Matematická analýza II NMAI055

Transkript

1 Mtemtická nlýz II NMAI055 Robert Šáml (Prlelk Y) Pokrčování z MA1 Vět 4.1 (Jensenov nerovnost). Pokud je f konvexní n [, b], x 1,..., x n [, b] pltí λ 1,..., λ n [0, 1], n i=1 λ i = 1 (konvexní kombince); potom f( i λ ix i ) (vážený průměr) i λ if(x i ). Pokud je f konkávní, pltí opčná nerovnost. Speciálně, pro n = 2: f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) λ 1 f(x 1 )λ 2 f(x 2 ) Bod [λ 1 x 1 + λ 2 x 2, λ 1 f(x 1 )λ 2 f(x 2 )] leží n úsečce z [x 1, f(x 1 )] do [x 2, f(x 2 )] grf f leží pod touto úsečkou, potom je f konvexní. Důkz. MI podle n: n = 1... triviálně: f(x 1 ) f(x 1 ) n = 2... podle definice konvexity. n n + 1: Zvedeme si x n = λnxn+λn+1xn+1 λ n+λ n+1 tké λ n = λ n + λ n+1. Pro i n máme x i = x i, λ i = λ i. Poté pltí n i=1 λ i = n+1 i=1 = 1. Z toho vyplývá, že x n leží mezi x n x n+1 x n [, b] Indukční předpokld: n λ i x i ) = f( λ ix i) n+1 f( i=1 i=1 n λ if(x i) = i=1 n 1 = (λ i x i ) + (λ n + λ n+1 )f( λ nx n + λ n+1 x n+1 ) λ n + λ n+1 i=1 Nyní si zvedeme x 1 = x n, x 2 = x n+1 λ vychází λ 1 + λ 2 = 1. λ n λ n + λ n+1 f(x n ) + λ n+1 λ n + λ n+1 f(x n+1 ) 1 = λ n λ n+λ n+1, λ 2 = λn+1 λ n+λ n+1. Ze speciálního přípdu pro n = 2 Důsledek 4.1 (AG-nerovnost). Pro x 1,..., x n 0 pltí: n x1 x n x x n n K této nerovnosti je ekvivlentní pro λ 1 =... = λ n = 1 n : 1 n (log x log x n ) n λ i log(x i ) Vět 4.2 (Rolleov). Z předpokldů, že f() = f(b) = 0 f je spojitá má vlstní derivce n [, b], potom existuje ξ (, b) : f (ξ) = 0. Důkz. Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá mxim M minim m, proto x [, b] : m f(x) M. Když m = M = 0 f je konstntní... ξ lze zvolit libovolné. BÚNO pro M > 0 pltí: ξ (, b) : f(ξ) = M... f nbývá v ξ mxim. Využitím Fermtovy věty získáme f (ξ) = 0 pro ξ, b. Vět 4.3 (Lgrngeov vět o střední hodnotě). Z předpokldů, že f má vlstní derivci n intervlu [, b] ξ (, b) : f (ξ) = f(b) f() b. Nebo-li n nějkém bodu funkce f nbývá stejné derivce jko je směrnice úsečky z bodu do b. i=1 1

2 Důkz. Zvedeme si velice mgickou speciální funkci L(x), která je přímk procházející body f() f(b). Pro tu pltí L(x) = f() + (x ) f(b) f() b, L() = f(), L(b) = f(b). Funkce f má vlstní derivce n intervlu, b z toho plyne, že f je n [, b] spojitá. Dále si zvedeme funkci g(x) = f(x) L(x). Poté pltí, že g() = g(b) = 0. Nyní můžeme využít Rolleovy věty (4.2). Tkže ξ (, b), g (ξ) = 0. Dostneme že f(ξ) L(ξ) = 0. A tedy f (ξ) = L (ξ) = f(b) f() b. Důsledek 4.2. Pokud f (x) > 0 x (, b), pk je f n intervlu J rostoucí. Důkz. Sporem: f > 0 n J zároveň f není rostoucí. Z toho plyne, že < b J : f() f(b) Využijeme Lgrngeovu větu (4.3), ze které plyne: ξ (, b) : f (ξ) = f(b) f() b 0 to je spor. 4.1 Tylorův polynom Chceme proximovt hodnotu f( + h), pokud známe funkční hodnotu i derivci v bodě. Tu můžeme proximovt tímto způsobem: f( + h). = f() + f ()h. Jenže tto proximce není příliš přesná. Jk se toto dá vylepšit? Definice 4.1 (n-tá derivce). Znčíme f (n) je definovná tkto: f (0) = f, f (n+1) = (f (n) ). Pro speciální přípdy, tedy první, druhou třetí derivci můžeme použít zápis f, f, f. S využitím této definice nyní můžeme vytvořit proximční vzorec, který se nzývá Tylorův polynom. Definice 4.2 (Tylorův polynom). Tylorův polynom funkce f v bodě řádu n je definován jko: Tn f, (x) = f() + f ()(x ) + f (x )2 () + + f (n) (x )n () 2 n! Dlší možnost, jk npst TP je: Tn f, ( + h) = n k=0 f (k) () hk k!. Příkld. TP prvního stupně je T f, 1 (x) = f() + f ()(x ). Tylorův polynom pro logritmus je: T log,1 n (1 + h) = h h2 2 + h3 3 h ( 1)n 1 hn n Tké pltí, že při derivci TP n-tého stupně dostneme: (T f, n (x)) = T f, n 1 (x) Důkz. Derivcí TP dostneme: n ) (f (k) (x )k () = k! k=0 n k=1 n 1 f (k) k(x )k 1 () = f (l+1) (x )l () k(k 1)! l! l=0 Důsledek 4.3. Pro kždé k n pltí: ( ) Tn f, (k) () = f (k) (). Důkz. MI podle k: 1. k = 0: triviální. 2. k k + 1: ( T f, n ) (k+1) = ( (T f, n ) ) (k) = (T f, n ) (k) = f (k+1) () Vět 4.4 (Tylorův polynom s Peánovým tvrem zbytku). Pokud pltí, že R, f (n) () existuje je vlstní, potom: f(x) = Tn f, (x) + o((x ) n ) Pokud pltí, že f (n) je spojitá v, tk pltí: lim x f(x) Tn f, (x) (x ) n = 0 2

3 Důkz. Z limity vyplývá, že podle spojitosti dostneme f() = T (). Proto dostneme limitu 0 0. Můžeme použít L Hospitlovo prvidlo: lim x f(x) Tn f, (x) (x ) n = lim f (x) (Tn f, (x)) x n(x ) n 1 = 1 n lim f (x) T f, n 1 (x) x n(x ) n 1 Nyní budeme postupovt mtemtickou indukcí podle n: f, f(x) T0 (x) n = 0: Dostneme lim (x ), protože f = f (0) je spojitá v. 0 n n 1 Využijeme limity, které jsme dostli v L Hospitlově prvidle všimneme si, že dostneme úplně to smé. Proto můžeme toto opkovt ž do n = 0. Vět 4.5 (T.p. s Lgrngeovým tvrem zbytku). Nechť f má vlstní (n + 1)-ní derivci n intervlu I pltí BÚNO, že < x I. Potom ξ (, x): f(x) = Tn f, (x) + f (n+1) (x )n+1 (ξ) (n + 1)! Příkld. Mějme funkci f(x) = sin x Tylorův polynom T f,0 2 (x) = x + 0 x 2. Potom pltí, že: sin(x) = x cos ξ x3 3!. Víme, že cos ξ 1. Vezměme si sin 0.1 = Dostneme tedy, že sin , tedy chyb je nejvýše 6. Větičk 4.6 (Zobecněná Rolleov). Nechť pltí f() = f () =... = f (n) () = f(b) = 0 f (n+1) (x) je n intervlu [, b] definovná. Potom existuje tkové ξ (, b) : f (n+1) (ξ) = 0. Důkz. Mtemtickou indukcí podle n: n = 0 je v podsttě Rolleov vět 4.2. n > 0 dostneme dle Rolleovy věty b (, b) : f (b ) = 0. Podle znění věty víme, že pltí f () = (f ) () = = (f ) (n 1) () = 0 = f (b ). Vezměme si (f ) (n) = f (n+1). Potom víme, že tto derivce existuje n [, b] [, b ]. Podle indukčního předpokldu pro f, n 1,, b existuje tkové ξ : (f ) (n) (ξ) = 0 = f (n+1) (ξ). Nyní již máme vše potřebné n to, bychom dokzli větu 4.5. Důkz věty 4.5. Ndefinujeme si funkci g(y) = f(y) Tn f, (y) c(y ) n+1. Prvním pozorováním zjistíme, že g() = 0 po derivci funkce g dostneme rovnost g () = f () (Tn f, ) () c(n + 1)(y ) n = 0 pro y =. Zopkujme tuto derivci n krát, potom pro y = získáváme rovnost g (n) () = f (n) () T (n) () c(n + 1)(n)(n 1) 2(y ) = 0. Nyní máme předpokldy pro Rolleovu větu. Proto zvolme konstntu c tk, by g(x) = 0. Dle zobecněné Rolleovy věty (4.6) pro g,, x existuje ξ (, x) : g (n+1) (ξ) = 0. Po derivci dostneme g (n+1) (y) = f (n+1) (y) 0 c(n + 1)n(n 1) 1, protože Tylorův polynom je nejvýše stupně n, Z toho vyplývá, že nše hledné c = f (n+1) (ξ) (n+1)!, čímž máme, co potřebujeme. (IP) 5 Primitivní funkce (neurčitý integrál) Mějme funkci f(t), která se rovná množství vyteklé tekutiny z nádoby v čse t. Víme, že f(t + h) f(t) je příbytek tohoto množství v čse od t do t + h. Z toho nám vyplývá díky definice derivce funkce, že f (t) = lim t 0 f(t+h) f(t) h je průtok v čse t. Definice 5.1. Nechť f je definovná n otevřeném intervlu I. Potom F je primitivní funkce k f n I, pokud F (x) = f(x) x I. Příkld. Mějme (sin x) = cos x n R. Potom primitivní funkce ke cos x je funkce sin x. Vět 5.1 (Jednoznčnost primitivní funkce). Necht F, G jsou primitivní funkce k f n otevřeném intervlu I. Pk existuje c R : F (x) = G(x) + c. Důkz. Víme, že F = G = f. Tudíž musí pltit, že (F G) = F G = 0. Tedy rozdíl těchto funkcí musí být nějká konstnt c. 3

4 Množin všech primitivních funkcí k funkci f je množin {F (x) + c : c R}, kde F (x) je jedn primitivní funkce. Znčíme: f(x) dx = F (x) + c Vět 5.2 (Linerit primitivní funkce). Máme funkce f, g, které mjí primitivní funkce F, G n otevřeném intervlu I α, β R. Potom αf + βg má primitivní funkci αf + βg. Důkz. Triviální: (αf + βg) = αf + βg = αf + βg Vět 5.3 (Per-prtes). Mějme funkce f, g spojité n intervlu I. Potom pltí gf = GF Gf MLPSS. Důkz. Chceme ukázt, že (GF H) = gf, kde H = Gf. Využitím věty o ritmetice derivcí dostneme: (GF H) = (GF ) H = G F + GF Gf = gf + Gf Gf = gf. Příkld. xe x = xe x e x x = (x 1)e x + c. Pro kontrolu ((x 1)e x ) = e x + (x 1)e x = xe x Vět 5.4 (1. O substituci pro primitivní funkci). Mějme F = f n (, b) ϕ : (α, β) (, b)), existuje vlstní derivce ϕ n (α, β). Potom pltí: f(ϕ(t))ϕ (t) dt = F (ϕ(t)) + c n (α, β) Důkz. Triviální. Chceme získt, že F (ϕ(t)) = f(ϕ(t))ϕ (t). To pltí díky větě o derivci složené funkce. Vět 5.5 (2. O substituci). Mějme ϕ : (α, β) (, b), která je n ϕ 0. Pokud f(ϕ(t))ϕ (t) dt = G(t) n (α, β), potom pltí: f(x) dx = G(ϕ 1 (x)) n (, b) Důkz. Ukážeme, že ϕ je monotónní. Nechť SÚNO je ϕ spojitá. Potom n (α, β) bude ϕ > 0 ϕ < 0. Kdyby tomu tk nebylo, ϕ (t) = 0 pro nějké t (α, β), což by byl spor. Tudíž může ϕ n (α, β) být pouze rostoucí nebo klesjící. Protože je ϕ n je monotónní, určitě má inverzi ϕ 1 : (, b) (α, β). Užijme první větu o substituci (5.4), dostneme f 1 = f(ϕ(t))ϕ (t), F 1 = G, ϕ 1 = ϕ 1. Derivce ϕ 1(x) = (ϕ 1 (x)) 1 = ϕ (ϕ 1 (x)) 0 existuje vlstní. Dosdíme tedy máme: f1 (ϕ 1 (t))ϕ 1 dt = F 1 (ϕ 1 (t)) f(ϕ(ϕ1 (t)))ϕ (ϕ 1 (t))ϕ 1(t) dt f(ϕ(ϕ 1 (t))) ϕ (ϕ 1 (t)) ϕ (ϕ 1 (t)) dt Z tohoto již dostneme poždovnou rovnici vět je dokázná. Příkld. Mějme sin(2t)dt. Vezmeme si f(x) = sin x ϕ(t) = 2t. Intervly (, b) = (α, β) = (, ). Primitivní funkce je F (x) = cos x. Výrz uprvíme dostneme 1 2 sin(2t) 2dt = 1 2 F (ϕ(t))+c = 1 2 cos(2t)+ c. Příkld. Mějme te t2 dt. Vyjádříme si x = x(t) = t 2, derivcí dostneme x (t) = 2x 2t = 2t. Z toho máme dx = 2tdt. Dosdíme dostneme: te t2 dt = 1 f(x) e t2 2t dt = 1 e x dx F = (x) e x + c F (ϕ(t))) = 1 2 e t2 + c Příkld. Mějme 1 1 x dx, počítáme n ( 1, 1) = (, b). Vytvoříme substituce x = sin t, dx = cos tdt. Z toho 2 máme sin = ϕ : ( π 2, π 2 ) ( 1, 1). Ověříme, že ϕ 0. Substituce plikujeme dostneme: 1 dx = 1 x 2 cos t 1 sin 2 t dt = = rcsin x + c cos t cos t dt = 1 dt G(t) = t + C G(ϕ 1 x) = 4

5 5.1 Integrce rcionálních funkcí Definice 5.2. Rcionální funkce je R(x) = P (x) Q(x), kde P, Q jsou polynomy Q není identicky 0. Fkt o polynomech: 1. P je polynom, R, potom: P () = 0 polynom Q : P (x) = (x )Q(x) Určitě existuje tkový Q, r tkový, že pro x = pltí rovnost 0 = P (x) = ( )Q() + r r = 0 2. (Zákldní vět lgebry). Polynom P (x) = n x n + n 1 x n , kde pro kždé j C, n 0, pk existují tkové x 1,..., x n C, pro které pltí P (x) = n (x x 1 ) (x x n ). 3. Předchozí vět nemusí pltit v R. 4. Polynom P má reálné koeficienty, poté pltí P (z) = 0 P ( z) = (Důsledek předchozího fktu). Polynom P s reálnými koeficienty lze npst jko součin lineárních výrzů (x x i ) kvdrtických výrzů (x 2 + j x + b j ). Vět 5.6 (Rozkld n prciální zlomky). Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty tkové, že 1. deg p < deg Q 2. Q(x) = k i=1 (x x i) pi l j=1 (x2 + j x + b j ) qj, kde p i, q j N, x i, j, b j R, k i=1 p i + 2 l j=1 q j = deg Q, x i x j (t j), ( j, b j ) (, b)(i q) Potom pltí: Příkld. P (x) Q(x) = k p i i=1 t=1 A i,t l (x x i ) t + q j j=1 t=1 B j,t x + C j,t (x 2 + j x + b j ) t 17x 1 (x 1) 3 (x + 2) 2 (x 2 1) 3 = A (x 1) 3 + B (x 1) 2 + C (x 1) + + D (x + 2) 2 + E (x + 2) + F x + G (x 2 1) 3 + Hx + I (x 2 1) 2 + Jx + K (x 2 1) No jo, to vypdá dost šíleně, jk se mjí tkové zlomky proboh hledt? První možnost je tupé hledání, kde dosdíme z x mnoho různých hodnot, tím dostneme soustvu S < R pro A, B,.... Dlší možnost je roznásobení jiným polynomem, v nšem příkldu polynomy (x 1) 3, x = 1; (x+2) 2, x = 2. Třetí možnost je roznásobením polynomem Q(x), dostnu rovnost polynomů porovnám koeficienty. Důkz. Vezmeme si jen přípd, kde Q(x) = n i=1 (x x i). Chceme P (x) P (x Využijeme metodu roznásobení. Tedy A = n) n 1 i=1 P (x) Q(x) AQ 1 Q(x) = P (xn) = (xn xi) Q 1(x n) (x x n )(Q 1 ) = P (x) Q 1(x) Q(x) A x x n Z toho dostneme P (x n) Q 1(x n) Vytvořme si z čittele funkci C(x n ) = P (x n ) Q 1 (x n ) P (xn) Q = 0. Z toho dostneme, že C(x) = (x x 1(x n) n)c 1 (x). Z toho dostneme, že rozdíl je C1(x) Q. 1(x) Budeme pokrčovt mtemtickou indukcí podle n. Pro n = 1 máme deg P < deg Q = 1. Tedy P (x) Q(x) = Číslo x x 1, tedy jsme hotovi. Pro n > 1 máme P (x) Q(x) A x x n = C1(x) Q. Stupeň Q 1(x) 1 je menší, než deg Q, tedy dle indukčního předpokldu lze rozložit. Jk tuto funkci integrovt: P (x) P1(x) Q(x) = R(x) + Q(x), kde deg P 1 < deg Q. Potom Q(x) rozložíme n prciální zlomky, le potřebujeme znát kořeny Q. Nkonec zintegrujeme kždý sčítnec zvlášť: 1. R(x) dx triviální, R(x) je polynom, pro kždou složku αx k = αxk+1 k+1 + C. 5

6 2. 1 x dx = log x + C, toto nefunguje v dx = (x ) k 1 dx = + C (x ) k (1 k)(x ) k x+p x 2 +px+q dx = log x2 + px + Q + C 5. 2x+p 1 dx pro k > 1 je + C (x 2 +px+q) k (1 k)(x 2 +px+q) k x 2 +1 dx = rctn x + C 7. I k = 1 (x 2 +1) k dx = x (x 2 +1) k + 2k x 2 (x 2 +1) k+1 = x (x 2 +1) k + 2k(I k I k+1 ) pro k > 1 je tedy rekurentní formule I k+1 = 1 2k x + ( ) 1 1 (x 2 +1) k 2k Ik 8. 1 (x 2 +px+q) k převedeme úprvou n čtverec n předchozí přípd, tedy pro x + p C, y = x + p 2 Příkld. Typické příkldy řešené substitucemi: R(log x) 1 x dx = R(t) dt, kde t = log x dt = 1 x dx R(e x ) dx = R(e x ) e e x dx = R(t) x t dt, kde t = e x dt = e x dx R(sin x, cos x) dx existují 4 substituce: t = sin x pro R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) t = cos x pro R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) t = tn x pro R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) t = tn x 2... univerzální. Pokud máme integrál nějké periodické funkce, která je nvíc spojitá, tk ji můžeme vyřešit tkovou substitucí n kždé periodě zvlášť potom n kždém intervlu periody zvolit konstntu tk, by výsledný integrál byl tké spojitý ( lepení ). R ( x, ( ) 1 q x+b cx+d ) = ( R(ϕ(t), t)ϕ (t) dt pro t = Eulerovy substituce R(x, x 2 + bx + c) x+b cx+d ) 1 q x = dtq b ct q Existuje tzv. Rischův lgoritmus, který umí zintegrovt, co se dá. Nyní se podívejme n jiný druh integrálů. = ϕ(t) Definice 5.3 (Určitý integrál). Nechť f je funkce (, b) R, F je primitivní funkce k f n (, b), F (b ) = lim x b F (x) F ( + ) = lim x + F (x). Poté výrz je určitý (Newtonův) integrál. (N) b f(x) dx = F (b ) F ( + ) = [F (x)] b Pozor, určitý integrál b f nemusí existovt, protože nemusí existovt primitivní funkce nebo limit v krjních bodech. Dlší možnost je, že dostneme nedefinovný výrz. Ale pokud tento integrál existuje, je jedno- znčný. Proč nás zjímjí jednostrnné limity místo funkčních hodnot? Ono se totiž může stát to, že funkce nebude v krjních bodech spojitá nebo definovná. Pro příkld x = [2 x] 1 0 = = 2, přestože pro x = 0 není funkce definovná. Pokud pro určitý integrál b f(x) pltí, že > b, potom se tento určitý integrál rovná: b f(x) Ukážeme, že pro určité integrály pltí podobné vlstnosti jko pro neurčité integrály. Vět 5.7 (per prtes pro určitý integrál). Nechť f, g mjí vlstní derivci n (, b). Potom b b f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] b f (x)g(x) dx MLPSS 6

7 Vět 5.8 (1. substituční pro uřčitý integrál). Mějme funkci ϕ : (α, β) I, která má vlstní derivci funkci f : I R. Potom pltí: b f(ϕ(t))ϕ (t) dt = ϕ(β ) ϕ(α +) f(x) dx MLPSS Vět 5.9 (2. substituční pro uřčitý integrál). Mějme funkci ϕ : (α, β) (, b), která je NA má vlstní derivci funkci f : (, b) R. Potom pltí: b f(x) dx = ϕ 1 (b ) ϕ 1 ( +) f(ϕ(t))ϕ (t) dt MLPSS Určité integrály nám umožňují definovt nové funkce, npříkld chybová funkce erf(x) = 2 x π 0 e t2 dt, což je normální rozdělení (též Gussov křivk) velmi využívné ve sttistice. Derivce chybové funkce je erf (x) = 2 π e x2. 6 Riemnnův integrál Ztím jsme si zvedli Newtonův integrál, který funguje pomocí primitivních funkcí, což je inverzní operce k derivci. Integrál le může tké fungovt jko ploch pod funkční křivkou. T se historicky počítl tk, že se křivk proximovl nějkými geometrickými tvry, u kterých obsh umíme spočítt, tyto útvry postupně přibližujeme do nekonečn ke křivce funkce. Definice 6.1. Dělení intervlu [, b] je D = {x j : j = 0,..., n} tkových, že = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Tké říkáme, že dělení D je zjemnění D, pokud pltí D D. Definice 6.2. Mějme omezenou funkci f n intervlu [, b] dělení D. Potom horní dolní součty se definují následovně: S(f, D) = s(f, D) = n x j x j 1 sup{f(x) : x [x j 1, x j ]} j=1 n x j x j 1 inf{f(x) : x [x j 1, x j ]} j=1 Definice 6.3. Riemnnův integrál funkce f s dělením n intervlu [, b] se definuje následovně: (R) (R) b b f(x) dx = inf{s(f, D) : D... dělení [, b]}... horní integrál f(x) dx = sup{s(f, D) : D... dělení [, b]}... dolní integrál Definice 6.4. Pokud pltí, že b f = b f, tk řekneme, že f je n [, b] Riemnnovsky integrovtelná, tedy f R[, b] definuje se jko (R) b f(x) dx = (R) b f(x) dx Vět 6.1 (O zjemnění dělení). Mějme f omezenou n [, b] D D dělení [, b]. Potom pltí následující: s(f, D) s(f, D ) S(f, D ) S(f, D) Důkz. Druhá nerovnost pltí triviálně jelikož pltí, že inf(... ) sup(... ). Ukážeme si, jk n první nerovnost. Definujeme si D = D {N}, nechť N [x i 1, x i ]. Tto nerovnost pltí, protože infimum intervlu [x i 1, x i ] je nejvýše tk velké, jko infim n intervlech [x i 1, N] [N, x i ]. Budeme tedy postupovt mtemtickou indukcí. Nyní si dělení D rozložíme n D 0 = D D 1 D 2 D k = D tk, by pltilo D i \ D i 1 = 1. Již víme, že s(f, D i 1 ) s(f, D i ). Tkto se postupuje přes všechny D i ž po D. Poslední nerovnost nlogicky. 7

8 Vět 6.2 (O dvou děleních). Mějme f omezenou n [, b] D 1, D 2 dělení [, b]. Potom pltí následující: s(f, D 1 ) S(f, D 2 ) Důkz. Zvedeme si Společné zjemnění D = D 1 D 2. Podle věty 6.1 dostneme, že s(f, D 1 ) s(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ). Definice 6.5. Norm dělení D je ν(d) = mx{ x j x j 1 : j = 1,..., n} Vět 6.3 (O proximci R. integrálu). Mějme f omezenou n [, b] D n dělení [, b] tkové, že ν(d n ) 0. Pk A. (R) (R) b b f = sup{s(f, D n ) : n N} f = inf{s(f, D n ) : n N} Speciálně, pokud lim n S(f, D n ) = lim n s(f, D n ) = A, potom je funkce R. integrovtelná (R) b f = Příkld. Vezměme si f(x) = x 2 intervl [, b] = [0, 1]. Dělení D n bude uniformní s krokem 1 n, tedy ν(d n) = 1 n. Potom x j = j n (j = 0,..., n). Potom horní součet je S(f, D n ) = n j=1 x j x j 1 sup(f) = 1 n f( j n ) = 1 n n 3 j=1 j2 = 1 n(n+ 1 n 3 2 )(n+1) Dolní součet vyjde nlogicky stejně, tedy 1 0 x2 = 1 3. Vět 6.4 (Kritérium R. integrovtelnosti). Mějme f omezenou n [, b]. Potom následující tvrzení jsou ekvivlentní: 1. f R[, b] 2. ε > 0 D... dělení [, b] tkové, že S(f, D) s(f, D) < ε. Důkz. Nejprve 1 2. Víme, že A = f = f = f. Poté D 1 : s(f, D 1 ) > A ε 2 D 2 : S(f, D 2 ) < A + ε 2. Dále si vezmeme D = D 1 D 2. Pro něj poté pltí A ε 2 < s(f, D 1) s(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ) < A+ ε 2. Z toho nkonec dostneme S(f, D) s(f, D) < (A + ε 2 ) A ε 2 = ε, čímž máme implikovnou 2. Nyní ukážeme 1 2. Aby 1 nepltil, musí pltit B = f > f = C nebo B = f < f = C. Vezměme si první přípd. Dostáváme následující tvrzení: D 1 : s(f, d 1 ) > B α D 2 : S(F, d 1 ) < C + α. Pokud si vezmeme α = B C 2, dostneme S(f, D 2 ) < s(f, D 1 ), spor. Nyní druhý přípd. Víme, že D pltí výrzy sup(s(f, D)) s(f, D) inf(s(f, D)) S(f, D). Zvolme si ε = f f. Pk dostneme S(f, D) s(f, D) f f = ε. A toto již implikuje negci 2. Vět 6.5 (Monotonie R. integrovtelnost). Mějme f omezenou monotónní n [, b]. Potom f R[, b]. Důkz. Užijeme předchozí větu, tedy ε > 0 D.... Zvolíme si D n = {x j = + b n j : j = 0,..., n}. Potom dostneme S(f, D n ) s(f, D n ) = n j=1 x j x j 1 (sup j f inf j f). Nechť je f BÚNO neklesjící. Po doszení D n máme rovnost b n n j=1 (f(x j) f(x j 1 )) = (b )(f(b) f()) n. Tedy ε > 0 n : const. n < ε. Proto monotónní funkce je R. integrovtelná. Definice 6.6. Mějme funkci f, pro kterou pltí: ε > 0 δ > 0 x, y [, b] x y < δ f(x) f(y) < ε, kde δ závisí pouze n ε. Potom f je stejnoměrně spojitá n [, b]. Kždá stejnoměrně spojitá funkce je tké spojitá. Obecně to le pltí nopk, pokud intervl [, b] je uzvřený. Vět 6.6 (Vzth spojitosti R. integrálu). Pokud funkce f je spojitá n [, b], potom f R[, b]. Důkz. Víme, že y [, b] ε > 0 δ > 0 x [, b] x y < δ f(x) f(y) < ε, tedy f je n [, b] spojitá. Užijeme definici stejnoměrné spojitosti n intervlu [, b]. Dostneme ε > 0, hledáme dělení D. Zvedeme si ε = ε b. Poté njdeme δ > 0 tkové, že x, y [, b] : x y < δ f(x) f(y) < ε. D je libovolné dělení, kde ν(d) < δ, D = {x 0, x 1,..., x n } Funkce f n intervlech [x j 1, x j ] nbývá extrémů, tedy minimum v bodě d j mximum v h j. Nyní se podíváme, jk vypdá rozdíl horního dolního součtu. S(f, D) s(f, D) = n j=1 f(h j)(x j x j 1 ) n j=1 f(d j)(x j x j 1 ) = n j=1 (f(h j) f(d j ))(x j x j 1 ). První člen je menší, než ε, neboť h j d j x j x j 1 ν(d) δ. Proto pltí: S(f, D) s(f, D) < ε n j=1 (x j x j 1 ) = ε (b ) = ε. 8

9 Vět 6.7 (Vlstnosti R. integrálu). Následující vlstnosti pltí: Linerit. f, g R[, b], α R. Potom (R) b (f + g) = (R) b f + (R) b g (R) b αf = α(r) b f. b Monotonie. f g, f, g R[, b]. Potom (R) f b (R) g. c Aditivit vzhledem k intervlu. < b < c. Potom (R) = b c (R) +(R) b Podívejme se, jk se hodnot integrálu, tedy ploch pod křivkou, změní, pokud spojitě budeme měnit b. Vět 6.8 (Derivce R. integrálu podle horní meze). Mějme neprázdný otevřený intervl J, funkci f : J R. Dále nechť pltí pro α < β J : f R[α, β] c J. Dále ještě pltí, že pro x J Potom pltí následující: 1. F je spojitá n J F (x) = 2. f je spojitá v x 0 J F (x 0 ) = f(x 0 ) { (R) x f (x c) c f (x c) (R) c x Příkld. Mějme intervl J = (0, 1), f(x) = 1 x. Poté pltí α < β (0, 1)f R[α, β], všk nepltí integrovtelnost v okrjích J, tedy f / R[0, 1] Důkz. Vezměme si bod x 0 J. Chceme ukázt, že F je v bodě x 0 spojitá. BÚNO předpokládejme x 0 > c. Zvolme nějké α < x 0 < β, kde α, β J. Potom f R[α, β] f je omezená n [α, β]. Tedy M R + tkové, že M f(x) M. Chceme pro ε > 0 njít δ > 0 tk, by x x 0 δ F (x) F (x 0 ) ε. Pro x 0 < x pltí F (x) F (x 0 ) = x (R) x 0 f M(x x 0 ). Stčí volit δ = ε M. Potom je rozdíl menší, než Mδ = ε. Nyní chceme dokázt druhou vlstnost. Víme ε > 0 δ > 0 x J x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Nebo tké jink f(x 0 ) ε < f(x 0 ) < f(x 0 ) + ε Chceme, by pltilo F +(x F (x) F (x 0 ) = lim 0) (R) x f x x x0+ x x 0 = lim 0 x x0+ x x 0. Pro ε > 0 njdeme δ > 0 tk, že pro x (x 0, x 0 δ) pltí nerovnost f(x 0 ) ε < (R) x f x 0 x x 0 < f(x 0 ) + ε. Tím jsme přímo z definice ověřili to, že nše hledná limit se rovná f(x 0 ). Důsledek 6.1. Vět 6.9 (Vzth spojitosti existence primitivní funkce). Mějme J neprázdný otevřený intervl, f spojitá n J. Potom f má n J primitivní funkcí. Důkz. Užijeme větu 6.8: α < β J : f je spojitá n [, b], tedy podle věty 6.6 je f R[α, β]. Definujme F : J R stejně, jko ve větě 6.8. Nhlédneme, že podmínky této věty pltí. Důsledek 6.2. Vět Mějme f spojitou n [α, β], α, β R. Potom: (R) β kde F je primitivní funkce k f n (α, β). 6.1 Aplikce integrálu α f = [F ] β α = F (β ) F (α + ) 1. Vypočítání plochy pod křivkou. Tedy máme f : [, b] R + 0 {(x, y) R 2 b : 0 y f(x)} je (R) f = b (N) f. 2. Vypočítání délky křivky dnou funkcí. Definice 6.7. Mějme spojitou funkci f : [, b] R dělení D[, b]. Potom L(f, D) = n j=1 (x j x j 1 ) 2 + (f(x j ) f(x j 1 )) 2 je délk lomené čáry proximující křivku f L(f) = sup{l(f, D)} je délk křivky. plochou křivky se myslí obsh množiny 9

10 Vět 6.11 (Délk křivky). Nechť f má n [, b] spojitou první derivci. Potom L(f, [, b]) = b 1 + f 2 Vět 6.12 (Délk křivky v R n ). Mějme spojitou funkci ϕ : [, b] R n se spojitou první derivcí. Délk křivky {ϕ(x) : x [, b]} je potom b ϕ 1 (x)2 + ϕ 2 (x)2 + + ϕ n(x) 2 dx 3. Výpočet objemu povrchu rotčního těles dného křivkou. Vět Mějme f : [, b] R spojitou nezápornou množinu T = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 f(x)} všech bodů rotčního těles dného křivkou f(x). Pk pltí: Objem T = π b f 2 Povrch T = 2π b f 1 + f 2 bez podstvy, pokud je f spojitá. 4. Možnost odhdování součtu funkčních hodnot pomocí integrálů. Vět 6.14 (proximce součtů pomoci integrálů). Mějme f nerostoucí n intervlu [ 1, b] (respektive [, b + 1]) n tomto intervlu existuje R. integrál. Potom b+1 f Pokud je f neklesjící, pltí opčná nerovnost. b f(k) k= b+1 Důkz. Integrál (R) f má horní součet pro dělení D = {, +1,..., b+1} rovný S(f, D) = b k= f(k). Z toho tedy vyplývá S(f, D) b+1 f. Opčná nerovnost nlogicky. Nyní si ukážeme souvislost konvergencí řd integrálů. Vět 6.15 (Integrální kritérium konvergence řdy). Mějme f nerostoucí, nezápornou spojitou n intervlu [n 0 1, ], potom f(n) konverguje n 0 f(x) dx < n=1 Bez důkzu. Tto sum je vlstně spodní součet funkce f(n) pro rovnoměrné dělení D = n 0 1, n 0, n 0 + 1,...,. Příkld. Mějme sumu integrál 0 primitivní funkci [ x α+1 n=1 1 n α 1 n α. Primitivní funkce pro α = 1 je [log x] 0 n 0 1 b 1 f chceme vědět, kdy konverguje. K tomu využijeme integrály. Dostáváme =, tedy řd nekonverguje. Pro α 1 dostáváme α+1 ] = lim x x1 α 1 α. Tto limit je rovná 0 pro α > 1, pro α < 1. Tedy tto sum konverguje právě pro α > 1. 1 α 1 Příkld. Mějme funkci I n = π 2 0 sinn x dx. Potom: I 0 = π = π 2 I 1 = π 2 0 sin x = [ cos x] π 2 0 = 1 I n = π 2 0 sinn 1 x sin x dx = [sin n 1 x( cos x)] π 2 0 π 2 0 (n 1) sinn 2 x cos x dx = = n 1 n Po vyřešení této rekurence dostneme zjímvý vzth: I 2n = (2n 1)!! π 2n!! 2, I 2n+1 = Q Wllisov formule: π 2 = n=1 4n 2 4n 2 1 I n 2 10

11 7 Funkce více proměnných Podívejme se n vektorové prostory tké n normy, tedy zobrzení z VP do R, které splňuje trojúhelníkovou nerovnost. Vektorový prostor s normou se tké nzývá normovný lineární prostor. Vezměme si normy n R n : mximová norm x eukleidovská norm x 2 Definice 7.1. Úplné okolí U(, ε) definujeme jko {x V : x < ε}. Prstencové okolí P (, ε) definujeme jko U(, ε) \ {} Pozorování. x R n : x x p p n x Důkz. x j = p x j p p xi p P n ( x ) p = p n x Definice 7.2. Mějme x n posloupnost bodů ve VP (V, ), potom posloupnost (x n ) má limitu x V, pokud lim n x n x = 0. Píšeme lim n x n = x nebo x n x Důsledek 7.1. Pro kždou posloupnost (x n ) v R d pro x R d pltí: x n x v (R d, ) x n x v (R d, p ) Důkz. Ukážeme n implikcích: 0 x n x x n x p 0 0 x n x p p d x n x p ( 0), podle věty o strážnicích konverguje. Definice 7.3. Posloupnost (v n ) je omezená právě, když posloupnost v n je omezená. Vět 7.1 (Vlstnosti konvergence v R d ). 1. Kždá posloupnost má nejvýše 1 limitu 2. v n v v n v 3. v n v (v n ) je omezená 4. Pokud v n = d i=1 vi nb i (pro libovolnou bázi) b 1,..., b d ) v = v i b i, pk v n v i : v i n v i Důkz. 1. Sporem: Nechť v n v v n u v. Zvolme si tedy ε = u v 2. Podle definice limity máme pro ε : n 1 n > n 1 : v n U(v, ε) n 2 n > n 2 : v n U(u, ε) z U(u, ε) U(v, ε). Toto le je spor s trojúhelníkovou nerovností, tedy u v u z + z v < 2ε < u v máme spor. 2. Podle trojúhelníkové nerovnosti máme 0 v v n v v n 0 dle předpokldu, tudíž v v n 0, z toho vn v. 3. Víme, že v n v. Podle předchozího bodu pltí v n v, což podle věty ze zimního semestru implikuje, že posloupnost ( v n ) je omezená. 4. Pro jednoduchost jen pro knonickou bázi. v n v odpovídá tomu, že v n v 0, což je mx{ v i n v i : i = 1,..., n}, tedy i-tá souřdnice. Z toho víme, že v i n v i 0 proto v i n v i. v n můžeme zpst lineární kombincí v i. Nyní se podívejme n zobrzení z vektorového prostoru do jiného. Definice 7.4. Mějme zobrzení f : D R m R n (pro n = 1 nzýváme funkcí m proměnných), dále R m, A R m s mximovou normou. Potom definujme limitu f(x) v jko: lim f(x) = A ε > 0 δ > 0 x P (, δ) : f(x) U(A, ε) x Tké definujeme limitu f(x) v vzhledem k množině D: lim f(x) = A ε > 0 δ > 0 x P (, δ) D : f(x) U(A, ε) (x D) 11

12 Příkld. Vezměme si funkci f(x, y) = xy x 2 +y. Tto funkce má D = R 2 \{(0, 0)} velikosti prostorů m = 2, n = 1. 2 Podívejme se n lim x (0,0) f(x). Všimneme si, že v dném bodě bude existovt nejvýše jedn limit. Tké si všimneme, že lim (x D) f(x) = A lim (x D D) f(x) = A, pokud pro D D pltí δ > 0P (, δ) D Zvolme si tedy D x = {(x, y) : x = y}, potom lim 2 (x,y) 0 2x = Nyní si zvolme D x = {(x, y) : x = y}. Tím získáváme lim 2 (x,y) 0 2x = Toto le znmená, že limit pro dnou funkci f neexistuje. Pro limity zobrzení pltí obdoby vět o limitách funkcí z R R, to konkrétně věty o ritmetice limit, vět o strážnicích, Heineho vět vět o limitě složené funkce. 7.1 Derivce Definice 7.5. Mějme zobrzení f : D R m R n D. Potom Prciální derivce f v bodě podle i-té proměnné je () f i ( + h) f() = lim = f h 0 h i() = (f 1 i(),..., f n i()), kde f i (t) = f( 1, 2,..., i 1, t, i+1,..., m ), tedy nhrdíme i-tou složku. V podsttě si můžeme předstvit, že f i je řezem dného zobrzení podle i-té souřdnice tto derivce funguje právě n tomto řezu. Příkld. Mějme funkci f(x, y) = xy 2. Potom prciální derivce vypdjí následovně: x = f x = y 2, y f y = 2xy. V tomto přípdě je = (x, y). Příkld. Mějme zobrzení g : R R 3, které nám zobrzí t (t, t 2, t 3 ). Potom zobrzení g = (g 1, g 2, g 3 ). V tomto přípdě máme, že g j (t) = t j. Potom dostneme derivci (g j ) = jt j 1. Tedy derivce tohoto zobrzení je g (t) = (1, 2t, 3t 2 ). Definice 7.6. Mějme funkci f : D R m R, D. Potom f má v lokální minimum, právě když Lokální mximum nlogicky. δ > 0 : x D P (, δ) : f(x) f() Vět 7.2 (Nutná podmínk pro lokální extrém). Pokud má funkce f má v lokální extrém, potom pltí jedn z podmínek: 1. i = 1,..., m : () = 0 nebo neexistuje 2. bod je n okrji D, to znmená δ > 0 : D U(, δ). Důkz. Pokud pltí, že je n okrji, je vše v pořádku. Pokud ne, potom δ > 0 : D U(, δ). Tk zfixujeme δ. (Předpokládáme, že toto okolí existuje.) Máme D. Podíváme se n okolí pro mximovou normu: N D m i=1 ( i δ, i + δ) má f v extrém, potom n ( i δ, i + δ) má f i extrém v i. Potom podle nutné podmínky pro lokální extrém funkce jedné proměnné dostneme, že f i ( i) = 0 nebo neexistuje, nebo i je n krji definičního oboru (toto nelze, jelikož D fi U( i, δ)). Příkld. Mějme funkci f(x, y) = xy 2, kde D = [ 1, 1] 2. Podívejme se n lokální extrémy. Podle první podmínky musí pltit f x = f y = 0. To pltí, když y = 0. Podle druhé podmínky jsou lokální extrémy n okrjích, tedy x = 1 y = 1. Nopk, v bodě (0, 1 2 ) není extrém, jelikož f x 0. Stejně tk bod (0, 0) není extrém. Jsou tu le tkové potíže věty 7.2. Tím, jk se díváme pouze n prciální derivce, pozorujeme pouze m pprsků, mimo tyto derivce se může funkce chovt všelijk divoce. Tim pádem vždy ten extrém nemůžeme určit jednoduše. Definice 7.7. Mějme f : D R m R D. Potom Druhá prciální derivce je prciální derivce nějké prciální derivce, konkrétně: 2 f() = () x j x j 12

13 Příkld. Mějme funkci f(x, y) pro x < y : f(x, y) = 0, pro x y = xy. Potom prciální derivce y (0, 0) = 0, y (x, 0) = x. Druhá prciální derivce x y (0, 0) = x (x) = 1. Ale kdybychom to udělli v jiném pořdí, dostneme y x (0, 0) = 0. 2 f x j Pokud nzývá smíšená. i 2 f x j jsou spojité v bodě, tk 2 f() x j = 2 f() x j. Pokud i j, potom se tto derivce Definice 7.8. D 2 f() je mtice z R m m tková, že (D 2 f()) i,j = 2 f() x j. Definice 7.9. Mtice A je pozitivně definitní právě, když jsou její vlstní čísl kldná. Podobně je A negtivně definitní právě, když jsou její vlstní čísl záporná. Nebo mtice A je indefinitní právě, když existuje dvojice vlstních čísel, kde je jedno kldné jiné záporné. Vět 7.3 (Postčující podmínk pro extrém). Mějme f : D R m R, je uvnitř D ( δ > 0 : U(, δ) D dále pltí, že 2 f x j je spojité v, () = 0, ( je podezřelý z extrému), potom: 1. Pokud D 2 f(n) je pozitivně definitní, pk f v nbývá lokálního minim. 2. Pokud D 2 f(n) je negtivně definitní, pk f v nbývá lokálního mxim. 3. Pokud D 2 f(n) je indefinitní, pk f v není lokální extrém. Tto mtice D 2 se nzývá Hessov mtice H. Příkld. Vezměme si funkci f(x) = x 1, R n R. N R n nemá globální extrémy, n (0, 1) n (otevřená krychle) tky nemá extrémy. Vět. Mějme f : D R n R, která je n D spojitá D je kompktní. Potom f nbývá n D mxim minim. Definice Kompktní množin je tková, že je uzvřená omezená. Omezenost množiny D se definuje tk, že M : D [ M, M] n. Uzvřenost množiny znmená, že pro kždou posloupnost x i v D, která má lim n x n = x, potom x D. Příkld. Vezměme si uzvřený kvádr [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] = i = 1 n [ i, b i ]. Ten je kompktní. Příkld. Pro P R uzvřenou mějme f : D R m R spojitou. Potom f 1 (P ) je uzvřená. Mějme funkci f(x 1,..., x m ) = x 2 i. Tto funkce je spojitá. Inverzní zobrzení f 1 ({1}) je jednotková sfér, inverze f 1 ([0, 1]) je jednotková koule. Obojí je kompktní. Definice Mějme funkci f : D R m R n. Bod je uvnitř D, tedy δ > 0 : U(, δ) D. Nechť L : R m R n splňuje f( + h). = f() + L(h), tedy: f( + h) f() L(h) lim = 0 f( + h) f() = L(h) + o() (h R n ) 0 Potom L je totální diferenciál f v píšeme L = df() = Df(). Ztím jsme si ukázli, jk prciálně derivovt podle proměnné, tedy podle vektoru knonické báze. Nyní si zobecníme derivci podle jkéhokoliv vektoru. Definice Mějme funkci f : D R m R n, uvnitř D v R m. Potom derivce f v ve směru v je Vět 7.4 (Souvislosti různých derivcí). 1. d ei f() = (). f( + tv) f() d v f() = lim = g (0) t 0 t 2. d v f() = df()(v) MLPSS, kde df je lineární zobrzení. 3. df()(e i ) = ()... df() je jednoznčně určeno, pokud df() existuje. 13

14 ( ) 4. df() má mtici i n,m x j i=1,j=1 Důkz. Ukážeme jednotlivá tvrzení: 1. Z definice f( + te i ) = f( 1,..., i 1, i + t, i+1,..., m ) =. 2. Nechť existuje df(). Potom lim h 0 f(+h) f() L(h) = 0. Speciálně pro h = tv, kde t R, t 0 dostneme lim t 0 f(+tv) f() tl(v) t v je ekvivlentní s tím, že lim t 0 f(+tv) f() t. Z té se dá zkrátit t máme lim t 0 f(+tv) f() t L(v) = o dozvíme se, že d v f() = L(v). L(v) = 0. To 3. Plyne z předchozích dvou bodů pro v = e i. Pokud df() existuje, tk má dné hodnoty n knonické bázi, tedy df() je jednoznčná. 4. Z předchozího bodu, mtice zobrzení vzhledem k bázím e i, e i má n pozici (i, j) souřdnici L(e j) příslušející k e i. ( ) Pro L = df() víme, že df()(e j ) = () x j = i n () x j Z toho vyplývá, že mtice vypdá podle znění i=1. věty. Poznámk. Díky této větě nyní víme, že f( + h) = f() + df()(h). Protože df() je lineární zobrzení, můžeme jej nhrdit jko Jh, kde J je mtice z věty. Definice (Operátorová) norm lineárního zobrzení je definovná jko L = sup{ L(u) : u 1}. Je možno zvést více vrint norem, npříkld pro p-normy máme L p q = sup{ L(u) q : u p 1}. Typicky bereme p = q = 2. Pozorování. L(v) L v. Důkz. Vezměme si u = ( ) v L v = L(v) v. v v. Potom norm u = 1. Z toho dostneme, že L(u) L. A tedy L(u) = Pozorování. Pro libovolné L : R m R n lineární existuje L [0, ). Důkz. Vezměme si vektor u tk, že u 1. Potom j : u j 1. Dostneme podle i-té složky: n j=1 L iju j L ij u j u j. Z toho dostneme: m Lu i=1 ( n j=1 L ij ) 2 R. Vět 7.5 (Totální diferenciál dává spojitost). Nechť f má v totální diferenciál. Pk je f v spojitá. f(+h) f() Důkz. Ukážeme, že lim h 0 = 0. Ndefinujeme si L = df(). Máme výrz 0 f( + h) + f() L(h) + L(h) f( + h) + f() L(h) + L(h). Z definice totálního diferenciálu le víme, že f(+h)+f() L(h) 0 pro h 0, tedy pokud rozšíříme první sčítnec, tk i f(+h)+f() L(h) 0. Tké víme, že L(h) L 0. Tedy 0 f( + h) f() ( 0) + L. Podle věty o strážnících dostneme, že se to celé rovná 0, tedy dokázáno. Vět 7.6 (C 1 totální diferenciál). Pokud f má prciální derivci spojitou v, tk f má v totální diferenciál. Poznámk. C n (D) = {f : D R : n-té prciální derivce spojité n D} Speciálně, C 0 je množin spojitých funkcí n D. Jk se dá totální diferenciál využít? Příkld. Spočtěme Tento příkld si můžeme převést n funkci f(x, y) = x y f(1.1, 0.9) = f(1, 1) + L(0.1, 0.1) + chyb, kde L = df. Dostneme, že L(p, q) = (1,1) x p + (1,1) y q. Pro konkrétní hodnoty dostneme, že L(1, 1) = 1p + 0q. Získáváme přibližný výsledek f(1, 1). = = 1.1. Klkulčkou máme výsledek. = 1.089, tedy chyb je Vět 7.7 (Aritmetik totálního diferenciálu). Mějme f, g : D R m R n, uvnitř D, c R. Pk 14

15 1. d(f + g)() = df() + dg() MLPSS 2. d(cf)() = c df() MLPSS 3. (n = 1) : d(fg)() = g() df() + f() dg() MLPSS 4. (n = 1, g() 0) : d( f g() df() f() dg() g )() = g 2 () MLPSS Důkz. Ukážeme pouze pro první bod. Víme, že f( + h) = f() + L(h) =df() + E(h) 0, stejně můžeme vyjádřit g( + h) = g() + M(h) =dg() + F (h) 0. Potom můžeme říct, že (f+g)(+h) = (f+g)()+(l+m)(h)+e(h)+f (h). Chceme, by d(f+g)() = L+M. Nopk chceme, by E(h) + F (h) bylo dosttečně mlé. E(h)+F (h) Z trojúhelníkové nerovnosti dostáváme 0 + dostáváme, že E(h) + F (h) 0. Proto je oprvdu L + M(h) = d(f + g)(h). E(h) F (h) Vět 7.8 (Totální diferenciál složeného zobrzení). Mějme R s g R m f R n, uvnitř R s. Pk d(f g)() = df(g()) dg(). Použitím věty o strážnících Totální diferenciál odpovídá nějkému lineárnímu zobrzení, tkže v tomto přípdě je složení prvé strny násobením mtic. Důkz. Podle definice g( + h) = g() + M(h) =dg() + F (h) 0. Pro složenou funkci je f(g() + k) = f(g()) + L(k) =df(g()) + E(k) 0. Nyní chceme, by f(g(+h)) =f g(+h) = f(g()) =f g() +LM(h) =d(f g() +G(h) mlá chyb. Nyní si f(g(+h)) proximujeme podle definice: f(g() + M(h) + F (h)) jko k si vezmeme k(h) = M(h) + F (h). F (h) Všimneme si, že M(h) + F (h) M(h) + F (h) M +. Z toho vyplývá, že k 0, když h 0. Dostáváme, že f(g() + M(h) + F (h)) = f(g()) + L M(h) + [L(F (h)) + E(M(h) + F (h))] =G(h). Zbývá ověřit, že G(h) je mlé: 0) 0 G(h) ( M =const. L(F (h)) + E(M(h)+F (h)) L F (h) + E(M(h)+F (h)) M(h)+F (h) + F (h) 0 ). Podle věty o strážnících to je tedy mlé. M(h)+F (h) = ( 0) + ( Tento důkz funguje jen v přípdě, že g( + h) g() h P (, δ), jink je potřeb závěr udělt šíleněji. Vět 7.9 (Řetízkové prvidlo). Pro funkci f : R m R pltí: Důkz. Víme, že M = dg = (g 1 (x),..., g m (x)) = m j=1 y j (g 1 (x),..., g m (x)) g j (x)mlpss ( ) m,s ( gj L = df(g(x)) = y j=1,i=1 1,..., y m ). Protože LM je mtice totálního diferenciálu d(f g), podle věty 7.8 dostáváme, že (LM) 1,i = (g 1 (x),..., g m (x)) nebo můžeme roznásobit mtice dostneme výrz n prvé strně z věty 7.9. Vět 7.10 (Přírůstek funkce více proměnných). Mějme D R m úsečku b D. Potom ψ b : f(b) f() = df(ψ)(b ) Důkz. Zvedeme si funkci g(t) = + t(b ), kde, b R m. Potom g : [0, 1] R b R m. Nyní si zvedeme h(t) = f(g(t)). Dostneme, že f(b) f() = f(g(1)) f(g(0)) = h(1) h(0) = h (ν)(1 0). Využijeme větu 7.9 máme h(ν) = (f g)(ν) = h t (ν) = m j=1 x j (g(ν)) gj t (ν). Určíme si ψ = g(ν). Pokrčujeme dále. h(t) = m j=1 x j (ψ)(b j j ) = df(ψ)(b ). Definice Grdient funkce f : D R m ( x 1,..., x m ) T. Poznámk. Pltí, že: 1. df()(h) = F (), h, tedy sklární součin grdientu vzoru. R v D je f() = vektor prciálních derivcí 2. Podle věty 7.10: f(b) f() = f(ψ), b. Tedy grdient f() míří směrem největšího růstu f. 15

16 3. Pro plochu {(x, f(x)), x R m }, kde f ): R m R uvžme tečnou rovinu v bodě (, f()). Normálový vektor této ndroviny je n() = R m+1. ( f() 1 Grdient můžeme využít k tomu, bychom dokázli vypočítt minimum či mximum funkce numericky, to tk, že se postupně pohybujeme proti/ve směru grdientu, dokud to je možné. 7.2 Implicitně zdné funkce Vezměme si rovnici kružnice x 2 + y 2 1 = 0. Potom grfem funkce je {(x, y) : f(x, y) = 0}. Kdybychom tento grf chtěli zpst funkcemi, museli bychom explicitně npst rovnice grfu jko y = ± 1 x 2 speciální body (±1, 0). ( ) ( ) n Definice Mějme zobrzení f : R m R n R n. Potom zápis y je mtice i y j i,j=1 Vět 7.11 (O implicitní funkci). Mějme R m, b R n, úplné okolí U = U((, b), η) (η > 0) zobrzení f : U R n tkové, že 1. f(, b) = 0 2. f C k (U) )) 3. det 0 (( y Potom existuje δ, > 0 tková, že x U(, δ)!y = g(x) U(b, ) : f(x, y) = 0 ( Nvíc funkce g C k (U(, δ)) speciálně g x = Speciálně pro n = 1 dostáváme: g = y ) 1 y ( ) x. Důkz. Ukážeme jen pro n = 1. Podmínk 3 pltí, číslo y (, b) 0, BÚNO nechť je kldné. Z podmínky 2 dostneme, že V... okolí (, b) : y > 0 V. Zvedeme si nyní F (t) = f(, b + t), tedy funkci proměnné t, potom F (t) > 0. Z toho vyplývá, že > 0 : f(, b ) < 0 = f(, b) < f(, b + ) n U V. Ze spojitosti funkce f(x, b + ) v okolí x = δ + > 0 : x U(, δ + ) : f(x, b + ) > 0. Anlogicky δ > 0 : x U(, δ ) : f(x, b ) < 0. Nyní si zvolme δ = min{δ, δ + }. Pro x U(, δ) uvážíme F (t) = f(x, b+t). O té víme, že je spojitá, rostoucí F ( ) < 0 < F ( ). Využijeme větu o nbývání mezihodnot, proto t : F (t) = 0). Z monotónnosti funkce získáváme jednoznčně určené t g(x) = y = b + t. Část věty, kde g C k vynecháme. Nyní si vezmeme funkci h(x) = f(x, g(x)). Víme, že h(x) = 0 x U(, δ). Potom podle řetízkového prvidl dostneme i 1,..., m : 0 = h = + y g. Odečteme vydělíme dostneme hledný zlomek. 7.3 Vázné extrémy Nším cílem je hledt extrémy nějkého zobrzení f(x) n nějké omezené množině {x : g(x) = 0}. Příkld. Mějme g(x 1, x 2 ) = x x Šlo by zvolit x 2 = 1 x 2. Potom bychom hledli extrémy n funkci f(x 1, 1 x 2 1 ) f(x 1, 1 x 2 1 ). N bodech (±1, 0) se le nic nedozvíme. Dlší možnost by bylo využití goniometrických funkcí: x 1 = cos t, x 2 = sin t. Potom bychom hledli extrémy n f(cos t, sin t). Vět 7.12 (Vázné extrémy / Lgrngeovy multiplikátory). Mějme funkci f : R n R, R n, g : R n R k (k < n) tková, že g C 1 v okolí, dále rnk Pokud je lokální extrém n množině {x R n : g(x) = o}, potom pltí: 1. g() = o ( ) g x = k. 16

17 2. λ 1,..., λ k : f() = k i=1 λ i g i (). Speciálně pro k = 1 dostáváme f() = λ g(). Důkz. Jen pro k = 1. Prozkoumáme f n množině {g(x) = 0}. Vyjádřeme x n = h(x 1,..., x n 1 ) tk, že g(x 1,..., x n 1, h) = 0. Zkoumáme f(x, h(x )) bez ( omezení. ) Potom víme, že rnk g x 1 (),..., g x n () = 1, tedy lespoň jedn derivce je nenulová. BÚNO g x n () 0. Dále víme, že g C 1, g() = 0, g x n () 0 δ, : h : U(, δ) U( n, ). N U() {g(x) = 0} je lokální extrém právě, když = ( 1,..., n 1 ) je lokální extrém funkce F (x ) = f(x, h(x )). Víme, že tto funkce je určen jednoznčně. To je ekvivlentní s tím, že i = 1,..., n 1 pltí 0 = F g. Oznčme si λ = druhý výrz. Z toho tedy dostáváme, že f = λ g, tedy dokázáno. znmená, že = xn g xn 7.4 Tylorův polynom více proměnných = + x n h = + Definice Multiindex je definován jko α N m, kde α = m i=1 α i α! = α 1!α 2! α n!. Nvíc, pokud máme x R m, potom x α = m i=1 xαi i Nvíc si definujme ještě prciální derivci jko α f x = α α m i=1 xα i. Definice Tylorův polynom pro funkci více proměnných definujme následovně: T f n = Tn f, (α) = k=0 n α =k 1 α! i α f() x α (x )α g x x n ( i g xn Vět 7.13 (Tylorův polynom pro více proměnných). Mějme funkci f : D R, D U(, δ), f C n (D). Potom f(x) = Tn f, (x) + o( x n ). Dále existují speciální přípdy: ). To n = 0 f(x) = f() + o(1), f spojitá v m n = 1 f(x) = f() + () +o( x ) x i i 1 }{{} df()(x ) m n = 2 f(x) = f() + () + 1 ( 2 ) f (x )T (x ) + o( x 2 ) x i i 2 x j 1 }{{} H=D 2 f Důsledek 7.2 (Postčující podmínk pro lokální extrémy). Mějme x () = 0, H pozitivně definitní. Potom má f v lokální minimum. Tedy: Lokální mximum nlogicky. f(x) f() λ min x 2 + o( x 2 ) > f() Náznk důkzu. Definujme si funkci g(f) = f(+tv) pro v R m \{0}, t R. Podíváme se n Tylorův polynom g, což je g (k) (0) k! h k. = g(h) = f( + th). Tedy zkoumáme, jk se v dném bodě chová g chceme se podívt n jeho derivce. Pltí, že g (k) (t) = k v f = α f x (). Pokrčování nebude. α 8 Metrické prostory Co je to vlstně vzdálenost? Ne, toto není filozofická otázk. No dobře, vzdálenost je reltivní. Člověk by musel chodit městem přes prvoúhlé ulice, kde d(x, y) = m i=1 x i y i, ztímco tkový ptáček se proletí vzdušnou črou, tedy d(x, y) = m i=1 (xi y i ) 2. Definice 8.1. Zobrzení d : X X R je metrik, pokud jsou splněny následující podmínky: 17

18 d(x, y) 0, tedy nezápornost d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x), tedy symetrie d(x, z) d(x, y) + d(y, z), tedy trojúhelníková nerovnost Příkld. Různé metriky: 1. Metrik d p (x, y) = ( m i=1 x i y i p ) 1 p, existuje n R m pro p Grfová metrik v neorientovných grfech 3. X = C([0, 1]), d 1 (f, g) = 1 0 f(x) g(x), d = mx f(x) g(x) Definice 8.2. Množinový systém (X, d) je metrický prostor, právě když X d je metrik. Definice 8.3. Otevřená koule je B(x, r) = U(x, r) = {y X : d(x, y) < r}. Uzvřená koule je B(x, r) = U(x, r) = {y X : d(x, y) r}. Definice 8.4. Množin G X je otevřená, právě když x G δ > 0 : B(x, δ) G Množin F X je uzvřená, právě když X \ F je otevřená. Příkld. Mějme X = R d = d 1, b X. Potom (, b), (, ), (, b), (, ) jsou otevřené množiny, [, b] je uzvřená množin. Vět 8.1 (Otevřené množiny). Následující tvrzení jsou prvdivé: 1. i X jsou otevřené množiny 2. G 1,..., G n X jsou otevřené, potom G i je tké otevřená. 3. α A : G α je otevřená, potom α A G α je tké otevřená. (Umožňuje nekonečné A) Vět 8.2 (Uzvřené množiny). Následující tvrzení jsou prvdivé: 1. i X jsou uzvřené množiny 2. G 1,..., G n X jsou uzvřené, potom G i je tké uzvřená. 3. α A : G α je uzvřená, potom α A G α je tké uzvřená. (Umožňuje nekonečné A) Důkz. Nejprve vět x φ(x) je vždy prvdivé. X... x X δ = 1 : B(x, δ) X. 2. x G i ix G i δ i > 0B(x, δ i ) G i. Potom vezměme δ = min{δ i } > 0 podle definice pltí. 3. x α A G α α 0 : x G α0 otevřená δ > 0 : B(x, δ) G α0 α A G α. Vět 8.2 se dá dokázt pomocí použití G = X \ G ve větě 8.1. Definice 8.5. Pokud (x n ) je posloupnost bodů v (X, d), potom řekněme, že (x n ) konverguje k x X, pokud lim n d(x n, x) = 0. Píšeme, že x = lim n x n nebo x n x. Poznámk. Tto podmínk je ekvivlentní k tomu, že ε > 0 n 0 n > n 0 : d(x n, x) < ε, nebo jink tké x n B(x, ε). Vět 8.3. Pokud lim x n = x lim y n = y, potom lim d(x n, y n ) = d(x, y). Toto speciálně znmená, že posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkz. Podle definice: ε > 0 n 1 : n n 1 : d(x n, x) < ε 2 ε > 0 n 2 : n n 2 : d(y n, y) < ε 2 Z toho dostneme: n n 0 : d(x n, y n ) d(x n, x)+d(x, y)+d(y n, y) < d(x, y)+ε. Z trojúhelníkové nerovnosti dostáváme d(x, y) d(x, x n ) + d(x n, y n ) + d(y n, y) < d(x n, y n ) + ε. Kombinujeme dostneme d(x, y) ε < d(x n, y n ) < d(x, y) + ε. 18

19 Definice 8.6. Mějme A X, (X, d) metrický prostor. Potom inta = G A,G ot. G je vnitřek A. Potom A = F A,F uz. F je uzávěr A. Dále, A = bd(a) = A (X \ A) je hrnice. Definice 8.7. Metriky d 1, d 2 n množině X jsou ekvivlentní. právě když, b (0, ) : x, y X : d 1 (x, y) d 2 (x, y) b d 1 (x, y). Pozorování. Pokud jsou d 1 d 2 ekvivlentní, potom 1. (X, d 1 ) (X, d 2 ) mjí stejné otevřené množiny. 2. (X, d 1 ) (X, d 2 ) mjí stejné uzvřené množiny. 3. Pro libovolné (x n ) v X x n d1 x x n d2 x Poznámk. Topologický prostor je (X, G), G P (X), kde X je libovolná množin G je množin všech otevřených množin splňující vlstnosti 8.1. Vět 8.4 (Chrkterizce uzvřených množin). Nechť (X, d) je metrický prostor F X. Potom F je uzvřená, právě když kždá posloupnost (x n ) v F konverguje do x, tk x F. Důkz. Nejprve obrácená implikce, tedy. X\F není otevřená, potom x X\F ε > 0 : B(x, ε) X\F. Zvolme si ε = 1/n, potom x n B(x, 1/n) F. To znmená, že x n x, tedy d(x n, x) 1/n, le proto x / F. Nyní obrácená zpětná implikce, tedy. Nechť existuje posloupnost x n v F tková, že x n x / F. Potom x X \ F, tedy ε > 0 n 0 n n 0 d(x n, x) < ε, neboli x n B(x, ε). To všk znmená, že x n0 B(x, ε) F, což porušuje otevřenost X \ F tedy i uzvřenost F. 8.1 Spojité zobrzení Definice 8.8. Mějme metrické prostory (X, d) (Y, ρ). Dále mějme zobrzení f : X Y, jink tké ((X, d) (Y, ρ)). Potom je toto zobrzení spojité v x 0 X právě, když pltí: ε > 0 δ > 0 : x B d (x 0, δ) : f(x) B ρ (f(x 0 ), ε) Dále je toto zobrzení spojité, pokud je spojité v kždém bodě, tedy x X : f je spojité v x. Vět 8.5 (Vzth spojitosti konvergence posloupnosti). Pokud x n x v (X, d) zobrzení f : (X, d) (y, ρ) je spojité v x, potom f(x n ) f(x) v (Y, ρ). Důkz. Chceme, by ρ(f(x), f(x n )) 0, tkže musí pltit ε > 0 n n 0 : ρ(f(x), f(x n )) < ε. Z definice spojitosti δ > 0, proto n 0 n n 0 : d(x, x n ) < δ. Tedy x n B d (x, δ) f(x n ) B ρ (f(x), ε). Vět 8.6 (Chrkterizce spojitosti). Mějme zobrzení f : (X, d) (Y, ρ). Potom následující tvrzení jsou ekvivlentní: 1. f je spojité 2. G Y je G otevřená v (Y, ρ) f 1 (G) je otevřená v (X, d). 3. F Y je F uzvřená v (Y, ρ) f 1 (F ) je uzvřená v (X, d). Důkz. Ukážeme pouze implikci 1 2: G otevřená v (Y, ρ). Chceme, by f 1 (G) byl otevřená v X. Z definice otevřené množiny x f 1 (G) δ > 0 : B d (x, δ) f 1 (G), což je ekvivlentní s f(b d (x, δ)) G. Tedy f(x) G, z otevřenosti G ε > 0 : B ρ (f(x), ε) G, ze spojitosti f δ > 0 : f(b d (x, δ)) B ρ (f(x), ε), což jsme chtěli ukázt. Definice n odregování YAY. Už bylo n čse. Definice 8.9. Mějme (X, d), (X, d ) metrické prostory. Řekněme, že (X, d ) je podprostor (X, d) právě, když X X d = d X X. Poznámk. A X je otevřená v (X, d ) právě, když U X otevřená v (X, d) tková, že A = U X. Dále mějme spojité zobrzení f. Potom f X je tké spojité. 19

20 8.2 Kompktnost Definice Mějme A X. Potom A je kompktní v (X, d) právě, když (x n ) A vybrná podposloupnost (x nk ) tková, že x xk x A. Vět 8.7 (Spojité funkce n kompktní množině). Mějme K (X, d), která je kompktní spojitou funkci f : X R. Potom f n K nbývá mxim minim. Důkz. Zvedeme si množinu S = f(k) = {f(x) : x K} s = sup S. Existuje posloupnost s n s, kde s n S. Víme, že s n = f(x n ) pro nějké x n K. Protože K je kompktní, existuje vybrná podposloupnost y k = x nk tková, že y k y K. Využijeme konvergenci spojitost, tedy f(y k ) f(y) f(y k ) s. Posloupnost má nejvýše jednu limitu, tudíž f(y) = s, nše tk dlouho hledné mximum. Minimum nlogicky. Máme tedy krásné vlstnosti kompktní množiny. Jk le poznt, zd je množin kompktní? Vět 8.8 (Nutné podmínky pro kompktnost). Nechť je množin K kompktní v (X, d). Pk je K uzvřená omezená. Důkz. Podle věty 8.4 stčí ověřit, že posloupnost x n K, která má limitu x pltí x K. Podle kompktnosti existuje y k = x nk y K. Dále si zvolme libovolný s X. Pokud K není omezená, tk n N x n K \ B(s, n), tedy d(s, x n ) > n. Ale díky tomu, že K je kompktní, existuje vybrná posloupnost x nk x. Podle věty 8.3 d(x nk, s) d(x, s). Jenže n k, máme spor. Vět 8.9. Množin (X, d) metrický prostor, K kompktní, A K je uzvřená. Potom je A kompktní. Vět 8.10 (Kompktnost kvádru). Množin [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ d, b d ] je kompktní v (R d, d ). Důkz. Mějme x n = (x 1 n, x 2 n,..., x d n). Užijeme Bolzno-Weierstrssovu(?) větu pro posloupnost (x 1 n) n I1 [ 1, b 1 ]. Potom existuje vybrná posloupnost s limitou x 1. Tkto pokrčujeme pro kždou složku s mlým rozdílem, že (x k n) n Ik 1. Dostneme posloupnost N I 1 I 2 I d. Kompktnost tedy pltí. Důsledek 8.1. Množin A R d je kompktní právě, když A je uzvřená omezená. Důkz. Z věty 8.8 z toho, že tu množinu můžeme uzvřít kvádrem (8.10). 20