley dělitele. Teto souči odečteme od dělece. b) Postup opkujeme ) Zkoušk: souči dělitele podílu děleec příkld: ( 7-5) : (- 7) 5 [ 7 ].8. Vzorce mociy (AB) A AB B (A-B) A -AB B A -B (A-B). (AB) (AB) A A B AB B (A-B) A - A B AB -B A B (AB) (A - AB B ) A - B (A-B) (A AB B ) Defiice: pro kždé reálé č. kždé celé kldé číslo je... (v součiu je čiitelů) Pro kždé reálé číslo je - moci, zákld, epoet (mocitel) r. s r s ( r ) s r.s 8

10 (.b).b r : s rs pro b b Defiice : pro kždé reálé číslo kždé celé záporé číslo m je m m m b.9. Rozkld výrzů b, b ) vytýkáí společého čiitele b 8 b b b. (b b 7 ) ) postupé vytýkáí 5by 5b y b 5b(y b) (y b) (yb). (5b ) ) pomocí vzorců 9 - b b (-b) ) kombice předešlých b - b 6 b ( - b ) b (-b).(b) h - (h -).(h ) (h-).(h).(h ) p -(p-r) [p-(p-r)].[p(p-r)] (r).(p-r) ebo p -(p -prr ) pr-r r.(p-r).. Lomeé výrzy početí operce s imi U lomeých výrzů je uté určit jejich defiičí obor, tj. obor hodot proměých,pro ěž má dý lomeý výrz smysl. 8 6 ( 5) ( 5) 9

11 Krátit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele dělit týmž výrzem růzým od. Rozšířit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele ásobit týmž výrzem růzým od uly. Př: 8 b rozšiřte výrzem růzým b b - b 8 b 8( b) ( b)( b) 8( b) b Sčítáí (odčítáí) lomeé výrzy se převedou společého jmeovtele sečtou (odečtou)se. Násobeí čittel čittelem, jmeovtel jmeovtelem Děleí ásobí se převráceou hodotou lomeého výrzu př: př: p 7y py -7 p(- 7(y-) př: (-b).b (.).(-b) př: uspořádejte podle velikosti 5,,

12 . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A.. Lieárí fukce, kosttí fukce JEJICH SOUSTAVY Defiice: zobrzeí možiy A do možiy B je prvidlo, které kždému prvku A přiřzuje právě jede prvek b B. Defiice: fukce je kždé zobrzeí možiy A do možiy R, kde A je libovolá podmoži možiy R A defiičí obor fce Defiice: fukce je prvidlo, pomocí kterého je kždému reálému číslu A přiřzeo právě jedo reálé číslo y fce...f,g,h,. def. obor...d(f), D(g),D(h), Krtézská soustv souřdic y Kolmé přímky,y, s průsečíkem. A [ ] y o,, o - prví souřdice bodu A y - druhá souřdice bodu A Defiice: Grf fukce f ve zvoleé krtézské soustvě souřdic y se zývá moži všech bodů X[,f()], kde D(f) Defiice: Kosttí fce je kždá fce, vyjádřeá ve tvru y b, R kde b je reálé číslo. Defiice: Lieárí fce je kždá fce, vyjádřeé ve tvru y b, R, kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo Vět: Grfem kosttí fce je přímk rovoběžá s osou. Vět: Grfem lieárí fce je přímk růzoběžá s osou i s osou y. Vět: Přímk rovoběžá s osou y eí grfem žádé fce. Př: f : y - f : y Sestrojte grfy fukcí.

13 .. Lieárí rovice Defiice: rovice je lieárí, když ji lze ekvivletími úprvmi převést tvr b kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. Ekvivletí úprvy:. K oběm strám rovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz. Obě stry rovice ásobíme ( dělíme ) stejým výrzem růzým od uly Vět: Lieárí rovice b o ezámé R má právě jede koře - b Cvičeí: Řešte rovice v možiě Z ) 8 6 [7] 7 b),8,5 [emá řešeí, ] 8 c) [-].. Lieárí erovice l ( ) < p ( ) l ( ) l ( ) > p ( ) p ( ) l ( ) p ( ) - levá str erovic - prvá str erovic l ( ) p ( ) P moži všech řešeí erovic Ekvivletí úprvy.. K oběm strám erovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz..) Obě stry erovice vyásobíme (vydělíme ) stejým výrzem, který je kldý b) Obě stry erovice vyásobíme ( vydělíme ) stejým záporým výrzem zk erovosti se změí v opčý. Defiice: Nerovice je lieárí, když ji lze ekvivlet. úprvmi převést jede z tvrů. b< b> b b, přitom je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. př: u u 9 u 5 6 u P, )

14 Zkoušk př: Řešte pro y N (č.přirozeá) y-6, y- 6, y- 6, y->6 př: Řešte pro z R (č.reálá) z 6 z (z-)<5(z) 5 (6-z)-(,5z) 5,5z.. Rovice erovice s bsolutí hodotou př: Sestrojte grf fce g:y, R pro pltí - pltí grf g : y -, (-, př: Určete všech R, pro která jsou hodoty fce m: y, R meší ebo rovy číslu 5. Řešeí: Sestrojíme grf fce m: Zjistíme pro která R je: ) - b) -( ) - Fce m se skládá z grfů fcí m : y -, (-, Hledáme R, pro která je m ( ) 5. Tuto podmíku splňuje R -, 7 m : y -,, ) g : y,, ) Př: 5 ) - b) , ) - (-,

15 (-,7 - -, ) P, 7 P -, P P P,7,,7 Cvičeí: P -,7 Př: Sestrojte grfy fcí: f : y R f : y R f : y R f : y R f 5: y - f 6: y R R -{} př: 6 7 < > 9 5 př: < př: Soustv lieárích erovic př: ) 5 7 < b) < < > - 8 5

16 6 8 P, ) P (, 5 P P P 6 8 P ( -, 5 Př: ( ).(5 -) > R ) > zároveň 5 - > ) < zároveň 5 < ) > 5 - > > - > -5 5 < P (, ) P (-, 5 ) P P P ( 5 5, ) (-, ) (, b) < 5 > P (- < P P (- > 5 ) 5, ) P ( ), 5, ) ( ), P ( P P ) (P P ) P (, 5 ) P (, 5 ) 5

17 Cvičeí:.př. Řešte soustvy erovic ) u - > b) 7u > 6- u 6 u 5 <6 7u > u - d) 6 c) ( u ) ( 5 u) u u 5 5 u 7 5,5 u 6 ( u ) u 6 ( u).př ) ( 6- ). ( 5 ) b) ( ). ( 7 - ) >.př: ) c) (uprvit ) 9 b) 5.6. Soustv lieárích rovic o více ezámých př: Njděte všechy uspořádé dvojice [, y ] reálého čísl pro které pltí: y - y - 5 zároveň Průsečík přímek y - y - 5 je bod A [, ], tz., y Početě: - 5 y.- 6 y A: Metod doszovcí :. Jedu rovice převedeme tvr y b (ebo cy d). Do druhé rovice dosdíme z y výrz b ( ebo z výrz cy d) vyřešíme ji - ezámá (y). Dosdíme číslo z (y) do kterékoliv rovice vypočteme y () 6

18 B: Metod sčítcí (dičí) y 8 5y - /.(-) y 8-5y 9 y 5y y 7 6 y. Kždou rovici soustvy vyásobíme vhodým číslem růzým od uly tk, by koeficiety u ebo u y byly opčá čísl.. Levé i prvé stry sečteme získáme tím rovici o jedé ezámé.. Jko u předešlého. C: Metod srovávcí ( komprčí) y - y 5 5, y 5 5. Z obou rovic vyjádříme ezámou. Dosdíme vyřešíme. Dosdíme vyřešíme pro druhou ezámou Cvičeí: y 5 y př: 5 y y [ 7 9, y - 7 ] př: ) y 7 b) y 5 c) y y -6 - y y 7

19 př: 5.(y ) - ( -) 7.( y ) 5( [, y ] Cvičeí: y 5z -7 y z - y 6z 6 [, y, z ] 8

20 .. té odmociy ezáporého čísl. ODMOCNINY A MOCNINY Defiice: -tá odmoci ( N ) z ezáporého reálého čísl (, R) je tkové ezáporé číslo (, R) pro která pltí zápis: př: 8 8 odmocěec (zákld odmociy) odmocitel př: Kdy má výrz smysl?, 5. b -. b ) ) b b.. Počítáí s odmocimi Pro, b m,, p - celá kldá ). b. b ) b b b m m ) ( ) m m. ) p mp 5) př: > 9

21 b.. b b > Defiice: částečé odmocňováí je úprv odmociy do tvru součiu, jehož jedím čiitelem je odmoci co ejmešího odmocěce. ) 8 ) b ) y b y. y. z ) 8 y z 8 př: 7 8 b b > 7 5. y y > b > y > př: ( ) 8 5 ( ) 6 5 ( ) př: 5 >.. Usměrňováí zlomků je odstrňováí odmociy ze jmeovtele rozšířeím zlomku. Npř: rozšíříme rozšíříme 5 rozšíříme 5 5 rozšíříme 5.. Mociy s rcioálím mocitelem mociy s celočíselým mocitelem již záme m m celé, kldé

22 Defiice: pro kždé kldé reálé číslo, celé číslo m kldé přirozeé číslo je m m - zákld mociy m - mocitel př: ( ) podmíky: >,, - př: ( ) ( ) ( ) ( ) :. př: 6 podmík >

23 . KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A.. Kvdrtická fce, grf NEROVNICE Užití: M: S π.r, S : s gt v t - dráh vrhu svislého vzhůru F P RI výko odpor. (itezit) defiice: Kvdrtická fce se zývá kždá fce y b c, R kde je reálé číslo růzé od uly b, c jsou libovolá reálá čísl b c b c - kvdrtický trojčle - kvdrtický čle - lieárí čle - bsolutí čle Grf: Př: Nrýsujte grf fce h : y př: g : y h : y g y h : : y Vět: Grf kždé kvdrtické fce souřdice y. y je souměrý podle osy y krtézské soustvy Vět: Grf kždé kvdrtické fce y prochází bodem [,]. Vět: Je-li >, pk kvdrtická fce y bývá pro ejmeší hodoty, je-li <, bývá kvdrtická fce y pro ejvětší hodoty. Vět: Grf kždé kvdrtické fce y b c lze získt posuutím grfu kvdrtické fce y Vět: Grf kvdrtické fce prboly. y b c se zývá prbol, bod [ ] se zývá vrchol y,

24 Vět: Vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y b c, má souřdice b, y c b př: Určete vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y, b, c b b y c V [-, -]. př: Určete souřdice vrcholu prboly, které jsou grfem kvdrtické fce. ) y b) y 6 5, 5 c) y V [,] V [,5, ] V[-,] Postup při sestrojováí grfů kvdrtických fcí: ) Určíme souřdice y, vrcholu prboly ) Vypíšeme ěkolik dlších dvojic ) Sestrojíme v y (krtézské soustvy souřdic) obrzy uspořádých dvojic získých v ) Sestrojíme prbolu (prbol je souměrá podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ], Vět: Grf kvdrtické fce je souměrý podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ]., Vět: Kvdrtická fce y b c, bývá pro ) ejmeší hodotu y - jestliže > b) ejvětší hodotu y - jestliže < Cvičeí rýsujte grfy fukcí: Př: y,5 V [,,5] y V [,-] y y y,5

25 y 7 y,5,5 y.. Kvdrtická rovice, diskrimit Defiice: Kvdrtická rovice o jedé ezámé se zývá kždá tková rovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést tvr b c kde je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. př:,5 (,5 ) - souči dvou čísel je rove ule, jestliže jedo z čísel je rovo. (,5 ) 6 P {, 6 } př: A B ( A B)(. A B) ( )(. ) př: P {-, } > P př: ( ) ( ) je-li ( ) je-li P {} ( ) >

26 Cvičeí: př: ( )( ) ( 5 )( 5) ( )( 5) př: př: v 9 v 7 př: ( u ) ( u 5).. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice b c Diskrimit kvdrtické rovice D b c kořey: b b D D Vět: pro možiy P všech kořeů kvdrtické rovice b c o ezámé R pltí: ) Je-li diskrimit D <, pk P ) Je-li diskrimit D, pk b P ) Je-li diskrimit D >, pk b P D b, D př: 6 5, b 6, c 5 D < P př: 6,5, b 6, c, 5 D, 5 P {, 5} 5

27 př: 6, b 6, c D P {, } ZKOUŠKY!!!!.. Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice. Vět: Jsou-li, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk pro ě pltí: b. Obráceá vět: c. Vět: Nechť je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. Čísl,, pro která pltí b, rovice b c o ezámé R. c. jsou kořey kvdrtické. Vět: jsou-li,, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk ( )( ) pltí b c př: 7 b ( 7) 7. c rozepíšeme: P {, } 6

28 př: Rozložte kvdrtický trojčle souči lieárích čiitelů., b, c 5, ± Podle věty : b c ( )(. ) Kvdrtické erovice Defiice: Kvdrtickou erovicí o jedé ezámé se zývá kždá erovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést jede z tvrů: b c > b c b c < b c př : 9 6 ) Vyřešíme kvdrtickou rovici 6, ) Nyí vezmeme pomoc zlosti o průběhu kvdrtické fukce m : y 6, tedy >, grfem je prbol, jejíž vrchol zobrzuje ejmeší hodotu fukce. Této prbole přísluší body [,], [-,] Řešeí je tedy P (,, ) př:,5, 5 <, 5, b, c, 5,5,5 D < Rovice emá řešeí Prbol emá žádé společé body s osou. 7

29 Mohou stt tyto přípdy: ) Celá prbol leží pod osou b) Prbol leží d osou K určeí jedoho z těchto dvou přípdů stčí dosdit do zdáí z libovolé reálé číslo zjistit, zd hodot trojčleu je kldá ebo záporá. Npř:,5,5, 5 pro všech R je,5, 5> Ale řešíme,5, 5< P - moži řešeí je prázdá.6. Grfické řešeí př: > - 5> Řešíme kvdrtickou rovici 5, b, c 5 D b c 9 ± 7, 5 podle věty : 5.( 5) Místo původí erovice řešíme tedy:. ( 5) > /.. ( 5) < ) > zároveň 5 < > zároveň < 5, P P ( ) P,5,,5, 5 P ( ) 8

30 ) < zároveň 5 > < zároveň > 5 P, P P, (, ) P ( 5, ) 5 ( P P ) ( P ), 5 P P, 5 př.: ( k - ).( k ) ) k zároveň k k zároveň k P, ) P, ) P P, ), ), ) ) k zároveň k Cvičeí: k zároveň k P (, zároveň P (, P (, (, (, P ( P P ) P ) (, P, ) ( P ). 6 9 > ) ) 5 < 9

31 5. FUNKCE 5.. Fukce rostoucí klesjící Defiice: Nechť M je podmožiou možiy R všech reálých čísel. Fukce f se zývá Jik: kždá moži uspořádých dvojic [ y] MR pltí: ke kždému R eistuje právě jedo R, (krtézský souči) pro kterou y tk, že [ y] f Defiice: Fce je prvidlo,pomocí kterého je kždému reálému číslu přiřzeo právě jedo Pltí věty: reálé číslo y. ) Kosttí fukce y b eí i rostoucí i klesjící. Grfem je přímk rovoběžá s osou. ) Lieárí fce y b je: ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé < klesjící ) Kvdrtická fce y b c b ) pro > rostoucí v itervlu, ) je: b klesjící v itervlu (, b b) pro < rostoucí v itervlu (-, 5.. Nepřímá úměrost b klesjící v itervlu, ) k Defiice: Nepřímá úměrost se zývá kždá fukce, reálé číslo růzé od uly. Grfem epřímé úměrosti je hyperbol. y R { },,kde k je libovolé

32 Pltí věty: k ) Fukce y, je: ) pro kždé k > klesjící v itervlech (-,), (, ), hyperbol je v I. III. kvdrtu. b) pro kždé k < rostoucí v itervlech (-,), (, ), je hyperbol ve II. IV. kvdrtu. k ) Obor fukčích hodot fukce y, je pro kždé k rove R { }. 5.. Mocié fukce Opkováí: celé kldé číslo, celé záporé číslo,... Záme: y, y, y pro Rozděleí: ) b) c) ) y R, y R { } y R { } y R, celé kldé číslo, celé záporé celé kldé číslo Vět: Pro kždé liché celé kldé číslo je fce možiou všech reálých čísel. Pro kždé sudé celé kldé číslo je fce y rostoucí její obor hodot je y klesjící v itervlu (-, rostoucí v itervlu, ), její obor hodot je itervl, ) b) y R { } y le Je to grf kosttí fukce s výjimkou bodu pro. c) y R { } y záme y, celé záporé y epřímá úměrost y smozřejmě y y

33 Vět: Pro kždé záporé celé číslo sudé je fukce y rostoucí v itervlu (-,), klesjící v itervlu (, ), obor hodot je moži R. Pro kždé záporé celé číslo liché je fukce,(, ). Obor hodot je moži { } (-,) R. y klesjící v itervlech Cvičeí: y,5 y 5 y y y, y Epoeciálí fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od. Epoeciálí fukce o zákldu se zývá fukce y R př: y Vět: y. Obor hodot fukce y je pro kždé >,, itervl (, ).. Fce y je pro kždé > rostoucí, pro kždé (,) klesjící.. V bodě je hodot fce y pro kždé > rovo.. ) Pro kždé > pltí: je-li <, pk <, je-li >, pk >. b) Pro kždé (,) pltí:je-li < pk je-li >, pk >, <, Cvičeí: y y, 5 y y y ( ) y., 5 ( ) 5.5. Epoeciálí rovice vyskytují se zde mociy s ezámou v epoetu. Vět: Pro všech reálá čísl, y pro kždé kldé reálé číslo pltí: je-li y pk je y.

34 př: př: ( 5 ) -(5-) 9,5 Cvičeí: 5,, , ( 6) (,5), 5 5.5,,,, 5.6. Iverzí fukce př: Nrýsujte iverzí fukci k fukci y - y - u iverzí fukce y y

35 V tbulce totéž - y Logritmické fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od, f epoeciálí fukce o zákldu (tj: y ) Logritmická fukce o zákldu se zývá tková fukce g pro kterou pltí: [ d, c] g právě tehdy, když [ c d] f,. Vět: Grf fukce g je souměrě sdružeý s grfem fukce f podle osy.. kvdrtu krtézské soustvy souřdic. y log Čteme logritmus při zákldu je iverzí k epoeciálí fukci y Vět: ) Defiičí obor logritmické fukce itervlu (, ) ) Obor hodot logritmické fukce možiě R všech reálých čísel y log je pro kždé R { } y log je pro kždé R { } rove rove ) Fukce y log je ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé (,) klesjící ) log 5) ) pro > : je-li <, pk log < je-li >, pk log > b) pro (,): je-li <, pk log > je-li >, pk log < př: log < log log,6 5 log, Logritmus Defiice: Logritmus o zákldu je tkové číslo y pro ěž pltí: umocíme-li jím číslo, dosteme, přitom R { }, log y právě když y R

36 Vět:. pro kždé R { },. pro kždé R { } R pltí: log pltí: ) log b) log př: ) log 7 9 ) log 6 t t 6 6 ) log ) log př: log,, 5,, 9 log př: - dle. věty log - dle. věty př: log 5 5 log 8 log Věty pro počítáí s logritmy ) log (. y) log log y Logritmus součiu dvou kldých čísel je rove součtu logritmů jedotlivých čiitelů. ) log log log y y Logritmus podílu kldých čísel je rove rozdílu logritmů dělece dělitele (v tomto pořdí) y ) log y. log Logritmus mociy kldého čísl je rove součiu epoetu logritmu zákldu mociy. př: log,5 6 log,5 log,56. log,5 log 6 6. př:.log 5.log log log log (. ) log ( 6 )

37 př: log log 5 log, log,, 8 log 7 log 7 log 55 log5 log,5,5 log 9 Pozámk c ( m. ) m c log m log log Logritmus kždého kldého čísl m o zákldu lze psát ve tvru součtu log m, kde m, ) celého čísl c. Je zřejmé, že log m,) 5.. Logritmické rovice Vět. Pro kždé kldé reálé číslo růzé od jedé pro všech kldá reálá čísl, y pltí: je-li log log y, pk y. př: ( ) log ( ) log log log log log zkoušk 8 Pozámk ukázt, je-li místo log 5 př: log ( ),5. ( log ) log ( ) log7 log ( ) 7 6

38 ebo, 5 Zkoušk: ( ).log (,5 ).log ( 5) L!!!,5 7 7 ( ) > >, číslo,5 eí kořeem rovice Moži kořeů rovice je prázdá. Rovice jde uprvit i jik:.log ( ),5. př: ( ) log log substituce y y log y 7 log 7. log ( ). 7 7 log -!! Nemá řešeí y, ) log b) log - zkoušk Moži všech kořeů P {, } 7

39 př: ( 9 ) 8. log log, 5 8,5 př: log,5.log log,5 log,5 log, 5 7 -,5.log,5 [, 7 ( ) log ( ) log log ( ) 5 log ( ) 9 ( y ) log ( y ) log ( y ) log log ( y ) log ( y ) 6 log 5 log ( ).log log substituce ( ) log y log5 5,,. log log,5. log log,5 log,5 log ejdříve logritmovt 5 5,,,, 5.. Přirozeé dekdické logritmy Hledá se tkové číslo e, by grf epoeciálí fukce III. kvdrtu jediý společý bod. e &,78 Eulerovo číslo y e měl s osou I. A 8

40 Logritmickou fci při zákldu e zčíme hovoříme o přirozeém logritmu y log e obvykle l Je-li zákld dekdický logritmus l &, log e &, l &,.log log &,. l Vět: Pro kždé kldé reálé číslo pro všech kldá čísl log log y log z z y y, z růzá od jedé pltí: př: Vypočtěte log 5 je-li: ) log &,, log 5 &,699 b) l 5 &, 69 l &, 69 log 5,699 ) log 5 &, log, l 5,69 b) log 5 &, l,69 9

41 6.. Úhel jeho velikost 6. GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE stupňová mír - plý úhel : 6 oblouková mír 6 π rd rd & rd (rdiá) α.π 8 α.8 π převod stupě rdiáy převod rdiáy stupě Vět: Zobrzeí U možiy R do jedotkové kružice je dáo:. Kždému reálému číslu, ) přiřdíme bod K k, pro který pltí: π π ) Úhel JOK je částí úhlu JOJ jko svou část ( pro, ) π ebo obshuje úhel JOJ jko svou část (pro, )) π b) Délk oblouku JK je rov, vzhledem k tomu že k je jedotková kružice, je zároveň číselou hodotou velikosti úhlu JOK v obloukové míře.. Je-li R,π ), jdeme ejprve tkové, ) tkové m Z, pro ěž pltí m. π. π Potom přiřdíme číslu stejý bod K, jký je přiřze číslu. 6.. Defiice goiometrických fukcí Defiice: Fce sius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, yk ], kde R y si Defiice: Fce kosius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, k ], kde R y cos Defiice: Fce tges se zývá fce dá rovicí si y cos

42 Defiice: Fce kotges se zývá fce dá rovicí cos y si 6.. Určováí hodot goiometrických fukcí ) Tbulky - je ve stupích (rdiáy uto převést) ) Klkulčk ) Grficky - je ve stupích (rdiáy uto převést) př: si 6 cos6 cos. π π př: tg cot g př: cot g tg6 př: si 5 π si π.π si π př: cos ( 7 ) dle vzorce 7. π 6,5π 8 cos (-7 )cos(-6,5π ) cos je periodická s periodou π cos ( 6,5π ) cos π.π cos π 6.. Grfy goiometrických fukcí ) y si,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -,

43 b) y cos,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -, Cvičeí: př: Grf y si y si π 6.5. Vlstosti goiometrických fukcí sius kosius Defiičí obor obou fukcí je moži všech reálých čísel tj. Obor fukčích hodot obou fukcí je itervl, (, ). Vět: pro kždé R pro kždé m Z pltí: si ( mπ ) si cos ( mπ cos, π π π, π, π π, π sius - - kosius - - sius rostoucí klesjící klesjící rostoucí kosius klesjící klesjící rostoucí rostoucí tges kotges si cos cos si π ( m ).

44 Defiičí obor fce tges je moži všech reálých čísel růzých od π mπ kde m je libovolé celé číslo. π mπ Jik: mimo lichých ásobků čísl π Defiičí obor fce kotges je moži všech reálých čísel růzých od m je libovolé celé číslo. Obor fukčích hodot je moži R tj. (-, ) Vět: Pro kždé z defiičího oboru fce tges (kotges) pro kždé je tg ( mπ ) tg cotg ( mπ ) cot g m. π, m Z Dlší vlstosti: ) si( ) si cos( ) cos } R ) R π ( m ) tg( ) tg } m Z ) R mπ π ) (, ) 6.6. Goiometrické rovice př: si, 5 Řešeí ejdříve v,π ) π 6 cotg(- ) cot g ( π ) si( π ) si( ) ( π ) cos( π ) cos( ) si si π cos cos π 5 π period je π 6

45 Řešeí: π mπ 6 m Z 5 π mπ 6 m Z př: cot g -,8 Řešíme v itervlu (,8 ) cot g -,8 - cot g cot g,8 přitom (,9 ) 8 pltí: 8 - period 8 řešeí: m.8 m Z př: cos( ), 86 y y y substituce cos y & 8 8 y cos y, 86 cos y,86 cos 9 y y y 9 8 period π 6 Řešeí: 9 m.6 m Z 8 m.6 př: cos substituce : cos y y 7 cos 7 y D ( 7 ).. 5

46 cos cos,5 y y,5 evyhovuje cos řešeí: π mπ 5 π mπ m Z Vzorce: ) si cos ) tg. cot g m. π m Z ) si ( y) si cos y si y. cos ) si( y) si cos y si y. cos 5) cos( y) cos cos y si. si y 6) cos ( y) cos.cos y si. si y 7) si si cos 8) cos cos si 9) si cos ) cos cos y y ) si si y.si.cos y y ) si si y.cos.si y y ) cos cos y.cos.cos y y ) cos cos y si.si 5

47 6.7. Siová vět Užití pro hledáí velikostí str úhlů v libovolém trojúhelíku. Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velkost α, β, χ stry délky Pk pltí:, b, c. b c siα si β si χ Jik: Poměr délky stry hodoty siu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelíku kosttí. Užití: ) je-li dá délk jedé stry velikosti dvou vitřích úhlů b) jsou-li dáy délky dvou str velikost vitřího úhlu proti jedé z ich. př: Trojúhelík ABC, dáo: α,85, β,68, c 5, m Řešeí: v kždém trojúhelíku je součet vitřích úhlů rove π. Úhly jsou zdáy v rdiáech. Úhel ABC χ π α β π,85,68 &,65, 65 c siα c. siα si χ si χ,78 5,.,999,9m b si β,6 b.,9. b, m siα si β siα,78 př: Trojúhelík ABC dáo: χ 7, b 8,5m, c, 8m Určete osttí úhly stry trojúhelíku. úhel ABC β b c b 8,5 si β.si χ.si 7 si β &, 75 si β si χ c,8 β (, 8 ) β 8 β β evyhovuje, eboť β χ β 8 α 8 β χ 8 α

48 c siα,8587 : c.,8. 9, 76 siα si χ si χ,95 9, 76m Vět: Pro obsh S trojúhelíku, jehož stry mjí délku pltí:, b, c vitří úhly α, β, χ S bsi χ csi β bcsiα př: Trojúhelík ABC: 5,m, α 6, β 8 S? S b.si χ b si β si 8,657 b. 5,. 5,. & 7, si β siα siα si 6,89 χ β χ 79 b 7, m 8 α S b.si χ 5,.7,.si 79 7,6.,986 & S Obsh trojúhelíku je, Kosiová vět m.,6m Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velikost α, β, χ stry délky Pk pltí: ) b, b, c. c bc cosα b) b c c cos β c) c b b.cos χ Užití: ) jsou-li dáy délky všech tří str máme určit úhly b) jsou-li dáy délky dvou str velikost úhlu jimi sevřeého 7

49 př: Trojúhelík ABC, 6,9m, b,m, c, m Určit úhly α, β, χ z Kosiové věty b cosα c bc, b c, 6,9.,., bc cosα,78 úhel β cos α,78 α α 8 α 7 z kosiové věty: b c c cos β c cos β, cos β β & b c 5 6,9,.,.6,9,95 χ 8 χ 8 χ 7 5 α β 7 α 7, β 5, χ př: Trojúhelík ABC, 5, m, b,75m, χ 6 c?, α?, β? c: c b c.cos χ c 5,,75.5,.,75. cos6 7, c 8, m β pomocí siové věty: b c si β si χ 8

50 b si β si χ c si β β 6 β,75.si 6 8, 9,65 evyhovuje β χ 8 β 6 proti větší strě leží větší úhel α 8 β χ 8 α c 8,m, β 6, α 7 9

51 7.. Zákldí kombitorické prvidlo 7. KOMBINATORIKA Vět: počet všech uspořádých dvojic, jejichž prví čle lze vybrt právě způsoby jejichž druhý čle lze po výběru prvího čleu vybrt právě způsoby, je rove.. Vět (zobecěí): Počet všech upořádých k -tic, jejichž. čle lze vybrt právě způsoby,. čle po výběru. čleu právě způsoby td., ž ( k ) ho čleu právě k způsoby, je rove.....k. k tý čle po výběru př: Z měst A do měst B vedou cesty, z měst B do měst C vedou cesty. Určete počet růzých cest, které vedou z A do C procházející přitom městem B. Řešeí: A B...,,, B C..., b Vypíšeme dvojice: [, ], [, ], [, ],[, ], A C 8 cest tké. 8 [,b ], [,b ] [,b ], [,b ] př: Kolik dvojjzyčých slovíků je třeb vydt, by byl zjiště možost překldu z RJ, AJ, NJ FJ do kždého z ich. Dvojice [R,A], [R,NJ], [R,F], [A,R], [A,N], [A,F], [N,R], [N,A], [N,F], [F,R], [F,A], [F,N], dvojic jik. př: Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu se kždá číslice vyskytuje ejvýše jedou. Uspořádé dvojice (lze vypst). čle z 9 cifer ( elze použít ). čle z 9 cifer (přibyl cifr ). čle z 8 cifer trojciferých čísel dé vlstosti 7.. Vrice defiice: Vrice k té třídy z prvků je kždá uspořádá k tice sestveá z těchto prvků tk, že kždý je v í obsže ejvýše jedou.dbá se pořdí prvků. 5

52 k pokud < k vrice k té prvků eeistuje př: Npište vrice třetí třídy z prvků,5,7,9 [,5,7]. [,5,9] [,7,9].. ( ) [5,7,9] pro počet vricí třetí třídy ze prvků pltí: V.. možostí Vět: Počet V k ( ) všech vricí k té třídy z prvků pltí: V k ( ) ( )(. )... ( k ) 7.. Permutce Při sestvováí vricí k té třídy z prvků dostáváme uspořádé k tice, které v přípdě k < se liší umístěím jedotlivých prvků s tím, že obshují růzé prvky. př: Vrice třetí třídy ze prvků,,, [,,], [,,] liší se uspořádáím (umístěím) [,,], [,,] eobshuje tytéž prvky V přípdě k k tice se liší pouze uspořádáím kždý prvek je zde právě jedou. Defiice: Permutce z prvků je kždá vrice P ( ) - permutce z prvků. je to vrice V k ( ) ( )(. )... ( k ) le P k té třídy z těchto prvků. ( ) V ( ). ( )(. )... to zmeá ( ). ( )(. )... P teto souči zčíme! (čteme fktoriál ) té třídy z těchto prvků. Defiice: Pro kždé celé kldé číslo je!.... ( )( ). Pro je! Vět: Pro počet všech permutcí z prvků pltí P( )! 5

53 Př: Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápise je kždá z číslic,,,,7 Řešeí: musí tm být všechy cifry jedá se o počet všech permutcí z prvků, le žádá esmí zčít ulou. Počet všech permutcí z 5 prvků P ( 5 ) 5! Počet všech permutcí, které mjí. místě ulu P ( )! Výsledek: P ( ) P( ) 5!! ! 5...!... Př.: N schůzi mluví pět řečíků. Řešeí: ) P ( ) 5! 5 b) Pořdí AB hrdíme X ) Kolik je možostí pořdí jejich proslovů b) Kolik je možostí, že B mluví ihed po A c) Kolik je možostí, že B mluví po A př: [C,D,A,B,E,], [A,B,E,D,C].. [C,D,X,E], [X,E,D,C].. tj.permutce ze prvků P ( )! c) Ke kždému proslovu, kdy B mluví po A eistuje pořdí, kdy A mluví po B [ C,A,B,D,E ] - [ C,B,D,E ] [ A,E,D,C,B ] - [ B,E,D,C,A ] tj. vyhovuje je polovi P( 5 ) 5! 6 Uvědomit si: ( )! ( ).! př: Zjedodušte: ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) - ( ) 5

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Otázky. má objem V v. Orientace

Otázky. má objem V v. Orientace Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více