2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

Transkript

1 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě jedno reálné číslo y. D: definiční obor fce, D f H: obor hodnot dané fce, H f x: nezávisle proměnná y: závisle proměnná Operace s funkcemi 2.2. Definice Nechť f a g jsou funkce jedné reálné proměnné f : y f x, x D f g : y g x, x D g D D f D g Definujeme součet funkcí: h f g D ; h rozdíl funkcí: k f g D ; k součin funkcí: l f g D ; l podíl funkcí: f ; f x m x D mx g x g g x 0 rovnost funkcí: f g D f D g D, x D ; f x g x Zadání funkce: fce je zadána, známe-li její D f a funkční předpis. Funkční předpis bývá určen: explicitně implicitně parametricky tabulkou grafem Vlastnosti funkcí 2.3. Definice Řekneme, že funkce f je: sudá: x D f ; x D f f x f x lichá: x D f ; x D f f x f x periodická: p R; x D f platí f x p f x ohraničená shora: k R; x D f platí f x k 9

2 ohraničená zdola: l R; x D f platí f x l ohraničená:, ; prostá: x, x D f ; x x f x f x k l R x D f platí l f x k Monotónnost na intervalu 2.4. Definice Řekneme, že funkce f je na množině M D f :. rostoucí: x, x2 M ; x < x2 f x < f x2 2. klesající: x, x2 M ; x < x2 f x > f x2 3. nerostoucí: x, x2 M ; x < x2 f x f x2 4. neklesající: x, x M ; x < x f x f x. a 2. ryze monotónní 3. a 4. monotónní Věta Každá funkce y f x množině prostá. (obrácená věta neplatí), která je na množině M D f ryze monotónní, je na této Složená funkce 2.5. Definice Nechť jsou dány funkce g a h. Je-li u g x D h pro x D g, můžeme k x přiřadit hodnotu y hu h g x. Říkáme, že funkce f x h g x, D f x D g ; g x D h je funkce složená. Funkci h nazveme vnější složkou a funkci g vnitřní složkou. 0

3 Inverzní funkce 2.6. Definice Nechť je f x prostá funkce na D f a nechť H f je její obor funkčních hodnot. Funkce f y definována na H f předpisem f y x y f x se nazývá inverzní funkce k funkci f x Věta Pro každou prostou funkci f a k ní inverzní funkci f platí: x D f f f x x a y D f ; f f y y. ; 2.3. Věta Jestliže je funkce f rostoucí resp. klesající, pak funkce f je rostoucí resp. klesající. Pozn. Je zřejmé, že ke každé ryze monotónní funkci (tj. k prosté fci) existuje fce inverzní. Výpočet inverzní fce:. určíme interval, na kterém je fce y f x 2. určíme D f, H f, (resp. zúžíme 3. z rovnice y f x vyjádříme x 4. zaměníme označení proměnných x,y 5. určíme D f, H f 6. platí D f H f, D f H f 7. grafy fcí f, f prostá jsou souměrné podle osy. a 3. kvadrantu D f na množinu, na níž je daná fce prostá) Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce jsou inverzní funkce k funkcím goniometrickým.. f: y sin x je rostoucí, tedy prostá na D = < ; >, H = <-; >, f : y arcsin x D = <-; >; H = ;. 2. f: y cos x je klesající, tedy prostá na D = <0; >, H = <-; > f : y arccos x D = <-; >, H = <0; >.

4 3. f: y tgx je rostoucí, tedy prostá na D =( ; ); H = (-; +); D = (-; +); H = ;. f : y arctgx 4. f: y cotgx je klesající, tedy prostá na D = (0; ); H = (-; +); f : y arc cot gx D = (-; +); H = (0; ). Grafy cyklometrických funkcí: Základní vlastnosti cyklometrických funkcí:. sin(arcsin x) x, cos(arcos x ) = x, pro x<-; >; tg(arctg x) = x, cotg(arccotg x)= x, pro x R. 2. arcsin(sin x) = x pro x<- ; >; arccos(cos x) = x, pro x<0; >; arctg(tg x) = x pro x(- ; ); arccotg(cotg x) = x, pro x(0; ). 3. arcsin x + arcos x = 2, pro x<-; >; arctg x + arccotg x = 2, pro xr; 2

5 arctg x = arccotg x, pro x>0; arccotg x = arctg x, pro x>0. 4. arcsin(-x) = arcsin x; arctg(-x) = arctg x arccos(-x) = arccos x; arccotg(-x) = arccotg x. 3