DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

Transkript

1 DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 Diferenciální počet 2 Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Diferenciální počet 3 Obsah Diferenciální počet... 8 Elementární funkce... 8 Elementární funkce Varianta A Elementární funkce Varianta B Elementární funkce Varianta C Diferenciální počet Spojitost funkce Spojitost funkce Varianta A Spojitost funkce Varianta B Spojitost funkce Varianta C Diferenciální počet Spojitost funkce v bodě Spojitost funkce v intervalu Spojitost funkce v intervalu Varianta A Spojitost funkce v intervalu Varianta B Spojitost funkce v intervalu Varianta C Diferenciální počet... 43

4 Diferenciální počet 4 Limita funkce v bodě Limita funkce v bodě Varianta A Limita funkce v bodě Varianta B Limita funkce v bodě Varianta C Diferenciální počet Jednostranné limity funkce v bodě Jednostranné limity funkce v bodě Varianta A Jednostranné limity funkce v bodě Varianta B Jednostranné limity funkce v bodě Varianta C Diferenciální počet Nevlastní limity funkce v bodě Nevlastní limity funkce v bodě Varianta A Nevlastní limity funkce v bodě Varianta B Nevlastní limity funkce v bodě Varianta C Diferenciální počet Limita funkce v nevlastním bodě Limita funkce v nevlastním bodě Varianta A... 76

5 Diferenciální počet 5 Limita funkce v nevlastním bodě Varianta B Limita funkce v nevlastním bodě Varianta C Diferenciální počet Užití limit funkce Užití limit funkce Varianta A Užití limit funkce Varianta B Užití limit funkce Varianta C Diferenciální počet Derivace funkce v bodě Derivace funkce v bodě Varianta A Derivace funkce v bodě Varianta B Derivace funkce v bodě Varianta C Diferenciální počet Derivace elementárních funkcí Derivace elementárních funkcí Varianta A Derivace elementárních funkcí Varianta B Derivace elementárních funkcí

6 Diferenciální počet 6 Varianta C Diferenciální počet Derivace funkcí v součtu, v součinu, podílu a rozdílu Diferenciální počet Derivace složené funkce Derivace složené funkce Varianta A Derivace složené funkce Varianta B Derivace složené funkce Varianta C Diferenciální počet Průběh funkce Průběh funkce monotónnost funkce Varianta A Průběh funkce extrémy funkce Varianta B Průběh funkce extrémy funkce Varianta C Diferenciální počet Průběh funkce Průběh funkce extrémy funkce pomocí 2. derivace Varianta A Průběh funkce konvexnost a konkávnost funkce Varianta B Průběh funkce inflexní body funkce Varianta C

7 Diferenciální počet 7 Diferenciální počet Průběh funkce Průběh funkce Varianta A Průběh funkce Varianta B Průběh funkce Varianta C Diferenciální počet Užití diferenciálního počtu Užití diferenciálního počtu Varianta A Užití diferenciálního počtu Varianta B Užití diferenciálního počtu Varianta C

8 Diferenciální počet 8 Diferenciální počet Elementární funkce Základní vlastnosti funkcí zopakovat: co je funkce, definiční obor -, obor hodnot funkce -, graf funkce, rovnost funkcí, funkce sudá a lichá, funkce klesající a rostoucí, funkce prostá, funkce inverzní, funkce složená, funkce omezená, funkce periodická, extrémy funkce. Tyto vlastnosti funkcí se nevyšetřují pouze v celém definičním oboru, ale většinou v nějakém intervalu, který je podmnožinou definičního oboru funkce. 1) Polynomická funkce n-tého stupně Kde n je celé nezáporné číslo, jsou reálné koeficienty, kde. Definiční obor jsou reálná čísla. Příklady jednoduchých polynomických funkcí: konstantní funkce lineární funkce kvadratická funkce 2) Racionální funkce Definičním oborem funkce je množina reálných čísel, kromě všech nulových bodů polynomu Q (x). (to jsou čísla x, pro která platí ) Mezi nejdůležitější racionální funkce patří:

9 Diferenciální počet 9 a) Nepřímá úměrnost y 0 x k 1 k 1 k 1 b) Lineární lomená funkce y d c a c 0 x

10 Diferenciální počet 10 3) Mocninná funkce přirozený exponent celý záporný exponent racionální exponent n x y n x y 0 n x y n x y 0 0 n q q p x y q p 2,, x y 1 2,, n q q p x y q p

11 Diferenciální počet 11 4) Exponenciální funkce 0 a 1 a ) Logaritmická funkce a a 1

12 Diferenciální počet 12 6) Goniometrické funkce y 1 0 x - 1 y 0 x -1 y 0

13 Diferenciální počet 13 y 0 x x 7) Absolutní hodnota reálného čísla y x 8) Signum reálného čísla 1-1

14 Diferenciální počet 14 9) Celá část reálného čísla (intičr) Celá část reálného čísla x je celé číslo n, pro které platí. y x Umět načrtnout grafy funkcí V diferenciálním počtu se často využívá vlastností - rovnost funkce a složená funkce.

15 Diferenciální počet 15 Funkce f, g se rovnají na množině, platí-li pro každé. 1) 2) y 2 y x Funkce mají řadu společných vlastností, ale nerovnají se, jak vyplývá z grafu. y x 0 x 2 2 funkce se rovnají na intervalu

16 Diferenciální počet 16 Funkce h je složena z funkcí f, g právě když platí: f vnitřní funkce, g vnější funkce. Operace skládání funkcí není komutativní.

17 Diferenciální počet 17 Elementární funkce Varianta A Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce. Výsledek řešení:, Funkce je omezená shora číslem 16, není omezená zdola. Je rostoucí v intervalu, klesající v intervalu.

18 Diferenciální počet 18 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce. [ ; omezená zdola číslem 0, shora omezená není, rostoucí v, klesající v ] 2) Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce. [ ; v intervalu omezená zdola číslem 2, v intervalu omezená shora číslem 2, rostoucí v a ] 3) Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce. [ ; není omezená, rostoucí v ] 4) Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce. [ ; je omezená zdola číslem -1, shora omezená není, rostoucí na ]

19 Diferenciální počet 19 Elementární funkce Varianta B Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a určete jejich definiční obory a obory hodnot. a Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a a určete jejich definiční obory a obory hodnot. [ ]

20 Diferenciální počet 20 2) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a a určete jejich definiční obory a obory hodnot. [ ] 3) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a a určete jejich definiční obory a obory hodnot. [ ] 4) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a a určete jejich definiční obory a obory hodnot. [ ]

21 Diferenciální počet 21 Elementární funkce Varianta C Vyšetřete rovnost funkcí: y x - 1 Výsledek řešení: Funkce f a g se rovnají. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

22 Diferenciální počet 22 1) Vyšetřete rovnost funkcí: [funkce ;, pak ] 2) Vyšetřete rovnost funkcí: [funkce ; ] 3) Vyšetřete rovnost funkcí: [funkce ; ] 4) Vyšetřete rovnost funkcí: [funkce ; ]

23 Diferenciální počet 23 Diferenciální počet Spojitost funkce Spojitý představa něčeho plynulého, nepřerušovaného. Funkce je spojitá, jestliže její graf můžeme nakreslit jedním tahem. Ale jak určit spojitost funkcí, které nemůžeme načrtnout? Zkoumání spojitosti funkcí, to je sledování změn funkce v konkrétním bodě, případně v okolí tohoto bodu. Jak se mění funkční hodnoty funkce f (x) blízko hodnoty f (a), když se bude měnit x velmi málo od bodu a? Přičemž funkční hodnota funkce v bodě a může, ale i nemusí existovat. Například na obrázcích jsou grafy jednoduchých funkcí, tyto funkce nabývají odlišných vlastností v bodě 2: y y 0 2 x 0 2 x y y 0 2 x 0 2 x

24 Diferenciální počet 24 y y 0 2 x 0 2 x y y x x Okolí bodu Okolím bodu a nazýváme otevřený interval, kde delta je kladné reálné číslo. Číslo a nazýváme střed okolí a číslo delta poloměr okolí. a Delta okolí bodu a - nebo, jsou všechna reálná čísla x, která vyhovují nerovnostem

25 Diferenciální počet 25 Levým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval číslo., kde delta je kladné reálné a Pravým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval číslo., kde delta je kladné reálné a Prstencové okolí bodu a (redukované okolí) Množina, dostaneme vyjmutím bodu a z okolí bodu a.. (z levého okolí i pravého okolí vyjmeme bod a). a Přírůstek argumentu a přírůstek funkce proměnná x se nazývá argument funkce y je funkcí argumentu x. Nechť funkce f je definována v nějakém okolí bodu a, nechť. Rozdíl nazýváme přírůstek argumentu v bodě a, označujeme. Nechť funkce f je definována v nějakém okolí bodu a, nechť. Rozdíl nazýváme přírůstek funkce v bodě a odpovídající přírůstku argumentu a označujeme.

26 Diferenciální počet 26 y y f(a) f(x) 0 x a x x

27 Diferenciální počet 27 Spojitost funkce Varianta A Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá. y x Výsledek řešení: ; Funkce není spojitá.

28 Diferenciální počet 28 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá. y x [ ; ; Funkce není spojitá] 2) Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá. y x [ ; ; Funkce není spojitá]

29 Diferenciální počet 29 3) Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá. y x - 12 [ ; Funkce je spojitá] 4) Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá. y x [ ; ; Funkce je spojitá]

30 Diferenciální počet 30 Spojitost funkce Varianta B Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v rovnici: Hledáme taková x, pro která bude platit, že vzdálenost od bodu 5 na číselné ose musí být menší než Výsledek řešení: Řešením je každý bod intervalu. Interval považujeme za okolí bodu 5 s poloměrem, jeho středem je číslo 5. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v rovnici: [ ] 2) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v rovnici: [ ] 3) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v rovnici: [ ] 4) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v rovnici: [ ]

31 Diferenciální počet 31 Spojitost funkce Varianta C Vyjádřete přírůstek funkce, a určete jeho hodnotu pro, je-li. Výsledek řešení: Hodnota přírůstku funkce pro pro, a je. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete přírůstek funkce, a určete jeho hodnotu pro, je-li. [ ] 2) Vyjádřete přírůstek funkce, a určete jeho hodnotu pro, je-li. [ ]

32 Diferenciální počet 32 3) Vyjádřete přírůstek funkce a určete jeho hodnotu pro, je-li. 4) Vyjádřete přírůstek funkce a určete jeho hodnotu pro, je-li. [ ] [ ]

33 Diferenciální počet 33 Diferenciální počet Spojitost funkce v bodě Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a). Úloha 1: Exponenciální funkce, která je definována v okolí bodu. Sledujeme hodnoty x okolo bodu 2, a funkční hodnoty okolo bodu 9. Když se bod x blíží k bodu 2, blíží se hodnoty funkce f (x) k hodnotě 9. Tzn., že funkce f je spojitá v bodě 2. Ať zvolíme jakkoliv malé okolí bodu 9 na ose y, vždy se podaří najít takové okolí bodu 2 na ose x, tak y x

34 Diferenciální počet 34 Jestliže je funkce spojitá v bodě a, musí být definována nejen v bodě a, ale i v jistém okolí bodu a. Funkce je spojitá v každém bodě. Funkce je spojitá v každém bodě. Funkce je spojitá v každém bodě. Funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Funkce je pro n liché spojitá v a pro n sudé je spojitá v intervalu. Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a, pak je také spojitou funkcí v bodě a jejich součet f + g, rozdíl f - g, součin f. g a podíl f / g.

35 Diferenciální počet 35 Spojitost funkce v intervalu Funkce f je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému existuje takové, že nerovnost je splněna pro všechna x z intervalu. Funkce f je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému existuje tak, že nerovnost je splněna pro všechna x z intervalu. Příklad: Tyto funkce nejsou spojité v bodě -4, 4, ale jsou jednostranně spojité. y 2 f f : y x 4 g g : y 4 x y x 0 4 x Funkce f je spojitá v bodě a, právě když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva. Funkce je spojitá v otevřeném intervalu, je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu, je-li spojitá v, a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Funkce a jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Funkce je pro n liché spojitá v a pro n sudé je spojitá v intervalu.

36 Diferenciální počet 36 Věta Weierstrassova. Je-li funkce spojitá v uzavřeném intervalu, existuje alespoň jeden takový bod, že platí, a alespoň jeden takový bod, že platí. Funkce spojitá v uzavřeném intervalu nabývá v tomto intervalu alespoň v jednom bodě maxima a alespoň v jednom bodě minima. Funkce je omezená v tomto intervalu. f x 1 y f x 2 0 a x b x x 1 2

37 Diferenciální počet 37 Věta Bolzanova Weierstrassova. Je-li funkce f spojitá v a, potom ke každému číslu K, které leží mezi čísly a, existuje alespoň jeden takový bod, že. y f(a) K f(b) 0 a c b x (Darbouxova vlastnost) Je-li funkce f spojitá v a mají-li čísla a, různá znaménka, tj. potom existuje alespoň jeden takový bod, v němž platí. y b 0 a c c c x V okolí bodu c tedy mění hodnoty funkce f znaménko + na nebo znaménko na +. Nejdříve určíme body c, pro které je pak zkoumáme znaménka hodnot dané funkce.

38 Diferenciální počet 38 Spojitost funkce v intervalu Varianta A Ukaž, že rovnice má kořen v intervalu. Výsledek řešení: Využíváme Darbouxovy vlastnosti: I) Funkce je spojitá v intervalu. II) Pro funkci platí: III) Jsou splněny všechny předpoklady, proto existuje, takové, že. (c je kořen rovnice) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ukaž, že rovnice má kořen v intervalu. 2) Ukaž, že rovnice má kořen v intervalu. 3) Ukaž, že rovnice má kořen v intervalu. 4) Ukaž, že rovnice má kořen v intervalu.

39 Diferenciální počet 39 Spojitost funkce v intervalu Varianta B V řešte nerovnici. Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) V řešte nerovnici. [ ] 2) V řešte nerovnici. [ ]

40 Diferenciální počet 40 3) V řešte nerovnici [ ] 4) V řešte nerovnici [ ]]

41 Diferenciální počet 41 Spojitost funkce v intervalu Varianta C V řešte nerovnici Výsledek řešení: Nebo Řešení můžeme efektivně nalézt pomocí tabulky, kde vyjádříme znaménko funkce v daném intervalu Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

42 Diferenciální počet 42 Příklady k procvičení: 1) V řešte nerovnici [ ] 2) V řešte nerovnici [ ] 3) V řešte nerovnici [ ] 4) V řešte nerovnici [ ]

43 Diferenciální počet 43 Diferenciální počet Limita funkce v bodě Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a tak, že pro všechna z tohoto okolí náleží hodnoty f (x) zvolenému okolí bodu L. platí: - Nezáleží na tom, zda f (a) je či není definováno. - Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu. Příklad: Nakreslete graf funkce. 3 y x f 0,3 x f 0 x f f 3 x f 0,2 x 3 x f 0,1 x 0,3 0,2 0,1 3 x x 3 x x 3 x x 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2 0, ,09 0,04 0,01 0,09 0,04 0,01 Když za x budeme dosazovat hodnoty blízké bodu a = 0, pak odpovídající hodnoty f (x) budou blízké hodnotě L = 1. Zdá se, že se můžeme k hodnotě L = 1 přiblížit libovolně blízko. Ovšem za x nemůžeme dosadit a = 0. Je to obdobné jako u spojitosti funkce, ale rozdíl je v tom, že f (a) pro a = 0 nemusí být definována. Nezáleží na tom, zda f (a) je či není definována. Pro čísla x velmi blízká k bodu a = 0 jsou funkční hodnoty f (x) velmi blízko k číslu L = 1.

44 Diferenciální počet 44 Hlavní rozdíl mezi limitou a spojitostí funkce je v okolí bodu a. U spojitosti požadujeme, aby funkce byla v bodě a definována, u definice limity nezávisí na tom, zda je funkce v bodě a definována, či nikoliv. U limity hodnota f (a) nerozhoduje o určení. Pracujeme s okolím bodu a, ze kterého je bod a vyjmut. Funkce f je spojitá v bodě a pravě tehdy, když. Věta o limitě dvou funkcí: Jestliže platí, že a současně, potom má v bodě a limitu i funkce f a platí. Počítáme-li, kde P(x), Q(x) jsou polynomické funkce a platí P(a) = 0, Q(a) = 0, potom mají polynomy společného dělitele (x a). Pokud by opět platilo, že R(a) = 0, S(a) = 0, pak Pokud by opět platilo, že R(a) 0, S(a) = 0, pak řešíme (dozvíme se později). Věta o třech limitách Jestliže pro všechna z jistého okolí bodu a platí a současně, potom existuje také limita funkce g v bodě a, platí. Limita

45 Diferenciální počet 45 y y = x y = sin x V blízkosti bodu 0 grafy obou funkcí téměř splývají. Můžeme tedy tvrdit, že pro velmi malé hodnoty x lze psát. 0 x Věty o součtu, rozdílu, součinu a podílu limit. Jestliže f x A,lim g x B lim potom platí: x a x a

46 Diferenciální počet 46 Limita funkce v bodě Varianta A Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: Výsledek řešení: Racionální funkce Je spojitá v, proto pro každé je rovna funkční hodnotě. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: 2) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] [f:, g: ]

47 Diferenciální počet 47 3) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ]

48 Diferenciální počet 48 Limita funkce v bodě Varianta B Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: Výsledek řešení: Racionální funkce Není spojitá v, definiční obor funkce je není spojitá v tomto bodě. Využijeme věty o dvou limitách: Provedeme úpravu funkce. Funkce není v bodě 1 definována, Funkce je spojitá v, proto. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

49 Diferenciální počet 49 Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] 2) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] 3) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ]

50 Diferenciální počet 50 Limita funkce v bodě Varianta C Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: Výsledek řešení: Racionální funkce Není spojitá v, definiční obor funkce je je v tomto bodě spojitá. Využijeme věty o součtu limit:. Funkce je v bodě 1 definována, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: 2) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] [f:, g: ]

51 Diferenciální počet 51 3) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [f:, g: ]

52 Diferenciální počet 52 Diferenciální počet Jednostranné limity funkce v bodě Jako je funkce spojitá zprava a zleva, může existovat limita zprava a zleva. Příklad: y y 1 f 1 g 0 x 0 x 1 y h y k 0 x -1 0 x Pro funkce h(x), k(x) limita v bodě 0 neexistuje, ale tyto funkce mají jednostranné limity.

53 Diferenciální počet 53 Funkce f má v bodě a limitu L zleva, jestliže ke každému - okolí bodu L existuje levé okolí bodu a tak, že pro všechna z levého okolí bodu a patří funkcí hodnoty f(x) do - okolí bodu L. Funkce f má v bodě a limitu L zprava, jestliže ke každému - okolí bodu L existuje pravé okolí bodu a tak, že pro všechna z pravého okolí bodu a patří funkcí hodnoty f(x) do - okolí bodu L. Limita funkce f v bodě a existuje, právě když existují v bodě a limity zprava a zleva a jsou si rovny. Potom se limita funkce f v bodě a rovná společné hodnotě limit zprava a zleva. Příklady: y y f g x 0 x

54 Diferenciální počet 54 y h 1 0 x

55 Diferenciální počet 55 Jednostranné limity funkce v bodě Varianta A Vypočtěte limitu funkce: Výsledek řešení: Funkce není spojitá v, definiční obor funkce je pouze jednostranně (zprava).. Limitu této funkce můžeme určit y f 2 0 x Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ]

56 Diferenciální počet 56 2) Vypočtěte limitu funkce: 3) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ] [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ]

57 Diferenciální počet 57 Jednostranné limity funkce v bodě Varianta B Vypočtěte limitu funkce: Výsledek řešení: Funkce není spojitá v, definiční obor funkce je pouze jednostranně (zleva).. Limitu této funkce můžeme určit y f 3 0 x Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ]

58 Diferenciální počet 58 2) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ] 3) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce: [f:, g: ]

59 Diferenciální počet 59 Jednostranné limity funkce v bodě Varianta C Vypočtěte limitu funkce: Výsledek řešení: Funkce je spojitá v, definiční obor funkce je. y f 2 0 x Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce: 2) Vypočtěte limitu funkce: [f:,] [f:,]

60 Diferenciální počet 60 3) Vypočtěte limitu funkce: 4) Vypočtěte limitu funkce: [f:,] [f:,]

61 Diferenciální počet 61 Diferenciální počet Nevlastní limity funkce v bodě V případě, že funkce má limitu rovnu reálnému číslu, říkáme této limitě limita vlastní. Jestliže, jsou funkční hodnoty v absolutní hodnotě velké, říkáme, že funkce má v bodě a nevlastní limitu. Funkce f má v bodě a nevlastní limitu, jestliže ke každému číslu K existuje takové, že pro všechna, z okolí bodu a je., y f 0 x Funkční hodnoty funkce rostou nade všechny meze, ať se blížíme k nule zprava, nebo zleva. Zvolím-li libovolné číslo K, vždy najdeme takové, že pro všechna bude. V tomto případě má funkce limitu v nekonečnu.

62 Diferenciální počet 62 Funkce f má v bodě a nevlastní limitu, jestliže ke každému číslu K existuje takové, že pro všechna, z okolí bodu a je., y f x Čím blíže bude x k nule, tím bude větší funkční hodnota, ale záporná. Funkce f má v bodě a nevlastní limitu, že pro všechna je. zleva, jestliže ke každému číslu K existuje takové, y 0 x

63 Diferenciální počet 63 Funkce f má v bodě a nevlastní limitu, že pro všechna je. zleva, jestliže ke každému číslu K existuje takové, y f Funkce f má v bodě a nevlastní limitu takové, že pro všechna je. zprava, jestliže ke každému číslu K existuje, y 0 1 x

64 Diferenciální počet 64 Funkce f má v bodě a nevlastní limitu takové, že pro všechna je. zprava, jestliže ke každému číslu K existuje, y 0 1 x

65 Diferenciální počet 65 Nevlastní limity funkce v bodě Varianta A Vypočtěte limitu funkce: Výsledek řešení: Funkce není spojitá v, definiční obor funkce je. Nezáleží, zda se k bodu 0 přibližujeme zleva, či zprava v obou případech rostou funkční hodnoty nade všechny meze. y f 0 x Zvolíme si, pak stačí zvolit. Bude platit, že je Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

66 Diferenciální počet 66 Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce: 2) Vypočtěte limitu funkce: [f:,g: ] 3) Vypočtěte limitu funkce: [f:,g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce: [f:,g: ] [f:,g: ]

67 Diferenciální počet 67 Nevlastní limity funkce v bodě Varianta B Vypočtěte limitu funkce: Výsledek řešení: Funkce není spojitá v, definiční obor funkce je. Nezáleží, zda se k bodu 0 přibližujeme zleva, či zprava v obou případech rostou funkční hodnoty nade všechny meze, ale v záporných hodnotách. y f 0 x Zvolíme si, pak stačí zvolit. Bude platit, že je Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

68 Diferenciální počet 68 Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce: 2) Vypočtěte limitu funkce: [f:,g: ] 3) Vypočtěte limitu funkce: [f:,g: ] 4) Vypočtěte limitu funkce: [f:,g: ] [f:,g: ]

69 Diferenciální počet 69 Nevlastní limity funkce v bodě Varianta C Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: Výsledek řešení: Funkce není spojitá v, definiční obor funkce je. Záleží, zda se k bodu 0 přibližujeme zleva, či zprava v obou případech rostou funkční hodnoty nade všechny meze v kladných hodnotách i v záporných hodnotách. y f 0 x Počítáme zde limitu zprava a limitu zleva. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

70 Diferenciální počet 70 Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: 2) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [zleva, zprava ] 3) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [zleva, zprava ] 4) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě: [zleva, zprava ] [zleva, zprava ]

71 Diferenciální počet 71 Diferenciální počet Limita funkce v nevlastním bodě Funkce f má v nevlastním bodě limitu L, jestliže ke každému existuje takový bod, že pro všechna patří funkční hodnoty f (x) do okolí., y 0 x Když x roste nade všechny meze, a blíží se k nekonečnu, funkční hodnoty jsou stále menší a blíží se k nule. Funkce f má v nevlastním bodě limitu L, jestliže ke každému existuje takový bod, že pro všechna patří funkční hodnoty f (x) do okolí., y Když se x bude přibližovat k minus nekonečnu, budou se funkční hodnoty blížit k x -1

72 Diferenciální počet 72 Funkce f má v nevlastním bodě limitu, jestliže ke každému číslu K existuje takové číslo, že pro všechna platí., y Když x roste nade všechny meze, a blíží se k plus nekonečnu, funkční hodnoty se také přibližují k plus nekonečnu. 0 1 x Funkce f má v nevlastním bodě limitu, jestliže ke každému číslu K existuje takové číslo, že pro všechna platí., y 0 x Když x roste nade všechny meze, a blíží se k plus nekonečnu, funkční hodnoty se přibližují k minus nekonečnu.

73 Diferenciální počet 73 Funkce f má v nevlastním bodě limitu, jestliže ke každému číslu K existuje takové číslo, že pro všechna platí., y Když x se blíží k minus nekonečnu, funkční hodnoty se přibližují k plus nekonečnu. 0 x Funkce f má v nevlastním bodě limitu, jestliže ke každému číslu K existuje takové číslo, že pro všechna platí., y 2 Když x se blíží k minus nekonečnu, funkční hodnoty se přibližují také k minus nekonečnu x

74 Diferenciální počet 74 Celkem existuje 15 typů limit. Nevlastních limit je 10 typů. Funkce může mít jeden z 5 typů vlastní limity, kdy limitou je reálné číslo. Při výpočtu limit jsou důležité tzv. neurčité výrazy:,,,,,, u těchto výrazů není možné určit limitu pouhým dosazením. Platí následující vztahy: I) II) III)

75 Diferenciální počet 75 Důležité limity Je-li Je-li

76 Diferenciální počet 76 Limita funkce v nevlastním bodě Varianta A Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. Výsledek řešení: Funkce není spojitá v, definiční obor funkce je. Záleží, zda se hodnoty pro x přibližují k nebo k v obou případech se funkční hodnoty přibližují k ose x (funkční hodnoty jdou k nule). y f 0 2 x

77 Diferenciální počet 77 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. 2) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] 3) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] [f:, g: ]

78 Diferenciální počet 78 Limita funkce v nevlastním bodě Varianta B Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. Výsledek řešení: Funkce Je spojitá v, definiční obor funkce je. Záleží, zda se hodnoty pro x přibližují k nebo k v obou případech funkční hodnoty rostou do plus nekonečna. y f 0 x - 4 Při výpočtu limit v nevlastních bodech postupujeme tak, že vytýkáme člen s nejvyšší mocninou, který určuje výsledek limity.

79 Diferenciální počet 79 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] 2) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. 3) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] [f:, g: ] 4) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ]

80 Diferenciální počet 80 Limita funkce v nevlastním bodě Varianta C Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. 2) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] [f:, g: ]

81 Diferenciální počet 81 3) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. 4) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě. [f:, g: ] [f:, g: ]

82 Diferenciální počet 82 Diferenciální počet Užití limit funkce Asymptoty grafu funkce S asymptotami funkce se setkáváme hlavně u hyperbol, ale i u elementárních funkcí (exponenciální, logaritmická, tangens). Ne každá funkce má své asymptoty. Asymptoty nám umožňují sestrojení grafu funkce, neboť funkce se k asymptotě přibližuje. Máme dva druhy asymptot, asymptoty se směrnicí, asymptoty bez směrnice. Asymptoty se směrnicí mají vyjádření ve tvaru. Asymptoty bez směrnice mají vyjádření ve tvaru, kde bod c je bod, v němž není funkce definována, ale je definována v nebo v. Asymptota se směrnicí Je dána funkce f, jejíž graf je na obrázku a přímka p. Co musí být splněno pro přímku p, aby byla asymptotou grafu funkce? Jestliže se x, které náleží definičnímu oboru funkce blíží k hodnotám, případně, pak se velikost rozdílu bude blížit k nule. Toto vyjádření mnohem přesněji popisuje limita funkce. y f d y ax b 0 x x p

83 Diferenciální počet 83 Přímku nazveme asymptotou grafu funkce, jestliže pro x blížící se k nebo se rozdíl bude blížit k nule. Jak určíme konstanty a, b v rovnici? Asymptota bez směrnice Jsou to přímky rovnoběžné s osou y. Tato asymptota nemůže nikdy protnout graf funkce, jinak by to nebyla funkce, tzn., že graf funkce se pouze přibližuje k této asymptotě. Nechť je funkce definována v. Přímka o rovnici se nazývá asymptota bez směrnice grafu funkce f, právě když má funkce f v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. Body, ve kterých mohou být asymptoty bez směrnice, jsou takové body, ve kterých není funkce definována. V těchto bodech vyšetřujeme jednostranné nevlastní limity. Pokud existuje aspoň jedna taková limita, pak přímka je asymptotou bez směrnice.

84 Diferenciální počet 84 Tečna grafu funkce Tečna je přímka, která má s kružnicí společný právě jeden bod. Tečna je kolmá ke spojnici středu O a bodu dotyku T. Prochází-li přímka dvěma různými body S, T kružnice, je přímka TS sečnou kružnice. Čím blíže zvolíme bod S k bodu T, tím méně se poloha sečny TS liší od polohy tečny t kružnice v bodě T. Říkáme, že tečna t je mezní nebo též limitní polohou sečny TS, blíží-li se bod S po kružnici k bodu T. T t O S Úloha: Mějme zadanou parabolu. Na této parabole leží bod. Tento bod bude dotykový bod pro tečnu této paraboly. Zvolme na parabole bod S, vyjádřeme přímku ST (sečnu). Pokusme se najít vyjádření tečny, která prochází bodem T s využitím limity funkce. Bod S má souřadnice. je přírůstek funkce, odpovídající přírůstku argumentu x. Směrnice přímky ST se rovná podílu: Pro směrnici:, se bod S blíží k bodu T, limitní polohou přímky ST je tečna t v bodě T, která má Tečna t má rovnici:

85 Diferenciální počet 85 y 3 2 y S t T x x Graf funkce má v bodě který náleží funkci f tečnu se směrnicí právě když v bodě existuje vlastní limita: Pak tečna procházející bodem je přímka o rovnici:

86 Diferenciální počet 86 Užití limit funkce Varianta A Určete asymptoty grafu funkce Výsledek řešení: Asymptota bez směrnice má vyjádření: Asymptoty se směrnicí: Asymptoty se směrnicí: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

87 Diferenciální počet 87 Příklady k procvičení: 1) Určete asymptoty grafu funkce [ ] 2) Určete asymptoty grafu funkce [ ] 3) Určete asymptoty grafu funkce [ ] 4) Určete asymptoty grafu funkce [ ]

88 Diferenciální počet 88 Užití limit funkce Varianta B Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě T, který má danou souřadnici x.,. Výsledek řešení: Tečna ke grafu funkce má rovnici: Směrnice tečny má vyjádření: Souřadnice bodu T: Tečna má rovnici: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

89 Diferenciální počet 89 Příklady k procvičení: 1) Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě. [ ] 2) Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě. [ ] 3) Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě. [ ] 4) Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě. [ ]

90 Diferenciální počet 90 Užití limit funkce Varianta C Najděte rovnici tečny k dané křivce, v bodě Výsledek řešení: Rovnici křivky si vyjádříme jako funkci jedné proměnné: Směrnice tečny má vyjádření: Tečna má rovnici: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

91 Diferenciální počet 91 Příklady k procvičení: 1) Najděte rovnici tečny k dané křivce, v bodě [ ] 2) Najděte rovnici tečny k dané křivce, v bodě [ ] 3) Vypočítej odchylku tečen grafu dané funkce v bodech, [ ] 4) Vypočítej odchylku tečen grafu dané funkce v bodech, [ ]

92 Diferenciální počet 92 Diferenciální počet Derivace funkce v bodě Derivace funkce patří k infinitezimálnímu počtu. Slouží k vyšetřování průběhu funkce, určování maxim a minim, k sestrojování grafů funkcí. Má mnoho aplikací ve fyzice, chemii. Mějme funkci f definovanou v jistém okolí bodu. Existuje-li vlastní limita: nazýváme ji derivací funkce f v bodě. Derivace funkce f v bodě značíme symbolem Další obměny výpočtu derivace: Kromě symbolu se pro označení derivace používá také.

93 Diferenciální počet 93 Geometrická interpretace derivace funkce v bodě: Pro směrnici tečny v bodě. Tato limita je definována jako derivace funkce f v bodě, a proto lze psát. Rovnici tečny grafu funkce f v bodě můžeme psát jako: Funkce f má v intervalu derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě. Má-li funkce f v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá. Mějme funkci f definovanou v jistém levém, resp. Pravém okolí bodu. Existuje-li Nazýváme ji derivací funkce f v bodě zleva. Existuje-li Nazýváme ji derivací funkce f v bodě zprava. Funkce f má v intervalu derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě a v bodě a má derivaci zprava a v bodě b má derivaci zleva.

94 Diferenciální počet 94 Derivace funkce v bodě Varianta A Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. [ ] 2) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. [ ] 3) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. [ ] 4) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. [ ]

95 Diferenciální počet 95 Derivace funkce v bodě Varianta B Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. 2) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě.

96 Diferenciální počet 96 3) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. 4) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě.

97 Diferenciální počet 97 Derivace funkce v bodě Varianta C Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. 2) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě.

98 Diferenciální počet 98 3) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě. 4) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě.

99 Diferenciální počet 99 Diferenciální počet Derivace elementárních funkcí 1) Pro konstantní funkci 2) Pro funkci 3) Pro funkci 4) Pro funkci 5) Pro funkci 6) Pro funkci 7) Pro funkci 8) Pro funkci

100 Diferenciální počet 100 Derivace elementárních funkcí Varianta A Vypočtěte první derivaci funkce Výsledek řešení: Jde o derivaci mocninné funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

101 Diferenciální počet 101 3) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 4) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

102 Diferenciální počet 102 Derivace elementárních funkcí Varianta B Vypočtěte první derivaci funkce oboru. v libovolném bodě jejího definičního Výsledek řešení: Jedná se o derivaci dvou funkcí v součinu Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

103 Diferenciální počet 103 3) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 4) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

104 Diferenciální počet 104 Derivace elementárních funkcí Varianta C Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce Výsledek řešení: Jedná se o derivaci dvou funkcí v podílu Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

105 Diferenciální počet 105 3) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 4) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

106 Diferenciální počet 106 Diferenciální počet Derivace funkcí v součtu, v součinu, podílu a rozdílu Jestliže funkce a mají v bodě derivaci, má v bodě derivaci i součet, rozdíl a součin funkcí a a pro i podíl : Pro funkci

107 Diferenciální počet 107 Diferenciální počet Derivace složené funkce Většina funkcí je složena z funkcí elementárních, jejichž derivace již známe. Derivaci složené funkce provedeme následovně. Jestliže funkce má derivaci v bodě a jestliže funkce má derivaci v bodě, má složená funkce derivaci v bodě a platí: Derivace složené funkce, kde v bodě je součinem dvou čísel, hodnoty derivace vnější funkce, podle z v bodě a hodnoty derivace vnitřní funkce podle x v bodě. Derivace exponenciální a logaritmické funkce Pro funkci Pro funkci Pro funkci Pro funkci

108 Diferenciální počet 108 Derivace složené funkce Varianta A Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce Výsledek řešení: Jedná se o derivaci dvou funkcí v součinu Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

109 Diferenciální počet 109 3) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 4) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

110 Diferenciální počet 110 Derivace složené funkce Varianta B Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce Výsledek řešení: Jedná se o derivaci složené funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

111 Diferenciální počet 111 3) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 4) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

112 Diferenciální počet 112 Derivace složené funkce Varianta C Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce Výsledek řešení: Jedná se o derivaci složených funkcí v součinovém tvaru. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

113 Diferenciální počet 113 3) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru. 4) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

114 Diferenciální počet 114 Diferenciální počet Průběh funkce Vyšetřujeme průběh funkce. Základem jsou věty pro zkoumání průběhu funkcí, které objasňují vlastnosti funkcí. Tyto vlastnosti určujeme pomocí diferenciálního počtu. Rolleova věta: Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu. b) v každém bodě otevřeného intervalu má derivaci c) Potom existuje v otevřeném intervalu aspoň jeden bod c, v němž. f(c) y T t funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a hodnoty. Graf má v každém bodě tečnu. Mezi těmito tečnami bude aspoň jedna rovnoběžná s osou x. Dotykový bod 0 a c b x T má souřadnice.

115 Diferenciální počet 115 Příklad: Zjisti, zda tato funkce vyhovuje předpokladům Rolleovy věty. y 4 T t 3 f Existuje aspoň jedno, v němž x Příklad: Zjisti, zda tato funkce vyhovuje předpokladům Rolleovy věty. y Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu,, ale funkce nemá derivaci v každém bodě otevřeného intervalu ( derivace neexistuje). 0 x

116 Diferenciální počet 116 Lagrangeova věta o střední hodnotě umožňuje odhadnout přírůstek funkce na základě její derivace. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu b) v každém bodě otevřeného intervalu má derivaci Potom existuje v otevřeném intervalu aspoň jeden bod c, pro který platí: y T t B A 0 a c b x Graf funkce, která splňuje podmínky Lagrangeovy věty, má v každém bodě Tětiva spojující body grafu má směrnici tečnu. Podle Lagrangerovy věty existuje aspoň jedna tečna, která má stejnou směrnici. Existuje aspoň jeden bod grafu dané funkce, v němž je tečna t rovnoběžná s tětivou AB. Platí-li pro každé, potom f je konstantní funkce.

117 Diferenciální počet 117 Monotónnost funkce a derivace Jde o zjištění monotónnosti funkce (rostoucí, klesající) pomoci derivace. Má-li funkce f v každém bodě intervalu kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Máli funkce f v každém bodě intervalu zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Důkaz: Jsou-li dva libovolné různé body intervalu, je uzavřený interval částí intervalu. Podle Lagrangeovy věty existuje takové číslo, že platí: Je-li. Protože Tzn., že funkce je rostoucí. Je-li. Protože Tzn., že funkce je klesající. Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti.

118 Diferenciální počet 118 Extrémy funkce a 1. derivace Extrémy funkce jsou maxima a minima funkce, (největší a nejmenší hodnota funkce) na dané množině. Touto množinou je nejčastěji definiční obor funkce nebo nějaký uzavřený interval, který je podmnožinou tohoto definičního oboru. y 0 x Funkce f nabývá na svém definičním oboru (množina reálných čísel) největší hodnoty v bodě, nejmenší hodnoty v bodě. V bodech, nabývá funkce hodnot, které již nejsou nejmenší a největší na celém definičním oboru. Jsou to lokální minima a lokální maxima. V bodech, nabývá funkce globálního maxima a minima. Lokální maximum, případně minimum, kterých funkce nabývá v jistém uzavřeném intervalu, nemusí být vždy největší, případně nejmenší hodnotou funkce v tomto intervalu. Pokud interval omezíme jinak, potom se můžou funkční hodnoty funkce změnit, většinou to bývají krajní body intervalu, kde funkce dosahuje globální extrémy. Funkce f má v bodě lokální maximum, existuje-li takové okolí bodu, že pro všechna x z platí:. Funkce f má v bodě lokální minimum, existuje-li takové okolí bodu, že pro všechna x z platí:.

119 Diferenciální počet 119 Pokud platí ostrá nerovnost, jde o ostré lokální extrémy. Má-li funkce f v bodě lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace, pak platí:. Obrácená věta neplatí, to znamená, že pokud má funkce v bodě derivaci, která je nulová, nemusí mít v tomto bodě extrém (bod je pouze podezřelý z extrému). Stacionární body Jak postupujeme při určování lokálních extrémů funkce. Z podmínky nemusí nutně vyplývat, že funkce má v bodě lokální extrém. Má-li funkce v bodě derivaci a je-li, pak bod nazýváme nulovým bodem 1. derivace nebo také stacionárním bodem. Tyto stacionární body jsou řešením rovnice. V těchto bodech může, ale nemusí mít funkce lokální extrémy. Tyto body jsou pouze podezřelé z extrémů. Nechť. Jestliže existuje takové okolí, že v intervalech a má různá znaménka, má funkce f v bodě ostrý lokální extrém. Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě lokální maximum, mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě lokální minimum. Nemění-li se znaménko, lokální extrém v bodě nenastává. Možnosti průběhu funkce okolo stacionárního bodu znázorňují obrázky. Krajní grafy ukazují možnost extrému funkce.

120 Diferenciální počet 120 Průběh funkce monotónnost funkce Varianta A Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce. Výsledek řešení: Hledáme intervaly, ve kterých je, a ve kterých je. Funkce je rostoucí v intervalu a. Funkce je klesající v intervalu. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce.

121 Diferenciální počet 121 [f: rostoucí v, klesající v g: rostoucí v a klesající v ] 2) Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce. [f: rostoucí v, klesající v g: rostoucí v a klesající v ] 3) Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce. [f: klesající v g: rostoucí v, klesající v ] 4) Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce. [f: rostoucí v g: rostoucí v, klesající v ]

122 Diferenciální počet 122 Průběh funkce extrémy funkce Varianta B Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. Výsledek řešení: Stacionární body jsou vlastnost funkce kolem těchto bodů:, jsou to body podezřelé z extrémů funkce. Zkoumejme Funkční hodnoty funkce f v okolí bodu 2 jsou menší než funkční hodnota funkce v bodě 2. Funkce má v bodě maximum. Funkční hodnoty funkce f v okolí bodu 3 jsou větší než funkční hodnota funkce v bodě 3. Funkce má v bodě minimum.

123 Diferenciální počet 123 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě, minimum v bodě ] 2) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě, minimum v bodě ] 3) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě, minimum v bodě ] 4) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě, minimum v bodě ]

124 Diferenciální počet 124 Průběh funkce extrémy funkce Varianta C Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. Výsledek řešení: Stacionární body jsou, jsou to body podezřelé z extrémů funkce. Zkoumejme vlastnost funkce kolem těchto bodů pomocí první derivace: V okolí stacionárního bodu mění první derivace znaménko z minus na plus. Funkce se mění z klesající na rostoucí, proto v bodě existuje minimum. V okolí stacionárního bodu mění první derivace znaménko z plus na minus. Funkce se mění z rostoucí na klesající, proto v bodě existuje maximum. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

125 Diferenciální počet 125 Příklady k procvičení: 1) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě, minimum v bodě ] 2) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě, minimum v bodě ] 3) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě minimum v bodě ] 4) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě minimum v bodě ]

126 Diferenciální počet 126 Diferenciální počet Průběh funkce Extrémy funkce a 2. derivace Pomocí 1. derivace lze určovat extrémy funkce, pokud vyšetříme vlastnosti funkce v okolí stacionárního bodu. Pokud dochází ke změně znaménka první derivace funkce v okolí stacionárního bodu, pak v tomto bodě existuje extrém. Lokální extrém lze určit pomocí 2. derivace, pokud je to výhodné a jednodušší než znaménkové změny pomocí 1. derivace. Pokud je výpočet 2. derivace jednodušší než určování znaménkové změny. y x

127 Diferenciální počet 127 Z grafu funkce, lze určit, kde nabývá funkce kladných hodnot, kde záporných, kde je rovna nule. Podle tohoto průběhu můžeme určit, kde je funkce monotónní a její lokální extrémy. Pomocí grafu určíme extrémy funkce. je - má v tomto intervalu maximum. je - má v tomto intervalu minimum. Nechť a nechť existuje v bodě druhá derivace. Je-li, má funkce f v bodě ostré lokální maximum, je-li, má funkce f v bodě ostré lokální minimum. Je-li, nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout. Potom je třeba zjistit existenci extrému funkce pomocí znaménkové změny 1. derivace v okolí bodu.

128 Diferenciální počet 128 Konvexnost a konkávnost funkce Grafy funkcí mohou být na svém definičním oboru, nebo na podmnožině tohoto definičního oboru konkávní, nebo konvexní. y y t konvexní t konkávní 0 x 0 x Kdybychom sestrojovali k těmto grafům tečny v libovolných bodech, pak v prvním případě vždy leží graf funkce nad tečnou, ve druhém případě vždy leží graf funkce pod tečnou. Obě dvě funkce jsou rostoucí, ale z hlediska tečen jsou opačné. Funkce f, která má derivaci v bodě, je v bodě konvexní, existuje-li takové okolí bodu, že leží body grafu funkce f nad tečnou sestrojenou v bodě. Funkce f, která má derivaci v bodě, je v bodě konkávní, existuje-li takové okolí bodu, že leží body grafu funkce f pod tečnou sestrojenou v bodě. Je-li, pak je funkce f v bodě konvexní. Je-li, pak je funkce f v bodě konkávní. Jestliže v každém bodě intervalu platí, že Jestliže v každém bodě intervalu platí, že, pak je funkce f v intervalu konvexní., pak je funkce f v intervalu konkávní.