VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

Transkript

1 VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit do integrování. Nejprve si však oblast zakreslíme, abychom si mohli snáze určit integrační meze. Rovnice +y 4 je rovnicí kružnice se středem v počátku a poloměrem. Podmínka z této kružnice vybere polovinu. Pro popis mezí si z rovnice vyjádříme 4 y. Pozor, při vyjadřování je třeba být opatrný, protože je zde i možnost 4 y. Tato druhá možnost však nesplňuje podmínku a můžeme ji v tomto případě vypustit. Na obr. jsou všechny tyto úvahy zaznačeny. + y 4 4 y 4 y Nyní k integrování f, y) d dy y y 4 y Obrázek : Oblast - meze pro 4 y t ) dt dy y ) d dy t ] y y 4 y dy y t d dt 4 y y t 4 y y t y 4 y y + y y ) ) 4 y + y 4 y ) 4 y dy y + y 4 y + 4 ) 4 y y dy... S chutí do toho a půl je hotovo. y + y ) ) 4 y dy

2 Dosavadní postupu ukazuje, že i když je oblast poměrně snadno popsatelná, není integrování jednoduché, a to i přesto, že si pomáháme substitucí. Výsledek je navíc ukryt a musíme jej odkrývat pomocí řady algebraických úprav. A přitom jsme stále v polovině výpočtu. Pro lepší přehlednost si integrál rozdělme na tři, které se nám budou lépe integrovat. y + y 4 y + 4 ) 4 y y dy ) y y dy + 4 ) 4 y dy + y ) 4 y dy. První kus je snadný ] ) y y 4 y dy 4 y V druhém se potkáváme s další komplikací. Mnohem lépe se nám totiž bude integrovat, pokud se zbavíme odmocniny. Proto použijeme další substituci, která však není na první pohled nijak patrná. Je to nahrazení y členem sin u. Tak se pod odmocninou objeví 4 4 sin u 4 sin u) 4 cos u. Místo členu 4 y tedy bude v integrálu figurovat člen cos u. Přesněji ve výpočtu y dy cos u du... y sin u dy cos u du y sin u u 4 cos u cos u du Další kus cesty je za námi 5, ale dointegrováno ještě stále není. Na pomoc je dobré přizvat goniometrické vzorce } cos α + sin α cos α sin cos + cos α) α. α cos α) Pusťme se tedy do dalšího kola úprav a integrování 6 6 cos u du 6 + cos u) du 8 ) 8 + cos u) du u + ] sin u) 8. S chutí do toho a půl je opravdu hotovo. Dokonce tak snadný, že jsme jej mohli spočítat bez počítání, jde totiž o integrál z liché funkce na souměrném intervalu. 4 S chutí do toho a půl je hotovo. 5 Ano, další půl hotovo. 6 S chutí do toho a...

3 Zbývá ještě jeden kus, ještě jedno použití substituce y sin u a integrovat y 4 y dy 4 sin u cos u du 8 cos u du 4 y sin u dy cos u du y sin u u u sin u cos u) du 8 ] sin u 4. sin u) cos u cos u du sin u du 8 cos u du Po úmorné dřině jsme vítězové. Dointegrováno jest. Máme výsledek, resp. tři výsledky, které sečteny dají dohromady výsledek konečný. f, y) d dy Spolu s výsledkem ale máme také pocit, že něco takového už nechceme vícekrát absolvovat. Protože se však obdobným příkladům nevyhneme, musíme si osvojit sofistikovanější postup. Začněme s nákresem. Na obr. je kromě oblasti zaznačen bod A, y]. Souřadnice bodu A vlastně popisují cestu z počátku do bodu A, říkají totiž jdi kroků ve směru osy, tj. projít modrou úsečku, a pak y kroků ve směru osy y, tj. projít žlutou. Pokud se však správně natočíme, tj. zelený úhel ϕ, můžeme do bodu A dojít také po červené značce. Když máme popsánu cestu do bodu A, máme také zadány jeho souřadnice. Tentokrát jsou dány úhlem ϕ a vzdáleností ρ. ρ ϕ A, y] y Obrázek : Oblast - polární souřadnice Zamyslíme-li se nad vztahy úhlů a stran pravoúhlého trojúhelníku, můžeme si odvodit i vztahy mezi kartézskými souřadnicemi, A, y] a souřadnicemi polárními A ϕ, ρ]. cos ϕ ρ, sin ϕ y ρ, ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ. 7 S chutí..?

4 Nahradíme-li takto, y v zadané funkci y ), dostaneme ρ sin ϕ ρ cos ϕ), což na první pohled nebudí zdání zjednodušení situace a zpříjemnění integrace. Ovšem značného zjednodušení se dočkáme, popíšeme-li oblast pomocí polárních souřadnic. Platí totiž, že ρ a ϕ. Za to, že jsme do integrované funkce vpustili sin ϕ, resp. cos ϕ, jsme tedy odměněni opravdu jednoduchým popisem oblasti, jednoduchým zápisem integračních mezí. Zbývá dořešit otázku d dy. Tu řeší jakobián provedené transformace souřadnic. Pro změnu kartézských souřadnic na souřadnice polární je jakobián roven ρ. V integrálu se proto místo d dy objeví ρ dρ dϕ. Po úvodu a náznaku odvození transformace souřadnic, začneme integrovat 8 f, y) d dy ρ dρ ρ 4 4 ] ρ sin ϕ ρ cos ϕ) ρ dϕ dρ ) ρ sin ϕ sin ϕ cos ϕ + cos ϕ ϕ + sin ϕ cos ϕ) dϕ ] cos ϕ) 4. ρ dρ dϕ dρ sin ϕ) ) dϕ ρ sin ϕ cos ϕ) dϕ dρ Transformace souřadnic nám dokonce umožnila dvojný integrál převést na integrál dvojnásobný. A to protože integrační oblast se v polárních souřadnicích chová jako oblast obdélníková a dále integrovanou funkci lze psát ve tvaru součinu dvou funkcí, z nichž každá závisí pouze na jedné proměnné. Převod do polárních souřadnic se tedy rozhodně vyplatil. Ostatně i když jsme nejprve integrál spočetli bez jejich použití, byli jsme donuceni využívat goniometrických substitucí. 8 S chutí...

5 Zintegrujte na oblasti, oblast zakreslete. Užijte transformaci do polárních souřadnic. ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) y + y d dy, : + y 4,. y d dy, : + y 9,, y. + y) d dy, : + y, y. y d dy, : + y 4. + y d dy, : + y 4, y. y d dy, : + y 4,, y. e y d dy, : + y 9,. ) sin + y d dy, : + y 4. 9) ) ) ) ) arctg ) y d dy, : + y,, y. + y + d dy, : + y 4, y. + y d dy, : ) + y, y. d dy, : + y ) 4,. y d dy, : + y 4, y.

6 4) y d dy, : ) + y 9, y. 5) 6) 7) 8) 9) y d dy, : + y. sin + y ) d dy, : + y. y + y d dy, : 4 + y 9,, y. + y d dy, : + y 4, y. d dy, : 4 + y, y. ) d dy, : + y, y y.

7 VKM/IM - 4/5 Zintegrujte na oblasti, oblast zakreslete. Užijte transformaci do polárních souřadnic. ), 8) 6, 5) ln), ) 8 5, 9) 6, 6), ), 4), 5) ), ) 8 ln5), ) 6 9, ) 6, 7), 8) ln), 6), ) ln), 4 9) ln), 7) e 9 ) e 9, 4) 7, ) 4.