STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA"

Transkript

1 STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6

2 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Zákldí možiové pojmy Číselé možiy Itervly Absolutí hodot reálého čísl Početí operce v N, Q, R Výrzy Mohočley početí operce s imi Vzorce mociy Rozkld výrzů Lomeé výrzy početí operce s imi LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY..... Lieárí fukce, kosttí fukce..... Lieárí rovice..... Lieárí erovice..... Rovice erovice s bsolutí hodotou Soustv lieárích erovic Soustv lieárích rovic o více ezámých ODMOCNINY A MOCNINY té odmociy ezáporého čísl Počítáí s odmocimi Usměrňováí zlomků..... Mociy s rcioálím mocitelem.... KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A NEROVNICE..... Kvdrtická fce, grf..... Kvdrtická rovice, diskrimit...

3 .. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice Kvdrtické erovice Grfické řešeí FUNKCE Fukce rostoucí klesjící Nepřímá úměrost Mocié fukce Epoeciálí fukce Epoeciálí rovice Iverzí fukce Logritmické fukce Logritmus Věty pro počítáí s logritmy Logritmické rovice Přirozeé dekdické logritmy GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE Úhel jeho velikost Defiice goiometrických fukcí Určováí hodot goiometrických fukcí Grfy goiometrických fukcí Vlstosti goiometrických fukcí Goiometrické rovice Siová vět Kosiová vět KOMBINATORIKA Zákldí kombitorické prvidlo Vrice... 5

4 7.. Permutce Kombice Vlstosti kombičích čísel Biomická vět PLANIMETRIE Podobost trojúhelíků Pythgorov vět Euklidovy věty Obshy obvody roviých obrzců Délk kružice její části (kruhový oblouk) Obsh kruhu jeho částí KOMPLEXNÍ ČÍSLA Zvedeí kompleích čísel Početí operce s kompleími čísly Goiometrický tvr kompleího čísl Moivreov vět STEREOMETRIE Vzájemá poloh bodů, přímek rovi Povrchy objemy krychle, kvádru válce POSLOUPNOSTI Pojem poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití ritmetických geometrických posloupostí VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Vzdáleost dvou bodů Souřdice středu úsečky... 85

5 .. Vektor, velikost vektoru Sčítáí odčítáí vektorů Násobeí vektoru sklárem Lieárí závislost ezávislost vektorů Sklárí souči, odchylk kolmost vektorů Prmetrické vyjádřeí přímky Obecá rovice přímky Směricový tvr rovice přímky Vzájemá poloh dvou přímek ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Kružice Vzájemá poloh přímky kružice Elips Hyperbol Vzájemá poloh přímky hyperboly Prbol Vzájemá poloh přímky prboly...

6 .. Zákldí možiové pojmy Moži soubor ějkých prvků. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA Podmoži moži A je podmožiou možiy B ( A B ), jestliže kždý prvek možiy A je zároveň prvkem možiy B. Kždá moži je podmožiou sebe sm. ( A A ) Prázdá moži emá žádý prvek Prázdá moži je podmožiou kždé možiy. Rovost moži možiy A,B se rovjí obshují-li tytéž prky (A B) Doplěk možiy je -li A podmožiou možiy B, pk doplěk možiy Á obshuje Všechy prvky možiy B, které eptří do možiy A. Pozámk: Rozlišit pojmy být prvkem být podmožiou je prvek možiy {,, } {} je podmožiou možiy {,, } Průik moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v obou možiách zároveň Disjuktí možiy - jejich průik je prázdý. ( A B ) Sjedoceí moži - je moži všech prvků, které jsou obsžey v jedé z obou moži ( A B ) Rozdíl moži - je moži všech prvků možiy A, které ejsou prvky možiy B Cvičeí: ( A B ). A {,,5,7 } B {,,,5 } Zjistěte ) A B, b) A B, c) A B, d) všechy podmožiy A. Podmoži je celkem ) {,5}, b) {,,,,5,7}, c) {,7} d), {}, {}, {5}, {7}, {,}, {,5}, {,7}, {,5}, {,7}, {5,7}, {,,5}, {,,7} {,5,7}, {,5,7}, {,,5,7} N, kde je počet prvků možiy. 5

7 . Podik má 6 změstců. změstců eumí žádý cizí jzyk, umí ěmecky 5 glicky. Kolik lidí umí ob jzyky? [5].. Číselé možiy Čísl přirozeá...n Čísl celá čísl přirozeá, čísl k im opčá...z p Čísl rcioálí lze zpst ve tvru, kde p, q, jsou čísl celá q...q q Čísl ircioálí elze zpst ve tvru p q Čísl reálá čísl rcioálí čísl ircioálí...r Čísl kompleí bi, kde i je imgiárí jedotk...k Rcioálí čísl p r q s ps rq q. s p. q r s p. r q. s p r : q s ps qr.. Itervly Omezeý itervl v možiě R lze zázorit úsečkou číselé ose uzvřeý, polozvřeý otevřey echť,b jsou libovolá reálá čísl, < b, b (, b, b ) (, b) Neomezeý itervl - zky -, ) ( -, (, ) ( -, ).. Absolutí hodot reálého čísl Defiice : Absolutí hodot kždého reálého čísl je rov vzdáleostí tohoto čísl číselé ose od počátku pro je 6

8 pro < je - Vět.. Pro kždé R je. Pro kždé R je - Opčé číslo k reálému číslu je reálé číslo, pro ěž pltí Převráceé číslo k reálému číslu je reálé číslo pro ěž pltí..5. Početí operce v N, Q, R b b,. b b. } komuttiví záko (b c) ( b) c,.(b. c) (. b). c } socitiví záko ( b). c. c b. c } distributiví záko.. Vět: Je- li. b je lespoň jedo z čísel,b rovo..6. Výrzy Proměé jsou písme, která v zápisu zstupují čísl z určité číselé možiy. příkld: o π r V π r². v Kužel c b Kostty písme hrzující určitá čísl z určité číselé možiy. příkld: π Číselé výrzy -, π, Výrzy s proměou - ², 5y - z Lomeé výrzy proměá je ve jmeovteli, musíme udt podmíky, kdy má výrz smysl. příkld:, b b, b Mohočley: N N N.. mohočle tého stupě 7

9 .7. Mohočley početí operce s imi N N N mohočle tého stupě Sčítáí: sečteme čley, které mjí stejé zákldy stejé epoety ( b c) ( -b c ) -b b c Odčítáí: přičteme mohočle s opčými zméky ( b c) ( b -c) b c - b c c Násobeí: kždý čle prvího mohočleu ásobíme kždým čleem druhého mohočleu. ( b b). ( b) b b 6 b b Děleí: dělitel musí být růzý od uly ) Ob mohočley uspořádáme sestupě podle klesjících moci proměé ) Dělíme: ) prví čle dělece dělíme prvím čleem dělitele. Získým podílem ásobíme všechy čley dělitele. Teto souči odečteme od dělece. b) Postup opkujeme ) Zkoušk: souči dělitele podílu děleec příkld: ( 7-5) : (- 7) 5 [ 7 ].8. Vzorce mociy (AB) A AB B (A-B) A -AB B A -B (A-B). (AB) (AB) A A B AB B (A-B) A - A B AB -B A B (AB) (A - AB B ) A - B (A-B) (A AB B ) Defiice: pro kždé reálé č. kždé celé kldé číslo je... (v součiu je čiitelů) Pro kždé reálé číslo je - moci, zákld, epoet (mocitel) r. s r s ( r ) s r.s 8

10 (.b).b r : s rs pro b b Defiice : pro kždé reálé číslo kždé celé záporé číslo m je m m m b.9. Rozkld výrzů b, b ) vytýkáí společého čiitele b 8 b b b. (b b 7 ) ) postupé vytýkáí 5by 5b y b 5b(y b) (y b) (yb). (5b ) ) pomocí vzorců 9 - b b (-b) ) kombice předešlých b - b 6 b ( - b ) b (-b).(b) h - (h -).(h ) (h-).(h).(h ) p -(p-r) [p-(p-r)].[p(p-r)] (r).(p-r) ebo p -(p -prr ) pr-r r.(p-r).. Lomeé výrzy početí operce s imi U lomeých výrzů je uté určit jejich defiičí obor, tj. obor hodot proměých,pro ěž má dý lomeý výrz smysl. 8 6 ( 5) ( 5) 9

11 Krátit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele dělit týmž výrzem růzým od. Rozšířit lomeý výrz zmeá čittele i jmeovtele ásobit týmž výrzem růzým od uly. Př: 8 b rozšiřte výrzem růzým b b - b 8 b 8( b) ( b)( b) 8( b) b Sčítáí (odčítáí) lomeé výrzy se převedou společého jmeovtele sečtou (odečtou)se. Násobeí čittel čittelem, jmeovtel jmeovtelem Děleí ásobí se převráceou hodotou lomeého výrzu př: př: p 7y py -7 p(- 7(y-) př: (-b).b (.).(-b) př: uspořádejte podle velikosti 5,,

12 . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A.. Lieárí fukce, kosttí fukce JEJICH SOUSTAVY Defiice: zobrzeí možiy A do možiy B je prvidlo, které kždému prvku A přiřzuje právě jede prvek b B. Defiice: fukce je kždé zobrzeí možiy A do možiy R, kde A je libovolá podmoži možiy R A defiičí obor fce Defiice: fukce je prvidlo, pomocí kterého je kždému reálému číslu A přiřzeo právě jedo reálé číslo y fce...f,g,h,. def. obor...d(f), D(g),D(h), Krtézská soustv souřdic y Kolmé přímky,y, s průsečíkem. A [ ] y o,, o - prví souřdice bodu A y - druhá souřdice bodu A Defiice: Grf fukce f ve zvoleé krtézské soustvě souřdic y se zývá moži všech bodů X[,f()], kde D(f) Defiice: Kosttí fce je kždá fce, vyjádřeá ve tvru y b, R kde b je reálé číslo. Defiice: Lieárí fce je kždá fce, vyjádřeé ve tvru y b, R, kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo Vět: Grfem kosttí fce je přímk rovoběžá s osou. Vět: Grfem lieárí fce je přímk růzoběžá s osou i s osou y. Vět: Přímk rovoběžá s osou y eí grfem žádé fce. Př: f : y - f : y Sestrojte grfy fukcí.

13 .. Lieárí rovice Defiice: rovice je lieárí, když ji lze ekvivletími úprvmi převést tvr b kde je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. Ekvivletí úprvy:. K oběm strám rovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz. Obě stry rovice ásobíme ( dělíme ) stejým výrzem růzým od uly Vět: Lieárí rovice b o ezámé R má právě jede koře - b Cvičeí: Řešte rovice v možiě Z ) 8 6 [7] 7 b),8,5 [emá řešeí, ] 8 c) [-].. Lieárí erovice l ( ) < p ( ) l ( ) l ( ) > p ( ) p ( ) l ( ) p ( ) - levá str erovic - prvá str erovic l ( ) p ( ) P moži všech řešeí erovic Ekvivletí úprvy.. K oběm strám erovice přičteme ( odečteme ) stejý výrz..) Obě stry erovice vyásobíme (vydělíme ) stejým výrzem, který je kldý b) Obě stry erovice vyásobíme ( vydělíme ) stejým záporým výrzem zk erovosti se změí v opčý. Defiice: Nerovice je lieárí, když ji lze ekvivlet. úprvmi převést jede z tvrů. b< b> b b, přitom je reálé číslo růzé od uly, b je libovolé reálé číslo. př: u u 9 u 5 6 u P, )

14 Zkoušk př: Řešte pro y N (č.přirozeá) y-6, y- 6, y- 6, y->6 př: Řešte pro z R (č.reálá) z 6 z (z-)<5(z) 5 (6-z)-(,5z) 5,5z.. Rovice erovice s bsolutí hodotou př: Sestrojte grf fce g:y, R pro pltí - pltí grf g : y -, (-, př: Určete všech R, pro která jsou hodoty fce m: y, R meší ebo rovy číslu 5. Řešeí: Sestrojíme grf fce m: Zjistíme pro která R je: ) - b) -( ) - Fce m se skládá z grfů fcí m : y -, (-, Hledáme R, pro která je m ( ) 5. Tuto podmíku splňuje R -, 7 m : y -,, ) g : y,, ) Př: 5 ) - b) , ) - (-,

15 (-,7 - -, ) P, 7 P -, P P P,7,,7 Cvičeí: P -,7 Př: Sestrojte grfy fcí: f : y R f : y R f : y R f : y R f 5: y - f 6: y R R -{} př: 6 7 < > 9 5 př: < př: Soustv lieárích erovic př: ) 5 7 < b) < < > - 8 5

16 6 8 P, ) P (, 5 P P P 6 8 P ( -, 5 Př: ( ).(5 -) > R ) > zároveň 5 - > ) < zároveň 5 < ) > 5 - > > - > -5 5 < P (, ) P (-, 5 ) P P P ( 5 5, ) (-, ) (, b) < 5 > P (- < P P (- > 5 ) 5, ) P ( ), 5, ) ( ), P ( P P ) (P P ) P (, 5 ) P (, 5 ) 5

17 Cvičeí:.př. Řešte soustvy erovic ) u - > b) 7u > 6- u 6 u 5 <6 7u > u - d) 6 c) ( u ) ( 5 u) u u 5 5 u 7 5,5 u 6 ( u ) u 6 ( u).př ) ( 6- ). ( 5 ) b) ( ). ( 7 - ) >.př: ) c) (uprvit ) 9 b) 5.6. Soustv lieárích rovic o více ezámých př: Njděte všechy uspořádé dvojice [, y ] reálého čísl pro které pltí: y - y - 5 zároveň Průsečík přímek y - y - 5 je bod A [, ], tz., y Početě: - 5 y.- 6 y A: Metod doszovcí :. Jedu rovice převedeme tvr y b (ebo cy d). Do druhé rovice dosdíme z y výrz b ( ebo z výrz cy d) vyřešíme ji - ezámá (y). Dosdíme číslo z (y) do kterékoliv rovice vypočteme y () 6

18 B: Metod sčítcí (dičí) y 8 5y - /.(-) y 8-5y 9 y 5y y 7 6 y. Kždou rovici soustvy vyásobíme vhodým číslem růzým od uly tk, by koeficiety u ebo u y byly opčá čísl.. Levé i prvé stry sečteme získáme tím rovici o jedé ezámé.. Jko u předešlého. C: Metod srovávcí ( komprčí) y - y 5 5, y 5 5. Z obou rovic vyjádříme ezámou. Dosdíme vyřešíme. Dosdíme vyřešíme pro druhou ezámou Cvičeí: y 5 y př: 5 y y [ 7 9, y - 7 ] př: ) y 7 b) y 5 c) y y -6 - y y 7

19 př: 5.(y ) - ( -) 7.( y ) 5( [, y ] Cvičeí: y 5z -7 y z - y 6z 6 [, y, z ] 8

20 .. té odmociy ezáporého čísl. ODMOCNINY A MOCNINY Defiice: -tá odmoci ( N ) z ezáporého reálého čísl (, R) je tkové ezáporé číslo (, R) pro která pltí zápis: př: 8 8 odmocěec (zákld odmociy) odmocitel př: Kdy má výrz smysl?, 5. b -. b ) ) b b.. Počítáí s odmocimi Pro, b m,, p - celá kldá ). b. b ) b b b m m ) ( ) m m. ) p mp 5) př: > 9

21 b.. b b > Defiice: částečé odmocňováí je úprv odmociy do tvru součiu, jehož jedím čiitelem je odmoci co ejmešího odmocěce. ) 8 ) b ) y b y. y. z ) 8 y z 8 př: 7 8 b b > 7 5. y y > b > y > př: ( ) 8 5 ( ) 6 5 ( ) př: 5 >.. Usměrňováí zlomků je odstrňováí odmociy ze jmeovtele rozšířeím zlomku. Npř: rozšíříme rozšíříme 5 rozšíříme 5 5 rozšíříme 5.. Mociy s rcioálím mocitelem mociy s celočíselým mocitelem již záme m m celé, kldé

22 Defiice: pro kždé kldé reálé číslo, celé číslo m kldé přirozeé číslo je m m - zákld mociy m - mocitel př: ( ) podmíky: >,, - př: ( ) ( ) ( ) ( ) :. př: 6 podmík >

23 . KVADRATICKÉ FUNKCE, KVADRATICKÁ ROVNICE A.. Kvdrtická fce, grf NEROVNICE Užití: M: S π.r, S : s gt v t - dráh vrhu svislého vzhůru F P RI výko odpor. (itezit) defiice: Kvdrtická fce se zývá kždá fce y b c, R kde je reálé číslo růzé od uly b, c jsou libovolá reálá čísl b c b c - kvdrtický trojčle - kvdrtický čle - lieárí čle - bsolutí čle Grf: Př: Nrýsujte grf fce h : y př: g : y h : y g y h : : y Vět: Grf kždé kvdrtické fce souřdice y. y je souměrý podle osy y krtézské soustvy Vět: Grf kždé kvdrtické fce y prochází bodem [,]. Vět: Je-li >, pk kvdrtická fce y bývá pro ejmeší hodoty, je-li <, bývá kvdrtická fce y pro ejvětší hodoty. Vět: Grf kždé kvdrtické fce y b c lze získt posuutím grfu kvdrtické fce y Vět: Grf kvdrtické fce prboly. y b c se zývá prbol, bod [ ] se zývá vrchol y,

24 Vět: Vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y b c, má souřdice b, y c b př: Určete vrchol prboly, která je grfem kvdrtické fce y, b, c b b y c V [-, -]. př: Určete souřdice vrcholu prboly, které jsou grfem kvdrtické fce. ) y b) y 6 5, 5 c) y V [,] V [,5, ] V[-,] Postup při sestrojováí grfů kvdrtických fcí: ) Určíme souřdice y, vrcholu prboly ) Vypíšeme ěkolik dlších dvojic ) Sestrojíme v y (krtézské soustvy souřdic) obrzy uspořádých dvojic získých v ) Sestrojíme prbolu (prbol je souměrá podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ], Vět: Grf kvdrtické fce je souměrý podle přímky, která je rovoběžá s osou y prochází bodem [ y ]., Vět: Kvdrtická fce y b c, bývá pro ) ejmeší hodotu y - jestliže > b) ejvětší hodotu y - jestliže < Cvičeí rýsujte grfy fukcí: Př: y,5 V [,,5] y V [,-] y y y,5

25 y 7 y,5,5 y.. Kvdrtická rovice, diskrimit Defiice: Kvdrtická rovice o jedé ezámé se zývá kždá tková rovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést tvr b c kde je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. př:,5 (,5 ) - souči dvou čísel je rove ule, jestliže jedo z čísel je rovo. (,5 ) 6 P {, 6 } př: A B ( A B)(. A B) ( )(. ) př: P {-, } > P př: ( ) ( ) je-li ( ) je-li P {} ( ) >

26 Cvičeí: př: ( )( ) ( 5 )( 5) ( )( 5) př: př: v 9 v 7 př: ( u ) ( u 5).. Vzorec pro kořey kvdrtické rovice b c Diskrimit kvdrtické rovice D b c kořey: b b D D Vět: pro možiy P všech kořeů kvdrtické rovice b c o ezámé R pltí: ) Je-li diskrimit D <, pk P ) Je-li diskrimit D, pk b P ) Je-li diskrimit D >, pk b P D b, D př: 6 5, b 6, c 5 D < P př: 6,5, b 6, c, 5 D, 5 P {, 5} 5

27 př: 6, b 6, c D P {, } ZKOUŠKY!!!!.. Vzthy mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice. Vět: Jsou-li, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk pro ě pltí: b. Obráceá vět: c. Vět: Nechť je reálé číslo růzé od uly, b, c libovolá reálá čísl. Čísl,, pro která pltí b, rovice b c o ezámé R. c. jsou kořey kvdrtické. Vět: jsou-li,, kořey kvdrtické rovice b c o ezámé R, pk ( )( ) pltí b c př: 7 b ( 7) 7. c rozepíšeme: P {, } 6

28 př: Rozložte kvdrtický trojčle souči lieárích čiitelů., b, c 5, ± Podle věty : b c ( )(. ) Kvdrtické erovice Defiice: Kvdrtickou erovicí o jedé ezámé se zývá kždá erovice, kterou lze ekvivletími úprvmi převést jede z tvrů: b c > b c b c < b c př : 9 6 ) Vyřešíme kvdrtickou rovici 6, ) Nyí vezmeme pomoc zlosti o průběhu kvdrtické fukce m : y 6, tedy >, grfem je prbol, jejíž vrchol zobrzuje ejmeší hodotu fukce. Této prbole přísluší body [,], [-,] Řešeí je tedy P (,, ) př:,5, 5 <, 5, b, c, 5,5,5 D < Rovice emá řešeí Prbol emá žádé společé body s osou. 7

29 Mohou stt tyto přípdy: ) Celá prbol leží pod osou b) Prbol leží d osou K určeí jedoho z těchto dvou přípdů stčí dosdit do zdáí z libovolé reálé číslo zjistit, zd hodot trojčleu je kldá ebo záporá. Npř:,5,5, 5 pro všech R je,5, 5> Ale řešíme,5, 5< P - moži řešeí je prázdá.6. Grfické řešeí př: > - 5> Řešíme kvdrtickou rovici 5, b, c 5 D b c 9 ± 7, 5 podle věty : 5.( 5) Místo původí erovice řešíme tedy:. ( 5) > /.. ( 5) < ) > zároveň 5 < > zároveň < 5, P P ( ) P,5,,5, 5 P ( ) 8

30 ) < zároveň 5 > < zároveň > 5 P, P P, (, ) P ( 5, ) 5 ( P P ) ( P ), 5 P P, 5 př.: ( k - ).( k ) ) k zároveň k k zároveň k P, ) P, ) P P, ), ), ) ) k zároveň k Cvičeí: k zároveň k P (, zároveň P (, P (, (, (, P ( P P ) P ) (, P, ) ( P ). 6 9 > ) ) 5 < 9

31 5. FUNKCE 5.. Fukce rostoucí klesjící Defiice: Nechť M je podmožiou možiy R všech reálých čísel. Fukce f se zývá Jik: kždá moži uspořádých dvojic [ y] MR pltí: ke kždému R eistuje právě jedo R, (krtézský souči) pro kterou y tk, že [ y] f Defiice: Fce je prvidlo,pomocí kterého je kždému reálému číslu přiřzeo právě jedo Pltí věty: reálé číslo y. ) Kosttí fukce y b eí i rostoucí i klesjící. Grfem je přímk rovoběžá s osou. ) Lieárí fce y b je: ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé < klesjící ) Kvdrtická fce y b c b ) pro > rostoucí v itervlu, ) je: b klesjící v itervlu (, b b) pro < rostoucí v itervlu (-, 5.. Nepřímá úměrost b klesjící v itervlu, ) k Defiice: Nepřímá úměrost se zývá kždá fukce, reálé číslo růzé od uly. Grfem epřímé úměrosti je hyperbol. y R { },,kde k je libovolé

32 Pltí věty: k ) Fukce y, je: ) pro kždé k > klesjící v itervlech (-,), (, ), hyperbol je v I. III. kvdrtu. b) pro kždé k < rostoucí v itervlech (-,), (, ), je hyperbol ve II. IV. kvdrtu. k ) Obor fukčích hodot fukce y, je pro kždé k rove R { }. 5.. Mocié fukce Opkováí: celé kldé číslo, celé záporé číslo,... Záme: y, y, y pro Rozděleí: ) b) c) ) y R, y R { } y R { } y R, celé kldé číslo, celé záporé celé kldé číslo Vět: Pro kždé liché celé kldé číslo je fce možiou všech reálých čísel. Pro kždé sudé celé kldé číslo je fce y rostoucí její obor hodot je y klesjící v itervlu (-, rostoucí v itervlu, ), její obor hodot je itervl, ) b) y R { } y le Je to grf kosttí fukce s výjimkou bodu pro. c) y R { } y záme y, celé záporé y epřímá úměrost y smozřejmě y y

33 Vět: Pro kždé záporé celé číslo sudé je fukce y rostoucí v itervlu (-,), klesjící v itervlu (, ), obor hodot je moži R. Pro kždé záporé celé číslo liché je fukce,(, ). Obor hodot je moži { } (-,) R. y klesjící v itervlech Cvičeí: y,5 y 5 y y y, y Epoeciálí fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od. Epoeciálí fukce o zákldu se zývá fukce y R př: y Vět: y. Obor hodot fukce y je pro kždé >,, itervl (, ).. Fce y je pro kždé > rostoucí, pro kždé (,) klesjící.. V bodě je hodot fce y pro kždé > rovo.. ) Pro kždé > pltí: je-li <, pk <, je-li >, pk >. b) Pro kždé (,) pltí:je-li < pk je-li >, pk >, <, Cvičeí: y y, 5 y y y ( ) y., 5 ( ) 5.5. Epoeciálí rovice vyskytují se zde mociy s ezámou v epoetu. Vět: Pro všech reálá čísl, y pro kždé kldé reálé číslo pltí: je-li y pk je y.

34 př: př: ( 5 ) -(5-) 9,5 Cvičeí: 5,, , ( 6) (,5), 5 5.5,,,, 5.6. Iverzí fukce př: Nrýsujte iverzí fukci k fukci y - y - u iverzí fukce y y

35 V tbulce totéž - y Logritmické fukce Defiice: Nechť je kldé reálé číslo růzé od, f epoeciálí fukce o zákldu (tj: y ) Logritmická fukce o zákldu se zývá tková fukce g pro kterou pltí: [ d, c] g právě tehdy, když [ c d] f,. Vět: Grf fukce g je souměrě sdružeý s grfem fukce f podle osy.. kvdrtu krtézské soustvy souřdic. y log Čteme logritmus při zákldu je iverzí k epoeciálí fukci y Vět: ) Defiičí obor logritmické fukce itervlu (, ) ) Obor hodot logritmické fukce možiě R všech reálých čísel y log je pro kždé R { } y log je pro kždé R { } rove rove ) Fukce y log je ) pro kždé > rostoucí b) pro kždé (,) klesjící ) log 5) ) pro > : je-li <, pk log < je-li >, pk log > b) pro (,): je-li <, pk log > je-li >, pk log < př: log < log log,6 5 log, Logritmus Defiice: Logritmus o zákldu je tkové číslo y pro ěž pltí: umocíme-li jím číslo, dosteme, přitom R { }, log y právě když y R

36 Vět:. pro kždé R { },. pro kždé R { } R pltí: log pltí: ) log b) log př: ) log 7 9 ) log 6 t t 6 6 ) log ) log př: log,, 5,, 9 log př: - dle. věty log - dle. věty př: log 5 5 log 8 log Věty pro počítáí s logritmy ) log (. y) log log y Logritmus součiu dvou kldých čísel je rove součtu logritmů jedotlivých čiitelů. ) log log log y y Logritmus podílu kldých čísel je rove rozdílu logritmů dělece dělitele (v tomto pořdí) y ) log y. log Logritmus mociy kldého čísl je rove součiu epoetu logritmu zákldu mociy. př: log,5 6 log,5 log,56. log,5 log 6 6. př:.log 5.log log log log (. ) log ( 6 )

37 př: log log 5 log, log,, 8 log 7 log 7 log 55 log5 log,5,5 log 9 Pozámk c ( m. ) m c log m log log Logritmus kždého kldého čísl m o zákldu lze psát ve tvru součtu log m, kde m, ) celého čísl c. Je zřejmé, že log m,) 5.. Logritmické rovice Vět. Pro kždé kldé reálé číslo růzé od jedé pro všech kldá reálá čísl, y pltí: je-li log log y, pk y. př: ( ) log ( ) log log log log log zkoušk 8 Pozámk ukázt, je-li místo log 5 př: log ( ),5. ( log ) log ( ) log7 log ( ) 7 6

38 ebo, 5 Zkoušk: ( ).log (,5 ).log ( 5) L!!!,5 7 7 ( ) > >, číslo,5 eí kořeem rovice Moži kořeů rovice je prázdá. Rovice jde uprvit i jik:.log ( ),5. př: ( ) log log substituce y y log y 7 log 7. log ( ). 7 7 log -!! Nemá řešeí y, ) log b) log - zkoušk Moži všech kořeů P {, } 7

39 př: ( 9 ) 8. log log, 5 8,5 př: log,5.log log,5 log,5 log, 5 7 -,5.log,5 [, 7 ( ) log ( ) log log ( ) 5 log ( ) 9 ( y ) log ( y ) log ( y ) log log ( y ) log ( y ) 6 log 5 log ( ).log log substituce ( ) log y log5 5,,. log log,5. log log,5 log,5 log ejdříve logritmovt 5 5,,,, 5.. Přirozeé dekdické logritmy Hledá se tkové číslo e, by grf epoeciálí fukce III. kvdrtu jediý společý bod. e &,78 Eulerovo číslo y e měl s osou I. A 8

40 Logritmickou fci při zákldu e zčíme hovoříme o přirozeém logritmu y log e obvykle l Je-li zákld dekdický logritmus l &, log e &, l &,.log log &,. l Vět: Pro kždé kldé reálé číslo pro všech kldá čísl log log y log z z y y, z růzá od jedé pltí: př: Vypočtěte log 5 je-li: ) log &,, log 5 &,699 b) l 5 &, 69 l &, 69 log 5,699 ) log 5 &, log, l 5,69 b) log 5 &, l,69 9

41 6.. Úhel jeho velikost 6. GONIMETRIE A TRIGONOMETRIE stupňová mír - plý úhel : 6 oblouková mír 6 π rd rd & rd (rdiá) α.π 8 α.8 π převod stupě rdiáy převod rdiáy stupě Vět: Zobrzeí U možiy R do jedotkové kružice je dáo:. Kždému reálému číslu, ) přiřdíme bod K k, pro který pltí: π π ) Úhel JOK je částí úhlu JOJ jko svou část ( pro, ) π ebo obshuje úhel JOJ jko svou část (pro, )) π b) Délk oblouku JK je rov, vzhledem k tomu že k je jedotková kružice, je zároveň číselou hodotou velikosti úhlu JOK v obloukové míře.. Je-li R,π ), jdeme ejprve tkové, ) tkové m Z, pro ěž pltí m. π. π Potom přiřdíme číslu stejý bod K, jký je přiřze číslu. 6.. Defiice goiometrických fukcí Defiice: Fce sius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, yk ], kde R y si Defiice: Fce kosius se zývá fce, které ptří právě všechy uspořádé dvojice [, k ], kde R y cos Defiice: Fce tges se zývá fce dá rovicí si y cos

42 Defiice: Fce kotges se zývá fce dá rovicí cos y si 6.. Určováí hodot goiometrických fukcí ) Tbulky - je ve stupích (rdiáy uto převést) ) Klkulčk ) Grficky - je ve stupích (rdiáy uto převést) př: si 6 cos6 cos. π π př: tg cot g př: cot g tg6 př: si 5 π si π.π si π př: cos ( 7 ) dle vzorce 7. π 6,5π 8 cos (-7 )cos(-6,5π ) cos je periodická s periodou π cos ( 6,5π ) cos π.π cos π 6.. Grfy goiometrických fukcí ) y si,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -,

43 b) y cos,,5, -6,8 -,7 -, -,57,,57,,7 6,8 7,85 9,,,57, 5,7 7,8 8,85 -,5 -, Cvičeí: př: Grf y si y si π 6.5. Vlstosti goiometrických fukcí sius kosius Defiičí obor obou fukcí je moži všech reálých čísel tj. Obor fukčích hodot obou fukcí je itervl, (, ). Vět: pro kždé R pro kždé m Z pltí: si ( mπ ) si cos ( mπ cos, π π π, π, π π, π sius - - kosius - - sius rostoucí klesjící klesjící rostoucí kosius klesjící klesjící rostoucí rostoucí tges kotges si cos cos si π ( m ).

44 Defiičí obor fce tges je moži všech reálých čísel růzých od π mπ kde m je libovolé celé číslo. π mπ Jik: mimo lichých ásobků čísl π Defiičí obor fce kotges je moži všech reálých čísel růzých od m je libovolé celé číslo. Obor fukčích hodot je moži R tj. (-, ) Vět: Pro kždé z defiičího oboru fce tges (kotges) pro kždé je tg ( mπ ) tg cotg ( mπ ) cot g m. π, m Z Dlší vlstosti: ) si( ) si cos( ) cos } R ) R π ( m ) tg( ) tg } m Z ) R mπ π ) (, ) 6.6. Goiometrické rovice př: si, 5 Řešeí ejdříve v,π ) π 6 cotg(- ) cot g ( π ) si( π ) si( ) ( π ) cos( π ) cos( ) si si π cos cos π 5 π period je π 6

45 Řešeí: π mπ 6 m Z 5 π mπ 6 m Z př: cot g -,8 Řešíme v itervlu (,8 ) cot g -,8 - cot g cot g,8 přitom (,9 ) 8 pltí: 8 - period 8 řešeí: m.8 m Z př: cos( ), 86 y y y substituce cos y & 8 8 y cos y, 86 cos y,86 cos 9 y y y 9 8 period π 6 Řešeí: 9 m.6 m Z 8 m.6 př: cos substituce : cos y y 7 cos 7 y D ( 7 ).. 5

46 cos cos,5 y y,5 evyhovuje cos řešeí: π mπ 5 π mπ m Z Vzorce: ) si cos ) tg. cot g m. π m Z ) si ( y) si cos y si y. cos ) si( y) si cos y si y. cos 5) cos( y) cos cos y si. si y 6) cos ( y) cos.cos y si. si y 7) si si cos 8) cos cos si 9) si cos ) cos cos y y ) si si y.si.cos y y ) si si y.cos.si y y ) cos cos y.cos.cos y y ) cos cos y si.si 5

47 6.7. Siová vět Užití pro hledáí velikostí str úhlů v libovolém trojúhelíku. Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velkost α, β, χ stry délky Pk pltí:, b, c. b c siα si β si χ Jik: Poměr délky stry hodoty siu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelíku kosttí. Užití: ) je-li dá délk jedé stry velikosti dvou vitřích úhlů b) jsou-li dáy délky dvou str velikost vitřího úhlu proti jedé z ich. př: Trojúhelík ABC, dáo: α,85, β,68, c 5, m Řešeí: v kždém trojúhelíku je součet vitřích úhlů rove π. Úhly jsou zdáy v rdiáech. Úhel ABC χ π α β π,85,68 &,65, 65 c siα c. siα si χ si χ,78 5,.,999,9m b si β,6 b.,9. b, m siα si β siα,78 př: Trojúhelík ABC dáo: χ 7, b 8,5m, c, 8m Určete osttí úhly stry trojúhelíku. úhel ABC β b c b 8,5 si β.si χ.si 7 si β &, 75 si β si χ c,8 β (, 8 ) β 8 β β evyhovuje, eboť β χ β 8 α 8 β χ 8 α

48 c siα,8587 : c.,8. 9, 76 siα si χ si χ,95 9, 76m Vět: Pro obsh S trojúhelíku, jehož stry mjí délku pltí:, b, c vitří úhly α, β, χ S bsi χ csi β bcsiα př: Trojúhelík ABC: 5,m, α 6, β 8 S? S b.si χ b si β si 8,657 b. 5,. 5,. & 7, si β siα siα si 6,89 χ β χ 79 b 7, m 8 α S b.si χ 5,.7,.si 79 7,6.,986 & S Obsh trojúhelíku je, Kosiová vět m.,6m Vět: Nechť ABC je libovolý trojúhelík, jehož vitří úhly mjí velikost α, β, χ stry délky Pk pltí: ) b, b, c. c bc cosα b) b c c cos β c) c b b.cos χ Užití: ) jsou-li dáy délky všech tří str máme určit úhly b) jsou-li dáy délky dvou str velikost úhlu jimi sevřeého 7

49 př: Trojúhelík ABC, 6,9m, b,m, c, m Určit úhly α, β, χ z Kosiové věty b cosα c bc, b c, 6,9.,., bc cosα,78 úhel β cos α,78 α α 8 α 7 z kosiové věty: b c c cos β c cos β, cos β β & b c 5 6,9,.,.6,9,95 χ 8 χ 8 χ 7 5 α β 7 α 7, β 5, χ př: Trojúhelík ABC, 5, m, b,75m, χ 6 c?, α?, β? c: c b c.cos χ c 5,,75.5,.,75. cos6 7, c 8, m β pomocí siové věty: b c si β si χ 8

50 b si β si χ c si β β 6 β,75.si 6 8, 9,65 evyhovuje β χ 8 β 6 proti větší strě leží větší úhel α 8 β χ 8 α c 8,m, β 6, α 7 9

51 7.. Zákldí kombitorické prvidlo 7. KOMBINATORIKA Vět: počet všech uspořádých dvojic, jejichž prví čle lze vybrt právě způsoby jejichž druhý čle lze po výběru prvího čleu vybrt právě způsoby, je rove.. Vět (zobecěí): Počet všech upořádých k -tic, jejichž. čle lze vybrt právě způsoby,. čle po výběru. čleu právě způsoby td., ž ( k ) ho čleu právě k způsoby, je rove.....k. k tý čle po výběru př: Z měst A do měst B vedou cesty, z měst B do měst C vedou cesty. Určete počet růzých cest, které vedou z A do C procházející přitom městem B. Řešeí: A B...,,, B C..., b Vypíšeme dvojice: [, ], [, ], [, ],[, ], A C 8 cest tké. 8 [,b ], [,b ] [,b ], [,b ] př: Kolik dvojjzyčých slovíků je třeb vydt, by byl zjiště možost překldu z RJ, AJ, NJ FJ do kždého z ich. Dvojice [R,A], [R,NJ], [R,F], [A,R], [A,N], [A,F], [N,R], [N,A], [N,F], [F,R], [F,A], [F,N], dvojic jik. př: Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu se kždá číslice vyskytuje ejvýše jedou. Uspořádé dvojice (lze vypst). čle z 9 cifer ( elze použít ). čle z 9 cifer (přibyl cifr ). čle z 8 cifer trojciferých čísel dé vlstosti 7.. Vrice defiice: Vrice k té třídy z prvků je kždá uspořádá k tice sestveá z těchto prvků tk, že kždý je v í obsže ejvýše jedou.dbá se pořdí prvků. 5

52 k pokud < k vrice k té prvků eeistuje př: Npište vrice třetí třídy z prvků,5,7,9 [,5,7]. [,5,9] [,7,9].. ( ) [5,7,9] pro počet vricí třetí třídy ze prvků pltí: V.. možostí Vět: Počet V k ( ) všech vricí k té třídy z prvků pltí: V k ( ) ( )(. )... ( k ) 7.. Permutce Při sestvováí vricí k té třídy z prvků dostáváme uspořádé k tice, které v přípdě k < se liší umístěím jedotlivých prvků s tím, že obshují růzé prvky. př: Vrice třetí třídy ze prvků,,, [,,], [,,] liší se uspořádáím (umístěím) [,,], [,,] eobshuje tytéž prvky V přípdě k k tice se liší pouze uspořádáím kždý prvek je zde právě jedou. Defiice: Permutce z prvků je kždá vrice P ( ) - permutce z prvků. je to vrice V k ( ) ( )(. )... ( k ) le P k té třídy z těchto prvků. ( ) V ( ). ( )(. )... to zmeá ( ). ( )(. )... P teto souči zčíme! (čteme fktoriál ) té třídy z těchto prvků. Defiice: Pro kždé celé kldé číslo je!.... ( )( ). Pro je! Vět: Pro počet všech permutcí z prvků pltí P( )! 5

53 Př: Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápise je kždá z číslic,,,,7 Řešeí: musí tm být všechy cifry jedá se o počet všech permutcí z prvků, le žádá esmí zčít ulou. Počet všech permutcí z 5 prvků P ( 5 ) 5! Počet všech permutcí, které mjí. místě ulu P ( )! Výsledek: P ( ) P( ) 5!! ! 5...!... Př.: N schůzi mluví pět řečíků. Řešeí: ) P ( ) 5! 5 b) Pořdí AB hrdíme X ) Kolik je možostí pořdí jejich proslovů b) Kolik je možostí, že B mluví ihed po A c) Kolik je možostí, že B mluví po A př: [C,D,A,B,E,], [A,B,E,D,C].. [C,D,X,E], [X,E,D,C].. tj.permutce ze prvků P ( )! c) Ke kždému proslovu, kdy B mluví po A eistuje pořdí, kdy A mluví po B [ C,A,B,D,E ] - [ C,B,D,E ] [ A,E,D,C,B ] - [ B,E,D,C,A ] tj. vyhovuje je polovi P( 5 ) 5! 6 Uvědomit si: ( )! ( ).! př: Zjedodušte: ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ) - ( ) 5

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

R e á l n á č í s l a - R

R e á l n á č í s l a - R Č Í S E L N É M N O Ž I N Y R e á l n á č í s l - R R c i o n á l n í č í s l - Q Ircionální čísl π ;,99 C e l á č í s l - Z Seznm některých mtemtických smbolů znček kulté ; hrnté ; úhlové ;{ složené závork

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více