STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA"

Transkript

1 STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6

2 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Zákldí možiové pojmy Číselé možiy Itervly Absolutí hodot reálého čísl Početí operce v N, Q, R Výrzy Mohočley početí operce s imi Vzorce mociy Rozkld výrzů Lomeé výrzy početí operce s imi LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY..... Lieárí fukce, kosttí fukce..... Lieárí rovice..... Lieárí erovice..... Rovice erovice s bsolutí hodotou Soustv lieárích erovic Soustv lieárích rovic o více ezámých ODMOCNINY A MOCNINY té odmociy ezáporého čísl Počítáí s odmocimi Usměrňováí zlomků..... Mociy s rcioálím mocitelem.... KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A NEROVNICE..... Kvdrtická fce, grf..... Kvdrtická rovice, diskrimit...

3 .. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice Kvdrtické erovice Grfické řešeí FUNKCE Fukce rostoucí klesjící Nepřímá úměrost Mocié fukce Epoeciálí fukce Epoeciálí rovice Iverzí fukce Logritmické fukce Logritmus Věty pro počítáí s logritmy Logritmické rovice Přirozeé dekdické logritmy GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE Úhel jeho velikost Defiice goiometrických fukcí Určováí hodot goiometrických fukcí Grfy goiometrických fukcí Vlstosti goiometrických fukcí Goiometrické rovice Siová vět Kosiová vět KOMBINATORIKA Zákldí kombitorické prvidlo Vrice... 5

4 7.. Permutce Kombice Vlstosti kombičích čísel Biomická vět PLANIMETRIE Podobost trojúhelíků Pythgorov vět Euklidovy věty Obshy obvody roviých obrzců Délk kružice její části (kruhový oblouk) Obsh kruhu jeho částí KOMPLEXNÍ ČÍSLA Zvedeí kompleích čísel Početí operce s kompleími čísly Goiometrický tvr kompleího čísl Moivreov vět STEREOMETRIE Vzájemá poloh bodů, přímek rovi Povrchy objemy krychle, kvádru válce POSLOUPNOSTI Pojem poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití ritmetických geometrických posloupostí VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Vzdáleost dvou bodů Souřdice středu úsečky... 85

5 .. Vektor, velikost vektoru Sčítáí odčítáí vektorů Násobeí vektoru sklárem Lieárí závislost ezávislost vektorů Sklárí souči, odchylk kolmost vektorů Prmetrické vyjádřeí přímky Obecá rovice přímky Směricový tvr rovice přímky Vzájemá poloh dvou přímek ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Kružice Vzájemá poloh přímky kružice Elips Hyperbol Vzájemá poloh přímky hyperboly Prbol Vzájemá poloh přímky prboly...

6 .. Zákldí možiové pojmy Moži soubor ějkých prvků. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Podmoži moži A je podmožiou možiy B ( A B ), jestliže kždý prvek možiy A je zároveň prvkem možiy B. Kždá moži je podmožiou sebe sm. ( A A ) Prázdá moži emá žádý prvek Prázdá moži je podmožiou kždé možiy. Rovost moži možiy A,B se rovjí obshují-li tytéž prky (A B) Doplěk možiy je -li A podmožiou možiy B, pk doplěk možiy Á obshuje Všechy prvky možiy B, které eptří do možiy A. Pozámk: Rozlišit pojmy být prvkem být podmožiou je prvek možiy {,, } {} je podmožiou možiy {,, } Průik moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v obou možiách zároveň Disjuktí možiy - jejich průik je prázdý. ( A B ) Sjedoceí moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v jedé z obou moži ( A B ) Rozdíl moži - je moži všech prvků možiy A, které ejsou prvky možiy B Cvičeí: ( A B ). A {,,5,7 } B {,,,5 } Zjistěte ) A B, b) A B, c) A B, d) všechy podmožiy A. Podmoži je celkem ) {,5}, b) {,,,,5,7}, c) {,7} d), {}, {}, {5}, {7}, {,}, {,5}, {,7}, {,5}, {,7}, {5,7}, {,,5}, {,,7} {,5,7}, {,5,7}, {,,5,7} N, kde je počet prvků možiy. 5

7 . Podik má 6 změstců. změstců eumí žádý cizí jzyk, umí ěmecky 5 glicky. Kolik lidí umí ob jzyky? [5].. Číselé možiy Čísl přirozeá...n Čísl celá čísl přirozeá, čísl k im opčá...z p Čísl rcioálí lze zpst ve tvru, kde p, q, jsou čísl celá q...q q Čísl ircioálí elze zpst ve tvru p q Čísl reálá čísl rcioálí čísl ircioálí...r Čísl kompleí bi, kde i je imgiárí jedotk...k Rcioálí čísl p r q s ps rq q. s p. q r s p. r q. s p r : q s ps qr.. Itervly Omezeý itervl v možiě R lze zázorit úsečkou číselé ose uzvřeý, polozvřeý otevřey echť,b jsou libovolá reálá čísl, < b, b (, b, b ) (, b) Neomezeý itervl - zky -, ) ( -, (, ) ( -, ).. Absolutí hodot reálého čísl Defiice : Absolutí hodot kždého reálého čísl je rov vzdáleostí tohoto čísl číselé ose od počátku pro je 6

8 pro < je - Vět.. Pro kždé R je. Pro kždé R je - Opčé číslo k reálému číslu je reálé číslo, pro ěž pltí Převráceé číslo k reálému číslu je reálé číslo pro ěž pltí..5. Početí operce v N, Q, R b b,. b b. } komuttiví záko (b c) ( b) c,.(b. c) (. b). c } socitiví záko ( b). c. c b. c } distributiví záko.. Vět: Je- li. b je lespoň jedo z čísel,b rovo..6. Výrzy Proměé jsou písme, která v zápisu zstupují čísl z určité číselé možiy. příkld: o π r V π r². v Kužel c b Kostty písme hrzující určitá čísl z určité číselé možiy. příkld: π Číselé výrzy -, π, Výrzy s proměou - ², 5y - z Lomeé výrzy proměá je ve jmeovteli, musíme udt podmíky, kdy má výrz smysl. příkld:, b b, b Mohočley: N N N.. mohočle tého stupě 7

9 .7. Mohočley početí operce s imi N N N mohočle tého stupě Sčítáí: sečteme čley, které mjí stejé zákldy stejé epoety ( b c) ( -b c ) -b b c Odčítáí: přičteme mohočle s opčými zméky ( b c) ( b -c) b c - b c c Násobeí: kždý čle prvího mohočleu ásobíme kždým čleem druhého mohočleu. ( b b). ( b) b b 6 b b Děleí: dělitel musí být růzý od uly ) Ob mohočley uspořádáme sestupě podle klesjících moci proměé ) Dělíme: ) prví čle dělece dělíme prvím čleem dělitele. Získým podílem ásobíme všechy čley dělitele. Teto souči odečteme od dělece. b) Postup opkujeme ) Zkoušk: souči dělitele podílu děleec příkld: ( 7-5) : (- 7) 5 [ 7 ].8. Vzorce mociy (AB) A AB B (A-B) A -AB B A -B (A-B). (AB) (AB) A A B AB B (A-B) A - A B AB -B A B (AB) (A - AB B ) A - B (A-B) (A AB B ) Defiice: pro kždé reálé č. kždé celé kldé číslo je... (v součiu je čiitelů) Pro kždé reálé číslo je - moci, zákld, epoet (mocitel) r. s r s ( r ) s r.s 8

10 (.b).b r : s rs pro b b Defiice : pro kždé reálé číslo kždé celé záporé číslo m je m m m b.9. Rozkld výrzů b, b ) vytýkáí společého čiitele b 8 b b b. (b b 7 ) ) postupé vytýkáí 5by 5b y b 5b(y b) (y b) (yb). (5b ) ) pomocí vzorců 9 - b b (-b) ) kombice předešlých b - b 6 b ( - b ) b (-b).(b) h - (h -).(h ) (h-).(h).(h ) p -(p-r) [p-(p-r)].[p(p-r)] (r).(p-r) ebo p -(p -prr ) pr-r r.(p-r).. Lomeé výrzy početí operce s imi U lomeých výrzů je uté určit jejich defiičí obor, tj. obor hodot proměých,pro ěž má dý lomeý výrz smysl. 8 6 ( 5) ( 5) 9

11 Krátit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele dělit týmž výrzem růzým od. Rozšířit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele ásobit týmž výrzem růzým od uly. Př: 8 b rozšiřte výrzem růzým b b - b 8 b 8( b) ( b)( b) 8( b) b Sčítáí (odčítáí) lomeé výrzy se převedou společého jmeovtele sečtou (odečtou)se. Násobeí čittel čittelem, jmeovtel jmeovtelem Děleí ásobí se převráceou hodotou lomeého výrzu př: př: p 7y py -7 p(- 7(y-) př: (-b).b (.).(-b) př: uspořádejte podle velikosti 5,,

12 . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A.. Lieárí fukce, kosttí fukce JEJICH SOUSTAVY Defiice: zobrzeí možiy A do možiy B je prvidlo, které kždému prvku A přiřzuje právě jede prvek b B. Defiice: fukce je kždé zobrzeí možiy A do možiy R, kde A je libovolá podmoži možiy R A defiičí obor fce Defiice: fukce je prvidlo, pomocí kterého je kždému reálému číslu A přiřzeo právě jedo reálé číslo y fce...f,g,h,. def. obor...d(f), D(g),D(h), Krtézská soustv souřdic y Kolmé přímky,y, s průsečíkem. A [ ] y o,, o - prví souřdice bodu A y - druhá souřdice bodu A Defiice: Grf fukce f ve zvoleé krtézské soustvě souřdic y se zývá moži všech bodů X[,f()], kde D(f) Defiice: Kosttí fce je kždá fce, vyjádřeá ve tvru y b, R kde b je reálé číslo. Defiice: Lieárí fce je kždá fce, vyjádřeé ve tvru y b, R, kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo Vět: Grfem kosttí fce je přímk rovoběžá s osou. Vět: Grfem lieárí fce je přímk růzoběžá s osou i s osou y. Vět: Přímk rovoběžá s osou y eí grfem žádé fce. Př: f : y - f : y Sestrojte grfy fukcí.

13 .. Lieárí rovice Defiice: rovice je lieárí, když ji lze ekvivletími úprvmi převést tvr b kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. Ekvivletí úprvy:. K oběm strám rovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz. Obě stry rovice ásobíme ( dělíme ) stejým výrzem růzým od uly Vět: Lieárí rovice b o ezámé R má právě jede koře - b Cvičeí: Řešte rovice v možiě Z ) 8 6 [7] 7 b),8,5 [emá řešeí, ] 8 c) [-].. Lieárí erovice l ( ) < p ( ) l ( ) l ( ) > p ( ) p ( ) l ( ) p ( ) - levá str erovic - prvá str erovic l ( ) p ( ) P moži všech řešeí erovic Ekvivletí úprvy.. K oběm strám erovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz..) Obě stry erovice vyásobíme (vydělíme ) stejým výrzem, který je kldý b) Obě stry erovice vyásobíme ( vydělíme ) stejým záporým výrzem zk erovosti se změí v opčý. Defiice: Nerovice je lieárí, když ji lze ekvivlet. úprvmi převést jede z tvrů. b< b> b b, přitom je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. př: u u 9 u 5 6 u P, )

14 Zkoušk př: Řešte pro y N (č.přirozeá) y-6, y- 6, y- 6, y->6 př: Řešte pro z R (č.reálá) z 6 z (z-)<5(z) 5 (6-z)-(,5z) 5,5z.. Rovice erovice s bsolutí hodotou př: Sestrojte grf fce g:y, R pro pltí - pltí grf g : y -, (-, př: Určete všech R, pro která jsou hodoty fce m: y, R meší ebo rovy číslu 5. Řešeí: Sestrojíme grf fce m: Zjistíme pro která R je: ) - b) -( ) - Fce m se skládá z grfů fcí m : y -, (-, Hledáme R, pro která je m ( ) 5. Tuto podmíku splňuje R -, 7 m : y -,, ) g : y,, ) Př: 5 ) - b) , ) - (-,

15 (-,7 - -, ) P, 7 P -, P P P,7,,7 Cvičeí: P -,7 Př: Sestrojte grfy fcí: f : y R f : y R f : y R f : y R f 5: y - f 6: y R R -{} př: 6 7 < > 9 5 př: < př: Soustv lieárích erovic př: ) 5 7 < b) < < > - 8 5

16 6 8 P, ) P (, 5 P P P 6 8 P ( -, 5 Př: ( ).(5 -) > R ) > zároveň 5 - > ) < zároveň 5 < ) > 5 - > > - > -5 5 < P (, ) P (-, 5 ) P P P ( 5 5, ) (-, ) (, b) < 5 > P (- < P P (- > 5 ) 5, ) P ( ), 5, ) ( ), P ( P P ) (P P ) P (, 5 ) P (, 5 ) 5

17 Cvičeí:.př. Řešte soustvy erovic ) u - > b) 7u > 6- u 6 u 5 <6 7u > u - d) 6 c) ( u ) ( 5 u) u u 5 5 u 7 5,5 u 6 ( u ) u 6 ( u).př ) ( 6- ). ( 5 ) b) ( ). ( 7 - ) >.př: ) c) (uprvit ) 9 b) 5.6. Soustv lieárích rovic o více ezámých př: Njděte všechy uspořádé dvojice [, y ] reálého čísl pro které pltí: y - y - 5 zároveň Průsečík přímek y - y - 5 je bod A [, ], tz., y Početě: - 5 y.- 6 y A: Metod doszovcí :. Jedu rovice převedeme tvr y b (ebo cy d). Do druhé rovice dosdíme z y výrz b ( ebo z výrz cy d) vyřešíme ji - ezámá (y). Dosdíme číslo z (y) do kterékoliv rovice vypočteme y () 6

18 B: Metod sčítcí (dičí) y 8 5y - /.(-) y 8-5y 9 y 5y y 7 6 y. Kždou rovici soustvy vyásobíme vhodým číslem růzým od uly tk, by koeficiety u ebo u y byly opčá čísl.. Levé i prvé stry sečteme získáme tím rovici o jedé ezámé.. Jko u předešlého. C: Metod srovávcí ( komprčí) y - y 5 5, y 5 5. Z obou rovic vyjádříme ezámou. Dosdíme vyřešíme. Dosdíme vyřešíme pro druhou ezámou Cvičeí: y 5 y př: 5 y y [ 7 9, y - 7 ] př: ) y 7 b) y 5 c) y y -6 - y y 7

19 př: 5.(y ) - ( -) 7.( y ) 5( [, y ] Cvičeí: y 5z -7 y z - y 6z 6 [, y, z ] 8

20 .. té odmociy ezáporého čísl. ODMOCNINY A MOCNINY Defiice: -tá odmoci ( N ) z ezáporého reálého čísl (, R) je tkové ezáporé číslo (, R) pro která pltí zápis: př: 8 8 odmocěec (zákld odmociy) odmocitel př: Kdy má výrz smysl?, 5. b -. b ) ) b b.. Počítáí s odmocimi Pro, b m,, p - celá kldá ). b. b ) b b b m m ) ( ) m m. ) p mp 5) př: > 9

21 b.. b b > Defiice: částečé odmocňováí je úprv odmociy do tvru součiu, jehož jedím čiitelem je odmoci co ejmešího odmocěce. ) 8 ) b ) y b y. y. z ) 8 y z 8 př: 7 8 b b > 7 5. y y > b > y > př: ( ) 8 5 ( ) 6 5 ( ) př: 5 >.. Usměrňováí zlomků je odstrňováí odmociy ze jmeovtele rozšířeím zlomku. Npř: rozšíříme rozšíříme 5 rozšíříme 5 5 rozšíříme 5.. Mociy s rcioálím mocitelem mociy s celočíselým mocitelem již záme m m celé, kldé

22 Defiice: pro kždé kldé reálé číslo, celé číslo m kldé přirozeé číslo je m m - zákld mociy m - mocitel př: ( ) podmíky: >,, - př: ( ) ( ) ( ) ( ) :. př: 6 podmík >

23 . KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A.. Kvdrtická fce, grf NEROVNICE Užití: M: S π.r, S : s gt v t - dráh vrhu svislého vzhůru F P RI výko odpor. (itezit) defiice: Kvdrtická fce se zývá kždá fce y b c, R kde je reálé číslo růzé od uly b, c jsou libovolá reálá čísl b c b c - kvdrtický trojčle - kvdrtický čle - lieárí čle - bsolutí čle Grf: Př: Nrýsujte grf fce h : y př: g : y h : y g y h : : y Vět: Grf kždé kvdrtické fce souřdice y. y je souměrý podle osy y krtézské soustvy Vět: Grf kždé kvdrtické fce y prochází bodem [,]. Vět: Je-li >, pk kvdrtická fce y bývá pro ejmeší hodoty, je-li <, bývá kvdrtická fce y pro ejvětší hodoty. Vět: Grf kždé kvdrtické fce y b c lze získt posuutím grfu kvdrtické fce y Vět: Grf kvdrtické fce prboly. y b c se zývá prbol, bod [ ] se zývá vrchol y,

24 Vět: Vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y b c, má souřdice b, y c b př: Určete vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y, b, c b b y c V [-, -]. př: Určete souřdice vrcholu prboly, které jsou grfem kvdrtické fce. ) y b) y 6 5, 5 c) y V [,] V [,5, ] V[-,] Postup při sestrojováí grfů kvdrtických fcí: ) Určíme souřdice y, vrcholu prboly ) Vypíšeme ěkolik dlších dvojic ) Sestrojíme v y (krtézské soustvy souřdic) obrzy uspořádých dvojic získých v ) Sestrojíme prbolu (prbol je souměrá podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ], Vět: Grf kvdrtické fce je souměrý podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ]., Vět: Kvdrtická fce y b c, bývá pro ) ejmeší hodotu y - jestliže > b) ejvětší hodotu y - jestliže < Cvičeí rýsujte grfy fukcí: Př: y,5 V [,,5] y V [,-] y y y,5

25 y 7 y,5,5 y.. Kvdrtická rovice, diskrimit Defiice: Kvdrtická rovice o jedé ezámé se zývá kždá tková rovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést tvr b c kde je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. př:,5 (,5 ) - souči dvou čísel je rove ule, jestliže jedo z čísel je rovo. (,5 ) 6 P {, 6 } př: A B ( A B)(. A B) ( )(. ) př: P {-, } > P př: ( ) ( ) je-li ( ) je-li P {} ( ) >

26 Cvičeí: př: ( )( ) ( 5 )( 5) ( )( 5) př: př: v 9 v 7 př: ( u ) ( u 5).. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice b c Diskrimit kvdrtické rovice D b c kořey: b b D D Vět: pro možiy P všech kořeů kvdrtické rovice b c o ezámé R pltí: ) Je-li diskrimit D <, pk P ) Je-li diskrimit D, pk b P ) Je-li diskrimit D >, pk b P D b, D př: 6 5, b 6, c 5 D < P př: 6,5, b 6, c, 5 D, 5 P {, 5} 5

27 př: 6, b 6, c D P {, } ZKOUŠKY!!!!.. Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice. Vět: Jsou-li, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk pro ě pltí: b. Obráceá vět: c. Vět: Nechť je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. Čísl,, pro která pltí b, rovice b c o ezámé R. c. jsou kořey kvdrtické. Vět: jsou-li,, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk ( )( ) pltí b c př: 7 b ( 7) 7. c rozepíšeme: P {, } 6

28 př: Rozložte kvdrtický trojčle souči lieárích čiitelů., b, c 5, ± Podle věty : b c ( )(. ) Kvdrtické erovice Defiice: Kvdrtickou erovicí o jedé ezámé se zývá kždá erovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést jede z tvrů: b c > b c b c < b c př : 9 6 ) Vyřešíme kvdrtickou rovici 6, ) Nyí vezmeme pomoc zlosti o průběhu kvdrtické fukce m : y 6, tedy >, grfem je prbol, jejíž vrchol zobrzuje ejmeší hodotu fukce. Této prbole přísluší body [,], [-,] Řešeí je tedy P (,, ) př:,5, 5 <, 5, b, c, 5,5,5 D < Rovice emá řešeí Prbol emá žádé společé body s osou. 7

29 Mohou stt tyto přípdy: ) Celá prbol leží pod osou b) Prbol leží d osou K určeí jedoho z těchto dvou přípdů stčí dosdit do zdáí z libovolé reálé číslo zjistit, zd hodot trojčleu je kldá ebo záporá. Npř:,5,5, 5 pro všech R je,5, 5> Ale řešíme,5, 5< P - moži řešeí je prázdá.6. Grfické řešeí př: > - 5> Řešíme kvdrtickou rovici 5, b, c 5 D b c 9 ± 7, 5 podle věty : 5.( 5) Místo původí erovice řešíme tedy:. ( 5) > /.. ( 5) < ) > zároveň 5 < > zároveň < 5, P P ( ) P,5,,5, 5 P ( ) 8

30 ) < zároveň 5 > < zároveň > 5 P, P P, (, ) P ( 5, ) 5 ( P P ) ( P ), 5 P P, 5 př.: ( k - ).( k ) ) k zároveň k k zároveň k P, ) P, ) P P, ), ), ) ) k zároveň k Cvičeí: k zároveň k P (, zároveň P (, P (, (, (, P ( P P ) P ) (, P, ) ( P ). 6 9 > ) ) 5 < 9

31 5. FUNKCE 5.. Fukce rostoucí klesjící Defiice: Nechť M je podmožiou možiy R všech reálých čísel. Fukce f se zývá Jik: kždá moži uspořádých dvojic [ y] MR pltí: ke kždému R eistuje právě jedo R, (krtézský souči) pro kterou y tk, že [ y] f Defiice: Fce je prvidlo,pomocí kterého je kždému reálému číslu přiřzeo právě jedo Pltí věty: reálé číslo y. ) Kosttí fukce y b eí i rostoucí i klesjící. Grfem je přímk rovoběžá s osou. ) Lieárí fce y b je: ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé < klesjící ) Kvdrtická fce y b c b ) pro > rostoucí v itervlu, ) je: b klesjící v itervlu (, b b) pro < rostoucí v itervlu (-, 5.. Nepřímá úměrost b klesjící v itervlu, ) k Defiice: Nepřímá úměrost se zývá kždá fukce, reálé číslo růzé od uly. Grfem epřímé úměrosti je hyperbol. y R { },,kde k je libovolé

32 Pltí věty: k ) Fukce y, je: ) pro kždé k > klesjící v itervlech (-,), (, ), hyperbol je v I. III. kvdrtu. b) pro kždé k < rostoucí v itervlech (-,), (, ), je hyperbol ve II. IV. kvdrtu. k ) Obor fukčích hodot fukce y, je pro kždé k rove R { }. 5.. Mocié fukce Opkováí: celé kldé číslo, celé záporé číslo,... Záme: y, y, y pro Rozděleí: ) b) c) ) y R, y R { } y R { } y R, celé kldé číslo, celé záporé celé kldé číslo Vět: Pro kždé liché celé kldé číslo je fce možiou všech reálých čísel. Pro kždé sudé celé kldé číslo je fce y rostoucí její obor hodot je y klesjící v itervlu (-, rostoucí v itervlu, ), její obor hodot je itervl, ) b) y R { } y le Je to grf kosttí fukce s výjimkou bodu pro. c) y R { } y záme y, celé záporé y epřímá úměrost y smozřejmě y y

33 Vět: Pro kždé záporé celé číslo sudé je fukce y rostoucí v itervlu (-,), klesjící v itervlu (, ), obor hodot je moži R. Pro kždé záporé celé číslo liché je fukce,(, ). Obor hodot je moži { } (-,) R. y klesjící v itervlech Cvičeí: y,5 y 5 y y y, y Epoeciálí fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od. Epoeciálí fukce o zákldu se zývá fukce y R př: y Vět: y. Obor hodot fukce y je pro kždé >,, itervl (, ).. Fce y je pro kždé > rostoucí, pro kždé (,) klesjící.. V bodě je hodot fce y pro kždé > rovo.. ) Pro kždé > pltí: je-li <, pk <, je-li >, pk >. b) Pro kždé (,) pltí:je-li < pk je-li >, pk >, <, Cvičeí: y y, 5 y y y ( ) y., 5 ( ) 5.5. Epoeciálí rovice vyskytují se zde mociy s ezámou v epoetu. Vět: Pro všech reálá čísl, y pro kždé kldé reálé číslo pltí: je-li y pk je y.

34 př: př: ( 5 ) -(5-) 9,5 Cvičeí: 5,, , ( 6) (,5), 5 5.5,,,, 5.6. Iverzí fukce př: Nrýsujte iverzí fukci k fukci y - y - u iverzí fukce y y

35 V tbulce totéž - y Logritmické fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od, f epoeciálí fukce o zákldu (tj: y ) Logritmická fukce o zákldu se zývá tková fukce g pro kterou pltí: [ d, c] g právě tehdy, když [ c d] f,. Vět: Grf fukce g je souměrě sdružeý s grfem fukce f podle osy.. kvdrtu krtézské soustvy souřdic. y log Čteme logritmus při zákldu je iverzí k epoeciálí fukci y Vět: ) Defiičí obor logritmické fukce itervlu (, ) ) Obor hodot logritmické fukce možiě R všech reálých čísel y log je pro kždé R { } y log je pro kždé R { } rove rove ) Fukce y log je ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé (,) klesjící ) log 5) ) pro > : je-li <, pk log < je-li >, pk log > b) pro (,): je-li <, pk log > je-li >, pk log < př: log < log log,6 5 log, Logritmus Defiice: Logritmus o zákldu je tkové číslo y pro ěž pltí: umocíme-li jím číslo, dosteme, přitom R { }, log y právě když y R

36 Vět:. pro kždé R { },. pro kždé R { } R pltí: log pltí: ) log b) log př: ) log 7 9 ) log 6 t t 6 6 ) log ) log př: log,, 5,, 9 log př: - dle. věty log - dle. věty př: log 5 5 log 8 log Věty pro počítáí s logritmy ) log (. y) log log y Logritmus součiu dvou kldých čísel je rove součtu logritmů jedotlivých čiitelů. ) log log log y y Logritmus podílu kldých čísel je rove rozdílu logritmů dělece dělitele (v tomto pořdí) y ) log y. log Logritmus mociy kldého čísl je rove součiu epoetu logritmu zákldu mociy. př: log,5 6 log,5 log,56. log,5 log 6 6. př:.log 5.log log log log (. ) log ( 6 )

37 př: log log 5 log, log,, 8 log 7 log 7 log 55 log5 log,5,5 log 9 Pozámk c ( m. ) m c log m log log Logritmus kždého kldého čísl m o zákldu lze psát ve tvru součtu log m, kde m, ) celého čísl c. Je zřejmé, že log m,) 5.. Logritmické rovice Vět. Pro kždé kldé reálé číslo růzé od jedé pro všech kldá reálá čísl, y pltí: je-li log log y, pk y. př: ( ) log ( ) log log log log log zkoušk 8 Pozámk ukázt, je-li místo log 5 př: log ( ),5. ( log ) log ( ) log7 log ( ) 7 6

38 ebo, 5 Zkoušk: ( ).log (,5 ).log ( 5) L!!!,5 7 7 ( ) > >, číslo,5 eí kořeem rovice Moži kořeů rovice je prázdá. Rovice jde uprvit i jik:.log ( ),5. př: ( ) log log substituce y y log y 7 log 7. log ( ). 7 7 log -!! Nemá řešeí y, ) log b) log - zkoušk Moži všech kořeů P {, } 7

39 př: ( 9 ) 8. log log, 5 8,5 př: log,5.log log,5 log,5 log, 5 7 -,5.log,5 [, 7 ( ) log ( ) log log ( ) 5 log ( ) 9 ( y ) log ( y ) log ( y ) log log ( y ) log ( y ) 6 log 5 log ( ).log log substituce ( ) log y log5 5,,. log log,5. log log,5 log,5 log ejdříve logritmovt 5 5,,,, 5.. Přirozeé dekdické logritmy Hledá se tkové číslo e, by grf epoeciálí fukce III. kvdrtu jediý společý bod. e &,78 Eulerovo číslo y e měl s osou I. A 8

40 Logritmickou fci při zákldu e zčíme hovoříme o přirozeém logritmu y log e obvykle l Je-li zákld dekdický logritmus l &, log e &, l &,.log log &,. l Vět: Pro kždé kldé reálé číslo pro všech kldá čísl log log y log z z y y, z růzá od jedé pltí: př: Vypočtěte log 5 je-li: ) log &,, log 5 &,699 b) l 5 &, 69 l &, 69 log 5,699 ) log 5 &, log, l 5,69 b) log 5 &, l,69 9

41 6.. Úhel jeho velikost 6. GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE stupňová mír - plý úhel : 6 oblouková mír 6 π rd rd & rd (rdiá) α.π 8 α.8 π převod stupě rdiáy převod rdiáy stupě Vět: Zobrzeí U možiy R do jedotkové kružice je dáo:. Kždému reálému číslu, ) přiřdíme bod K k, pro který pltí: π π ) Úhel JOK je částí úhlu JOJ jko svou část ( pro, ) π ebo obshuje úhel JOJ jko svou část (pro, )) π b) Délk oblouku JK je rov, vzhledem k tomu že k je jedotková kružice, je zároveň číselou hodotou velikosti úhlu JOK v obloukové míře.. Je-li R,π ), jdeme ejprve tkové, ) tkové m Z, pro ěž pltí m. π. π Potom přiřdíme číslu stejý bod K, jký je přiřze číslu. 6.. Defiice goiometrických fukcí Defiice: Fce sius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, yk ], kde R y si Defiice: Fce kosius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, k ], kde R y cos Defiice: Fce tges se zývá fce dá rovicí si y cos

42 Defiice: Fce kotges se zývá fce dá rovicí cos y si 6.. Určováí hodot goiometrických fukcí ) Tbulky - je ve stupích (rdiáy uto převést) ) Klkulčk ) Grficky - je ve stupích (rdiáy uto převést) př: si 6 cos6 cos. π π př: tg cot g př: cot g tg6 př: si 5 π si π.π si π př: cos ( 7 ) dle vzorce 7. π 6,5π 8 cos (-7 )cos(-6,5π ) cos je periodická s periodou π cos ( 6,5π ) cos π.π cos π 6.. Grfy goiometrických fukcí ) y si,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -,

43 b) y cos,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -, Cvičeí: př: Grf y si y si π 6.5. Vlstosti goiometrických fukcí sius kosius Defiičí obor obou fukcí je moži všech reálých čísel tj. Obor fukčích hodot obou fukcí je itervl, (, ). Vět: pro kždé R pro kždé m Z pltí: si ( mπ ) si cos ( mπ cos, π π π, π, π π, π sius - - kosius - - sius rostoucí klesjící klesjící rostoucí kosius klesjící klesjící rostoucí rostoucí tges kotges si cos cos si π ( m ).

44 Defiičí obor fce tges je moži všech reálých čísel růzých od π mπ kde m je libovolé celé číslo. π mπ Jik: mimo lichých ásobků čísl π Defiičí obor fce kotges je moži všech reálých čísel růzých od m je libovolé celé číslo. Obor fukčích hodot je moži R tj. (-, ) Vět: Pro kždé z defiičího oboru fce tges (kotges) pro kždé je tg ( mπ ) tg cotg ( mπ ) cot g m. π, m Z Dlší vlstosti: ) si( ) si cos( ) cos } R ) R π ( m ) tg( ) tg } m Z ) R mπ π ) (, ) 6.6. Goiometrické rovice př: si, 5 Řešeí ejdříve v,π ) π 6 cotg(- ) cot g ( π ) si( π ) si( ) ( π ) cos( π ) cos( ) si si π cos cos π 5 π period je π 6

45 Řešeí: π mπ 6 m Z 5 π mπ 6 m Z př: cot g -,8 Řešíme v itervlu (,8 ) cot g -,8 - cot g cot g,8 přitom (,9 ) 8 pltí: 8 - period 8 řešeí: m.8 m Z př: cos( ), 86 y y y substituce cos y & 8 8 y cos y, 86 cos y,86 cos 9 y y y 9 8 period π 6 Řešeí: 9 m.6 m Z 8 m.6 př: cos substituce : cos y y 7 cos 7 y D ( 7 ).. 5

46 cos cos,5 y y,5 evyhovuje cos řešeí: π mπ 5 π mπ m Z Vzorce: ) si cos ) tg. cot g m. π m Z ) si ( y) si cos y si y. cos ) si( y) si cos y si y. cos 5) cos( y) cos cos y si. si y 6) cos ( y) cos.cos y si. si y 7) si si cos 8) cos cos si 9) si cos ) cos cos y y ) si si y.si.cos y y ) si si y.cos.si y y ) cos cos y.cos.cos y y ) cos cos y si.si 5

47 6.7. Siová vět Užití pro hledáí velikostí str úhlů v libovolém trojúhelíku. Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velkost α, β, χ stry délky Pk pltí:, b, c. b c siα si β si χ Jik: Poměr délky stry hodoty siu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelíku kosttí. Užití: ) je-li dá délk jedé stry velikosti dvou vitřích úhlů b) jsou-li dáy délky dvou str velikost vitřího úhlu proti jedé z ich. př: Trojúhelík ABC, dáo: α,85, β,68, c 5, m Řešeí: v kždém trojúhelíku je součet vitřích úhlů rove π. Úhly jsou zdáy v rdiáech. Úhel ABC χ π α β π,85,68 &,65, 65 c siα c. siα si χ si χ,78 5,.,999,9m b si β,6 b.,9. b, m siα si β siα,78 př: Trojúhelík ABC dáo: χ 7, b 8,5m, c, 8m Určete osttí úhly stry trojúhelíku. úhel ABC β b c b 8,5 si β.si χ.si 7 si β &, 75 si β si χ c,8 β (, 8 ) β 8 β β evyhovuje, eboť β χ β 8 α 8 β χ 8 α

48 c siα,8587 : c.,8. 9, 76 siα si χ si χ,95 9, 76m Vět: Pro obsh S trojúhelíku, jehož stry mjí délku pltí:, b, c vitří úhly α, β, χ S bsi χ csi β bcsiα př: Trojúhelík ABC: 5,m, α 6, β 8 S? S b.si χ b si β si 8,657 b. 5,. 5,. & 7, si β siα siα si 6,89 χ β χ 79 b 7, m 8 α S b.si χ 5,.7,.si 79 7,6.,986 & S Obsh trojúhelíku je, Kosiová vět m.,6m Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velikost α, β, χ stry délky Pk pltí: ) b, b, c. c bc cosα b) b c c cos β c) c b b.cos χ Užití: ) jsou-li dáy délky všech tří str máme určit úhly b) jsou-li dáy délky dvou str velikost úhlu jimi sevřeého 7

49 př: Trojúhelík ABC, 6,9m, b,m, c, m Určit úhly α, β, χ z Kosiové věty b cosα c bc, b c, 6,9.,., bc cosα,78 úhel β cos α,78 α α 8 α 7 z kosiové věty: b c c cos β c cos β, cos β β & b c 5 6,9,.,.6,9,95 χ 8 χ 8 χ 7 5 α β 7 α 7, β 5, χ př: Trojúhelík ABC, 5, m, b,75m, χ 6 c?, α?, β? c: c b c.cos χ c 5,,75.5,.,75. cos6 7, c 8, m β pomocí siové věty: b c si β si χ 8

50 b si β si χ c si β β 6 β,75.si 6 8, 9,65 evyhovuje β χ 8 β 6 proti větší strě leží větší úhel α 8 β χ 8 α c 8,m, β 6, α 7 9

51 7.. Zákldí kombitorické prvidlo 7. KOMBINATORIKA Vět: počet všech uspořádých dvojic, jejichž prví čle lze vybrt právě způsoby jejichž druhý čle lze po výběru prvího čleu vybrt právě způsoby, je rove.. Vět (zobecěí): Počet všech upořádých k -tic, jejichž. čle lze vybrt právě způsoby,. čle po výběru. čleu právě způsoby td., ž ( k ) ho čleu právě k způsoby, je rove.....k. k tý čle po výběru př: Z měst A do měst B vedou cesty, z měst B do měst C vedou cesty. Určete počet růzých cest, které vedou z A do C procházející přitom městem B. Řešeí: A B...,,, B C..., b Vypíšeme dvojice: [, ], [, ], [, ],[, ], A C 8 cest tké. 8 [,b ], [,b ] [,b ], [,b ] př: Kolik dvojjzyčých slovíků je třeb vydt, by byl zjiště možost překldu z RJ, AJ, NJ FJ do kždého z ich. Dvojice [R,A], [R,NJ], [R,F], [A,R], [A,N], [A,F], [N,R], [N,A], [N,F], [F,R], [F,A], [F,N], dvojic jik. př: Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu se kždá číslice vyskytuje ejvýše jedou. Uspořádé dvojice (lze vypst). čle z 9 cifer ( elze použít ). čle z 9 cifer (přibyl cifr ). čle z 8 cifer trojciferých čísel dé vlstosti 7.. Vrice defiice: Vrice k té třídy z prvků je kždá uspořádá k tice sestveá z těchto prvků tk, že kždý je v í obsže ejvýše jedou.dbá se pořdí prvků. 5

52 k pokud < k vrice k té prvků eeistuje př: Npište vrice třetí třídy z prvků,5,7,9 [,5,7]. [,5,9] [,7,9].. ( ) [5,7,9] pro počet vricí třetí třídy ze prvků pltí: V.. možostí Vět: Počet V k ( ) všech vricí k té třídy z prvků pltí: V k ( ) ( )(. )... ( k ) 7.. Permutce Při sestvováí vricí k té třídy z prvků dostáváme uspořádé k tice, které v přípdě k < se liší umístěím jedotlivých prvků s tím, že obshují růzé prvky. př: Vrice třetí třídy ze prvků,,, [,,], [,,] liší se uspořádáím (umístěím) [,,], [,,] eobshuje tytéž prvky V přípdě k k tice se liší pouze uspořádáím kždý prvek je zde právě jedou. Defiice: Permutce z prvků je kždá vrice P ( ) - permutce z prvků. je to vrice V k ( ) ( )(. )... ( k ) le P k té třídy z těchto prvků. ( ) V ( ). ( )(. )... to zmeá ( ). ( )(. )... P teto souči zčíme! (čteme fktoriál ) té třídy z těchto prvků. Defiice: Pro kždé celé kldé číslo je!.... ( )( ). Pro je! Vět: Pro počet všech permutcí z prvků pltí P( )! 5

53 Př: Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápise je kždá z číslic,,,,7 Řešeí: musí tm být všechy cifry jedá se o počet všech permutcí z prvků, le žádá esmí zčít ulou. Počet všech permutcí z 5 prvků P ( 5 ) 5! Počet všech permutcí, které mjí. místě ulu P ( )! Výsledek: P ( ) P( ) 5!! ! 5...!... Př.: N schůzi mluví pět řečíků. Řešeí: ) P ( ) 5! 5 b) Pořdí AB hrdíme X ) Kolik je možostí pořdí jejich proslovů b) Kolik je možostí, že B mluví ihed po A c) Kolik je možostí, že B mluví po A př: [C,D,A,B,E,], [A,B,E,D,C].. [C,D,X,E], [X,E,D,C].. tj.permutce ze prvků P ( )! c) Ke kždému proslovu, kdy B mluví po A eistuje pořdí, kdy A mluví po B [ C,A,B,D,E ] - [ C,B,D,E ] [ A,E,D,C,B ] - [ B,E,D,C,A ] tj. vyhovuje je polovi P( 5 ) 5! 6 Uvědomit si: ( )! ( ).! př: Zjedodušte: ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) - ( ) 5

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),

Více