1 Princip relativity.

Transkript

1 Prinip relativit Prinip relativit íká, že fzikální zákon mají stejný tvar ve všeh ineriálníh sou anýh soustaváh Ineriální soustava je efinována tak, že se v ní volná ástie pohbuje rovnom rným p ímo arým pohbem, musí te být vzájemný pohb vou r znýh ineriálníh soustav rovnom rný p ímo arý Galileiho prinip relativit p epokláá vztah mezi asem a prostorovými sou aniemi v soustav K a K t τ + t, r ρ + r + t, () p itom obvkle ztotožníme po átek oe ítání asu a prostorovýh sou ani, tj poklááme τ 0, ρ 0 Porovnání ruhého Newtonova pohbového zákona v soustaváh K a K r (, ), (, ) r m F r t m F r t t t vee (osazení () o ruhé rovnie v ()) na F r, t F r t, t ( ) ( ) Jestliže síla spl uje pomínku (3), vhovuje pohbová rovnie aná ruhým Newtonovým zákonem Galileiho prinipu relativit Je tomu tak nap íkla vž, závisí-li síla na vzálenosti ástie o n jakého silového entra (nebo o jiné ástie) Ale také nap íkla Lorentzova síla v homogenním elektrikém a magnetikém poli b vhovovala Galileovu prinipu relativit, poku b se pole transformovala pole vztahu E 0 E0 + B0, B 0 B0 Pole se ale ve skute nosti (jako ešení Mawellovýh rovni) transformují jako E E, B B, ( 0 0 ) 0 0 E + B 0 B 0 () (3) (4) E B (5) E, Poívejme se, jak se p i Galileiho transformai hová vlnová rovnie ψ ψ 0 t z (6) Ze vztahu () platí t + t t! + # + $ " t t t t t + t t t (7) Máme te pro Alembert% v operátor v pohbujíí se soustav& jiný výraz než v p% voní soustav&, a mohli bhom te prinipiáln& olišit privilegovanou ineriální soustavu v kliu - -

2 Lorentzova transformae Uálosti, interval Záklaním pojmem je uálost (pro jenouhost na hvíli v& prostorové imenze potla íme), harakterizovaná asem t a boem na ose, k a ke k uálosti ošlo Honot samoz ejm& závisí na volb& sou ané soustav P ipome me si známou situai, k poloha bou v rovin& je harakterizována kartézskými sou aniemi a Honot závisí na poloze po átku a na orientai os sou ané soustav ezmeme-li však tvere vzálenosti vou bo% l ( ) + ( ), () zjistíme snano, že je ve všeh kartézskýh soustaváh stejný Transforma ní rovnie mezi soustavami K a K jsou a + osϕ + sin ϕ, b sinϕ + os ϕ () Einstein p epokláal, že rhlost ší ení sv& tla ve vakuu m s je ve všeh ineriálníh sou anýh soustaváh stejná Potom pro v& uálosti, spojené ší ením sv& tla ve vakuu (nap první uálostí je emise n& jakého fotonu, ruhou uálostí absorpe tohoto fotonu) platí (první len je tvere sou inu rhlosti a ob ší ení, ten musí být p irozen& roven tveri vzálenosti, kterou sv& tlo urazilo) ( t t ) ( ) ( t t ) ( ) 0 (3) zoben& ní pak nazveme veli inu ( ) ( ) s t t (4) tverem intervalu mezi (libovolnými) v& ma uálostmi šimn& me si, že invariane () vzhleem k transformai () vhází ze vztahu os ϕ + sin ϕ ztah (4) se o () olišuje znaménkem minus místo plus, bueme te hleat transformai, která vhází ze vztahu osh ψ sinh ψ, te t τ + oshψ t + sinh ψ, ξ + sinhψ t + osh ψ (5) Snano viíme, že transformae (5) ponehává výraz pro tvere intervalu (4) invariantní Lorentzova transformae Zatímo úhel ϕ v () má jasný geometriký význam, musíme fzikální význam úhlu ψ teprve najít Tém& vž p epoklááme ztotožn& ní po átku oe ítání asu i prostorovýh sou ani ve všeh ineriálníh soustaváh, te položíme v (5) τ ξ 0 A se nní pohbuje soustava K (a te i její po átek 0 ) v% i soustav& K rhlostí Potom máme z (5) tanhψ osh, sinh ψ ψ (6) t a výslený vztah pro Lorentzovu transformai (p iáme va osu potla ené rozm r geometrikého prostoru) - -

3 t + + t t,,, z z (7) Pro infinitezimáln blízké uálosti m žeme psát s t + + z (8) ( ) a Lorentzovu transformai t + + t t,,, z z (9) Požaavek, ab rovnie vja ujíí fzikální zákon, bl invariantní vzhleem k Lorentzov transformai nazýváme Einsteinovým prinipem relativit ž jsou uvá n va klasiké p íkla na použití vztahu (7) (a) soustav K je poél os v kliu m ítko, jehož v rsk mají v této soustav sou anie, zálenost (kliová) rsek je te 0 zálenost v soustav K je (sou anie jsou ur ován ve stejném ase t t ) 0 (0) Mluvíme o kontraki élk (b) soustav K se v aseh t a t oehrají v uálosti v jeiném míst,, z z (interval mezi uálostmi je te t0 t t soustav K je interval mezi t mito uálostmi Mluvíme pak o ilatai asu t t t t () 0 3 Relativistiká kinematika Pro rhlost ( v r t, v r t ) ostaneme z rovnie (9) transforma ní vztah v v v + v, v, v z z v v v () ztah pro transformai rhlosti ovoíme také násleujíí úvahou M jme v soustav K ástii, která se pohbuje rhlostí u, te platí pro ni ut Z hleiska vn jšího pozorovatele v soustav K ostaneme pole (7) ut + t t + / t + ut / a t (3) / / / Pro rhlost v soustav K máme pak + u v (4) t u + elikost této rhlosti už nem že p ekro it velikost rhlosti sv tla, tj <, u < v < - 3 -

4 4 Relativistiká namika Nní prozkoumáme vztah pro zákon mehanik p i Lorentzov transformai Klasik je hbnost rovna p mv Tento vztah musí platit i v soustav, v níž je ástie v kliu Poku se ástie pohbuje, máme pro relativistikou hbnost vztah p m v v (5) asto se proto poslení vztah hápe jako nár st hmotnosti ástie s rhlostí hon jší je ale považovat hmotnost za harakteristikou vlastnost ástie a poslení vztah prost íká, že vztah mezi rhlostí a hbností je složit jší než v nerelativistiké aproimai Sna nejslavn jším fzikálním vztahem je (uvažujme ástii v kliu) E m (6) P estavme si n jaké atomové járo hmotnosti M, jako elek v kliu O líme-li postupn jenotlivé nukleon a vzálíme tak, že jejih interaki lze zanebat, zjistíme, že rozíl energií E M m a a, (7) ke s ítáme hmotnosti všeh volnýh nukleon, je oben nenulový Je-li rozíl klaný, lze rozšt pením jára energii získat, je-li záporný, lze složením leh íh jaer o t žšího energii získat Používáme-li pro popis jev slen fzikální terminologie, nem že ojít k filosofikým iskusím o p em n hmot na energii i naopak S pomoí veli in energie a vektoru hbnosti vjá íme elkovou energii E a kinetikou energii T a limitní p ípa pro T jako 4 4 E p + m, T E m p + m m p T m T, T m T p m (8) (9) - 4 -

5 3 P íkla 3 Aberae sv tla Pro transformai složek vektoru rhlosti máme vztah () v v v + v, v, v z z v v v (3) Obrázek: pro p ípa θ 0 viíme, že v pohbujíím se sstému pozorujeme sv tlo po jiným úhlem Pro p ípa Zem je velikost aberae rovná 0,5" Otu pak m žeme ur it rhlost pohbu Zem a polom r její ráh Sleujeme-li ší ení sv telného paprsku v rovin ( v v 0 p i vhoné volb úhl θ resp θ, tj v sin θ, v osθ resp v sin θ, v osθ ), ostaneme po malé úprav vztah mezi úhl v soustav spojené se zrojem vsílajíím paprsek K a soustav spojené s etektorem p ijímajíím paprsek K (tubus alekohleu), která se v i K pohbuje rhlostí poél os + sinθ tan θ (3) osθ θ ostaneme z (3) tan ( ) Pro 0 z z θ a pro poneháním jen nejnižšího lenu Talorova rozvoje obvkle uvá ný vztah tan θ (33) - 5 -

6 3 Compton v rozptl Poél os opaá foton rentgenového zá ení s energií ω na elektron v kliu, po rozptlu pokra uje ohýlen o p voního sm ru o úhel θ a s nižší energií ω Zákon zahování nám ají (pohb se je v rovin ) 4 ω + m ω + p + m, ω ω ω (34) osθ + p os ψ, 0 sinθ p sin ψ Po kratším výpo tu (vlou ením nepot ebnýh neznámýh p a ) ojeme k výslenému λ π ω ) známému vztahu ( ( ) π λ λ λ λ ( os θ ), λ, m ke λ je konstanta Comptonova vlnová élka (35) - 6 -

7 33 Doppler v jev Doppler v jev je pozorovaná zm na energie fotonu (frekvene vln ní ω ), emitovaného zrojem, který se sám pohbuje rhlostí poél os v i laboratorní soustav ("pozorovateli") K (v ní je pozorována frekvene vln ní ω ) Soustava spojená se zrojem je K Uvažujme rovinnou vlnu s vlnovým vektorem v rovin Nap íkla poloh míst s anou intensitou vln musí ur it stejn pozorovatelé v obou soustaváh, pouze jim p i aí r zné sou anie a frekvene, ale fáze vln je relativistiký invariant našem p ípa píšeme rovnost fází jako ω t osθ sin t os θ ω θ sin θ (36) Úhel mezi sm rem ší ení vln a sm rem pohbu zroje (tj osou ) jsme ozna ili θ Dosaíme-li o (36) ze vztahu pro Lorentzovu transformai (7), ostáváme os os θ θ t os sin t ω θ θ ω sin θ Porovnáním len u t ostaneme vztah vja ujíí Doppler v jev ω ω ω + osθ + os θ (38) osθ Klasiký Doppler v jev (bez lene u ) je rozíl ve frekveni p ibližujíího se ( θ 0 ) a vzalujíího se (θ π ) zroje, relativistiký Doppler v jev ( len u ) pozorujeme pro θ π Porovnáním len u ostaneme vztah vja ujíí aberai sv tla, ale sjiným zna ením a jinou situaí (ze se pohbuje soustava spojená se zrojem, v 3 se pohbovala laboratorní soustava) 34 st íné svazk P i sráže vou ásti ( ekn me elektronu a positronu) m že vzniknout nová ástie Spo t me maimální hmotnost vzniklé ástie (a) Na elektron v kliu opaá positron s kinetikou energií Zákon zahování ávají takže (pro T m 4 4 m m p M P p P ) (37) 4 T m + p m + + +, 0 +, (39) M m T (30) (b) eln se srážejí elektron a positron stejné energie Ze zákon zahování pak takže (op t pro T m p m p M P p p P ,, (3) m ) M T (3) Pro kinetiké energie v LEP T 00 Ge a kliové energie elektronu vskutku propastný rozíl m 500 ke je o - 7 -

8 35 Parao kontrake élek Uvažujme laboratorní soustavu K s élkovým m ítkem, v i které se pohbuje rhlostí v soustava K s ientikým m ítkem Pravá rska m ítka spojeného s K o sou anii 0 míjí P levou rsku m ítka spojeného s K o sou anii L 0 v ase t tl 0 Dále m žeme pro P zbývajíí rsk psát a L P Lorentzova transformae je v t γ t +, γ ( + v t ), (33) v t γ t, γ ( vt) Platí v( P L ) v 0 t t γ ( t t ) + γ ( t t ) +, P L P L (34) v γ (( ) + v( t t )) γ P L P L P L γ Obobn v( P L ) v 0 t t γ ( tp tl ) γ ( tp tl ), (35) v P L γ (( P L ) v( tp tl )) γ γ Máme te v soustav K P, L 0, vt, vt (36) P L γ a v soustav K P v t, L v t, 0, (37) P L γ Jaký je popis v soustav K? ase T v, k se setkají pravé rsk, má levá rska pohbujíího se m ítka sou anii X ( γ ) 0 soustav K se setkají pravé rsk v ase T ( γ v) a pohbujíí se m ítko se zkrátilo a levá rska laboratorního m ítka má sou anii X γ a laboratorní m ítko se zkrátilo Nesouhlas t hto vou tvrzení je nazýván paraoem kontrake élek Není obtížné tento nesouhlas vsv tlit Uvažujme lépe efinovaný pokus: laboratorní soustav se všlou ke st eu pohbujíího se m ítka sv telné signál v okamžiíh, k jeho pravá rska potkává levou a pravou rsku laboratorního m ítka, te P L t, P P t, S v t v γ (38) Máme tak t P L S, t P P S, tp P S t P LS + v γ v + v γ v (39) pohbujíí se soustav!, " P L t P P # t $, S (30) γ v - 8 -

9 a te t P L S, tp P S, tp P S tp L S + γ v γ v (3) ýslek pro asové rozíl v soustav K (39) a soustav K (3) jsou kompatibilní ra me se k vsv tlení paraou Je-li v soustav K vslán sou asn z bo t, ; t, P P L L (3) v v γ sv telný signál, je v soustav K pozorován v boeh t, 0 ; P P P γ v t γ, L + L L γ v γ (33) Pozorovatel v pohbujíí se soustav K si nní tvrzení pozorovatele v K vsv tlí snano: polohu levé rsk m il v poz jším ase než polohu pravé rsk a nam il tak kratší vzálenost mezi rskami - 9 -