16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "16. Kombinatorika ( 125;250;125 )"

Transkript

1 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice Biomická vět Úlohy:. Kolik přirozeých čísel větších ež 00 lze vytvořit z cifer,,, 4 (bez opkováí, s opkováím). ( 6;88). Z míst A do míst B vedou 4 turistické cesty, z míst B do míst C vedou cesty. Určete, kolik způsoby lze vybrt trsu z míst A do míst C zpět tk, že: ) bez omezeí (44) b) z těchto sedmi cest eí žádá použit dvkrát (7) c) z těchto sedmi cest je právě jed použit dvkrát (60) d) z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvkrát (). Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu eí ul ze zbývjících devíti číslic se v ěm kždá vyskytuje ejvýše jedou. Kolik z těchto čísel je větších ež 9000? Kolik je meších ež 000? (6, 67) 4. K sestveí vljky, která má být slože ze tří růzobrevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky brvy bílé, červeé, modré, zeleé žluté. Určete počet vljek: ) které lze z těchto látek sestvit (60) b) kolik z ich má modrý pruh (6) c) kolik z ich má modrý pruh uprostřed () d) kolik z ich emá červeý pruh uprostřed. (48) 5. O telefoím čísle spolužák si Všek zpmtovl je to, že je šestimísté, zčíá sedmičkou, eobshuje žádé dvě stejé číslice je dělitelé pětdvceti. Určete, kolik telefoích čísel přichází v úvhu. (4) 6. S připomíkmi k vrhovému zákou chce v prlmetu vystoupit šest poslců A, B, C, D, E, F. Určete počet: ) všech možých pořdí jejich vystoupeí (70) b) všech pořdí,kdy vystupuje A po E (60) c) všech pořdí,kdy vystupuje A ihed po E (0) 7. Kolik způsoby může 50 táboríků při ástupu rí rozcvičku stoupit: ) do řdy (50!) b) do řdy, kdy je táborík A krji (.49!) c) do řdy, v íž ejsou táboríci A, B vedle sebe (48.49!) d) do kruhu, v ěmž záleží pořdí. (49!) 8. Kolik přirozeých čísel lze vytvořit z cifer 0,,,, 5 větších ež 5 (bez opkováí). ( 5) 9. Jsou dáy cifry,,, 4, 5. Kolik lze sestvit čtyřciferých čísel (přirozeých, s opkováím), dělitelých pěti, (dvěm, čtyřmi). ( 5;50;5 )

2 0. Kolik přirozeých čísel meších ež 5000 lze vytvořit z cifer 0,, 4, 5 bez opkováí. ( 4). Kolik způsoby se v šestimísté lvici může posdit šest hochů, jestliže: ) dv chtějí sedět vedle sebe (40) b) dv chtějí sedět vedle sebe třetí chce sedět krji. (96). Zjedodušte: ( ). Řešte rovici:! ( ) ( ) ( )!! ( )! ( )!!!!!!! ( ) ( )! ( )!! 4. Dokžte, že pltí:!.!.!....! ( )! 4 ( ).( ) ( ) 5. Řešte: log ( 6 )! log( 5 )! log ( ) 6. Z kolik prvků lze vytvořit 5040 vricí čtvrté třídy bez opkováí. ( 0) 7. V roviě je dáo bodů p z ich leží jedé přímce. Kolik je těmito body určeo: ) přímek b) trojúhelíků p c) kružic p p 8. Ze šesti mužů čtyř že se má vybrt sedmičleá skupi: ) kolik způsoby je to možé ( 0) b) kolik způsoby je to možé, mjí-li tm být právě dvě žey ( 6) c) vypočtěte v % prvděpodobost, že v áhodě vybré sedmičleé skupiě budou spoň tři žey..00% 9. V prostoru je dáo 5 bodů. Kolik určují : ) rovi, jestliže žádé 4 eleží v jedé roviě (455) b) rovi, jestliže 8 z ich leží v jedé roviě. (400) 0. Je dá krychle ABCDEFGH. N kždé hrě je dáo 8 vitřích bodů. Určete počet: ) trojúhelíků, jejichž vrcholy leží v dých bodech (408) b) trojúhelíků, jejichž vrcholy leží v dých bodech trojúhelíky leží povrchu krychle. (846). V krbici je 0 výrobků, z ichž právě jsou vdé. Kolik způsoby lze vybrt 5 výrobků tk, by: ) žádý ebyl vdý () b) právě byl vdý (05) c) ejvýše byl vdý (6) d) právě byly vdé (05)

3 e) ejvýše byly vdé () f) spoň byly vdé (6). Kolik způsoby, je možo ze dvceti osob vybrt deset, poždujeme-li, by mezi vybrými: 9 ) ebyl p A b) ebyli součsě A B c) byl spoň jede z A B Je dá čtvercová síť 54 v obdélíku ABCD tk, že AB 5 dílků. Kolik cest vede z A do C, jestliže mohu jít je vprvo horu? Kolik těchto cest vede bodem Q[;]? ( 6;60) 6. Test zkoušky se skládá z 5 otázek. Budou tm dvě otázky z dějepisu, (připrveo je 0), dvě ze zeměpisu (připrveo je 5), jed otázk z občské výchovy (připrveo je 0). Kolik vrit testu je možých? Zvětší-li se počet prvků o, zvýší se počet kombicí třetí třídy o. Kolik bylo prvků? ( 7) 8. Pro jké je v rozvoji výrzu sedmý čle rove 68? 9. Určete kompleí číslo, pro které je sedmý čle rozvoje výrzu ( i ) 0 rove Řešte: ) b) c) Zpište jediým kombičím číslem: ) 0 b) ( ) ( ) 0. Určete bsolutí čle v rozvoji výrzů: ) 5 ( ) 0 0! 0. 5!.5! b) [ 4 ] (..5.7). Njděte všechy čley rozvoje, které obshují: ) v rozvoji b) 6 v rozvoji

4 . V rozvoji výrzu 4 je součet prvích tří koeficietů 67. Určete bsolutí čle rozvoje. ;. Určete kolik rcioálích čleů má rozvoj 50, určete je Dokžte, že pltí: ) 00/ 0 b) 6 7/ c) d) e) Njděte všech čísl z, pro která je sedmý čle rozvoje výrzu 0 i z rove číslu i z i z z z 4 ; ; ; 6. Určete ejvětší čle v rozvoji výrzu 0 podle biomické věty. (pátý čle 680) 4

5 7. Poslouposti řdy Dlší dovedosti zlosti: - umět převést posledí ze zdáí -tým čleem rekuretí vzth obráceě - ktivě ovládt důkz mtemtickou idukcí - zát jedoduché složeé úrokováí při spořících účtech - zát výpočet spltosti úvěrů Možé mturití otázky: Obecé vlstosti posloupostí Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Nekoečá geometrická řd Úlohy:. Vypočtěte limitu poslouposti. V poslouposti 5 ( ) ) zjistěte mootóost ( K ) b) určete limitu c) pro která jsou čley této poslouposti větší ež 5 ( 5). Dokžte, že posloupost je mootóí vypočtěte její limitu. ( R;) log 4. Je dá posloupost { } ) dokžte, že je rostoucí log b) určete rekuretí vzorec. log 5. Rozhoděte, jestli jsou poslouposti shor- zdol omezeé, rostoucí-klesjící : ) { } ( R, zdol ) b) c) d) e) 5 4 ( R, omezeá) ( R, omezeá) ( R, omezeá) ( R, omezeá) 6. U poslouposti rozhoděte o mootóosti vypočtěte její limitu:

6 7. Určete, zd je posloupost mootóí: ) b) ( K ) { log log( ) } ( R) c) { } ( K ) d) { } e) ( R) 4 8. Posloupost je dá rekuretě ( ) ) odhděte dokžte vzorec pro -tý čle poslouposti b) rozhoděte, zd je posloupost rostoucí- klesjící (K) c) rozhoděte, zd je posloupost omezeá. (O) 9. Vypočtěte limitu poslouposti. Určete, zd je kovergetí či divergetí: ) b) c). ( R) ( K,) ( K, ) ( K,0) 6 d) e) f) g) h) i) 5 ( ). 4 5 ( )( ) ( ) Určete prví osmý čle poslouposti: ) 4 0 b) ( D) ( D) ( K,) ( K,0) 5 K, K, Mezi čísl 4 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu 46. Určete počet 0 čísel; d vložeých čísel její difereci.

7 . Čísl,,, 4, 5 mjí tu vlstost, že prví tři tvoří geometrickou posloupost posledí 4 tvoří ritmetickou posloupost. Určete tto čísl, jestliže: ( 8;4;;0; ). Určete velikosti vitřích úhlů prvoúhlého trojúhelík, jestliže jeho úhly tvoří po sobě jdoucí čley ritmetické 0 ;60 ; 90 poslouposti. 4. Součet prvích deseti čleů ritmetické poslouposti je 90, souči prostředích čleů je 57. Určete je! (;5;9;;7;;5;9;;7) 5. V ritmetické poslouposti 0, 7, 4,,... jděte čle, jež je rove / 8 součtu všech předcházejících čleů ; ritmetické poslouposti. 6. Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Velikost větší odvěsy je 4. Vypočtěte velikost str úhlů. ( α 6 5 ; β 5 8 ; 8; c 0 ) 7. Částk se má rozdělit tk, by prví osob dostl 00,- kždá dlší o 5,- více. Kolik osob lze podělit při částce 0; 0 45Kč 5,- kolik doste posledí z ich. 8. Urči ritmetickou posloupost je-li: ( ; d ) 9. Je dá ritmetická posloupost: 80 d 8 46 s Určete:,. 0. Určete geometrickou posloupost v íž pltí: s ; 6 8; 4 q ; q ; 8 4. Určete velikost ejmešího vitřího úhlu prvoúhlého trojúhelík, jestliže jeho stry tvoří tři po sobě jdoucí α 8 0 čley geometrické poslouposti.. Určete počet prvích -čleů geometrické poslouposti, jeli: q s 80 ( 8) ( ). V geometrické poslouposti je: 5 s 0 7

8 Určete. ( 0 ; q ) 4. Mezi čísl vložte čísel tk, by součet vložeých čísel byl 60 by všech tvořil geometrickou posloupost. 0; q 5. Pro která t R eistuje: lim t t ( t ( ;0) ) 6. Povrch kvádru je 78 cm, součet délek hr jdoucích z jedoho vrcholu je cm. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li hry tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. V 7cm Určete q.. V geometrické poslouposti je: s 0 Určete, q,. 4; q 7; q ( q ; ; 0) 7. Určete tři kldá čísl, by byl z sebou jdoucími čley geometrické poslouposti, víme-li, že jejich součet je součet jejich převráceých hodot je 7 /. ( ;6; ) 8. Určete geometrickou posloupost, je-li: s 968 ( q ) 9. V geometrické poslouposti je: ( q ) 0. V geometrické poslouposti je:. Určete čtyři čísl, z ichž tři tvoří ritmetickou posloupost posledí tři geometrickou posloupost. Přitom součet krjích dvou čísel je 7 součet prostředích je 6. 5 q q ; 4 7 ; 9 ; d ; d 4. Původí ce stroje byl 40000,- Kč. Jkou ceu bude mít stroj z 0 let, je-li ročě mortizová 0%. 4. Vkldtel si uložil v bce 0000,- Kč termíový vkld dvou let, při pololetím úrokovcím období. Ročí úroková mír je % dň z úroků je 5%. Kolik bude mít V 4800Kč vkldtel z dv roky? 8

9 5. Obč si zložil osobí koto v bce v úvodu roku vkldem 500,- Kč. Kždý měsíc pk vkládl 500,- po dobu 5 let, Úroková mír bky byl 9%, úroky byly připisováy koci kždého roku. Dň z úroků je 5%. Kolik měl střdtel koci pátého roku? ( V 4, 80Kč ) 6. Bk poskytl podikteli počátkem roku úvěr ve výši jede milio koru dobu tří let s úrokovou mírou 4% při úrokovcím období roku. Podiktel zpltí dluh ve třech stejých splátkách to vždy koci roku. Kolik s 4, 40Kč bude kždým rokem splácet? 7. Vyjádřete zlomkem čísl: (- 0,4; 0,75;,55;... ) 8. Řešte rovici: ( ) ( ) ( ) Určete součet: ) b) si ( ) ( )... 4 c) cos cos ; ; ; si s si 6 s s si ) tg b) tg tg tg tg log log 9 7 c) log... log( 4 4) 8 ± ; 0 d) ( ) ( ) ( ) 4 Řešte: ) b) si tg c) log... log( 4 4) d) Vypočtěte:... ) b) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) Do rovostrého trojúhelík o délce hry je vepsá kruh, do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík, do ěj zse kruh td. Vypočtěte součet obshů tkto vziklých: 40. Řešte rovici: 9

10 ) trojúhelíků s b) kruhů s π V rovormeém trojúhelíku ABC s přepoou AB sestrojíme výšku CC, v trojúhelíku ACC výšku C C, z vrcholu C v trojúhelíku AC C výšku C C z vrcholu C td. Vyjádřete délku ekoečé čáry CC C C. pomocí délky odvěsy BC. ( d. ( ) ) 45. V krychli ABCDEFGH o hrě 6 cm ozčte postupě A, B, C, D středy hr EF, FG, GH, HE. Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá původí krychli. Ozčte postupě A, B, C, D středy hr E F, F G, G H, H E. Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá předchozí krychli. Teto postup stále opkujte. Vypočítejte objem ekoečé pyrmidy, která tkto vzike. 4 4 V 7 ( ) cm 0

11 Dlší dovedosti: - Možá mturití otázk: Vektorová lgebr 8. Vektorová lgebr Úlohy:. Určete vektor v, který je kolmý k u (5; ) v,5. má velikost. Určete úhly v ABC: A[-;0], B[;5], C[4;]. Vypočtěte jeho plochu. α 54 ; β 57 0 ; χ S 4,6. V trojúhelíku ABC je AB u, BC v. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory AM, BN, CP, kde M, N, P jsou středy str proti vrcholům A, B, C. 4. Je dá prvidelý šestiúhelík ABCDEF vektory: u B-A, v E-F. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory: F-C, b E-D, c F-D, d B-F, e C-E. Dále určete součet vektorů b c. ) u H-A, v B-C, P B b) u B-A, v F-G, P D c) u G-A, v A-H, P D 6. V trojúhelíku ABC ozčíme střed stry BC jko P. Dokžte, že pltí: (B-A) (C-B) (A-C) (A-P) 7. Je dá krychle ABCDEFGH. Dokžte, že pltí: (C-A) (E-D) (F-A) (F-C) 8. Je dá prvidelý šestiúhelík ABCDEF. Dokžte, že: AB AC AD AE AF AD 9. Jsou dáy body A[;], B[;-],C[;]: ) dokžte, že body A, B, C jsou vrcholy ( u k. v) 5 b) vypočtěte vzdáleost těžiště T od vrcholu C. TC 0. Jsou dáy vrcholy ABC: A[0;5], B[6;-] těžiště T[;6]. C ;5 Určete souřdice vrcholu C. ( [ ]). Vypočtěte souřdice těžiště MNQ: M[;], N[0;4], Q[- ;4]. T 0;. Dokžte, že ABCD je lichoběžík v jkém poměru jsou velikosti záklde velikost úhlu BAD; A[;], B[;5],C[ α 9 45 ; c : : 7;9], D[4;]. 5. Je dá krychle ABCDEFGH. Určete bod X tk, by pltilo u v X-P. Zpište bod X pomocí vrcholů krychle:

12 . Dokžte, že ABCD jsou vrcholy kosočtverce; A[0;0], B[;-4], C[6;0], D[;4]. Vypočtěte velikosti jeho hr, úhlopříček velikosti vitřích úhlů. 5; α e 6; f 06 6 ; 4..Vektor u ( 0; ;4) vyjádřete jko lieárí kombici vektorů ( ; ;), b ( ; ;), c (0;4;). 8 u 5 0b c 5. Zjistěte, zd body A, B, C, D leží v roviě (využijte lieárí kombice vektorů): ) A[;-;], B[6;-0;], C[-;-;-5], D[;-8;-4] (o) b) A[;0;], B[;;-], C[4;6;-], D[;;5]. (e) c) A[;;-], B[;;5], C[-;;], D[;;]. (o) Určete úhel vektorů u, v je-li u 5, 8 v u v 7. ( ϕ 60 ) 8. Vektory u, v svírjí úhel 0 přitom pltí u, v. Určete úhel vektorů u v vektoru b u v. ϕ Jsou dáy vektory ( ;5; ); ( ; ;); c ; ;. b Určete souřdice vektoru, který je kolmý k vektorům dále pltí:. c 6., b 7 9 ; ; V prostoru je dá krychle ABCDEFGH o délce hry. Zvolte soustvu souřdic pomocí sklárího součiu určete velikost úhlu ϕ mezi vektorem (H-B) vektorem: ) A-B b) G-A c) A-F d) G-B. V trojúhelíku ABC jsou dáy vrcholy A[0;0], B[;0] těžiště T ;. Dokžte, že trojúhelík ABC je prvoúhlý vypočtěte velikosti všech jeho úhlů. α 90 ; β 60 ; χ 0. Určete všechy body přímky p: - 7y 6 0, ze kterých je vidět úsečk AB v zorém úhlu 90, je-li A[0;-], B[6;6]. P 6;6 ; Q ;5 ( [ ] [ ]). Určete vektor v, který je kolmý k vektoru ( 5; ) jehož velikost je 4. v u 48 0 ; 4. Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, jehož podstvá hr má velikost 4, výšk jehlu v 6 střed hry BC je bod E. Zvolte vhodě soustvu souřdic řešte úlohy: ) vypočtěte velikost bočí hry jehlu b) určete velikost úhlu vektorů v V E u D A c) určete velikost úhlu vektorů u w C A

13 5. Je dá trojúhelík ABC, A[;;], B[4;;], C[;4;-], 7 Vypočítejte jeho obsh: S 6. Vypočítejte vektorový souči vektorů u v, je-li dáo: ) u ( ;; ) v ( ;4; ), w ( 0; 7;9) b) u ( 0;; ) v ( ;0; ), w ( ;; ) c) u ( ; ; ) v ( 4; ;6 ), w ( ;; ) d) u ( ; ) v ( ;4 ), w ( 0;0;5 ) 7.Jsou dáy vektory u ( ;;4 ) v ( ; m;0). Určete hodotu prmetru m R tk, by pltilo u v 4 6. m ; m 5. Jsou dáy body A[;;-], B[;-;5], C[0;;7], D[8;0;]. ) vypočítejte obshy všech stě b) vypočítejte objem čtyřstěu ABCD. c) vypočítejte vektory, které jsou určey všemi výškmi čtyřstěu ABCD.. Vypočítejte obsh trojúhelíku v roviě, jsou-li jeho vrcholy dáy souřdicemi: A[-;-], B[;0], C[;]. (S5) 4. Vypočítejte obsh rovoběžíku ABCD v roviě, jsou-li dáy body A[;], B[;], C[-;-]. (S0) 8. N ose určete bod X tk, by obsh trojúhelík PQX byl. Souřdice P, Q jsou: P[4;0], Q[;-4]. X ;0 ; X ;0 ( [ ] [ ]) 7 9. N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelík XYZ byl 0. Souřdice X, Z jsou: X[;;0], Z[;;]. 0. Jsou dáy vektory ( ;4; ) b ( ;; ) prmetru p R tk, by pro vektor z ( ; p;) pltilo: z zb ( p 5; p ). Určete hodotu. Vypočítejte objem čtyřstěu ABCD, jsou-li dáy jeho vrcholy: A[;;-], B[;-;], C[;;], D[-;;0]. (V)

14 9. Alytická geometrie lieárích útvrů Dlší dovedosti: - zát zvedeí soustvy souřdic u plošých prostorových útvrů - úsekový tvr přímky v roviě jeho geometrický výzm - vzájemý převod jedoho druhu rovice přímky jiý Možé mturití otázky: Alytická geometrie v roviě Alytická geometrie v prostoru Úlohy:.Je dá trojúhelík ABC, A[;4], B[;-], C[-4;-6]. Určete prmetrické, obecé směricové rovice přímek, kterých leží: ) str c b) výšk v c c) těžice t b d) os úsečky BC e) středí příčk rovoběžá s AC f) kolmice AB bodem A.. Bod S[;-] je střed čtverce, jehož str leží přímce p: y 0. Njděte rovice přímek, kterých leží osttí stry čtverce. y 8 0 y 4 0 y 6 0. V ABC je vrchol A[-;-4], B[4,-] průsečík výšek V[;-]. Určete souřdice vrcholu C těžiště T. 4 C ; ; T ; ; O ; [ ] 4 Jsou dáy body A[;5], B[9;-], C[-4;]. Dokžte, že se jedá o trojúhelík, určete jeho vitří úhly obsh. α 04 7 ; β 8 0 ; S 4,5 5 N přímce - y 0 jděte body, které mjí od bodu A[;-] vzdáleost 0. X ; 5 09 ; Y ; Určete souřdice bodu A souměrě sdružeého s bodem A[ A 4;5 8;] podle přímky p: P[;0], u (;). ( [ ]) 7. Je dá trojúhelík ABC, A[-;4], B[;-], C[5;-]. Vypočítejte: ) vitří úhel β trojúhelík ( β 98 8 ) b) odchylku přímek AB BC ( ϕ 8 5 ) c) odchylku osy úsečky AB osy d) velikost úhlu ATB, kde T je těžiště trojúhelík ABC. 8. Jsou dáy přímky p: y k q: y. Určete směrici k přímky p tk, by odchylk přímek p q byl 0 ; 4

15 . Npište obecou rovici přímky q, která prochází bodem A má od přímky p odchylku α: ) A[6;]; p: -.y 7 0; α 0 ( y. 6 0) b) A[5; ]; p:.y 0; α 60 ( y. 0) 0. Npište rovici přímky p, která prochází bodem A[;] má od bodu B[;-] vzdáleost v. y 0 y 0. N přímce 5-4y 8 0 jděte bod, který má stejou X 0;5,5 vzdáleost k bodům M[;5] N[7;-]. ( [ ]). Jsou dáy body M[-;], A[5;-], B[;7]. Určete všechy přímky, které procházejí bodem M mjí od bodů A,B stejou vzdáleost. 4 y y 5 0. N přímce p: y 0 jděte bod C tk, by trojúhelík ABC byl rovormeý, se zákldou AB, kde A[6;4], B[;- ]. C ; 4 4. Určete rovici přímky, která prochází bodem ( [ ; 5] ) A jejíž vzdáleost od počátku soustvy souřdic je. y y Jsou dáy body A[;-], B[;4], C[;]. Njděte souřdice bodu D tk, by čtyřúhelík ABCD byl rovoběžík. AD ; 5 ( [ ]) 6. Npište obecou rovici přímky p, která prochází bodem M [4;6]. Dv dé body A[-6;0], B[0;-6] mjí od přímky stejou vzdáleost. y 0 0 y 0 7. Vypočítejte souřdice vrcholů B, C rovormeého trojúhelík ABC se zákldou AB, víte-li, že vrchol A [;- ], vrchol C leží ose, dále víte, že os úhlu χ má C ;0 ; B 5; 6 rovici o: y 6 0. ( [ ] [ ]) 8. Vypočítejte souřdice vrcholů rovormeého trojúhelík ABC se zákldou AB, jestliže záte obecou rovici přímky, které leží těžice t : 4 y 5 0, A ; ; B 4; ; C 0; 5 těžiště T[4;-7] S AB [;]. ( [ ] [ ] [ ]) 9. Vypočítejte souřdice vrcholů čtverce ABCD tk, by vrchol A ležel přímce : y 0 vrchol C ležel přímce c: 5y 0. Střed čtverce S[-;]. A ; ; B 0; ; C ; ; D 4;0 ( [ ] [ ] [ ] [ ]) 0. Vypočítejte souřdice vrcholů kosočtverce ABCD tk, záte-li vrchol B[4;-] víte-li, že úhlopříčk AC leží přímce p: y 4 0. Dále pltí, že AC BD. A 4; ; C 8; ; D 8; ( [ ] [ ] [ ]) 5

16 . Jsou dáy vrcholy ABC: A[5;8], B[-;9], C[-4;5]. Zjistěte, zd průsečík výšek, těžiště střed kružice opsé leží v téže přímce.. Bodem A[;;-] veďte přímku, která je kolmá roviu ρ: r y - s z r - s P ;; Určete souřdice pty této kolmice. ( [ ]). Dokžte, že vrcholy A[4;-;], B[-8;0;4], C[8;;] tvoří vrcholy trojúhelíku. Urči jeho obsh vitří úhly (těžiště, rovici osy stry...). S α 4 8 0,6; T ; ; ; 7 0 ; β ; χ Určete obrz bodu A[;0;-8] v osové souměrosti podle přímky p: - t y t A 5; 6;0 z - t ( [ ]) 5. Určete obrz bodu A[;-4;-6] v rovié souměrosti učeé A ; ; roviou y - 4z - 0. ( [ ]) 6. Jsou dáy body A[;-;-], B[;-;-], C[;-;-], D[0;;- ]. ) vypočtěte vzdáleost bodu D od roviy ABC d b) jděte souměrě sdružeý bod D podle roviy ABC D ;; ( [ ]) c) vypočtěte objem tohoto jehlu. V 7. V prostoru je umístě prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, jehož podstvá hr AB výšk v 5. Určete: ) vzdáleost středu S podstvy od hry AV (v,9) b) vzdáleost středu S podstvy od roviy ADV (v,44) c) objem jehlu. (V5) 8. Je dá čtyřstě ABCD: A[0;;], B[;0;], C[-;-;5], D[0;-;-6]. Vypočtěte odchylky: ) AD ABC ( α 4 0 ) b) ADC ABC ( β 46 0 ) χ 6 5 c) DC ABD 9. Jsou dáy body A[;-;], B[-;-;] rovi ρ: y 8z 6 0. Njděte roviu jdoucí body A B 9 y z 0 tkovou, že je kolmá k ρ. 0. ABC je urče vrcholy A[;0;4], B[4;-;0] těžištěm T[ C ;5; ;;]. Určete souřdice vrcholu C. ( [ ]). Určete obecou rovici roviy, která prochází body A[;; ], B[;-;5] je kolmá k roviě ρ: 4y-z70. z 5z 0. Průsečicí p dvou rovi ρ, σ prochází rovi φ kolmá ke třetí roviě τ. Npište obecou rovici roviy φ, je-li: ρ: -yz-0 σ: y-z0 τ: -y-z0 4 z 5z 0 6

17 . Je dá rovi ρ: -yz-0 přímk p: t y - t z ) Určete vzájemou polohu společé body přímky roviy P ; ; b) Npište rovici přímky q, která je prvoúhlým průmětem t přímky p do roviy ρ. y t z t 7. Je dá krychle ABCDEFGH s hrou 4cm. S je střed hry AE, K je střed hry BC, L je střed hry BC. Vypočítejte: ) vzdáleost středu hry FG od přímky DS b) vzdáleost E od roviy FSH c) přímky BK roviy ALG d) odchylku rovi BCK ALH. 4. Jsou dáy vrcholy čtyřstěu A[6;0;0], B[0;5;0], C[5;6;0] D[ ;;8]. Určete: ) odchylku rovi ABC BCD ( ϕ 7 6 ) ϕ 87 4 b) odchylku mimoběžek AB CD 5. Prvidelý čtyřboký jehl ABCDV má výšku v 6, délku hry AB 4. Ozčte S střed hry AV, M střed hry VC, T těžiště trojúhelíku BCV. Vypočítejte: 67 ) délku úsečky ST d b) vzdáleost M od přímky AB. ( v ) 6. V soustvě souřdic je umístě prvidelý čtyřboký jehl ABCDV tk, že A[;;0], B[4;;0], C[4;;0], D[;;0], V[ ;;4]. Vypočtěte: ) vzdáleost středu S podstvé hry BC od přímky AV ( d,06) v 4 b) výšku jehlu, když V je jeho vrchol. 7

18 0. Alytická geometrie kvdrtických útvrů Dlší dovedosti: -zát zvedeí soustvy souřdic u plošých prostorových útvrů -úsekový tvr přímky v roviě jeho geometrický výzm -vzájemý převod jedoho druhu rovice přímky jiý Možé mturití otázky: Alytická geometrie v roviě Alytická geometrie v prostoru Úlohy:. Určete číslo tk, by přímk p byl tečou ke křivce k; k: y 69 p: 7 t y 7 t 5. ; 5. Njděte rovici kružice, která se dotýká přímky p v bodě T[ ;] přímky q: p: 7 y 5 0 q: y 0 ( 6) ( y ) 50 9 y 800. Určete souřdice společých bodů křivek: k: y 5 l: y 8 4y 65 0 Dále určete, pod jkým úhlem se tyto křivky protíjí. X ;4 ; X 5;0 ; ϕ ( [ ] [ ] 0 ). Njděte rovici kružice souměrě sdružeé s kružicí k podle přímky p; k: ( ) ( y ) p: y 0 (( 5) ( y ) ) y 5. N elipse jděte body, které mjí od jejího 00 6 prvého ohisk F vzdáleost 4. X ;5 ; X 5; 5 ( [ ] [ ]) 5 6. Je dá elips 5 6y 00 přímk y. Npište rovici tečy elipsy, která má od dé přímky odchylku 45. 6y 4 0 6y y 0 6 y 0. Je dá elips 6y 8 bod M[4;-]: ) dokžte, že M je vějším bodem b) jděte tečy z bodu M k elipse y 0 5y 9 0 ϕ 56 0 c) určete úhel teče 8

19 8. N elipse 4 9y 6 jděte body, které mjí od přímky y 5 0 mimálí miimálí vzdáleost. Určete ji. 9. Elipse je vepsá čtverec. Vypočtěte velikosti jeho str. b e 0. Je dá elips 4 9y 6 bod Q[;]. Njděte přímku, která vytíá elipse tětivu, která je půleá bodem Q. 4 9y 0. Njděte odchylku křivek: ) 9 5y 900 y 64 b) 8 9y 7 c) y 4 4y ( ϕ 7 5 ) y 4 ( ϕ 6 50 ; φ 90 ) ( ϕ ). Vypočtěte souřdice bodů, která leží prbole y 8 mjí od jejího ohisk vzdáleost 0. X 8; ; Y 8;. Z bodu K[-;0] veďte tečy k prbole y Njděte tečy křivek v jejich společých bodech: y 7 y 9. ( [ ] [ ]) y 0 y 0 5. Npište osovou rovici hyperboly, která prochází bode M[ 5;6] má symptotu y 0. 9 y H : Určete rovici tečy hyperboly. y, která je rovoběžá s přímkou 4y 5 0. Vypočtěte souřdice dotykových bodů. Dále vypočtěte souřdice ohisek. 4y 4 0; X [ 4; ] 4y 4 0; Y [ 4;]. Je dá hyperbol 9y bod M[;]: ) určete velikost poloos, ohisk vrcholy ; b ; F 0;0 ; F 0;0 [ ] [ ] A ;0 ; B ;0 b) zjistěte polohu bodu M vzhledem k hyperbole (vě) c) určete všechy přímky jdoucí bodem M mjící s hyperbolou společý právě jede bod. t : 5 y 7 0; t : y 0; : y 0; : y Je dá H:. y K: y 4. Určete úhel, pod kterým se křivky protíjí. (α0 ) 9. Určete možiu všech bodů, které mjí od počátku soustvy souřdic třikrát větší vzdáleost ež od přímky p: 4. 4( 4,5) y H : 9 8

20 0. Jsou dáy kružice k : y - 4y 0 k : y Vypočítejte průsečíky těchto kružic. Npište rovici přímky, která těmito body prochází.. Jsou dáy kružice k: y -8-4y 60 0 l: y - 4-6y - 0 ) určete průsečíky dých kružic b) pište rovice teče kružic k, l v jejich průsečících c) vypočtěte odchylku těchto teče. Npište rovici kružice, která: ) prochází středy str trojúhelík ABC: A[;5], B[;9], C[ 5;-]. Určete její průsečíky se strmi trojúhelíku ABC b) má střed v bodě S[5;4] dotýká se přímky p p: 5 -y c) prochází bodem M[;4] dotýká se obou souřdicových os.. Určete rovice teče elipsy 8 y 45, které mjí od jejího středu vzdáleost d. 4. N elipse 4 9y 6 jděte body, které mjí ejmeší ebo ejvětší vzdáleost od přímky p: 4y Je dá elips 5 9y 45 bod M[0;-]: ) dokžte, že M je bodem vější oblsti elipsy b) pište rovice teče elipsy procházející bodem M ) vypočtěte odchylku těchto teče 6. Npište osovou rovici elipsy, která má ecetricitu e prochází bodem M[; 6]. Stovte, pro která 0 hodoty reálého prmetru m je přímk p o rovici p: m. y 4 0 sečou elipsy. 7. Je dá hyperbol - 9y bod M[5;0]. Npište rovice všech přímek, která procházejí bodem M mjí s hyperbolou právě jede společý bod. 8. Je dá prbol o rovici y 6 4y 4 0 přímk p: y 7 0. Npište rovici tečy t p k dé prbole. U prboly určete vrchol, ohisko, rovici řídící přímky zkreslete ji v soustvě souřdic. 9. Npište rovici kružice, která prochází body F [;], F [ ;4] dotýká se osy. 0.. Npište rovici kružice, která má střed v bodě S[-5;4] přímce p: y 4 vytíá tětivu délky 8.. Npište rovici kružice, která prochází bodem M[;] dotýká se dých přímek p: y 6 0 q: y 0.. Npište rovici kružice, která se dotýká kružice k: ( ) y 8, přímky p: y 8 0. její střed leží kolmici vedeé středem kružice k přímku p.. Do elipsy y 6 vepište rovostrý trojúhelík KLM tk, by vrchol K splývl s hlvím vrcholem (vedlejším vrcholem) elipsy vrcholy L, M ležely dé elipse. Vypočítejte souřdice vrcholů K, L, M velikost jeho stry. 4. Jsou dáy prboly P : y 4. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. y P :

21 5. Jsou dáy elipsy E : 4 5 y 0 E : 5 4y 0. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. 6. Jsou dáy kružice k : y 5 k : ( -0) y 45. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. 7. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, které mjí od bodu A[-;6] dvkrát větší vzdáleost ež od počátku souřdic. 8. Jsou dáy body M[-;0], N[;0]. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, pro které pltí: XM XN 6 9. Jsou dáy body M[ ; ], N[- ;- ]. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, pro které pltí: XM - XN

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké

Více

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Stereometrie metrické vlastnosti 01 Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

( ) n= n+ = k = 1 n. = +. Vyjádřete jí rekurentně. 1. Vyjádřete jí rekurentně.

( ) n= n+ = k = 1 n. = +. Vyjádřete jí rekurentně. 1. Vyjádřete jí rekurentně. Poslouposti řdy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pět čleů poslouposti, která je dá tkto: 0 + ( ) + + k 6 Npište prvích 0 čleů ekoečé poslouposti ( ) prvočíslo, k, v přípdě, že eí prvočíslo Vyjádřete

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

9.5. Kolmost přímek a rovin

9.5. Kolmost přímek a rovin 9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13* STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Pracovní listy PRAVOÚHLÁ AXONOMETRIE

Pracovní listy PRAVOÚHLÁ AXONOMETRIE Techická uiverita v Liberci Fakulta řírodovědě-huaití a edagogická Katedra ateatik a didaktik ateatik PRVOÚHLÁ XONOMETRIE Petra Pirklová Liberec, lede 208 2. V ravoúhlé aooetrii obrate růět bodů [2; 5;

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více