Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31
|
|
|
- Štěpánka Pešková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
2 Ekvivlence utomtů Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
3 Ekvivlence utomtů Definice OkonečnýchutomtechA 1,A 2 řekneme,žejsouekvivlentní,jestliže L(A 1 )=L(A 2 ). Existuje nějký vhodný lgoritmus zjišťující, jestli jsou dv utomty ekvivlentní? Můžeme zjistit, jestli k dnému utomtu neexistuje nějký ekvivlentní menší(s menším počtem stvů)? Když o nějkém utomtu víme, že menší ekvivlentní už neexistuje, může existovt jiný stejně velký ekvivlentní utomt? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
4 Nedosžitelné stvy utomtu , AutomtpřijímájzykL={w, woshujepodslovo} Pro žádnou posloupnost vstupních symolů se utomt nedostne do stvů3,4,neo5 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
5 Nedosžitelné stvy utomtu 1 2 6, AutomtpřijímájzykL={w, woshujepodslovo} Pro žádnou posloupnost vstupních symolů se utomt nedostne do stvů3,4,neo5 Pokud tyto stvy odstrníme, pořád utomt přijímá stejný jzyk L={w, woshujepodslovo} M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
6 Nedosžitelné stvy utomtu Definice Stv q deterministického konečného utomtu A je dosžitelný slovem w,pokudsevýpočet Apopřečteníceléhoslovwzstvívestvuq. Definice Stv q deterministického konečného utomtu A je dosžitelný pokud existuje nějké slovo, kterým je stv dosžitelný. V opčném přípdě stv nzýváme nedosžitelný. Do nedosžitelných stvů nevede v grfu utomtu žádná orientovná cest z počátečního stvu Nedosžitelné stvy můžeme z utomtu odstrnit(spolu se všemi přechody vedoucími z nich). Jzyk přijímný utomtem se nezmění. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
7 Normovný tvr utomtu , ,,, A M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
8 Normovný tvr utomtu , ,,, A M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
9 Normovný tvr utomtu , ,,, A Jk poznáme, že jsou utomty ekvivlentní, když se liší přechodová funkce? Automtynorázkumůžučísly1 8pojmenovt8!způsoy Chtěli ychom jednoznčně vyrt jedno z možných pojmenování M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
10 Normovný tvr utomtu , 6 7 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
11 Normovný tvr utomtu,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
12 Normovný tvr utomtu 1,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
13 Normovný tvr utomtu 1 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
14 Normovný tvr utomtu 1 3 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
15 Normovný tvr utomtu 1 3 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
16 Normovný tvr utomtu 1 3 2, 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
17 Normovný tvr utomtu , 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
18 Normovný tvr utomtu , 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
19 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
20 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
21 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
22 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
23 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
24 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
25 Normovný tvr utomtu , 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
26 Normovný tvr utomtu , 6 4 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
27 Normovný tvr utomtu , 6 4 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
28 Normovný tvr utomtu , 6 4 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
29 Normovný tvr utomtu ,, ,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
30 Normovný tvr utomtu ,,,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
31 Normovný tvr utomtu ,, 1,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
32 Normovný tvr utomtu ,, 1 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
33 Normovný tvr utomtu ,, 1 2 3,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
34 Normovný tvr utomtu ,, ,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
35 Normovný tvr utomtu ,, ,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
36 Normovný tvr utomtu ,, ,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
37 Normovný tvr utomtu ,, ,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
38 Normovný tvr utomtu ,, ,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
39 Normovný tvr utomtu , ,,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
40 Normovný tvr utomtu 1 2, ,,, Nyní už je přechodová funkce stejná pro o utomty, stejné jsou i koncové počáteční stv Automty jsou tedy nejen ekvivlentní, le dokonce stejné Říkáme, že utomty jsou v normovném tvru M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
41 Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
42 Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v Příkld:NdecedouΣ={,}uvžujemeěžnéuspořádání <. Potompltí ε < L < L < L < L < L < L < L < L. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
43 Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v Příkld:NdecedouΣ={,}uvžujemeěžnéuspořádání <. Potompltí ε < L < L < L < L < L < L < L < L. Příkld: Nd ecedou Σ = {1, 2, 3} uvžujeme ěžné uspořádání 1 <2<3.Potompltí ε < L 1 < L 3 < L 31 < L 33 < L 111 < L 321. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
44 Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v Příkld:NdecedouΣ={,}uvžujemeěžnéuspořádání <. Potompltí ε < L < L < L < L < L < L < L < L. Příkld: Nd ecedou Σ = {1, 2, 3} uvžujeme ěžné uspořádání 1 <2<3.Potompltí ε < L 1 < L 3 < L 31 < L 33 < L 111 < L 321. Příkld: Nd ecedou Σ = {0, 1, 2} uvžujeme ěžné uspořádání 0 <1<2.Potompltí ε < L 1 < L 2 < L 01 < L 03 < L 111 < L M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
45 Normovný tvr utomtu Definice Mějmedeterministickýkonečnýutomt A=(Q,Σ, δ,q 0,F)ez nedosžitelných stvů uspořádání prvků ecedy Σ(které indukuje uspořádání < L nσ ). Oznčmeprokždýstvi {1,2,...,n}symolemu i nejmenšíslovo podleuspořádání < L tkové,žepronějpltí δ(1,u i )=i. Potomřekneme,že Ajevnormovnémtvru,pokud Q= {1,2,3,...,n}pronějkén 1 1 je počáteční stv Prokždoudvojicistvůi,j {1,2,...,n}tkovou,žei <j,pltí u i < L u j. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
46 Normovný tvr utomtu , 6 4 8, Dostvu4sedostnemeslovy,,,tedyu 4 = Dostvu5sedostnemeslovy,tedyu 5 = < L protojsoustvy4,5oznčenyvtomtopořdí M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
47 Normovný tvr utomtu , 6 4 8, Dostvu4sedostnemeslovy,,,tedyu 4 = Dostvu5sedostnemeslovy,tedyu 5 = < L protojsoustvy4,5oznčenyvtomtopořdí Pro osttní stvy jsou nejmenší slov následující: u 1 = ε u 5 = u 2 = u 6 = u 3 = u 7 = u 4 = u 8 = M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
48 Minimlizce konečného utomtu M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
49 Minimlizce konečného utomtu Automt přijímá tková slov, z nichž y vypuštěním některých znků zůstlo Existuje utomt s méně stvy, který přijímá stejný jzyk? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
50 Minimlizce konečného utomtu , Automt přijímá tková slov, z nichž y vypuštěním některých znků zůstlo Existuje utomt s méně stvy, který přijímá stejný jzyk? Existuje nějký lgoritmus, který y nšel ekvivlentní utomt s nejmenším možným počtem stvů? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
51 Minimlizce konečného utomtu Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu4,příjmeužjistědné slovo, ť už ude pokrčovt jkkoliv Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu8,příjmetkéužjistě dné slovo Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo4neo8 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
52 Minimlizce konečného utomtu , , Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu3,příjmekždéslovo, které ude v pokrčování oshovt lespoň jedno Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu7,příjmekždéslovo, které ude v pokrčování oshovt lespoň jedno Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo3neo7 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
53 Minimlizce konečného utomtu , , Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu2,příjmekždéslovo, kteréudevpokrčováníoshovtlespoňjednojednov tomto pořdí Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu6,příjmestejnáslov Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo2neo6 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
54 Minimlizce konečného utomtu ,, Vestvu1i5utomtpříjmejkékolivslovo,kteréptřídojzyk tkových slov, z nichž y vypuštěním některých znků zůstlo Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo1neo5, jejedno,vekterémznichzčne M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
55 Minimlizce konečného utomtu ,, Stvy5,6,7,8jsouteďužnedosžitelnémůžemejeodstrnit M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
56 Minimlizce konečného utomtu , M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
57 Minimlizce konečného utomtu Definice Prokždýstvqutomtu A=(Q,Σ, δ,q 0,F)definujemeL(q)=L(A q ), kde A q =(Q,Σ, δ,q,f) Definice Stvyq 1,q 2 utomtu A=(Q,Σ, δ,q 0,F)nzývámejzykově ekvivlentníneozkráceněekvivlentní,jestližel(q 1 )=L(q 2 ). Jsou-lidvstvyq 1,q 2 utomtuekvivlentní,můžemejedenvypustit všechny šipky do něj směřující přesměrovt do druhého. Pokud yl vypouštěný stv počáteční, ude počáteční ten druhý. Dvojice vzájemně ekvivlentních stvů můžeme hledt rychlým (polynomiálním) lgoritmem M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
58 Minimlizce konečného utomtu M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
59 Minimlizce konečného utomtu Rozdělíme stvy do dvou skupin n přijímjící nepřijímjící. Je jisté, že přijímjící stv nikdy není ekvivlentní s nepřijímjícím. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
60 Minimlizce konečného utomtu I II Rozdělíme stvy do dvou skupin n přijímjící nepřijímjící. Je jisté, že přijímjící stv nikdy není ekvivlentní s nepřijímjícím. Do tulky si, místo přechodů do konkrétních stvů, vyznčíme skupinu, do které přecházíme. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
61 Minimlizce konečného utomtu I II I 1 I I 2 I I 3 II I 5 I I 6 I I 7 II I II 4 II II 8 II II Rozdělíme stvy do dvou skupin n přijímjící nepřijímjící. Je jisté, že přijímjící stv nikdy není ekvivlentní s nepřijímjícím. Do tulky si, místo přechodů do konkrétních stvů, vyznčíme skupinu, do které přecházíme. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
62 Minimlizce konečného utomtu I 1 I I 2 I I 3 II I 5 I I 6 I I 7 II I II 4 II II 8 II II Pokud se liší řádky ve stejné skupině, skupinu rozdělíme n menší, kde se lišit neudou Npř.3seod1liší,protožez1přejde-čkemdoskupiny,která následně nepřijímá prázdné slovo, z 3 přejde -čkem do skupiny, která následně přijímá prázdné slovo. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
63 Minimlizce konečného utomtu I 1 I I 2 I I 3 II I 5 I I 6 I I 7 II I II 4 II II 8 II II I 1 I I 2 I I 5 I I 6 I I II 3 II I 7 II I III 4 II II 8 II II Pokud se liší řádky ve stejné skupině, skupinu rozdělíme n menší, kde se lišit neudou Npř.3seod1liší,protožez1přejde-čkemdoskupiny,která následně nepřijímá prázdné slovo, z 3 přejde -čkem do skupiny, která následně přijímá prázdné slovo. Musíme znovu vyplnit tulku, protože se změnily skupiny M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
64 Minimlizce konečného utomtu I 1 I I 2 I II 5 I I 6 I II II 3 III II 7 III II III 4 III III 8 III III Teďse2seod1liší,protožez1přejde-čkemdojinéskupinynežz 2. Tedy z kždého příjme jiná slov zčínjící -čkem nemohou ýt ekvivlentní. Tkže zse skupinu I rozdělíme M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
65 Minimlizce konečného utomtu I 1 I I 2 I II 5 I I 6 I II II 3 III II 7 III II III 4 III III 8 III III I 1 I I 5 I I II 2 I II 6 I II III 3 III II 7 III II IV 4 III III 8 III III Teďse2seod1liší,protožez1přejde-čkemdojinéskupinynežz 2. Tedy z kždého příjme jiná slov zčínjící -čkem nemohou ýt ekvivlentní. Tkže zse skupinu I rozdělíme Musíme znovu vyplnit tulku, protože se změnily skupiny M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
66 Minimlizce konečného utomtu I 1 II I 5 II I II 2 II III 6 II III III 3 IV III 7 IV III IV 4 IV IV 8 IV IV Teď už se žádná skupin nerozdělí, tkže lgoritmus končí Stvy, které jsou v jedné skupině, jsou ekvivlentní. Můžeme necht kterýkoliv z nich osttní odstrnit Šipky vedoucí do odstrňovných stvů povedou do toho, který ze skupiny necháme Pokud skupin oshovl počáteční stv, ude ponechný zástupce počáteční M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
67 Minimlizce konečného utomtu I 1 II I 5 II I II 2 II III 6 II III III 3 IV III 7 IV III IV 4 IV IV 8 IV IV I II I II II III III IV III IV IV IV Teď už se žádná skupin nerozdělí, tkže lgoritmus končí Stvy, které jsou v jedné skupině, jsou ekvivlentní. Můžeme necht kterýkoliv z nich osttní odstrnit Šipky vedoucí do odstrňovných stvů povedou do toho, který ze skupiny necháme Pokud skupin oshovl počáteční stv, ude ponechný zástupce počáteční M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
68 Minimální konečný utomt Definice Deterministický konečný utomt nzveme minimálním utomtem, jestliže neexistuje utomt, který y s ním yl ekvivlentní měl y menší počet stvů. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
69 Minimální konečný utomt Definice Deterministický konečný utomt nzveme minimálním utomtem, jestliže neexistuje utomt, který y s ním yl ekvivlentní měl y menší počet stvů. Lemm Pro kždý regulární jzyk L existuje právě jeden minimální utomt A v normovném tvru tkový, že L = L(A). M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
70 Minimální konečný utomt Definice Deterministický konečný utomt nzveme minimálním utomtem, jestliže neexistuje utomt, který y s ním yl ekvivlentní měl y menší počet stvů. Lemm Pro kždý regulární jzyk L existuje právě jeden minimální utomt A v normovném tvru tkový, že L = L(A). Lemm VkždémkonečnémutomtuA={Q,Σ, δ,q 0,F },kterýneníminimální, njdemelespoňjednudvojicistvůq 1,q 2 (q 1 q 2 )tkovou,že L(q 1 ) L(q 2 ). M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
71 Porovnání konečných utomtů Lemm Existujelgoritmus,kterýprozdnékonečnéutomtyA 1,A 2 rozhodne, zdjsouekvivlentní,tj.zdl(a 1 )=L(A 2 ). Důkz: Je-liA 1 neoa 2 nedeterministický,převedemejejndeterministický AutomtyA 1 A 2 převedemenminimální Minimální utomty převedeme do normovného tvru Pokud jsou vzniklé minimální utomty v normovném tvru stejné, yly původní utomty ekvivlentní. Pokud výsledné utomty nejsou stejné, neyly původní utomty ekvivlentní. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
72 Neregulární jzyky M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
73 Neregulární jzyky Ne všechny jzyky jsou regulární. Existují jzyky, pro které neexistuje žádný konečný utomt, který y je rozpoznávl. Příkldy neregulárních jzyků: L 1 = { n n n 0} L 2 = {ww w {,} } L 3 = {ww R w {,} } Poznámk: Existence neregulárních jzyků vyplývá již z fktu, že utomtů prcujících nd nějkou ecedou Σ je jen spočetně mnoho, ztímco jzyků nd ecedou Σ je nespočetně mnoho. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
74 Neregulární jzyky Jk dokázt o nějkém jzyce L, že není regulární? Jzyk není regulární, jestliže neexistuje(tj. není možné sestrojit) konečný utomt, který y ho rozpoznávl. Jk le dokázt, že něco neexistuje? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
75 Neregulární jzyky Jk dokázt o nějkém jzyce L, že není regulární? Jzyk není regulární, jestliže neexistuje(tj. není možné sestrojit) konečný utomt, který y ho rozpoznávl. Jk le dokázt, že něco neexistuje? Odpověď: Stčí ukázt, že jzyk L nemá nějkou vlstnost, kterou má kždý jzyk rozpoznávný nějkým konečným utomtem. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
76 Neregulární jzyky Jk dokázt o nějkém jzyce L, že není regulární? Jzyk není regulární, jestliže neexistuje(tj. není možné sestrojit) konečný utomt, který y ho rozpoznávl. Jk le dokázt, že něco neexistuje? Odpověď: Stčí ukázt, že jzyk L nemá nějkou vlstnost, kterou má kždý jzyk rozpoznávný nějkým konečným utomtem. Dv zákldní postupy dokzování neregulrity jzyků: využití tzv. pumping lemmtu využití Myhillovy-Nerodovy věty(neudeme se jí dále zývt) M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
77 Neregulární jzyky Tvrzení Kždý konečný jzyk je regulární. Důkz: Konečný jzyk s n slovy můžeme popst regulárním výrzem w 1 +w w n.jzykjetedyregulární. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
78 Neregulární jzyky Tvrzení Kždý konečný jzyk je regulární. Důkz: Konečný jzyk s n slovy můžeme popst regulárním výrzem w 1 +w w n.jzykjetedyregulární. Tvrzení Je-li jzyk nekonečný, oshuje pro kždou konstntu k N nějké slovo wtkové,že w >k Důkz: Uvžujeme jen konečnou ecedu. Pro kždou konstntu je tedy jen konečně mnoho slov krtších než tto konstnt. Pokud má ýt jzyk nekonečný, musí ýt i slovo delší, než jkákoliv konstnt. Ve skutečnosti je slov delších než jkákoliv konstnt nekonečně mnoho. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
79 Pumping Lemm Předpokládejme, že jzyk L je rozpoznáván nějkým konkrétním deterministickým utomtem A, tj. L = L(A). Vezměmenynínějkéliovolnéslovoz L,kdez= 1 2 k. Protože utomt A slovo z přijímá, musí tomuto slovu odpovídt určitý přijímjící výpočet utomtu, tj. posloupnost stvů: q 0,q 1,q 2,...,q k 1,q k délkyk+1,kde q 0 jepočátečnístv δ(q i 1, i )=q i pro i {1,2,...,k} q k jepřijímjícístv M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
80 Pumping Lemm Předpokládejme,žeAmánstvůže z n. Pkmámeposloupnostdélkyminimálněn+1,vekterésemůže vyskytovt mximálně n různých stvů. Ztohoplyne,žemusíexistovtlespoňjedenstvq,kterýsevtéto posloupnosti vyskytuje lespoň dvkrát. Jde o plikci tzv. holuníkového principu(pigeonhole principle). Holuníkový princip Jestližemámn+1holuůrozmístěnýchdonklecí,pkjsoulespoň v jedné kleci minimálně dv holui. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
81 Pumping Lemm Řekněme,žeopkujícístvsevyskytujenpozicíchi,j,tj.q i =q j,kde i <j. q 0,,q i,,q j,,q k Poznámk:Zjevněmůžemenjíttkovái,j,žei <j n Slovo z můžeme rozdělit n tři části: 1 i }{{} u i+1 j }{{} v j+1 k }{{} w δ (q 0,u)=q i δ (q i,v)=q j =q i δ (q j,w)=q k M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
82 Pumping Lemm Vezměme nyní slov: 1 i }{{} u j+1 k }{{} w 1 i }{{} u i+1 j }{{} v i+1 j }{{} v j+1 k }{{} w 1 i }{{} u i+1 j }{{} v i+1 j }{{} v i+1 j }{{} v j+1 k }{{} w Jezřejmé,žeApřijmekždéznich,vzhledemktomu,že δ (q 0,u)=q i δ (q i,v)=q j =q i δ (q j,w)=q k,q k F M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
83 Pumping Lemm Pumping Lemm JestližejzykLjeregulární,pkexistujentkové,žekždéslovoz L tkové,že z n,jemožnérozdělitnpodslovu,v,wtková,že z=uvw, uv n, v 1provšechni 0pltíuv i w L. Formálně zpsáno: Jestliže L je regulární, pk ( n)( ztž.z L, z n)( u,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1) ( i 0):uv i w L M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
84 Pumping Lemm Tvrzeníjemožnéorátit.(A Bjetotéž,co B A.) Jestliže ( n)( ztž.z L, z n)( u,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1) ( i 0):uv i w L, pk L není regulární. Pokud tedy chceme ukázt, že jzyk L není regulární, stčí ukázt, že splňuje výše uvedenou podmínku. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
85 Pumping Lemm Příkld:UvžujmejzykL={ i i i 0}. Předpokládáme, že L je rozpoznáván nějkým utomtem s n stvy. Zvolmeslovoz= n n. Uvžujme všechny možnosti, jk může ýt z rozděleno n podslov u,v,wsplňujícípodmínky uv n v 1. Zjevněslovuvoshujípouzesymoly.Prokždékonkrétní rozděleníexistujínějkájktková,žej+k n,k 1 u= j v= k w= n (j+k) n Pokudnynízvolímei=0,dostávámeuv i w=uw= n k n.protože n k <n,zjevněpltíuv i w L. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
86 Pumping Lemm Poznámk: Dokzování pltnosti či nepltnosti formule prvého řádu, kde se střídjí universální existenční kvntifikátory, si můžeme předstvovt jkohrudvouhráčů,hráčeahráčeb,kdesehráčasnžídokázt,že formule pltí, hráč B, že formule nepltí. Hráč A vždy volí hodnotu proměnné vázné existenčním kvntifikátorem nopk hráč B vždy volí hodnotu proměnné vázné universálním kvntifikátorem. Pokud npříkld chceme pltnost formule vyvrátit, stčí nám njít vítěznou strtegii hráče B. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
87 Pumping Lemm ( n)( ztž.z L, z n)( u,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1) ( i 0):uv i w L Konkrétně pro Pumping Lemm vypdá hr následovně: 1 Azvolín >0. 2 Bzvolíslovoztkové,žez L z n. 3 Azvolíslovu,v,wtková,žez=uvw, uv n, v 1. 4 Bzvolíi 0. 5 Je-liuv i w L,vyhráváhráčA.Je-liuv i w / L,vyhráváhráčB. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
88 Pumping Lemm Příkld:L={ i i i 0} 1 Azvolín >0. 2 Bzvolíz= n n 3 Azvolíslovu,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1 4 Bzvolíi=0 5 VyhrálhráčB,protožeezohledunto,covolilhráčA,vždypltí uv i w L,protoženeprázdnéslovovsencházívčástislovz tvořené pouze symoly, jeho vypuštěním dostneme slovo tvru k n,kdek<n,tedyneptřícídol. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn / 31
Automaty a gramatiky(bi-aag)
BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 2/33 Převod NKA ndka BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 4/33 Automty grmtiky(bi-aag) 3. Operce s konečnými utomty Jn
Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111.
Grmtiky. Vytvořte grmtiku generující množinu řetězů { n m } pro n, m N {} tková, že n m. Pomocí této grmtiky derivujte řetezy,. 2. Grmtik je dán prvidly S ɛ S A A S B B A B. Je regulární? Pokud ne, n regulární
Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.
BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty
Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 7. března / 46
Formální jzyky Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn 2012 1/ 46 Teorie formálních jzyků motivce Příkldy typů prolémů, při jejichž řešení se využívá pozntků z teorie formálních jzyků: Tvor
Převody Regulárních Výrazů. Minimalizace Konečných. Regulární jazyky 2 p.1/35
Převody Regulárních Výrzů Minimlizce Konečných Automtů Regulární jzyky 2 p.1/35 Kleeneho lger Definice 2.1 Kleeneho lger sestává z neprázdné množiny se dvěm význčnými konstntmi 0 1, dvěm inárními opercemi
Automaty a gramatiky
Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Úvod do formálních grmtik Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí
4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Deterministický konečný automat
Deterministický konečný utomt Formálně je deterministický konečný utomt definován jko pětice (Q,Σ,δ,q 0,F) kde: Q je konečná množin stvů Σ je konečná eced δ:q Σ Qjepřechodováfunkce q 0 Qjepočátečnístv
6. Zobrazení δ: (a) δ(q 0, x) obsahuje x i, x i Z. (b) δ(x i, y) obsahuje y j, x i y j P 7. Množina F je množinou koncových stavů.
Vzth mezi reg. výrzy kon. utomty Automty grmtiky(bi-aag) 7. Převody mezi reg. grm., reg. výrzy kon. utomty Jn Holu Algoritmus (okrčování): 6. Zorzení δ: () δ(, x) oshuje x i, x i Z. () δ(x i, y) oshuje
Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik
Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí
Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz
PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)
Automaty a gramatiky
5 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Co ylo minule Množinové operce s jzyky sjednocení, pr nik, rozdíl, dopln k uzv enost opercí (lgoritmus p evodu) et
Teorie jazyků a automatů
Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v
56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)
Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh
Teorie jazyků a automatů
Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Sírk příkldů pro cvičení II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 24. listopdu 2016 Anotce:
Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?
Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než
2.5.4 Věta. Každý jazyk reprezentovaný regulárním výrazem je regulárním jazykem.
2.5. Regulární výrzy [181012-1111 ] 21 2.5 Regulární výrzy 2.5.1 Regulární jzyky jsme definovli jko ty jzyky, které jsou přijímány konečnými utomty; ukázli, že je jedno, zd jsou deterministické neo nedeterministické.
Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení...
Osh Úvod 1 1 Teoretická informtik 2 1.1 Vznik vývoj teoretické informtiky................... 2 1.1.1 Mtemtik............................. 2 1.1.2 Jzykověd............................. 5 1.1.3 Biologie...............................
Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí
3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty
Formální jazyky. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 6. března / 48
Formální jzyky M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 6. březn 2007 1/ 48 Motivce 1: Vyhledávání v textu Potřebujeme řešit následující problém: Máme řdu různých textů(npř. soubory n
Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
![Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1](/thumbs/103/161289080.jpg "Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1")
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Řešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Reprezentovatelnost částek ve dvoumincových systémech
Reprezentovtelnost částek ve dvoumincových systémech Jn Hmáček, Prh Astrkt Máme-li neomezené množství mincí o předepsných hodnotách, může se stát, že pomocí nich nelze složit některé částky Pro jednoduchost
Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.
4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme
Teorie jazyků a automatů I
Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen
IB005 Formální jazyky a automaty a IB102 Automaty, gramatiky a složitost
}w!"#$%&'()+,-./012345
Úlohy krajského kola kategorie A
67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,
Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
Minimalizace KA - Úvod
Minimalizace KA - Úvod Tyto dva KA A,A2 jsou jazykově ekvivalentní, tzn. že rozpoznávají tentýž jazyk. L(A) = L(A2) Názorně lze vidět, že automat A2 má menší počet stavů než A, tudíž našim cílem bude ukázat
10. Suffixové stromy 1 2014-01-23
10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové
MULTIDIMENSIONÁLNÍ JAZYKY A JEJICH AUTOMATY MULTI-DIMENSIONAL LANGUAGES AND THEIR AUTOMATA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS MULTIDIMENSIONÁLNÍ
3.2.1 Shodnost trojúhelníků I
3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud
Přednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
Definice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:
4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Lineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Větu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
![množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,](/thumbs/99/140214707.jpg "množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,")
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)
5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Automaty a gramatiky. Pro připomenutí. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o dvousměrných automatech (1)
4 Automty gmtiky omn Bták, KTIML tk@ktiml.mff.cuni.cz htt://ktiml.mff.cuni.cz/~tk Po řiomenutí Automt může tké ovládt čtecí hlvu dvousměný (dvoucestný) utomt řechodová funkce: Q X Q {-,,+} Slovo w je řijto
Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Automaty a gramatiky. Trochu motivace. Roman Barták, KTIML. rní jazyky. Regulárn. Kleeneova věta. L = { w w=babau w=uabbv w=ubaa, u,v {a,b}* }
ochu motivce L = { w w=u w=uv w=u, u,v {,}* } Automty gmtiky Romn Bták, KIML tk@ktiml.mff.cuni.cz htt://ktiml.mff.cuni.cz/~tk L = L L L, kde L = { w w=u, u {,}* }, L = { w w=uv, u,v {,}* } L = { w w=u,
3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
![2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]](/thumbs/102/155984102.jpg "2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]")
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:
443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
Jak oslabit PC, aby algoritmus: neměl paměťové nároky PC, povede k vyřazení hodnoty z domény proměnné! e f. e f. a b. a b. byl silnější než AC?
N půli esty od AC k PC Progrmování s omezujíími podmínkmi Jk oslit PC, y lgoritmus: neměl pměťové nároky PC, neměnil grf podmínek, yl silnější než AC? Testujeme PC jen v přípdě, když je šne, že to povede
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43
Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným
Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
Základy teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.
4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi
10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
![10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí](/thumbs/54/33422824.jpg "10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí")
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích
Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.
4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu
.. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α
AUTOMATY A GRAMATIKY
AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace
Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž + c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
x + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Logaritmické rovnice I
.9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme
Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce
1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší
MATA Př 2. Složené výroky: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné.
MATA Př 2 Složené výroky: Jsou dány výroky: : Číslo 5 je prvočíslo. : Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné. Konjunkce disjunkce Konjunkce liovolných výroků, je výrok, který vznikne
3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ