Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Transkript

1 Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program: Studijí obor: RNDr. Fratišek Moša, Dr. Specializace v pedagogice Matematika se zaměřeím a vzděláváí a techická a iformačí výchova se zaměřeím a vzděláváí Praha 203

2 Na tomto místě bych ráda poděkovala RNDr. Fratišku Mošovi, Dr., vedoucímu mé bakalářské práce. Především za odboré vedeí, věovaý čas a ceé rady. Děkuji také svým rodičům, kteří mě vždy podporovali ve studiu.

3 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů, literatury a dalších odborých zdrojů. Beru a vědomí, že se a moji práci vztahují práva a poviosti vyplývající ze zákoa č. 2/2000 Sb., autorského zákoa v platém zěí, zejméa skutečost, že Uiverzita Karlova v Praze má právo a uzavřeí licečí smlouvy o užití této práce jako školího díla podle 60 odst. autorského zákoa. V Praze de Bc. Barbora Šimková

4 Název práce: Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Autor: Bc. Barbora Šimková Katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Fratišek Moša, Dr. Abstrakt: Předmětem této bakalářské práce je porováí základích metod, kterými je možé spočítat bodové odhady spojitých a diskrétích pravděpodobostích rozděleí. Práce se zabývá rozborem dvou metod, jedá se o mometovou metodu a metodu maximálí věrohodosti. Tyto metody se používají pro odhad bodových parametrů pravděpodobostích rozděleí. Mometovou metodou rozumíme porováí teoretických a výběrových mometů áhodé veličiy. Metodu maximálí věrohodosti bereme jako další alterativu při výpočtech bodových odhadů, která využívá klasický postup hledáí maxima fukce s využitím vlastostí áhodého výběru. Způsoby výpočtů vychází ze statistických metod a mohly by být vhodé pro rozšířeí výuky základího kurzu pravděpodobosti a statistiky a PedF UK. Práce je přehledem odhadů parametrů základích distribucí a srováí kvality dvou základích metod pro jejich určeí. Klíčová slova: odhady parametrů, rozděleí áhodé veličiy, metoda maximálí věrohodosti, mometová metoda Title: Parameter estimatio of radom variables distributio Author: Bc. Barbora Šimková Departmet: Departmet of Mathematics ad Mathematical Educatio Supervisor: RNDr. Fratišek Moša, Dr. Abstract: The subject of this thesis is to compare basic methods by which it is possible to calculate poit estimates of discrete ad cotiuous probability distributios. The work deals with the aalysis of the two methods - the method of momets ad maximum likelihood method. These methods are used for poit estimates of probability distributios parameters. The method of momets studies the compariso betwee the theoretical ad sample momets of a radom variable. The method of maximum likelihood is aother alterative for the calculatio of poit estimates, which uses the classical approach of fidig the maximum of a fuctio, usig the properties of radom selectio. These methods of calculatio are based o statistical methods ad could be useful for extedig the basic course o probability ad statistics at Charles Uiversity s Faculty of Educatio. The work is a overview of the estimated parameters of the basic distributio ad compares the quality of two basic methods for their estimatio. Keywords: parameter estimatio, distributio of radom variables, maximum likelihood method, method of momets

5 Obsah Úvod 3 Základí pojmy 5 2 Metody bodového odhadu v parametrických modelech 2. Bodové odhady parametrů Metody hledáí bodových odhadů Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Bodové odhady pro růzá spojitá rozděleí 5 3. Normálí rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Vlastosti odhadů Gama rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Logaritmicko-ormálí rozděleí Expoeciálí rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Vlastosti odhadů Rovoměré rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Vlastosti odhadů Bodové odhady pro růzá diskrétí rozděleí Geometrické rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Vlastosti odhadů Poissoovo rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Vlastosti odhadů Biomické rozděleí Mometová metoda Metoda maximálí věrohodosti Vlastosti odhadů Přehled bododových odhadů 34 Závěr 37

6 Sezam použité literatury 38 2

7 Úvod V současém světě se setkáváme se statistikou, jejími důsledky a aplikacemi prakticky každý de. Ať už při studiu, v zaměstáí, při čteí deího tisku, při výběru hypotéky ebo při vybíráí dovoleé. Statistika ám pomáhá pochopit vztahy ás obklopující apříč vědími obory. Nejčastěji je spojováa s matematikou, fyzikou, iformatikou a ekoomií. Neméě ji využívají i humaití obory jako je psychologie a sociologie. Statistika je aprosto epostradatelou součástí aší společosti a bude tomu tak i v budoucu. Úkolem této bakalářské práce je pro účely výuky základího kurzu pravděpodobosti a statistiky a PedF UK podrobě zpracovat a a datech replikovat statistické odhady a jejich vlastosti pro určitá pravděpodobostí rozděleí s využitím statistických metod. Metody použité v této práci se aplikují pro odhadováí parametrů áhodých veliči a vektorů v široké škále reálých statistických, ekoomických, geografických, pojišťovických a dalších problémů. Prví kapitola popisuje základí pojmy z pravděpodobosti rozděleí jako áhodé veličiy, základí druhy pravděpodobostích rozděleí a podroběji defiuje ta rozděleí, které budou používáa v dalších kapitolách, pomocí jejich hustoty ebo pravděpodobostí fukce i s jejich základími momety. Klíčovými pojmy matematické statistiky jsou áhodý výběr, parametrický model, bodový odhad parametru a jeho vlastosti, které jsou ve statistické části této kapitoly. Defiice pojmů jsme čerpali hlavě z [] a [7]. Ve druhé kapitole této práce se zaměříme a teoretické odvozeí výpočtů bodových odhadů metodami, které jsou používaé pro odhadováí bodových parametrů v parametrických modelech. K odhadu parametrů budeme používat metodu maximálí věrohodosti maximum-likelihood estimatio a metodu mometů method of momets. Pro obě tyto metody sepíšeme předpoklady pro jejich použití a podrobý postup výpočtu. Vysvětlíme zde výběrové a teoretické momety áhodých veliči, věrohodostí fukci a způsob alezeí maximálě věrohodého odhadu. Po vysvětleí teoretické a popisé stráky daé oblasti se budeme ve třetí kapitole věovat výpočtu odhadů bodových parametrů áhodého výběru spojitých pravděpodobostích rozděleí. Dále je zde uvede postup ověřeí základích vlastostí jedotlivých odhadů a jejich ásledé srováí. Ve výpočtech požadovaých odhadů jsme uvažovali pouze áhodé výběry o rozsahu, jejichž áhodé veličiy mají spojité rozděleí ormálí, gamma a logaritmickoormálí rozděleí. Čtvrtá kapitola bude věovaá diskrétím pravděpodobostím rozděleím, přesěji geometrickému rozděleí, Poissoovu rozděleí a biomickému rozděleí. Pro tyto rozděleí odhademe jejich parametry metodou mometů a metodou maximálí věrohodosti a ověříme vlastosti těchto odhadů. 3

8 V páté kapitole uvedeme přehled všech odhadů parametrů včetě jejich vlastostí, které jsme v bakalářské práci spočítali. 4

9 . Základí pojmy V této kapitole uvedeme ěkteré pojmy z pravděpodobosti a statistiky, které budeme používat v dalších částech práce. Vysvětlíme si zde, co je áhodá veličia, jak se popisuje její rozděleí, uvedeme ěkteré druhy pravděpodobostích rozděleí, a to jak spojitých, tak i diskrétích áhodých veliči a k im jejich dva hlaví momety. Ze statistiky si defiujeme pojmy áhodý výběr, parametrický model, výběrový prostor, bodový odhad, vlastosti bodového odhadu a další. Předpokládáme, že čteář je již sezáme se základími pojmy z matematické aalýzy, pravděpodobosti a matematické statistiky. Vycházíme přitom ze zdrojů: [], [2], [4], [6] a [7]. Náhodá veličia Nechť je dá pravděpodobostí prostor Ω, A, P. Měřitelé zobrazeí X : Ω, A X, B, kde X je ějaká možia a B ějaká σ-algebra a X, azveme áhodou veličiou. Možiu X azýváme výběrový prostor [4]. Rozděleí áhodé veličiy Rozděleím áhodé veličiy X : Ω, A X, B rozumíme idukovaou pravděpodobostí míru P X a X, B defiovaou vztahem P X B = P {ω Ω : X ω B}, B B. Pravděpodobostí prostor Ω, A, P se pro daou áhodou veličiu trasformuje a pravděpodobostí prostor X, B, P X [4]. Hustota Nechť X : Ω, A X, B je áhodá veličia, echť µ je σ-koečá míra a X a echť P X je absolutě spojitá vzhledem k µ. Pak existuje reálá měřitelá ezáporá fukce f X x taková, že pro každou měřitelou fukci h : X, B R, B 0 platí h x dp X x = h x f X x dµ x. X X Fukce f X x je určea jedozačě µ-skoro všude [4]. Tato věta se ěkdy azývá Rado-Nikodymova věta a fukce f X z předchozí věty se azývá hustotou áhodé veličiy X vzhledem k míře µ a dále ji v textu budeme začit f x. Distribučí fukce Fukci F X : R R defiovaou vztahem F X x = P [X x] azýváme distribučí fukcí áhodé veličiy X. Distribučí fukce F X jedozačě charakterizuje rozděleí X viz [4]. 5

10 Druhy áhodých veliči Náhodé veličiy dělíme a růzé druhy. V matematické statistice mají ejdůležitější uplatěí ásledující dva typy rozděleí. Pokud P X je absolutě spojitá vzhledem k Lebesgueově míře λ, tak X je spojitá áhodá veličia, je-li P X je absolutě spojitá vzhledem k čítací míře µ S, kde S je ejvýše spočetá možia v R, tak áhodá veličia X je diskrétí áhodá veličia více v literatuře [4]. U spojité áhodé veličiy platí F X x = f X t d t. Pro diskrétí áhod- P [X = t] v [4]. é veličiy s hodotami v S máme F X x = Momety áhodé veličiy x t S,t x Středí hodotou EX reálé áhodé veličiy X rozumíme reálé číslo daé výrazem EX = X ω dp X ω, Ω pokud itegrál a pravé straě existuje [4]. V práci budeme středí hodotu začit µ ebo EX. Rozptyl VarX áhodé veličiy X je její druhý cetrálí momet. Je defiová ásledujícím vzorcem VarX = E X EX 2 [4] a budeme ho začit podle potřeby σ 2 ebo VarX. Pravděpodobostí rozděleí V práci se zaměřujeme pouze a áhodé veličiy se spojitým ebo diskrétím rozděleím spojité ebo diskrétí áhodé veličiy a yí si ěkteré defiujeme pomocí jejich hustot, či pravděpodobostích fukcí. Předpokládáme, že P X je absolutě spojitá vzhledem k Lebesgueově míře λ u spojitých áhodých veliči a absolutě spojitá vzhledem k čítací míře µ S u diskrétích áhodých veliči. Spojitá rozděleí Nyí si zadefiujeme ěkterá spojitá rozděleí se kterými budeme později pracovat. Defiice spojitých rozděleí jsme čerpali z []. Expoeciálí rozděleí Nechť λ > 0 je parametr. Expoeciálí rozděleí, které začíme Exλ má hustotu fx = [ λ exp x ], x > 0. λ Má středí hodotu µ = λ a rozptyl σ 2 = λ 2. Expoeciálí fukci v textu začíme buď exp [x] ebo e x. 6

11 Spojité rovoměré rozděleí Nechť µ h, h + µ je koečý edegerovaý iterval. Rovoměré rozděleí Rµ h, h + µ má hustotu a platí pro ěj µ = µ, σ 2 = h2 3. Gama rozděleí fx =, pro µ h < x < µ + h, 2h Nechť a > 0, p > 0. Gama rozděleí Gaa, p má hustotu fx = ap Γ p e ax x p, x > 0 a platí, že středí hodota je µ = p a a rozptyl σ2 = p a 2. Normálí rozděleí Nechť µ R, σ 2 > 0 jsou daé kostaty parametry. Normálí rozděleí je určeo hustotou [ ] fx = x µ2 exp 2πσ 2σ 2 a ozačuje se symbolem Nµ, σ 2 a platí, že středí hodota je µ, a rozptyl σ 2. Logaritmicko-ormálí rozděleí Nechť µ R a σ 2 > 0 jsou daé parametry. Hustota logaritmicko-ormálího rozděleí LNµ, σ 2 je defiováa ] l x µ2 f X x = exp [, pro x > 0. 2πσx 2σ 2 Dále platí, že středí hodota je µ σ2 µ+ = e 2 a rozptyl σ 2 = Diskrétí rozděleí Geometrické rozděleí e σ2 e 2µ+σ2. Geometrické rozděleí Gep má áhodá veličia X, která je dáa jako počet pokusů, které musíme provést, aby astal áhodý jev A, kde P A = p, 0 < p <. Náhodá veličia X mající geometrické rozděleí má pravděpodobostí fukci p, která je defiováa vztahem P X = k = p p k, k N. Pro základí číselé charakteristiky platí, že středí hodota je µ = a rozptyl p σ 2 = viz literatura []. p p 7

12 Poissoovo rozděleí Předpokládejme, že veličia X abývá pouze hodot 0,,..., a to s pravděpodobostmi P X = x = λx x! exp λ, x = 0,,..., kde λ > 0 je daé číslo. Pak říkáme, že X má Poissoovo rozděleí Poλ s parametrem λ. Platí, že středí hodota je µ = λ a rozptyl σ 2 = λ viz [7]. Biomické rozděleí Biomické rozděleí Bim, p má pravděpodobostí fukci m P X = x = p k p m x, x = 0,,..., m x a středí hodota je µ = mp a rozptyl σ 2 = mp p defiice je z [7]. Náhodý výběr Posloupost X, X 2,..., X ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s distribučí fukcí F 0 se azývá áhodý výběr z rozděleí F 0 [4]. Výběr pořizujeme proto, abychom se dozvěděli více o souboru dat, se kterými budeme pracovat. Budeme se soustředit a situaci, kdy budeme zát rozděleí souboru až a jede ebo více parametrů apř. víme, že máme áhodě rozděleé áhodé veličiy, ale ezáme jejich středí hodotu případě i rozptyl. Model a parametr Distribučí fukci F 0 ezáme. Chceme použít pozorováí X,..., X k tomu, abychom se o í ěco potřebého dozvěděli. O distribučí fukci F 0 však předpokládáme, že patří do ějaké možiy rozděleí F, které říkáme model pro data X,..., X. To, co se chceme o rozděleí F 0 dozvědět, azýváme parametr. Vždy se jedá o ějakou kostatu, kterou bychom uměli zjistit, kdybychom zali F 0. Obecě tedy parametr budeme zapisovat θ 0 t F 0, kde t je ějaký fukcioál. Obvykle je θ 0 R k pro k více o modelech v literatuře [4]. Parametrický model Možia F je možia všech rozděleí s hustotami tvaru f x; θ ebo pravděpodobostími fukcemi p x; θ pro θ Θ R k, kde f ; resp. p ; je zámá fukce a θ je ezámá kostata apř. všecha expoeciálí, ormálí, geometrická rozděleí. Tyto modely azýváme parametrické. Parametry, které chceme odhadovat, jsou fukce složek θ. Defiice je z [4], kde je parametrický model uvádě pouze pro rozděleí s hustotami. 8

13 Bodový odhad a jeho vlastosti Máme data X, X 2..., X, model F a parametr θ = t F pro F F, který chceme v daém modelu odhadout. Ozačme X = X,..., X T všecha data sestaveá do jedoho vektoru. Nechť F 0 F je skutečé rozděleí áhodé veličiy X i a θ 0 t F 0 je skutečá hodota hledaého parametru. Odhadem paremetru θ 0 t F 0 R k rozumíme libovolou měřitelou fukci dat θ T X T X,..., X z [4]. Jiými slovy ám tato defiice říká, že pro každou ovou realizaci výběru obdržíme jiý bodový odhad. Bodový odhad ebývá početě áročý a obvykle ho používáme v případě, je-li rozsah výběrového souboru vzhledem k rozsahu základího souboru dostatečě velký. Vlastosti bodového odhadu θ vypovídají o vhodosti použité statistiky k odhadu hodoty parametru θ. Dobrý bodový odhad musí splňovat určité vlastosti: estraost evychýleost, ezklesleost, kozisteci, vydatost eficiece a dostatečost. Nestraost Odhad θ T X azveme estraým odhadem ubiased estimator parametru θ 0, právě když E θ = θ 0 pro každé viz [4]. Jiak řečeo, bodový odhad parametru θ je estraý, jestliže jeho středí hodota se rová tomuto parametru. Nestraost říká, že odhad je v průměru rozumíme přes všechy možé výběry přesý. Slabší formou estraosti je asymptotická estraost. Řekeme, že odhad je asymptoticky estraý, pokud lim E θ = θ 0. Kozistece Odhad θ T X azveme kozistetím odhadem cosistet estimator parametru θ 0, právě když θ P θ 0 pro každé [4]. Začkou P chápeme kovergeci v pravděpodobosti k áhodé veličiě, která je defiováa ásledově: X P X pro lim [ X X > ε] = 0 pro ε > 0. Defiice kozistece ám říká, že odhad je kozistetí, pokud se s rostoucím rozsahem výběru zpřesňuje. Kozistece je asymptotická vlastost, která ic eříká o kvalitě odhadu při koečém. Postačující podmíky pro ověřeí kozistece dhadu θ defiujme ásledově. Nechť E θ 2 < pro každé přirozeé. Platí-li θ je estraý odhad ebo alespoň asymptoticky estaý odhad parametru θ a lim Var θ = 0. Pak θ je kozistetím odhadem parametru θ. Důkaz tohoto tvrzeí je uvede v []. 9

14 Vydatost Vydatý odhad efficiet estimator je takový odhad θ, který má ejmeší rozptyl ze všech estraých odhadů θ i parametru θ, tedy Var θ Var θ i, kde i =,..., l, kde l je počet estraých odhadů parametru θ viz literatura [2]. Dostatečost Odhad je dostatečý, pokud obsahuje veškerou iformaci o sledovaém parametru, kterou výběrový soubor poskytuje [2]. 0

15 2. Metody bodového odhadu v parametrických modelech 2. Bodové odhady parametrů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám áhodého výběru. Formulujeme tudíž úlohu, ve které hledáme odhady ezámých parametrů rozděleí. Předpokládáme, že je dá áhodý výběr X,..., X z rozděleí s hustotou f x, θ ebo pravděpodobostí fukcí p x, θ, kde θ = θ,..., θ m T jsou parametry rozděleí. Na základě hodot áhodého výběru odhadujeme parametry rozděleí. Odhad provádíme pomocí vhodě zvoleé fukce áhodého výběru. O takové úloze mluvíme jako o bodovém odhadu parametrů. 2.2 Metody hledáí bodových odhadů Pro kostrukci bodových odhadů se ejčastěji používají dvě metody, a to metoda maximálí věrohodosti maximum likelihood method a mometová metoda method of momets, jiak azývaá metoda mometů. U obou metod předpokládáme, že áhodé veličiy jsou spojité ebo diskrétí a budeme uvažovat parametrický model, kde máme áhodý výběr X = X,..., X z rozděleí s hustotou f x; θ či pravděpodobostí fukcí p x, θ, kde tvar fukce f ; ebo p ; je zámý a θ je ezámý vektorový parametr, jež leží v parametrickém prostoru Θ R m, m. Pro spojité áhodé veličiy pracujeme tedy s modelem F = {rozděleí s hustotou f x; θ, θ Θ R m }, pro diskrétí áhodé veličiy s modelem F = {rozděleí s pravděpodobostí fukcí p x; θ, θ Θ R m }. Při defiici modelu jsme vycházeli z [4] Mometová metoda Metoda je založea a porováí výběrových mometů s odpovídajícími teoretickými momety předpokládaého rozděleí pravděpodobosti. Využíváme faktu, že máme k dispozici kozistetí odhady mometů, což jsou výběrové momety, a že momety rozděleí X i obvykle umíme vyjádřit jako fukce ezámých parametrů [4].

16 Metologie Mějme áhodý výběr X = X,..., X o rozsahu z rozděleí ze třídy hustot {f x; θ : θ Θ R m }, či třídy pravděpodobostích fukcí {p x; θ : θ Θ R m } a hledáme odhad parametru θ = θ,..., θ m T Θ R m. Pro odhad jedorozměrého parametru stačí předpokládat, že existuje prvích m teoretických počátečích mometů, které jsou pro spojitou áhodou proměou defiováy µ k = E X k, k =,..., m. Počátečí momet prvího řádu µ je rove středí hodotě rozděleí EX. Pokud odhadujeme parametry porováím cetrálích mometů, musíme přidat další předpoklad a to existeci prvích m teoretických cetrálích mometů. Cetrálí momet k-tého řádu je defiová µ k = E X EX k, k =,..., m. Teoretický cetrálí momet druhého řádu je rove rozptylu rozděleí VarX. Je zřejmé, že momety jsou fukcemi θ, píšeme proto µ k = µ k θ a µ k = µ k θ. Pro porováí s teoretickými momety potřebujeme výběrové momety. Ozačme M k k-tý počátečí výběrový momet M k = X i k, k =,..., m. Prví počátečí výběrový momet M = X i = X azýváme výběrový průměr ěkdy též aritmetický průměr. Výběrový cetrálí momet M k k-tého řádu je defiová M k = Xi X k, k =,..., m. Druhý výběrový cetrálí momet M 2 = Xi X k je ozačová jako empirický rozptyl. Mometovou metodou chceme odhadout parametr θ = θ,..., θ m T tak, že budeme řešit soustavu rovic M k = µ k θ,..., θ m, k =,..., m, M k = µ k θ,..., θ m, k =,..., m. 2. Řešeím soustavy θ,..., θ k T azveme mometový odhad parametru θ, zřejmě θ i = θ i M,..., M m, i =,..., m. K odhadu je třeba získat tolik rovic, kolik odhadujeme ezámých parametrů rozděleí. Nestačí-li m rovic k jedozačému řešeí soustavy 2., přidáme další rovice pro k = m +, m + 2,... Výhodou mometové metody je její jedoduchost. Nevýhodou je často ízká eficiece velký rozptyl výsledých odhadů. Tyto odhady se ěkdy používají apř. jako počátečí aproximace pro jié odhadovací metody. 2

17 2.2.2 Metoda maximálí věrohodosti Metoda maximálí věrohodosti je obecá metoda pro kostrukci bodových odhadů parametrů. Používáme ji pro odhad parametrů, které určují rozděleí, apř. středí hodota a rozptyl ormálího rozděleí, pravděpodobost astoupeí jevu alterativího rozděleí apod. Pricip metody maximálí věrohodosti spočívá v tom, že za odhad ezámého parametru vezmeme tu jeho hodotu, ve které tzv. věrohodostí fukce abývá svého maxima viz literatura [6]. Vzorce pro metodu maximálí věrohodosti a postup výpočtu jsem čerpala z [4] a [7]. Metologie Předpokládejme, že áhodý výběr byl poříze z rozděleí, které je charakterizováo hustotou f x; θ ebo pravděpodobostí fukcí p x; θ. Sdružeá hustota áhodého výběru X = X,..., X je vzhledem k předpokládaé ezávislosti dáa předpisem f x, x 2,..., x ; θ = f x; θ = f x i ; θ a sdružeá pravděpodobostí fukce je p x, x 2,..., x ; θ = p x; θ = p x i ; θ, eboť složky áhodého výběru jsou ezávislé áhodé veličiy. Pokud vyšetřujeme sdružeou hustotu f x; θ jako fukci θ pro pevé x, azýváme ji věrohodostí fukcí a začíme ji symbolem L θ, tedy L θ = f X i ; θ. Aalogicky v případě disktétího rozděleí áhodého výběru charakterizovaého sdružeou pravděpodobostí fukcí p x; θ, defiujeme věrohodostí fukci jako L θ = p X i ; θ. Zpravidla je techicky výhodější a při praktických výpočtech se místo věrohodostí fukce pracuje s přirozeým logaritmem věrohodostí fukce. Logaritmická věrohodostí fukce je l θ = l L θ = l f X i ; θ, l θ = l L θ = l p X i ; θ, 3

18 přičemž tam, kde je f x = 0 ebo p x = 0, defiujeme l θ =. Věrohodostí fukce ebo logaritmická věrohodostí fukce je fukcí ezámého parametru θ, proto je yí aším úkolem ajít θ tak, aby se maximalizovala hodota věrohodostí fukce. Vyjádřeo vzorcem dostáváme θ = arg max L θ = arg max l θ. θ Θ θ Θ Teto odhad azýváme maximálě věrohodý odhad parametru θ maximum likelihood estimator. Tedy maximálě věrohodý odhad θ parametru θ je takový bod z Θ, který maximalizuje přes všechy θ Θ 0 sdružeou hustotu či sdružeou pravděpodobostí fukci spočítaou v pozorovaých hodotách X,..., X. Fukci l θ s proměou θ se sažíme maximalizovat, a proto ji budeme derivovat podle θ. Tyto výrazy upravíme a položímě rovy ule a řešíme vziklé rovice. Obecě tedy řešíme soustavu rovic, která je pro spojité áhodé veličiy aalogicky pro diskrétí áhodé veličiy θ l f X i ; θ = 0 θ l p X i ; θ = 0. Soustava se derivuje podle jedotlivých složek θ, protože θ = θ,, θ m T. Řešeí této soustavy se obvykle hledá umericky. Řešeí však emusí existovat a e každé řešeí je maximálě věrohodý odhad. 4

19 3. Bodové odhady pro růzá spojitá rozděleí V této části bakalářské práce se zaměříme a ěkterá spojitá pravděpodobostí rozděleí a odhademe jejich parametry. Nejprve mometovou metodou a ásledě metodou maximálí věhodosti, pokud tak lze učiit. Metody si ejdříve ukážeme a ormálím rozděleí, u kterého lze použít k odhadu jeho parametrů obě metody. Rozepíšeme podrobě postup výpočtu odhadů, který už u dalších rozděleí budeme zkracovat. 3. Normálí rozděleí 3.. Mometová metoda Je dá výběr X,..., X pocházející z ormálího rozděleí. Mometovou metodou odhademe parametry µ a σ 2. Hustota ormálího rozděleí je tvaru [ ] fx = x µ2 exp, kde µ R, σ 2 > 0. 2πσ 2σ 2 U tohoto rozděleí víme, že parametr µ je středí hodota, tj. počátečí teoretický momet prvího řádu a parametr σ 2 začí rozptyl, tedy teoretický cetrálí momet druhého řádu. Vyjádřeo matematicky počátečí momet prvího řádu ormálího rozděleí je µ µ, σ 2 = µ a cetrálí momet druhého řádu ormálího rozděleí je µ 2 µ, σ 2 = σ 2 Z druhé kapitoly víme, že prví počátečí výběrový momet M = X i = X a druhý cetrálí výběrový momet M 2 = Xi X 2. Řešíme tedy soustavu rovic M = µ µ, σ 2 M 2 = µ 2 µ, σ 2. 5

20 Po dosazeí dostáváme X = µ, Xi X 2 = σ 2. Odhad parametru θ = µ, σ 2 mometovou metodou je µ = X, σ 2 = Xi X Metoda maximálí věrohodosti Uvažujme opět áhodý výběr o rozsahu, tedy máme ezávislé, stejě rozděleé áhodé veličiy pocházející z ormálího rozděleí N µ, σ 2, v ěmž budeme odhadovat oba ezámé parametry µ a σ 2. Hustota ormálího rozděleí je [ ] fx = x µ2 exp, kde µ R, σ 2 > 0. 2πσ 2σ 2 Sdružeá hustota je ve tvaru fx, x 2,..., x ; µ, σ 2 = fx i ; µ, σ 2 = exp x i µ 2. 2πσ 2σ 2 Věrohodostí fukce je defiováa po dosazeí Lµ, σ 2 = fx i, µ, σ 2, Lµ, σ 2 = 2πσ exp [ X i µ ]. 2 2σ 2 Logaritmická věrohodostí fukce je defiováa jako po dosazeí dostáváme lµ, σ 2 = l lµ, σ 2 = l Lµ, σ 2, ] 2πσ exp [ X i µ 2. 2σ 2 Z vlastostí logaritmů víme, že logaritmus součiu je součet logaritmů jedotlivých čiitelů, upravíme si logaritmickou věrohodostí fukci a co ejjedodušší tvar tedy 6

21 l µ, σ 2 = l 2πσ 2 2 X i µ 2 = 2σ 2 = 2 l 2πσ 2 2σ 2 X i µ 2 = = 2 l σ2 l 2π 2σ 2 X i µ 2. Tuto věrohodostí fukci s proměými µ a σ 2 chceme maximalizovat, proto ji budeme derivovat ejprve podle µ a poté podle proměé σ 2. Je potřeba si uvědomit, že druhá parciálí derivace je podle σ 2. Derivováím dostáváme l µ, σ 2 µ = 2σ 2 2 X i µ = σ 2 l µ, σ 2 = σ 2 2 σ + 2 2σ 4 X i µ 2. X i µ Obě upraveé derivace si položíme rovo ule a vyjádříme si z ich odhady parametrů µ a σ 2. Z prví rovice úpravami získáme σ 2 X i µ = 0 X i µ = 0 µ = X i = X. 3. Z druhé rovice úpravami a dosazeím odhadu 3. získáme 2 σ σ 4 X i µ 2 = 0 X i µ 2 = 2 σ 4 2 σ 2 X i µ 2 = σ 2 σ 2 = Xi X 2. 7

22 Metodou maximálí věrohodoti dostáváme odhady parametrů µ a σ 2. µ = X, σ 2 = Xi X 2. Oběma metodami jsme dostali stejé odhady. Nyí se zaměříme a vlastosti těchto odhadů Vlastosti odhadů Z prví kapitoly víme, že bodové odhady mají své vlastosti, v této práci budeme věovat pozorost zejméa estraosti a kozisteci. Tyto vlastosti si ejdříve ověříme u odhadu středí hodoty, který je rove µ = X = X i a azývá se výběrový průměr. Nestraost Při zjišťováí této vlastosti, spočítáme středí hodotu odhadu µ, a tím ověříme, zda je odhad estraý či ikoliv. Využijeme přitom vlastost středí hodoty Ea + bx = a + bex, kde a, b R. E X = E X i = E X i = µ = µ, platí, že středí hodota odhadu se rová středí hodotě rozděleí a tedy výběrový průměr je estraým odhadem středí hodoty. Kozistece Tato vlastost se ověřuje pomocí zákoa velkých čísel a to ejlépe pomocí Chičiova slabého zákoa velkých čísel, který defiujme v ásledující větě. Nechť máme X,..., X posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s EX i = c <, kde c je kostata, potom X P c. V ašem případě máme áhodý výběr z ormálího rozděleí, což zaručuje stejě rozděleé áhodé veličiy, jehož prvky mají středí hodotu rovo ějaké kostatě µ, tím máme splěy předpoklady Chičiova slabého zákoa velkých čísel. Tedy výběrový průměr je kozistetím odhadem středí hodoty. Dostatečost a vydatost Výběrový průměr je dostatečým i vydatým odhadem středí hodoty, viz literatura [2]. 8

23 Následě určeme vlastosti empirického odhadu rozptylu, který ám vyšel σ 2 = Xi X 2. Nestraost Výpočet provádíme za pomoci vlastostí středí hodoty, které jsme využili při ověřováí estraosti výběrového průměru a dále faktu, že se jedá o ezávislé áhodé veličiy. Xi X 2 E σ 2 = E = E = E = E = E Xi 2 2 X i X + Xi 2 2 X 2 + X 2 = Xi 2 X 2 = E = EX 2 i 2 E X 2 i 2X i X + X 2 = X 2 = Xi 2 E X 2 = X i 2 = EX 2 i 2 E = EXi 2 EX 2 2 i + µ 2 = = EXi 2 EX2 i µ2 = = EX2 i µ2 = σ2. X i X j j= ezávislost = Vidíme, že E σ 2 σ 2, tedy empirický výběrový rozptyl eí estraým odhadem rozptylu. Další způsob ověřeí této vlastosti je za pomoci triku přičteí a odečteí µ. E σ 2 = E Xi X 2 = = E X i µ 2 X µ 2 = = E X i µ 2 E X µ 2 = = σ2 σ2 = σ2, i tímto způsobem výpočtu jsme zjistili, že empirický výběrový rozptyl eí estraým odhadem parametru σ 2. 9

24 Ověříme ještě asymptotickou estraost lim E σ 2 = lim σ2 = σ 2. a docházíme k závěru, že odhad rozptylu σ 2 je asymptoticky estraý. Kozistece Jedoduchých výpočtem ověříme, že empirický odhad rozptylu je kozistetím odhadem σ 2 = 3.2 Gama rozděleí 3.2. Mometová metoda Xi 2 X 2 P σ 2. Je dá výběr X,..., X pocházející z gama rozděleí, jak již víme z prví kapitoly gama rozděleí Gaa, p, které má parametry a > 0, p > 0 má hustotu daou vzorcem fx = středí hodota je µ = p a a rozptyl σ2 = p a 2 z []. ap Γ p e ax x p, x > 0, 3.2 Výpočet mometových odhadů provedeme v ásledujících krocích, kde ebude porovávat druhý cetrálí momet s empirickým rozptylem, ale druhý cetrálí momet s výběrovým rozptylem S 2 = Xi X 2, azývá vypočteý rozptyl. Čiíme z důvodu lepších výsledků. Tedy pro prví dva počátečí momety tohoto rozděleí platí µ a, p = p a, µ 2 a, p = p a 2. Prví počátečí výběrový momet a druhý cetrálí výběrový momet jsou tvaru Řešíme soustavu rovic M = M 2 = X i = X, Xi X 2 = S X = p a, S 2 = p a 2. 20

25 Nejdříve si spočítáme odhad parametru a ásledě odhad parametru p X S 2 = p â p â 2 = â, p = X â = X X S 2 = X 2. S 2 Metodou mometů dostáváme pro parametr θ = a, p odhady â = X S 2 p = X 2. S Metoda maximálí věrohodosti Odhademe parametry gama rozděleí metodou maximálí věrohodosti. Hustota gama rozděleí je již uvedea v 3.2. Rovou píšeme sdružeou hustotu fx, x 2,... x ; a, p = a p Γ p e ax i x p i. Maximálě věrohodé odhady parametrů a a p dostaeme pomocí věrohodostí fukce a p L a, p = Γ p e ax i X p i. Pro její logaritmus dostaeme vyjádřeí Derivací dostáváme l a, p = a p l Γ p e ax i X p i = = p l a l Γ p + p l X i ax i. l a, p a l a, p p = = p i a X = p a l a Γ p Γ p + l X i = l a ψ p + X i l X i, 2

26 kde ψ p azýváme digama fukcí. Prví derivace položíme rovu ule a vyjádříme si z í odhad parametru a p â X i = 0 p â = X i â = p X. 3.4 Derivaci podle parametru p taktéž položíme rovu ule a upravíme si ji l â ψ p + l X i = 0 l â + ψ p = Nyí si rovici 3.4 zlogaritmujeme. Dostáváme tak l X i 3.5 Rovost 3.6 dosadíme do 3.5, dostáme l â = l X l p 3.6 l X l p + ψ p = l X i. Na jedu strau si dáme prvky, které obsahují odhadutý parametr p a rovost si upravíme l p ψ p = l X l X i = = l X l X i = = l X X i. Pokud bychom chtěli vědět přesou hodotu odhadu p, tak bychom využili ějaký program, který by odhad dopočítal umericky. Vlastosti odhadů gama rozděleí Každou metodou ám vyšly jié odhady. U metody maximálí věrohodosti vyšly odhady, které se musí softwarem dopočítat, proto ověříme jaké vlastosti mají odhady odhaduté pomocí metody mometů. Nejprve sepíšeme jaké vlastosti má odhad â = X. 22 S 2

27 Nestraost Odhad â je estraým odhadem parametru a. Kozistece Z vlastostí výběrového průměru, výběrového rozptylu a se splěím podmíek zákoa velkých čísel dostáváme â P a, jedá se o kozistetí odhad. Nestraost Odhad p eí estraý. Ověříme tedy asymptotickou estraost + p lim E p = lim Tedy teto odhad je asymptoticky estraý. Kozistece = p. Platí p P p a tedy teto odhad je kozistetím odhadem parametru p. 3.3 Logaritmicko-ormálí rozděleí Mometová metoda Logaritmicko-ormálí rozděleí je příkladem, kdy se epoužívá k výpočtu parametrů mometová metoda. Toto rozděleí emá omezeé momety a tedy eí zaruče jedozačě vzájemý vztah mezi posloupostí mometů a hustotou rozděleí. Formálím výpočtem rovic pro počátečí teoretické a výběrové momety dostaeme vzorce pro parametry, jejich řešeí ale emusí odpovídat skutečosti. Logaritmicko-ormálí rozděleí LNµ, σ 2 se dvěma parametry µ R a σ 2 > 0, které má áhodá veličia X jejíž trasformace l X má ormálí rozděleí Nµ, σ 2. Pro její hustotu dostaeme vyjádřeí ve tvaru ] l x µ2 fx = exp [, pro x > 0. 2πσx 2σ 2 Počátečí momet prvího řádu a cetrálí momet druhého řádu tohoto rozděleí je µ ] µ, σ 2 = exp [µ + σ2, 2 µ 2 µ, σ 2 = exp [ σ 2] exp [ 2µ + σ 2]. 23

28 Výběrový průměr a empirický rozptyl jsou M = X i = X, M 2 = Xi X 2. Dostáváme a porováím rovice, ve kterých pro zjedodušeí a zkráceí vzorců ebudeme vyjadřovat hodoty M a M 2 X = ] exp [µ + σ2 = M 2, Xi X 2 = exp [ σ 2] exp [ 2µ + σ 2] = M Prví rovici zlogaritmuji a vyjádřím si z í µ l M = µ + σ2 2 µ = l M σ Druhou rovici ze soustavy 3.7 si také zlogaritmuji a dosadim za 2µ + σ 2 výraz 2 l M dostáváme tak postupě si z 3.9 vyjádřím σ 2 l M 2 = l exp [ σ 2] + 2µ + σ 2 l M 2 = l exp [ σ 2] + 2 l M 3.9 exp [l M 2 ] exp [ 2 l M ] = exp [ σ 2] M 2 M 2 + = exp [ σ 2] σ 2 = l M2 M Pro vyjádřeí odhadu parametru µ dosadím 3.0 do prví zlogaritmovaé rovice 3.8 čili l M = µ 2 l M2 M 2 + µ = l M 2 l M2 M 2 + Pro áhodý výběr o rozsahu, jehož áhodé veličiy mají logaritmicko-ormálí rozděleí dostáváme metodou mometů odhady pro jeho parametry µ = l M 2 l + M 2 M 2 σ 2 = l + M 2. M 24

29 Metoda maximálí věrohodosti Nyí máme za úkol určit odhad parametrů áhodé veličiy X, která má logaritmicko-ormálí rozděleí s ezámými parametry µ R a σ 2 > 0 pomocí metody maximálí věrohodosti. Rovou apíšeme sdružeou hustotu Věrohodostí fukce fx, x 2,..., x ; µ, σ 2 = Lµ, σ 2 = ] l x µ2 exp [. 2πσxi 2σ 2 ] 2πσXi exp [ l X i µ 2. 2σ 2 Dostáváme se k logaritmické věrohodostí fukci, kterou máme defiovaou lµ, σ 2 = l Lµ, σ 2 lµ, σ 2 = l exp [ l X ] i µ 2, 2πσXi 2σ 2 postupě upravujeme lµ, σ 2 = = [ ] l X l i µ 2 + l exp = 2πσXi 2σ 2 l 2π l σ l X i l X i µ 2 = 2σ 2 = 2 l 2π 2 l σ2 l X i 2σ 2 l X i µ 2. Soustavu věrohodostích rovic derivujeme podle parametrů µ a σ 2 l µ, σ 2 µ = 2σ 2 2 l X i µ = l X σ 2 i µ l µ, σ 2 σ 2 = 2σ 2 + 2σ 4 l X i µ 2. Derivace položíme rovo ule a vyjádříme si z ich odhady parametrů µ a σ 2 σ 2 l X i µ = 0 l X i µ = 0 µ = l X i 25

30 a pro odhad σ 2 dostáváme 2 σ σ 4 l X i µ 2 = 0 l X i µ 2 = 2 σ 4 2 σ 2 l X i µ 2 = σ 2 σ 2 = l X i µ 2. Metodou maximálí věrohodosti jsme dostali tyto odhady µ = l X i σ 2 = l X i µ 2. Vlastosti odhadů vypočítaé metodou maximálí věrohodosti Ověříme jaké vlastosti má odhad µ spočteý metodou maximálí věrohodosti. Nestraost E µ = E l X i = E l X i = µ = µ, tedy odhad µ je estraým odhadem parametru µ. Kozistece Tuto vlastost ověřujeme za pomoci Chičiova slabého zákoa velkých čísel. Jeho předpoklady máme splěy, jelikož máme áhodý výběr z rozděleí, které má středí hodotu rovou ějaké kostatě a tedy odhad µ je kozistetím odhadem parametru µ. 3.4 Expoeciálí rozděleí 3.4. Mometová metoda Expoeciálí rozděleí Exλ, kde λ > 0 má hustotu defiovaou 26

31 fx = [ λ exp x ], x > 0, λ středí hodota µ = λ. Metodou mometů budeme odhadovat parametr λ, a tudíž odhad parametru λ získáme z porováí M = µ, kde M = X i = X, tedy odhadem parametru λ je hodota λ = X Metoda maximálí věrohodosti Věrohodostí fukce je rova L λ = [ λ exp X ] i λ a její logaritmická věrohodostí fukce je rova [ ] l λ = l λ exp Xi λ = l λ λ X i = l λ λ X i. Odtud dostáváme věrohodostí rovici l λ λ = λ + X λ 2 i. Věrohodostí rovici položíme rovu ule a úpravami dostáváme maximálě věrohodý odhad parametru λ ṋ λ + λ2 X i = 0 λ = λ2 λ = X i X i = X Vlastosti odhadů Oběma metodami ám vyšly stejé odhady. Odhad středí hodoty je výběrový průměr, jehož vlastosti jsme již ověřili v části 3..3 a víme, že teto odhad je estraý a kozistetí. 27

32 3.5 Rovoměré rozděleí 3.5. Mometová metoda U této motedy si můžeme zvolit jaké teoretické momety budeme porovávat s výběrovými momety. Tedy u tohoto rozděleí ebude porovávat druhý cetrálí momet s empirickým rozptylem, ale využijeme druhý výběrový momet M 2, který ám usadí výpočet. Mometová metoda Rovoměré rozděleí je defiovaé a itervalu µ h, h + µ a má hustotu daou výrazem fx = 2h, µ h < x < µ + h. Prví a druhý teoretický počátečí momet je µ µ, h = µ, µ 2 µ, h = µ 2 + h2 3. Prví a druhý výběrový momet je M = M 2 = X i = X Xi 2. Porováím prvího mometu s výběrovým průměrem a druhého mometu s druhým výběrovým mometem získáme odhady parametrů µ a h. Budeme tedy vycházet z ásledující soustavy rovic M = µ µ, h M 2 = µ 2 µ, h. Dosadíme a dostáváme odhad parametru µ µ = X, a s využitím odhadu µ vypočítáme odhad pro parametr h Xi 2 = µ 2 + ĥ2 3 Xi 2 = 2 ĥ 2 X + 3 ĥ 2 = 3 Xi 2 2 X ĥ = 3 Xi 2 2 X. 28

33 3.5.2 Metoda maximálí věrohodosti Věrohodostí fukce pro áhodý výběr z rovoměrého rozděleí je rova L µ, h = 2h = 2h její logaritmus je rove l µ, h = l 2h = l 2h. Tato fukce má maximálí hodotu pro miimálí hodotu parametru h. Maximálě věrohodý odhad parametru h je rove ĥ = 2 max {X i; i } mi {X i ; i }. Pro maximálě věrohodý odhad parametru µ dostáváme µ = 2 max {X i; i } + mi {X i ; i }, což jsou hodoty odlišé od odhadů, které jsme dostali metodou mometů Vlastosti odhadů U odhadu spočteé metodou maximálí věrohodosti jsme obdrželi µ, který je estraý odhad a odhadu parametru h ověříme estraost E ĥ = E 3 Xi 2 2 X = 3 E Xi 2 2 X = 3 σ2 = 3 λ 2 = 3λ 2. Tedy odhad ĥ eí estraý, ale je asymptoticky estraý a oba odhady jsou kozistetí viz [3]. 29

34 4. Bodové odhady pro růzá diskrétí rozděleí Tato kapitola se věuje odhadům parametrů diskrétích pravděpodobostích rozděleí. Podobě jako ve třetí kapitole odhademe parametry mometovou metodou a metodou maximálí věhodosti. 4. Geometrické rozděleí 4.. Mometová metoda Náhodá veličia X má geometrické rozděleí defiovaé pravděpodobostí fukci P X = x = p p x, x N. Pro základí číselé charakteristiky platí, že středí hodota je µ = a rozptyl p σ 2 =. Je-li X p p, X 2,..., X áhodý výběr z geometrického rozděleí, tak metodou mometů porováváme pouze výběrový průměr a středí hodotu geometrického rozděleí, protože pro geometrické rozděleí odhadujeme jede parametr p. Matematicky vyjádřeo M = µ dosadíme za µ = p a za M = X i = X. Tedy odhad parametru p je p = X Metoda maximálí věrohodosti Maximálě věrohodý odhad spočítáme z věrohodostí fukce, která je L p = p p Xi, kde X i N. Logaritimická věrohodostí fukce se rová l p = l p p X i = l p + l p X i = l p + X i l p = l p + X i l p, tudíž věrohodostí rovice 30

35 l p p = p X i p. Věrohodostí rovici položíme rovu ule, abychom mohli ajít maximálě věrohodý odhad parametru p X i p = 0 X i = ṋ p p p X i = p p = X i = X = X. i 4..3 Vlastosti odhadů 4.2 Metodou mometů i metodou maximálí věrohodosti ám vyšel stejý odhad parametru p a to převráceá hodota výběrového průměru. Teto odhad je estraý a kozistetím odhadem středí hodoty viz literatura []. 4.2 Poissoovo rozděleí 4.2. Mometová metoda Předpokládejme, že veličia X abývá pouze hodot 0,,..., a to s pravděpodobostmi P X = x = λx x! e λ, x = 0,,..., kde λ > 0 je daé číslo. Pak říkáme, že X má Poissoovo rozděleí Poλ s parametrem λ. Platí, že středí hodota je µ = λ. Tedy pro odhad parametru λ porováme středí hdootu s výběrovým průměrem µ = M, po dosazeí odhadem parametru λ je odhad λ = X Metoda maximálí věrohodosti Věrohodostí fukce je rova L λ = λ X i X i! e λ 3

36 a její logaritmus je rove l λ = λ X i l X i! e λ = l λ X i l X i! λ = = l λ X i l X i! λ. Zderivováím logaritmické věrohodostí fukce dostáváme věrohodostí rovici l λ = λ X i. Věrohodostí rovici položíme rovu ule a dostaeme maximálě věrohodý odhad parametru λ, který je rove λ X i = 0 λ = X i = X Vlastosti odhadů Oběma metodami ám vyšly stejé odhady. Odhad středí hodoty je výběrový průměr, jehož vlastosti jsme již ověřili a víme, že teto odhad je estraý a kozistetí. 4.3 Biomické rozděleí 4.3. Mometová metoda Biomické rozděleí Bim, p má pravděpodobostí fukci m P X = x = p k p m x, x = 0,,..., m x středí hodota je µ = mp a rozptyl σ 2 = mp p. Mometovou metodou dostaeme pro porováí M = µ tedy odtud dostaeme odhad parametru p X = mp p = X m = m 32 X i.

37 4.3.2 Metoda maximálí věrohodosti Věrohodostí fukce je rova m L, p = p X i p m X i. Logaritmická věrohodostí fukce je X i m l m, p = l p X i p m X i X i m = l + l p X i m = l + l p X i X i + l p m X i X i + l p m X i. Protože je lim l m, p = lim l m, p = p 0 + p má věrohodostí fukce maximum ve stacioárím bodě. Pro ěj dostaeme věrohodostí rovici l m, p = X i m X i. p p p Věrohodostí rovici položíme rovu ule a vyjádříme si maximálě věrohodý odhad parametru p X i p m X i = 0 p X i = m X i p p X i p X i = pm p X i = pm p = m X i = X i X m Vlastosti odhadů Oběma metodami ám vyšly stejé odhady. Odhad p eí estraý odhad viz []. E p = E X m = m E X i = EX i m = mp m = p, tedy odhad parametru p je estraý. Teto odhad je i kozistetí. 33

38 5. Přehled bododových odhadů Tato kapitola bude shrutím všech odhadů parametrů, které jsme apočítali. V tabulkách bude vždy určité rozděleí a pro ěj uvedey odhady metodou mometů, kterou budeme začit MM a metodu maximálí věrohodosti ozačíme jako MMV. U těch odhadů u kterých jsme ověřili estraost uvedeme tuto vlastost v tabulce. Všechy odhady, která jsem spočítali jsou kozistetí. Spojitá rozděleí U ormálího rozděleeí ám vyšly oběma metodami stejé odhady pro oba parametry. Odhad µ se azývá výběrový průměr a odhad σ 2 je empirický rozptyl. Rozděleí MM MMV Nestraost Nµ, σ 2 µ = X µ = X ao Nµ, σ 2 σ 2 = Xi 2 σ 2 = Xi 2 e Tabulka A: Normálí rozděleí. Pro gama rozděleí ám vyšly rozdílé odhady a avíc pro výpočet odhadů parametrů a a p metodou maximálí věrohodosti potřebujeme software, který by ám umericky dopočítal hodoty těchto odhadů. Tedy pro gama rozděleí je vhodější použití mometové metody. Rozděleí MM Nestraost MMV Gaa, p Gaa, p â = X S 2 p = X 2 S 2 ao â = p X X e l p ψ p = l X i Tabulka B: Gama rozděleí. U logaritmicko-ormálího rozděleí ám vyšly růzé odhady parametrů µ a σ 2 a pro toto rozděleí je lepší použití metody maximálí věrohodosti. Pro parametr µ dává metoda maximálí věrohodosti estraý odhad, ale odhad parametru σ 2 eí estraý. Rozděleí MM MMV LNµ, σ 2 µ = l M 2 l + M 2 M 2 µ = l X i LNµ, σ 2 σ 2 = l + M 2 σ 2 = l X M i µ 2 Tabulka C: Logaritmicko-ormálí rozděleí. 34

39 Pro expoeciálí rozděleí jsme odhadovali parametr λ a u obou metod ám vyšel výběrový průměr. Tedy obě metody jsou stejě vhodé pro výpočet tohoto odhadu. Rozděleí MM Nestraost MMV Nestraost Exλ λ = X ao λ = X ao Tabulka D: Expoeciálí rozděleí. Mometovou metodou ám pro rovoměré rozděleí vyšly odhad µ, který je estraý a odhad ĥ eí estraý. U odhadů metodou maximálí věrohodosti musí pro X i platit i. Rozděleí MM MMV Rµ, h µ = X ĥ = 2 max {X i} mi {X i } Rµ, h ĥ = 3 Xi X µ = 2 max {X i} mi {X i } Tabulka E: Rovoměré rozděleí. Diskrétí rozděleí U geometrického rozděleí odhad parametru p vyšla převráceá hodota výběrovového průměru. Rozděleí MM Nestraost MMV Nestraost Gep p = X ao p = X ao Tabulka F: Geometrické rozděleí. 35

40 Poissoovo rozděleí má parametr λ a odhad tohoto parametru je výběrový průměr, který vyšel oběma metodami. Rozděleí MM Nestraost MMV Nestraost Poλ λ = X ao λ = X ao Tabulka G: Poissoovo rozděleí. Pro parametr biomického rozdělěí dává metoda mometů i metoda maximálí věrohodosti stejý výsledek. Rozděleí MM Nestraost MMV Nestraost Bim, p p = X m ao p = X m ao Tabulka H: Biomické rozděleí. 36

41 Závěr V prví kapitole jsme se sezámili s tím, co jsou to rozděleí, jak mohou vypadat ěkteré jejich hustoty a zadefiovali jsme si základí pojmy týkající se bodového odhadu. V další kapitole jsme si představili, jak lze odhadovat parametry spojitých distribucí. Ukázali jsme, že lze pro bodový odhad použít mometovou metodu ebo metodu maximálí věrohodosti. V třetí kapitole jsme apočítali odhady parametrů spojitých rozděleí pomocí dvou dříve zmíěých metod a zjistili jsme, že i přes velkou početí áročost metody maximálí věrohodosti existuje efektiví řešeí odhadováí parametrů v podobě metody mometů. Čtvrtá kapitola zahruje totéž jako třetí kapitola, pouze s tím rozdílem, že se věujeme diskrétím áhodým veličiám. Pátá kapitola je přehledem spočítaých odhadů. Pro základí rozděleí dávají obě metody skoro vždy shodé výsledky, vyjímkou je gama rozděleí, logaritmicko-ormálí rozděleí a rovoměré rozděleí. Nelze jedozačě rozhodout, která z metod poskytuje lepší výsledky. Rozhodováí provádíme podle daé situace, ejčastěji rozhoduje jedoduchost získaých vzorců. Metoda mometů zohledňuje všecha data z výběru a volíme ji v případech, kdy je soustava věrohodostích rovic obtížě řešitelá. Iformace, dostupé v této bakalářské práci, lze využít při rozhodováí, kterou metodu pro bodový odhad použít, eboť u zmíěých metod je postup výpočtu a základí pricip. Bude záležet je a rozhodutí odhadujícího pracovíka, kterou metodu použije a která splňuje daé požadavky. Z této práce vyplývájí pozatky o tom, že je uté aby studet ebo pracovík, který bude pracovat s daty a provádět odhad, měl základí představu o pravděpodobostím rozděleí dat, o příkladu ebo o aalýze, kterou bude řešit a ovládá problematiku daého oboru. Pokud tomu tak ebude a obtížost projektu bude odhadovat řádě epoučeá osoba, může to vést ke špatým vysledkům a esplitelým odhadům. Téma této bakalářské práce pro me bylo velkou výzvou, eboť jsem o problematice odhadováí bodových parametrů slyšela, ale doposud jsem je ikde ealezla spočítaé odhady, abych se sezámila s fukčostí metod. Pozáí metod je pro mě velkým příosem, především vhodost jejich použití. Metoda maximálí věrohodosti me oslovila především svou jedoduchostí a poměrě přesými výsledky. 37

42 Sezam použité literatury [] ANDĚL, Jiří: Základy matematické statistiky, Praha: Matfyzpress, 20, 358 s., ISBN [2] BISKUP, Roma: Bodový odhad parametrů rozděleí, Praha, 202, birom/stat/ [3] FRANK Jakub: Odhady parametrů vícerozměrého Studetova rozděleí, Bro, s. Diplomová práce. Masarykova Uiverzita v Brě. [4] KULICH, Michal: Malý větíček, Praha, 203, kulich/ [5] REISS Marti: Odhady parametrů ěkterých rozděleí pravděpodobosti a jejich vlastosti, Bro, s. Bakalářská práce. Masarykova uiverzita. [6] VAŇKÁTOVÁ Kristýa: Metody odhadu regresích parametrů, Olomouc, s. Bakalářská práce. Uiverzita Palackého v Olomouci. [7] ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef: Pravděpodobost a matematická statistika, Praha : Matfyzpress, s., ISBN