Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Transkript

1 Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ (t),..., ϕ n(t)),kde ϕ,..., ϕ n: R Rjsoureálnéfunkce. Definice.(Křivk) Nechť, b jeintervlϕ:,b R n je(vektorová)funkce. Pk C= ϕ(, b )jekřivk,pokud ϕ má konečně mnoho vícenásobných bodů, ϕ je po částech spojitá, (ϕ,..., ϕ n)=(0,...,0)jenvkonečněmnohbodech(derivcevizdále). Funkce ϕ je prmetrizcí křivky C. Křivk je j ednoduchá, pokud nemá vícenásobné body. Křivk je uzvřená, pokud ϕ() = ϕ(b). Příkldem uzvřené rovinné křivky může být třeb kružnice se středem v počátku poloměrem R.Její prmetrizcí jenpř.funkce ϕ : 0,2π R 2,popsná v krtézských souřdnicích vzthem ϕ(t)=(rcos t, Rsin t) Přidáme-linvíctřetísložku z= ht 2π,dostnemespirálu,jejížjedenzávitbudemít výšku h. Limit derivce Definice.(Limit) Buď f: R R, R.Existuje-li L Rtkové,že ( ε >0)( δ >0)( x ( δ,) (, +δ)):f(x) (L ε, L+ε), pkje Lvlstní 2 limitoufunkce fvbodě,nebo-li lim x f(x)=l.pokudtkové L neexistuje, pk funkce nemá v bodě vlstní limitu. 2 lzedefinovtinevlstnílimitumjícíhodnotu ±,tolenebudemepotřebovt.slovo vlstní budeme proto uvádět jen tehdy, je-li nezbytné, by limit byl reálným číslem. 4

2 Tomáš Mtoušek: Integrál jeho plikce Nhrdíme-li v definici množinu( δ, ) (, +δ) intervlem( δ, ) resp.(, +δ), dostneme definici l imity zlev lim f(x)resp.limityzprv lim f(x). x x + Lemm. Funkce má v kždém bodě nejvýše jednu limitu. Definice.(Derivce) Nechť f: R R.Limitu f(x) f() f(+t) f() lim =lim x x t 0 t nzýváme derivcí funkce f v bodě. Existuje-li tto limit je-li vlstní n nějké množině M R,pkfunkce f : M R,kterákždémubodu M přiřdí uvedenou limitu, je derivcí funkce f n M. V následující tbulce jsou uveden některá prvidl pro výpočet derivcí funkcí tké derivce zákldních funkcí. Pro přehlednost jsou v tbulce vynechány podmínky, z nichž mjí výrzy smysl. V prvidlech předpokládáme, že všechny derivce existují jsou vlstní. linerit 3 (αf+ βg) = αf + βg derivce součinu (fg) = f g+ fg derivcepodílu 4 ( f g ) = f g fg g 2 f f x α tg x log x e x α x α cos 2 x x e x rc x 2 rc x 2 Riemnnův integrál Definice.(Děleníintervlu) Nechť, b jeuzvřenýintervlnechť =x 0 < x < < x n= bjsoureálnáčísl.pkposloupnost x 0,..., x njedělenímintervlu, b jejíčlenyjsoujehodělícíbody. 3 α, β R. 4 Pltítm,kdeje gnenulová. 5

3 Prudká 02 Definice.(Omezenáfunkcenintervlu) NechťIjeintervl.Funkce f: I Rje n I omezenáshorresp.zdol,pokudexistuje C Rtková,že f(x) < C resp. f(x) > Cprokždé x I.Je-lifunkceomezenázdolishor,pkjeomezená. Definice.(Riemnnůvsoučet) Nechť, b jeintervl, f:,b Rjentomto intervluomezená.nechť D=x 0,..., x njedělení,b.pk dolním Riemnnovým součtem funkce f při dělení D rozumíme n s(f, D)= inf f(x) (x j x j ), x x j= j,x j horním Riemnnovým součtem funkce f při dělení D rozumíme n S(f, D)= sup f(x) (x j x j ). j= x x j,x j Definice.(Riemnnůvintegrál) Nechť, b jeintervl, f:,b Rjentomto intervlu omezená. Dolním Riemnnovým integrálem funkce f přes intervl, b je (R) f(x)dx= sup Djedělení,b s(f, D), horním Riemnnovým integrálem funkce f přes intervl, b je (R) f(x)dx= inf S(f, D). Djedělení,b Jestliže se tyto integrály rovnjí, pk je f n, b riemnnovsky integrovtelná její Riemnnův integrál je (R) fdx(x)=(r) f(x)dx=(r) f(x) dx Množinu riemnnovsky integrovtelných funkcí n, b znčíme R(, b ). Vět. Je-lifunkce fspojitán,b,pk f R(,b ). Pro přehlednost dále vynecháme oznčení(r) u Riemnnov integrálu. Tké se domluvíme,že f(x)dx=0 f(x)dx= b f(x)dx. Vět.(VlstnostiRiemnnovintegrálu) Nechť c, b, α R, f, g R(, b ). Pktké f+ g,αf R(, b ), f R(, c), f R(c, b)nvíc f+ g= f+ g, 6

4 Tomáš Mtoušek: Integrál jeho plikce αf= α f, c f= f+ f. c Z definice Riemnnov integrálu plyne i význm jeho hodnoty. Je-li f npř. nezáporná spojitá n, b, pk hodnot integrálu je rovn obshu útvru ohrničeného funkcí f,osou xkolmiceminosu xjdoucímizbodů(,0),(b,0).avškzuvedenédefinice neplyne, jk tuto hodnotu vypočítt. K tomu se dostneme později. Riemnnův integrál lze použít i n výpočet délky křivky, objemu povrchu těles. Vět.(Výpočetdélkykřivky) Nechť Cjekřivkϕ:,b Cjejíprmetrizce vkrtézskýchsouřdnicích, ϕ=(ϕ,..., ϕ n).délkkřivky Cje L(C)= (ϕ )2 (t)+ +(ϕ n) 2 (t)dt Vět.(Výpočetobjemupovrchurotčníhotěles) Nechť fjen,b spojitá nezáporná. Těleso { T= (x,y, z); } y 2 + z 2 f(x) má objem povrch pláště P=2π V = π f 2 (x)dx f(x) +(f ) 2 (x)dx. Primitivní funkce Newtonův integrál Definice.(Primitivní funkce) Nechť F, f jsou funkce definovné n intervlu(, b). Řekneme,že F jeprimitivnífunkcekfunkci f n(,b),pokud F = f n(, b). Zpisujeme F= fdx. Lemm. Jsou-li F, G primitivní funkce k funkci f, pk existuje konstnt c tková, že F= G+c. Vět. Nechť fjen(,b)spojitá.pk fmán(, b)primitivnífunkci. 7

5 Prudká 02 V následující tbulce jsou uvedeny některé primitivní funkce. Pro přehlednost jsou vynechány konstnty tké podmínky, z kterých mjí výrzy smysl. Vlevo jsou uvedeny některé metody výpočtu primitivních funkcí. integrceperprtes 5 fg = fg f g substituce 6 f(ϕ(x))ϕ (x)dx= f(x) dx využití linerity αf+ βg= α f+ β g f f x α α+ x log x e x e x x 2 rc +x 2 rctg x cos 2 x tg x sin 2 x cotg x Definice.(Newtonův integrál) Řekneme, že f má n, b N ewtonův integrál (N) f(x)dx=[f(x)] b = lim F(x) lim F(x), x b x + je-li Fprimitivnífunkcíkfn(, b)má-livýrzvprvosmysl. Množinu funkcí newtonovsky integrovtelných n, b znčíme N(, b ). Vět.(Newton Leibnitzovformule) Nechť f R(, b ) N(, b ).Pk (R) f(x)dx=(n) f(x) dx. 5 Předpokládáme f, g spojitén(, b). 6 Předpokládáme,že ϕ:(α, β) (, b)ϕ jevlstnín(α, β). 8