Aritmetická posloupnost

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aritmetická posloupnost"

Transkript

1 /65

2 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis AP - součet AP - prvoúhlý trojúhelík Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost Soustv rovic I Soustv rovic II Součet geometrické poslouposti I Součet geometrické poslouposti II Součet ekoečé řdy Užití geometrické poslouposti... Souřdice bodů v roviě v prostoru.... Vzdáleost bodů v roviě.... Vzdáleost bodů v prostoru.... Střed úsečky v roviě.... Střed úsečky v prostoru Určeí souřdice bodu v roviě pro dou vzdáleost Určeí bodu úsečky pro dý střed Užití vzdáleosti středu úsečky... 6 Vektory v roviě v prostoru Délk těžice v trojúhelíku, obsh prvoúhlého trojúhelík Vektory v roviě z dých bodů, vektory kolmé Sklárí souči vektorů - kolmost Úhel vektorů v roviě Úhel vektorů v prostoru Úhel v trojúhelíku Vektory v prostoru z dých bodů, ásobeí vektoru číslem... 9 Rovice přímky v roviě.... Prmetrická rce přímky stry trojúhelík.... Prmetrická rce přímky t c Prmetrická rce přímky v c Prmetrická rce osy stry trojúhelík Obecá rce přímky stry trojúhelík Obecá rce přímky t bc Obecá rce přímky v bc Obecá rce osy stry trojúhelík Prmetrická rce rovoběžky se strou trojúhelík Obecá rce rovoběžky se strou trojúhelík Prmetrická obecá rce přímky t c Prmetrická rce přímky dé bodem směrem Prmetrická rce přímky dé bodem ormálou Prmetrická rce přímky dé dvěm body Obecá rce přímky dé bodem ormálou Obecá rce přímky dé bodem směrem Obecá rce přímky dé dvěm body Úhel vektorů... 9 Vzájemá poloh dvou přímek v roviě Růzoběžé - obecá obecá přímk Růzoběžé - prmetrická obecá přímk Rovoběžé - prmetrická obecá Totožé - prmetrická obecá...

3 /65. Totožé - prmetrická prmetrická... Těžiště, střed kružice opsé, vzdáleost bodu od přímky.... Těžiště trojúhelík Střed kružice opsé Vzdáleost bodu od přímky... 5 Obsh trojúhelík Obsh trojúhelík... 6 Výrzy s fktoriálem Úprvy čísel Kráceí zlomků Sčítáí zlomků Úprvy kombičích čísel Důkzy... Rovice s fktoriálem.... Rovice s fktoriálem.... Rovice s kombičími čísly.... Rovice s vytýkáím.... Růzé... Permutce, vrice, kombice Vrice bez opkováí Vljk Permutce Vrice s opkováím Vrice bez, s opkováím - čísl s ulou či podmíkou Dělitelost Kombice Kombice bodů Permutce s opkováím Kombice s opkováím Růzé... 5 Biomická vět (5) Obecá biomická vět Zákldí biomický rozvoj I Zákldí biomický rozvoj II Užití biomické věty I Užití biomické věty II Určeí biomického čleu Určeí biomického koeficietu... 5 Klsická prvděpodobost Mice ebo děti Prvděpodobost výběru ze skupiy Prvděpodobost výběru ze skupiy se součiem Kostk kostičky Prvděpodobost výběru dvojciferého čísl Prvděpodobost výběru čísl Hod dvěm kostkmi Hod třemi kostkmi Růzé... 6 Podmíěá prvděpodobost () Prvděpodobost doplňkového jevu - vrice Prvděpodobost doplňkového jevu - kombice Násobeí prvděpodobostí Násobeí prvděpodobostí Sčítáí prvděpodobostí - vrice Sčítáí prvděpodobostí - kombice Růzé... 6 Mgr. Václv Horský, 006

4 /65 Aritmetická posloupost. Soustv rovic, součet ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 VH:, d, S0 5 ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH: 0, d, S0 90 ) Určete součet dvácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 5, d, S VH: 96 ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S0 5 5) Určete součet osmi čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S8 6) Určete součet dvácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S 0 7) Určete součet jedeácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: , d, S VH: 8) Určete součet třiácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: VH:, d, S 60 9) V ritmetické poslouposti určete osmý čle, je-li dáo: 7 88 VŠE:, d, 8 0) V ritmetické poslouposti určete jedeáctý čle, je-li dáo: VŠE:, d, 9 ) V ritmetické poslouposti určete desátý čle, je-li dáo: VŠE:, d, 0 ) V ritmetické poslouposti určete devátý čle, je-li dáo: 7 9 VŠE:, d, 9 5

5 5/65 ) V ritmetické poslouposti určete S 8, je-li dáo: 8 d 5 5 Rdl: 7 5, d 5, S8 5 ) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: d 6 d, 69 Rdl:, S 5) V ritmetické poslouposti určete S 9, je-li dáo: d 9 87 Rdl: 5, d, S9 6) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: d 8 7 Rdl: 9, d 8, S 7) V ritmetické poslouposti určete S 5, je-li dáo: 7 8 5, d 5, S5 Rdl: 570 8) V ritmetické poslouposti určete S 7, je-li dáo: , d 7, S7 Rdl: 57 9) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: 0 0, d 6, S Rdl: 76 0) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: 5 0, d, S Rdl: 57 ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: Rdl:, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: Rdl: 7, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 9 9 Rdl:, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 5 7 Rdl: 8, d. AP - předpis ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5:

6 6/65 75 Rdl: 7, d, S5 ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 5 Rdl: d, S 80 5, 5 5 ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Rdl: eí ritmetick á ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 5 5, 5 5 Rdl: d, S 0 5) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 65 Rdl:, d, S5 6) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM:, d, S 875 str.89/.-) 5 7) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-b) 8) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-c) 9) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-d). AP - součet ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 65 Sb-MM: 0 0, 0, str.89/.-b) ) Určete, je-li dáo:

7 7/65, d, S 0 VH: 0 0,, 0 ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 56 VH: 56 0,, ) Určete, je-li dáo:, d, S 5 VH: 90 0, 0, 9 5) Určete, d, je-li dáo:,, S 87 Sb-MM:, d str.89/.-) 6) Určete, je-li dáo:, d, S 0 0 0, 0, VH: 7) Určete, je-li dáo:, d, S 7 0,, VH: 8) Určete, je-li dáo:, d, S ,, VH: 9 9) Určete, je-li dáo:, d, S 7 6 0,, VH: 9 0) Určete, je-li dáo:, d, S VH: 0,, ) Určete, je-li dáo:, d, S 8 8 0, 8, UO: 6 ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 56 VH: 8 0,, 7. AP - prvoúhlý trojúhelík ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je m. Určete délky zbývjících str. Rdl: 9m, m, 5m ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je dm. Určete délky zbývjících str. Sb-MM: 8dm, dm, 0dm str.89/.5 ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Nejkrtší str je cm. Určete délky zbývjících str.

8 8/65 VH: cm, 6cm, 0cm ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Přepo má délku 0 mm. Určete délky zbývjících str. VH: 6mm, 8mm, 0mm 5) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Přepo má délku 5 cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, 8cm, 5cm 6) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Nejkrtší str je cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, cm, 5cm 7) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je 6 cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, 6cm, 0cm 8) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Krtší odvěs je 6 cm. Určete délky zbývjících str. Rdl: 6cm, 8cm, 0cm 9) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Rozdíl délek odvěse je 5 cm.. Určete délky zbývjících str. Rdl: 5cm, 0cm, 5cm. Součet čísel v itervlu ) Určete součet všech sudých přirozeých čísel meších ež 50. Rdl: 7, S ) Určete součet všech lichých přirozeých čísel meších ež 50. Rdl: 75, S ) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel. Rdl: 90, S ) Určete součet všech přirozeých trojciferých čísel. Rdl: 900, S ) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel, dělitelých pěti. Rdl: 8, S ) V ritmetické poslouposti,,..., 7 je, d Vypočtěte: S 7, S7, Rdl: 7) Vypočtěte, když i je imgiárí jedotk: 6 i i i i... i 080 Rdl: S 6 080, i 8) Určete součet ritmetické poslouposti Nydl: S ) Určete součet ritmetické poslouposti Nydl: S ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu 5 ;

9 9/65 VH: 0; S 0 80 ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: =, S = 8 7 ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: = 0, S 0 = 8 90 ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: =, S = 8 77 ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu ; VH: = 5, S 5 = ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu ; VH: = 6, S 6 = 9 96

10 0/65 Geometrická posloupost. Soustv rovic I. ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 8 5 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 8, 5 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 96 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 8 6 VH:, q 5) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, VH:, q 6) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, Sb-MM:, q str.89/.7-) 7) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 6 q, Sb-MM: 6, q str.89/.7-b) 8) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, Sb-MM:, q str.89/.7-d). Soustv rovic II. ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 5, 60 Sb-MM: 5, q str.89/.7-e) ) Určete součet devíti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 7, q, S9 VH: 7 ) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, , q, S5 VH: 9 ) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 5, 6 5, q, S5 VH: 5) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:

11 /65 8, VH:, q, S5 6) Určete součet deseti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6, q, S0 VH: 7) Určete součet sedmi čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 7 6 8, 6 VH:, q, S7 5 8) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 6,, q, S5 VH:. Součet geometrické poslouposti I. ) V geometrické poslouposti je, q 5. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S. VŠE: ) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 55. VŠE: 5 ) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 6. VŠE: ) V geometrické poslouposti je 5, q 6. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 5. VŠE: 5) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S. VŠE: 6 5. Součet geometrické poslouposti II. ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 8 VH: ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 5 5 VH: 7 ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S

12 /65 9 VH: 7 5) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 8 6) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 6 7) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 5 VH: 5 7 8) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: Součet ekoečé řdy ) Určete součet ekoečé řdy: UO: 6, q, S ) Určete součet ekoečé řdy: 0 0, 0,0 0,00... VH: 0, q 0, S 9 ) Určete součet ekoečé řdy: , q 0, 00 VH: 00 S 9 ) Určete součet ekoečé řdy: VH: 0, q, S 5 5) Určete součet ekoečé řdy: VH: 0, q, S 0 6) Vypočtěte:... Rdl:, q, S 7) Vypočtěte:... Rdl:, q, S 8) Vypočtěte: 8 log log log log... Rdl: log, q, S log 9) Vypočtěte:

13 /65 Rdl: 5, q, S 0 0) Vypočtěte: Rdl:, q, S 0 7. Užití geometrické poslouposti ) Kolik si půjčil kliet od bky, jestliže po letech dluží částku 097 8,- Kč při % úroku? = ,- Kč ) Město má obyvtel předpokládý ročí přírůstek, %. Kolik obyvtel lze očekávt z 0 let? = 8 69 ) Částk ,- Kč je vlože účet s %-ím ročím úročeím. Jká částk bude účtu z 0 let? = 7 0,- Kč ) Automobil ztrácí kždý rok 5 % své hodoty. Jká bude hodot utomobilu po letech, jestliže jeho původí ce čií ,- Kč? = 0,- Kč 5) Stroj ztrácí kždý rok 0 % své hodoty. Jká byl jeho ákupí ce, jestliže po -ti letech má hodotu 0 68 Kč,-? = 0 00,- Kč 6) Jká bude po 7 letech výše vkldu ,- Kč účtu se složeým ročím úročeím %? 8 = 68 96,- Kč 7) Jká byl výše vkldu, jestliže po 6-ti letech je účtě 569 9,- Kč, při ročím úročeí %? = ,- Kč 8) Porodost v České republice klesá průměrě o,5 % ročě. V roce 998 se rodilo 8 8 dětí. Jký bude předpokládý počet rozeých dětí v roce 00? = 00 9) V bce si půjčíte ,- Kč s úrokem %. Kolik bude váš dluh po 5-ti letech? 6 = 88 7,- Kč

14 /65 Souřdice bodů v roviě v prostoru. Vzdáleost bodů v roviě ) Vypočítejte vzdáleost bodů C=[; ] D=[; -]. CD = 7 ) Vypočítejte vzdáleost bodů R=[-; 5] S=[; ]. RS = 6 ) Vypočítejte vzdáleost bodů X=[-; -] Y=[-; ]. XY = 9 ) Vypočítejte vzdáleost bodů B=[-; ] D=[5; -]. BD = 65 5) Vypočítejte vzdáleost bodů P=[7; ] Q=[-5; -]. PQ = 6) Vypočítejte vzdáleost bodů K=[5; 7] L=[; ]. KL = 5 7) Vypočítejte vzdáleost bodů U=[; ] V=[; -]. UV = 5 8) Vypočítejte vzdáleost bodů M=[; -] N=[; -]. MN = 0. Vzdáleost bodů v prostoru ) Vypočítejte vzdáleost bodů A=[-; ; 6] B=[-; -; ]. AB = 7 ) Vypočítejte vzdáleost bodů X=[; ; 0] Y=[; 5; ]. XY = ) Vypočítejte vzdáleost bodů B=[; ; -] D=[-; ; ]. BD = ) Vypočítejte vzdáleost bodů U=[-; -; 5] V=[-5; -; ]. UV = 5) Vypočítejte vzdáleost bodů K=[; ; -5] L=[; ; -]. KL = 6) Vypočítejte vzdáleost bodů C=[; ; ] D=[; ; ]. CD = 7) Vypočítejte vzdáleost bodů R=[5; -; -] S=[; 0; ]. RS = 7 8) Vypočítejte vzdáleost bodů P=[-; -; -5] Q=[; ; -]. PQ = 0. Střed úsečky v roviě ) Jsou dáy body A=[; ] B=[8; 5]. Vypočítejte souřdice středu úsečky AB. S AB =[5; ] ) Jsou dáy body U=[; -] V=[; 5]. Vypočítejte souřdice středu úsečky UV. S UV =[; ] ) Jsou dáy body C=[; -] D=[5; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky CD. S CD =[; ]

15 5/65 ) Jsou dáy body M=[-; ] N=[5; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky MN. S MN =[; ] 5) Jsou dáy body K=[-; -] L=[; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky KL. S KL =[-/; -] 6) Jsou dáy body X=[0; 5] Y=[-; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky XY. S XY =[-/; ] 7) Jsou dáy body P=[; -] Q=[; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky PQ. S PQ =[5/; 0]. Střed úsečky v prostoru ) Jsou dáy body A=[; -; ] B=[0; 5; -9]. Vypočítejte souřdice středu úsečky AB. S AB =[; ; -] ) Jsou dáy body U=[; 0; 5] V=[-; ; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky UV. S UV =[; ; -] ) Jsou dáy body K=[; 5; ] L=[0; -; -9]. Vypočítejte souřdice středu úsečky KL. S KL =[; ; -] ) Jsou dáy body C=[; -; ] D=[; 5; 7]. Vypočítejte souřdice středu úsečky CD. S CD =[; ; 5] 5) Jsou dáy body X=[-8; ; ] Y=[; 5; 0]. Vypočítejte souřdice středu úsečky XY. S XY =[-; ; ] 6) Jsou dáy body P=[0; -7; ] Q=[-8; 5; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky PQ. S PQ =[-; -; 0] 5. Určeí souřdice bodu v roviě pro dou vzdáleost ) Jsou dáy body A=[; ], B=[-; ]. Určete číslo tk, by AB = 5. =, = ) Jsou dáy body R=[; ], S=[; ]. Určete číslo tk, by RS = 8. =, = 5 ) Jsou dáy body Q=[; -], P=[; -]. Určete číslo tk, by QP = 0. = -, = 5 ) Jsou dáy body E=[-; ], F=[; ]. Určete číslo tk, by EF = 5. =, = - 5) Jsou dáy body A=[-; ], B=[; ]. Určete číslo tk, by AB =. NŘ 6) Jsou dáy body X=[; ], Y=[; ]. Určete číslo tk, by XY =., = 7) Jsou dáy body A=[-; ], C=[; -]. Určete číslo tk, by AC = 7. NŘ 8) Jsou dáy body U=[; -], V=[; -]. Určete číslo tk, by UV =. = 0, = 9) Jsou dáy body G=[7; ], H=[-5; ]. Určete číslo tk, by GH =. = -, = 6 0) Jsou dáy body T=[; -], U=[-; ]. Určete číslo tk, by TU =6., = - 6. Určeí bodu úsečky pro dý střed ) Jsou dáy bodu A=[; -; ] S=[; ; 0]. Určete bod B tk, by bod S byl střed úsečky AB.

16 6/65 B=[; ; -] ) Jsou dáy bodu K=[; ; ] S=[-; 0; ]. Určete bod L tk, by bod S byl střed úsečky KL. L=[-; -; -] ) Jsou dáy bodu U=[-; -6; -5] S=[-; -; -]. Určete bod V tk, by bod S byl střed úsečky UV. V=[; 0; ] ) Jsou dáy bodu P=[; -; ] S=[; ; 0]. Určete bod Q tk, by bod S byl střed úsečky PQ. Q=[; 6; -] 5) Jsou dáy bodu C=[-; ; -] S=[-; ; ]. Určete bod D tk, by bod S byl střed úsečky CD. D=[-; 5; ] 6) Jsou dáy bodu R=[-; ; 7] S=[-/; ; 5/]. Určete bod T tk, by bod S byl střed úsečky RT. T=[; 5; -] 7) Jsou dáy bodu M=[; ; -] S=[; ; -]. Určete bod N tk, by bod S byl střed úsečky MN. N=[-; 5; -] 7. Užití vzdáleosti středu úsečky ) N ose určete bod P, který má od bodů A=[8; -5; 0] B=[; -; ] stejou vzdáleost. P=[7; 0; 0] ) V trojúhelíku A=[; -], B=[7; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) Vypočtěte obvod trojúhelíku ABC o vrcholech A=[-; ], B=[0; -], C=[; ]. o = 0 +5 ) Dokžte, že trojúhelík o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7] je prvoúhlý. pro délky str musí pltit Pythgorov vět 5) Dokžte, že trojúhelík o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ] je prvoúhlý. pro délky str musí pltit Pythgorov vět 6) N ose z určete bod R, který má od bodů K=[; -; -5] třikrát větší vzdáleost ež od bodu L=[; ; ]. R =[0; 0; ], R =[0; 0; /] 7) N ose z určete bod R, který je stejě vzdále od bodů P=[-; ; 7], Q=[; 5; -]. R=[0; 0; /9] 8) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t. S BC =[; -], AS BC = 5 9) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t b. S AC =[0; 0], BS AC = 5 0) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7]. S = / 0 0 = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ]. S = / 5 0 = 5

17 7/65 Vektory v roviě v prostoru. Délk těžice v trojúhelíku, obsh prvoúhlého trojúhelík ) V trojúhelíku A=[; -], B=[7; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t. S BC =[-; -], AS BC = 50 5) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t b. S AC =[-; ], BS AC = 0 6) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t c. S AB =[-5; ], CS AB = 50 7) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t. S BC =[; -], AS BC = 5 8) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t b. S AC =[0; 0], BS AC = 5 9) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 0) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7]. S = / 0 0 = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ]. S = / 5 0 = 5. Vektory v roviě z dých bodů, vektory kolmé ) Jsou dáy body A=[; ], B=[; ], C=[; 0], D=[-; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: r CA s DC v BC w AC r CA (-; ), s DC (; -), v BC (-; -), w AC (; -) ) Jsou dáy body T=[; 0], U=[-; ], V=[; ], W=[; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: TU b VT c TW d WT TU (-; ), b VT (0; -), c TW (; ), d WT (-; -) ) Jsou dáy body E=[-; ], F=[0; ], G=[; ], H=[; -]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: u GF v HF w EG s GH

18 8/65 u GF (-; ), v HF (-; 5), w EG (; 0), s GH (; -) ) Jsou dáy body P=[-; 0], Q=[; ], R=[; ], T=[; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: RT b PQ u QP s PR RT (-; ), b PQ (; ), u QP (-; -), s PR (6; ). Sklárí souči vektorů - kolmost ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. u = (; ), v = (-; ) u = (; -5), v = (-5; -) u = (; 0; ), v = (; ; ) u = (-; -; -), v = (-; -; -) VH: -; 0; 6; ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. = (-; -), b = (-; -) = (; ), b = (-; -) = (; -; ), b = (-; ; ) = (; ; ), b = (; 6; -) VH: ; -0; -; 0 ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. s = (; ), = (-; ) s = (; -), = (-; -) s = (; 5; 9), = (-5; ; 0) s = (-; -; ), = (; -; -) VH: -; 0; 0; 0 ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. v = (-; -), w = (; -) v = (; 5), w = (-; ) v = (; 5; ), w = (0; -; 0) v = (-; ; ), w = (; ; -) VH: 0; 7; -5; 0. Úhel vektorů v roviě ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: = (-; -), b = (-; -),7 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů:

19 9/65 s = (; ), = (-; ) 98, ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5), w = (-; ) 67,6 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; ), v = (-; ) 9,7 5. Úhel vektorů v prostoru ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: = (; -; ), b = (-; ; ) 0,5 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (-; -; -), v = (-; -; -) 8, ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5; ), w = (0; -; 0) 55,9 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; 0; ), v = (; ; ) 59,5 6. Úhel v trojúhelíku 5) Vypočítejte velikost úhlu v trojúhelíku A=[-; -5], B=[-7; 5], C=[-; ]. = (-; -), b = (-; -),7 6) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: s = (; ), = (-; ) 98, 7) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5), w = (-; ) 67,6 8) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; ), v = (-; ) 9,7 7. Vektory v prostoru z dých bodů, ásobeí vektoru číslem ) Jsou dáy body K= [-; ; 0], L= [; ; ]. Určete: ) souřdice vektorů u LK b) souřdice vektorů v KL c) délku úsečky KL d) střed úsečky KL VH: u LK (6; -; ), v LK (-6; ; -), KL = 56, S KL = [; ; ] ) Jsou dáy body A=[-; ; ], B=[; 0; ]. Určete:

20 0/65 ) souřdice vektorů s AB b) souřdice vektorů u BA c) délku úsečky AB d) střed úsečky AB VH: s AB (; -; ), u BA (-; ; -), AB =, S AB = [-; ; ] ) Jsou dáy body P=[; -; 5], Q=[6; 0; -]. Určete: e) souřdice vektorů PQ f) souřdice vektorů b QP g) délku úsečky PQ h) střed úsečky PQ PQ (; ; -6), b QP (-; -; 6), PQ =, S PQ = [5; -; ] ) Jsou dáy body D=[; 6; -5], E=[; 0; -]. Určete: i) souřdice vektorů DE j) souřdice vektorů w ED k) délku úsečky ED l) střed úsečky ED DE (; -6; ), w ED (-; 6; -) ), ED = 56, S PQ = [; ; -]

21 /65 Rovice přímky v roviě. Prmetrická rce přímky stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = - - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = + t, y = - - t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = + t, y = - t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - t, y = - t. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = 5 + t, y = + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = 5 + t, y = + t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. Speciál c: = - + 0t, y = - - t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = + t, y = 5 + 5t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = + t, y = 5 + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - + t, y = - t.. Prmetrická rce přímky t c - ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [, ], t b : = + t, y = + 5t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t. S BC = [, -], t : = + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c.

22 /65 S AB = [-, -], t c : = 5 + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, ], t c : = - - t, y = + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [-, 5], t b : = - + t, y = + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovic přímky íž leží těžice t. Speciál S BC = [-, ], t : = + t, y =. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [, -], t c : = + t, y = - - t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [5, -], t b : = + t, y = - + t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou obecou rovici přímky íž leží těžice t. Speciál S BC = [, -], t : =, y = + t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t. S BC = [, 0], t : = - - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [0, ], t b : = - + t, y = t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, -], t c : = + 5t, y = 5 + 7t.. Prmetrická rce přímky v c - ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = -5 + t, y = 6 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = + t, y = - + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = - t, y = + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = 6 - t, y = -5 + t.

23 /65 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = - + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. Speciál v : = - + t, y = 0 - t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. Speciál v c : = 5 + t, y = + 0t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = - + 5t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = -5 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = + t, y = 5 + t.. Prmetrická rce osy stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AC = [-, 5], o b : = + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S BC = [, -], o : = + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S AB = [-, -], o c : = - + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AB = [-, ], o b : = - + t, y = + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S AC = [-, 5], o : = - - t, y = 5 + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S BC = [-, ], o c : = - - t, y = + t. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AB = [, -], o b : = + t, y = - + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S AC = [5, -], o : = 5 + t, y = - - t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S BC = [, -], Speciál o c : = + t, y = - + 0t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC.

24 /65 S BC = [, 0], o : = + 5t, y = 0 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AC = [0, ], o b : = 0 + t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S AB = [-, -], o c : = - + t, y = - - t. 5. Obecá rce přímky stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky BC. : + y + = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky AC. b: + y - = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky AB. c: - y + 7 = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky BC. : + y + = 0. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky AC. b: + y - = 0. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky AB. c: - y + 7 = 0. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky BC. : 5 - y - 5 = 0. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky AC. b: - y + 9 = 0. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky AB. c: y + 8 = Obecá rce přímky t bc. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, ], t c : + y - 9 = 0 ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [-, 5], t b : - y + = 0 ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [, -], t c : + y - 9 = 0

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / 7 KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způso řešeí ) Komitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN)

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ (1) Trezor má 6 otočných zámků s číslicemi 0 9. O kódu víme pouze to, že v něm žádná z číslic není dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? Analogicky odvoďte obecné řešení.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Kolik os souměrnosti má kruh?

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C

Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C Úloha 1. Čitatel i jmenovatel Kennyho zlomku jsou přirozená čísla se součtem 2011. Hodnota zlomku jepřitommenšínež 1 3.Jakánejvětšímůžetatohodnotabýt? Úloha 2. Obdélník Dprotínákružnicivbodech E, F, G,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. . Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. Vyjádřete zlomkem, jakou část druhého obdélníku tvoří zatmavená plocha..

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_17 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

2.5.10 Přímá úměrnost

2.5.10 Přímá úměrnost 2.5.10 Přímá úměrost Předpoklady: 020508 Př. 1: 1 kwh hodia elektrické eergie stojí typicky 4,50 Kč. Doplň do tabulky kolik Kč stojí růzá možství objedaé elektrické eergie. Zkus v tabulce ajít zajímavé

Více

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků). Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ NOVÁ MATURITNÍ ZKOUŠKA Ilustrační test 008 Vyšší úroveň obtížnosti MAVCZMZ08DT MATEMATIKA VYŠŠÍ ÚROVEŇ DIDAKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 10 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. MATEMATIKA MPZD1C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 1 Maximální bodové hodnocení: 0 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 0 minut.

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

A 2.C. Datum: 13.5.2010

A 2.C. Datum: 13.5.2010 Jméno: Řešení Datum: 13.5.2010 A 2.C 1) Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže: a) Na pořadí vozidel nejsou

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více