Disperzní chyby B-spline varianty. Ing. Radek Kolman, Ph.D.

Transkript

1 Disperzní chyby B-spline varianty metody konečných prvků Ing. Radek Kolman, Ph.D. Ústav termomechaniky AV Praha ČR, v. v. i. SIGA 20 Spliny a IsoGeometrická Analýza únor 20 Ústav termomechaniky AV ČR, v. v. i., Praha

2 Obsah Šíření elastických vln v D kontinuu Pojem disperze Metoda konečných prvků - Lagrangeovy polynomy - klasická varianta - B-spline bázové funkce Výsledky disperzní analýzy - Vliv stupně splinů - Vliv počtu řídících bodů - Vliv parametrizace (linearní versus nelinearní) Porovnaní výsledků disperzní analýzy pro B-spline a klasickou variantu MKP Závěr

3 Šíření elastický vln v D kontinuu Achenbach, J.D. Wave propagation in Elastic Solids. North-Holland Publishing Comp., American Elsevier Publishing Comp., Inc., New York, 973. Pohybová rovnice - vlnová rovnice E 2 u x = u 2 ρ 2, x (, ), t 0, ) t2 E je Youngův modul pružnosti, ρ je hustota. Rychlost vln v tyči c 0 = E/ρ Vlnové řešení monochromatická vlna u(x, t) = U exp[i(k x ± ω t)] Vlnová délka, vlnové číslo k = 2π λ

4 Šíření elastický vln v D kontinuu Achenbach, J.D. Wave propagation in Elastic Solids. North-Holland Publishing Comp., American Elsevier Publishing Comp., Inc., New York, 973. Fázová rychlost Grupová rychlost Disperzní zákon c = ω k c g = dω dk ω = ω(k) Konstantním E, ρ odpovídá bezdisperzní kontinuum lineární disperzní zákon c = c g = c 0 = const ω = c 0 k Diskretizovaný systém, disperzní zákon je nelineární a obecně platí c = ω(kh ) k h c 0 a c g = dω(kh ) dk h c 0

5 Metoda konečných prvků - D Spojitá Galerkinova aproximační metoda. Prostorová diskretizace u e (ξ) = H(ξ)u e, u e vektor uzlových, popř. řídících hodnot kde H je matice tvarových funkcí a B je matice derivací tvarových funkcí. Pohybová rovnice pro diskretizovaný systém Mü h + Ku h = 0, M = ϱh T H dx, K = h h E B T B dx Matice hmotnosti M: konzistentní diagonální (lumped mass matrix) metoda řádkových součtů (row-sum method) škálovací metoda (HRZ method)

6 Klasická MKP - D úloha h i (ξ) = j i Lagrangeovy polynomy ξ ξ i ξ j ξ i, i, j {, 2,..., p + }, ξ i poloha uzlu, rovnoměrné dělení Vlastnost Lagrangeových polynomů h i (ξ j ) = δ ij f(ξ) dξ = Gaussův-Legendrův kvadraturní vzorec n w i f( ξ i ), ξi integrační body = kořeny Legendrových polynomů P n i= ξ i ξ i, i {, 2,..., p + }, p stupeň polynomu

7 B-spline křivka B-spline křivka - parametricky popsána po částech spojitá polynomiální křivka stupně p. V uzlových bodech (v místech napojení segmentů) vykazuje C p spojitost. Násobností uzlů je možné ovlivňovat stupeň spojitosti. stupeň p = 3, řídících bodů n = 0, rovnoměrný uzlový vektor Zobecněním B-spline křivek jsou NURBS křivky - zavedením vah řídících bodů.

8 B-spline křivka B-spline křivka je dána vektorovou rovnicí n C(ξ) = N i,p (ξ) P i, i= kde P i, i =,..., n jsou souřad. řídících bodů a N i,p jsou bázové fce stupně p. Možnosti ovlivňování tvaru křivky: polohami řídících bodů P i stupněm křivky p uzlovým vektorem Ξ = {ξ, ξ 2,..., ξ n+p+ } Druhy B-spline křivek: otevřená, ukotvená, uzavřená uniformní (rovnoměrná), neuniformní (rozdíl přírůstků parametrů) aproximační, interpolační

9 B-spline varianta MKP - D případ Piegl, L., Tiller, W. The NURBS Book, 2nd Edition. Springer-Verlag, 997. Pro daný uzlový vektor Ξ = {ξ, ξ 2,..., ξ n+p+ } jsou B-spline bázové funkce definovány rekurzivě. Pro nultý stupeň (p = 0) jsou po částech konstantní funkce dány { jestliže ξ N i,0 (ξ) = i ξ ξ i+ 0 jinak Pro vyšší stupně p =, 2, 3,... platí N i,p (ξ) = ξ ξ i ξ i+p ξ i N i,p (ξ) + ξ i+p+ ξ ξ i+p+ ξ i+ N i+,p (ξ) Aproximace pole posuvů u h pomocí B-spline bazových funkcí je dáno n u h (ξ) = N i,p (ξ) u B i, kde u B i, i =, 2,..., n jsou hodnoty v řídících bodech. i=

10 Příklad B-spline bázových funkcí stupeň p = 3, řídících bodů n = 0, rovnoměrný uzlový vektor N i,p Základní vlastnosti: Rozklad jedničky, platí: n i= N i,p(ξ) = Malá podpora N i,p a nenulové pouze na intervalu [ξ i, ξ i+p+ ] B-spline bázové funkce jsou nazáporné: N i,p (ξ) 0 ξ C p k po částech spojité polynomy, k je stupeň násobnosti řídícího bodu ξ

11 B-spline varianta MKP - D případ Aproximované pole posuvů pomocí B-spline může být ovlivněno: délkou B-spline segmentu (h-refinement) stupněm splinů (p-refinement) počtem řídících bodů (k-refinement) polohou řídících bodů (linearní versus nelinearní parametrizace) násobností uzlu v uzlovém vektoru Ξ C m spojitostí mezi B-spline segmenty, m < p stupeň spojitosti mezi segmenty

12 Příklad matice tuhosti Lagrange - p = 2, NELEM = 5, NNOD = B-spline - p = 2, n =

13 Prostorová disperze Brillouin, L.: Wave Propagation in Periodic Structures. Dover Publications, Inc., New York 953. Pohybová rovnice ü j = ω 2 0(u j 2u j + u j+ ) Řešení u j (t) = U 0 e ijψ e iωt kde ψ = K + ib, K < π, π > Pro ω/ω 0 < 2 - vlnové řešení K 0 a b = 0 disperzní vztah ω = 2ω 0 sin(k/2) Pro ω/ω 0 > 2 - attenuating řešení K = π a b 0

14 Disperzní analýza Thompson, L.L., Pinsky, P.M. Complex wavenumber Fourier analysis of the p-version finite element method. Computational Mechanics, 3(4), , 994. Disperzní vztah ω = ω(k h ) Předpokládané řešení - Fourierova analýza Diskrétní vlnové číslo Intenzita zeslabování (attenuation) u h i = A i e i (ψ h x i ωt) k h = Re ψ h b = Im ψ h Disperzní chyba c h = ω(k h )/k h, měřena pomocí c h /c o

15 Disperzní diagramy - klasická MKP Thompson, L.L., Pinsky, P.M.: Complex wavenumber Fourier analysis of the p-version finite element method. Computational Mechanics, Vol. 3(4), , Linear FE 8 Quadratic FE 4 Cubic FE ω h /c 0 2 ω h /c 0 4 ω h /c k h h 2 3 π 0 2 k h π 0 h 4 6 2π 0 2 π 4 k h h 62π 8 3π Maximální disperzní chyba roste se stupněm polynomu p. Existují optické větve - vícehmotové soustavy. Pro vyšší hodnoty p nastává prodloužení oblasti dovolených vlnových délek a frekvencí s dobrou disperzí. h je vzdálenost uzlů, popř. řídících bodů.

16 B-spline MKP - homogenní bázové funkce Hughes T.J.R., Reali A., Sangalli G. Duality and Unified Analysis of Discrete Approximations in Structural Dynamics and Wave Propagation: Comparison of p-method Finite Elements with k-method NURBS. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 97, , c h / c p = p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 classical FE c h /c 0 B spline based FE homogeneous sh. f..8 p = p = 2.6 p = 3 p = 4 p = π k h h / p k h h / p B-spline varianta MKP s homogenními bázovými funkcemi - disperzní chyby klesají se stupněm splinů oproti klasické MKP. π

17 B-spline MKP C 0 spojitost mezi B-spline segmenty Disperzní chyby pro různý počet rovnoměrně rozložených řídících bodů a pro uniformní uzlový vektor c h / c quadratic B spline based FE n = 3 n = 4 n = 6 n = 8 n = 0 n = 2 n = 4 n = 6 c h / c cubic B spline based FE n = 4 n = 6 n = 8 n = 0 n = 2 n = 4 n = k h h k h h Disperzní chyby s počet řídících bodů klesají a konvergují k řešení pro homogenní bázové funkce. Disperze Lagrangeových konečných prvků odpovídá B-spline prvku s n = p+ počtem rovnoměrně rozložených řídících bodů (Bézierův segment).

18 B-spline MKP C 0 spojitost mezi B-spline segmenty Normalizované disperzní křivky c h /c quadratic B Spline based FE 3 control points 4 control points 5 control points 6 control points 7 control points 2 control points homogeneous sh. f. c h /c cubic B Spline based FE 4 control points 5 control points 6 control points 7 control points 8 control points 24 control points homogeneous sh. f k h h / (n ) 0.9 π k h h / (n ) B-spline varianta MKP - disperzní chyby pro vysoký počet řídících bodů konvergují k řešení pro homogenní bázové funkce. π

19 B-spline MKP - C 0 spojitost lineární parametrizace Disperzní chyby pro různý počet řídících bodů, kvadratický B-spline, lineární parametrizace - Jacobian J(ξ) = = const., Greville abscissae dx(ξ) dξ c h / c 0 quadratic B spline based FE lin. param..5 n = 3.4 n = 4 n = 5 n = 6.3 n = 2 n = 24.2 homogeneous sh. f.. c h / c 0 quadratic B spline based FE lin. param n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 2 n = 24 homogeneous sh. f k h h / (n ) 2 3 π 0 k h h / (n ) 2 3 Nejvyšší disperzní větev vykazuje přibližně konstatntí průběh disperzního zákona, odpovídající grupové rychlosti jsou tedy přibližně rovny nule. π

20 B-spline MKP - C 0 spojitost linear parametrization Disperzní chyby pro různý počet řídících bodů, kubický B-spline, lineární parametrizace - Jacobian J(ξ) = = const., Greville abscissaee dx(ξ) dξ c h / c cubic B spline based FE lin. param. n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 6 n = 32 homogeneous sh. f c h / c 0.02 cubic B spline based FE lin. param. n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 6 n = 32 homogeneous sh. f k h h / (n ) 3 π 0 2 k h h / (n ) 3 Vyskytují se dvě nejvyšší disperzní větve s přibližně konstatntím průběhem disperzního zákona, odpovídající grupové rychlosti jsou tedy přibližně rovny nule..0 π

21 B-spline MKP - optimalizace parametrizace Stanovení poloh řídících bodů lze přeformulovat na optimalizační úlohu s cílem minimalizovat disperzní chyby v celém rozsahu dovolených vlnových čísel k h =< 0, k h max >. Optimalizační úloha: nalézt x opt Např. F (x P ) = k h max P 0 c h (x P ) c o dk h k h max = arg (min F (x P)), kde F (x P ) je cílová funkce.. Výpočet cílové funkce F (x P ) je proveden numerickou integrací - lichoběžníkové pravidlo. Optimalizační metoda - funkce fminsearch v prostředí Matlab. Počáteční odhad poloh řídících bodů x p je zvolen pro lineární parametrizaci.

22 B-spline MKP - C 0 spojitost optimalizovaná parametrizace Disperzní diagramy pro n = 2 řídících bodů, kubický B-spline ω h / c ω h /c J = dx / dξ dispersion optimal parametrization equally spaced control points linear parametrization ,4 k h h ,05 b h h ξ c h / c 0,3,2,,0 c h / c 0,04,03,02,0 c g h / c , k h h / (n ),00 π k h h / (n ) 0 π k h h / (n ) π

23 B-spline MKP C 0 spojitost mezi B-spline segmenty Disperzní diagramy pro n = 2 řídících bodů, kubický B-spline, porovnání parametrizací cubic B spline based FE optimal parametrization uniformly spaced linear paremetrization dispersion optimal param cubic B spline based FE optimal parametrization uniformly spaced linear paremetrization dispersion optimal param. c h / c c h / c k h h / (n ) π k h h / (n ) π Dovolená numerická vlnové čísla k h h < (n 2)π. Maximální disperzní chyba fázové rychlosti je nižší než 4% v celém dovoleném frekvenčním pásmu. Nejvyšší disperzní větev vykazuje přibližně konstantní průběh. Z toho vyplývá nulová grupová rychlost - rozruch se již prostředím nešíří.

24 Conclusions and summary Klasické Lagrangeovy konečné prvky produkují optické módy a falešné oscilace, vyskytují se oblasti mtrvých frekvenčních pásem (band gaps). Disperzní chyby MKP pro B-spline bázové funkce s rostoucím stupněm klesají. Výhodnější je vkládat nové řídící body než segmenty s C 0 spojitostí. Zlepšení disperze lze docílit optimalizovanou nelineární parametrizací. Lze nalézt takovou parametrizaci, že vliv C 0 spojitosti na rozhraní jednotlivých B-spline segmentů lze z hlediska disperze eliminovat. MKP založená na spline reprezentaci má velký potenciál k úspěšnému použití pro numerické řešení úloh kmitání,šíření vln napěří a rázových vln v tělesech. Další práce: vhodná časová schémata pro B-spline variantu MKP a diagonalizace matice hmotnosti. Po částech spojité trigonometrické spliny. R. Kolman, J. Plešek, M. Okrouhĺık, D. Gabriel, Spatial dispersion and attenuation analysis of B-spline based finite element method in one-dimensional elastic wave propagation. In preparation. Děkuji za pozornost.