Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
|
|
- Anna Nováková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kateřia Jaoušková Dvouvýběrové testy Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program: Studijí obor: doc Mgr Zdeěk Hlávka, PhD Matematika Obecá matematika Praha 03
2 Děkuji svému vedoucímu doc Mgr Zdeňku Hlávkovi, PhD za ochotu a pomoc s vypracováím bakalářské práce
3 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů, literatury a dalších odborých zdrojů Beru a vědomí, že se a moji práci vztahují práva a poviosti vyplývající ze zákoa č /000 Sb, autorského zákoa v platém zěí, zejméa skutečost, že Uiverzita Karlova v Praze má právo a uzavřeí licečí smlouvy o užití této práce jako školího díla podle 60 odst autorského zákoa V Praze de 5 květa 03
4 Název práce: Dvouvýběrové testy Autor: Kateřia Jaoušková Katedra: Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc Mgr Zdeěk Hlávka, PhD, Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Abstrakt: V této práci jsou popsáy dvouvýběrové t testy, které jsou důležitou metodou pro testováí hypotéz, když je výběr z ormálího rozděleí Hlaví důraz je klade a testováí středích hodot, pokud ezámé rozptyly ejsou stejé V práci jsou uvedey statistiky používaé při testováí hypotéz a je popsáo jejich rozděleí Na začátku je odvozeo Studetovo rozděleí, které je základem pro celou práci Další kapitoly se věují odvozeím Welchovy a Satterthwaitovy statistiky a způsobu, jakým tyto výsledky použijeme a testováí hypotéz o rovosti středích hodot V posledí kapitole je uvede speciálí párový test s chybějícími daty Klíčová slova: t test, dvouvýběrový test, Welchův test, Satterthwaitův test Title: Two-sample tests Author: Kateřia Jaoušková Departmet: Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Supervisor: doc Mgr Zdeěk Hlávka, PhD, Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Abstract: Two-sample T tests are described i this thesis They are a importat method for testig hypotheses whe samples have ormal distributio The mai emphasis is laid o testig expected values whe ukow variaces are uequal The test statistics used for testig hypotheses are preseted ad their ull distributio is derived I the begiig Studet s distributio is described The ext chapters show how the Welch s ad Satterthwaite s statistics are derived ad it is described how to use them whe testig hypotheses Special paired test with missig samples is preseted i the last chapter Keywords: t test, two-sample test, Welch s test, Satterthwaite s test
5 Obsah Použité začeí Úvod 3 T testy 4 Jedovýběrový test 4 Základí vlastosti 5 3 Dvouvýběrový test při stejých rozptylech 5 3 Zámý podíl rozptylů 6 4 Dvouvýběrový test při estejých rozptylech 7 Studetovo rozděleí 8 Momety S 8 Cetrálí momety S 0 3 Rozděleí S 0 4 Souvislosti s kapitolou 5 Rozděleí S 6 Normovací kostata 7 Rozděleí T S = X S 3 Welchova statistika 4 3 Rozděleí V 4 3 Hladia testu T 6 33 Hladia Welchova testu V 7 4 Satterthwaitova statistika 8 5 Dvouvýběrový test při estejých rozptylech 0 5 Satterwaithův test 0 5 Welchův test 0 53 Shrutí 6 Párový test při chybějících datech 3 6 Model 3 6 Testová statistika 4 63 Rozděleí R 4 Závěr 6 Literatura 7
6 Použité začeí N přirozeá čísla PA) pravděpodobost jevu A A idikátor možiy A rová se až a kostatu µ k E X k, k-tý obecý momet µ k E X E X) k, k-tý cetrálí momet σ rozptyl α 3 µ 3 /σ 3 šikmost α 4 µ 4 /σ 4 špičatost Nµ,σ ) ormálí rozděleí se středí hodotou µ a rozptylem σ χ χ rozděleí o stupích volosti t t rozděleí o stupích volosti t,α α-kvatil t rozděleí o stupích volosti χ,α α-kvatil χ rozděleí o stupích volosti X i výběrový průměr veliči X,,X X S X S X i X) výběrový rozptyl veliči X,,X X i X) M k k-tý obecý momet veličiy S M k k-tý cetrálí momet veličiy S
7 Úvod V praxi se často zabýváme úlohou, ve které rozhodujeme o rovosti dvou středích hodot při dvou a sobě ezávislých ormálích áhodých výběrech Pokud jsou rozptyly stejé, vhodým testem je jedoduše odvoditelý dvouvýběrový t test Shoda rozptylů je ale v praxi je ideálí předpoklad, tudíž musíme odvodit jiý test Nejdříve je v práci popsáo, jak se des odvozuje jedovýběrový a dvouvýběrový t test, základí vlastosti ormálího, Studetova rozděleí a rozděleí χ Na koci růzých kih, zabývajících se tímto problémem, ajdeme odkazy a čláek Studet 908), ebo a růzé čláky B Welche ebo F Satterthwaita Zajímalo mě, jak byly růzé druhy t testů tehdy odvozey, a tak jsou zde ěkteré čláky podrobě rozebráy Jelikož jsou až 00 let staré, bylo potřeba pochopit, jak se tehdy věci dělaly, a hlavě sjedotit začeí To je předmětem kapitol, 3, 4 Ve druhé kapitole jsem ukázala odvozeí t rozděleí, jak ho odvozoval Studet 908), a poukázala a souvislosti s tím, co des alezeme v učebicích V další kapitole je odvozea Welchova statistika, která se používá a testováí středích hodot při estejých rozptylech, tak, jak ji odvodil Welch 938) Čtvrtá kapitola je věováa stejé statistice jako třetí, ale jiému odvozeí Toto odvozeí ašel Satterthwaite 94) Následující kapitola shruje předchozí dvě kapitoly a dává ávod, jak testovat hypotézy o rovosti středích hodot Posledí kapitola je věováa speciálímu testu, který jsem odvodila podobě, jako odvodil svůj test Welch 938) Je to speciálí případ párového t testu, ve kterém máme ěkterá přebývající, espárovaá data 3
8 Kapitola T testy T testy patří k základím prostředkům používaým při testováí hypotéz Uvažujme model, ve kterém X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ ), σ > 0 Chceme testovat, zda se středí hodota µ rová ějaké určité hodotě µ 0 Rozptyl σ je zde rušivý parametr a testová statistika, ai její rozděleí, by a ěm eměly záviset Než se podíváme a samotý t test, musíme si říct, jak vypadá Studetovo rozděleí a rozděleí χ Rozděleí t má hustotu a distribučí fukci F x) = x fx) = Γ ) + Γ ) + x π fu)du = I x + je ormovaá eúplá beta fukce Necht Rozděleí χ má hustotu fx) = ) +, ), kde I z a,b) = / Γ e )x Platí, že středí hodota je a rozptyl Jedovýběrový test x {x>0} z ) 0 ta t) b dt, Ba,b) ) Je třeba testovat hypotézu H 0 : µ = µ 0 proti H : µ µ 0, kde σ ezáme Musíme vytvořit vhodou statistiku pro teto test Je přirozeé test založit a X Jelikož X Nµ, σ ), je zřejmé, že X µ N0,) Testovou statistiku získáme σ tak, že rozptyl σ ahradíme estraým kozistetím odhadem SX Tyto úvahy shreme v ásledujících dvou větách Věta Necht X a Z jsou ezávislé áhodé veličiy takové, že X N0,) a Z χ Pak áhodá veličia T = X Z 4 t
9 Důkaz viz Aděl 0, Věta 4) Věta Necht X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ ),, σ > 0 Potom Důkaz viz Aděl 0, Věta 3) T = X µ S X t Z věty vidíme, že P X µ0 /SX t, α/ H 0 ) = α Hypotézu H 0 zamíteme a hladiě α, pokud X µ0 /SX t, α/ Základí vlastosti Než si ukážeme dvouvýběrový t test, připomeňme základí vlastosti χ rozděleí a rozděleí průměru a výběrového rozptylu Věta 3 Necht Y a Z jsou ezávislé áhodé veličiy takové, že Y χ r Z χ s Pak Y + Z χ r+s a Důkaz viz Aděl 0, Věta 44) Věta 4 Necht X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ ), N Pak ) X Nµ,σ /), ) je-li > a σ > 0, pak S X ) σ χ 3) je-li >, jsou veličiy X a S X ezávislé Důkaz viz Aděl 0, Věta 4) Věta 5 Necht X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ), Y,,Y je áhodý výběr z Nµ,σ),, Pak ) X µ Ȳ N µ, σ + σ Důkaz viz Aděl 0, Lemma 46, Věta 4) 3 Dvouvýběrový test při stejých rozptylech Necht X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ ) a Y,,Y je áhodý výběr z Nµ,σ ) a echt jsou a sobě ezávislé Předpokládejme, že,, σ > 0 Test H 0 : µ = µ proti H : µ µ se abízí založit a X Ȳ Podobě jako u jedovýběrového testu odečteme středí hodoty a vydělíme rozptyly a dostaeme X Ȳ µ µ ) σ + σ N0,) 5
10 Z vět 3 a 4 ) plye S X ) σ + S Y ) σ χ + Nezávislost X Ȳ a S X ) + S σ Y ) σ plye z věty 4 Upravíme X Ȳ µ µ ) σ + σ ) S X ) + S σ Y ) σ + = X Ȳ µ µ ) ) σ + S X )+S Y ) σ + ) Vzike statistika, kterou ozačíme písmeem T a která má podle věty za platosti H 0 : µ = µ rozděleí t + T = X Ȳ S X )+S Y ) + ) 3) + Chceme-li při ezámém σ testovat hypotézu H 0 : µ = µ proti hypotéze H : µ µ, spočteme T = X Ȳ S X )+S Y ) + ) + a jestliže T t +, α/, zamíteme H 0 a hladiě α 3 Zámý podíl rozptylů Ted si ještě ukážeme speciálí případ toho, když ezáme rozptyly, ale záme jejich podíl θ := σ Počítejme σ S X ) σ X Ȳ σ + σ + S Y ) σ ) + = X Ȳ ) σ θ + σ θ S X )+S Y )) σ σ + ) Zkráceím σ a σ dostaeme T = X Ȳ S X )+θs Y ) θ + ) θ + ) a zamítáme H 0, pokud T t +, α/, ebot T t + 6
11 4 Dvouvýběrový test při estejých rozptylech Test založeý a statistice 3) jsme odvodili za předpokladu stejých rozptylů V praxi ale většiou emáme jistotu, že rozptyly jsou stejé Testováí rozdílu mezi středími hodotami dvou a sobě ezávislých áhodých výběrů s růzými rozptyly se azývá Behres-Fisherův problém Tímto problémem se zabývalo moho statistiků, mezi imi i Welch 938) a Satterthwaite 94) Ježe jak se výsledý test opravdu jmeuje, je těžké jedozačě říci Například v programu R se teto test jmeuje Welchův, program SAS stejý test azývá Satterthwaitův test Ai v kihách eajdeme jedié pojmeováí V kize Aděl 998, straa 98) ajdeme statistiku pro testováí dvouvýběrového testu s estejými rozptyly a ásledě dva vzorce pro odhad stupňů volosti, jede pojmeovaý Welchův, druhý Satterthwaitův V dalším textu si ujasíme, jak byly tyto testy odvozey V kapitole 3 odvodíme Welchovu statistiku a v kapitole 4 Satterthwaitovu V kapitole 5 ukážeme, jak se používají odvozeé statistiky při testováí hypotéz 7
12 Kapitola Studetovo rozděleí William Sealy Gosset byl statistik, pracující v irském pivovaru Guiess Jeho zaměstavatel echtěl, aby publikoval vědecké práce pod svým jméem, takže Gosset psal pod pseudoymem Studet Jelikož Studet 908) odvodil t rozděleí, kterému se říká také Studetovo, v této kapitole si ukážeme, jak tehdy postupoval Jak se postupuje des, ajdeme apříklad v kize Aděl 998) Necht X,,X N0,σ ) je áhodý výběr, σ > 0, N Výběrový rozptyl je běžě defiová jako X i X) Studet 908) ale pro odhad rozptylu používal tuto sumu vyděleou Takovou veličiu si ozačíme S := S X a budeme chtít ajít rozděleí S V prvích dvou sekcích ukážeme, jak Studet 908) hledal obecé a cetrálí momety statistiky S, abychom pak v další sekci ukázali, jak aproximoval rozděleí S a pak z věty o trasformaci vypočítal hustotu S a T S = X S Momety S Spočítáme prví čtyři momety S Počítejme S = Xi ) X i = Xi Xi X i X j j= i j Pak M = E S = µ µ = µ ) Jelikož X,,X jsou ezávislé a ormálí, středí hodota čleu X i X j je ula, tj E X i X j = E X i E X j = 0 V celé kapitole µ k = µ k, ebot j= i j středí hodota je ulová j= i j 8
13 Počítejme dále ) S 4 = Xi X i ) ) = Xi ) 4 Xi X i + X i = X 4 i + X i Xj X 4 3 i 4 X 3 i Xj + X 4 4 i j= i j j= i j Xi Xj + čley, jejichž středí hodota je ula j= i j Čley, jejichž středí hodota je ula, jsou čley typu,, 3 Z ezávislosti opět dostaeme E X 4 i má čleů, kdežto Xi Xj j= i j X i Xj k = j= i j X i Xj k, k = j= i j E X i E Xj k ) = 0 j= i j má ) čleů, tudíž M = µ 4 + µ ) µ 4 µ ) + µ 4 + 3µ ) 3 3 = µ ) + µ 3 ) + 3) Z ormality rozděleí je špičatost X i rova 3, z toho plye, že µ 4 = 3µ a tudíž M = µ ) ) = µ ) + ) 3 Stejým postupem spočítáme M 3 = µ 3 ) + ) + 3), 3 M 4 = µ 4 ) + ) + 3) + 5) 4 Studet 908) další momety S euvádí Ale jelikož des víme, jak vypadá hustota S, můžeme si momety pro úplost spočítat: M k = µ k ) + ) + 3) + k 3) k 9
14 Cetrálí momety S Dále počítejme cetrálí momety S : M = µ [ + ) )] = µ, [ ) + ) + 3) M 3 = µ 3 3 ) ) 3 = µ 3 [ ] = 8µ 3 3 ] )3 3 3, M 4 = µ4 [ ) + ) + 3) + 5) 3 ) ) 3 ) 4] 4 = µ 4 [ ] = µ 4 ) + 3) 4 3 Rozděleí S Studet 908) aproximoval rozděleí S gamma rozděleím s parametry α > 0, β > 0 a hustotou fx) x α e βx {x>0} Prví momet gamma rozděleí je α a rozptyl α Aby souhlasily momety β β gamma rozděleí s parametry α a β s S, dosadíme za β podíl M M a vyjde µ Nebot špičatost gamma rozděleí je 6 + 3, dosazeím vyjde α Hustota S akoec vyjde α = + 3 = α = fx) x 3 e x µ {x>0} Nyí ověříme, podle Studet 908), zda souhlasí momety aproximovaé hustoty gamma rozděleí s momety S Necht I := středí hodotu 0 xx 3 e x µ dx I = [ ] µ x e x µ c x=0 0 + I Prví sčítaec je ula a druhý se rová: µ I I = µ 0 x 3 e x µ dx Počítejme µ x 3 e x µ dx I Další momety budou jeom ásobey +µ +3, µ, atd, jako při vytvářeí mometů M, M 3, M 4, atd Studet 908) pro další odvozováí předpokládal, že alezeá hustota je opravdu hustotou S 0
15 4 Souvislosti s kapitolou Ukážeme si souvislost s veličiou SX uvedeou v kapitole Když spočítáme pomocí gamma fukce ormovací kostatu S, dostaeme hustotu ) fs) = Γ ) s 3 e s µ {s>0} µ Hustota áhodé veličiy X = )S µ je podle věty o trasformaci ) fx) = Γ + ) x 3 e x µ µ ) 3 µ {x>0} = Γ µ )x e x {x>0}, tj hustota áhodé veličiy S X ) σ, která má χ rozděleí Tedy hustota S je hustota χ rozděleí po lieárí trasformaci 5 Rozděleí S Odvod me dále podle Studet 908) rozděleí S pomocí věty o trasformaci Hustota veličiy S je fx) x 3 e x µ a Y := S Necht tx) := S, pak iverzí zobrazeí je τy) = y a τ y) = y Pak fy) y e y µ {y>0} = y e y µ {y>0} Normovací kostata se ajde itegrací ezormovaé hustoty Necht Potom I p = µ I p := [ ] x p e x µ + µ p ) x=0 jelikož sčítaec je ula Idukcí dostaeme Ale I 0 = Tedy 0 I = { µ ) 3 µ 0 x p e x µ dx ) 0 x p e x µ dx = µ p )I p, 3) 5) 3I 0 pro sudé, ) 3 3) 5) 4I pro liché e x πµ µ dx = a I = I = c = { π µ µ ) 0 xe x µ dx = µ [ ] e x µ x=0 ) 3) 5) 3 pro sudé, 3) 5) 4 pro liché Nakoec zaměíme µ za σ a výsledá hustota S vypadá ásledově ) 3) 5) 3 π σ fx) = x e x σ {x>0} pro sudé, ) σ x e x σ {x>0} pro liché 3) 5) 4 = µ )
16 6 Normovací kostata V ) byla počítáa kostata metodou per partes My to umíme spočítat jedodušeji, a to pomocí substituce z = y µ, která pak povede a gamma fukci = c 0 = c 3 x e x µ dy = c µ Γ 3 µ 3 z 0 ) Z toho plye, že ormovací kostata je e z dz c = Γ ) 3 σ ) 7 Rozděleí T S = X S Odvodili jsme hustotu směrodaté odchylky S: f S s) s e s σ {s>0} Dále x e σ πσ záme hustotu veličiy X, což je rozděleí průměru: f Xx) = Ted odvodíme, stejým způsobem jako Studet 908), hustotu veličiy T S = X pomocí podmíěé hustoty Hustotu T S S lze vyjádřit jako f TS t) = f S,TS s,t)ds = f TS S=st)f S s)ds Prví rovost plye z toho, že margiálí hustotu dostaeme itegrováím sdružeé hustoty podle přebytečé proměé a druhá rovost plye z defiice podmiňováí Studet 908) uvádí, že jelikož X = T s S a dx = sdt, hustota f TS S=st) vypadá takto s f TS S=st) = s t πσ e σ Pak ft) = = = 0 0 s s t πσ e σ cs e s σ ds c πσ y e y σ + t ) ds c πσ I + t ) = πσ I I + t ) kde I je defiováo v ), c = I z rovice ) a v prví rovosti jsme udělali substituci + t ) / s = y Dosazeím I a I dostaeme výsledou hustotu T S : { ) 4) 4 π 3) 5) 3 ft) = + t ) pro sudé, ) 4) 3 + 3) 5) 4 t ) pro liché Tato hustota je ezávislá a σ, čehož jsme chtěli dosáhout,
17 Pokud spočítáme ormovací kostatu hustoty T S pomocí Beta fukce, dostaeme hustotu Γ ) ft) = Γ ) + t ) π Abychom ze statistiky T S dostali statistiku ), používaou při jedovýběrových testech, provedeme lieárí trasformací T = T S a dostaeme hustotu t rozděleí 3
18 Kapitola 3 Welchova statistika V kapitole jsme již astíili dvouvýběrový problém s estejými rozptyly a yí se blíže podíváme a postup, který avrhl Welch 938) Necht X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ ) a Y,,Y je áhodý výběr z Nµ,σ ) a echt jsou avzájem ezávislé Předpokládejme, že, a σ > 0, σ > 0 jsou ezámé Dle věty 5 je X Ȳ µ µ ) σ + σ N0,) V kapitole jsme ezámý rozptyl odhadovali výběrovým rozptylem Zde stejě ahradíme rozptyly jejich odhady a dostaeme Welchovu statistiku V = S X X Ȳ + S Y 3) Čitatel má N0, σ + σ ) rozděleí, X Ȳ a S X + S Y jsou ezávislé, proto statistika 3) bude mít t rozděleí podle věty, pokud jmeovatel bude mít χ rozděleí Všiměme si, že pro = jsou kritéria 3) a 3) stejá 3 Rozděleí V V této části ukážeme aproximaci rozděleí testové statistiky 3) tak, jak postupoval Welch 938) Za platosti H 0 : µ = µ můžeme obecě psát: U = η = S X ) σ X Ȳ, σ + σ, η = S Y ), σ kde U N0,), η a η mají rozděleí χ s a stupi volosti a všechy tři áhodé veličiy jsou ezávislé Pak můžeme 3) psát jako V = U aη + bη =: U W, 3) 4
19 kde a, b jsou kostaty závisející a, a σ, σ Pokud a = b, ebo bud a ebo b jsou rovy ule, W má rozděleí χ vyásobeé ějakou kostatou V takovém případě má 3) t rozděleí vyásobeé kostatou Pro jié hodoty a, b to eí tak jedoduché Welch 938) avrhl ásledující aproximaci hustotou ásobku χ rozděleí fw) = g) f Γ )w f e w g {w>0}, 33) f kde f a g jsou zvoley tak, aby prví dva momety souhlasily s momety W Pro hustotu platí µ = gf, µ = g f, ebot je to hustota χ f rozděleí vyásobeá kostatou g Pro momety W platí µ = af + bf, µ = a f + b f ), kde místo a píšeme f a f Porováím prvích dvou mometů zjistíme, že g = a f + b f, f = af + bf ) 34) af + bf a f + b f Z 33) vidíme, že W g χ U f, U a W jsou ezávislé, tudíž z věty W fg a tedy z 3) dostaeme, že Z ct f, kde c = fg = af + bf, t f a t f je t rozděleí o f stupích volosti, kde f dáo rovicí 34) Z rovic 34) vypočteme: a = f = σ ) σ + σ ), b = ) σ + σ σ 4 ) + σ4 ) σ ) σ + σ ),, c = 35) Odvodili jsme, že statistika 3) má přibližě t rozděleí o f stupích volosti, kde ) σ + σ f = σ 4 ) + σ4 ) 5
20 3 Hladia testu T V této sekci budeme porovávat statistiky 3) a 3) a příkladech V kapitole jsme spočítali, že statistika 3) má t-rozděleí o + stupích volosti Nyí spočítáme kostaty a, b, f, c i pro statistiku T 3) a dostaeme počet stupňů volosti i pro případ estejých rozptylů ) ) σ + σ + a = ), b = ), σ + ) + σ σ + ) + σ f = [σ ) + σ )] σ 4 ) + σ 4 ), c = ) σ + ) + σ ) + [σ ) + σ )] 36) Všiměme si, že pokud jsou rozptyly stejé, f se z 36) zjedoduší a +, což souhlasí s tím, co jsme odvodili v kapitole Testujeme H 0 : µ = µ proti H : µ µ Necht pravděpodobost chyby prvího druhu je α Pokud předpokládáme, že σ = σ, z tabulek pro t rozděleí ajdeme kritickou hodotu, pro kterou P T > t +, α ) = α Pokud σ σ, test edodržuje hladiu α Máme P ) ) T > t +, α = P ctf > t +, α = P t f > t ) +, α, c 37) kde c a f jsou dáy rovicí 36) Vzhledem ke vztahu ) můžeme psát P t f > t 0 ) = I f f, ) Tudíž z rovice 37) je f+t 0 P T > t +, α ) = I z 0 f, ), kde z 0 = f f + t +, α c Pro daé velikosti výběrů c a f závisejí je a podílu θ = σ /σ a z předchozí rovice můžeme pro každé θ spočítat pravděpodobost chyby druhu Závislost a θ je ejlépe vidět a ásledujících příkladech, které uvádí Welch 938) Příklad Necht = = 0 a α = 005 Zde je + = 8 a t 8;0975 = 0 V případech, kdy =, c se vždy rová jedé Hodoty P T > t f,0975 ) pro růzé θ se dají zjistit umerickou itegrací a jsou zaesey v grafu 3 jako křivka a) graf vykresle v programu Wolfram Mathematica) Je vidět, že pravděpodobost chyby druhu vždy leží mezi 005 a 0065 Vyšší hodoty jsou dosažey, pokud rozptyl jedoho z výběru je rove ule Z toho plye, že test 3) dodržuje hladiu α 6
21 krivka a krivka b krivka c Θ Obrázek 3: Pravděpodobost chyby druhu v závislosti a θ = σ σ Příklad Necht = 5, = 5, α = 005 Opět spočítáme + = 8 a t 8;0975 = 0 Rovice 36) dává f = 4θ + 4) 4θ + 4, c = 83θ + ) 44θ + 4) P T > t f,0975 ) je yí vyobrazea v 3 jako křivka b) Je vidět, že pravděpodobost chyby druhu je mezi 0004 pro θ = 0, a 005 pro θ = Pak roste k 033, když θ Může tedy astat případ, ve kterém test edodrží hladiu α Podle Welch 938) důvodem eí ai tak fakt, že f může být o hodě vyšší ež 8, ale že c může být o hodě vyšší ež Obecě, čím větší rozdíly mezi a, tím více bude T 3) edodržovat hladiu testu Pro stejě velké výběry test založeý a statistice 3) dodrží hladiu vždy, at je θ jakékoli 33 Hladia Welchova testu V Proved me yí obdobý rozbor pro Welchovu statistiku V Pro = se statistiky T a V rovají, tedy opět dostaeme křivku a) Příklad 3 Proberme případ = 5, = 5, α = 005 Z 35) Vypočteme f = 83θ + ) 63θ +, c = Nyí je P V > t f,0975 ) zázorěa v 3 jako křivka c) Pro θ meší ež / pravděpodobost chyby druhu klesá od 0054 k 005 Pro vyšší θ opět roste do 004 pro θ ) Je vidět, že test V dodržuje hladiu α a důvod je te, že c je vždy jeda Pokud máme jistotu, že se rozptyly rovají, je lepší použít T ež V Pokud je rovost rozptylů ejistá, je bezpečější použít V, protože T může vést ke klamým výsledkům 7
22 Kapitola 4 Satterthwaitova statistika Stejě jako Welch 938), Satterthwaite 94) odvodil test, který se používá a testováí dvou výběrů s estejými rozptyly Vezmeme si, jako v kapitole 3, statistiku 3) V = S X X Ȳ + S Y a aproximujme její rozděleí Ozačme σb = var X Ȳ ) = σ + σ a SB jeho odhad, tedy S B = S X + S Y Aby V mělo t rozděleí, muselo by SB mít χ rozděleí Ale taková situace eastae V jedovýběrovém testu jsme měli )SX χ σ Chtěli bychom stejě určit f, aby fsb χ σ f B Budeme předpokládat, že fsb χ σ f B ) fs Pak f = var B = f var S σb σb 4 B Tudíž takže f = var S σb 4 B = var σb 4 S X Jelikož SX a S Y jsou ezávislé, f = var S σb 4 X + var S Y ) + S Y Dále víme, že ) S ) = var X ) = ) var SX, Potom σ σ 4 ) var S X = σ4 a aalogicky var S Y = σ4 var SB = σ 4 + σ 4 8
23 Z toho spočítáme f: f = σ B σ 4 ) + σ4 ) = σ + σ ) σ 4 ) + σ4 ) 4) a tedy vyjde, že statistika 3) má přibližě t rozděleí o f stupích volosti, kde ) σ + σ f = σ 4 ) + σ4 ) 9
24 Kapitola 5 Dvouvýběrový test při estejých rozptylech V kapitolách 3 a 4 jsme odvodili statistiku 3), která má přibližě t f rozděleí, kde ) σ + σ f = 5) σ 4 ) + σ4 ) Chceme testovat hypotézu H 0 : µ = µ proti H : µ µ Ale rozptyly σ a σ jsou ezámé Budeme se zabývat otázkou, jak v rovici 5) odhadout rozptyly 5 Satterwaithův test Satterthwaite 94) odhadl rozptyly σ, σ odhady SX a S Y a vyšlo estraými a kozistetími f S = S X + S Y ) SX 4 + S4 Y ) ) 5) Takže pokud testujeme rovost středích hodot, spočteme statistiku 3), porováme s hodotou t fs, α/, kde f S je dáo 5) a pokud V t fs, α/, zamítáme hypotézu H 0 a hladiě α 5 Welchův test Welch 947) použil jiý přístup Využil odhadu f W = S X + S Y ) SX 4 + S4 Y +) +) = S X + S Y ) ) S 4 X + S4 Y +) +) SX 4 + S4 Y +) +) 53) Welchova volba vychází z úvahy, že čitatel 53) je estraým odhadem čitatele 5) a jmeovatel 53) je estraým odhadem jmeovatele 5) 0
25 Dokažme, že tomu tak je Jelikož S X ) σ Aalogicky ) S E SX 4 = E X ) σ = = σ χ, σ 4 ) E σ 4 ) [ ) + )] = σ4 + ) Tedy středí hodota čitatele 53 je E S 4 Y = σ4 + ) S X ) ) S ) E X + S Y SX 4 E + ) + SY 4 + ) = E S X 4 + E SX E SY + E S 4 Y + ) E S4 X + ) E S4 Y = σ 4 + ) + σ σ + σ 4 + ) σ 4 + ) σ 4 + ) + ) + ) ) = σ4 + σ σ + σ4 σ = + σ A středí hodota jmeovatele 53 je ) SX 4 E ) + SY 4 σ = 4 + ) ) + ) ) + σ 4 + ) + ) ) σ 4 = ) + σ 4 ), čímž jsme potvrdili oprávěost Welchovy aproximace 53 Testujeme-li rovost středích hodot dle Welch 947), spočteme statistiku 3), porováme s hodotou t fw, α/, kde f W je dáo 53) a pokud V t fw, α/, zamítáme hypotézu H 0 a hladiě α σ ) 53 Shrutí Welch 938) a Satterthwaite 94) odvodili statistiku 3) každý jiým způsobem, ale obdrželi stejou statistiku a stejý teoretický počet stupňů volosti 5) Způsob, jakým je odhadli, už byl ale jiý Obrázek 5 tyto dva postupy porovává Vezmeme příklad, kde = 5, = 5 a α = 005 Numericky spočítáme pravděpodobost chyby druhu a dostaeme graf, ve kterém Welchův odhad je křivka w) a Satterthwaitův je křivka s)
26 krivka s krivka w Obrázek 5: Pravděpodobost chyby druhu v závislosti a θ = σ σ Podíváme-li se do programu R, ajdeme, že dvouvýběrový test se azývá Welchův Když se ale podíváme do zdrojového kódu, zjistíme, že R používá odhad Satterthwaitův 5) V programu SAS je apsáo, že používá Satterthwaitův test, tedy opět 5) Dalo by se tedy říci, že se spíše používá statistika 3) s 5) stupi volosti, ale už eí jedoté pojmeováí tohoto testu
27 Kapitola 6 Párový test při chybějících datech Welchův postup použijeme v této kapitole a párový t test, ve kterém chybějí ěkterá data Běžě použijeme párový test v případě, že každá hodota z prví sady dat má přirozeého partera ve druhé sadě Tedy pokud jsou data získaá před a po ějaké maipulaci s objektem, apříklad před a po aplikaci léku, ebo pokud porováváme dvě růzé metody a stejém objektu, apříklad měřeí veličiy použitím dvou růzých přístrojů My si yí ukážeme případ, kdy máme spárovaá data, ale ěkterá jsme emohli změřit Mohli bychom použít dvouvýběrový test, ale to eí dobrý způsob, protože data ejsou ezávislá Také bychom přebytečá data mohli vyechat, ale to bychom se připravili o ceé iformace 6 Model Necht X,,X je áhodý výběr z Nµ,σ ) a Y,,Y je áhodý výběr z Nµ,σ ), kde, > 4 a ezáme σ > 0, σ > 0 Dále z ich vybereme m > veliči tak, že X,Y ),,X m,y m ) jsou spárovaé veličiy Pak X,,X k a Y,,Y l, k, l >, jsou samostaté veličiy ezávislé a těchto párech a také ezávislé a sobě Dále budeme předpokládat, že chybějící data chybí áhodě Nejdříve si vytvoříme veličiy Z i := X i Y i, i =,,m, tedy rozdíly, které mají ormálí rozděleí se středí hodotou µ µ a rozptylem: varx i Y i ) = var X i + var Y i covx i,y i ) = σ + σ σ σ ρ, kde ρ = corrx i,y i ) Tedy Z,,Z m Nµ µ,σ + σ σ σ ρ) Středí hodota a rozptyl průměru Z m = X m i Y i ) jsou ) E Z m = E X i Y i ) = m m m E X i Y i ) = µ µ, 3
28 var Z = m m varx i Y i ) + m = σ + σ σ σ ρ, m m m covx i Y i,x j Y j ) protože z ezávislosti X i, X j, i j a z ezávislosti X i, Y j, i j plye m m covx i Y i,x j Y j ) = j= i j = m j= i j m covx i,x j ) + covy i,y j ) covy i,x j ) covx i,y j )) = 0 j= i j 6 Testová statistika Situaci jsme převedli a ásledující model: X,,X k je áhodý výběr z Nµ,σ), Y,,Y l je áhodý výběr z Nµ,σ) a Z,,Z m je áhodý výběr z Nµ µ,σ + σ σ σ ρ) Tyto tři výběry jsou avzájem ezávislé Ozačme σ3 := σ + σ σ σ ρ Jelikož X Ȳ + Z σ k + σ l + σ 3 m N0,), odhademe rozptyly σ, σ, σ3 opět jejich výběrovými rozptyly SX, S Y, S Z a dostaeme statistiku X R = Ȳ + Z 6) SXk + S + Yl S Zm Pokud jmeovatel bude mít χ t rozděleí z věty rozděleí, pak testová statistika R bude mít 63 Rozděleí R Odvodíme přibližé rozděleí statistiky 6 Jelikož postup kopíruje postup v kapitole 3, ebudeme už ho ukazovat celý, je azačíme kroky, ve kterých se liší Necht η = S X U = k ), η σ = S Y X Ȳ + Z σ k + σ l + σ 3 m, l ), η σ 3 = S Z m ) σ3 kde U N0,), η, η, η 3 mají rozděleí χ s k, l a m stupi volosti a všechy veličiy jsou ezávislé Pak 6) můžeme psát jako R = U aη + bη + cη 3 =: U W, 6) 4
29 kde a, b, c jsou kostaty závisející a k, l, m a σ i, i =,,3 Opět použijeme aproximaci hustotou 33), jejíž momety musí souhlasit s momety 6) Pro momety W platí µ = af + bf + cf 3, µ = a f + b f + c f 3 ), kde místo k, l, m píšeme f, f, f 3 Porováím mometů zjistíme, že g = a f + b f + c f 3 af + bf + cf 3, f = af + bf + cf 3 ) a f + b f + c f 3 63) Z 6) dostáváme, že Z ct f, kde c = fg = af + bf + cf 3, a t f má t rozděleí o f stupích volosti, kde f se spočítá z rovic 63): a = σ kk ) σ + σ k l + σ 3 m ), b = σ ll ) σ + σ k l + σ 3 m ), c = σ 3 mm ) σ + σ k l + σ 3 m ), f = ) σ + σ k l + σ 3 m σ 4 k k ) + σ4 l l ) + σ4 3 m m ), c = 64) Nyí potřebujeme ahradit ezámé rozptyly Můžeme použít dva způsoby, které jsme si uvedli v kapitole 5 Zde uvedeme postup, který ukázal Satterthwaite 94), tedy místo ezámých rozptylů σ, σ, σ3 dosadíme do rovice 64) výběrové rozptyly SX, S Y, S Z Víme, že X R = Ȳ + Z SX k + S Y l + S Z m má přibližě t rozděleí o f R stupích volosti, kde f R = S X k + S Y l + S Z m ) S 4 X k k ) + S4 Y + l l ) S4 Z m m ) Máme testovat H 0 : µ = µ proti H : µ µ Pokud R t fr, zamíteme hypotézu H 0 a hladiě α 5
30 Závěr Na závěr uvedeme přehled testů, které jsme v této práci odvodili Test Studetův, Welchův a Satterwaithův jsou běžě používaé dešími statistiky Sezam těchto tradičích testů je rozšíře o test se statistikou R, což je speciálí případ párového testu s chybějícími daty Byl odvoze podobým způsobem, jako Welch 938) odvodil svůj test V tabulce 6 vždy testujeme H 0 : µ = µ proti H : µ µ V prvím sloupci je uvedeo, jaký model testujeme V dalším je statistika, která má vždy t f rozděleí, kde f je ve třetím sloupci Pro zkráceí je v posledím řádku substituováo µ 3 = µ µ, σ 3 = σ + σ ρσ σ Model Statistika f X,,X Nµ,σ ) X Ȳ T = Y S X )+S Y ) ),,Y Nµ,σ ) X,,X Nµ,σ) Y,,Y Nµ,σ) Satterthwaitův test X,,X Nµ,σ) Y,,Y Nµ,σ) Welchův test X,,X k Nµ,σ) Y,,Y l Nµ,σ) Z,,Z k Nµ 3,σ3) V = V = R = X Ȳ S X + S Y X Ȳ S X + S Y X Ȳ + Z S X k + S Y l + S Z m ) S X + S Y S X 4 + S4 Y ) ) ) S X + S Y S X 4 + S4 Y +) ) S X k + S Y l + S Z m +) S X 4 k + S4 Y k ) l + S4 Z l ) m m ) Tabulka 6: Tabulka pro dvouvýběrové testy 6
31 Literatura Aděl, J 998) Statistické metody Druhé přepracovaé vydáí Matfyzpress, Praha ISBN Aděl, J 0) Základy matematické statistiky Třetí vydáí Matfyzpress, Praha ISBN Satterthwaite, F 94) Sythesis of variace Psychometrika, 6, Studet 908) O the probable error of the mea Biometrika, 6, 5 Welch, B 938) The sigificace of the differece betwee two meas whe the populatio variaces are uequal Biometrika, 9, Welch, B 947) The geeralizatio of Studet s problem whe several differet populatio variaces are ivolved Biometrika, 34,
12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michaela Kurková Dvouvýběrový T-test v případě estejých rozptylů Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Uiverzita Karlova v raze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ RÁCE avel ejřimovský rofilová věrohodost Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce : Studijí program : Studijí
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceBc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin
Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
VícePoznÁmky k přednášce
NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceNMSA331 Matematická statistika 1
NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
Více7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace
7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
VíceSeriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření
Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
VícePřednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ
PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT
Více