Aritmetická posloupnost

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aritmetická posloupnost"

Transkript

1 /65

2 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis AP - součet AP - prvoúhlý trojúhelík Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost Soustv rovic I Soustv rovic II Součet geometrické poslouposti I Součet geometrické poslouposti II Součet ekoečé řdy Užití geometrické poslouposti... Souřdice bodů v roviě v prostoru.... Vzdáleost bodů v roviě.... Vzdáleost bodů v prostoru.... Střed úsečky v roviě.... Střed úsečky v prostoru Určeí souřdice bodu v roviě pro dou vzdáleost Určeí bodu úsečky pro dý střed Užití vzdáleosti středu úsečky... 6 Vektory v roviě v prostoru Délk těžice v trojúhelíku, obsh prvoúhlého trojúhelík Vektory v roviě z dých bodů, vektory kolmé Sklárí souči vektorů - kolmost Úhel vektorů v roviě Úhel vektorů v prostoru Úhel v trojúhelíku Vektory v prostoru z dých bodů, ásobeí vektoru číslem... 9 Rovice přímky v roviě.... Prmetrická rce přímky stry trojúhelík.... Prmetrická rce přímky t c Prmetrická rce přímky v c Prmetrická rce osy stry trojúhelík Obecá rce přímky stry trojúhelík Obecá rce přímky t bc Obecá rce přímky v bc Obecá rce osy stry trojúhelík Prmetrická rce rovoběžky se strou trojúhelík Obecá rce rovoběžky se strou trojúhelík Prmetrická obecá rce přímky t c Prmetrická rce přímky dé bodem směrem Prmetrická rce přímky dé bodem ormálou Prmetrická rce přímky dé dvěm body Obecá rce přímky dé bodem ormálou Obecá rce přímky dé bodem směrem Obecá rce přímky dé dvěm body Úhel vektorů... 9 Vzájemá poloh dvou přímek v roviě Růzoběžé - obecá obecá přímk Růzoběžé - prmetrická obecá přímk Rovoběžé - prmetrická obecá Totožé - prmetrická obecá...

3 /65. Totožé - prmetrická prmetrická... Těžiště, střed kružice opsé, vzdáleost bodu od přímky.... Těžiště trojúhelík Střed kružice opsé Vzdáleost bodu od přímky... 5 Obsh trojúhelík Obsh trojúhelík... 6 Výrzy s fktoriálem Úprvy čísel Kráceí zlomků Sčítáí zlomků Úprvy kombičích čísel Důkzy... Rovice s fktoriálem.... Rovice s fktoriálem.... Rovice s kombičími čísly.... Rovice s vytýkáím.... Růzé... Permutce, vrice, kombice Vrice bez opkováí Vljk Permutce Vrice s opkováím Vrice bez, s opkováím - čísl s ulou či podmíkou Dělitelost Kombice Kombice bodů Permutce s opkováím Kombice s opkováím Růzé... 5 Biomická vět (5) Obecá biomická vět Zákldí biomický rozvoj I Zákldí biomický rozvoj II Užití biomické věty I Užití biomické věty II Určeí biomického čleu Určeí biomického koeficietu... 5 Klsická prvděpodobost Mice ebo děti Prvděpodobost výběru ze skupiy Prvděpodobost výběru ze skupiy se součiem Kostk kostičky Prvděpodobost výběru dvojciferého čísl Prvděpodobost výběru čísl Hod dvěm kostkmi Hod třemi kostkmi Růzé... 6 Podmíěá prvděpodobost () Prvděpodobost doplňkového jevu - vrice Prvděpodobost doplňkového jevu - kombice Násobeí prvděpodobostí Násobeí prvděpodobostí Sčítáí prvděpodobostí - vrice Sčítáí prvděpodobostí - kombice Růzé... 6 Mgr. Václv Horský, 006

4 /65 Aritmetická posloupost. Soustv rovic, součet ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 VH:, d, S0 5 ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH: 0, d, S0 90 ) Určete součet dvácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 5, d, S VH: 96 ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S0 5 5) Určete součet osmi čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S8 6) Určete součet dvácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S 0 7) Určete součet jedeácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: , d, S VH: 8) Určete součet třiácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S 60 9) V ritmetické poslouposti určete osmý čle, je-li dáo: 7 88 VŠE:, d, 8 0) V ritmetické poslouposti určete jedeáctý čle, je-li dáo: VŠE:, d, 9 ) V ritmetické poslouposti určete desátý čle, je-li dáo: VŠE:, d, 0 ) V ritmetické poslouposti určete devátý čle, je-li dáo: 7 9 VŠE:, d, 9 5

5 5/65 ) V ritmetické poslouposti určete S 8, je-li dáo: 8 d 5 5 Rdl: 7 5, d 5, S8 5 ) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: d 6 d, 69 Rdl:, S 5) V ritmetické poslouposti určete S 9, je-li dáo: d 9 87 Rdl: 5, d, S9 6) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: d 8 7 Rdl: 9, d 8, S 7) V ritmetické poslouposti určete S 5, je-li dáo: 7 8 5, d 5, S5 Rdl: 570 8) V ritmetické poslouposti určete S 7, je-li dáo: , d 7, S7 Rdl: 57 9) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: 0 0, d 6, S Rdl: 76 0) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: 5 0, d, S Rdl: 57 ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: Rdl:, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: Rdl: 7, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 9 9 Rdl:, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 5 7 Rdl: 8, d. AP - předpis ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5:

6 6/65 75 Rdl: 7, d, S5 ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 5 Rdl: d, S 80 5, 5 5 ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Rdl: eí ritmetick á ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 5 5, 5 5 Rdl: d, S 0 5) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 65 Rdl:, d, S5 6) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM:, d, S 875 str.89/.-) 5 7) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-b) 8) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-c) 9) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-d). AP - součet ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 65 Sb-MM: 0 0, 0, str.89/.-b) ) Určete, je-li dáo:

7 7/65, d, S 0 VH: 0 0,, 0 ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 56 VH: 56 0,, ) Určete, je-li dáo:, d, S 5 VH: 90 0, 0, 9 5) Určete, d, je-li dáo:,, S 87 Sb-MM:, d str.89/.-) 6) Určete, je-li dáo:, d, S 0 0 0, 0, VH: 7) Určete, je-li dáo:, d, S 7 0,, VH: 8) Určete, je-li dáo:, d, S ,, VH: 9 9) Určete, je-li dáo:, d, S 7 6 0,, VH: 9 0) Určete, je-li dáo:, d, S VH: 0,, ) Určete, je-li dáo:, d, S 8 8 0, 8, UO: 6 ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 56 VH: 8 0,, 7. AP - prvoúhlý trojúhelík ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je m. Určete délky zbývjících str. Rdl: 9m, m, 5m ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je dm. Určete délky zbývjících str. Sb-MM: 8dm, dm, 0dm str.89/.5 ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Nejkrtší str je cm. Určete délky zbývjících str.

8 8/65 VH: cm, 6cm, 0cm ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Přepo má délku 0 mm. Určete délky zbývjících str. VH: 6mm, 8mm, 0mm 5) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Přepo má délku 5 cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, 8cm, 5cm 6) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Nejkrtší str je cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, cm, 5cm 7) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je 6 cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, 6cm, 0cm 8) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Krtší odvěs je 6 cm. Určete délky zbývjících str. Rdl: 6cm, 8cm, 0cm 9) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Rozdíl délek odvěse je 5 cm.. Určete délky zbývjících str. Rdl: 5cm, 0cm, 5cm. Součet čísel v itervlu ) Určete součet všech sudých přirozeých čísel meších ež 50. Rdl: 7, S ) Určete součet všech lichých přirozeých čísel meších ež 50. Rdl: 75, S ) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel. Rdl: 90, S ) Určete součet všech přirozeých trojciferých čísel. Rdl: 900, S ) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel, dělitelých pěti. Rdl: 8, S ) V ritmetické poslouposti,,..., 7 je, d Vypočtěte: S 7, S7, Rdl: 7) Vypočtěte, když i je imgiárí jedotk: 6 i i i i... i 080 Rdl: S 6 080, i 8) Určete součet ritmetické poslouposti Nydl: S ) Určete součet ritmetické poslouposti Nydl: S ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu 5 ;

9 9/65 VH: 0; S 0 80 ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: =, S = 8 7 ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: = 0, S 0 = 8 90 ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: =, S = 8 77 ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu ; VH: = 5, S 5 = ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu ; VH: = 6, S 6 = 9 96

10 0/65 Geometrická posloupost. Soustv rovic I. ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 8 5 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 8, 5 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 96 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 8 6 VH:, q 5) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, VH:, q 6) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, Sb-MM:, q str.89/.7-) 7) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 6 q, Sb-MM: 6, q str.89/.7-b) 8) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, Sb-MM:, q str.89/.7-d). Soustv rovic II. ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 5, 60 Sb-MM: 5, q str.89/.7-e) ) Určete součet devíti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 7, q, S9 VH: 7 ) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, , q, S5 VH: 9 ) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 5, 6 5, q, S5 VH: 5) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:

11 /65 8, VH:, q, S5 6) Určete součet deseti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6, q, S0 VH: 7) Určete součet sedmi čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 7 6 8, 6 VH:, q, S7 5 8) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 6,, q, S5 VH:. Součet geometrické poslouposti I. ) V geometrické poslouposti je, q 5. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S. VŠE: ) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 55. VŠE: 5 ) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 6. VŠE: ) V geometrické poslouposti je 5, q 6. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 5. VŠE: 5) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S. VŠE: 6 5. Součet geometrické poslouposti II. ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 8 VH: ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 5 5 VH: 7 ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S

12 /65 9 VH: 7 5) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 8 6) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 6 7) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 5 VH: 5 7 8) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: Součet ekoečé řdy ) Určete součet ekoečé řdy: UO: 6, q, S ) Určete součet ekoečé řdy: 0 0, 0,0 0,00... VH: 0, q 0, S 9 ) Určete součet ekoečé řdy: , q 0, 00 VH: 00 S 9 ) Určete součet ekoečé řdy: VH: 0, q, S 5 5) Určete součet ekoečé řdy: VH: 0, q, S 0 6) Vypočtěte:... Rdl:, q, S 7) Vypočtěte:... Rdl:, q, S 8) Vypočtěte: 8 log log log log... Rdl: log, q, S log 9) Vypočtěte:

13 /65 Rdl: 5, q, S 0 0) Vypočtěte: Rdl:, q, S 0 7. Užití geometrické poslouposti ) Kolik si půjčil kliet od bky, jestliže po letech dluží částku 097 8,- Kč při % úroku? = ,- Kč ) Město má obyvtel předpokládý ročí přírůstek, %. Kolik obyvtel lze očekávt z 0 let? = 8 69 ) Částk ,- Kč je vlože účet s %-ím ročím úročeím. Jká částk bude účtu z 0 let? = 7 0,- Kč ) Automobil ztrácí kždý rok 5 % své hodoty. Jká bude hodot utomobilu po letech, jestliže jeho původí ce čií ,- Kč? = 0,- Kč 5) Stroj ztrácí kždý rok 0 % své hodoty. Jká byl jeho ákupí ce, jestliže po -ti letech má hodotu 0 68 Kč,-? = 0 00,- Kč 6) Jká bude po 7 letech výše vkldu ,- Kč účtu se složeým ročím úročeím %? 8 = 68 96,- Kč 7) Jká byl výše vkldu, jestliže po 6-ti letech je účtě 569 9,- Kč, při ročím úročeí %? = ,- Kč 8) Porodost v České republice klesá průměrě o,5 % ročě. V roce 998 se rodilo 8 8 dětí. Jký bude předpokládý počet rozeých dětí v roce 00? = 00 9) V bce si půjčíte ,- Kč s úrokem %. Kolik bude váš dluh po 5-ti letech? 6 = 88 7,- Kč

14 /65 Souřdice bodů v roviě v prostoru. Vzdáleost bodů v roviě ) Vypočítejte vzdáleost bodů C=[; ] D=[; -]. CD = 7 ) Vypočítejte vzdáleost bodů R=[-; 5] S=[; ]. RS = 6 ) Vypočítejte vzdáleost bodů X=[-; -] Y=[-; ]. XY = 9 ) Vypočítejte vzdáleost bodů B=[-; ] D=[5; -]. BD = 65 5) Vypočítejte vzdáleost bodů P=[7; ] Q=[-5; -]. PQ = 6) Vypočítejte vzdáleost bodů K=[5; 7] L=[; ]. KL = 5 7) Vypočítejte vzdáleost bodů U=[; ] V=[; -]. UV = 5 8) Vypočítejte vzdáleost bodů M=[; -] N=[; -]. MN = 0. Vzdáleost bodů v prostoru ) Vypočítejte vzdáleost bodů A=[-; ; 6] B=[-; -; ]. AB = 7 ) Vypočítejte vzdáleost bodů X=[; ; 0] Y=[; 5; ]. XY = ) Vypočítejte vzdáleost bodů B=[; ; -] D=[-; ; ]. BD = ) Vypočítejte vzdáleost bodů U=[-; -; 5] V=[-5; -; ]. UV = 5) Vypočítejte vzdáleost bodů K=[; ; -5] L=[; ; -]. KL = 6) Vypočítejte vzdáleost bodů C=[; ; ] D=[; ; ]. CD = 7) Vypočítejte vzdáleost bodů R=[5; -; -] S=[; 0; ]. RS = 7 8) Vypočítejte vzdáleost bodů P=[-; -; -5] Q=[; ; -]. PQ = 0. Střed úsečky v roviě ) Jsou dáy body A=[; ] B=[8; 5]. Vypočítejte souřdice středu úsečky AB. S AB =[5; ] ) Jsou dáy body U=[; -] V=[; 5]. Vypočítejte souřdice středu úsečky UV. S UV =[; ] ) Jsou dáy body C=[; -] D=[5; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky CD. S CD =[; ]

15 5/65 ) Jsou dáy body M=[-; ] N=[5; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky MN. S MN =[; ] 5) Jsou dáy body K=[-; -] L=[; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky KL. S KL =[-/; -] 6) Jsou dáy body X=[0; 5] Y=[-; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky XY. S XY =[-/; ] 7) Jsou dáy body P=[; -] Q=[; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky PQ. S PQ =[5/; 0]. Střed úsečky v prostoru ) Jsou dáy body A=[; -; ] B=[0; 5; -9]. Vypočítejte souřdice středu úsečky AB. S AB =[; ; -] ) Jsou dáy body U=[; 0; 5] V=[-; ; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky UV. S UV =[; ; -] ) Jsou dáy body K=[; 5; ] L=[0; -; -9]. Vypočítejte souřdice středu úsečky KL. S KL =[; ; -] ) Jsou dáy body C=[; -; ] D=[; 5; 7]. Vypočítejte souřdice středu úsečky CD. S CD =[; ; 5] 5) Jsou dáy body X=[-8; ; ] Y=[; 5; 0]. Vypočítejte souřdice středu úsečky XY. S XY =[-; ; ] 6) Jsou dáy body P=[0; -7; ] Q=[-8; 5; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky PQ. S PQ =[-; -; 0] 5. Určeí souřdice bodu v roviě pro dou vzdáleost ) Jsou dáy body A=[; ], B=[-; ]. Určete číslo tk, by AB = 5. =, = ) Jsou dáy body R=[; ], S=[; ]. Určete číslo tk, by RS = 8. =, = 5 ) Jsou dáy body Q=[; -], P=[; -]. Určete číslo tk, by QP = 0. = -, = 5 ) Jsou dáy body E=[-; ], F=[; ]. Určete číslo tk, by EF = 5. =, = - 5) Jsou dáy body A=[-; ], B=[; ]. Určete číslo tk, by AB =. NŘ 6) Jsou dáy body X=[; ], Y=[; ]. Určete číslo tk, by XY =., = 7) Jsou dáy body A=[-; ], C=[; -]. Určete číslo tk, by AC = 7. NŘ 8) Jsou dáy body U=[; -], V=[; -]. Určete číslo tk, by UV =. = 0, = 9) Jsou dáy body G=[7; ], H=[-5; ]. Určete číslo tk, by GH =. = -, = 6 0) Jsou dáy body T=[; -], U=[-; ]. Určete číslo tk, by TU =6., = - 6. Určeí bodu úsečky pro dý střed ) Jsou dáy bodu A=[; -; ] S=[; ; 0]. Určete bod B tk, by bod S byl střed úsečky AB.

16 6/65 B=[; ; -] ) Jsou dáy bodu K=[; ; ] S=[-; 0; ]. Určete bod L tk, by bod S byl střed úsečky KL. L=[-; -; -] ) Jsou dáy bodu U=[-; -6; -5] S=[-; -; -]. Určete bod V tk, by bod S byl střed úsečky UV. V=[; 0; ] ) Jsou dáy bodu P=[; -; ] S=[; ; 0]. Určete bod Q tk, by bod S byl střed úsečky PQ. Q=[; 6; -] 5) Jsou dáy bodu C=[-; ; -] S=[-; ; ]. Určete bod D tk, by bod S byl střed úsečky CD. D=[-; 5; ] 6) Jsou dáy bodu R=[-; ; 7] S=[-/; ; 5/]. Určete bod T tk, by bod S byl střed úsečky RT. T=[; 5; -] 7) Jsou dáy bodu M=[; ; -] S=[; ; -]. Určete bod N tk, by bod S byl střed úsečky MN. N=[-; 5; -] 7. Užití vzdáleosti středu úsečky ) N ose určete bod P, který má od bodů A=[8; -5; 0] B=[; -; ] stejou vzdáleost. P=[7; 0; 0] ) V trojúhelíku A=[; -], B=[7; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) Vypočtěte obvod trojúhelíku ABC o vrcholech A=[-; ], B=[0; -], C=[; ]. o = 0 +5 ) Dokžte, že trojúhelík o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7] je prvoúhlý. pro délky str musí pltit Pythgorov vět 5) Dokžte, že trojúhelík o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ] je prvoúhlý. pro délky str musí pltit Pythgorov vět 6) N ose z určete bod R, který má od bodů K=[; -; -5] třikrát větší vzdáleost ež od bodu L=[; ; ]. R =[0; 0; ], R =[0; 0; /] 7) N ose z určete bod R, který je stejě vzdále od bodů P=[-; ; 7], Q=[; 5; -]. R=[0; 0; /9] 8) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t. S BC =[; -], AS BC = 5 9) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t b. S AC =[0; 0], BS AC = 5 0) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7]. S = / 0 0 = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ]. S = / 5 0 = 5

17 7/65 Vektory v roviě v prostoru. Délk těžice v trojúhelíku, obsh prvoúhlého trojúhelík ) V trojúhelíku A=[; -], B=[7; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t. S BC =[-; -], AS BC = 50 5) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t b. S AC =[-; ], BS AC = 0 6) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t c. S AB =[-5; ], CS AB = 50 7) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t. S BC =[; -], AS BC = 5 8) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t b. S AC =[0; 0], BS AC = 5 9) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 0) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7]. S = / 0 0 = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ]. S = / 5 0 = 5. Vektory v roviě z dých bodů, vektory kolmé ) Jsou dáy body A=[; ], B=[; ], C=[; 0], D=[-; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: r CA s DC v BC w AC r CA (-; ), s DC (; -), v BC (-; -), w AC (; -) ) Jsou dáy body T=[; 0], U=[-; ], V=[; ], W=[; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: TU b VT c TW d WT TU (-; ), b VT (0; -), c TW (; ), d WT (-; -) ) Jsou dáy body E=[-; ], F=[0; ], G=[; ], H=[; -]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: u GF v HF w EG s GH

18 8/65 u GF (-; ), v HF (-; 5), w EG (; 0), s GH (; -) ) Jsou dáy body P=[-; 0], Q=[; ], R=[; ], T=[; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: RT b PQ u QP s PR RT (-; ), b PQ (; ), u QP (-; -), s PR (6; ). Sklárí souči vektorů - kolmost ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. u = (; ), v = (-; ) u = (; -5), v = (-5; -) u = (; 0; ), v = (; ; ) u = (-; -; -), v = (-; -; -) VH: -; 0; 6; ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. = (-; -), b = (-; -) = (; ), b = (-; -) = (; -; ), b = (-; ; ) = (; ; ), b = (; 6; -) VH: ; -0; -; 0 ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. s = (; ), = (-; ) s = (; -), = (-; -) s = (; 5; 9), = (-5; ; 0) s = (-; -; ), = (; -; -) VH: -; 0; 0; 0 ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. v = (-; -), w = (; -) v = (; 5), w = (-; ) v = (; 5; ), w = (0; -; 0) v = (-; ; ), w = (; ; -) VH: 0; 7; -5; 0. Úhel vektorů v roviě ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: = (-; -), b = (-; -),7 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů:

19 9/65 s = (; ), = (-; ) 98, ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5), w = (-; ) 67,6 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; ), v = (-; ) 9,7 5. Úhel vektorů v prostoru ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: = (; -; ), b = (-; ; ) 0,5 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (-; -; -), v = (-; -; -) 8, ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5; ), w = (0; -; 0) 55,9 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; 0; ), v = (; ; ) 59,5 6. Úhel v trojúhelíku 5) Vypočítejte velikost úhlu v trojúhelíku A=[-; -5], B=[-7; 5], C=[-; ]. = (-; -), b = (-; -),7 6) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: s = (; ), = (-; ) 98, 7) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5), w = (-; ) 67,6 8) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; ), v = (-; ) 9,7 7. Vektory v prostoru z dých bodů, ásobeí vektoru číslem ) Jsou dáy body K= [-; ; 0], L= [; ; ]. Určete: ) souřdice vektorů u LK b) souřdice vektorů v KL c) délku úsečky KL d) střed úsečky KL VH: u LK (6; -; ), v LK (-6; ; -), KL = 56, S KL = [; ; ] ) Jsou dáy body A=[-; ; ], B=[; 0; ]. Určete:

20 0/65 ) souřdice vektorů s AB b) souřdice vektorů u BA c) délku úsečky AB d) střed úsečky AB VH: s AB (; -; ), u BA (-; ; -), AB =, S AB = [-; ; ] ) Jsou dáy body P=[; -; 5], Q=[6; 0; -]. Určete: e) souřdice vektorů PQ f) souřdice vektorů b QP g) délku úsečky PQ h) střed úsečky PQ PQ (; ; -6), b QP (-; -; 6), PQ =, S PQ = [5; -; ] ) Jsou dáy body D=[; 6; -5], E=[; 0; -]. Určete: i) souřdice vektorů DE j) souřdice vektorů w ED k) délku úsečky ED l) střed úsečky ED DE (; -6; ), w ED (-; 6; -) ), ED = 56, S PQ = [; ; -]

21 /65 Rovice přímky v roviě. Prmetrická rce přímky stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = - - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = + t, y = - - t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = + t, y = - t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - t, y = - t. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = 5 + t, y = + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = 5 + t, y = + t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. Speciál c: = - + 0t, y = - - t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = + t, y = 5 + 5t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = + t, y = 5 + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - + t, y = - t.. Prmetrická rce přímky t c - ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [, ], t b : = + t, y = + 5t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t. S BC = [, -], t : = + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c.

22 /65 S AB = [-, -], t c : = 5 + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, ], t c : = - - t, y = + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [-, 5], t b : = - + t, y = + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovic přímky íž leží těžice t. Speciál S BC = [-, ], t : = + t, y =. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [, -], t c : = + t, y = - - t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [5, -], t b : = + t, y = - + t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou obecou rovici přímky íž leží těžice t. Speciál S BC = [, -], t : =, y = + t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t. S BC = [, 0], t : = - - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [0, ], t b : = - + t, y = t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, -], t c : = + 5t, y = 5 + 7t.. Prmetrická rce přímky v c - ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = -5 + t, y = 6 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = + t, y = - + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = - t, y = + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = 6 - t, y = -5 + t.

23 /65 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = - + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. Speciál v : = - + t, y = 0 - t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. Speciál v c : = 5 + t, y = + 0t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = - + 5t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = -5 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = + t, y = 5 + t.. Prmetrická rce osy stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AC = [-, 5], o b : = + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S BC = [, -], o : = + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S AB = [-, -], o c : = - + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AB = [-, ], o b : = - + t, y = + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S AC = [-, 5], o : = - - t, y = 5 + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S BC = [-, ], o c : = - - t, y = + t. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AB = [, -], o b : = + t, y = - + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S AC = [5, -], o : = 5 + t, y = - - t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S BC = [, -], Speciál o c : = + t, y = - + 0t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC.

24 /65 S BC = [, 0], o : = + 5t, y = 0 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AC = [0, ], o b : = 0 + t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S AB = [-, -], o c : = - + t, y = - - t. 5. Obecá rce přímky stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky BC. : + y + = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky AC. b: + y - = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky AB. c: - y + 7 = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky BC. : + y + = 0. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky AC. b: + y - = 0. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky AB. c: - y + 7 = 0. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky BC. : 5 - y - 5 = 0. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky AC. b: - y + 9 = 0. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky AB. c: y + 8 = Obecá rce přímky t bc. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, ], t c : + y - 9 = 0 ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [-, 5], t b : - y + = 0 ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [, -], t c : + y - 9 = 0

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu

Více

KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU

KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK 7. červa 03 Název zpracovaého celku: KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY Motivačí příklad

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / 7 KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způso řešeí ) Komitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3 Cvičení.ročník rovnice, nerovnice, výrzy, funkce ) Vypočítejte: ) [0 (8. 0 7. 0 )] b) [ ( ). ( ) ( 7)]: ( ) c) (9 ): ( ) + [ 8 (0 )] d)[. ( 9 + 7) ( ). ( )]. e). 9. 9 f). 7 + 9 ) Vyjádřete jko jedinou

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet Mtemtický KLOKN 2005 ktegorie Kdet Úlohy z 3 body 1. N obrázku vidíš osm kloknů. Kždý klokn může přeskočit n libovolné prázdné pole. Určete nejmenší počet kloknů, kteří musí změnit místo, by v kždém řádku

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN)

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha Osova předášky 1. Vysvětleí pojmu Aritmetické poslouposti vyšších řádů (APVŘ). APVŘ a ižším gymáziu 3. APVŘ a vyšším gymáziu

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více