Digitální učební materiál

Transkript

1 Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/ Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_11 ŠVP Podnikání RVP L/51 Podnikání Ročník 3. Předmět Cvičení z matematiky Zpracoval(i) Mgr. E. Pokorná, Mgr. P Jurtíková, Mgr. M. Vašíčková, Mgr. G. Vargová, Mgr. M. Zichová, Mgr. L. Šíbl, Mgr. J. Bukvaldová Kdy II/2013 Tematická oblast Algebra Téma Posloupnosti Klíčová slova Algebra/Posloupnosti/posloupnost, geometrická, aritmetická, slovní úlohy, rekurentně Toto dílo obsahuje citace v souladu s 31 odst. 1 písm. c) zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a může být použito výhradně při vyučování. Anotace DUM obsahuje dva druhy pracovních listů na téma Posloupnosti. Jeden pracovní list je učitelským listem, kde jsou všechny příklady řazeny za sebou, pro rychlý přehled učitele. Na konci tohoto přehledu jsou výsledky všech příkladů. Druhým pracovním listem je pracovní list pro studenty. Zde jsou identické příklady jako v učitelském listu, navíc je zde prostor pro samotné výpočty studentů. Typ interakce: frontální Soubor název VY_32_INOVACE_CH29_2_11 Posloupnosti_UL.docx VY_32_INOVACE_CH29_2_11 Posloupnosti_PL.docx Soubor popis obsahu Učitelské listy s přehledem a výsledky příkladů Pracovní listy s příklady, prostorem pro výpočty a výsledky příkladů Metodický list Se studenty je dané téma probráno teoreticky. Následuje procvičení daného tématu pomocí pracovních listů. Tyto listy se řeší přímo jako cvičení v hodině. Každý student má své pracovní listy sám pro sebe a vpisuje řešení hned do nich. Je možné zadat i některé úlohy jako samostatnou práci v hodině či jako úlohu na domácí výpočty. Student k řešení smí používat kalkulátor i matematické tabulky. Píše propisovací tužkou, obyčejná tužka nesmí být používána mimo náčrtky. Pro kontrolu výsledků souží přehled výsledků na konci každého pracovního listu. Učitel může sám rozhodnout, zda výsledky pro studenty zpřístupní či nikoli. Jako zpětná vazby slouží monotematické testy na dané téma v inovaci VY_32_INOVACE_CH29_2_11 Posloupnosti.

2 Oba typy pracovních listů jsou zveřejněny a zpřístupněny na Moodle školy ( v kurzu Mgr. Jurtíkové Matematika, heslo je matematika. Studenti jsou dále rozděleni do skupin podle tříd pro větší přehlednost. Učitel může dále sledovat aktivitu studentů, zda se o dané téma zajímali. Veškeré příklady byly čerpány z následujících dostupných zdrojů: AUTOR NEUVEDEN. Testy a zadání [online]. [cit ]. Dostupný na WWW: FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2001, ISBN SÝKORA, Václav a kol. Matematika sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky (základní obtížnost). Praha: Tauris, 2001, ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2007, ISBN HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2002, ISBN

3 11. POSLOUPNOSTI 1) Malý Pepíček sestavil z 15 kostek zeď podle obrázku. Tatínek Josef mu chtěl postavit podobným způsobem co největší,,zeď Měl na ní celkem 200 stejných kostek. a) Z kolika kostek se skládala spodní nejdelší řada? b) Kolik kostek zůstalo nevyužito? 2) Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou sazbou 10 % materiál v ceně m Kč. Dluh chce splatit ve dvou stejných splátkách vždy na konci 1. a 2. roku. Velikost jednotlivých splátek s je možné určit vztahem: (m 1,1 s) 1,1 = s. a) Vyjádřete z tohoto vzorce velikost jedné splátky s. Nezaokrouhlujte. b) Jaký byl úvěr na materiál m, pokud majitel splácí každým rokem částku s = Kč? Výsledek zaokrouhlete na tisíce. 3) V GP je dán kvocient q = 3 2 a člen a 54 = 54. Určete hodnoty členů a 55 a a 51.

4 4) V soutěži byly na prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? A) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800 Kč. B) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven Kč. C) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než Kč. D Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit. 5) Největší záporný člen AP, jejímž prvním členem je číslo 100 a třetím členem číslo 76, je: A) 2 B) 6 C) 10 D) jiné záporné číslo 6) Zdeněk si potřebuje půjčit částku Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to 5 % z Kč, při poslední už jen 5 % ze Kč). Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce? A) B) C) D) E) jinou částku 7) Čtveřice a 1, a 2, a 3, a 4, kde a 2 = 20, a 3 = 10, představuje čtyři po sobě jdoucí členy AP. Čtveřice g 1, g 2, g 3, g 4, kde g 2 = 10, g 3 = 20, čtyři po sobě jdoucí členy GP. Určete členy: a 1, a 4, g 1, g 4.

5 8) Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 24 plechovek. Kolik je všech plechovek? 9) Aby součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl , musí být n rovno alespoň: A) B) C)1 414 D) ) V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna následujícího? A) 22 B)25 C) 27 D) 30 11) Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou mírou 10 % materiál v ceně Kč. Úroky se připisují koncem každého roku. Majitel splatil celou částku jednorázově po uplynutí pěti let. O kolik % splátka převýší úvěr?

6 12) V zámecké dlažbě byla vytvořena spirála, jejíž část je znázorněna na obrázku. Spirála je složena z 15 navazujících různobarevných půlkružnic. Délka první je a 1 = 22 dm, každá následující půlkružnice je o 22 dm delší. a) Vypočtěte délku a3 třetí půlkružnice. b) Uveďte v metrech délku s celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze část spirály.) c) Poslední půlkružnice spirály měří 33 m. Uveďte v celých metrech průměr této půlkružnice. 13) V následujících úlohách odpovězte ANO či NE. Je to geometrická posloupnost? a) (4,2, 2, 4) ANO NE b) (1,4,16,64) ANO NE c) (8, 4,2, 1) ANO NE d) (0,4,8,12) ANO NE

7 14) Eva má hotovost Kč a banka jí nabízí roční termínovaný klad s 3% roční úrokovou sazbou. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítá státem stanovená daň ve výši 15 %. Kolik korun bude z tohoto ročního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) B) C) D) E) jiná suma 15) Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, z nichž první tři jsou 140; 132; 124 a poslední tři 236; 244; 252. a) Vypočtěte dvacátý člen posloupnosti. b) Vypočtěte součet všech 50 členů posloupnosti. c) Určete, kolikátým členem posloupnosti je číslo ) V obci se příjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti příjmům z předchozího roku. Během každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. Jak se změní hodnota příjmů po uplynutí 10 let? A) Zvýší se více než o 200%. B) Zvýší se přibližně o 80%. C) Nezmění se. D) Sníží se přibližně o 69%. E) Sníží se přibližně o 94%.

8 17) Na obrázku je část květinové lomené spirály. Je složena z 10 rovných úseků. V prvním úseku uprostřed plochy jsou 4 květiny, každý následující úsek má o 3 květiny více než předchozí. a) Vypočtěte počet květin umístěných v šestém úseku. b) Kolik květin je v celé spirále? 18) V následujících úlohách odpovězte ANO nebo NE. V aritmetické posloupnosti platí: a 9 a 8 = 20, a 10 = 100. a) a 10 a 9 = 30 ANO NE b) a 8 a 7 = 10 ANO NE c) diference d = 20 ANO NE d) a 5 = 0 ANO NE

9 19) Napište prvních 6 členů posloupnosti dané rekurentně: a) a n+2 = a n+1 a n, je-li a 1 = 1, a 2 = 2 b) a n+2 = 2a n+1 3a n, je-li a 1 = 4, a 2 = 2 20) Napište prvních 6 členů dané posloupnosti: a) a n = 1 2n n+2 b) a n = ( 1) n. n n ) Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen dané posloupnosti: a) 2, 4, 6, 8, b) 1, 3, 5, 7, c) 1 2; 2 3; 3 4; 4 5;... d) 1, 1, 1, 1,

10 22) Vypočítejte součet prvních dvaceti přirozených čísel. 23) Ve městě žije obyvatel. Před 20 roky jich bylo Kolik obyvatel bude ve městě žít za dalších 10 let, počítá-li se s průměrným přírůstkem počtu obyvatel jako v předchozích letech? 24) Cena nového stroje je Kč. Opotřebením se ročně znehodnotí o 20 %. Jaká bude hodnota stroje po patnácti letech? 25) Bakterie se za příznivých podmínek přibližně každých 20 minut množí dělením na dvě. Za 10 hodin vznikne z jedné bakterie přibližně: A) 10 7 bakterií B) 10 8 bakterií C) 10 9 bakterií D) bakterií E) 10 bakterií 26) Mezi čísla 1 a 1 vložte tři čísla tak, aby vznikla aritmetická posloupnost. Jaký je 4 2 součet vložených tří čísel?

11 27) Hodnota výrazu V(x) = x x 4 x 7 x 10 x 13 x pro x = 2 A) B) C) 2 62 D) 2 11 E) POSLOUPNOSTI je: 28) Geometrická posloupnost má kvocient q = 2 a součet prvních pěti členů je 93. Urči sedmý člen posloupnosti. 29) Pan Nový přiletěl na dovolenou ve čtvrtek ráno a hned se opaloval 10 minut. Každý další den o pět minut déle. Celých 60 minut se pan Nový opaloval: A) v pondělí B) ve středu C) v sobotu D) v neděli 30) Číselné hodnoty délek stran pravoúhlého trojúhelníku vyjádřených v cm tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna měří 16 cm. a) Určete délky stran trojúhelníku. b) Určete jeho obsah.

12 31) Podnikatel si uložil Kč do banky na termínovaný vklad na 3 roky, při 2,5 % p.a. Úroky se počítají pololetně. Daň z úroků je 15 %. Kolik korun bude mít podnikatel v bance po 3 letech. Kolik Kč vydělal na úrocích? Danou úlohu řešte pro čtvrtletní úročení a výsledky porovnejte. 32) Dělník vyrobí za směnu 35 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval svůj výkon denně o 2 součástky? 33) Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí: a 2 + a 5 a 3 = 10; a 1 + a 6 = 17. Vypočtěte součet prvních devíti členů. 34) Sestroj graf posloupnosti: a) 1,2; 3,4; 5,6; ( 1) n n b) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0. 1+( 1)n 2

13 35) Určete první člen a kvocient GP, ve které platí: a 3 = 16, a 5 = 1. 36) Mezi čísla 8 a 216 vložte dvě čísla tak, aby vznikla geometrická posloupnost. Která to jsou čísla?

14 Výsledky: 1) a) 19 kostek, b) 10 kostek 2) a) s = 1,21m 2,1 3) a 55 = 81, a 51 = 16 4) A 5) D 6) B 7) 50, 40, 5, 40 8) 195 9) C 10) B 11) 61% b) Kč 12) a) 66dm b) 264m 28) ) D 30) a) 12,16,20 cm; b) 96cm 2 31) Kč, úrok Kč Kč, Kč 32) ) a 1 = 1, d = 3, s 9 = ) graf 35) a 1 = 256, q = 1 nebo a 4 1 = 256, q = ) 24 a 72 c) 21m 13) ne, ano, ano, ne 14) C 15) a 20 = 12, s 50 = 2800, a 31 = ) B 17) a 6 = 19, 175 květin 18) ne, ne, ano, ano 19) {1, 2, 1, 1, 2, 1}, {4, 2, 8, 22, 20, 26} 20) 1 3, 3 4, 1, 7 6, 9 7, 11 8,, 1 2, 2 5, 3 10, 4 17, 5 26, ) {2n}, {2n 1}, {n (n + 1)}, 22) 210 { 1 n+1 } 23) obyvatel 24) Kč 25) ) ) 2 11

15 11. POSLOUPNOSTI 1) Malý Pepíček sestavil z 15 kostek zeď podle obrázku. Tatínek Josef mu chtěl postavit podobným způsobem co největší,,zeď Měl na ní celkem 200 stejných kostek. a) Z kolika kostek se skládala spodní nejdelší řada? b) Kolik kostek zůstalo nevyužito? 2) Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou sazbou 10 % materiál v ceně m Kč. Dluh chce splatit ve dvou stejných splátkách vždy na konci 1. a 2. roku. Velikost jednotlivých splátek s je možné určit vztahem: (m 1,1 s) 1,1 = s. a) Vyjádřete z tohoto vzorce velikost jedné splátky s. Nezaokrouhlujte. b) Jaký byl úvěr na materiál m, pokud majitel splácí každým rokem částku s = Kč? Výsledek zaokrouhlete na tisíce. 3) V GP je dán kvocient q = 3 2 a člen a 54 = 54. Určete hodnoty členů a 55 a a 51. 4) V soutěži byly na prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? A) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800 Kč. B) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven Kč. C) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než Kč. D Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit. 5) Největší záporný člen AP, jejímž prvním členem je číslo 100 a třetím členem číslo 76, je: A) 2 B) 6 C) 10 D) jiné záporné číslo 6) Zdeněk si potřebuje půjčit částku Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to 5 % z Kč, při poslední už jen 5 % ze Kč). Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce? A) B) C) D) E) jinou částku 7) Čtveřice a 1, a 2, a 3, a 4, kde a 2 = 20, a 3 = 10, představuje čtyři po sobě jdoucí členy AP. Čtveřice g 1, g 2, g 3, g 4, kde g 2 = 10, g 3 = 20, čtyři po sobě jdoucí členy GP. Určete členy: a 1, a 4, g 1, g 4. 8) Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 24 plechovek. Kolik je všech plechovek?

16 9) Aby součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl , musí být n rovno alespoň: A) B) C)1 414 D) ) V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna následujícího? A) 22 B)25 C) 27 D) 30 11) Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou mírou 10 % materiál v ceně Kč. Úroky se připisují koncem každého roku. Majitel splatil celou částku jednorázově po uplynutí pěti let. O kolik % splátka převýší úvěr? 12) V zámecké dlažbě byla vytvořena spirála, jejíž část je znázorněna na obrázku. Spirála je složena z 15 navazujících různobarevných půlkružnic. Délka první je a 1 = 22 dm, každá následující půlkružnice je o 22 dm delší. a) Vypočtěte délku a 3 třetí půlkružnice. b) Uveďte v metrech délku s celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze část spirály.) c) Poslední půlkružnice spirály měří 33 m. Uveďte v celých metrech průměr této půlkružnice. 13) V následujících úlohách odpovězte ANO či NE. Je to geometrická posloupnost? a) (4,2, 2, 4) ANO NE b) (1,4,16,64) ANO NE c) (8, 4,2, 1) ANO NE d) (0,4,8,12) ANO NE 14) Eva má hotovost Kč a banka jí nabízí roční termínovaný klad s 3% roční úrokovou sazbou. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítá státem stanovená daň ve výši 15 %. Kolik korun bude z tohoto ročního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) B) C) D) E) jiná suma 15) Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, z nichž první tři jsou 140; 132; 124 a poslední tři 236; 244; 252. a) Vypočtěte dvacátý člen posloupnosti. b) Vypočtěte součet všech 50 členů posloupnosti. c) Určete, kolikátým členem posloupnosti je číslo 100.

17 16) V obci se příjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti příjmům z předchozího roku. Během každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. Jak se změní hodnota příjmů po uplynutí 10 let? A) Zvýší se více než o 200%. B) Zvýší se přibližně o 80%. C) Nezmění se. D) Sníží se přibližně o 69%. E) Sníží se přibližně o 94%. 17) Na obrázku je část květinové lomené spirály. Je složena z 10 rovných úseků. V prvním úseku uprostřed plochy jsou 4 květiny, každý následující úsek má o 3 květiny více než předchozí. a) Vypočtěte počet květin umístěných v šestém úseku. b) Kolik květin je v celé spirále? 18) V následujících úlohách odpovězte ANO nebo NE. V aritmetické posloupnosti platí: a 9 a 8 = 20, a 10 = 100. a) a 10 a 9 = 30 ANO NE b) a 8 a 7 = 10 ANO NE c) diference d = 20 ANO NE d) a 5 = 0 ANO NE 19) Napište prvních 6 členů posloupnosti dané rekurentně: a) a n+2 = a n+1 a n, je-li a 1 = 1, a 2 = 2 b) a n+2 = 2a n+1 3a n, je-li a 1 = 4, a 2 = 2 20) Napište prvních 6 členů dané posloupnosti: a) a n = 1 2n n+2 b) a n = ( 1) n. n n ) Vyjádřete vzorcem pro n-tý člen dané posloupnosti: a) 2, 4, 6, 8, b) 1, 3, 5, 7, c) 1 2; 2 3; 3 4; 4 5;... d) 1, 1, 1, 1, 22) Vypočítejte součet prvních dvaceti přirozených čísel. 23) Ve městě žije obyvatel. Před 20 roky jich bylo Kolik obyvatel bude ve městě žít za dalších 10 let, počítá-li se s průměrným přírůstkem počtu obyvatel jako v předchozích letech?

18 24) Cena nového stroje je Kč. Opotřebením se ročně znehodnotí o 20 %. Jaká bude hodnota stroje po patnácti letech? 25) Bakterie se za příznivých podmínek přibližně každých 20 minut množí dělením na dvě. Za 10 hodin vznikne z jedné bakterie přibližně: A) 10 7 bakterií B) 10 8 bakterií C) 10 9 bakterií D) bakterií E) 10 bakterií 26) Mezi čísla 1 a 1 vložte tři čísla tak, aby vznikla aritmetická posloupnost. Jaký je 4 2 součet vložených tří čísel? 27) Hodnota výrazu V(x) = x x 4 x 7 x 10 x 13 x pro x = 2 A) B) C) 2 62 D) 2 11 E) ) Geometrická posloupnost má kvocient q = 2 a součet prvních pěti členů je 93. Urči sedmý člen posloupnosti. 29) Pan Nový přiletěl na dovolenou ve čtvrtek ráno a hned se opaloval 10 minut. Každý další den o pět minut déle. Celých 60 minut se pan Nový opaloval: A) v pondělí B) ve středu C) v sobotu D) v neděli 30) Číselné hodnoty délek stran pravoúhlého trojúhelníku vyjádřených v cm tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna měří 16 cm. a) Určete délky stran trojúhelníku. b) Určete jeho obsah. 31) Podnikatel si uložil Kč do banky na termínovaný vklad na 3 roky, při 2,5 % p.a. Úroky se počítají pololetně. Daň z úroků je 15 %. Kolik korun bude mít podnikatel v bance po 3 letech. Kolik Kč vydělal na úrocích? Danou úlohu řešte pro čtvrtletní úročení a výsledky porovnejte. 32) Dělník vyrobí za směnu 35 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval svůj výkon denně o 2 součástky? 33) Určete aritmetickou posloupnost, ve které platí: a 2 + a 5 a 3 = 10; a 1 + a 6 = 17. Vypočtěte součet prvních devíti členů. 34) Sestroj graf posloupnosti: a) 1,2; 3,4; 5,6; ( 1) n n b) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0. 1+( 1)n 2 35) Určete první člen a kvocient GP, ve které platí: a 3 = 16, a 5 = 1. 36) Mezi čísla 8 a 216 vložte dvě čísla tak, aby vznikla geometrická posloupnost. Která to jsou čísla? je:

19 Výsledky: 1) a) 19 kostek, b) 10 kostek 2) a) s = 1,21m 2,1 3) a 55 = 81, a 51 = 16 4) A 5) D 6) B 7) 50, 40, 5, 40 8) 195 9) C 10) B 11) 61% b) Kč 12) a) 66dm b) 264m 28) ) D 30) a) 12,16,20 cm; b) 96cm 2 31) Kč, úrok Kč Kč, Kč 32) ) a 1 = 1, d = 3, s 9 = ) graf 35) a 1 = 256, q = 1 nebo a 4 1 = 256, q = ) 24 a 72 c) 21m 13) ne, ano, ano, ne 14) C 15) a 20 = 12, s 50 = 2800, a 31 = ) B 17) a 6 = 19, 175 květin 18) ne, ne, ano, ano 19) {1, 2, 1, 1, 2, 1}, {4, 2, 8, 22, 20, 26} 20) 1 3, 3 4, 1, 7 6, 9 7, 11 8,, 1 2, 2 5, 3 10, 4 17, 5 26, ) {2n}, {2n 1}, {n (n + 1)}, 22) 210 { 1 n+1 } 23) obyvatel 24) Kč 25) ) ) 2 11