Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum"

Transkript

1 Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT 3. ledna 03

2 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela( ). Zobrazuje statstcké určenídélkyrod6stop. Děkuj prof. Ing. Ondřej Jříčkov, CSc., doc. Ing. Karlu Malnskému, CSc. a Ing. Karlu Řezáčov za pozorné přečtení textu a četné přpomínky. Obsah Opravdujenpárslovnaúvod Chyby měření. Náhodnéchyby.... Systematckéchyby Podrobnějknáhodnýmchybámajejchpopsu Intermezzo náhodnévelčnyajejchpops Rovnoměrnérozdělení Normálnírozdělení Nejstoty měření 7 3. UrčenínejstotyměřenímetodoutypuA UrčenínejstotyměřenímetodoutypuB Určenínejstotyzrozlšenípřístroje Určenínejstotyuručkovéhoměřcíhopřístroje Určenínejstotyudgtálníhoměřcíhopřístroje Kombnovanástandardnínejstota Některédůležtévzorce Interpretacestandardnínejstotyanejstotarozšířená Copřesněvyjadřujestandardnínejstota Rozšířenánejstota Jetosložtější Prezentace výsledku měření 5 4. Fyzkálnívelčnyajejchjednotky Platnécfry Zápsvýsledkuměření Příklad 8 6 Metoda nejmenších čtverců 9 6. Aproxmacepřímkou Aproxmaceznámoumocnnou Aproxmaceexponencálou Aproxmacepolynomem m-téhostupně Složtějšípřípady Posouzeníkvaltyaproxmace Kdyžneznámenejstotyvstupníchdat Poznámka váženýprůměr

3 7 Další metody 8 7. Metodapostupnýchměření Metodaredukce... 9 A Dodatek 3 A. Studentovorozdělení A. Některéfyzkálníkonstanty A.3 Nonus

4 Fyzka je ze své podstaty expermentální vědní dscplína. Měření a jejch nejstoty jsou klíčem ke každému expermentu a každému objevu. Walter Lewn, For the Love of Physcs, 0 Opravdujenpárslovnaúvod Fyzkální měření je, od nepamět bylo a vždy bude nedílnou součástí vědy a technky a je základem fyzky. Bez přesného měření a důmyslných metod zpracování naměřených dat by nebylo možné studovat fyzkální zákony, vytvářet jejch obsah, případně je revdovat anebo dokonce provádět nové objevy. Fyzkální měření hrají klíčovou rol praktcky ve všech oborech ldské čnnost, kde umožňují zajšťovat jakost a kontrolu kvalty, funkčnost a bezpečnost technologí a podobně. Setkáváme se s nm v netechnckých oborech, jako jsou například obchod a sport. V následujícím textu je relatvně stručně pojednáno o nedílné součást každého měření o chybách měření, o postupech zpracování naměřených hodnot zajšťujících alespoň částečnou elmnac chyb měření a v neposlední řadě o určování a vyjadřování nejstot výsledků měření. Podrobnost laskavý čtenář nalezne v ctované lteratuře. Některé pracnější výpočty popsané v tomto textu (například odhad regresních parametrů a jejch nejstot metodou nejmenších čtverců) jsou mplementovány v jazyce PHP a volně dostupné prostřednctvím webové stránky věnované podpoře výuky ve fyzkální laboratoř katedry fyzky FEL-ČVUT. Chyby měření Fyzkální měření je proces, př kterém je zjšťována číselná hodnota nějaké fyzkální velčny(teploty, hmotnost, náboje,...) ve stanovených jednotkách. Předpokládáme přtom, že tato velčna má jstou skutečnou hodnotu. K měření používáme přístroje, které, bez ohledu na jejch důmyslnost, nejsou dokonalé. Měřená velčna se může mírně měnt s časem, případně může být ovlvněna procesem měření. Tyto a další okolnost zapříčňují, že nalézt skutečnou hodnotu měřené velčny není možné. Ke skutečné hodnotě je však možné se alespoň přblížt, pokud použjeme co nejpřesnější přístroje a přesně vyspecfkujeme a zkorgujeme vlv prostředí a samotného měření na její hodnotu. Rozdíl mez naměřenou s skutečnou hodnotou měřené velčny nazýváme chybou měření chyba měření naměřená hodnota skutečná hodnota. () Jelkož zjstt skutečnou hodnotu měřené velčny není možné, není možné určt an chybu měření. Jak bylo řečeno výše, chyby měření jsou zapříčněny použtím nepřesných měřcích přístrojů a neznalostí přesného stavu prostředí a jeho vlvu na měřenou velčnu. Dělíme je do dvou hlavních skupn na chyby náhodné a chyby systematcké, pokud odhlédneme od chyb hrubých, způsobených například přehlédnutím, vadným přístroj nebo jejch nesprávným použtím, kdy příslušné výsledky nebereme př dalším zpracování v úvahu.

5 . Náhodné chyby Náhodné chyby mají nekonstantní charakter a projevují se tím, že pokud provedeme opakované měřeníjednévelčnytýmžměřcímpřístrojemzastejnýchpodmínek,naměřímerůznéhodnoty. Tyto různé hodnoty způsobuje vlv mnoha malých(neřdtelných) změn podmínek měření(elektromagnetcké rušení, změny teploty, tlaku a vlhkost vzduchu, pohyb vzduchu, otřesy) na měřcí přístroj č měřenou velčnu, případně změna měřené velčny samotné a v neposlední řadě nedokonalost smyslů expermentátora. Náhodné chyby nelze zcela elmnovat, neboť není možné zcela vyloučt drobné změny podmínek měření, jejch vlv lze pouze zmírnt. Odhad skutečné hodnoty měřené velčny(jak bude uvedeno dále) provádíme s využtím metod matematcké statstky obvykle tak, že z více opakovaných měření vypočteme artmetcký průměr, čímž se vlv náhodných chyb částečně vyruší, zpravdla tím víc, čím víc je opakovaných měření provedeno. Ncméně, většnou nemá smysl měření opakovat velm mnohokrát(například automatzovaným sběrem dat za použtí PC), neboť měření mmo jné ovlvňuje přesnost použtých přístrojů a chyby systematcké, jejchž vlv opakovaným měřením korgovat nelze.. Systematcké chyby Systematcké chyby se vyznačují tím, že mají konstantní charakter v tom smyslu, že nezapříčňují různé hodnoty př měření jedné velčny za stejných podmínek stejným měřcím přístrojem. Častým zdrojem těchto chyb je měřcí přístroj, který nemá přesně nastavenou(má posunutou) nulovou hodnotu a v důsledku toho zobrazuje menší(větší) hodnotu oprot hodnotě měřené, přčemž rozdíl mez měřenou a zobrazovanou hodnotou je konstantní, chyba je tedy adtvní. Systematcká chyba může být multplkatvní, například v případě, kdy zesílení měřcího přístroje nemá přesně deklarovanou hodnotu. Zdrojem systematckých chyb může být nevhodně zvolená metoda měření. Několk konkrétních příkladů: Př měření elektromotorckého napětí zdroje s vntřním odporem, jehož velkost je nezanedbatelná oprot vntřnímu odporu použtého voltmetru, neměříme napětí zdroje, ale napětí na dělč tvořeném vntřním odpory zdroje a voltmetru. Př znalost velkostí obou odporů je možné provést korekc. Př určování hmotnost objektu vážením je třeba vzít v úvahu vztlakovou sílu na něj působící, pokud jeho hustota není výrazně vyšší oprot hustotě vzduchu. Př znalost obou hustot můžeme provést příslušnou korekc. Systematcké chyby lze odhalt například použtím jných(přesnějších) měřcích přístrojů č opakováním měření více nezávslým metodam založeným na odlšných fyzkálních prncpech, což v mnoha případech vyžaduje jsté zkušenost expermentátora. Poté, co je systematcká chyba odhalena, je možné její vlv elmnovat změnou uspořádání expermentu, kalbrací příslušného přístroje, případně použtím korekce(adtvní nebo multplkatvní). V dalším textu budeme předpokládat, že systematcké chyby se podařlo elmnovat č korgovat a zaměříme se na zpracování chyb náhodných. Stejnýchdotémíry,kteroujsmeschopnzajstt.

6 .3 Podrobněj k náhodným chybám a jejch popsu Jak bylo řečeno výše, náhodné chyby bývají zapříčněny působením mnoha faktorů, které jsou často samostatně neměřtelné. Podle tzv. hypotézy o elementárních chybách jsou navzájem nezávslé, hodnotu měřené velčny mohou zvětšovat zmenšovat a jejch vlv se sčítá. Odtud vyplývá, že náhodné chyby mají níže uvedené vlastnost. Velkéchyby(aťužkladnéčzáporné)jsouméněčasté,nežlchybymalé.Abydošlokvelké chybě,muselobymnohonavzájemnezávslýchfaktorůpůsobtsoučasně stejnýmsměrem, což je málo pravděpodobné. Kladné a záporné hodnoty náhodných chyb jsou víceméně stejně pravděpodobné pravděpodobnost jejch výskytu je reprezentována sudou funkcí. Příklad s házením mncem. Výše uvedené vlastnost náhodných chyb můžeme velce názorně demonstrovat níže uvedeným myšlenkovým(anebo opravdovým, pokud nevěříte...) expermentem. Vezmeme N mncí, které vyhodíme do vzduchu a necháme spadnout na zem, přčemž po každém hodubudemepočítatskóretak,žezakaždéhoorlaspřpočtemejedenbodazakaždoupannus jeden bod odečteme. V každém hodu tedy můžeme získat maxmálně N a mnmálně N bodů. V případě dvou mncí mohou nastat tyto kombnace: Kombnace PP PO OP OO Skóre 0 0 Pravděpodobnost skóre je /4(jedna ze čtyř kombnací vede na toto skóre) pravděpodobnost skóre 0je /(dvězečtyř)apravděpodobnostskóre jeopět /4.Vpřípadětřímncímohou nastat tyto kombnace: Kombnace PPP PPO POP POO OPP OPO OOP OOO Skóre 3 3 Pro pravděpodobnost možných skóre tedy dostáváme P( 3) /8, P( ) 3/8, P() 3/8aP(3) /8. ObecněproNmncímůženastat N výsledků,znchžovšem některémajístejnáskóre.pravděpodobnost,žepadne n o orlů můžeme spočítat jako P o (n o ) N ( N n o ) N! N n o!(n n o )!, přčemžproskórezřejměplatí S n o N.Takženapříklad pro N 0 mncí pro pravděpodobnost maxmálního(mnmálního)skóreplatí P(0) P( 0) 0 0 6,cožjepravděpodobnost velce malá, neboť těchto výsledků lze dosáhnout jenjednímzpůsobem.pronulovéskóreplatí P(0) 0,76,neboť tohoto výsledku lze dosáhnout způsoby. Rozdělení pravděpodobnost pro jednotlvá skóre je uvedeno na obrázku. P(S) N S Obrázek : Rozdělení pravděpodobnost dosažení skóre S. Skóre v tomto příkladě počítáme jako součet výsledků nezávslých jevů(padne orel nebo pana u každé z mncí). Pravděpodobnost vysokého skóre(v absolutní hodnotě) je velce malá v porovnání s pravděpodobností nízkého skóre, kladná záporná skóre jsou stejně pravděpodobná. 3

7 Budeme-l N-krát opakovaně měřt velčnu X, dostaneme její -tou hodnotu jako x x s +ǫ, kde x s jeskutečnáhodnotaměřenévelčnyaǫ jenáhodnáchyba -téhoměření Vypočítáme součet x (x s +ǫ ) Nx s + ǫ N x x s + N ǫ. () Jelkož předpokládáme, že kladné chyby jsou stejně pravděpodobné jako chyby záporné, bude platt lm ǫ 0, N N takže dosazením do vztahu() dostaneme x s lm N N x, (3) skutečnou hodnotu bychom tedy vypočetl jako artmetcký průměr všech možných naměřených hodnot. Jelkož praktcky máme k dspozc pouze N naměřených hodnot(kde N je konečné), odhadneme skutečnou hodnotu pomocí artmetckého průměru těchto hodnot x N Jezřejmé,že xseblíží x s tímvíce,čímvětšíje N. x. (4) Poznámka: Metoda nejmenších čtverců. Představme s, že opakovaným měřením velčny X jsmedostalhodnoty x,x,...,x N,kterésevdůsledkunáhodnýchchybodsebenavzájemlší,a chtěl bychom najít nějakou hodnotu x, která bude co nejlépe odpovídat hodnotě skutečné. Můžeme to udělat tak, že defnujeme velčnu χ (x x ) +(x x ) + +(x x N ), cožjesoučetdruhýchmocnn(nebolčtverců,odtudnázevmetody) vzdálenost jednotlvých hodnot x odhledanéhodnoty x.tatovelčnabytedymělabýtmnmální.najdemeextrém: dχ dx (x x )+(x x )+ +(x x N )! 0 Nx x +x + +x N, jelkož d χ /dx N > 0,jednáseomnmum.Odtudprohledanouhodnotu xdostanemevztah x N x, což není nc jného, než artmetcký průměr. Jakbylořečenovýše,nezahrnujemezdevlvsystematckýchchyb. 4

8 Kromě odhadu skutečné hodnoty měřené velčny artmetckým průměrem x je důležté nějak popsatvarabltunaměřenýchhodnot.jezřejmé,žepokudbudoujednotlvéhodnoty x ležet vúzkémntervalukolem x,budevýsledekměření jstější,nežkdybybylpříslušnýntervalšroký. K tomuto účelu nelze použít artmetcký průměr odchylek naměřených hodnot od artmetckého průměru, neboť platí (x x) x Nx x x 0. (5) Bylo by tedy možné sčítat absolutní hodnoty těchto odchylek, ncméně se ukazuje, že je praktčtější sčítat jejch druhé mocnny. Zavádí se tedy tzv. odhad směrodatné odchylky(výběrová směrodatná odchylka) s, jejíž druhá mocnna(tzv. výběrový rozptyl) je defnována předpsem Platí tedy s N (x x). (6) s (x x). (7) N Důvodvýrazu N vejmenovatelvzorců(6)a(7)namísto N,jakbysenaprvnípohled zdálologcké,jeten,ževelčny x x(jchžjecelkem N)nejsounavzájemnezávslé,neboť můžeme vzhledem ke vztahu(5) například psát N N. Velčny tedymajípouze ν N stupňůvolnost.detalnějšírozborjemožnénaléztnapř. v[]a[4]..4 Intermezzo náhodné velčny a jejch pops Pro účely dalšího výkladu bude na tomto místě vhodné věnovat několk odstavců náhodným velčnám(výsledek měření zatížený náhodnou chybou je náhodná velčna) a jejch popsu. Budeme se zde zabývat pouze náhodným velčnam spojtým, které mohou(alespoň v určtém ntervalu) nabývat lbovolných hodnot. K úplnému pravděpodobnostnímu popsu náhodné velčny X slouží tzv. hustota pravděpodobnostnáhodnévelčny f X,pomocínížlzespočítat,sjakoupravděpodobnostínabývávelčna hodnotu v určtém ntervalu P(x x x ) x Hustota pravděpodobnost je nezáporná funkce, pro kterou zřejmě platí f X (u)du, x f X (u)du. (8) 5

9 velčna X má tedy s pravděpodobností rovnou jedné nějakou hodnotu. Pomocí hustoty pravděpodobnost lze spočítat některé význačné charakterstky náhodných velčn. Střední hodnota(ve smyslu průměrná )jedefnovánapředpsem µ E[X] Rozptyl(varablta) náhodné velčny je defnován předpsem σ Var[X] E[(X µ) ] uf X (u)du. (9) Velčnu σ Var[X] E[(X µ) ]nazývámesměrodatnáodchylka..4. Rovnoměrné rozdělení Náhodná velčna má rovnoměrné rozdělení na ntervalu a, b, pokud pro její hustotu pravděpodobnost platí { (b a) pro u a,b, f XR (u) () 0 jnde. Snadno se přesvědčíme, že platí Pro střední hodnotu dostaneme f XR (u)du b du. b a a µ XR (u µ) f X (u)du. (0) f XR uf XR (u)du b udu a+b b a a, a µ b u Obrázek : Rovnoměrné rozdělení. střední hodnota tedy leží přesně uprostřed ntervalu a, b. Pro rozptyl dostaneme σ XR (u µ XR ) f XR du b ( u a+b ) du (b a). b a a Označíme-l šířku ntervalu a, b jako b a, můžeme pro směrodatnou odchylku rovnoměrného rozdělení psát σ XR. () Směrodatná odchylka rovnoměrného rozdělení se také často vyjadřuje pomocí polovny šířky ntervalu a,b,označmejej (b a)/.pakplatí σ XR ( ) 3. (3) 6

10 .4. Normální rozdělení Normální, nebo též Gaussovo, rozdělení má pro zpracování(nejen) fyzkálních měření klíčovou důležtost. V teor pravděpodobnost se dokazuje věta(tzv. centrální lmtní věta, vz např.[7]), která v podstatě říká, že hustota pravděpodobnost velčny, jejíž hodnotu lze vyjádřt jako součet hodnot mnoha nezávslých, ale jnak lbovolných náhodných velčn, je dána funkcí f XN (u) σ (u µ) π e σ. (4) Dá se ukázat 3, že pro střední hodnotu a směrodatnou odchylku normálního rozdělení platí f XN µ XN µ, σ XN σ. Funkce f XN (u) má tvar zvonu, je symetrcká kolem střední hodnoty µ, ve σ σ kterémámaxmum,vzobr.3.čímjesměrodatná odchylkaσmenší,tímmáfunkcef XN (u) štíhlejší σ 3 aprotáhlejší tvar,cožznamená,žesehodnoty náhodné velčny X vyskytují s větší pravděpodobností v užším ntervalu kolem střední hodnoty µ. µ u Často je třeba znát pravděpodobnost, se kteroumánáhodnávelčnahodnotuvntervalu Obrázek3:Normálnírozdělení, σ < σ < σ 3. (µ kσ x µ+kσ),kde k > 0jenějakýkoefcent (tzv. koefcent rozšíření). Postupně dostaneme P(µ kσ x µ+kσ) µ+kσ k ) k σ e (u µ) σ du e u / du erf(, (5) π µ kσ π 0 kdefunkceerfjetzv.chybováfunkce 4 (errorfuncton).vtabulcejsouuvedenyněkterédůležté hodnoty k 0,674,96,576 3 P 0,5 0,683 0,95 0,954 0,99 0,997 Tabulka:Pravděpodobnost P(µ kσ x µ+kσ)pronormálnírozdělení. Praktcká zkušenost a fakt, že hypotéza o náhodných chybách je v souladu s předpoklady centrální lmtní věty nás vede k závěru, že náhodné chyby mají normální rozdělení, takže střední hodnota µ x s asměrodatnáodchylkaodhadovanávztahem(7)jesměrodatnouodchylkounormálního rozdělení. 3 Nejstoty měření Skutečnost, že každé fyzkální měření je zatíženo(náhodným a systematckým) chybam, které se nkdy nedají zcela elmnovat, zapříčňuje, že výsledek měření není nkdy úplně jstý, můžeme jej tedy formulovat pomocí vztahu výsledek měření odhad skutečné hodnoty ± nejstota měření, (6) 3 Výpočettěchtontegrálůjžneníelementární,využíváLaplaceůvntegrál 0 e x dx π/,vznapř.[7]. 4 Tutotakzvaněvyššítranscendentnífunkcběžněznajíprogramovébalíky,jakonapř.MatlabneboMaple. 7

11 který říká, že skutečná hodnota měřené velčny se s jstou mírou pravděpodobnost nachází v okolí její odhadnuté hodnoty v ntervalu daném nejstotou měření. Vmetrologserozlšujídvatypymetodurčovánínejstot,tzv.metodatypuAametodatypuB. Někdy se zkráceně(a nepřesně) hovoří o nejstotě typu A a nejstotě typu B. Jednotlvé příspěvky k celkové nejstotě měření se vyjadřují pomocí odhadu směrodatných odchylek, nebol tzv. standardních nejstot. 3. Určení nejstoty měření metodou typu A Metoda typu A určování nejstot využívá matematckou statstku. V případě opakovaných měření se postupuje následujícím způsobem. Z N naměřených hodnot odhadneme skutečnou hodnotu měřenévelčnypomocíartmetckéhoprůměru x,vzvztah(4).jednotlvénaměřenéhodnoty x jsou v okolí hodnoty x rozptýleny, přčemž mírou tohoto rozptýlení je odhad směrodatné odchylky s, vz vztah(7). Artmetcký průměr je však také náhodná velčna, o čemž bychom se snadno přesvědčl, kdybychom N měření a příslušné výpočty provedl opakovaně. Dá se očekávat, že čím většíjepočetměřenívdanésér(n),tímméněsebudoujednotlvéartmetcképrůměryodsebe lšt a budou méně rozptýleny kolem skutečné hodnoty měřené velčny. Jestlže jednotlvé hodnoty x nejsouvzájemněkorelované 5,proodhadsměrodatnéodchylkyartmetckéhoprůměruplatí,vz poznámka na straně 3, s s. (7) N Velčna s udává míru nejstoty v odhadu skutečné hodnoty měřené velčny a je standardní nejstotouurčenoumetodoutypua.značímej u A adosazenímvztahu(7)do(7)prondostaneme u A s N (x x). (8) N(N ) Stejně jako je artmetcký průměr z naměřených hodnot náhodná velčna, je náhodná velčna standardní nejstota(odhad směrodatné odchylky). Dá se ukázat, vz např.[], že pro nejstotu odhadu nejstoty platí u[u(x)] u(x) ν, (9) kde νjepočetstupňůvolnost,tedypropřípadartmetckéhoprůměruplatí ν N.Přímýmdosazením do vzorce(9) je možné se například přesvědčt, že pro relatvní nejstotu odhadu nejstoty artmetckéhoprůměruurčenéhozn 0hodnotplatí u[u(x)]/u(x) 4%. Jným příkladem vyhodnocení nejstoty metodou typu A je odhad směrodatných odchylek regresních parametrů v metodě nejmenších čtverců, vz odstavec Určení nejstoty měření metodou typu B Metoda typu B je založena na procedurách jných, než statstckých. Určení nejstoty metodou typu B využívá všechny dostupné nformace, například specfkace dodané výrobcem měřcího přístroje, dříve získaná data, zkušenost z předchozích expermentů a podobně. Standardní nejstota se opět vyjadřuje jako odhad směrodatné odchylky. Uveďme několk příkladů. 5 Tobynastalonapříkladpřpostupnémnárůstu(poklesu)hodnotyměřenévelčny. 8

12 3.. Určení nejstoty z rozlšení přístroje Nemáme-l žádné blžší nformace o použtém měřcím přístroj, můžeme vyjít z jeho rozlšovací schopnost 6. Jestlžejetatorozlšovacíschopnost (reprezentovanánapř.rozlšenímdspleje. velkostí dílku stupnce č rozlšením nona, vz dodatek A.3), dá se očekávat, že měřená velčna má hodnotu nacházející se se stejnou pravděpodobností kdekolv v ntervalu ± / kolem zobrazované hodnoty. Chyba měření má tedy rovnoměrné rozdělení, vz odstavec.4.. Směrodatnou odchylku (standardní nejstotu určenou metodou typu B) tedy odhadneme pomocí vztahu() jako u B. (0) 3.. Určení nejstoty u ručkového měřcího přístroje Přesnost ručkových měřcích přístrojů se vyjadřuje pomocí tzv. třídy přesnost TP. Jedná se o maxmální relatvní velkost chyby přístroje(vyjádřenou v procentech) př výchylce ručky v krajní poloze stupnce. Třída přesnost bývá uvedena číselnou hodnotou zpravdla pod stupncí měřcího přístroje, normalzovány jsou hodnoty 0,; 0,; 0,5; ;,5;,5; 5. Pro standardní nejstotu měření tedy platí(s ohledem na fakt, že měřená velčna má zřejmě hodnotu kdekolv v daném ntervalu) u B (rozsahpřístroje) TP/00 (rozsahpřístroje) TP/00 3. () 3..3 Určení nejstoty u dgtálního měřcího přístroje U dgtálních měřcích přístrojů výrobce obvykle udává maxmální chybu měření jako ±p%znaměřenéhodnoty±ndgtů, kde p je kladné číslo a pojmem n dgtů se myslí n-násobek rozlšovací schopnost přístroje. Hodnota měřené velčny se se stejnou pravděpodobností nachází kdekolv v daném ntervalu, takže pro standardní nejstotu můžeme psát u B (p%znaměř.hod.+ndgtů) p%znaměř.hod.+ndgtů 3. () Párpříkladů:Posuvnéměřítko,kterémánanonu50dílkůmározlšení/50mm0µm. Standardní nejstotu tedy dostaneme dosazením do vzorce(0) jako u B 0µm 5,8µm. Ručkový mlampérmetr má rozsah 600 ma a třídu přesnost 0,5. To znamená, že přesnost ndkované hodnoty je ±600 0,5 ma ±3mA Zdejevšaktřebajstéobezřetnost.Nesoldnívýrobcměřcíchpřístrojůčastopoužívajíjemnédělenístupnce (rozlšení dspleje), které neodpovídá přesnost daného přístroje. 9

13 Dosazením do vzorce() dostaneme standardní nejstotu jako u B 3 3 ma,7ma. 3 /-místný dgtální multmetr MY-64 má podle specfkace výrobce na rozsahu 0 V stejnosměrných přesnost ±(0,5%zúdaje+dgt). Dsplej přístroje na tomto rozsahu zobrazuje maxmálně hodnotu 9,99 V, jeden dgt má tedy velkost 0,0 V. Zobrazuje-l přístroj tedy například hodnotu,69 V, je přesnost zobrazované hodnoty napětí ( ±,69 0,5 ) 00 +0,0 V ±73,5mV. Standardní nejstotu dostaneme dosazením do vzorce() jako u B 73,5 3 mv 4mV. 3.3 Kombnovaná standardní nejstota Častojetřebaurčtodhadanejstotuvelčny Z,kterájefunkcívícevelčn,např. X,Y,přčemž je dána funkční závslost Z f(x,y). (3) Jestlžeskutečnéhodnotyvelčn Xa Y jsou x s a y s,budezřejměplatt z s f(x s,y s ).Př -tém měření každé z velčn se dopustíme chyby. Budou-l tyto chyby malé, můžeme chybu určení velčny Z formulovat pomocí Taylorova rozvoje vztahu(3) jako z z s ( f X ) (x x s )+ x s,y s ( f Y ) (y y s ). (4) Pro rozptyl velčny Z(teoretcky vypočtený z nekonečně mnoha naměřených hodnot) potom platí σz lm N N (z z s ) lm N N ( f X ) x s,y s lm N N [ ( f ) X (x x s ) + x s,y s x s,y s (x x s )+ ( f Y ( f f + X Y ) ) x s,y s lm N x s,y s lm N ( ) f (y y s )] Y x s,y s N N (y y s ) + (x x s )(y y s ). (5) Budou-lchybyvelčn Xa Y nekorelované,tedypř -témměření x x s a y y s nebudoumít soustavně stejná znaménka(to nastane v případě nezávslých měření), bude pro jejch kovaranc 0

14 platt σxy lm N N (x x s )(y y s ) 0, takže vzorec(5) přejde do jednoduššího tvaru ( ) ( ) f f σz σx X + σy x s,y s Y. (6) x s,y s Výše uvedené vzorce můžeme zobecnt a použít pro odhad nejpravděpodobnější hodnoty velčny Z f(x,x,...,x M ),prokterouseobvyklepoužívávztah z f(x,x,...,x M ) (7) akombnovanéstandardnínejstoty u c (Z),prokterousohledemnavztah(6)můžemepsát M u c (Z) ( f X ) u (X ). (8) x,x,...,x M Vztah(8)platíopětpouzezapředpokladu,žechybyvelčn X,X,...,X M jsounavzájemnekorelované. Zdrojem korelací by například mohlo být použtí jednoho přístroje se systematckou chybou pro měření dvou č více velčn. Jným zdrojem korelací je měření velčn, které jsou na sobě závslé 7. Vpřípadě,ženěkterévelčnyjsouzávslé,jetřebadovzorce(8)zahrnoutpříslušné kovarance 8. Unejstot u(x )senerozlšujemeznejstotamvyhodnocovanýmmetodoutypua čb. Zejména př počítačovém zpracování je někdy jednodušší určt kombnovanou standardní nejstotu měření(8) numercky pomocí vzorce [ ] f u c (Z) [x +u(x ),x,...,x M ] f [x u(x ),x,...,x M ] + [ ] f [x,x +u(x ),...,x M ] f [x,x u(x ),...,x M ] + + [ ] f [x,x,...,x M +u(x M )] f [x,x,...,x M u(x M )] + +. (9) Poznámka kombnovaná standardní nejstota u přímého měření Kombnovanou standardní nejstotu zavádíme v případě přímého měření, což lze lustrovat na následujícímpříkladu.opakovanýmměřenímvelčny Xmůžemevypočítatartmetckýprůměr x a výběrovou směrodatnou odchylku artmetckého průměru, která reprezentuje standardní nejstotu typua,kterouoznačíme u A.Nejpravděpodobnějšíhodnotuměřenévelčnyvypočtemejako x x +k, 7 Například,budeme-lchtítstanovthustotunějakéhoobjektu,změřímenezávslejehohmotnostaobjem,tato měření jsou nezávslá. Budeme-l měřt teplotní součntel délkové roztažnost, musíme současně měřt teplotu a délku vzorku, tato měření jsou závslá(délka se s teplotou mění). 8 Jeaszřejmé,ževtomtopřípaděmusíbýtvšechnyvelčnyměřenysoučasnězastejnýchpodmínek.

15 kde k je korekce na systematckou chybu(například měřcího přístroje). Tuto chybu nelze faktcky korgovat s přesností větší, než je přesnost měřcího přístroje, která je zpravdla charakterzována standardnínejstotou typub u B.Prokombnovanoustandardnínejstotuvelčny X tedy můžeme psát ( ) X X X +K u C (X) u (X )+ X ( ) X u (K) K u (X )+u (K) u A +u B u C u A +u B. (30) Poslední vzorec používáme pro kombnování standardních nejstot A a B v případě, kdy je korekce na systematckou chybu nulová. V případě, kdy jedna ze složek nejstoty má výrazně vyšší hodnotu než složka druhá, můžeme hodnotu menší složky zanedbat Některé důležté vzorce Pomocí vztahu(8) se za předpokladu vstupních velčn s nekorelovaným chybam snadno odvodí následující vzorce Z X +a u(z) u(x), Z ax ±by u (Z) a u (X)+b u (Y), Z XY u (Z) y u (X)+x u (Y) u (Z)/z u (X)/x +u (Y)/y, Y X a u(y) ax a u(x) u(y)/ y a u(x)/ x, Z X/Y u (Z) u (X)/y +x u (Y)/y 4 u (Z)/z u (X)/x +u (Y)/y, Y e ax u(y) a e ax u(x) u(y)/ y a u(x), Y ln(ax) u(y) u(x)/x. Příklad: Nejstota určení tíhového zrychlení Tíhové zrychlení g můžeme změřt tak, že z výšky h necháme padat malou kulčku a budeme odečítat dobu jejího pádu t. Z opakovaných měření vypočteme artmetcké průměry h a t a(případně s využtím dalších nformací) standardní nejstoty u(h) a u(t). Jelkož platí odhadneme tíhové zrychlení jako h gt g h t, g h t. Vypočítáme jednotlvé dervace g h g t, t 4h t 3 a dosadíme je do vztahu(8), takže pro standardní nejstotu odhadu tíhového zrychlení dostaneme 4 u(g) t 4u (h)+ 6h t 6 u (t).

16 Poznámka: Směrodatná odchylka artmetckého průměru [odvození vzorce (7)]. Počítáme-l artmetcký průměr z N naměřených, navzájem nekorelovaných hodnot x N (x +x + +x N ), můžeme na hodnotu x nahlížet jako na hodnotu náhodné velčny X, pro kterou platí X N (X +X +...X N ) f (X +X +...X N ). Platí-lproodhadsměrodatnéodchylkyvšechnáhodnýchvelčn s s,můžemeproodhadsměrodatné odchylky artmetckého průměru psát f X N s N s N s N s s N. 3.4 Interpretace standardní nejstoty a nejstota rozšířená Cílem fyzkálního měření je, kromě stanovení nejlepšího odhadu skutečné hodnoty měřené velčny,rovněžpravděpodobnostnínterpretaceodhadustandardnínejstotyjakožtomíry úspěchu měření Co přesně vyjadřuje standardní nejstota Odhadsměrodatnéodchylkyzískanýzopakovanýchměřeníobvyklespojujeme 9 snormálnímrozdělením pravděpodobnost náhodných chyb. To znamená, vz vztah(5) a tabulka, že zhruba 68%znaměřenýchhodnotbudeležetvntervalu ±σkolemskutečnéhodnoty x s měřenévelčny. Vypočítáme-lartmetckýprůměrzmnohajednotlvýchměření,můžemeočekávat,že x x s a s σaprotozhruba68%naměřenýchhodnotbudeležetvntervalu (x s) x (x+s). Obdobně, kdybychom opakoval celý experment mnohokrát(n-krát), mohl bychom očekávat, žejednotlvéartmetcképrůměry xmajínormálnírozdělení 0 symetrckékolemskutečnéhodnoty x s sesměrodatnouodchylkou σ x s s/ N.Opěttedymůžemepředpokládat,žezhruba68% vypočtených artmetckých průměrů bude ležet v ntervalu (x s s) x (x s +s). Jsme-l přesvědčen, že jsme měření provedl dostatečně pečlvě a kompenzoval všechny systematcké chyby, můžeme provést logcký skok a předpokládat, že pokud rozdělení pravděpodobnost jezhrubanormálníau c mámnohostupňůvolnost,skutečnáhodnotaměřenévelčnyležíspravděpodobností zhruba 68% v ntervalu (x u c ) x s (x+u c ), (3) 9 Vedenásktomuzkušenost. 0 Tovyplývázcentrálnílmtnívěty;výpočetartmetckéhoprůměrujenormovanýsoučetnáhodnýchvelčn. 3

17 kde u c jekombnovaná standardnínejstotaměřenévelčny. Interval defnovaný vztahem(3) nazýváme šedesátosmprocentní nterval spolehlvost Rozšířená nejstota Ikdyžjenejstotaměřenízcelaurčenapomocíkombnovanéstandardnínejstoty u c,vněkterých případech(zejména v technckých aplkacích) je zvykem vyjadřovat nejstotu spojenou s šrším ntervalem spolehlvost, než jak defnuje vztah(3), takovým způsobem, aby v něm skutečná hodnota ležela s vyšší pravděpodobností, nejčastěj 95% č 99%. Za tímto účelem zavádíme tzv. rozšířenou nejstotu U defnovanou vztahem U ku c, (3) kde kjetzv.koefcentrozšíření.potom,vztabulkanastraně7,můžemepsát (x ku c ) x s (x+ku c ), (33) kde,zapředpokladu,žerozdělenípravděpodobnostjezhrubanormálníau c mámnohostupňů volnost pro k leží skutečná hodnota měřené velčny v ntervalu(33) s pravděpodobností zhruba95%apro k 3spravděpodobnostízhruba99%. Je však třeba mít na pamět, že rozšířená nejstota oprot nejstotě standardní nepřnáší žádnou novou nformac, jedná se jen o jný způsob vyjádření nejstoty měření. Př vyjadřování rozšířené nejstoty je nutné vždy uvádět, k jaké pravděpodobnost je vztažena, respektve jaký koefcent rozšíření byl k jejímu určení použt Jetosložtější... Určení ntervalu spolehlvost je ve skutečnost poněkud komplkovanější, neboť podmínka, že rozdělenípravděpodobnostjezhrubanormálníau c mámnohostupňůvolnost,nemusíbýtvždynutně splněna. Jestlže je př opakovaném přímém měření fyzkální velčny domnantní nejstota určená metodou typu A výběrová směrodatná odchylka artmetckého průměru vypočtená vztahem(8) je podle hypotézy o elementárních chybách rozdělení naměřených hodnot zhruba normální a propočetstupňůvolnoststandardnínejstotyplatí ν N.Dáseukázat,vzdodatekA., že koefcent rozšíření ve vztahu(3) rozšřující nterval spolehlvost(33) je rovný součntel t Studentova rozdělení pro požadovanou míru pravděpodobnost, pro ν však Studentovo rozdělení přechází v rozdělení normální a koefcent rozšíření je možné vypočítat ze vztahu(5) nebo určt z tabulky. Pro konečný počet stupňů volnost s jeho klesající hodnotou velkost koefcentu rozšíření roste(vz tabulka 6 na straně 33). V případě nepřímých měření je stuace obdobná. Jestlže jsou jednotlvé chyby vstupních velčn malé, můžeme výslednou chybu teoretcky vyjádřt pomocí Taylorova rozvoje(4). Výsledná chyba je tedy(až na multplkatvní koefcenty) daná součtem chyb vstupních velčn, takže v případě, kdy některé vstupní velčny jsou zatíženy chybam s rozdělením jným než normálním, má podle centrální lmtní věty chyba výsledné velčny zhruba normální rozdělení se směrodatnou odchylkou odhadnutoupomocíkombnovanéstandardnínejstoty u c.početstupňůvolnost νkombnované standardní nejstoty je možné vypočítat pomocí tzv. Welchovy-Satterthwatovy formule, jejíž použtí je podrobně dskutováno v[], a koefcent rozšíření pomocí parametru t Studentova rozdělení pro daný počet stupňů volnost, vz dodatek A.. 4

18 4 Prezentace výsledku měření Výsledek měření, to jest hodnotu měřené fyzkální velčny, prezentujeme s ohledem na skutečnost, žejejchcemeněkomusdělt. Ztohotodůvodubymělbýtzapsánjednoznačněasrozumtelně. 4. Fyzkální velčny a jejch jednotky Hodnota skalární fyzkální velčny je určena dvěma číselným údaj. Kvalta velčny je určena jednotkou, kvantta číselnou hodnotou. Jednotkou velčny(měřcí jednotkou) je vhodně zvolená velčna stejného typu, která umožňuje kvanttatvní porovnání velčn měřením a přsuzujeme jí hodnotu. Číselná hodnota je poměr velčny vzhledem k její zvolené jednotce. Mez fyzkální velčnou, její číselnou hodnotou a jednotkou platí vztah Velčna Jednotka Symbol délka metr m X {X}[X], čas sekunda s kde {X} představuje číselnou hodnotu(v použtých jednotkách) a [X] příslušnou jednotku. Můžeme tedy například pro tzv. standardní tíhovézrychlení g n psát hmotnost klogram kg elektrcký proud ampér A termodynamckáteplota kelvn K svítvost kandela cd látkové množství mol mol g n 9,80665m s, Tabulka : Základní jednotky SI. kde {g n } 9,80665ječíselnáhodnotaa[g n ] m s jejednotka,kekterésečíselnáhodnota vztahuje. Změnou jednotky se pro danou velčnu mění příslušná číselná hodnota. Je tedy zřejmé, že pokud bychom zapomněl jednotku fyzkální velčny zapsat, nebylo by zřejmé, k čemu se číselná hodnotavztahuje,atabysamaosoběnemělažádnouvypovídacíhodnotu. Velčna Jednotka Symbol Ekvvalent kmtočet hertz Hz s síla newton N kg m s práce joule J N mkg m s výkon watt W J s 3 kg m s tlak pascal Pa N m kg m s elektrcký náboj coulomb C A s elektrckénapětí volt V N C mkg m s 3 A elektrckýodpor ohm Ω V A kg m s 3 A kapacta farad F C V A s4 kg m magnetckándukce tesla T N C m skg A s magnetckýndukčnítok weber Wb T m kg m A s ndukčnost henry H Wb A kg m A s Tabulka 3: Některé odvozené fyzkální velčny a jejch jednotky. Cožse,mlístudent,takétýkáprotokolůzfyzkálníhopraktka! SondaMarsClmateOrbtershořela vatmosféřeMarsupřneúspěšnémpokusuonavedenína oběžnou dráhu. Příčnou byla skutečnost, že palubní řídící program sondy očekával číselné hodnoty velkost síly tahu motorů v metrckých jednotkách(newtonech), zatímco program v pozemním řídícím středsku generoval tyto hodnotyvjednotkáchbrtsko-amerckých(poundforce lbf,lbf4,448n). 5

19 Aby výsledky měření získané různým ldm v různých místech a různých dobách mohly být porovnatelné, měří se fyzkální velčny v jednotkách stanovených přesně a jednoznačně. Volba jednotekseprovádítak,žejeudánexpermentálnípostup 3,jaksedanájednotkarealzuje,nebo jezanzvolennějakýprototyp 4. Fyzkálních velčn je velké množství. Stejnorodé fyzkální velčny můžeme sčítat a odčítat, násobením a dělením vznkají velčny nové. Praxe ukázala, že k popsání všech fyzkálních jevů postačuje velm malý soubor tzv. základních velčn, jejch násobením a dělením vznkají velčny odvozené. Vroce960vybralaXI.generálníkonferencepromíryaváhysedmzákladníchvelčnajejch jednotek, které se staly základem Meznárodní soustavy jednotek označované zkratkou SI, vz tabulka. Soustava jednotek SI je rozšířena tzv. jednotkam doplňkovým radán(rad) pro rovnný úhel asteradán(sr)proúhelprostorový.tytojednotkysenterpretujíjakobezrozměrové 5. Některé odvozené velčny a jejch jednotky, které mají vlastní název, jsou uvedeny v tabulce 3. Z praktckých důvodů se používají tzv vedlejší jednotky, jako například mnuta, den, světelný rok, úhlový stupeň, atp. Násobek Předpona Značka Násobek Předpona Značka 0 4 yotta- Y 0 4 yokto- y 0 zetta- Z 0 zepto- z 0 8 exa- E 0 8 atto- a 0 5 peta- P 0 5 femto- f 0 tera- T 0 pko- p 0 9 gga- G 0 9 nano- n 0 6 mega- M 0 6 mkro- µ 0 3 klo- k 0 3 ml- m 0 hekto- h 0 cent- c 0 deka- da 0 dec- d Tabulka 4: Předpony používané u jednotek fyzkálních velčn. Pro zpřehlednění číselného vyjádření hodnoty fyzkální velčny se používají předpony jednotek, obvyklé je používání předpon podle třetí mocnny čísla 0. Používané předpony jsou uvedeny vtabulce4,tučnějsouvyznačenytynejčastějpoužívané 6. Další detaly týkající se problematky jednotek fyzkálních velčn lze nalézt v příslušné lteratuře, například[],[]. 4. Platné cfry Př zápsu číselné hodnoty(nejen) fyzkální velčny je třeba mít představu o tom, jak přesně danou hodnotu zapsujeme. Přesnost zapsovaného čísla vyjadřujeme pomocí tzv. počtu platných cfer. 3 Napříkladmetrjedefnovánjakovzdálenost,kterousvětlourazízačas / sekundy. 4 Napříkladklogramjehmotnostmeznárodníhoprototypuklogramu(platno-rdovéhoválečku)uloženéhov Meznárodním úřadě pro míry a váhy v Sèvres ve Franc. 5 Jednotkoubezrozměrovévelčnyječíslo,přjejchvyjadřovánísejednotka()neuvádí. 6 Možnávászarazly násobícítečky vodvozenýchjednotkáchvtabulce3avcelémtomtotextu.ikdyžjsouna první pohled zbytečné a njak zvlášť estetcké, mají svůj smysl. Kdybychom například napsal b 0,00898 m K, není zžejmé,zdamámenamysl metrykrátkelvny,nebo mlkelvny.napíšeme-lvšakm K,jezřejmé,žemámena mysl metrykrátkelvny ažesejednáokonstantuwenovazákona. 6

20 Počet platných cfer v čísle se určuje podle následujícího algortmu.. Nenulová číslce nejvíce nalevo je nejvýznamnější platná cfra.. Jestlže číslo neobsahuje desetnnou čárku, nenulová číslce nejvíce napravo je nejméně významná platná cfra. 3. Jestlže číslo obsahuje desetnnou čárku, číslce(včetně nuly) nejvíce napravo je nejméně významná platná cfra. 4. Počet platných cfer je počet číslc mez nejvýznamnější a nejméně významnou včetně. Příklad. Následující čísla jsou zapsána s přesností na tř platné cfry: 3, 0 300,,0,,00, 0,3, 0,00,0,000.Číslo00000jespřesnostínatřplatnécfrymožnézapsatjako, V případě číselných hodnot velčn získaných měřením a následným výpočtem nemá smysl uvádět výsledné hodnoty s přesností danou strojovou přesností počítače č rozlšením dspleje kalkulačky, neboť vstupní data jsou zatížena chybam, což je kvantfkováno jejch nejstotou. Přesnost těchtočíselnýchhodnotnapožadovanýpočetplatnýchcfer,vzníže,snžujemezaokrouhlováním Záps výsledku měření Hodnotu fyzkální velčny získanou měřením vždy prezentujeme spolu s vypočtenou nejstotou, čímžvyjadřujeme,jak přesně tatovelčnabylaurčena.výsledekměřenívelčny xzpravdla zapsujeme ve tvaru x (x±u c )[x], (34) kde x je nejlepší odhad skutečné hodnoty měřené velčny(často realzovaný pomocí artmetckého průměru), u c jekombnovanástandardnínejstotatohotoodhadua[x]jejednotka,vekteréje číselná hodnota odhadu měřené velčny a její nejstoty udávána. Závorka vyjadřuje, že obě číselné hodnoty se vztahují k téže jednotce. Jak bylo výše uvedeno, vz vztah(9), nejstota měření má poměrně velkou nejstotu a z tohoto důvodu j vyjadřujeme s přesností na maxmálně dvě platné cfry. Počet platných cfer u odhadu měřené velčny upravíme tak, aby obě čísla byla zapsána se stejnou přesností. K vyjádření přesnost měření se často ve vztahu(34) používá rozšířená nejstota. Z tohoto důvodu je třeba vždy výslovně uvést, co číselná hodnota za symbolem ± reprezentuje a v případě rozšířené nejstoty, k jakému ntervalu spolehlvost se vztahuje. 7 Načíslcenásledujícízanejméněvýznamnouplatnoucfrou(NVPC)nahlížíme,jakobypřednmbyladesetnná čárkaatvořítakčíslo zmenšínež.pokud z < /,číslcezanvpcvypustíme.pokud z > /,číslcezanvpc vypustímeanvpczvýšímeo.pokud z /číslcezanvpcvypustímeanvpczvýšímeo,pokudjelchá. Tímto se vyhneme zanesení systematcké chyby př případném dalším zpracování(sčítání) takto zaokrouhlených čísel. 7

21 Příklad zápsu výsledku měření: Ve fyzkálním praktku byla měřením a následným výpočtem na počítač nalezena tato hodnota Planckovy konstanty a její standardní nejstoty: h 6, J s, u(h), J s. Standardní nejstotu zapíšeme s přesností na dvě platné cfry u(h), J s 0, J s a Planckovu konstantu zaokrouhlíme na stejný počet desetnných míst, jako nejstotu h 6, J s. Výsledek měření zapíšeme takto: Měřením bylo zjštěno, že pro Planckovu konstantu platí h (6,65±0,08) 0 34 J s, kde číslo uvedené za symbolem ± vyjadřuje kombnovanou standardní nejstotu. Další příklady zápsu výsledku měření lze nalézt v dodatku A.. 5 Příklad Objem pngpongového míčku Máme za úkol zjstt objem V pngpongového míčku. Použjeme vztah V 6 πd3, kde d je průměr, jenž budeme měřt posuvným měřítkem, které svým nonem dělí mlmetr na 50 dílků. Předem jsme s ověřl, že míček je natolk tuhý, že přložením posuvného měřítka jej nedeformujeme natolk, abychom se dopouštěl systematcké chyby, kterou bychom musel korgovat. Opakovaným měřením byly zjštěny níže uvedené hodnoty. Měření č Průměr d [mm] 37,74 37,76 37,78 37,7 37,78 37,76 37,74 37,76 Vypočteme artmetcký průměr průměru míčku d N d 8 8 d 37,755mm. Vypočteme odhad směrodatné odchylky naměřených hodnot s N (d d) N 8 (d 37,755) 7 0,007mm. 8

22 Standardní nejstotu artmetckého průměru(vyhodnocenou metodou typu A) pak vypočteme pomocí vzorce u A (d) s 0,007mm 0,0073mm. N 8 Posuvné měřítko má konečné rozlšení souvsející s jemností dělení stupnce 0,0 mm. S tím je spojena standardní nejstota(určená metodou typu B), pro kterou můžeme psát u B (d) 0,0mm 0,00577mm. Kombnovanou standardní nejstotu průměru míčku vypočteme pomocí vzorce(30) jako u C (d) u A +u B 0,0093mm. Nejlepší odhad objemu míčku vypočteme jako V 6 πd3 6 π(37,755mm)3 878,7709mm 3. Pro standardní kombnovanou nejstotu objemu míčku pak dostaneme u(v) V d u C(d) πd u C (d) 0,87mm 3 mm 3. Pro objem míčku tedy můžeme psát V (879±)mm 3, kde číslo uvedené za symbolem ± vyjadřuje kombnovanou standardní nejstotu. 6 Metoda nejmenších čtverců Velm často je třeba expermentálně zjstt parametry funkční závslost dvou velčn X a Y. Tato funkční závslost buď může vycházet z příslušné teore, nebo j hledáme a snažíme se vytvořt model, pomocí kterého bychom závslost velčn X a Y nějak popsal. Tatoúlohaseřešítak,žepro Nrůznýchhodnot x seměříodpovídajícíhodnoty y aparametry příslušné funkční závslost se odhadnou pomocí tzv. metody nejmenších čtverců, jejíž elementární příkladjeuvedenvpoznámcenastraně4. V dalším textu jsou uvedeny algortmy metody nejmenších čtverců pro aproxmac expermentálních dat lneární, exponencální a polynomální funkční závslostí, respektve odhad příslušných regresních parametrů a jejch standardních nejstot(směrodatných odchylek). Složtější případy, vedoucí zpravdla na numercké řešení soustav nelneárních algebrackých rovnc je možné nalézt napříkladv[3],[6]. 9

23 6. Aproxmace přímkou Předpokládejme nejdříve, že hodnota velčny Y je lneárně závslá na hodnotě velčny X a že tedy teoretcky platí y 0 (x) a 0 +b 0 x, (35) kde b 0 0.V-témměřenízískámehodnoty (x,y ).Předpokládejme,žehodnotu x umímezjstt (nastavt)přesně,zatímcohodnota y y 0 (x ) + ǫ jezatíženanáhodnouchybou ǫ,jejížstatstckérozděleníjenormální(gaussovo)amásměrodatnouodchylku σ.propravděpodobnost,že naměřenáhodnotabudeležetv(úzkém)ntervalu y 0 (x )± y/,tedybudeplatt P σ π exp { [ ] } y y 0 (x ) y. (36) Pravděpodobnost,že Nhodnot y budeležetvpříslušnémntervalu,vypočtemejakosoučnjednotlvých pravděpodobností(36), tedy { N N ( y) N P(a 0,b 0 ) P exp [ ] } y y 0 (x ) σ π σ N { ( y)n N exp [ ] } y y 0 (x ) π σ k σ k N { ( y)n exp [ ] } y y 0 (x ). (37) π σ k Podívejmesenynínastuaczodlšnéhoúhlupohledu.Měřenímjsmezískal Ndvojc (x,y ) a chceme odhadnout parametry skutečné funkční závslost(35), ve tvaru k σ y(x) a+bx. (38) Propravděpodobnost,ženaměřenéhodnotybudouležetvntervalech y(x )± y/podobnějako ve vztahu(37), dostaneme N { P(a,b) ( y)n exp [ ] } y y(x ). (39) π σ k π σ k Parametry a a b určíme tak, aby pravděpodobnost P(a, b) byla maxmální, tedy nalezením extrému funkce(39). Jelkož členy před exponencálou jsou konstantní a exponencála je monotónní funkce, stačíhledatextrémfunkce 8 [ ] χ y y(x ) ( ) y ax b. (40) σ Vypočteme dervace podle parametrů a a b a výsledek položíme rovný nule, tedy χ ( ) y ax b x (y ax b)! 0, (4a) a a σ χ b 8 χ čtchíkvadrát. b ( ) y ax b σ σ y ax b σ σ! 0. (4b) 0

24 Vztahy(4) můžeme přepsat do tvaru a a x x σ +b +b x σ x y, (4a) y, (4b) což je soustava dvou lneárních algebrackých rovnc pro neznámé parametry a a b. Soustavu snadno vyřešíme Cramerovým pravdlem a yk ( x xk y k N ) x k y k x y k, (43a) σ σk σ k k σ σ k k b yk x ( σk xk y k x N ) x y k x x k y k, (43b) σ σk σ k k σ σ k k xk N ( σk x N ) k x. x σ x k σ k σ σ k k Budou-lmítvšechnysměrodatnéodchylkystejnouhodnotu σ σ,přejdouvzorce(43)do jednoduššího tvaru a N x y x yk x N x ( x ), b yk x xk y k N x ( x ). (44) Dále určíme standardní nejstoty(směrodatné odchylky) regresních parametrů a a b. K jejch nejstotámpřspívajínejstotyjednotlvýchhodnot y.použtímvzorce(8)tedymůžemepsát σ σ a ( a k y k ) σ k, σ b ( b k y k ) σ k. (45) Dervováním vzorců(43) postupně dostaneme ( ) a x k x, y k σk σk ( b y k σk x x k σ k x ),

25 takže po dosazení do vztahů(45) můžeme psát a σ a σ b k k σ k ( x k σ k k σ k ( σ k σ σ k σ k k σk ( x N k σk 4 x k ( N x ) ) x k σ ) σ x x k σ k x k σ k k σ 4 k x k σ j j σ k k σ j j ( N ) σ ( N ) x ) ( σk N ) x x k σ 4 k k σ σk 4 ( N ) x x k σ k k σ ( N σ ( N σ x k σ x x + σ 4 k + ( N σ k k σ j j x j σ j j σ k k σ j j σ k k x k x ) ) x j σ k k x k x x σ k k ( N σ k k x k + x k σ k + ( N x j σ k k σ j j ) ( N x ( N x k σ k k ( N x k σ k k x ) ( N ) x ) x ( N x k σ k k ) ) x ) ). (46) σ x. (47) Vespecálnímpřípadě,kdy σ σ,přejdouvzorce(46)a(47)dojednoduššíhotvaru σa Nσ N x ( x ), σ b σ x N x ( x ). (48) 6. Aproxmace známou mocnnou Často se setkáváme se stuací, kdy teoretcká funkční závslost má tvar y 0 c 0 x m, (49)

26 kde mjeznámá 9 mocnna.vespecálnímpřípadě,kdy m,sejednáopřímkuprocházející počátkem, můžeme použít postup uvedený v předchozím odstavc(určujeme o jeden parametr navíc(a), přcházíme o jeden stupeň volnost a používáme složtější vzorce, ale na druhou stranu, můžeme tímto způsobem vykompenzovat adtvní systematckou chybu). Odhad cregresníhoparametru c 0 najdemepomocíextrémufunkce ( ) χ y cx m. Dervováním dostaneme dχ dc N V extrému je funkce(50) rovna nule, takže dostaneme x m y cx m σ σ x m y cx m. (50) 0 c x m y /σ x m /σ. (5) Tentovztahsepropřípad,kdyjsouvšechnysměrodatnéodchylkystejné(σ σ),dálezjednodušuje do tvaru x m c y. (5) x m Směrodatnouodchylku σ c najdemepoužtímvzorce(8)aplkovanéhonavztah(5)jako N σc ( ) c σk y N ( x m k /σk k xm / k k ) σ k k xm k /σ k ( xm /σ ) x m /σ. (53) Vpřípadě,kdyjsouvšechnysměrodatnéodchylkystejné (σ σ),přecházívzorec(53)do jednoduššího tvaru 6.3 Aproxmace exponencálou σ c σ x m. (54) Vzorce odvozené v předchozím textu lze přímočaře aplkovat na případ, kdy teoretcká závslost velčn Xa Zjeexponencálníaplatí z 0 (x) A 0 e k 0x. (55) Tuto exponencální závslost lze logartmováním převést na závslost lneární lnz 0 (x) ln ( A 0 e k 0x ) k 0 x+lna 0. Odhady regresních parametrů tedy můžeme hledat pomocí extrému funkce χ [ ] lnz kx lna σ [ ] y ax b, (56) σ 9 Užtečnébyjstěbylo,kdybychomnepředpokládal,žemocnnu mznáme,alemetodounejmenšíchčtvercůnašl její odhad. Tato úloha ale vede na soustavu nelneárních rovnc, které je třeba řešt numercky na počítač. Blíže vz odstavec

27 kde jsme položl y lnz, a k, b lna. Směrodatnéodchylky σ odpovídajívelčně lnz aspoužtímvzorce(8)proněmůžemepsát σ ( ) dy dz zz [ d(lnz) dz ] σ. zz z Poté,copomocívzorců(43)(46)a(47)vypočtemeparametry aabajejchsměrodatné odchylky, provedeme zpětnou transformac k a, A e b a přepočítáme směrodatné odchylky pro parametry A a k jako σ k σ a, ( ) [ ] da d(e σ A σb b db ) σb db eb σb. 6.4 Aproxmace polynomem m-tého stupně Složtější funkční závslost se často aproxmují pomocí polynomů, čehož se využívá v případě expermentálně získaných dat. Koefcenty polynomu y(x) a 0 +a x+a x + +a m x m +a m x m m a j x j j0 aproxmujícího Nnaměřenýchdvojc(x,y ),proněžplatístejnépředpokladyjakovodstavc6., můžeme odhadnout z extrému funkce ( χ m y a j x) j. σ Nejdříve vypočteme dervace podle jednotlvých koefcentů a výsledky položíme rovné nule, tedy ( ) χ m y a 0 σ a j x j! 0, j0 ( ) χ x m y a σ a j x j! 0, j0 ( ) χ x m y a j x j! 0, a σ j0 j0 χ a m. x m σ ( y ) m a j x j! 0. j0 4

28 Tímdostanemesoustavum+lneárníchrovncprom+hledanýchkoefcentů a m,kteroumůžeme zapsat ve tvaru m N a j j0 m N a j j0 m N a j j0 x j x j+ σ x j+ σ y, x y, x y,. m N x j+m a j j0 x m y, anebo matcově jako x x. x m σ x x x 3. x m+ σ x x 3 x 4. x m+ σ x m x m+ x m+.... x m σ a 0 a a. a m y σ x y x y. x m y. Tuto matcovou rovnc můžeme přepsat do poněkud úspornějšího tvaru kde Ma b, (58) M kl x k+l, b k x k y, k,l 0,,,...,m. Řešení soustavy(58) nalezneme snadno pomocí nverzní matce k M jako M Ma Ea am b a Rb, (59) kder M aejejednotkovámatce. Standardní nejstoty regresních parametrů(směrodatné odchylky) opět vypočteme ze vzorce pro kombnovanou nejstotu(8) ve tvaru Protože platí a k σ a k ( ) ak σl y. (60) l l m R kj b j j0 5 m N R kj j0 x j y,

29 můžeme psát a k y l m j0 R kj x j l σ l a dosazením výrazu(6) do vztahu(60) postupně dostaneme σ a k ( m l j0 R kj x j l σ l ) σ l m 0 ( m x l R k σl l 0 m N R k R kj j0 l )( m x +j l σ l j0 m 0 R kj x j l σ l ) σ l m R k R kj M j j0 m m R kj R k M j j0 0 (6) m R kj E kj R kk, (6) kdejsmevyužlvlastnostjednotkovématce E kj 0pro k ja E kj pro k j. Vzorec(6)tedyříká,žerozptylkoefcentu a k jeroven k-témuprvkudagonálymatcenverzní kmatcm. 6.5 Složtější případy Problémy řešené v odstavcích bylo možné( když někdy trochu pracně) řešt analytcky. Metody popsané v odstavc 6.4 lze přímočaře zobecnt na případ y(x) a f (x)+a f (x) +a m f m (x) j0 m a j f j (x), tedy pro funkce lneární vzhledem k hledaným parametrům, vz[3]. Funkce, jež nejsou lneární vzhledem ke hledaným parametrům, zpravdla vedou na soustavy nelneárních rovnc, které je třeba řešt metodam numercké matematky, vz[3],[6]. Výjmkou jsou ovšem případy, kdy se dá nelneární problém vhodnou transformací převést na jednodušší případ, vz odstavec 6.3. Vpředchozíchodstavcíchjsmeuvažoval,žehodnotyx nezávslévelčnyjsouurčenytakpřesně, že jejch nejstoty nemusíme vůbec uvažovat, což někdy(spíš často) nemusí být splněno. V případě, kdy je výrazně přesnější určení velčny závslé oprot velčně nezávslé je možné u aproxmace přímkou vyjít z nverzní relace x(y) a +b y, použítmetodypopsanévodstavc6.apakvyjádřt a a /b a b /b. Obecný případ, kdy je třeba uvažovat nejstoty jak závslé tak nezávslé velčny, opět vede na nelneární soustavy rovnc, které se řeší numercky, detaly vz[3],[6]. 6.6 Posouzení kvalty aproxmace Metodanejmenšíchčtvercůjezaloženanahypotéze,žeoptmálníaproxmacehodnot x,y funkcí y(x) je ta, která mnmalzuje výraz j χ [ ] y y(x ). σ 6

30 Odhad rozptylu dat kolem funkční závslost y(x), jejíž parametry byly metodou nejmenších čtverců nalezeny, je možné defnovat vztahem podobným vztahu(6) jako s ν [y y(x )], (63) kde ν N M jepočetstupňůvolnost, tedypočetnaměřených hodnotzmenšený opočet parametrů určovaných metodou nejmenších čtverců(takže například pro aproxmac přímkou M,proaproxmacpolynomem m-téhostupně M m+). Velkostrozptylu s jejednakzávslánarozptylu σ naměřenýchhodnotkolemhodnotskutečných y 0 (x )(souvsísvelkostmchybměření)ajednaknatom,jakdobřefunkce y(x)aproxmuje teoretckou(skutečnou)závslost y 0 (x). Pročastýpřípad,kdy σ σ,můžemepsát N χ ν χ ν [y y(x )] νσ s σ. (64) Prohodnotuvýrazu χ ν byvpřípadě dobréaproxmace zřejměměloplatt χ ν. Jako emprcké krtérum pro posouzení, zda funkce y(x) dobře aproxmuje naměřená data vpřípadě,kdy σ jsourůzné,můžemetedypoužítvztah [ ] y y(x ), (65) χ ν ν σ jehožhodnotabysenemělapřílšlštodjedné.velmmaléhodnotyχ ν většnousvědčío přecenění chybměření(přílšvelkémodhaduhodnot σ ),přílšvelkéhodnotysgnalzujíšpatnouaproxmac. Pravděpodobnostní přístup posouzení kvalty aproxmace lze nalézt například v[3]. 6.7 Kdyžneznámenejstotyvstupníchdat... V předchozích odstavcích věnovaných metodě nejmenších čtverců jsme předpokládal, že známe směrodatnéodchylky(nebospíšjejchodhady) σ závslévelčny y.pomocínchjsmepakschopn vypočítat směrodatné odchylky regresních parametrů a posoudt kvaltu aproxmace. Někdy se však můžeme dostat do stuace, kdy nejstoty vstupních dat buď neznáme, nebo o nch máme špatné nformace 0. V těchto případech je možné postupovat tak, že do vzorců pro výpočet regresních parametrů dosadíme σ σ avypočtemeregresníparametry,čímžurčímefunkčnízávslost y(x).odhad rozptyluvstupníchdats kolemfunkčnízávslost y(x)potévypočtemepomocívzorce(63),přčemž budezřejměplatt s χ /ν χ ν. Dále budeme předpokládat(což ale nemusí být pravda), že funkční závslost y(x) je zvolena správně.vtompřípaděbyměloplatt σ s.hodnotu s vypočtenouvzorcem(63)tedypoužjemejakoodhadrozptyluhodnot y vevzorcíchprovýpočetnejstotregresníchparametrů. 0 Tosemůženapříkladprojevttím,žedosazenímdovzorce(65)dostaneme χ ν. 7

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah:

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah: - - Zdeněk Havel, Jan Hnízdl Cvčení z Antropomotorky Obsah: Úvod... S Základní charakterstky statstckých souborů...3 S Charakterstka základních výběrových technk a teoretcká rozložení četností...9 S 3

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x).

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x). 3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens Analýza chování servopohonů u systému CNC frmy Semens Analyss and behavour of servo-drve system n CNC Semens Bc. Tomáš áčalík Dplomová práce 00 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, 00 4 ABSTRAKT

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

Soustava SI, převody jednotek

Soustava SI, převody jednotek Variace 1 Soustava SI, převody jednotek Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Co je fyzika, jednotky

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr Úvod Fyzikální veličina je jakákoliv objektivní vlastnost hmoty, jejíž hodnotu lze změřit nebo spočítat. Fyzikálním veličinám přiřazujeme určitou hodnotu (velikost). Hodnota dané veličiny je udávána prostřednictvím

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce:

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce: REDL 3.EB 8 1/14 1.ZADÁNÍ a) Změřte voltampérovou charakteristiku polovodičových diod pomocí voltmetru a ampérmetru v propustném i závěrném směru. b) Sestrojte grafy =f(). c) Graficko početní metodou určete

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů M ě ř n í o d p o r u r z s t o r ů Ú k o l : Proměřt sadu rzstorů s nznámým odporm různým mtodam a porovnat přsnost jdnotlvých měřní P o t ř b y : Vz sznam v dskách u úlohy na pracovním stol Obcná část:

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších

Více

Měření solventnosti pojistitelů neživotního pojištění metodou míry solventnosti a metodou rizikově váženého kapitálu

Měření solventnosti pojistitelů neživotního pojištění metodou míry solventnosti a metodou rizikově váženého kapitálu Měření solventnost pojsttelů nežvotního pojštění metodou míry solventnost a metodou rzkově váženého kaptálu Martna Borovcová 1 Abstrakt Příspěvek je zaměřen na metodku vykazování solventnost. Solventnost

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Mezinárodní soustava jednotek SI Systéme Internationald Unités (Mezinárodní soustava jednotek) zavedena dohodou v roce 1960 Rozdělení Základní jednotky Odvozené

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 25. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_04_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 25. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_04_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 25. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_04_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Úvod

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Bezporuchovost a pohotovost

Bezporuchovost a pohotovost Bezporuchovost a pohotovost Materály z 59. semnáře odborné skupny pro spolehlvost Konaného dne 24. 2. 205 Česká společnost pro jakost, ovotného lávka 5, 6 68 raha, www.csq.cz ČJ 205 Obsah: Ing. Jan Kamencký,

Více

Poř. č. Příjmení a jméno Třída Skupina Školní rok 2 BARTEK Tomáš S3 1 2009/10

Poř. č. Příjmení a jméno Třída Skupina Školní rok 2 BARTEK Tomáš S3 1 2009/10 Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Název úlohy MĚŘENÍ CHARAKTERISTIK REZONANČNÍCH OBVODŮ Číslo úlohy 301-3R Zadání

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU ŘÍZENÍ OTÁČEK AYNCHONNÍHO MOTOU BEZ POUŽITÍ MECHANICKÉHO ČIDLA YCHLOTI Petr Kadaník ČVUT FEL Praha, Techncká 2, Praha 6 Katedra elektrckých pohonů a trakce e-mal: kadank@feld.cvut.cz ANOTACE V tomto příspěvku

Více

Bezpečnost práce, měření fyzikálních veličin, chyby měření

Bezpečnost práce, měření fyzikálních veličin, chyby měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 1 Bezpečnost práce, měření fyzikálních

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

194/2007 Sb. Vyhláška

194/2007 Sb. Vyhláška 194/2007 Sb. Vyhláška ze dne 17. července 2007, kterou se stanoví pravdla pro vytápění a dodávku teplé vody, měrné ukazatele spotřeby tepelné energe pro vytápění a pro přípravu teplé vody a požadavky na

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou.

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 1 Pracovní úkoly 1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 2. Sestrojte graf této závislosti. 2 Teoretický úvod 2.1 Povrchové napětí

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ KATEDRA APLIKOVANÉ GEOINFORMATIKY A ÚZEMNÍHO PLÁNOVÁNÍ PROSTOROVÁ NEURČITOST GEODAT V ANALÝZÁCH DISTRIBUCE VYBRANÝCH DRUHŮ PTÁKŮ DIPLOMOVÁ

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

FYZIKA, SI, NÁSOBKY A DÍLY, SKALÁR A VEKTOR, PŘEVODY TEORIE. Fyzika. Fyzikální veličiny a jednotky

FYZIKA, SI, NÁSOBKY A DÍLY, SKALÁR A VEKTOR, PŘEVODY TEORIE. Fyzika. Fyzikální veličiny a jednotky Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Vladislav Válek MGV_F_SS_1S1_D01_Z_MECH_Uvod_PL Člověk a příroda Fyzika Mechanika Úvod Fyzika, SI, násobky a

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Vlhký vzduch a jeho stav

Vlhký vzduch a jeho stav Vlhký vzduch a jeho stav Příklad 3 Teplota vlhkého vzduchu je t = 22 C a jeho měrná vlhkost je x = 13, 5 g kg 1 a entalpii sv Určete jeho relativní vlhkost Řešení Vyjdeme ze vztahu pro měrnou vlhkost nenasyceného

Více