Černá díra. Pavel Provinský. 4. března 2013

Transkript

1 Černá íra Pavel Provinský 4. března 203 Nezakřivené sférické souřanice Využijme získané poznatky na jenom velmi zajímavém příklaě, totiž výpočtu černé íry. Bueme uvažovat tzv. Schwarzschilovu černou íru, tey íru nerotující a bez elektrického náboje. Situace tey bue sféricky symetrická. Poívejme se nejprve, jak se pracuje s obyčejnými sférickými souřanicemi v nezakřiveném prostoru. Zaveďme si kartézské x, y, z = ξ, ξ 2, ξ 3 a sférické r, ϕ, θ = x, x 2, x 3 souřanice. Sférické souřanice : x = r... poloměr x 2 = ϕ... zeměpisná šířka x 3 = θ... zeměpisná élka Počátky obou souřaných soustav splývají. Pak mezi kartézskými ξ, ξ 2, ξ 3 a sférickými x, x 2, x 3 souřanicemi platí tento vztah:... respektive... ξ = r. cos θ. cos ϕ ξ 2 = r. cos θ. sin ϕ ξ 3 = r. sin θ ξ = x. cos x 3. cos x 2 ξ 2 = x. cos x 3. sin x 2 ξ 3 = x. sin x 3 Pro malou vzálenost l platí Pythagorova věta: l 2 = ξ 2 + ξ ξ 3 2 = Jab.ξ a.ξ b, ke J ab = Protože ξ a = ξa.x b, pozor - sumační konvence, můžeme psát: x b l 2 = J ab.ξ a.ξ b = J ab. ξa x c.xc. ξb x.x = J ab. ξa x c. ξb x.x c.x = g c.x c.x Konkrétní poobu g c spočteme sice zlouhavě, ale snano. Např.: g = J ab. ξa x. ξb x = = J. ξ x. ξ x + J 2. ξ x. ξ2 x + J 3. ξ x. ξ3 x + J 2. ξ2 x. ξ x + J 22. ξ2 x. ξ2 x + J 23. ξ2 x. ξ3 x + J 3. ξ3 x. ξ x +... =. cos θ. cos ϕ. cos θ. cos ϕ cos θ. sin ϕ. cos θ. sin ϕ sin θ. sin θ = cos 2 θ. cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + sin 2 θ =.

2 Tímto způsobem získáme tenzor: g ab = r 2 cos 2 θ r 2 Vzálenost ve sférických souřanicích tey počítáme: l 2 = r 2 + r 2 cos 2 θ.ϕ 2 + r 2 θ 2. Metrický tenzor pro sféricky symetrickou situaci Povzbuzeni úspěchem se pokusme o výpočet metriky černé íry. Napišme si obecný metrický tenzor. Tenzor je symetrický, první složka je časová: A E H J g αβ t, r, ϕ, θ = E B F I H F C G, J I G D ke A, B,... J jsou funkce t, r, ϕ, θ. Situace je kulově symetrická. Vzálenost by se proto neměla změnit, poku úhly ϕ resp. θ bueme počítat po nebo proti směru hoinových ručiček tey poku místo ϕ resp. θ bueme počítat s ϕ resp. θ. Z toho okamžitě plyne, že H, F, J, I, G musí být nulové. Protože např. člen G.ϕ.θ by při záměně ϕ ϕ změnil znaménko. Situace je kulově symetrická. Metrika na kulové ploše pro konstantní t a r by proto měla opovíat situaci na kulové ploše s nějakým poloměrem. Jaký je vztah mezi na jené straně a r a t na straně ruhé, zatím nevíme. Metriku na kulové ploše opíšeme z tenzoru g ab z minulé kapitolky. Náš metrický tenzor pro kulově symetrickou situaci zatím vypaá takto: g αβ t, r, ϕ, θ = A E 0 0 E B cos 2 θ Souřanice r je zatím libovolná veličina, která jenoznačně určuje, kterou kulovou plochu máme na mysli. Nemůžeme ji apriori chápat jako vzálenost o střeu, protože jak měřit vzálenost nám ukáže až metrický tenzor. Přepokláejme, že tuto vlastnost má i a volme ze všech možných voleb souřanici r právě tak, aby r =, ke nějaké kulové plochy můžeme efinovat např. jako obvo hlavní kružnice ělený 2π nebo omocninu z povrchu kulové plochy ělenou 4π. Souřanice t je zatím libovolná veličina, která jenoznačně určuje časové okamžiky. Čas ubíhá pro různé skutečné i myšlené částice různě se pohybující v okolí černé íry různě. Máme tey na výběr mnoho různých časů. Tuto nejenoznačnost využijeme k tomu, že zvolíme právě takové t, aby člen E byl nulový. Čili čas t bueme postupně konkretizovat tak, aby se nám s ním obře počítalo a teprve, až bue metrický tenzor hotový, bueme se ptát, jaký má právě takovýto čas fyzikální smysl. S nějakou obecnou souřanicí t zatím naše metrika vypaá takto: s 2 = A.t 2 + 2E.t. + B cos 2 θ.ϕ θ 2 t EA EA 2..t +. = A. = A. t + E 2 A. + E2 A.2 + B cos 2 θ.ϕ θ 2 B E cos 2 θ.ϕ θ 2 A Zvolme novou veličinu T tak, aby platilo: T = t + A E.. Nechť tato veličina charakterizuje čas A je záporné a veličina nechť charakterizuje prostorový rozměr B E2 je klané. Pak naše metrika má v souřanicích T,, ϕ, θ tvar: g αβ T,, ϕ, θ = A K L cos 2 θ ke K a L jsou nějaké funkce. Protože situace je sféricky symetrická, nemohou funkce K a L záviset na úhlech ϕ a θ. K a L jsou tey pouze funkcí T a.,

3 Dosazení o Einsteinova gravitačního zákona Přepoklaem o sférické symetrii se nám metrický tenzor raikálně zjenoušil. Abychom mohli ále konkretizovat funkce K a L, musíme osait o Einsteinova gravitačního zákona. Začneme tím, že funkce K a L přepíšeme o tvaru: K = c 2.e 2Φ a L = e 2Λ. Jeiným ůvoem je, že se nám tak bue lépe počítat. Dále spočteme 64 Christoffelových symbolů le rovnice: Γ ρ µν = 2 gρσ g µν,σ + g σµ,ν + g νσ,µ Dále spočteme 256 složek iemannova tenzoru le rovnice: α βγδ = Γα βδ,γ Γα βγ,δ + Γρ βδ Γα ργ Γ ρ βγ Γα ρδ Dále spočteme 6 složek icciho tenzoru le rovnice: αβ = ρ αρβ Dále spočteme skalární křivost le rovnice: = α α Dále spočteme Einsteinův tenzor na levé straně gravitačního zákona le rovnice: G αβ = αβ 2 g αβ Výpočet je sice přímočarý, ale ost zlouhavý. Práci nám značně ušetří různé symetrie. Např. iemannův tenzor má jen 20 nezávislých složek. Uveďme pouze výslené složky Einsteinova tenzoru: G 00 = c 2.e 2Φ. [e 2. 2Λ. 2Λ ] G = e 2Λ. [e 2. 2Λ. + 2Φ ] Jako příkla těchto výpočtů si spočteme Γ 0. K výpočtu bueme potřebovat matici gαβ, která je inverzní k matici g αβ. Tey g αβ T,, ϕ, θ = K výpočtu Γ0 použijeme vzorec: K L cos 2 θ gαβ T,, ϕ, θ = K L cos 2 0 θ Γ0 = 2 gσ g 0,σ + g σ0, + g σ,0 = 2 g0 g 0,0 + g 00, + g 0,0 + 2 g g 0, + g 0, + g,0 + 2 g2 g 0,2 + g 20, + g 2,0 + 2 g3 g 0,3 + g 30, + g 3,0 Protože g 0, g 2 i g 3 jsou nulové, zůstane nám pouze ruhý člen. Γ0 = 2 g g 0, + g 0, + g,0 Protože g 0 i g 0 jsou nulové, buou i jejich erivace pole souřanice nulové. Výraz se nám proto zjenoušil na: Γ 0 = 2 g.g,0 Tečka znamená erivaci pole T. = 2. L. L T = 2. e2λ. e2λ T = 2. e 2Λ.e2Λ.2. Λ = Λ

4 G 22 = 2 [ ] [ c 2.e 2Φ. Λ + Λ 2 Λ Φ + 2 e 2Λ. Φ + Φ 2 Φ Λ + Φ Λ ] G 33 = G 22. sin 2 θ G 0 = G 0 = 2. Λ Tečky znamenají erivaci pole T, čárky erivaci pole. Vesmír kolem černé íry přepoklááme zcela prázný. Tey nulová je hustota energie, hybnost hmoty i tlaky. Na pravé straně tey máme nulový tenzor. Získali jsme tey těchto pět parciálních iferenciálních rovnic ruhého řáu pro vě neznámé funkce Λ, T a Φ, T: Řešení rovnic c 2.e 2Φ. [e 2. 2Λ. 2Λ ] = 0 e 2Λ. [e 2. 2Λ. + 2Φ ] = 0 2 [ ] [ c 2.e 2Φ. Λ + Λ 2 Λ Φ + 2 e 2Λ. Φ + Φ 2 Φ Λ + Φ Λ ] = 0 G 22. sin 2 θ = 0 2. Λ = 0 Až sem jsme ospěli postupem sice louhým, ale víceméně mechanickým. Násleuje vyřešení získané soustavy rovnic, což může být něky velmi tvrý oříšek. Naštěstí v tomto přípaě to až tak těžké nebue. Poku je splněna třetí rovnice, je čtvrtá rovnice splněna automaticky. Proto ji vynecháme. Zbuou čtyři rovnice. Dále vyělme faktory, o kterých přepoklááme, že jsou nenulové. : e 2Λ. 2Λ = 0 e 2Λ. + 2Φ = 0 2 [ ] [ c 2.e 2Φ. Λ + Λ 2 Λ Φ + 2 e 2Λ. Φ + Φ 2 Φ Λ + Φ Λ ] = 0 Λ = 0 Ze čtvrté rovnice plyne, že funkce Λ nezávisí na čase T a je tey funkcí pouze : Λ = Λ Tey první rovnice je vlastně iferenciální rovnicí prvního řáu v jené proměnné. ovnice je separovatelná, tey ji snano za pomoci několika substitucí vyřešíme. Řešením je: Λ = 2 ln k, ke k je libovolná konstanta. Dosazením zjistíme složku L: L = e 2Λ = k Hurá! Ze čtvrté a první rovnice jsme spočetli, až na konstantu, přeposlení složku metrického tenzoru. Nyní oečtěme první a ruhou rovnici. Zjistíme, že Λ + Φ = 0, tey Λ + Φ = 0, tey Λ + Φ = f T, ke f T nezávisí na a je nějakou funkcí pouze času T. Z první a ruhé rovnice jsme zjistili, že Φ = f T Λ = f T 2 ln k,

5 Zbývá nám třetí rovnice. Celý první člen je roven nule. Poělíme výrazem 2 e 2Λ a o hranaté závorky osaíme Λ, Φ a Φ. Zjistíme, že třetí rovnice je již automaticky splněna a proto ji nemusíme uvažovat. Výpočet se nám úspěšně chýlí ke konci, v poslení neznámé složce K nám však stále zbývá neznámá funkce f T: K = c 2.e 2Φ = c 2 2..e [ f T 2 ln k ] = c 2.e 2 f T. k Metrika tey zatím vypaá takto: s 2 = c 2.e 2 f T. k.t 2 + k cos 2 θ.ϕ θ 2 = c 2. k 2. e f T.T + k cos 2 θ.ϕ θ 2 Druhý přepis nám ukazuje, že poku místo časové souřanice T použijeme časovou souřanici T, takovou, že T = e f T.T, metrika se nám zjenouší na pěkný tvar: s 2 = c 2. k.t 2 + k cos 2 θ.ϕ θ 2 Proveli jsme tey již ruhou konkretizaci času. Pro souřanice x α = T,, ϕ, θ ostáváme metrický tenzor: Interpretace T g αβ T,, ϕ, θ = c 2. k 0 k cos 2 θ Během ovozování jsme uvažovali několik různých časových souřanic, až jsme ospěli k pro nás nejvýhonější souřanici T. Jakou má tato souřanice fyzikální interpretaci? Uvažujme astronauta, který je velmi aleko o černé íry a vůči našim souřanicím se nepohybuje. Jeho metrika bue mít tvar: s 2 = c 2.T 2 Vlastní čas je čas, který by měřil astronaut na svých hoinkách. Spočte se obecně jako: τ = c, což v našem přípaě ává τ = T. Čas T tey opovíá času, který by na svých hoinkách měřil astronaut, který se vůči černé íře nepohybuje a je o ní limitně vzálen v nekonečnu. Výpočet konstanty k Metriku máme spočtenu až na neznámou konstantu k. Tato konstanta bue patrně souviset s hmotností černé íry. Jak konstantu k spočítat? Záklaní myšlenka je velmi jenouchá. Bueme přepokláat, že velmi aleko o černé íry bue zakřivení časoprostoru =gravitační pole tak slabé, že přepověďi Einsteinovy i Newtonovy teorie buou takřka totožné. Porovnáním obou přepověí pak získáme neznámou konstantu. Bueme uvažovat astronauta, který se vůči našim souřanicím nepohybuje a který je o černé íry honě vzálen. Čas τ = T je jeho vlastní čas. Na tohoto astronauta bue působit ostřeivé zrychlení a = 2 τ 2. Newtonowa teorie pro toto zrychlení ává: a = G. M 2, ke G je gravitační konstanta a M je hmotnost černé íry. by v nezakřiveném prostoru opovíalo vzálenosti o černé íry. s 2

6 Einsteinovské řešení získáme z rovnice volného páu, se kterou jsme se již setkali v článcích Souřanice a Horní a olní inexy : Du α τ = 0 τ uα + Γ α µν.u µ.u ν = 0 Čtyřrychlost u α je erivací polohového časoprostorového vektoru T,, ϕ, θpole vlastního času τ. Astronaut se na počátku ěje vůči souřanicím nepohybuje, tey u α =, 0, 0, 0 Protože nás zajímá ruhá erivace souřanice tey inex, bueme řešit: u + Γ τ µν.u µ.u ν = 0 Druhý člen v sobě zahrnuje šestnáct součinů, z nichž jen jeen je nenulový. Řešíme tey: K výpočtu Γ00 požijeme vzorec Γ 00 = 2 gσ g 00,σ + g σ0,0 + g 0σ,0 u + Γ00 τ.u0.u 0 = u + Γ00 τ.2 = 0 = 2 g0 g 00,0 + g 00,0 + g 00,0 + 2 g g 00, + g 0,0 + g 0,0 + 2 g2 g 00,2 + g 20,0 + g 02,0 + 2 g3 g 00,3 + g 30,0 + g 03,0 = g g 00, = 2 g.g 00, = 2. k. k = 2. k. k 2 = 2. k 2. k Máme tey rovnici u + τ 2. k 2. k. 2 = 0 2 τ 2 = 2. k 2. k Pro velká můžeme ruhý člen v závorce zanebat a ostáváme: a = 2. τ 2 = 2. c2 k 2 Porovnáním Newtonova a Einsteinova výsleku získáváme: Tey: 2. c2 k 2 = G. M 2 k = 2GM c 2

7 Závěr Zjistili jsme, že metrika v prázném vesmíru v okolí černé íry je ána rovnicí: s 2 = c 2. 2GM c 2.T GM cos 2 θ.ϕ θ 2. c 2. Příslušný metrický tenzor je: c je rychost světla G je gravitační konstanta M je hmotnost černé íry g αβ T,, ϕ, θ = c 2. 2GM c GM c cos 2 θ ϕ je úhlová souřanice zeměpisná élka - nabývá honot π θ je úhlová souřanice zeměpisná šířka - nabývá honot π 2... π 2 je obvo hlavní kružnice ělený 2π - jakýsi zobecněný poloměr T je čas, který měří na svých hoinkách nepohybující se pozorovatel limitně vzálený v nekonečnu. eference [] Leoš Dvořák: Obecná teorie relativity a moerní fyzikální obraz vesmíru, SPN, Praha, 984