LectureIII. April 17, P = P (ρ) = P (ε)

Transkript

1 LectureIII April 17, Modely vesmíru I. 1.1 Stvová rovnice Víme již, že k řešení Friedmnnových rovnic je nám zpotřebí znlost stvové rovnice pro příslušnou komponentu, příspívjící k hustotě energie ve vesmíru P = P (ρ) = P (ε) Stvová rovnice nemusí být vůbec jednoduchá záležitost, jednoduché typy formy hmoty. nicméně v kosmologii máme reltivně Nereltivistický zředěný plyn - prch Pro tento typ plynu pltí, že tepelný pohyb částic je nereltivistický. Pltí klsická stvová rovnice P = ρ µ kt kde µ je střední hmotnost částice nereltivistického plynu. Hustot energie je dán především Z toho plyne úprvou ε ρc 2 P kt µc 2 ε Ze vzthu mezi střední kvdrtickou rychlostí v 2, teplotou T 3kT = µ = v 2 Můžeme tedy pro nereltivistickou hmotu psát s použitím předchozích vzthu stvovou rovnici ve tvru kde P prch = wε prch 1 w Abychom si učinily předstvu, v jkém rozmezí teplot můžeme povžovt hmotu z nereltivistickou, tk v přípdě protonu toto pltí ž do teploty T K. v 2 1

2 1.2 Fotonový plyn V přípdě fotonového plynu je situce složitější. Přesné odvození budete probírt v rámci předmětu Teorie přenosu záření hvězdných tmosfér uvedeme si přibližné odvození pro 1-D přípd. Foton, přestože nemá žádnou hmotnost, podle Einsteionovy relce sebou nese hybnost o velikosti p = E c = hνc díky tomu vytváří tlk. Tento ** tlk záření**. lze odvodit ilustrtivně podobně jko tlk molekul plynu n odrznou desku. Fotony přílétjícího z prostorového úhlu dω ze směru dného úhlem θ, jsou od perfektně odrážející elementární plochy da desky odráženy opět pod úhlem θ do prostorového úhlu dω. Změn z-ové složky momentu hybnosti fotonů s vlnovou délkou v intervlu < λ, λ + dλ > održených od elementární plošky da v čsovém intervlu dt je dán [ ] dp λ dλ = p finl,z λ p initil,z λ dλ (1) [ ( Eλ cos θ = E )] λ cos θ dλ (2) c c = 2E λ cos θ dλ (3) c = 2 c I λ dλ dt da cos 2 θ dω (4) Uvážíme-li, že pokud podělíme dp elementárním čsovým intervlem dt ploškou dam dostneme sílu, kterou působí fotony n elementární plošku da (znménko mínus plynoucí z Newtonov třetího zákon ignorujeme, znčí jenom opčný směr síly). To není nic jiného než tlk záření od fotonů z prostorového úhlu dω. Integrcí přes celou polokouli dostneme výsledný tlk záření od fotonů s vlnovou délkou < λ, dλ > P rd,λ dλ = 2 c = 2 c polokoule 2π π/2 φ=0 θ=0 I λ dλ cos 2 θ dω (5) I λ dλ cos 2 θ sin θ dθ dφ (6) V nšem přípdě nebudeme zkoumt odrz od zdi, bude nás zjímt tlk izotropního záření existující v celém vesmíru, odmyslíme si tedy nši pomocnou odrznou desku nhrdíme ji mtemtickým popisem plochy z skrze kterou záření prochází, tedy kouli. Z předchozího vzthu tedy zmizí fktor 2, který znčil změnu momentu v důsledku odrzu integrce bude probíht přes celou kouli P rd,λ dλ = 1 c 2π π φ=0 θ=0 I λ dλ cos 2 θ sin θ dθ dφ. (7) Nvíc využijeme předpokldu izotropního záření, tedy intenzit nebude záviset n úhlech θ, φ výrz můžeme zintegrovt P rd,λ dλ = 4π 3 I λdλ Celkový tlk záření do fotonů všech vlnových délek dostneme opět integrcí pře vlnové délky P rd = 0 P rd,λ dλ Pokud budeme předpokládt záření s vlstnostmi záření bsolutně černého těles dostneme P rd = 4π 3c 0 B λ (T ) dλ = 1 3 T 4 = 1 3 u 2

3 Figure 1: Tlk záření od fotonů - odvození 3

4 kde u je celková hustot energie záření bsolutně černého těles. reltivistického plynu psát Můžeme tedy pro stvovou rovnici P rd = wε rd = 1 3 ε rd Různé formy hmoty Obecně lze psát stvovou rovnici v kosmologii ve tvru P = wε rd kde w nbývá různých hodnot pro různé druhy formy hmoty. 2 Kosmologická konstnt Kosmologická konstnt vděčí z svůj objev Albertu Einsteinovi. Po té co v roce 1915 sptřil světlo svět Teorie reltivity, nic nechybělo k tomu, by tuto teorii plikovl n reálný vesmír. Již v tu dobu bylo známo, že energie záření pocházející z hvězd je mnohem menší než příspěvek klidové energie nereltivistické hmoty (hvězdy, glxie... ). Smozřejmě je třeb zmínit, že ještě nebylo známo nic o reliktním záření i co se týče glxií, byly teoretické pozntky o jejich složení, morfologii vzdálenosti dosti mlhvé. Reltivně tedy správně tedy usoudil, že dominntní příspěvek k hustotě energie ve vesmíru pochází od nereltivistické hmoty. N zákldě tehdejších neúplných informcí bylo velmi sndné se domnívt, že vesmír sttický, tedy že se nerozpíná ni nesmršťuje. Otázk je, jestli tkovéto chování je v souldu s teorií, tedy jestli může být vesmír plný nereltivistické hmoty sttický. Odpověď n tuto otázku je překvpivě záporná. Vesmír, který obshuje hmotu se může buď rozpínt nebo smršťovt. Podívejme se n celou situci v newtonovské proximci. Hmot ve vesmíru dná hustotou ρ určuje grvitční potenciál φ v souldu s Poissonovou rovnicí 2 φ = 4πGρ Grvitční zrychlení lze určit v jkémkoliv bodě ze znlosti grvitčního potenciálu = φ Pokud by vesmír měl být sttický, pk musí tké v kždém bodě prostoru = 0. potenciál φ musí být konstntní v prostoru. Z Poissonovy rovnice pk plyne To znmená, že ρ = 1 4πG 2 φ = 0 Jediný způsob jkým lze relizovt sttický vesmír, je vesmír prázdný. Pokud vzniklý vesmír obshuje hmotu, která je v počátečním stvu sttická, vlivem grvitce se zčne smršťovt. Pokud vzniklý vesmír obshující hmotu n zčátku expnduje, pk bude v expnzi pokrčovt buď nvždy nebo do určité doby, po které se zčne opět smršťovt. Vše záleží n množstí hmoty ve vesmíru. Jk tedy Abert Einstein vyřešil tento problém, když mu bylo jsné, že vesmír rozhodně není prázdný? Jednoduše přidl do Poissonovy rovnice člen 2 φ + Λ = 4πGρ oznčený řeckým písmenem Λ, který je známý spíše jko kosmologická konstnt. Pokud její velikost bude Λ = 4πGρ docílíme tím podmínku pro sttický vesmír. Je nutné modifikovt tké Friedmnnovu rovnici, korektním odvozením bychom dostli 4

5 (ȧ ) 2 = 8πG ε κc2 R0 2 + Λ 2 3 Z předchozí rovnice je ptrné, že přidání kosmologické konstnty je ekvivlentní přidání nové komponenty o hustotě energie ε Λ = c2 8πG Λ Rovnice pro tekutinu kosmologickou konstntou není nijk dotčen Rovnice pro zrychlení ε + 3ȧ (ε + P ) = 0. ä = 4πG (ε + 3P ) + Λ 3. Pokud kosmologická konstnt Λ zůstává konstntní v čse, totéž pltí pro hustotu energie příslušející kosmologické konstntě. Z rovnice pro tekutinu plyne pro konstntní hustotu energie P Λ = ε Λ = c2 8πG Λ to znmená, že kosmologickou konstntu můžeme povžovt z složku hmoty ve vesmíru, která má konstntní hustotu energie záporný tlk. Tímto způsobem dostl Einstein sttický vesmír. Stčí dosdit do rovnice pro zrychlení uvážit, že pro sttický vesmír ä = 0 ȧ = 0. Dostáváme 0 = 4πG 3 ε + Λ 3 Dále, pokud ȧ = 0, pk z Friedmnnovy rovnice plyne s použitím hodnoty kosmologické konstnty 4πGρ pro sttický vesmír 0 = 8πG 3 ρ κc2 R0 2 + Λ 3 = 4πGρ κc2 R 2 0 Z toho pohledu Einsteinův sttický model musí být pozitivně zkřivený κ = +1 s poloměrem křivosti R 0 = c 2(πGρ) = c 1/2 Λ 1/2 Pokud Λ má hodnotu větší než 4πGρ 0, pk expnze vesmíru bude kcelerovt. Původně Einstein povžovl zvedení kosmologické konstnty z svůj největší omyl, nicméně se v poslední době opět dostl do popředí to zejmén díky novým pozorováním, které svědčí o kcelerci expnze vesmíru. 2.1 Rovnice pro tekutinu pro obecný typ hmoty Uvžme, že pro kždou komponentu můžeme psát stvovou rovnici ve tvru P = wε. kde w nbývá různých hodnot. Stvovou rovnici dosdíme do rovnice pro tekutinu ε + 3ȧ Rovnici můžeme přepst do tvru (ε + P ) = ε + 3ȧ (1 + w) ε = 0 dε ε = 3(1 + w)d. 5

6 Z předpokldu, že w je konstntní, integrce vede k výrzu ε() = ε 0 3(w+1) přičemž jsme použili normlizce pro hodnotu škálovcího fktoru v součsnosti 0 hodnot hustoty energie ε 0 = 1, ve které je 2.2 Vesmír s dominncí prchu Pro vesmír s dominntní prchovou složkou můžeme pro stvovou rovnici použít w = 0. Ze rovnice pro tekutinu pk plyne, že ε prch () = ε 0,prch 3 Nyní už známe závislost všech potřebných veličin n škálovcím fktoru, bychom mohli určit jeho průběh řešením Friedmnnovy rovnice pro tento typ vesmíru (ȧ ) 2 = 8πG ȧ 2 = 8πG ε 0,prch 3 (8) ε 0,prch Rovnice vyřešíme pomocí klsických metod nebo sofistikovným odhdem. My použijeme druhý způsob, budeme předpokládt řešení ve tvru (t) t q doszením do předchozí Friedmnnovy rovnice dostneme podmínky sorvnáním řádu polynomu n prvé i levé strně (jink se nemohou výrzy rovnt) (9) 2(q 1) = q (10) q = 2 3 (11) Vidíme tedy, že hledné řešení lze závisí n čse (t) = ct 2/3 kde c je normovcí konstnt. Tu určíme z podmínky, že v čse t 0 (v součsnosti) je škálovcí fktor roven (t 0 ) = 1. Z této podmínky plyne pro konstntu Výsledný výrz pro průběh škálovcího fktoru je c = t 2/3 0 Hubbleov konstnt pk ( t (t) = t 0 ) 2/3 H = 2 3t 6

7 2.3 Vesmír s dominncí záření Anlogicky pro vesmír s dominntní složkou tvořenou zářením můžeme pro stvovou rovnici použít w = 1/3. Z rovnice pro tekutinu pk plyne, že ε rd () = ε 0,rd 4 Je ptrné, že s rozpínním vesmíru se hustot energie záření snižuje rychleji než hustot energie chldné hmoty. Rozdíl spočívá v tom, že kromě číselné hustoty částic záření se tké zvetšuje vlnová délk záření, tedy energie částice klesá doszením do Friedmnnovy rovnice Diferenciální rovnici řešíme úprvou E = hc λ 1 (ȧ ) 2 = 8πG ȧ 2 = 8πG ε 0,rd 4 (12) ε 0,rd 2 (13) ( ) 2 d 2 = 8πG dt (14) = Kdt d (15) Řešením této rovnice je Kt 1/2 Konstntu K určíme opět z podmínky, že škálovcí fktor v čse t 0 je (t 0 ) = 1. Z této podmínky plyne Výsledný vzth je Hubbleov konstnt pro tento přípd ( 1 K = t 0 ( t (t) = t 0 ) 1/2 ) 1/2 H(t) = 1 2t Kosmologická konstnt Λ Budeme postupovt opět nlogicky, nejprve určíme vzth pro hustotu energie, kdy pro kosmologickou konstntu pltí w = 1. Hustot energie se tedy s čsem nemění Doszením do Friedmnnovy rovnice dostáváme ε Λ = ε 0,Λ ȧ 2 = 8πG ε Λ 2 7

8 Rovnice můžeme jednoduše přepst n jednoduchou diferenciální rovnici ȧ = H 0 (16) ( ) 1/2 8πGεΛ H 0 = (17) jejíž řešení je Λ = exp (H 0 (t t 0 )) 8