16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

Transkript

1 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice Biomická vět Úlohy:. Kolik přirozeých čísel větších ež 00 lze vytvořit z cifer,,, 4 (bez opkováí, s opkováím). ( 6;88). Z míst A do míst B vedou 4 turistické cesty, z míst B do míst C vedou cesty. Určete, kolik způsoby lze vybrt trsu z míst A do míst C zpět tk, že: ) bez omezeí (44) b) z těchto sedmi cest eí žádá použit dvkrát (7) c) z těchto sedmi cest je právě jed použit dvkrát (60) d) z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvkrát (). Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu eí ul ze zbývjících devíti číslic se v ěm kždá vyskytuje ejvýše jedou. Kolik z těchto čísel je větších ež 9000? Kolik je meších ež 000? (6, 67) 4. K sestveí vljky, která má být slože ze tří růzobrevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky brvy bílé, červeé, modré, zeleé žluté. Určete počet vljek: ) které lze z těchto látek sestvit (60) b) kolik z ich má modrý pruh (6) c) kolik z ich má modrý pruh uprostřed () d) kolik z ich emá červeý pruh uprostřed. (48) 5. O telefoím čísle spolužák si Všek zpmtovl je to, že je šestimísté, zčíá sedmičkou, eobshuje žádé dvě stejé číslice je dělitelé pětdvceti. Určete, kolik telefoích čísel přichází v úvhu. (4) 6. S připomíkmi k vrhovému zákou chce v prlmetu vystoupit šest poslců A, B, C, D, E, F. Určete počet: ) všech možých pořdí jejich vystoupeí (70) b) všech pořdí,kdy vystupuje A po E (60) c) všech pořdí,kdy vystupuje A ihed po E (0) 7. Kolik způsoby může 50 táboríků při ástupu rí rozcvičku stoupit: ) do řdy (50!) b) do řdy, kdy je táborík A krji (.49!) c) do řdy, v íž ejsou táboríci A, B vedle sebe (48.49!) d) do kruhu, v ěmž záleží pořdí. (49!) 8. Kolik přirozeých čísel lze vytvořit z cifer 0,,,, 5 větších ež 5 (bez opkováí). ( 5) 9. Jsou dáy cifry,,, 4, 5. Kolik lze sestvit čtyřciferých čísel (přirozeých, s opkováím), dělitelých pěti, (dvěm, čtyřmi). ( 5;50;5 )

2 0. Kolik přirozeých čísel meších ež 5000 lze vytvořit z cifer 0,, 4, 5 bez opkováí. ( 4). Kolik způsoby se v šestimísté lvici může posdit šest hochů, jestliže: ) dv chtějí sedět vedle sebe (40) b) dv chtějí sedět vedle sebe třetí chce sedět krji. (96). Zjedodušte: ( ). Řešte rovici:! ( ) ( ) ( )!! ( )! ( )!!!!!!! ( ) ( )! ( )!! 4. Dokžte, že pltí:!.!.!....! ( )! 4 ( ).( ) ( ) 5. Řešte: log ( 6 )! log( 5 )! log ( ) 6. Z kolik prvků lze vytvořit 5040 vricí čtvrté třídy bez opkováí. ( 0) 7. V roviě je dáo bodů p z ich leží jedé přímce. Kolik je těmito body určeo: ) přímek b) trojúhelíků p c) kružic p p 8. Ze šesti mužů čtyř že se má vybrt sedmičleá skupi: ) kolik způsoby je to možé ( 0) b) kolik způsoby je to možé, mjí-li tm být právě dvě žey ( 6) c) vypočtěte v % prvděpodobost, že v áhodě vybré sedmičleé skupiě budou spoň tři žey..00% 9. V prostoru je dáo 5 bodů. Kolik určují : ) rovi, jestliže žádé 4 eleží v jedé roviě (455) b) rovi, jestliže 8 z ich leží v jedé roviě. (400) 0. Je dá krychle ABCDEFGH. N kždé hrě je dáo 8 vitřích bodů. Určete počet: ) trojúhelíků, jejichž vrcholy leží v dých bodech (408) b) trojúhelíků, jejichž vrcholy leží v dých bodech trojúhelíky leží povrchu krychle. (846). V krbici je 0 výrobků, z ichž právě jsou vdé. Kolik způsoby lze vybrt 5 výrobků tk, by: ) žádý ebyl vdý () b) právě byl vdý (05) c) ejvýše byl vdý (6) d) právě byly vdé (05)

3 e) ejvýše byly vdé () f) spoň byly vdé (6). Kolik způsoby, je možo ze dvceti osob vybrt deset, poždujeme-li, by mezi vybrými: 9 ) ebyl p A b) ebyli součsě A B c) byl spoň jede z A B Je dá čtvercová síť 54 v obdélíku ABCD tk, že AB 5 dílků. Kolik cest vede z A do C, jestliže mohu jít je vprvo horu? Kolik těchto cest vede bodem Q[;]? ( 6;60) 6. Test zkoušky se skládá z 5 otázek. Budou tm dvě otázky z dějepisu, (připrveo je 0), dvě ze zeměpisu (připrveo je 5), jed otázk z občské výchovy (připrveo je 0). Kolik vrit testu je možých? Zvětší-li se počet prvků o, zvýší se počet kombicí třetí třídy o. Kolik bylo prvků? ( 7) 8. Pro jké je v rozvoji výrzu sedmý čle rove 68? 9. Určete kompleí číslo, pro které je sedmý čle rozvoje výrzu ( i ) 0 rove Řešte: ) b) c) Zpište jediým kombičím číslem: ) 0 b) ( ) ( ) 0. Určete bsolutí čle v rozvoji výrzů: ) 5 ( ) 0 0! 0. 5!.5! b) [ 4 ] (..5.7). Njděte všechy čley rozvoje, které obshují: ) v rozvoji b) 6 v rozvoji

4 . V rozvoji výrzu 4 je součet prvích tří koeficietů 67. Určete bsolutí čle rozvoje. ;. Určete kolik rcioálích čleů má rozvoj 50, určete je Dokžte, že pltí: ) 00/ 0 b) 6 7/ c) d) e) Njděte všech čísl z, pro která je sedmý čle rozvoje výrzu 0 i z rove číslu i z i z z z 4 ; ; ; 6. Určete ejvětší čle v rozvoji výrzu 0 podle biomické věty. (pátý čle 680) 4

5 7. Poslouposti řdy Dlší dovedosti zlosti: - umět převést posledí ze zdáí -tým čleem rekuretí vzth obráceě - ktivě ovládt důkz mtemtickou idukcí - zát jedoduché složeé úrokováí při spořících účtech - zát výpočet spltosti úvěrů Možé mturití otázky: Obecé vlstosti posloupostí Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Nekoečá geometrická řd Úlohy:. Vypočtěte limitu poslouposti. V poslouposti 5 ( ) ) zjistěte mootóost ( K ) b) určete limitu c) pro která jsou čley této poslouposti větší ež 5 ( 5). Dokžte, že posloupost je mootóí vypočtěte její limitu. ( R;) log 4. Je dá posloupost { } ) dokžte, že je rostoucí log b) určete rekuretí vzorec. log 5. Rozhoděte, jestli jsou poslouposti shor- zdol omezeé, rostoucí-klesjící : ) { } ( R, zdol ) b) c) d) e) 5 4 ( R, omezeá) ( R, omezeá) ( R, omezeá) ( R, omezeá) 6. U poslouposti rozhoděte o mootóosti vypočtěte její limitu:

6 7. Určete, zd je posloupost mootóí: ) b) ( K ) { log log( ) } ( R) c) { } ( K ) d) { } e) ( R) 4 8. Posloupost je dá rekuretě ( ) ) odhděte dokžte vzorec pro -tý čle poslouposti b) rozhoděte, zd je posloupost rostoucí- klesjící (K) c) rozhoděte, zd je posloupost omezeá. (O) 9. Vypočtěte limitu poslouposti. Určete, zd je kovergetí či divergetí: ) b) c). ( R) ( K,) ( K, ) ( K,0) 6 d) e) f) g) h) i) 5 ( ). 4 5 ( )( ) ( ) Určete prví osmý čle poslouposti: ) 4 0 b) ( D) ( D) ( K,) ( K,0) 5 K, K, Mezi čísl 4 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu 46. Určete počet 0 čísel; d vložeých čísel její difereci.

7 . Čísl,,, 4, 5 mjí tu vlstost, že prví tři tvoří geometrickou posloupost posledí 4 tvoří ritmetickou posloupost. Určete tto čísl, jestliže: ( 8;4;;0; ). Určete velikosti vitřích úhlů prvoúhlého trojúhelík, jestliže jeho úhly tvoří po sobě jdoucí čley ritmetické 0 ;60 ; 90 poslouposti. 4. Součet prvích deseti čleů ritmetické poslouposti je 90, souči prostředích čleů je 57. Určete je! (;5;9;;7;;5;9;;7) 5. V ritmetické poslouposti 0, 7, 4,,... jděte čle, jež je rove / 8 součtu všech předcházejících čleů ; ritmetické poslouposti. 6. Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Velikost větší odvěsy je 4. Vypočtěte velikost str úhlů. ( α 6 5 ; β 5 8 ; 8; c 0 ) 7. Částk se má rozdělit tk, by prví osob dostl 00,- kždá dlší o 5,- více. Kolik osob lze podělit při částce 0; 0 45Kč 5,- kolik doste posledí z ich. 8. Urči ritmetickou posloupost je-li: ( ; d ) 9. Je dá ritmetická posloupost: 80 d 8 46 s Určete:,. 0. Určete geometrickou posloupost v íž pltí: s ; 6 8; 4 q ; q ; 8 4. Určete velikost ejmešího vitřího úhlu prvoúhlého trojúhelík, jestliže jeho stry tvoří tři po sobě jdoucí α 8 0 čley geometrické poslouposti.. Určete počet prvích -čleů geometrické poslouposti, jeli: q s 80 ( 8) ( ). V geometrické poslouposti je: 5 s 0 7

8 Určete. ( 0 ; q ) 4. Mezi čísl vložte čísel tk, by součet vložeých čísel byl 60 by všech tvořil geometrickou posloupost. 0; q 5. Pro která t R eistuje: lim t t ( t ( ;0) ) 6. Povrch kvádru je 78 cm, součet délek hr jdoucích z jedoho vrcholu je cm. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li hry tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. V 7cm Určete q.. V geometrické poslouposti je: s 0 Určete, q,. 4; q 7; q ( q ; ; 0) 7. Určete tři kldá čísl, by byl z sebou jdoucími čley geometrické poslouposti, víme-li, že jejich součet je součet jejich převráceých hodot je 7 /. ( ;6; ) 8. Určete geometrickou posloupost, je-li: s 968 ( q ) 9. V geometrické poslouposti je: ( q ) 0. V geometrické poslouposti je:. Určete čtyři čísl, z ichž tři tvoří ritmetickou posloupost posledí tři geometrickou posloupost. Přitom součet krjích dvou čísel je 7 součet prostředích je 6. 5 q q ; 4 7 ; 9 ; d ; d 4. Původí ce stroje byl 40000,- Kč. Jkou ceu bude mít stroj z 0 let, je-li ročě mortizová 0%. 4. Vkldtel si uložil v bce 0000,- Kč termíový vkld dvou let, při pololetím úrokovcím období. Ročí úroková mír je % dň z úroků je 5%. Kolik bude mít V 4800Kč vkldtel z dv roky? 8

9 5. Obč si zložil osobí koto v bce v úvodu roku vkldem 500,- Kč. Kždý měsíc pk vkládl 500,- po dobu 5 let, Úroková mír bky byl 9%, úroky byly připisováy koci kždého roku. Dň z úroků je 5%. Kolik měl střdtel koci pátého roku? ( V 4, 80Kč ) 6. Bk poskytl podikteli počátkem roku úvěr ve výši jede milio koru dobu tří let s úrokovou mírou 4% při úrokovcím období roku. Podiktel zpltí dluh ve třech stejých splátkách to vždy koci roku. Kolik s 4, 40Kč bude kždým rokem splácet? 7. Vyjádřete zlomkem čísl: (- 0,4; 0,75;,55;... ) 8. Řešte rovici: ( ) ( ) ( ) Určete součet: ) b) si ( ) ( )... 4 c) cos cos ; ; ; si s si 6 s s si ) tg b) tg tg tg tg log log 9 7 c) log... log( 4 4) 8 ± ; 0 d) ( ) ( ) ( ) 4 Řešte: ) b) si tg c) log... log( 4 4) d) Vypočtěte:... ) b) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) Do rovostrého trojúhelík o délce hry je vepsá kruh, do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík, do ěj zse kruh td. Vypočtěte součet obshů tkto vziklých: 40. Řešte rovici: 9

10 ) trojúhelíků s b) kruhů s π V rovormeém trojúhelíku ABC s přepoou AB sestrojíme výšku CC, v trojúhelíku ACC výšku C C, z vrcholu C v trojúhelíku AC C výšku C C z vrcholu C td. Vyjádřete délku ekoečé čáry CC C C. pomocí délky odvěsy BC. ( d. ( ) ) 45. V krychli ABCDEFGH o hrě 6 cm ozčte postupě A, B, C, D středy hr EF, FG, GH, HE. Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá původí krychli. Ozčte postupě A, B, C, D středy hr E F, F G, G H, H E. Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá předchozí krychli. Teto postup stále opkujte. Vypočítejte objem ekoečé pyrmidy, která tkto vzike. 4 4 V 7 ( ) cm 0

11 Dlší dovedosti: - Možá mturití otázk: Vektorová lgebr 8. Vektorová lgebr Úlohy:. Určete vektor v, který je kolmý k u (5; ) v,5. má velikost. Určete úhly v ABC: A[-;0], B[;5], C[4;]. Vypočtěte jeho plochu. α 54 ; β 57 0 ; χ S 4,6. V trojúhelíku ABC je AB u, BC v. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory AM, BN, CP, kde M, N, P jsou středy str proti vrcholům A, B, C. 4. Je dá prvidelý šestiúhelík ABCDEF vektory: u B-A, v E-F. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory: F-C, b E-D, c F-D, d B-F, e C-E. Dále určete součet vektorů b c. ) u H-A, v B-C, P B b) u B-A, v F-G, P D c) u G-A, v A-H, P D 6. V trojúhelíku ABC ozčíme střed stry BC jko P. Dokžte, že pltí: (B-A) (C-B) (A-C) (A-P) 7. Je dá krychle ABCDEFGH. Dokžte, že pltí: (C-A) (E-D) (F-A) (F-C) 8. Je dá prvidelý šestiúhelík ABCDEF. Dokžte, že: AB AC AD AE AF AD 9. Jsou dáy body A[;], B[;-],C[;]: ) dokžte, že body A, B, C jsou vrcholy ( u k. v) 5 b) vypočtěte vzdáleost těžiště T od vrcholu C. TC 0. Jsou dáy vrcholy ABC: A[0;5], B[6;-] těžiště T[;6]. C ;5 Určete souřdice vrcholu C. ( [ ]). Vypočtěte souřdice těžiště MNQ: M[;], N[0;4], Q[- ;4]. T 0;. Dokžte, že ABCD je lichoběžík v jkém poměru jsou velikosti záklde velikost úhlu BAD; A[;], B[;5],C[ α 9 45 ; c : : 7;9], D[4;]. 5. Je dá krychle ABCDEFGH. Určete bod X tk, by pltilo u v X-P. Zpište bod X pomocí vrcholů krychle:

12 . Dokžte, že ABCD jsou vrcholy kosočtverce; A[0;0], B[;-4], C[6;0], D[;4]. Vypočtěte velikosti jeho hr, úhlopříček velikosti vitřích úhlů. 5; α e 6; f 06 6 ; 4..Vektor u ( 0; ;4) vyjádřete jko lieárí kombici vektorů ( ; ;), b ( ; ;), c (0;4;). 8 u 5 0b c 5. Zjistěte, zd body A, B, C, D leží v roviě (využijte lieárí kombice vektorů): ) A[;-;], B[6;-0;], C[-;-;-5], D[;-8;-4] (o) b) A[;0;], B[;;-], C[4;6;-], D[;;5]. (e) c) A[;;-], B[;;5], C[-;;], D[;;]. (o) Určete úhel vektorů u, v je-li u 5, 8 v u v 7. ( ϕ 60 ) 8. Vektory u, v svírjí úhel 0 přitom pltí u, v. Určete úhel vektorů u v vektoru b u v. ϕ Jsou dáy vektory ( ;5; ); ( ; ;); c ; ;. b Určete souřdice vektoru, který je kolmý k vektorům dále pltí:. c 6., b 7 9 ; ; V prostoru je dá krychle ABCDEFGH o délce hry. Zvolte soustvu souřdic pomocí sklárího součiu určete velikost úhlu ϕ mezi vektorem (H-B) vektorem: ) A-B b) G-A c) A-F d) G-B. V trojúhelíku ABC jsou dáy vrcholy A[0;0], B[;0] těžiště T ;. Dokžte, že trojúhelík ABC je prvoúhlý vypočtěte velikosti všech jeho úhlů. α 90 ; β 60 ; χ 0. Určete všechy body přímky p: - 7y 6 0, ze kterých je vidět úsečk AB v zorém úhlu 90, je-li A[0;-], B[6;6]. P 6;6 ; Q ;5 ( [ ] [ ]). Určete vektor v, který je kolmý k vektoru ( 5; ) jehož velikost je 4. v u 48 0 ; 4. Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, jehož podstvá hr má velikost 4, výšk jehlu v 6 střed hry BC je bod E. Zvolte vhodě soustvu souřdic řešte úlohy: ) vypočtěte velikost bočí hry jehlu b) určete velikost úhlu vektorů v V E u D A c) určete velikost úhlu vektorů u w C A

13 5. Je dá trojúhelík ABC, A[;;], B[4;;], C[;4;-], 7 Vypočítejte jeho obsh: S 6. Vypočítejte vektorový souči vektorů u v, je-li dáo: ) u ( ;; ) v ( ;4; ), w ( 0; 7;9) b) u ( 0;; ) v ( ;0; ), w ( ;; ) c) u ( ; ; ) v ( 4; ;6 ), w ( ;; ) d) u ( ; ) v ( ;4 ), w ( 0;0;5 ) 7.Jsou dáy vektory u ( ;;4 ) v ( ; m;0). Určete hodotu prmetru m R tk, by pltilo u v 4 6. m ; m 5. Jsou dáy body A[;;-], B[;-;5], C[0;;7], D[8;0;]. ) vypočítejte obshy všech stě b) vypočítejte objem čtyřstěu ABCD. c) vypočítejte vektory, které jsou určey všemi výškmi čtyřstěu ABCD.. Vypočítejte obsh trojúhelíku v roviě, jsou-li jeho vrcholy dáy souřdicemi: A[-;-], B[;0], C[;]. (S5) 4. Vypočítejte obsh rovoběžíku ABCD v roviě, jsou-li dáy body A[;], B[;], C[-;-]. (S0) 8. N ose určete bod X tk, by obsh trojúhelík PQX byl. Souřdice P, Q jsou: P[4;0], Q[;-4]. X ;0 ; X ;0 ( [ ] [ ]) 7 9. N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelík XYZ byl 0. Souřdice X, Z jsou: X[;;0], Z[;;]. 0. Jsou dáy vektory ( ;4; ) b ( ;; ) prmetru p R tk, by pro vektor z ( ; p;) pltilo: z zb ( p 5; p ). Určete hodotu. Vypočítejte objem čtyřstěu ABCD, jsou-li dáy jeho vrcholy: A[;;-], B[;-;], C[;;], D[-;;0]. (V)

14 9. Alytická geometrie lieárích útvrů Dlší dovedosti: - zát zvedeí soustvy souřdic u plošých prostorových útvrů - úsekový tvr přímky v roviě jeho geometrický výzm - vzájemý převod jedoho druhu rovice přímky jiý Možé mturití otázky: Alytická geometrie v roviě Alytická geometrie v prostoru Úlohy:.Je dá trojúhelík ABC, A[;4], B[;-], C[-4;-6]. Určete prmetrické, obecé směricové rovice přímek, kterých leží: ) str c b) výšk v c c) těžice t b d) os úsečky BC e) středí příčk rovoběžá s AC f) kolmice AB bodem A.. Bod S[;-] je střed čtverce, jehož str leží přímce p: y 0. Njděte rovice přímek, kterých leží osttí stry čtverce. y 8 0 y 4 0 y 6 0. V ABC je vrchol A[-;-4], B[4,-] průsečík výšek V[;-]. Určete souřdice vrcholu C těžiště T. 4 C ; ; T ; ; O ; [ ] 4 Jsou dáy body A[;5], B[9;-], C[-4;]. Dokžte, že se jedá o trojúhelík, určete jeho vitří úhly obsh. α 04 7 ; β 8 0 ; S 4,5 5 N přímce - y 0 jděte body, které mjí od bodu A[;-] vzdáleost 0. X ; 5 09 ; Y ; Určete souřdice bodu A souměrě sdružeého s bodem A[ A 4;5 8;] podle přímky p: P[;0], u (;). ( [ ]) 7. Je dá trojúhelík ABC, A[-;4], B[;-], C[5;-]. Vypočítejte: ) vitří úhel β trojúhelík ( β 98 8 ) b) odchylku přímek AB BC ( ϕ 8 5 ) c) odchylku osy úsečky AB osy d) velikost úhlu ATB, kde T je těžiště trojúhelík ABC. 8. Jsou dáy přímky p: y k q: y. Určete směrici k přímky p tk, by odchylk přímek p q byl 0 ; 4

15 . Npište obecou rovici přímky q, která prochází bodem A má od přímky p odchylku α: ) A[6;]; p: -.y 7 0; α 0 ( y. 6 0) b) A[5; ]; p:.y 0; α 60 ( y. 0) 0. Npište rovici přímky p, která prochází bodem A[;] má od bodu B[;-] vzdáleost v. y 0 y 0. N přímce 5-4y 8 0 jděte bod, který má stejou X 0;5,5 vzdáleost k bodům M[;5] N[7;-]. ( [ ]). Jsou dáy body M[-;], A[5;-], B[;7]. Určete všechy přímky, které procházejí bodem M mjí od bodů A,B stejou vzdáleost. 4 y y 5 0. N přímce p: y 0 jděte bod C tk, by trojúhelík ABC byl rovormeý, se zákldou AB, kde A[6;4], B[;- ]. C ; 4 4. Určete rovici přímky, která prochází bodem ( [ ; 5] ) A jejíž vzdáleost od počátku soustvy souřdic je. y y Jsou dáy body A[;-], B[;4], C[;]. Njděte souřdice bodu D tk, by čtyřúhelík ABCD byl rovoběžík. AD ; 5 ( [ ]) 6. Npište obecou rovici přímky p, která prochází bodem M [4;6]. Dv dé body A[-6;0], B[0;-6] mjí od přímky stejou vzdáleost. y 0 0 y 0 7. Vypočítejte souřdice vrcholů B, C rovormeého trojúhelík ABC se zákldou AB, víte-li, že vrchol A [;- ], vrchol C leží ose, dále víte, že os úhlu χ má C ;0 ; B 5; 6 rovici o: y 6 0. ( [ ] [ ]) 8. Vypočítejte souřdice vrcholů rovormeého trojúhelík ABC se zákldou AB, jestliže záte obecou rovici přímky, které leží těžice t : 4 y 5 0, A ; ; B 4; ; C 0; 5 těžiště T[4;-7] S AB [;]. ( [ ] [ ] [ ]) 9. Vypočítejte souřdice vrcholů čtverce ABCD tk, by vrchol A ležel přímce : y 0 vrchol C ležel přímce c: 5y 0. Střed čtverce S[-;]. A ; ; B 0; ; C ; ; D 4;0 ( [ ] [ ] [ ] [ ]) 0. Vypočítejte souřdice vrcholů kosočtverce ABCD tk, záte-li vrchol B[4;-] víte-li, že úhlopříčk AC leží přímce p: y 4 0. Dále pltí, že AC BD. A 4; ; C 8; ; D 8; ( [ ] [ ] [ ]) 5

16 . Jsou dáy vrcholy ABC: A[5;8], B[-;9], C[-4;5]. Zjistěte, zd průsečík výšek, těžiště střed kružice opsé leží v téže přímce.. Bodem A[;;-] veďte přímku, která je kolmá roviu ρ: r y - s z r - s P ;; Určete souřdice pty této kolmice. ( [ ]). Dokžte, že vrcholy A[4;-;], B[-8;0;4], C[8;;] tvoří vrcholy trojúhelíku. Urči jeho obsh vitří úhly (těžiště, rovici osy stry...). S α 4 8 0,6; T ; ; ; 7 0 ; β ; χ Určete obrz bodu A[;0;-8] v osové souměrosti podle přímky p: - t y t A 5; 6;0 z - t ( [ ]) 5. Určete obrz bodu A[;-4;-6] v rovié souměrosti učeé A ; ; roviou y - 4z - 0. ( [ ]) 6. Jsou dáy body A[;-;-], B[;-;-], C[;-;-], D[0;;- ]. ) vypočtěte vzdáleost bodu D od roviy ABC d b) jděte souměrě sdružeý bod D podle roviy ABC D ;; ( [ ]) c) vypočtěte objem tohoto jehlu. V 7. V prostoru je umístě prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, jehož podstvá hr AB výšk v 5. Určete: ) vzdáleost středu S podstvy od hry AV (v,9) b) vzdáleost středu S podstvy od roviy ADV (v,44) c) objem jehlu. (V5) 8. Je dá čtyřstě ABCD: A[0;;], B[;0;], C[-;-;5], D[0;-;-6]. Vypočtěte odchylky: ) AD ABC ( α 4 0 ) b) ADC ABC ( β 46 0 ) χ 6 5 c) DC ABD 9. Jsou dáy body A[;-;], B[-;-;] rovi ρ: y 8z 6 0. Njděte roviu jdoucí body A B 9 y z 0 tkovou, že je kolmá k ρ. 0. ABC je urče vrcholy A[;0;4], B[4;-;0] těžištěm T[ C ;5; ;;]. Určete souřdice vrcholu C. ( [ ]). Určete obecou rovici roviy, která prochází body A[;; ], B[;-;5] je kolmá k roviě ρ: 4y-z70. z 5z 0. Průsečicí p dvou rovi ρ, σ prochází rovi φ kolmá ke třetí roviě τ. Npište obecou rovici roviy φ, je-li: ρ: -yz-0 σ: y-z0 τ: -y-z0 4 z 5z 0 6

17 . Je dá rovi ρ: -yz-0 přímk p: t y - t z ) Určete vzájemou polohu společé body přímky roviy P ; ; b) Npište rovici přímky q, která je prvoúhlým průmětem t přímky p do roviy ρ. y t z t 7. Je dá krychle ABCDEFGH s hrou 4cm. S je střed hry AE, K je střed hry BC, L je střed hry BC. Vypočítejte: ) vzdáleost středu hry FG od přímky DS b) vzdáleost E od roviy FSH c) přímky BK roviy ALG d) odchylku rovi BCK ALH. 4. Jsou dáy vrcholy čtyřstěu A[6;0;0], B[0;5;0], C[5;6;0] D[ ;;8]. Určete: ) odchylku rovi ABC BCD ( ϕ 7 6 ) ϕ 87 4 b) odchylku mimoběžek AB CD 5. Prvidelý čtyřboký jehl ABCDV má výšku v 6, délku hry AB 4. Ozčte S střed hry AV, M střed hry VC, T těžiště trojúhelíku BCV. Vypočítejte: 67 ) délku úsečky ST d b) vzdáleost M od přímky AB. ( v ) 6. V soustvě souřdic je umístě prvidelý čtyřboký jehl ABCDV tk, že A[;;0], B[4;;0], C[4;;0], D[;;0], V[ ;;4]. Vypočtěte: ) vzdáleost středu S podstvé hry BC od přímky AV ( d,06) v 4 b) výšku jehlu, když V je jeho vrchol. 7

18 0. Alytická geometrie kvdrtických útvrů Dlší dovedosti: -zát zvedeí soustvy souřdic u plošých prostorových útvrů -úsekový tvr přímky v roviě jeho geometrický výzm -vzájemý převod jedoho druhu rovice přímky jiý Možé mturití otázky: Alytická geometrie v roviě Alytická geometrie v prostoru Úlohy:. Určete číslo tk, by přímk p byl tečou ke křivce k; k: y 69 p: 7 t y 7 t 5. ; 5. Njděte rovici kružice, která se dotýká přímky p v bodě T[ ;] přímky q: p: 7 y 5 0 q: y 0 ( 6) ( y ) 50 9 y 800. Určete souřdice společých bodů křivek: k: y 5 l: y 8 4y 65 0 Dále určete, pod jkým úhlem se tyto křivky protíjí. X ;4 ; X 5;0 ; ϕ ( [ ] [ ] 0 ). Njděte rovici kružice souměrě sdružeé s kružicí k podle přímky p; k: ( ) ( y ) p: y 0 (( 5) ( y ) ) y 5. N elipse jděte body, které mjí od jejího 00 6 prvého ohisk F vzdáleost 4. X ;5 ; X 5; 5 ( [ ] [ ]) 5 6. Je dá elips 5 6y 00 přímk y. Npište rovici tečy elipsy, která má od dé přímky odchylku 45. 6y 4 0 6y y 0 6 y 0. Je dá elips 6y 8 bod M[4;-]: ) dokžte, že M je vějším bodem b) jděte tečy z bodu M k elipse y 0 5y 9 0 ϕ 56 0 c) určete úhel teče 8

19 8. N elipse 4 9y 6 jděte body, které mjí od přímky y 5 0 mimálí miimálí vzdáleost. Určete ji. 9. Elipse je vepsá čtverec. Vypočtěte velikosti jeho str. b e 0. Je dá elips 4 9y 6 bod Q[;]. Njděte přímku, která vytíá elipse tětivu, která je půleá bodem Q. 4 9y 0. Njděte odchylku křivek: ) 9 5y 900 y 64 b) 8 9y 7 c) y 4 4y ( ϕ 7 5 ) y 4 ( ϕ 6 50 ; φ 90 ) ( ϕ ). Vypočtěte souřdice bodů, která leží prbole y 8 mjí od jejího ohisk vzdáleost 0. X 8; ; Y 8;. Z bodu K[-;0] veďte tečy k prbole y Njděte tečy křivek v jejich společých bodech: y 7 y 9. ( [ ] [ ]) y 0 y 0 5. Npište osovou rovici hyperboly, která prochází bode M[ 5;6] má symptotu y 0. 9 y H : Určete rovici tečy hyperboly. y, která je rovoběžá s přímkou 4y 5 0. Vypočtěte souřdice dotykových bodů. Dále vypočtěte souřdice ohisek. 4y 4 0; X [ 4; ] 4y 4 0; Y [ 4;]. Je dá hyperbol 9y bod M[;]: ) určete velikost poloos, ohisk vrcholy ; b ; F 0;0 ; F 0;0 [ ] [ ] A ;0 ; B ;0 b) zjistěte polohu bodu M vzhledem k hyperbole (vě) c) určete všechy přímky jdoucí bodem M mjící s hyperbolou společý právě jede bod. t : 5 y 7 0; t : y 0; : y 0; : y Je dá H:. y K: y 4. Určete úhel, pod kterým se křivky protíjí. (α0 ) 9. Určete možiu všech bodů, které mjí od počátku soustvy souřdic třikrát větší vzdáleost ež od přímky p: 4. 4( 4,5) y H : 9 8

20 0. Jsou dáy kružice k : y - 4y 0 k : y Vypočítejte průsečíky těchto kružic. Npište rovici přímky, která těmito body prochází.. Jsou dáy kružice k: y -8-4y 60 0 l: y - 4-6y - 0 ) určete průsečíky dých kružic b) pište rovice teče kružic k, l v jejich průsečících c) vypočtěte odchylku těchto teče. Npište rovici kružice, která: ) prochází středy str trojúhelík ABC: A[;5], B[;9], C[ 5;-]. Určete její průsečíky se strmi trojúhelíku ABC b) má střed v bodě S[5;4] dotýká se přímky p p: 5 -y c) prochází bodem M[;4] dotýká se obou souřdicových os.. Určete rovice teče elipsy 8 y 45, které mjí od jejího středu vzdáleost d. 4. N elipse 4 9y 6 jděte body, které mjí ejmeší ebo ejvětší vzdáleost od přímky p: 4y Je dá elips 5 9y 45 bod M[0;-]: ) dokžte, že M je bodem vější oblsti elipsy b) pište rovice teče elipsy procházející bodem M ) vypočtěte odchylku těchto teče 6. Npište osovou rovici elipsy, která má ecetricitu e prochází bodem M[; 6]. Stovte, pro která 0 hodoty reálého prmetru m je přímk p o rovici p: m. y 4 0 sečou elipsy. 7. Je dá hyperbol - 9y bod M[5;0]. Npište rovice všech přímek, která procházejí bodem M mjí s hyperbolou právě jede společý bod. 8. Je dá prbol o rovici y 6 4y 4 0 přímk p: y 7 0. Npište rovici tečy t p k dé prbole. U prboly určete vrchol, ohisko, rovici řídící přímky zkreslete ji v soustvě souřdic. 9. Npište rovici kružice, která prochází body F [;], F [ ;4] dotýká se osy. 0.. Npište rovici kružice, která má střed v bodě S[-5;4] přímce p: y 4 vytíá tětivu délky 8.. Npište rovici kružice, která prochází bodem M[;] dotýká se dých přímek p: y 6 0 q: y 0.. Npište rovici kružice, která se dotýká kružice k: ( ) y 8, přímky p: y 8 0. její střed leží kolmici vedeé středem kružice k přímku p.. Do elipsy y 6 vepište rovostrý trojúhelík KLM tk, by vrchol K splývl s hlvím vrcholem (vedlejším vrcholem) elipsy vrcholy L, M ležely dé elipse. Vypočítejte souřdice vrcholů K, L, M velikost jeho stry. 4. Jsou dáy prboly P : y 4. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. y P :

21 5. Jsou dáy elipsy E : 4 5 y 0 E : 5 4y 0. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. 6. Jsou dáy kružice k : y 5 k : ( -0) y 45. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. 7. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, které mjí od bodu A[-;6] dvkrát větší vzdáleost ež od počátku souřdic. 8. Jsou dáy body M[-;0], N[;0]. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, pro které pltí: XM XN 6 9. Jsou dáy body M[ ; ], N[- ;- ]. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, pro které pltí: XM - XN