Časové řady elementární charakteristiky

Transkript

1 Časové řad elemeárí charakerisik Elemeárí charakerisik vývoje časové řad Příklad: Časová řada ročích produkcí elekrické eergie v Jihomoravském kraji bazický Výroba elekři.. empo růsu empo přírůsku idex () měřeí rok mil. kwh diferece diferece % % % ,6 4,6 4, ,8 8,8 3, , 4, 8, ,8 4,8 4, ,8 5,8 3, ,9 5,9 38, , 6, 47, ,9 3,9 53, ,5 -,5 5, ,8 6,8 6, ,, 6, ,7,8 65,5 x x x 465,5-75,4 4,3 4,3 - Hodo ukazaelů ve dvou obdobích lze srováva absoluě jako rozdíl hodo, ebo relaivě jako poměr hodo. Jsou-li časové ierval sejé, lze počía: Absoluí přírůsk (. diferece) dvou sousedích údajů. Pro časovou řadu o čleech lze urči celkem ( - ) absoluích přírůsků (mají rozměr) d pro, 3,...,. Mohou mí ulovou, kladou i záporou hodou. Výpoče diferecí lze vzáhou i a časovou řadu absoluích přírůsků, výsledkem je pak řada druhých diferecí d. Pro sledováí vývoje celé časové řad je vhodé vpočía průměrý absoluí přírůsek. Především u delších časových řad. Průměrý absoluí přírůsek je arimeických průměrem, lze jej modifikova i jedodušeji.

2 Časové řad elemeárí charakerisik d d ( ) + ( 3 ) ( ). Ze vzorce vplývá, že hodoa d závisí pouze a krajích hodoách řad (vhodý pouze pro mooóě se vvíjející časové řad). Výroba elekři Časová řada - výroba elekrické eergie Rok Diferece umožňují charakerizova směr, velikos a charaker absoluích změ zaku jak z lokálího ak i globálího hlediska. Pokud jsou jedolivé absoluí přírůsk řad v podsaě kosaí, o zameá, že kolísají ahodile kolem ohoo průměru, je zřejmé, že se řada měí (rose či klesá) v podsaě lieárě má lieárí red. Pokud přírůsk kolísají kolem ul, řada je bez redu (rvale ai erose ai eklesá). Pro aše údaje ( ) d 465, 5 Dále apř. parabolickému vývoji odpovídá lieárí průběh absoluích přírůsků, ebo zrchlujícímu se expoeciálímu průběhu odpovídá kosaí absoluí přírůsek logarimů průběh absoluích přírůsků lze použí k ideifikaci základího směru vývoje redu. Pokud je zřejmý red i pro řadu. diferecí (diferece se zvěšují ebo zmešují), má smsl sledova druhé, případě další diferece. Druhé diferece vpočeme jako rozdíl diferecí prvích: d ( ) ( ) d d + pro 3, 4,...,.

3 Časové řad elemeárí charakerisik Graf diferecí Absoluí přírůsek Průměrý abs. přírůsek Druhé diferece Průměr druhých diferecí Pro relaiví srováí počíáme poměr mezi sousedími čle řad, což jsou zv. řeězové idex eboli koeficie růsu, jiak aké empa růsu (obvkle v proceech). Řeězové proo, že základ (jmeovael ve zlomku), ke kerému vzahujeme srovávaou hodou, se posupě (řeězově) měí, jsou o idex s pohblivým základem. k pro, 3,...,. Koeficieů růsu je opě. Jsou bezrozměrou veličiou. V případě, že koeficie růsu jsou v časové řadě relaivě kosaí, můžeme vrdi, že pro časovou řadu je charakerisický expoeciálí red. Pak sačí časovou řadu popsa průměrým koeficieem růsu. Lieárí průběh je spoje s klesajícími ebo rosoucími koeficie růsu. Průměrý koeficie růsu pro časovou řadu vpočeme jako geomerický průměr jedolivých koeficieů růsu: k, 3,..., k k k k Průměré empo růsu průměrý koeficie růsu * k 4,3 % 4563

4 Časové řad elemeárí charakerisik Vzorec průměrého koeficieu růsu umožňuje řeši ři p úloh: ze zadaých koeficieů růsu (případě pouze obou krajích hodo časové řad) při zámé délce řad urči průměrý koeficie růsu. ze zadaého průměrého koeficieu růsu, zámé délk časové řad a jedé z obou krajích hodo urči druhou krají hodou, ze zadaého průměrého koeficieu růsu a obou krajích hodo urči její délku. Oblasi aplikace: zhodoceí vkladů, spláceí úvěrů, budoucí hodoa peěz, ad. (fiačí maemaika). Kombiací obou uvedeých přísupů k měřeí damik je relaiví přírůsek koeficie přírůsku. Souvisí s koeficieem růsu, je rove jeho hodoě zmešeé o. d δ k pro, 3,, - δ * empo přírůsku [%] Průměrý koeficie přírůsku: k - δ * průměré empo přírůsku [%]. δ Vužií při publikaci údajů o ceovém vývoji, příjmech obvaelsva, hospodářském růsu apod. Před výpočem průměru musíme zadaé přírůskové veliči převés a růsové veliči!

5 Rozklad dekompozice časové řad Časové řad dekompozice Hodoa ukazaele se v čase měí, j. časová řada má určiý vývoj v čase. Hlavím důvodem k měřeí vývoje v časové řadě je úloha o vrováí ( ierpolaci) a úloha o předpovídáí ( exrapolaci). Nejjedodušší z klasických meod popisu časových řad je meoda založeá a separaci a odděleém měřeí hlavích složek pohbu časové řad. Celkový vývoj můžeme rozděli a ři složk: redovou, periodickou a ahodilou:. Tredová složka udává hlaví, dlouhodobý směr vývoje. Pokud je řada s kosaím redem (zjedodušeě b se dalo říci bez redu), ed časová řada rovoběžá s časovou osou, hovoříme o sacioárí řadě, kd hodo ukazaele kolísají kolem určié kosaí úrově. Tred může bý dále rosoucí, klesající či sřídavý. Dále se red dělí a přímočarý, křivočarý, sálý či mělivý. Případé odklo od redu mohou mí formu skoků či zlomů ebo mohou mí formu periodického kolísáí aebo kolísáí ahodilého. Růs či pokles mohou bý eomezeé ebo shora či zdola omezeé. Tredová složka se začí smbolem T. V časové řadě sledující apř. ukazael poče arozeých děí v ČR, můžeme ají klesající red, pro ukazael sledující spořebu piva soupající red.. Periodické kolísáí (oscilace) jsou pravidelě (j. eáhodě) se opakující výkv vchlující hodou zkoumaého zaku sřídavě oběma směr od jejího hlavího vývojového směru, dlouhodobě se vrovávají. Vzačují se frekvecí či délkou period, ampliudou (velikosí výchlk) a fázovým posuem určujícím polohu maxim a miim vzhledem k počáku časové os. Řad s ouo složkou azýváme řad periodické (řad posrádající uo složku pak eperiodické). Podle délk period jsou v časových řadách (zvlášě ekoomických ukazaelů) rozlišová výkv eboli kolísáí: sezóí s periodou jede rok, j. výkv uviř roku v určiých měsících a čvrleích; apř. v časových řadách ukazaelů sledujících spořebu piva (leí špička), prodej sezóích pů výrobků jako oblečeí, sporovích pořeb, ejvěší vliv a výzam, lze ji maemaick popsa, společě s redovou složkou voří ssemaickou složku Y její měřeí azýváme vrováváím č. ř.; cklické s periodou více le, apř. cklické výkv hodo ukazaele sledujícího délku dámských sukí; výkv populace chrousů (perioda 4 rok);

6 Časové řad dekompozice krákodobé s periodou kraší ež jede rok, výkv v měsících (růs ákupů ve dech výpla), výkv v ýdech (růs ákupů poravi před víkedem), výkv ve dech (špičk v dopravě). 3. Nahodilé kolísáí pozorovaých hodo epravidelá složka. Paří sem drobé výkv vvolaé časo eposižielými příčiami, keré se dlouhodobě v podsaě vkompezují. Je v časových řadách obsažea vžd. Předchozí dvě složk jsou měře akivě, epravidelá složka se určuje meodou zbku rezidua. Průběh časové řad se ed může skláda z výše uvedeých řech složek, a ě se je sažíme saisickými posup rozloži. V běžých modelech považujeme složk redovou a periodickou za deermiisické eboli ssemaické (popsaelé maemaickými fukcemi). Složka ahodilá je aopak veličia áhodá, u keré předpokládáme, že se v dlouhodobém průměru vrovává (průměr odchlek se blíží ule). Nahodilá složka je v časové řadě vžd příoma, zaímco red a periodická složka emusí bý příom. Pak hovoříme o sacioárí řadě (je áhodá složka), ebo sacioárí periodické řadě (je áhodá a periodická složka). Klasický maemaický model časové řad, kerý budeme voli, esova a pro kerý budeme určova paramer, může bý adiiví ebo muliplikaiví. Adiiví model vsvěluje skuečé hodo zkoumaého zaku pomocí souču redu, periodické a áhodé složk: T + P + ε Y + ε T je hodoa redové složk (malé začí čas), P hodoa periodické složk a ε hodoa áhodé složk azývaá reziduum (je o odhad áhodé chb). Y ssemaická složka. Smbolika (písmea laik) začí, že máme a msli hodo vpočeé z aměřeých da (výběrové), keré pak předsavují pouhé aše odhad skuečých hodo, jež jsou vlasě epozaelé sředí hodo rozděleí základích souborů.

7 Časové řad dekompozice adiiví model 5 5 čas čas.řada period. sl. red áh.sl. Muliplikaiví model. Hodoa ukazaele je dáa součiem uvedeých ří složek: T P ε Y ε Při sledováí se eo model obvkle převede logarimickou rasformací veliči a adiiví model: log logt + logp + loge. Vrováí (vhlazeí, ierpolace, smoohig) časové řad Jedá se o proces výpoču ssemaické složk. Rozdíl mezi pozorovaou hodoou a vpočeou ssemaickou složkou Y je epravidelá složka časové řad, kerá se saoví meodou zbku, jako reziduum řad e Y. Provádíme vrováí mechaické zv. klouzavými průměr a vrováí aalické redovou fukcí.

8 Časové řad mechaické vrováí

9 Časové řad mechaické vrováí Mechaické vrováí Realisičější přísup k ssemaické složce, považuje ji za promělivou, vužií u delších časových řad, keré elze vrova jediou redovou fukcí (jediě po kraších časových úsecích, kd paramer v růzých úsecích abývají růzých hodo lokálí, posupé vrováváí). Vrováí se provádí po kraších klouzavých úsecích, kd z úseku posupě vpoušíme počáečí údaj a současě přidáváme další údaj v jeho kocové čási (kloužeme o jedo období vpřed), klouzavá čás b měla obsahova lichý poče údajů, p poče období klouzavé čási, musí plai p k +, kde k,,...,. Posloupos empirických hodo ukazaele vhlazujeme klouzavými průměr. V ejjedodušším případě pracujeme s prosým klouzavým průměrem, což je klouzavý úhr pro p období děleý počem období (ed p). Klouzavý průměr vášíme do sředu klouzavé čási sledovaých p období. Vhlazující účiek klouzavých průměrů rose spolu s rosoucí délkou klouzavé čási. Současě s ím se zvěšuje délka evrovaé čási a začáku a koci řad, kerá čií a každém z obou koců řad p období. Je-li p liché číslo (apř. 5), j. p m + (m ), pak pro prví klouzavý průměr, kerý můžeme vpočía, paří k (m+)ímu (ed ke 3.) iervalu. Teo klouzavý průměr je počíá z. až 5. hodo. m + m m + m + + m Klouzavý průměr se posupě posouvá, akže apř. k. sředovému iervalu vášíme klouzavý průměr ze souču. hodo, m (pro p 5 j. ze dvou) hodo před (8., 9.) a m hodo za (. a.). Sředový bod posledího klouzavého průměru řad s bod je (-m)ý bod. Z časové řad délk získáme celkem -m klouzavých průměrů. Do grafu pak vlasě vášíme sřed přímk proložeé daými pěi aměřeými bod. Je-li p sudé číslo, j. p m (apř. p 4, m ), používají se cerovaé klouzavé průměr. Cerovaý klouzavý průměr se pak počíá jako průměr ze dvou sousedích ecerovaých klouzavých průměrů. V ašem případě prví cerovaý klouzavý průměr vpočeme jako průměr z klouzavého průměru pro. až 4. čle (e paří do polovi klouzavé čási, ed do polovi 3. iervalu, j.,5) a z klouzavého průměru pro. až 5. čle (paří do polovi 4. iervalu, j. 3,5). Cerovaý klouzavý průměr pak paří mezi, j. a

10 Časové řad mechaické vrováí koec 3. iervalu. Cerovaé klouzavé průměr pro m čleů počíáme vlasě jako vážeé klouzavé průměr pro m+ čleů, kd prví a posledí čle počíáme s vahou, osaí s vahou a se součem vah 4m, ed m + + m + m m 4m Hodoa je vášea a koec období, prví klouzavý průměr je počíá ke koci období m+, posledí k období -m. Příklad Vrováí časové řad Výsledk prodeje za čvrleí klouzavými průměr (p 4) a regresí; časová řada s redem a sezóími výkv číslo Necer. Cerovaý Rok Čvrleí iervalu Prodej klouzavý klouzavý mil. Kč průměr průměr Vrováo regresí 5 I. 4,5 49,7 II. 53,6 5,45 III. 3 7,7 5,89 5,74 IV. 4 45, 5,75 53,4 53, 6 I. 5 4,6 53,5 54,35 54,3 II. 6 56,7 53,8 55,64 55,58 III. 7 75, 54,9 56,79 56,86 IV. 8 5, 56,375 57,54 58,4 7 I. 9 45,9 57, 58,46 59,4 II. 59,4 57,875 59, 6,7 III. 79,8 59,5 6,3 6,98 IV. 5,6 59,75 6,9 63,6 8 I. 3 5,7 6,875 63,84 64,55 II. 4 67,7 6,95 65,78 65,83 III. 5 86,9 64,75 67, IV ,85 68,39 Výpoče prvího cerovaého klouzavého průměru z abulk pro m, j. pro 3:

11 Časové řad mechaické vrováí 4,5 + 53,6 + 7,7 + 45, + 4, ,89 Volba hodo p (délk klouzavého průměru) je velmi zásadí a časo problemaická oázka. Čím věší je p, ím věší je vhlazeí, ale ím zároveň rose poče evrovaých hodo a koci a a počáku řad. U periodických řad je voleo p ak, ab se rovalo periodě, akže lze z charakeru příči periodického výkvu časo logick vvodi vhodé p. Např. u řad se sezóími výkv volíme p jede rok ed měsíců, 4 čvrleí. Vrováí dosud uvedeými klouzavými průměr předsavuje vrováváí klouzavé čási přímkou. Pokud je průběh časové řad příliš zakřiveý, je možé proloži klouzavé čási křivkou, j. polomem určiého supě (apř. kvadraickou rovicí). Pak se pracuje s vážeými klouzavými průměr. Shruo: Prosý klouzavý průměr - získáme jej vděleím klouzavého úhru délkou klouzavé čási p, - přiřadíme jej k prosředímu období klouzavé čási řad, - v případě sudého poču období eexisuje prosředí období cerováí dvou sousedích klouzavých průměrů, - shodý s posupým vrováím klouzavých čásí redovými čarami s promělivými paramer, je absoluím čleem redové přímk, vrovávajícím každou p-ici za sebou jdoucích bodů, - vhlazující účiek klouzavých průměrů se zvšuje s rosoucí délkou klouzavé čási a zároveň se prodlužují smerick položeé evrovaé čási a počáku a koci řad, - u periodických časových řad b měla délka klouzavé čási odpovída poču dílčích období period ebo bý jejich celočíselým ásobkem, evhodá volba může zamea špaé výsledk vrováí. Hlaví evýhodou použií klouzavých průměrů je evrováí kocové čási časové řad.

12 Časové řad mechaické vrováí Vrováí časové řad klouzavými průměr I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV Prodej mil. Kč. Cerovaé klouzavé průměr

13 Časové řad aalické vrováí Aalické vrováí Spočívá v proložeí pozorovaých hodo řad vhodou spojiou fukcí času redovou fukcí. Základí meodou proložeí redové fukce je meoda ejmeších čverců. Nezávisle proměou je eokrá časová proměá kerou v zájmu zjedodušeí výpoču zavádíme jedím ze dvou možých způsobů:. Hodo proměé se posupě počíají od počáečího období, j. i, i,,...,, pro jedolivé časové úsek, j. rok, či měsíce ad. Např. deseileé období od 995 až 4 po rocích posupě,,,.. Hodo jsou rasformová a sřed. Hodoa časové proměé se zavede podle i vzorce pro i,,,.. Při lichém poču čleů řad je prosředí hodoa ozačeá ulou, hodo před ulou jsou záporé (apř. pro leé období: -5, -4,...,,...,4, 5). Pro sudé poč vcházejí hodo s poloviou a koci (apř. pro čleů -4,5, -3,5, -,5, -,5, -,5,,5,,5,,5, 3,5, 4,5); Tao rasformace a sřed zjedodušuje vzorce pro regresi, ale v době počíačů o již epřiáší žádé výhod ale spíše evýhod veličiu se záporými hodoami elze řeba ěkerými způsob rasformova (apř. logarimizova). Čím sarší údaj ím má ižší váhu. Hlaví výhoda vrováí redovou fukcí proi klouzavým průměrům kví v om, že redovou fukci (maemaický vzah) lze použí k předpovědi do budoucosi. Dále dosaeme vrováí pro celou řadu echbějí hodo a počáku a a koci. Tredové fukce Saoveí rovic redové přímk, expoeciál a expoeciál s elieárí fukcí času v expoeu. Kriérium ejmeších čverců: ( ) mi T (miimalizace souču čverců odchlek skuečých hodo a jim odpovídajících eoreických hodo ležících a redové čáře). Tredové přímka: T b b b b b + b, paramer b a b určíme ze sousav ormálích rovic

14 Časové řad aalické vrováí Souče hodo časové proměé je rove ule (při druhém způsobu jejich zavedeí), proo můžeme rovou vjádři paramer: b b Směrice (b ) je eokrá průměrý absoluí přírůsek připadající a jedo období časové řad. Používá se, pokud absoluí přírůsk (prví diferece) kolísají áhodě kolem průměré prví diferece a koeficie růsu ssemaick klesají. Příklad: Pro časovou řadu prodeje (viz abulka výše) dosaeme meodou ejmeších čverců uo regresí rovici závislosi výsledku prodeje za čvrleí (mil. Kč) a pořadí čvrleí: T 47,89 +, 8 je pořadí čvrleí, akže pro. čvrleí 49,7 mil. Kč /čvrleí. Osaí výsledk jsou uvede v abulce výše. Vrováí časové řad redovou přímkou I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV Prodej mil. Kč. Přímka Tredová kvadraická fukce: T b Používá se, pokud + b + b prví diferece ssemaick rosou či klesají, druhé kolísají kolem průměré druhé diferece. Tredová expoeciála: T b + b e. Liearizuje se logarimickou rasformací do podob l mají vzorce T b b b a je-li časová proměá zavedea druhým způsobem, paramer l b l Používá se, pokud řeězové idex kolísají kolem geomerického průměru.

15 Časové řad aalické vrováí Expoeciálí fukce s kvadraickou fukcí času v expoeu: T e + b + b b Po liearizaci logarimováím: l T b + b + b. Po odlogarimováí hodo dosaeme původí paramer rovice. Vzhledem k liearizující logarimické rasformaci jsou výsledk esrovaelé (plaí i pro předchozí fukci)! (krierium ( ) mi blo zaměěo kriériem ( l l ) T mi ). T Dosud uvedeé red lze vrováva lieárí regresí (lieárí vzhledem k paramerům). Pro vrováí časových řad se však používají i fukčí závislosi, keré elze vrova ímo maemaick jedoduchým způsobem. Jsou pro ě vpracová speciálí meod výpoču jejich paramerů (Gaussova-Newoova meoda). Někeré speciálí redové fukce: Modifikovaá expoeciálí fukce: T b + b b + e. Používá se, kdž se časová řada blíží k určié kosaě shora či zdola (viz obr.) ebo se od kosa vzdaluje. Užívají se i esoviě zakřiveé fukce (růsové křivk), jako fukce logisická ebo Gomperzova. U esoviých průběhů se časová řada ejprve vzdaluje od určié kosa s rosoucí rchlosí a pak po překročeí iflexího bodu se zase sále pomaleji blíží k určié kosaě modifikovaý expoeciálí red Logisická a Gomperzova křivka T 3 T k + a a T Log. Gomp (u Gomperzov křivk je ěžišě až za iflexím bodem druhý oblouk má meší zakřiveí). Lze jimi vjádři apř. časový průběh objemu prodeje určiého spořebího zboží. Prodej ového zboží se zpočáku zvola rozebíhá. Jak se zákazíci s ovým zbožím sezamují, zájem o zboží arůsá sále rchleji. Pak se ale posupě dosahuje asceí, j. spořeba arůsá sále pomaleji, až se akoec již eměí poče uživaelů již erose, prodává se je olik, kolik spořebují. V biologii lze ěmio křivkami vsihou vývoj populace za podmík omezeých zdrojů.

16 Časové řad aalické vrováí Hodoceí výsižosi redové fukce Vizuálí posouzeí a srováí průběhu časové řad a průběhu redové čár v grafu časové řad. Zalos logických zákoiosí vývoje kokréího jevu. Aalýza diferecí a koeficieů růsu, popř. z růsových charakerisik. Pomocí formálích saisických kriérií výsižosi redové čár kriéria kvaifikují reziduálí variabiliu časové řad v absoluím ebo relaivím vjádřeí (jedá se ed o rozměrou charakerisiku) aalzují vlasosi souboru odchlek skuečých a jim odpovídajících vpočeých hodo, ležících a redové čáře. Reziduum (reziduálí odchlka): rozdíl mezi skuečou a vpočeou hodoou: e T ( kriérium miimálích čverců souče čverců reziduí). Průměré reziduum (mea error M.E.): e e, je rovo ule pro redové fukce vpočeé MNČ, u fukcí vpočeých jiými meodami je měříkem ssemaické chb redové fukce (velikosi ssemaického adhodoceí ebo podhodoceí). Průměrá absoluí reziduálí odchlka (mea absolue error M.A.E.): d e e, má vlasosi průměré absoluí odchlk, eí moc vhodá. Průměrá reziduálí čvercová odchlka (reziduálí rozpl, mea square error, M.S.E.): s e e (/ ásobkem MNČ), má vlasosi rozplu časo vužívaá charakerisika výsižosi redové fukce. Průměrá reziduálí odchlka: z reziduálího rozplu. s e e, směrodaá odchlka saoveá

17 Bezrozměré charakerisik: Časové řad aalické vrováí - idex deermiace: děleím reziduálího rozplu rozplem časové řad a odečeím od se jedé:. s - charakerisika pu variačího koeficieu: vděleím reziduálí odchlk ějakou vhodou charakerisikou úrově časové řad (* míra relaiví reziduálí variabili v %). Základí požadavek a reziduum: musí maximálě korespodova s epravidelou složkou časové řad a musí bý co ejvíce očišěo od složk ssemaické sacioaria reziduálí složk: průměrá hodoa reziduálí složk b měla bý rova ule e e, v opačém případě ssemaická složka adhodocuje ebo podhodocuje skuečé hodo časové řad, rozpl reziduálí složk b měl bý kosaí v celé délce časové řad s e e kos., ekorelovaos reziduálích složek, reziduálí složka b eměla obsahova red a její hodo b měl bý po dvojicích ezávislé, akže všech auokorelačí koeficie r ( p) cov ee p, kde vare p (doporučeá maximálí hodoa) je řád (velikos 4 posuu obou řad reziduí) ohoo koeficieu, b měl bý blízké ule. Koeficie auokorelace je fukcí p hovoříme o auokorelačí fukci. Příklad korekí a ekorekí reziduálí složka: Časová řada čvrleích hodo má parabolický red, viz obrázek vlevo. Obrázek vpravo zachcuje její reziduálí složku při respekováí vlasosí řad zeleá barva, obrázek vpravo zachcuje reziduálí složku po vrováí přímkou modrá barva.

18 Časové řad aalické vrováí - - Sažíme se vlasě umerick odhadou iegrálí sředí hodou pro koiuálí sledováí ukazaele v čase. Pokud průběh ukazaele mezi odeč ebudou dobře ahradielé lieárím průběhem, bude vpočeý chroologický průměr špaě odhadova sředí hodou ukazaele a celém časovém iervalu. Pak je pro správější odhad ué zkracova úsek mezi odeč.