Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum"

Transkript

1 Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT 3. ledna 03

2 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela( ). Zobrazuje statstcké určenídélkyrod6stop. Děkuj prof. Ing. Ondřej Jříčkov, CSc., doc. Ing. Karlu Malnskému, CSc. a Ing. Karlu Řezáčov za pozorné přečtení textu a četné přpomínky. Obsah Opravdujenpárslovnaúvod Chyby měření. Náhodnéchyby.... Systematckéchyby Podrobnějknáhodnýmchybámajejchpopsu Intermezzo náhodnévelčnyajejchpops Rovnoměrnérozdělení Normálnírozdělení Nejstoty měření 7 3. UrčenínejstotyměřenímetodoutypuA UrčenínejstotyměřenímetodoutypuB Určenínejstotyzrozlšenípřístroje Určenínejstotyuručkovéhoměřcíhopřístroje Určenínejstotyudgtálníhoměřcíhopřístroje Kombnovanástandardnínejstota Některédůležtévzorce Interpretacestandardnínejstotyanejstotarozšířená Copřesněvyjadřujestandardnínejstota Rozšířenánejstota Jetosložtější Prezentace výsledku měření 5 4. Fyzkálnívelčnyajejchjednotky Platnécfry Zápsvýsledkuměření Příklad 8 6 Metoda nejmenších čtverců 9 6. Aproxmacepřímkou Aproxmaceznámoumocnnou Aproxmaceexponencálou Aproxmacepolynomem m-téhostupně Složtějšípřípady Posouzeníkvaltyaproxmace Kdyžneznámenejstotyvstupníchdat Poznámka váženýprůměr

3 7 Další metody 8 7. Metodapostupnýchměření Metodaredukce... 9 A Dodatek 3 A. Studentovorozdělení A. Některéfyzkálníkonstanty A.3 Nonus

4 Fyzka je ze své podstaty expermentální vědní dscplína. Měření a jejch nejstoty jsou klíčem ke každému expermentu a každému objevu. Walter Lewn, For the Love of Physcs, 0 Opravdujenpárslovnaúvod Fyzkální měření je, od nepamět bylo a vždy bude nedílnou součástí vědy a technky a je základem fyzky. Bez přesného měření a důmyslných metod zpracování naměřených dat by nebylo možné studovat fyzkální zákony, vytvářet jejch obsah, případně je revdovat anebo dokonce provádět nové objevy. Fyzkální měření hrají klíčovou rol praktcky ve všech oborech ldské čnnost, kde umožňují zajšťovat jakost a kontrolu kvalty, funkčnost a bezpečnost technologí a podobně. Setkáváme se s nm v netechnckých oborech, jako jsou například obchod a sport. V následujícím textu je relatvně stručně pojednáno o nedílné součást každého měření o chybách měření, o postupech zpracování naměřených hodnot zajšťujících alespoň částečnou elmnac chyb měření a v neposlední řadě o určování a vyjadřování nejstot výsledků měření. Podrobnost laskavý čtenář nalezne v ctované lteratuře. Některé pracnější výpočty popsané v tomto textu (například odhad regresních parametrů a jejch nejstot metodou nejmenších čtverců) jsou mplementovány v jazyce PHP a volně dostupné prostřednctvím webové stránky věnované podpoře výuky ve fyzkální laboratoř katedry fyzky FEL-ČVUT. Chyby měření Fyzkální měření je proces, př kterém je zjšťována číselná hodnota nějaké fyzkální velčny(teploty, hmotnost, náboje,...) ve stanovených jednotkách. Předpokládáme přtom, že tato velčna má jstou skutečnou hodnotu. K měření používáme přístroje, které, bez ohledu na jejch důmyslnost, nejsou dokonalé. Měřená velčna se může mírně měnt s časem, případně může být ovlvněna procesem měření. Tyto a další okolnost zapříčňují, že nalézt skutečnou hodnotu měřené velčny není možné. Ke skutečné hodnotě je však možné se alespoň přblížt, pokud použjeme co nejpřesnější přístroje a přesně vyspecfkujeme a zkorgujeme vlv prostředí a samotného měření na její hodnotu. Rozdíl mez naměřenou s skutečnou hodnotou měřené velčny nazýváme chybou měření chyba měření naměřená hodnota skutečná hodnota. () Jelkož zjstt skutečnou hodnotu měřené velčny není možné, není možné určt an chybu měření. Jak bylo řečeno výše, chyby měření jsou zapříčněny použtím nepřesných měřcích přístrojů a neznalostí přesného stavu prostředí a jeho vlvu na měřenou velčnu. Dělíme je do dvou hlavních skupn na chyby náhodné a chyby systematcké, pokud odhlédneme od chyb hrubých, způsobených například přehlédnutím, vadným přístroj nebo jejch nesprávným použtím, kdy příslušné výsledky nebereme př dalším zpracování v úvahu.

5 . Náhodné chyby Náhodné chyby mají nekonstantní charakter a projevují se tím, že pokud provedeme opakované měřeníjednévelčnytýmžměřcímpřístrojemzastejnýchpodmínek,naměřímerůznéhodnoty. Tyto různé hodnoty způsobuje vlv mnoha malých(neřdtelných) změn podmínek měření(elektromagnetcké rušení, změny teploty, tlaku a vlhkost vzduchu, pohyb vzduchu, otřesy) na měřcí přístroj č měřenou velčnu, případně změna měřené velčny samotné a v neposlední řadě nedokonalost smyslů expermentátora. Náhodné chyby nelze zcela elmnovat, neboť není možné zcela vyloučt drobné změny podmínek měření, jejch vlv lze pouze zmírnt. Odhad skutečné hodnoty měřené velčny(jak bude uvedeno dále) provádíme s využtím metod matematcké statstky obvykle tak, že z více opakovaných měření vypočteme artmetcký průměr, čímž se vlv náhodných chyb částečně vyruší, zpravdla tím víc, čím víc je opakovaných měření provedeno. Ncméně, většnou nemá smysl měření opakovat velm mnohokrát(například automatzovaným sběrem dat za použtí PC), neboť měření mmo jné ovlvňuje přesnost použtých přístrojů a chyby systematcké, jejchž vlv opakovaným měřením korgovat nelze.. Systematcké chyby Systematcké chyby se vyznačují tím, že mají konstantní charakter v tom smyslu, že nezapříčňují různé hodnoty př měření jedné velčny za stejných podmínek stejným měřcím přístrojem. Častým zdrojem těchto chyb je měřcí přístroj, který nemá přesně nastavenou(má posunutou) nulovou hodnotu a v důsledku toho zobrazuje menší(větší) hodnotu oprot hodnotě měřené, přčemž rozdíl mez měřenou a zobrazovanou hodnotou je konstantní, chyba je tedy adtvní. Systematcká chyba může být multplkatvní, například v případě, kdy zesílení měřcího přístroje nemá přesně deklarovanou hodnotu. Zdrojem systematckých chyb může být nevhodně zvolená metoda měření. Několk konkrétních příkladů: Př měření elektromotorckého napětí zdroje s vntřním odporem, jehož velkost je nezanedbatelná oprot vntřnímu odporu použtého voltmetru, neměříme napětí zdroje, ale napětí na dělč tvořeném vntřním odpory zdroje a voltmetru. Př znalost velkostí obou odporů je možné provést korekc. Př určování hmotnost objektu vážením je třeba vzít v úvahu vztlakovou sílu na něj působící, pokud jeho hustota není výrazně vyšší oprot hustotě vzduchu. Př znalost obou hustot můžeme provést příslušnou korekc. Systematcké chyby lze odhalt například použtím jných(přesnějších) měřcích přístrojů č opakováním měření více nezávslým metodam založeným na odlšných fyzkálních prncpech, což v mnoha případech vyžaduje jsté zkušenost expermentátora. Poté, co je systematcká chyba odhalena, je možné její vlv elmnovat změnou uspořádání expermentu, kalbrací příslušného přístroje, případně použtím korekce(adtvní nebo multplkatvní). V dalším textu budeme předpokládat, že systematcké chyby se podařlo elmnovat č korgovat a zaměříme se na zpracování chyb náhodných. Stejnýchdotémíry,kteroujsmeschopnzajstt.

6 .3 Podrobněj k náhodným chybám a jejch popsu Jak bylo řečeno výše, náhodné chyby bývají zapříčněny působením mnoha faktorů, které jsou často samostatně neměřtelné. Podle tzv. hypotézy o elementárních chybách jsou navzájem nezávslé, hodnotu měřené velčny mohou zvětšovat zmenšovat a jejch vlv se sčítá. Odtud vyplývá, že náhodné chyby mají níže uvedené vlastnost. Velkéchyby(aťužkladnéčzáporné)jsouméněčasté,nežlchybymalé.Abydošlokvelké chybě,muselobymnohonavzájemnezávslýchfaktorůpůsobtsoučasně stejnýmsměrem, což je málo pravděpodobné. Kladné a záporné hodnoty náhodných chyb jsou víceméně stejně pravděpodobné pravděpodobnost jejch výskytu je reprezentována sudou funkcí. Příklad s házením mncem. Výše uvedené vlastnost náhodných chyb můžeme velce názorně demonstrovat níže uvedeným myšlenkovým(anebo opravdovým, pokud nevěříte...) expermentem. Vezmeme N mncí, které vyhodíme do vzduchu a necháme spadnout na zem, přčemž po každém hodubudemepočítatskóretak,žezakaždéhoorlaspřpočtemejedenbodazakaždoupannus jeden bod odečteme. V každém hodu tedy můžeme získat maxmálně N a mnmálně N bodů. V případě dvou mncí mohou nastat tyto kombnace: Kombnace PP PO OP OO Skóre 0 0 Pravděpodobnost skóre je /4(jedna ze čtyř kombnací vede na toto skóre) pravděpodobnost skóre 0je /(dvězečtyř)apravděpodobnostskóre jeopět /4.Vpřípadětřímncímohou nastat tyto kombnace: Kombnace PPP PPO POP POO OPP OPO OOP OOO Skóre 3 3 Pro pravděpodobnost možných skóre tedy dostáváme P( 3) /8, P( ) 3/8, P() 3/8aP(3) /8. ObecněproNmncímůženastat N výsledků,znchžovšem některémajístejnáskóre.pravděpodobnost,žepadne n o orlů můžeme spočítat jako P o (n o ) N ( N n o ) N! N n o!(n n o )!, přčemžproskórezřejměplatí S n o N.Takženapříklad pro N 0 mncí pro pravděpodobnost maxmálního(mnmálního)skóreplatí P(0) P( 0) 0 0 6,cožjepravděpodobnost velce malá, neboť těchto výsledků lze dosáhnout jenjednímzpůsobem.pronulovéskóreplatí P(0) 0,76,neboť tohoto výsledku lze dosáhnout způsoby. Rozdělení pravděpodobnost pro jednotlvá skóre je uvedeno na obrázku. P(S) N S Obrázek : Rozdělení pravděpodobnost dosažení skóre S. Skóre v tomto příkladě počítáme jako součet výsledků nezávslých jevů(padne orel nebo pana u každé z mncí). Pravděpodobnost vysokého skóre(v absolutní hodnotě) je velce malá v porovnání s pravděpodobností nízkého skóre, kladná záporná skóre jsou stejně pravděpodobná. 3

7 Budeme-l N-krát opakovaně měřt velčnu X, dostaneme její -tou hodnotu jako x x s +ǫ, kde x s jeskutečnáhodnotaměřenévelčnyaǫ jenáhodnáchyba -téhoměření Vypočítáme součet x (x s +ǫ ) Nx s + ǫ N x x s + N ǫ. () Jelkož předpokládáme, že kladné chyby jsou stejně pravděpodobné jako chyby záporné, bude platt lm ǫ 0, N N takže dosazením do vztahu() dostaneme x s lm N N x, (3) skutečnou hodnotu bychom tedy vypočetl jako artmetcký průměr všech možných naměřených hodnot. Jelkož praktcky máme k dspozc pouze N naměřených hodnot(kde N je konečné), odhadneme skutečnou hodnotu pomocí artmetckého průměru těchto hodnot x N Jezřejmé,že xseblíží x s tímvíce,čímvětšíje N. x. (4) Poznámka: Metoda nejmenších čtverců. Představme s, že opakovaným měřením velčny X jsmedostalhodnoty x,x,...,x N,kterésevdůsledkunáhodnýchchybodsebenavzájemlší,a chtěl bychom najít nějakou hodnotu x, která bude co nejlépe odpovídat hodnotě skutečné. Můžeme to udělat tak, že defnujeme velčnu χ (x x ) +(x x ) + +(x x N ), cožjesoučetdruhýchmocnn(nebolčtverců,odtudnázevmetody) vzdálenost jednotlvých hodnot x odhledanéhodnoty x.tatovelčnabytedymělabýtmnmální.najdemeextrém: dχ dx (x x )+(x x )+ +(x x N )! 0 Nx x +x + +x N, jelkož d χ /dx N > 0,jednáseomnmum.Odtudprohledanouhodnotu xdostanemevztah x N x, což není nc jného, než artmetcký průměr. Jakbylořečenovýše,nezahrnujemezdevlvsystematckýchchyb. 4

8 Kromě odhadu skutečné hodnoty měřené velčny artmetckým průměrem x je důležté nějak popsatvarabltunaměřenýchhodnot.jezřejmé,žepokudbudoujednotlvéhodnoty x ležet vúzkémntervalukolem x,budevýsledekměření jstější,nežkdybybylpříslušnýntervalšroký. K tomuto účelu nelze použít artmetcký průměr odchylek naměřených hodnot od artmetckého průměru, neboť platí (x x) x Nx x x 0. (5) Bylo by tedy možné sčítat absolutní hodnoty těchto odchylek, ncméně se ukazuje, že je praktčtější sčítat jejch druhé mocnny. Zavádí se tedy tzv. odhad směrodatné odchylky(výběrová směrodatná odchylka) s, jejíž druhá mocnna(tzv. výběrový rozptyl) je defnována předpsem Platí tedy s N (x x). (6) s (x x). (7) N Důvodvýrazu N vejmenovatelvzorců(6)a(7)namísto N,jakbysenaprvnípohled zdálologcké,jeten,ževelčny x x(jchžjecelkem N)nejsounavzájemnezávslé,neboť můžeme vzhledem ke vztahu(5) například psát N N. Velčny tedymajípouze ν N stupňůvolnost.detalnějšírozborjemožnénaléztnapř. v[]a[4]..4 Intermezzo náhodné velčny a jejch pops Pro účely dalšího výkladu bude na tomto místě vhodné věnovat několk odstavců náhodným velčnám(výsledek měření zatížený náhodnou chybou je náhodná velčna) a jejch popsu. Budeme se zde zabývat pouze náhodným velčnam spojtým, které mohou(alespoň v určtém ntervalu) nabývat lbovolných hodnot. K úplnému pravděpodobnostnímu popsu náhodné velčny X slouží tzv. hustota pravděpodobnostnáhodnévelčny f X,pomocínížlzespočítat,sjakoupravděpodobnostínabývávelčna hodnotu v určtém ntervalu P(x x x ) x Hustota pravděpodobnost je nezáporná funkce, pro kterou zřejmě platí f X (u)du, x f X (u)du. (8) 5

9 velčna X má tedy s pravděpodobností rovnou jedné nějakou hodnotu. Pomocí hustoty pravděpodobnost lze spočítat některé význačné charakterstky náhodných velčn. Střední hodnota(ve smyslu průměrná )jedefnovánapředpsem µ E[X] Rozptyl(varablta) náhodné velčny je defnován předpsem σ Var[X] E[(X µ) ] uf X (u)du. (9) Velčnu σ Var[X] E[(X µ) ]nazývámesměrodatnáodchylka..4. Rovnoměrné rozdělení Náhodná velčna má rovnoměrné rozdělení na ntervalu a, b, pokud pro její hustotu pravděpodobnost platí { (b a) pro u a,b, f XR (u) () 0 jnde. Snadno se přesvědčíme, že platí Pro střední hodnotu dostaneme f XR (u)du b du. b a a µ XR (u µ) f X (u)du. (0) f XR uf XR (u)du b udu a+b b a a, a µ b u Obrázek : Rovnoměrné rozdělení. střední hodnota tedy leží přesně uprostřed ntervalu a, b. Pro rozptyl dostaneme σ XR (u µ XR ) f XR du b ( u a+b ) du (b a). b a a Označíme-l šířku ntervalu a, b jako b a, můžeme pro směrodatnou odchylku rovnoměrného rozdělení psát σ XR. () Směrodatná odchylka rovnoměrného rozdělení se také často vyjadřuje pomocí polovny šířky ntervalu a,b,označmejej (b a)/.pakplatí σ XR ( ) 3. (3) 6

10 .4. Normální rozdělení Normální, nebo též Gaussovo, rozdělení má pro zpracování(nejen) fyzkálních měření klíčovou důležtost. V teor pravděpodobnost se dokazuje věta(tzv. centrální lmtní věta, vz např.[7]), která v podstatě říká, že hustota pravděpodobnost velčny, jejíž hodnotu lze vyjádřt jako součet hodnot mnoha nezávslých, ale jnak lbovolných náhodných velčn, je dána funkcí f XN (u) σ (u µ) π e σ. (4) Dá se ukázat 3, že pro střední hodnotu a směrodatnou odchylku normálního rozdělení platí f XN µ XN µ, σ XN σ. Funkce f XN (u) má tvar zvonu, je symetrcká kolem střední hodnoty µ, ve σ σ kterémámaxmum,vzobr.3.čímjesměrodatná odchylkaσmenší,tímmáfunkcef XN (u) štíhlejší σ 3 aprotáhlejší tvar,cožznamená,žesehodnoty náhodné velčny X vyskytují s větší pravděpodobností v užším ntervalu kolem střední hodnoty µ. µ u Často je třeba znát pravděpodobnost, se kteroumánáhodnávelčnahodnotuvntervalu Obrázek3:Normálnírozdělení, σ < σ < σ 3. (µ kσ x µ+kσ),kde k > 0jenějakýkoefcent (tzv. koefcent rozšíření). Postupně dostaneme P(µ kσ x µ+kσ) µ+kσ k ) k σ e (u µ) σ du e u / du erf(, (5) π µ kσ π 0 kdefunkceerfjetzv.chybováfunkce 4 (errorfuncton).vtabulcejsouuvedenyněkterédůležté hodnoty k 0,674,96,576 3 P 0,5 0,683 0,95 0,954 0,99 0,997 Tabulka:Pravděpodobnost P(µ kσ x µ+kσ)pronormálnírozdělení. Praktcká zkušenost a fakt, že hypotéza o náhodných chybách je v souladu s předpoklady centrální lmtní věty nás vede k závěru, že náhodné chyby mají normální rozdělení, takže střední hodnota µ x s asměrodatnáodchylkaodhadovanávztahem(7)jesměrodatnouodchylkounormálního rozdělení. 3 Nejstoty měření Skutečnost, že každé fyzkální měření je zatíženo(náhodným a systematckým) chybam, které se nkdy nedají zcela elmnovat, zapříčňuje, že výsledek měření není nkdy úplně jstý, můžeme jej tedy formulovat pomocí vztahu výsledek měření odhad skutečné hodnoty ± nejstota měření, (6) 3 Výpočettěchtontegrálůjžneníelementární,využíváLaplaceůvntegrál 0 e x dx π/,vznapř.[7]. 4 Tutotakzvaněvyššítranscendentnífunkcběžněznajíprogramovébalíky,jakonapř.MatlabneboMaple. 7

11 který říká, že skutečná hodnota měřené velčny se s jstou mírou pravděpodobnost nachází v okolí její odhadnuté hodnoty v ntervalu daném nejstotou měření. Vmetrologserozlšujídvatypymetodurčovánínejstot,tzv.metodatypuAametodatypuB. Někdy se zkráceně(a nepřesně) hovoří o nejstotě typu A a nejstotě typu B. Jednotlvé příspěvky k celkové nejstotě měření se vyjadřují pomocí odhadu směrodatných odchylek, nebol tzv. standardních nejstot. 3. Určení nejstoty měření metodou typu A Metoda typu A určování nejstot využívá matematckou statstku. V případě opakovaných měření se postupuje následujícím způsobem. Z N naměřených hodnot odhadneme skutečnou hodnotu měřenévelčnypomocíartmetckéhoprůměru x,vzvztah(4).jednotlvénaměřenéhodnoty x jsou v okolí hodnoty x rozptýleny, přčemž mírou tohoto rozptýlení je odhad směrodatné odchylky s, vz vztah(7). Artmetcký průměr je však také náhodná velčna, o čemž bychom se snadno přesvědčl, kdybychom N měření a příslušné výpočty provedl opakovaně. Dá se očekávat, že čím většíjepočetměřenívdanésér(n),tímméněsebudoujednotlvéartmetcképrůměryodsebe lšt a budou méně rozptýleny kolem skutečné hodnoty měřené velčny. Jestlže jednotlvé hodnoty x nejsouvzájemněkorelované 5,proodhadsměrodatnéodchylkyartmetckéhoprůměruplatí,vz poznámka na straně 3, s s. (7) N Velčna s udává míru nejstoty v odhadu skutečné hodnoty měřené velčny a je standardní nejstotouurčenoumetodoutypua.značímej u A adosazenímvztahu(7)do(7)prondostaneme u A s N (x x). (8) N(N ) Stejně jako je artmetcký průměr z naměřených hodnot náhodná velčna, je náhodná velčna standardní nejstota(odhad směrodatné odchylky). Dá se ukázat, vz např.[], že pro nejstotu odhadu nejstoty platí u[u(x)] u(x) ν, (9) kde νjepočetstupňůvolnost,tedypropřípadartmetckéhoprůměruplatí ν N.Přímýmdosazením do vzorce(9) je možné se například přesvědčt, že pro relatvní nejstotu odhadu nejstoty artmetckéhoprůměruurčenéhozn 0hodnotplatí u[u(x)]/u(x) 4%. Jným příkladem vyhodnocení nejstoty metodou typu A je odhad směrodatných odchylek regresních parametrů v metodě nejmenších čtverců, vz odstavec Určení nejstoty měření metodou typu B Metoda typu B je založena na procedurách jných, než statstckých. Určení nejstoty metodou typu B využívá všechny dostupné nformace, například specfkace dodané výrobcem měřcího přístroje, dříve získaná data, zkušenost z předchozích expermentů a podobně. Standardní nejstota se opět vyjadřuje jako odhad směrodatné odchylky. Uveďme několk příkladů. 5 Tobynastalonapříkladpřpostupnémnárůstu(poklesu)hodnotyměřenévelčny. 8

12 3.. Určení nejstoty z rozlšení přístroje Nemáme-l žádné blžší nformace o použtém měřcím přístroj, můžeme vyjít z jeho rozlšovací schopnost 6. Jestlžejetatorozlšovacíschopnost (reprezentovanánapř.rozlšenímdspleje. velkostí dílku stupnce č rozlšením nona, vz dodatek A.3), dá se očekávat, že měřená velčna má hodnotu nacházející se se stejnou pravděpodobností kdekolv v ntervalu ± / kolem zobrazované hodnoty. Chyba měření má tedy rovnoměrné rozdělení, vz odstavec.4.. Směrodatnou odchylku (standardní nejstotu určenou metodou typu B) tedy odhadneme pomocí vztahu() jako u B. (0) 3.. Určení nejstoty u ručkového měřcího přístroje Přesnost ručkových měřcích přístrojů se vyjadřuje pomocí tzv. třídy přesnost TP. Jedná se o maxmální relatvní velkost chyby přístroje(vyjádřenou v procentech) př výchylce ručky v krajní poloze stupnce. Třída přesnost bývá uvedena číselnou hodnotou zpravdla pod stupncí měřcího přístroje, normalzovány jsou hodnoty 0,; 0,; 0,5; ;,5;,5; 5. Pro standardní nejstotu měření tedy platí(s ohledem na fakt, že měřená velčna má zřejmě hodnotu kdekolv v daném ntervalu) u B (rozsahpřístroje) TP/00 (rozsahpřístroje) TP/00 3. () 3..3 Určení nejstoty u dgtálního měřcího přístroje U dgtálních měřcích přístrojů výrobce obvykle udává maxmální chybu měření jako ±p%znaměřenéhodnoty±ndgtů, kde p je kladné číslo a pojmem n dgtů se myslí n-násobek rozlšovací schopnost přístroje. Hodnota měřené velčny se se stejnou pravděpodobností nachází kdekolv v daném ntervalu, takže pro standardní nejstotu můžeme psát u B (p%znaměř.hod.+ndgtů) p%znaměř.hod.+ndgtů 3. () Párpříkladů:Posuvnéměřítko,kterémánanonu50dílkůmározlšení/50mm0µm. Standardní nejstotu tedy dostaneme dosazením do vzorce(0) jako u B 0µm 5,8µm. Ručkový mlampérmetr má rozsah 600 ma a třídu přesnost 0,5. To znamená, že přesnost ndkované hodnoty je ±600 0,5 ma ±3mA Zdejevšaktřebajstéobezřetnost.Nesoldnívýrobcměřcíchpřístrojůčastopoužívajíjemnédělenístupnce (rozlšení dspleje), které neodpovídá přesnost daného přístroje. 9

13 Dosazením do vzorce() dostaneme standardní nejstotu jako u B 3 3 ma,7ma. 3 /-místný dgtální multmetr MY-64 má podle specfkace výrobce na rozsahu 0 V stejnosměrných přesnost ±(0,5%zúdaje+dgt). Dsplej přístroje na tomto rozsahu zobrazuje maxmálně hodnotu 9,99 V, jeden dgt má tedy velkost 0,0 V. Zobrazuje-l přístroj tedy například hodnotu,69 V, je přesnost zobrazované hodnoty napětí ( ±,69 0,5 ) 00 +0,0 V ±73,5mV. Standardní nejstotu dostaneme dosazením do vzorce() jako u B 73,5 3 mv 4mV. 3.3 Kombnovaná standardní nejstota Častojetřebaurčtodhadanejstotuvelčny Z,kterájefunkcívícevelčn,např. X,Y,přčemž je dána funkční závslost Z f(x,y). (3) Jestlžeskutečnéhodnotyvelčn Xa Y jsou x s a y s,budezřejměplatt z s f(x s,y s ).Př -tém měření každé z velčn se dopustíme chyby. Budou-l tyto chyby malé, můžeme chybu určení velčny Z formulovat pomocí Taylorova rozvoje vztahu(3) jako z z s ( f X ) (x x s )+ x s,y s ( f Y ) (y y s ). (4) Pro rozptyl velčny Z(teoretcky vypočtený z nekonečně mnoha naměřených hodnot) potom platí σz lm N N (z z s ) lm N N ( f X ) x s,y s lm N N [ ( f ) X (x x s ) + x s,y s x s,y s (x x s )+ ( f Y ( f f + X Y ) ) x s,y s lm N x s,y s lm N ( ) f (y y s )] Y x s,y s N N (y y s ) + (x x s )(y y s ). (5) Budou-lchybyvelčn Xa Y nekorelované,tedypř -témměření x x s a y y s nebudoumít soustavně stejná znaménka(to nastane v případě nezávslých měření), bude pro jejch kovaranc 0

14 platt σxy lm N N (x x s )(y y s ) 0, takže vzorec(5) přejde do jednoduššího tvaru ( ) ( ) f f σz σx X + σy x s,y s Y. (6) x s,y s Výše uvedené vzorce můžeme zobecnt a použít pro odhad nejpravděpodobnější hodnoty velčny Z f(x,x,...,x M ),prokterouseobvyklepoužívávztah z f(x,x,...,x M ) (7) akombnovanéstandardnínejstoty u c (Z),prokterousohledemnavztah(6)můžemepsát M u c (Z) ( f X ) u (X ). (8) x,x,...,x M Vztah(8)platíopětpouzezapředpokladu,žechybyvelčn X,X,...,X M jsounavzájemnekorelované. Zdrojem korelací by například mohlo být použtí jednoho přístroje se systematckou chybou pro měření dvou č více velčn. Jným zdrojem korelací je měření velčn, které jsou na sobě závslé 7. Vpřípadě,ženěkterévelčnyjsouzávslé,jetřebadovzorce(8)zahrnoutpříslušné kovarance 8. Unejstot u(x )senerozlšujemeznejstotamvyhodnocovanýmmetodoutypua čb. Zejména př počítačovém zpracování je někdy jednodušší určt kombnovanou standardní nejstotu měření(8) numercky pomocí vzorce [ ] f u c (Z) [x +u(x ),x,...,x M ] f [x u(x ),x,...,x M ] + [ ] f [x,x +u(x ),...,x M ] f [x,x u(x ),...,x M ] + + [ ] f [x,x,...,x M +u(x M )] f [x,x,...,x M u(x M )] + +. (9) Poznámka kombnovaná standardní nejstota u přímého měření Kombnovanou standardní nejstotu zavádíme v případě přímého měření, což lze lustrovat na následujícímpříkladu.opakovanýmměřenímvelčny Xmůžemevypočítatartmetckýprůměr x a výběrovou směrodatnou odchylku artmetckého průměru, která reprezentuje standardní nejstotu typua,kterouoznačíme u A.Nejpravděpodobnějšíhodnotuměřenévelčnyvypočtemejako x x +k, 7 Například,budeme-lchtítstanovthustotunějakéhoobjektu,změřímenezávslejehohmotnostaobjem,tato měření jsou nezávslá. Budeme-l měřt teplotní součntel délkové roztažnost, musíme současně měřt teplotu a délku vzorku, tato měření jsou závslá(délka se s teplotou mění). 8 Jeaszřejmé,ževtomtopřípaděmusíbýtvšechnyvelčnyměřenysoučasnězastejnýchpodmínek.

15 kde k je korekce na systematckou chybu(například měřcího přístroje). Tuto chybu nelze faktcky korgovat s přesností větší, než je přesnost měřcího přístroje, která je zpravdla charakterzována standardnínejstotou typub u B.Prokombnovanoustandardnínejstotuvelčny X tedy můžeme psát ( ) X X X +K u C (X) u (X )+ X ( ) X u (K) K u (X )+u (K) u A +u B u C u A +u B. (30) Poslední vzorec používáme pro kombnování standardních nejstot A a B v případě, kdy je korekce na systematckou chybu nulová. V případě, kdy jedna ze složek nejstoty má výrazně vyšší hodnotu než složka druhá, můžeme hodnotu menší složky zanedbat Některé důležté vzorce Pomocí vztahu(8) se za předpokladu vstupních velčn s nekorelovaným chybam snadno odvodí následující vzorce Z X +a u(z) u(x), Z ax ±by u (Z) a u (X)+b u (Y), Z XY u (Z) y u (X)+x u (Y) u (Z)/z u (X)/x +u (Y)/y, Y X a u(y) ax a u(x) u(y)/ y a u(x)/ x, Z X/Y u (Z) u (X)/y +x u (Y)/y 4 u (Z)/z u (X)/x +u (Y)/y, Y e ax u(y) a e ax u(x) u(y)/ y a u(x), Y ln(ax) u(y) u(x)/x. Příklad: Nejstota určení tíhového zrychlení Tíhové zrychlení g můžeme změřt tak, že z výšky h necháme padat malou kulčku a budeme odečítat dobu jejího pádu t. Z opakovaných měření vypočteme artmetcké průměry h a t a(případně s využtím dalších nformací) standardní nejstoty u(h) a u(t). Jelkož platí odhadneme tíhové zrychlení jako h gt g h t, g h t. Vypočítáme jednotlvé dervace g h g t, t 4h t 3 a dosadíme je do vztahu(8), takže pro standardní nejstotu odhadu tíhového zrychlení dostaneme 4 u(g) t 4u (h)+ 6h t 6 u (t).

16 Poznámka: Směrodatná odchylka artmetckého průměru [odvození vzorce (7)]. Počítáme-l artmetcký průměr z N naměřených, navzájem nekorelovaných hodnot x N (x +x + +x N ), můžeme na hodnotu x nahlížet jako na hodnotu náhodné velčny X, pro kterou platí X N (X +X +...X N ) f (X +X +...X N ). Platí-lproodhadsměrodatnéodchylkyvšechnáhodnýchvelčn s s,můžemeproodhadsměrodatné odchylky artmetckého průměru psát f X N s N s N s N s s N. 3.4 Interpretace standardní nejstoty a nejstota rozšířená Cílem fyzkálního měření je, kromě stanovení nejlepšího odhadu skutečné hodnoty měřené velčny,rovněžpravděpodobnostnínterpretaceodhadustandardnínejstotyjakožtomíry úspěchu měření Co přesně vyjadřuje standardní nejstota Odhadsměrodatnéodchylkyzískanýzopakovanýchměřeníobvyklespojujeme 9 snormálnímrozdělením pravděpodobnost náhodných chyb. To znamená, vz vztah(5) a tabulka, že zhruba 68%znaměřenýchhodnotbudeležetvntervalu ±σkolemskutečnéhodnoty x s měřenévelčny. Vypočítáme-lartmetckýprůměrzmnohajednotlvýchměření,můžemeočekávat,že x x s a s σaprotozhruba68%naměřenýchhodnotbudeležetvntervalu (x s) x (x+s). Obdobně, kdybychom opakoval celý experment mnohokrát(n-krát), mohl bychom očekávat, žejednotlvéartmetcképrůměry xmajínormálnírozdělení 0 symetrckékolemskutečnéhodnoty x s sesměrodatnouodchylkou σ x s s/ N.Opěttedymůžemepředpokládat,žezhruba68% vypočtených artmetckých průměrů bude ležet v ntervalu (x s s) x (x s +s). Jsme-l přesvědčen, že jsme měření provedl dostatečně pečlvě a kompenzoval všechny systematcké chyby, můžeme provést logcký skok a předpokládat, že pokud rozdělení pravděpodobnost jezhrubanormálníau c mámnohostupňůvolnost,skutečnáhodnotaměřenévelčnyležíspravděpodobností zhruba 68% v ntervalu (x u c ) x s (x+u c ), (3) 9 Vedenásktomuzkušenost. 0 Tovyplývázcentrálnílmtnívěty;výpočetartmetckéhoprůměrujenormovanýsoučetnáhodnýchvelčn. 3

17 kde u c jekombnovaná standardnínejstotaměřenévelčny. Interval defnovaný vztahem(3) nazýváme šedesátosmprocentní nterval spolehlvost Rozšířená nejstota Ikdyžjenejstotaměřenízcelaurčenapomocíkombnovanéstandardnínejstoty u c,vněkterých případech(zejména v technckých aplkacích) je zvykem vyjadřovat nejstotu spojenou s šrším ntervalem spolehlvost, než jak defnuje vztah(3), takovým způsobem, aby v něm skutečná hodnota ležela s vyšší pravděpodobností, nejčastěj 95% č 99%. Za tímto účelem zavádíme tzv. rozšířenou nejstotu U defnovanou vztahem U ku c, (3) kde kjetzv.koefcentrozšíření.potom,vztabulkanastraně7,můžemepsát (x ku c ) x s (x+ku c ), (33) kde,zapředpokladu,žerozdělenípravděpodobnostjezhrubanormálníau c mámnohostupňů volnost pro k leží skutečná hodnota měřené velčny v ntervalu(33) s pravděpodobností zhruba95%apro k 3spravděpodobnostízhruba99%. Je však třeba mít na pamět, že rozšířená nejstota oprot nejstotě standardní nepřnáší žádnou novou nformac, jedná se jen o jný způsob vyjádření nejstoty měření. Př vyjadřování rozšířené nejstoty je nutné vždy uvádět, k jaké pravděpodobnost je vztažena, respektve jaký koefcent rozšíření byl k jejímu určení použt Jetosložtější... Určení ntervalu spolehlvost je ve skutečnost poněkud komplkovanější, neboť podmínka, že rozdělenípravděpodobnostjezhrubanormálníau c mámnohostupňůvolnost,nemusíbýtvždynutně splněna. Jestlže je př opakovaném přímém měření fyzkální velčny domnantní nejstota určená metodou typu A výběrová směrodatná odchylka artmetckého průměru vypočtená vztahem(8) je podle hypotézy o elementárních chybách rozdělení naměřených hodnot zhruba normální a propočetstupňůvolnoststandardnínejstotyplatí ν N.Dáseukázat,vzdodatekA., že koefcent rozšíření ve vztahu(3) rozšřující nterval spolehlvost(33) je rovný součntel t Studentova rozdělení pro požadovanou míru pravděpodobnost, pro ν však Studentovo rozdělení přechází v rozdělení normální a koefcent rozšíření je možné vypočítat ze vztahu(5) nebo určt z tabulky. Pro konečný počet stupňů volnost s jeho klesající hodnotou velkost koefcentu rozšíření roste(vz tabulka 6 na straně 33). V případě nepřímých měření je stuace obdobná. Jestlže jsou jednotlvé chyby vstupních velčn malé, můžeme výslednou chybu teoretcky vyjádřt pomocí Taylorova rozvoje(4). Výsledná chyba je tedy(až na multplkatvní koefcenty) daná součtem chyb vstupních velčn, takže v případě, kdy některé vstupní velčny jsou zatíženy chybam s rozdělením jným než normálním, má podle centrální lmtní věty chyba výsledné velčny zhruba normální rozdělení se směrodatnou odchylkou odhadnutoupomocíkombnovanéstandardnínejstoty u c.početstupňůvolnost νkombnované standardní nejstoty je možné vypočítat pomocí tzv. Welchovy-Satterthwatovy formule, jejíž použtí je podrobně dskutováno v[], a koefcent rozšíření pomocí parametru t Studentova rozdělení pro daný počet stupňů volnost, vz dodatek A.. 4

18 4 Prezentace výsledku měření Výsledek měření, to jest hodnotu měřené fyzkální velčny, prezentujeme s ohledem na skutečnost, žejejchcemeněkomusdělt. Ztohotodůvodubymělbýtzapsánjednoznačněasrozumtelně. 4. Fyzkální velčny a jejch jednotky Hodnota skalární fyzkální velčny je určena dvěma číselným údaj. Kvalta velčny je určena jednotkou, kvantta číselnou hodnotou. Jednotkou velčny(měřcí jednotkou) je vhodně zvolená velčna stejného typu, která umožňuje kvanttatvní porovnání velčn měřením a přsuzujeme jí hodnotu. Číselná hodnota je poměr velčny vzhledem k její zvolené jednotce. Mez fyzkální velčnou, její číselnou hodnotou a jednotkou platí vztah Velčna Jednotka Symbol délka metr m X {X}[X], čas sekunda s kde {X} představuje číselnou hodnotu(v použtých jednotkách) a [X] příslušnou jednotku. Můžeme tedy například pro tzv. standardní tíhovézrychlení g n psát hmotnost klogram kg elektrcký proud ampér A termodynamckáteplota kelvn K svítvost kandela cd látkové množství mol mol g n 9,80665m s, Tabulka : Základní jednotky SI. kde {g n } 9,80665ječíselnáhodnotaa[g n ] m s jejednotka,kekterésečíselnáhodnota vztahuje. Změnou jednotky se pro danou velčnu mění příslušná číselná hodnota. Je tedy zřejmé, že pokud bychom zapomněl jednotku fyzkální velčny zapsat, nebylo by zřejmé, k čemu se číselná hodnotavztahuje,atabysamaosoběnemělažádnouvypovídacíhodnotu. Velčna Jednotka Symbol Ekvvalent kmtočet hertz Hz s síla newton N kg m s práce joule J N mkg m s výkon watt W J s 3 kg m s tlak pascal Pa N m kg m s elektrcký náboj coulomb C A s elektrckénapětí volt V N C mkg m s 3 A elektrckýodpor ohm Ω V A kg m s 3 A kapacta farad F C V A s4 kg m magnetckándukce tesla T N C m skg A s magnetckýndukčnítok weber Wb T m kg m A s ndukčnost henry H Wb A kg m A s Tabulka 3: Některé odvozené fyzkální velčny a jejch jednotky. Cožse,mlístudent,takétýkáprotokolůzfyzkálníhopraktka! SondaMarsClmateOrbtershořela vatmosféřeMarsupřneúspěšnémpokusuonavedenína oběžnou dráhu. Příčnou byla skutečnost, že palubní řídící program sondy očekával číselné hodnoty velkost síly tahu motorů v metrckých jednotkách(newtonech), zatímco program v pozemním řídícím středsku generoval tyto hodnotyvjednotkáchbrtsko-amerckých(poundforce lbf,lbf4,448n). 5

19 Aby výsledky měření získané různým ldm v různých místech a různých dobách mohly být porovnatelné, měří se fyzkální velčny v jednotkách stanovených přesně a jednoznačně. Volba jednotekseprovádítak,žejeudánexpermentálnípostup 3,jaksedanájednotkarealzuje,nebo jezanzvolennějakýprototyp 4. Fyzkálních velčn je velké množství. Stejnorodé fyzkální velčny můžeme sčítat a odčítat, násobením a dělením vznkají velčny nové. Praxe ukázala, že k popsání všech fyzkálních jevů postačuje velm malý soubor tzv. základních velčn, jejch násobením a dělením vznkají velčny odvozené. Vroce960vybralaXI.generálníkonferencepromíryaváhysedmzákladníchvelčnajejch jednotek, které se staly základem Meznárodní soustavy jednotek označované zkratkou SI, vz tabulka. Soustava jednotek SI je rozšířena tzv. jednotkam doplňkovým radán(rad) pro rovnný úhel asteradán(sr)proúhelprostorový.tytojednotkysenterpretujíjakobezrozměrové 5. Některé odvozené velčny a jejch jednotky, které mají vlastní název, jsou uvedeny v tabulce 3. Z praktckých důvodů se používají tzv vedlejší jednotky, jako například mnuta, den, světelný rok, úhlový stupeň, atp. Násobek Předpona Značka Násobek Předpona Značka 0 4 yotta- Y 0 4 yokto- y 0 zetta- Z 0 zepto- z 0 8 exa- E 0 8 atto- a 0 5 peta- P 0 5 femto- f 0 tera- T 0 pko- p 0 9 gga- G 0 9 nano- n 0 6 mega- M 0 6 mkro- µ 0 3 klo- k 0 3 ml- m 0 hekto- h 0 cent- c 0 deka- da 0 dec- d Tabulka 4: Předpony používané u jednotek fyzkálních velčn. Pro zpřehlednění číselného vyjádření hodnoty fyzkální velčny se používají předpony jednotek, obvyklé je používání předpon podle třetí mocnny čísla 0. Používané předpony jsou uvedeny vtabulce4,tučnějsouvyznačenytynejčastějpoužívané 6. Další detaly týkající se problematky jednotek fyzkálních velčn lze nalézt v příslušné lteratuře, například[],[]. 4. Platné cfry Př zápsu číselné hodnoty(nejen) fyzkální velčny je třeba mít představu o tom, jak přesně danou hodnotu zapsujeme. Přesnost zapsovaného čísla vyjadřujeme pomocí tzv. počtu platných cfer. 3 Napříkladmetrjedefnovánjakovzdálenost,kterousvětlourazízačas / sekundy. 4 Napříkladklogramjehmotnostmeznárodníhoprototypuklogramu(platno-rdovéhoválečku)uloženéhov Meznárodním úřadě pro míry a váhy v Sèvres ve Franc. 5 Jednotkoubezrozměrovévelčnyječíslo,přjejchvyjadřovánísejednotka()neuvádí. 6 Možnávászarazly násobícítečky vodvozenýchjednotkáchvtabulce3avcelémtomtotextu.ikdyžjsouna první pohled zbytečné a njak zvlášť estetcké, mají svůj smysl. Kdybychom například napsal b 0,00898 m K, není zžejmé,zdamámenamysl metrykrátkelvny,nebo mlkelvny.napíšeme-lvšakm K,jezřejmé,žemámena mysl metrykrátkelvny ažesejednáokonstantuwenovazákona. 6

20 Počet platných cfer v čísle se určuje podle následujícího algortmu.. Nenulová číslce nejvíce nalevo je nejvýznamnější platná cfra.. Jestlže číslo neobsahuje desetnnou čárku, nenulová číslce nejvíce napravo je nejméně významná platná cfra. 3. Jestlže číslo obsahuje desetnnou čárku, číslce(včetně nuly) nejvíce napravo je nejméně významná platná cfra. 4. Počet platných cfer je počet číslc mez nejvýznamnější a nejméně významnou včetně. Příklad. Následující čísla jsou zapsána s přesností na tř platné cfry: 3, 0 300,,0,,00, 0,3, 0,00,0,000.Číslo00000jespřesnostínatřplatnécfrymožnézapsatjako, V případě číselných hodnot velčn získaných měřením a následným výpočtem nemá smysl uvádět výsledné hodnoty s přesností danou strojovou přesností počítače č rozlšením dspleje kalkulačky, neboť vstupní data jsou zatížena chybam, což je kvantfkováno jejch nejstotou. Přesnost těchtočíselnýchhodnotnapožadovanýpočetplatnýchcfer,vzníže,snžujemezaokrouhlováním Záps výsledku měření Hodnotu fyzkální velčny získanou měřením vždy prezentujeme spolu s vypočtenou nejstotou, čímžvyjadřujeme,jak přesně tatovelčnabylaurčena.výsledekměřenívelčny xzpravdla zapsujeme ve tvaru x (x±u c )[x], (34) kde x je nejlepší odhad skutečné hodnoty měřené velčny(často realzovaný pomocí artmetckého průměru), u c jekombnovanástandardnínejstotatohotoodhadua[x]jejednotka,vekteréje číselná hodnota odhadu měřené velčny a její nejstoty udávána. Závorka vyjadřuje, že obě číselné hodnoty se vztahují k téže jednotce. Jak bylo výše uvedeno, vz vztah(9), nejstota měření má poměrně velkou nejstotu a z tohoto důvodu j vyjadřujeme s přesností na maxmálně dvě platné cfry. Počet platných cfer u odhadu měřené velčny upravíme tak, aby obě čísla byla zapsána se stejnou přesností. K vyjádření přesnost měření se často ve vztahu(34) používá rozšířená nejstota. Z tohoto důvodu je třeba vždy výslovně uvést, co číselná hodnota za symbolem ± reprezentuje a v případě rozšířené nejstoty, k jakému ntervalu spolehlvost se vztahuje. 7 Načíslcenásledujícízanejméněvýznamnouplatnoucfrou(NVPC)nahlížíme,jakobypřednmbyladesetnná čárkaatvořítakčíslo zmenšínež.pokud z < /,číslcezanvpcvypustíme.pokud z > /,číslcezanvpc vypustímeanvpczvýšímeo.pokud z /číslcezanvpcvypustímeanvpczvýšímeo,pokudjelchá. Tímto se vyhneme zanesení systematcké chyby př případném dalším zpracování(sčítání) takto zaokrouhlených čísel. 7

21 Příklad zápsu výsledku měření: Ve fyzkálním praktku byla měřením a následným výpočtem na počítač nalezena tato hodnota Planckovy konstanty a její standardní nejstoty: h 6, J s, u(h), J s. Standardní nejstotu zapíšeme s přesností na dvě platné cfry u(h), J s 0, J s a Planckovu konstantu zaokrouhlíme na stejný počet desetnných míst, jako nejstotu h 6, J s. Výsledek měření zapíšeme takto: Měřením bylo zjštěno, že pro Planckovu konstantu platí h (6,65±0,08) 0 34 J s, kde číslo uvedené za symbolem ± vyjadřuje kombnovanou standardní nejstotu. Další příklady zápsu výsledku měření lze nalézt v dodatku A.. 5 Příklad Objem pngpongového míčku Máme za úkol zjstt objem V pngpongového míčku. Použjeme vztah V 6 πd3, kde d je průměr, jenž budeme měřt posuvným měřítkem, které svým nonem dělí mlmetr na 50 dílků. Předem jsme s ověřl, že míček je natolk tuhý, že přložením posuvného měřítka jej nedeformujeme natolk, abychom se dopouštěl systematcké chyby, kterou bychom musel korgovat. Opakovaným měřením byly zjštěny níže uvedené hodnoty. Měření č Průměr d [mm] 37,74 37,76 37,78 37,7 37,78 37,76 37,74 37,76 Vypočteme artmetcký průměr průměru míčku d N d 8 8 d 37,755mm. Vypočteme odhad směrodatné odchylky naměřených hodnot s N (d d) N 8 (d 37,755) 7 0,007mm. 8

22 Standardní nejstotu artmetckého průměru(vyhodnocenou metodou typu A) pak vypočteme pomocí vzorce u A (d) s 0,007mm 0,0073mm. N 8 Posuvné měřítko má konečné rozlšení souvsející s jemností dělení stupnce 0,0 mm. S tím je spojena standardní nejstota(určená metodou typu B), pro kterou můžeme psát u B (d) 0,0mm 0,00577mm. Kombnovanou standardní nejstotu průměru míčku vypočteme pomocí vzorce(30) jako u C (d) u A +u B 0,0093mm. Nejlepší odhad objemu míčku vypočteme jako V 6 πd3 6 π(37,755mm)3 878,7709mm 3. Pro standardní kombnovanou nejstotu objemu míčku pak dostaneme u(v) V d u C(d) πd u C (d) 0,87mm 3 mm 3. Pro objem míčku tedy můžeme psát V (879±)mm 3, kde číslo uvedené za symbolem ± vyjadřuje kombnovanou standardní nejstotu. 6 Metoda nejmenších čtverců Velm často je třeba expermentálně zjstt parametry funkční závslost dvou velčn X a Y. Tato funkční závslost buď může vycházet z příslušné teore, nebo j hledáme a snažíme se vytvořt model, pomocí kterého bychom závslost velčn X a Y nějak popsal. Tatoúlohaseřešítak,žepro Nrůznýchhodnot x seměříodpovídajícíhodnoty y aparametry příslušné funkční závslost se odhadnou pomocí tzv. metody nejmenších čtverců, jejíž elementární příkladjeuvedenvpoznámcenastraně4. V dalším textu jsou uvedeny algortmy metody nejmenších čtverců pro aproxmac expermentálních dat lneární, exponencální a polynomální funkční závslostí, respektve odhad příslušných regresních parametrů a jejch standardních nejstot(směrodatných odchylek). Složtější případy, vedoucí zpravdla na numercké řešení soustav nelneárních algebrackých rovnc je možné nalézt napříkladv[3],[6]. 9

23 6. Aproxmace přímkou Předpokládejme nejdříve, že hodnota velčny Y je lneárně závslá na hodnotě velčny X a že tedy teoretcky platí y 0 (x) a 0 +b 0 x, (35) kde b 0 0.V-témměřenízískámehodnoty (x,y ).Předpokládejme,žehodnotu x umímezjstt (nastavt)přesně,zatímcohodnota y y 0 (x ) + ǫ jezatíženanáhodnouchybou ǫ,jejížstatstckérozděleníjenormální(gaussovo)amásměrodatnouodchylku σ.propravděpodobnost,že naměřenáhodnotabudeležetv(úzkém)ntervalu y 0 (x )± y/,tedybudeplatt P σ π exp { [ ] } y y 0 (x ) y. (36) Pravděpodobnost,že Nhodnot y budeležetvpříslušnémntervalu,vypočtemejakosoučnjednotlvých pravděpodobností(36), tedy { N N ( y) N P(a 0,b 0 ) P exp [ ] } y y 0 (x ) σ π σ N { ( y)n N exp [ ] } y y 0 (x ) π σ k σ k N { ( y)n exp [ ] } y y 0 (x ). (37) π σ k Podívejmesenynínastuaczodlšnéhoúhlupohledu.Měřenímjsmezískal Ndvojc (x,y ) a chceme odhadnout parametry skutečné funkční závslost(35), ve tvaru k σ y(x) a+bx. (38) Propravděpodobnost,ženaměřenéhodnotybudouležetvntervalech y(x )± y/podobnějako ve vztahu(37), dostaneme N { P(a,b) ( y)n exp [ ] } y y(x ). (39) π σ k π σ k Parametry a a b určíme tak, aby pravděpodobnost P(a, b) byla maxmální, tedy nalezením extrému funkce(39). Jelkož členy před exponencálou jsou konstantní a exponencála je monotónní funkce, stačíhledatextrémfunkce 8 [ ] χ y y(x ) ( ) y ax b. (40) σ Vypočteme dervace podle parametrů a a b a výsledek položíme rovný nule, tedy χ ( ) y ax b x (y ax b)! 0, (4a) a a σ χ b 8 χ čtchíkvadrát. b ( ) y ax b σ σ y ax b σ σ! 0. (4b) 0

24 Vztahy(4) můžeme přepsat do tvaru a a x x σ +b +b x σ x y, (4a) y, (4b) což je soustava dvou lneárních algebrackých rovnc pro neznámé parametry a a b. Soustavu snadno vyřešíme Cramerovým pravdlem a yk ( x xk y k N ) x k y k x y k, (43a) σ σk σ k k σ σ k k b yk x ( σk xk y k x N ) x y k x x k y k, (43b) σ σk σ k k σ σ k k xk N ( σk x N ) k x. x σ x k σ k σ σ k k Budou-lmítvšechnysměrodatnéodchylkystejnouhodnotu σ σ,přejdouvzorce(43)do jednoduššího tvaru a N x y x yk x N x ( x ), b yk x xk y k N x ( x ). (44) Dále určíme standardní nejstoty(směrodatné odchylky) regresních parametrů a a b. K jejch nejstotámpřspívajínejstotyjednotlvýchhodnot y.použtímvzorce(8)tedymůžemepsát σ σ a ( a k y k ) σ k, σ b ( b k y k ) σ k. (45) Dervováním vzorců(43) postupně dostaneme ( ) a x k x, y k σk σk ( b y k σk x x k σ k x ),

25 takže po dosazení do vztahů(45) můžeme psát a σ a σ b k k σ k ( x k σ k k σ k ( σ k σ σ k σ k k σk ( x N k σk 4 x k ( N x ) ) x k σ ) σ x x k σ k x k σ k k σ 4 k x k σ j j σ k k σ j j ( N ) σ ( N ) x ) ( σk N ) x x k σ 4 k k σ σk 4 ( N ) x x k σ k k σ ( N σ ( N σ x k σ x x + σ 4 k + ( N σ k k σ j j x j σ j j σ k k σ j j σ k k x k x ) ) x j σ k k x k x x σ k k ( N σ k k x k + x k σ k + ( N x j σ k k σ j j ) ( N x ( N x k σ k k ( N x k σ k k x ) ( N ) x ) x ( N x k σ k k ) ) x ) ). (46) σ x. (47) Vespecálnímpřípadě,kdy σ σ,přejdouvzorce(46)a(47)dojednoduššíhotvaru σa Nσ N x ( x ), σ b σ x N x ( x ). (48) 6. Aproxmace známou mocnnou Často se setkáváme se stuací, kdy teoretcká funkční závslost má tvar y 0 c 0 x m, (49)

26 kde mjeznámá 9 mocnna.vespecálnímpřípadě,kdy m,sejednáopřímkuprocházející počátkem, můžeme použít postup uvedený v předchozím odstavc(určujeme o jeden parametr navíc(a), přcházíme o jeden stupeň volnost a používáme složtější vzorce, ale na druhou stranu, můžeme tímto způsobem vykompenzovat adtvní systematckou chybu). Odhad cregresníhoparametru c 0 najdemepomocíextrémufunkce ( ) χ y cx m. Dervováním dostaneme dχ dc N V extrému je funkce(50) rovna nule, takže dostaneme x m y cx m σ σ x m y cx m. (50) 0 c x m y /σ x m /σ. (5) Tentovztahsepropřípad,kdyjsouvšechnysměrodatnéodchylkystejné(σ σ),dálezjednodušuje do tvaru x m c y. (5) x m Směrodatnouodchylku σ c najdemepoužtímvzorce(8)aplkovanéhonavztah(5)jako N σc ( ) c σk y N ( x m k /σk k xm / k k ) σ k k xm k /σ k ( xm /σ ) x m /σ. (53) Vpřípadě,kdyjsouvšechnysměrodatnéodchylkystejné (σ σ),přecházívzorec(53)do jednoduššího tvaru 6.3 Aproxmace exponencálou σ c σ x m. (54) Vzorce odvozené v předchozím textu lze přímočaře aplkovat na případ, kdy teoretcká závslost velčn Xa Zjeexponencálníaplatí z 0 (x) A 0 e k 0x. (55) Tuto exponencální závslost lze logartmováním převést na závslost lneární lnz 0 (x) ln ( A 0 e k 0x ) k 0 x+lna 0. Odhady regresních parametrů tedy můžeme hledat pomocí extrému funkce χ [ ] lnz kx lna σ [ ] y ax b, (56) σ 9 Užtečnébyjstěbylo,kdybychomnepředpokládal,žemocnnu mznáme,alemetodounejmenšíchčtvercůnašl její odhad. Tato úloha ale vede na soustavu nelneárních rovnc, které je třeba řešt numercky na počítač. Blíže vz odstavec

27 kde jsme položl y lnz, a k, b lna. Směrodatnéodchylky σ odpovídajívelčně lnz aspoužtímvzorce(8)proněmůžemepsát σ ( ) dy dz zz [ d(lnz) dz ] σ. zz z Poté,copomocívzorců(43)(46)a(47)vypočtemeparametry aabajejchsměrodatné odchylky, provedeme zpětnou transformac k a, A e b a přepočítáme směrodatné odchylky pro parametry A a k jako σ k σ a, ( ) [ ] da d(e σ A σb b db ) σb db eb σb. 6.4 Aproxmace polynomem m-tého stupně Složtější funkční závslost se často aproxmují pomocí polynomů, čehož se využívá v případě expermentálně získaných dat. Koefcenty polynomu y(x) a 0 +a x+a x + +a m x m +a m x m m a j x j j0 aproxmujícího Nnaměřenýchdvojc(x,y ),proněžplatístejnépředpokladyjakovodstavc6., můžeme odhadnout z extrému funkce ( χ m y a j x) j. σ Nejdříve vypočteme dervace podle jednotlvých koefcentů a výsledky položíme rovné nule, tedy ( ) χ m y a 0 σ a j x j! 0, j0 ( ) χ x m y a σ a j x j! 0, j0 ( ) χ x m y a j x j! 0, a σ j0 j0 χ a m. x m σ ( y ) m a j x j! 0. j0 4

28 Tímdostanemesoustavum+lneárníchrovncprom+hledanýchkoefcentů a m,kteroumůžeme zapsat ve tvaru m N a j j0 m N a j j0 m N a j j0 x j x j+ σ x j+ σ y, x y, x y,. m N x j+m a j j0 x m y, anebo matcově jako x x. x m σ x x x 3. x m+ σ x x 3 x 4. x m+ σ x m x m+ x m+.... x m σ a 0 a a. a m y σ x y x y. x m y. Tuto matcovou rovnc můžeme přepsat do poněkud úspornějšího tvaru kde Ma b, (58) M kl x k+l, b k x k y, k,l 0,,,...,m. Řešení soustavy(58) nalezneme snadno pomocí nverzní matce k M jako M Ma Ea am b a Rb, (59) kder M aejejednotkovámatce. Standardní nejstoty regresních parametrů(směrodatné odchylky) opět vypočteme ze vzorce pro kombnovanou nejstotu(8) ve tvaru Protože platí a k σ a k ( ) ak σl y. (60) l l m R kj b j j0 5 m N R kj j0 x j y,

29 můžeme psát a k y l m j0 R kj x j l σ l a dosazením výrazu(6) do vztahu(60) postupně dostaneme σ a k ( m l j0 R kj x j l σ l ) σ l m 0 ( m x l R k σl l 0 m N R k R kj j0 l )( m x +j l σ l j0 m 0 R kj x j l σ l ) σ l m R k R kj M j j0 m m R kj R k M j j0 0 (6) m R kj E kj R kk, (6) kdejsmevyužlvlastnostjednotkovématce E kj 0pro k ja E kj pro k j. Vzorec(6)tedyříká,žerozptylkoefcentu a k jeroven k-témuprvkudagonálymatcenverzní kmatcm. 6.5 Složtější případy Problémy řešené v odstavcích bylo možné( když někdy trochu pracně) řešt analytcky. Metody popsané v odstavc 6.4 lze přímočaře zobecnt na případ y(x) a f (x)+a f (x) +a m f m (x) j0 m a j f j (x), tedy pro funkce lneární vzhledem k hledaným parametrům, vz[3]. Funkce, jež nejsou lneární vzhledem ke hledaným parametrům, zpravdla vedou na soustavy nelneárních rovnc, které je třeba řešt metodam numercké matematky, vz[3],[6]. Výjmkou jsou ovšem případy, kdy se dá nelneární problém vhodnou transformací převést na jednodušší případ, vz odstavec 6.3. Vpředchozíchodstavcíchjsmeuvažoval,žehodnotyx nezávslévelčnyjsouurčenytakpřesně, že jejch nejstoty nemusíme vůbec uvažovat, což někdy(spíš často) nemusí být splněno. V případě, kdy je výrazně přesnější určení velčny závslé oprot velčně nezávslé je možné u aproxmace přímkou vyjít z nverzní relace x(y) a +b y, použítmetodypopsanévodstavc6.apakvyjádřt a a /b a b /b. Obecný případ, kdy je třeba uvažovat nejstoty jak závslé tak nezávslé velčny, opět vede na nelneární soustavy rovnc, které se řeší numercky, detaly vz[3],[6]. 6.6 Posouzení kvalty aproxmace Metodanejmenšíchčtvercůjezaloženanahypotéze,žeoptmálníaproxmacehodnot x,y funkcí y(x) je ta, která mnmalzuje výraz j χ [ ] y y(x ). σ 6

30 Odhad rozptylu dat kolem funkční závslost y(x), jejíž parametry byly metodou nejmenších čtverců nalezeny, je možné defnovat vztahem podobným vztahu(6) jako s ν [y y(x )], (63) kde ν N M jepočetstupňůvolnost, tedypočetnaměřených hodnotzmenšený opočet parametrů určovaných metodou nejmenších čtverců(takže například pro aproxmac přímkou M,proaproxmacpolynomem m-téhostupně M m+). Velkostrozptylu s jejednakzávslánarozptylu σ naměřenýchhodnotkolemhodnotskutečných y 0 (x )(souvsísvelkostmchybměření)ajednaknatom,jakdobřefunkce y(x)aproxmuje teoretckou(skutečnou)závslost y 0 (x). Pročastýpřípad,kdy σ σ,můžemepsát N χ ν χ ν [y y(x )] νσ s σ. (64) Prohodnotuvýrazu χ ν byvpřípadě dobréaproxmace zřejměměloplatt χ ν. Jako emprcké krtérum pro posouzení, zda funkce y(x) dobře aproxmuje naměřená data vpřípadě,kdy σ jsourůzné,můžemetedypoužítvztah [ ] y y(x ), (65) χ ν ν σ jehožhodnotabysenemělapřílšlštodjedné.velmmaléhodnotyχ ν většnousvědčío přecenění chybměření(přílšvelkémodhaduhodnot σ ),přílšvelkéhodnotysgnalzujíšpatnouaproxmac. Pravděpodobnostní přístup posouzení kvalty aproxmace lze nalézt například v[3]. 6.7 Kdyžneznámenejstotyvstupníchdat... V předchozích odstavcích věnovaných metodě nejmenších čtverců jsme předpokládal, že známe směrodatnéodchylky(nebospíšjejchodhady) σ závslévelčny y.pomocínchjsmepakschopn vypočítat směrodatné odchylky regresních parametrů a posoudt kvaltu aproxmace. Někdy se však můžeme dostat do stuace, kdy nejstoty vstupních dat buď neznáme, nebo o nch máme špatné nformace 0. V těchto případech je možné postupovat tak, že do vzorců pro výpočet regresních parametrů dosadíme σ σ avypočtemeregresníparametry,čímžurčímefunkčnízávslost y(x).odhad rozptyluvstupníchdats kolemfunkčnízávslost y(x)potévypočtemepomocívzorce(63),přčemž budezřejměplatt s χ /ν χ ν. Dále budeme předpokládat(což ale nemusí být pravda), že funkční závslost y(x) je zvolena správně.vtompřípaděbyměloplatt σ s.hodnotu s vypočtenouvzorcem(63)tedypoužjemejakoodhadrozptyluhodnot y vevzorcíchprovýpočetnejstotregresníchparametrů. 0 Tosemůženapříkladprojevttím,žedosazenímdovzorce(65)dostaneme χ ν. 7

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.

Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha. Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně nverzta Tomáše Bat ve líně LABOATOÍ CČEÍ ELETOTECHY A PŮMYSLOÉ ELETOY ázev úlohy: ávrh dělče napětí pracoval: Petr Luzar, Josef Moravčík Skupna: T / Datum měření:.února 8 Obor: nformační technologe Hodnocení:

Více

264/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 14. července 2000,

264/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 14. července 2000, Vyhl. č. 264/2000 Sb., stránka 1 z 7 264/2000 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva průmyslu a obchodu ze dne 14. července 2000, o základních měřicích jednotkách a ostatních jednotkách a o jejich označování Ministerstvo

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

Tabulka 1. SI - základní jednotky

Tabulka 1. SI - základní jednotky 1 Veličina Jednotka Značka Rozměr délka metr m L hmotnost kilogram kg M čas sekunda s T elektrický proud ampér A I termodynamická teplota kelvin K Θ látkové množství mol mol N svítivost kandela cd J Tabulka

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nomnální napětí v pásnc Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma 5: Parametrcká rozdělení pravděpodobnost spojté náhodné velčn Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2

ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2 ZKOUŠEN ENÍ TEXTILIÍ PŘEDNÁŠKA 2 10 12 tera T 10-3 ml m 10 9 gga G 10-6 mkro µ 10 6 mega M 10 9 nano n Zobrazovací modul Převádí délkové jednotky obrazu na skutečné jednotky měřené velčny (např. z grafů

Více

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota

Více

MĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE

MĚRENÍ V ELEKTROTECHNICE EAICKÉ OKHY ĚENÍ V ELEKOECHNICE. řesnost měření. Chyby analogových a číslcových měřcích přístrojů. Chyby nepřímých a opakovaných měření. rmární etalon napětí. Zdroje referenčních napětí. rmární etalon

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY -

1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY - IUVENTAS - SOUKROMÉ GYMNÁZIUM A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA 1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY - STUDIJNÍ TEXTY Frolíková Martina Augustynek Martin Adamec Ondřej OSTRAVA 2006 Budeme rádi, když nám jakékoliv případné

Více

soustava jednotek SI, základní, odvozené, vedlejší a doplňkové jednotky, násobky a díly jednotek, skalární a vektorové veličiny

soustava jednotek SI, základní, odvozené, vedlejší a doplňkové jednotky, násobky a díly jednotek, skalární a vektorové veličiny Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D01_Z_OPAK_M_Uvodni_pojmy_T Člověk a příroda Fyzika Úvodní pojmy, fyzikální veličiny

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

Prototyp kilogramu. Průřez prototypu metru

Prototyp kilogramu. Průřez prototypu metru Prototyp kilogramu Průřez prototypu metru 1.Fyzikální veličiny a jednotky 2.Mezinárodní soustava jednotek 3.Vektorové a skalární veličiny 4.Skládání vektorů 1. Fyzikální veličiny a jednotky Fyzikální veličiny

Více

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...) . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Porovnání GUM a metody Monte Carlo

Porovnání GUM a metody Monte Carlo Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005 Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

264/2000 Sb. VYHLÁKA Ministerstva průmyslu a obchodu

264/2000 Sb. VYHLÁKA Ministerstva průmyslu a obchodu 264/2000 Sb. VYHLÁKA Ministerstva průmyslu a obchodu ze dne 14. července 2000, o základních měřicích jednotkách a ostatních jednotkách a o jejich označování Změna: 424/2009 Sb. Ministerstvo průmyslu a

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.

Více

1. Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou

1. Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou . Stanovení moduu pružnost v tahu přímou metodou.. Zadání úohy. Určte modu pružnost v tahu přímou metodou pro dva vzorky různých materáů a výsedky porovnejte s tabukovým hodnotam.. Z naměřených hodnot

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...

Více

Základy elektrotechniky - úvod

Základy elektrotechniky - úvod Elektrotechnika se zabývá výrobou, rozvodem a spotřebou elektrické energie včetně zařízení k těmto účelům používaným, dále sdělovacími a informačními technologiemi. Elektrotechnika je úzce spjata s matematikou

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1 VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng

Více

Staré mapy TEMAP - elearning

Staré mapy TEMAP - elearning Staré mapy TEMAP - elearnng Modul 4 Kartometrcké analýzy Ing. Markéta Potůčková, Ph.D., 2013 Přírodovědecká fakulta UK v Praze Katedra aplkované geonformatky a kartografe Kartometre a kartometrcké vlastnost

Více

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA) NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

Simulační metody hromadné obsluhy

Simulační metody hromadné obsluhy Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Výslednice, rovnováha silové soustavy.

Výslednice, rovnováha silové soustavy. Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky

Více

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek

Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 55 Kapitola 9 Stanovení hustoty pevných a kapalných látek 9.1 Úvod Hustota látky ρ je hmotnost její objemové jednotky, definované vztahem: ρ = dm dv, kde dm = hmotnost objemového elementu dv. Pro homogenní

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více