7 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD TRENDOVÁ SLOŽKA

Transkript

1 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program 7 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD TRENDOVÁ SLOŽKA RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Aalýza časových řad umožňuje maemaickým modelem popsa jev a základě časově uspořádaých měřeí jevu. Daa měřeí musí ý věcě a prosorově srovaelá. Model samoý ám pak může pomoci aalzova jedolivé složk půsoící a daý jev a predikova jeho vývoj. V ásledující kapiole jsou demosrová růzé případ aalýz redové složk časové řad keré se vskují v časových řadách ekoomického zaměřeí: lieárí red kvadraický red expoeciálí a logisický red. Tradičím výchozím pricipem modelováí časových řad je jedorozměrý regresí model ve varu f kde je hodoa modelovaého ukazaele v čase =... je hodoa áhodé složk (poruch) v čase. Podoé prolemaice časových řad la věováa éž kapiola 4.3. Zaímco am jsme používali Excel zde vužijeme prosředk programu SPSS. 7. DEKOMPOZICE ČASOVÉ ŘADY Časovou řadu je možé rozloži a 4 složk: redovou sezóí cklickou a reziduálí. Tredová T - odráží edeci vývoje zkoumaého jevu za dlouhé odoí - je výsledkem fakorů keré dlouhodoě půsoí ve sejém směru - apř. echologie výro demografické podmík podmík rhu poče dovezeých osoích au do ČR po roce 99 Sezóí S - vjadřuje periodické kolísáí v časové řadě keré má ssemaický charaker - oo kolísáí se ěhem kaledářího roku a každý rok opakuje - vskuje se pouze u časových řad krákodoých (čvrleích měsíčích ýdeích) - může měi každý rok měi svůj charaker - zachcuje sřídáí ročích odoí (ákup dovoleých váoce) - pracoví cklus (výplaa mezd a ákup v maloochodě vžd v určiou dou) Cklická C - poh okolo redu ve kerém se sřídají fáze růsu s fázemi poklesu - ckl mají epravidelý charaker - ckl se odehrávají v odoích delších ež jede rok - ěkd může ý zaměěa se složkou redovou - cklické poh v ekoomických časových řadách mohou mí příči ekoomického i eekoomického charakeru - a rozdíl od makroekoomie kd se rozumí porucha damické rovováh ekoomik s jedolivými fázemi chápe saisika cklus jako dlouhodoé kolísáí s ezámou periodou kerá může mí i jié příči ež ekoomický cklus (ckl demografické iovačí pláovací)

2 7 Aalýza časových řad redová složka Reziduálí - má essemaický charaker elze ji popsa žádou fukcí času - je vořea áhodými poh v časové řadě chami v měřeích a jiými essemaickými vliv eposižielé příči - je áhodou složkou a její vlasosi se prověřují es Dekompozice časové řad : A) ADITIVNÍ časová řada je vořea součem jedolivých složek T C S Jedolivé složk jsou uvažová ve svých asoluích hodoách a jsou v měrých jedokách původí časové řad. B) MULTIPLIKATIVNÍ časová řada je vořea součiem jedolivých složek T. C. S. V původí číselé hodoě je pouze redová složka osaí složk jsou vjádře relaivě. Taulkový procesor Excel umožňuje provádě ěkeré základí operace s časovými řadami (viz éž kapiola 4.3) ale apříklad pro určováí logisického či expoeciálího redu je vhodější program SPSS modul Treds. 7. LINEÁRNÍ TREND Lieárí red odhademe rovicí Y.... Ŷ kde Ŷ jsou odhad eoreických hodo Y. Skuečou (aměřeou získaou) hodou ozačme. Pro uo hodou plaí vzah Y Y. Veličia se azývá reziduum. Odhad rezidua ozačme e kde e Ŷ. Naším cílem je miimalizova chu (reziduum). Tao meoda se azývá meoda ejmeších čverců. Ozačme Q Y. Fukci Q chceme miimalizova. Dosaďme a dosáváme vzah: Q. Y Tuo fukci parciálí derivujeme podle proměých a prví parciálí derivace fukce Q položíme rov ule. Dosáváme sousavu ormálích rovic: Q Q

3 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program Po úpravě dosaeme ásledující rovice:.. V sousavě ormálích rovic ahradíme eoreické hodo paramerů jejich odhad :.. Uvedeou sousavu lze řeši (apř. Cramerovým pravidlem) a dosáváme. Pro ručí výpoče je sadější zavés susiuci časové složk: je-li liché; je-li sudé; kde. Pak plaí... k k 3 5 Taulka 7. Trasformovaá časová proměá při sudém Rok Taulka 7. Trasformovaá časová proměá při lichém Rok Po zavedeí výše uvedeé susiuce dosáváme ásledující vzah pro výpoče odhadů eoreických hodo paramerů:..

4 7 Aalýza časových řad redová složka ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7. V aulce 7.3 jsou uvede sezóě očišěé čvrleí údaje o podílu ezaměsaých 3 34 leých a celkové ezaměsaosi Sloveska v leech 5 až v %. Vere vhodý model redu ověře jeho vhodos (aalzuje rezidua) a určee předpovědi do koce roku. Tesuje výzamos regresích koeficieů a hladiě výzamosi 5%. Taulka 7.3 Podíl ezaměsaých 3-34leých a celkové ezaměsaosi Sloveska I II III IV Řešeí: Sesrojíme graf časové řad: Graphs Sequece Chars Z grafu vidíme klesající lieárí red sezóě očišěé časové řad jehož odhad získáme v SPSS. Or. 7. Sezóě očišěá čvrleí časová řada podílu ezaměsaých 3 34leých a celkové ezaměsaosi Sloveska v leech 5 - Zdroj: Vlasí zpracováí. Z aídk víráme: Aalze Regressio Curve Esimaio Liear. A dosaeme ásledující aulk

5 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program Taulka 7.4 Model Summar R R Square Adjused R Square Sd. Error of he Esimae Hodoa korelačího koeficieu R 983 ukazuje a vsokou závislos mezi proměou a časem. Koeficie deermiace R 967 Taulka 7.5 ; modelem je vsvěleo 967% celkové variaili. ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Regressio Residual Toal Na základě hodo sigifikace (p-hodo) Sig.= kerá je meší ež 5 lze usoudi že model jako celek je zvole správě. Taulka 7.6 Coefficies Usadardized Coefficies Sadardized Coefficies B Sd. Error Bea Case Sequece (Cosa) Lieárí red jsme odhadli rovicí Y Lieárí red má saisick výzamé odhad paramerů a 5% hladiě výzamosi což lze usoudi a základě hodo Sig. kerá je meší ež 5. Hodoa Sig. vjadřuje pravděpodoos že odhad koeficieu je ula že ed koeficie (v Ta. 7.6 je ozače B) eí saisick výzamý. Or.7. Porováí skuečých a eoreických hodo časové řad Sig. Zdroj: Vlasí zpracováí

6 ACF 7 Aalýza časových řad redová složka Ní ověříme vhodos ohoo redu zjisíme zda rezidua splňují podmíku ezávislosi. Z aídk víráme: Graphs Time Series Auocorrelaios. Z Ta.7.6 vidíme že odhad prvího koeficieu auokorelace r 394 přesahuje horí mez iervalu spolehlivosi z čehož vplývá že rezidua lieárího redu vkazují korelačí závislos essemaické složk a lieárí red je ed evhodý. Taulka 7.7 Auokorelačí koeficie reziduálí složk Lag Auocorrelaio Sd. Error a Box-Ljug Saisic Value df Sig Or.7.3 Reziduálí auokorelačí fukce lieárího redu 5-5 Cofidece Limis Coefficie Zdroj: Vlasí zpracováí. Lag Numer Z výše uvedeého výsupu SPSS vplývá že lieárí model je evhodý a je řea aplikova jiý model redu. Vzkoušeje jié model keré vám SPSS aízí! - -

7 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7. Údaje o savu koruových vkladů domácosí České repulik (mil.kč) ke koci roku za odoí vroveje vhodou redovou fukcí. Rok a) Odhaděe paramer lieárí redové fukce. ) Tesuje saisickou výzamos regresích koeficieů. Uvažuje hladiu výzamosi 5. c) F-esem posuďe výzamos ohoo modelu. Uvažuje hladiu výzamosi 5. d) Pomocí koeficieu deermiace posuďe výsižos daého modelu. e) Určee odovou a iervalovou předpověď vývoje koruových vkladů České repulik pro rok a 3. Řešeí: Nejprve grafick zázoríme daou časovou řadu. Z grafu vidíme že lieárí fukce ude ejlépe vsihova chováí redu éo časové řad vkladu domácosí České repulik (mil.kč) v leech. Or. 7.4 Vklad domácosí (mil.kč) České repulik v leech Zdroj: Vlasí zpracováí. Odpovědi a úkol a) ) čeme z aulk

8 7 Aalýza časových řad redová složka Taulka 7.8 Coefficies Usadardized Coefficies Sadardized Coefficies B Sd. Error Bea Sig. Case Sequece (Cosa) Lieárí red jsme odhadli rovicí Y Lieárí red má saisick výzamé odhad paramerů a 5% hladiě výzamosi což usuzujeme a základě hodo Sig. kerá je meší ež 5. c) Taulka 7.9 ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Regressio 348E 348E 5533 Residual 4888E9 8 6E8 Toal 397E 9 Podle hodo Sig. kerá je meší ež 5 lze usoudi že model jako celek je zvole správě. d) Taulka 7. R R Square Model Summar Adjused R Square Sd. Error of he Esimae Koeficie deermiace R 985 ; z.že modelem je vsvěleo 985% celkové variaili. e) Bodový odhad pro rok 8 = mil.kč; iervalový odhad = ( 7 684; ) Bodový odhad pro rok 9 = mil.kč; iervalový odhad = ( 76 8; ). - -

9 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program Or.7.5 Porováí skuečých a eoreických hodo časové řad Zdroj: Vlasí zpracováí. Samosaě ověře zda rezidua splňují podmíku ezávislosi. 7.3 KVADRATICKÝ TREND Y.... Podoě jako u lieárího redu odhademe eoreické hodo paramerů keré ozačíme meodou ejmeších čverců. Pro odhad eoreických hodo paramerů plaí ásledující vzah: ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7.3 Jsou dá čvrleí údaje sezóě očišěé časové řad spoře elekrické eergie firm Sella v leech 7 v kwh. Cílem aalýz je ají model redu a ověři jeho vhodos v odoí v leech 7 9 oesova auokorelaci essemaické složk urči předpovědi a rok a posoudi zda je vraý model vhodý a předpovídáí I II III IV

10 7 Aalýza časových řad redová složka Řešeí: Z grafu vidíme že vývoj spoře elekrické eergie má kvadraický red. Odoí aalýz rozdělíme a dvě čási. Na odoí ierpolace (prvích údajů) a odoí verifikace modelu (posledích 8 údajů). Or. 7.6 Sezóě očišěá čvrleí časová řada spoře elekrické eergie firm Sella v kwh v leech 7 Zdroj: Vlasí zpracováí. V SPSS vereme v aídce Daa Selec Cases If codiio is saisfied a zapíšeme podmíku ear_ <= 9. A dále Aalze Regressio Curve Esimaio Quadraic. Dosáváme výsledk odhadu kvadraického redu pro odoí I/7 IV/9. Taulka 7. Taulka 7. Model Summar R R Square Adjused R Square Sd. Error of he Esimae ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Regressio Residual Toal

11 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program Taulka 7.3 Coefficies Usadardized Coefficies Sadardized Coefficies B Sd. Error Bea Sig. Case Sequece Case Sequece ** (Cosa) Z výsupu je zřejmé že a 5% hladiě výzamosi ejsou koeficie přírůsku a zrchleí saisick výzamé. Kvadraický red proo eí vhodě zvoleý. Pokud odhademe kvadraický red a celé časové řadě od I/7 IV/ dosaeme výsledk uvedeé íže. Taulka 7.4 Coefficies Usadardized Coefficies Sadardized Coefficies B Sd. Error Bea Sig. Case Sequece Case Sequece ** (Cosa) Z ohoo výsupu je zřejmé že koeficie přírůsku je a rozdíl od koeficieu zrchleí sále a 5% hladiě výzamosi saisick evýzamý. Upravíme proo kvadraický red ak že eo koeficie z modelu vloučíme. Tuo úpravu ohužel SPSS eumožňuje proo vužijeme Excel. Dosáváme pak rovici modelu Y kde koeficie zrchleí je saisick výzamý. Vpočěme ješě z reziduí hodou reziduálího rozplu: Z éo hodo lze usuzova že sezóě očišěé hodo řad spoře elekrické eergie firm Sella udou kolísa kolem kvadraického redu o směrodaou chu: [kwh]. 7.4 EXPONENCIÁLNÍ TREND Y.... Daou rovici udeme ejprve logarimova a po zavedeí susiuce dosaeme lieárí rovici jejíž paramer odhademe meodou ejmeších čverců. Posupujeme ed ásledově: ly l ly l l. Zavedeme susiuce: ly Y l l a pro časovou proměou zavedeme susiuci kerá je defiováa u lieárího redu. Dosáváme lieárí red kerý je defiová vzahem Y. Odhad paramerů ozačme a. Pro odhadé paramer a v expoeciálím redu plaí a a e e

12 7 Aalýza časových řad redová složka ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7.4 Daa předsavují údaje o poču prodaých výisků v is.ks v leech 3. Tred popiše expoeciálí redovou fukcí reziduálí složku zhodoťe auokorelačí fukcí a odhaděe poče prodaých výisků v roce. Proveďe odovou i iervalovou předpověď. Rok Poče Řešeí: Z grafu vidíme že vývoj poču prodaých výisků v leech 3 lze popsa pomocí expoeciálího redu. Or. 7.7 Ročí časová řada poču prodeje výisků v is.ks v leech 3 Zdroj: Vlasí zpracováí. SPSS odhaduje koeficie ohoo expoeciálího redu. exp(. ). Víráme z aídk: Aalze Regressio Curve Esimaio Expoeial a dosáváme výsup kerý je uvede v ásledujících aulkách. Taulka 7.5 R R Square Model Summar Adjused R Square Sd. Error of he Esimae

13 ACF Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program Taulka 7.6 ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Regressio Residual Toal 5 8 Taulka 7.7 Usadardized Coefficies Coefficies Sadardized Coefficies B Sd. Error Bea Case Sequece (Cosa) The depede variale is l(prodej). Dosáváme ed rovici Y 36.exp(4. ) ve keré jsou oa koeficie saisick výzamé a hladiě výzamosi 5%. Vsoká hodoa koeficieu deermiace 94 svědčí o kvaliím modelu z. modelem je vsvěleo 94% celkové variaili. Bodová předpověď pro rok = 995 is.ks prodaých výisků; Iervalová předpověď (95%) = (857; 4644). Ní ověříme pomocí auokorelačí fukce zda jsou rezidua korelováa. Jak je vidě a Or. 7.8 všech hodo auokorelačí fukce reziduí leží v mezích iervalu akže ejsou korelováa a proo je zvoleá expoeciálí redová fukce zvolea vhodě. Sig. Or. 7.8 Auokorelačí fukce reziduí pro časovou řadu poču prodeje výisků 5-5 Cofidece Limis Coefficie Lag Numer Zdroj: Vlasí zpracováí

14 7 Aalýza časových řad redová složka 7.5 LOGISTICKÝ TREND Y.... Logisická redová fukce la původě odvozea jako křivka vjadřující iologický růs populací za podmíek omezeých zdrojů. V ekoomické olasi se ao křivka začala používa v modelech popávk po předměech dlouhodoé spoře a s úspěchem se aké používá apř. při modelováí vývoje výro a prodeje ěkerých druhů výroků. Paří mezi redové fukce s kladou horí asmpoou a jedím iflexím odem. Pole pického průěhu se éo skupiě křivek říká S-křivk. Každá S-křivka vmezuje a časové ose pě základích vývojově odlišých fází cklu. Cklem zde udeme rozumě časové odoí od prosazeí ových sil (echologií výroků...) až po jejich záik kd jsou vsřídá silami ovými a kvaliaivě všší rovi. Jedolivé fáze lze charakerizova ásledujícím způsoem:.fáze odoí kd se začíají formova ové progresiví síl. Jejich prosazováí je ješě v é oě rzděo původími e zcela překoaými silami..fáze odoí kd se ové progresiví síl začíají plě prosazova a rozhodující měrou ovlivňova další vývoj. To síl půsoí jako akceleráor akže empo vývoje se v éo fázi začě urchluje. 3.fáze odoí kd ové progresiví síl zcela ovládl další vývoj ale už se ojevují opozičí síl lumící jejich účiek. Vývoj v éo fázi aývá lieárího charakeru. 4.fáze odoí kd vziklé opozičí síl aývají posupou převahu ad dosavadími silami keré pozl svou progresivos čímž se vývojové edece podsaě zpomalují. 5.fáze posledí fáze cklu kd opozičí síl al rozhodující převahu a zcela ulumil vývoj dosavadích sil. V éo fázi se vývoj zasavuje až do okamžiku zformováí a prosazeí dalších kvaliaivě ových progresivích sil. V praxi se s podoým vývojem můžeme seka apř. v maagemeu iovací. Zde logisický red může vhodě simulova důležiá sadia ekoomické živoosi iovovaého či ového výroku. Te přechází posupě od počáečích vývojových fází (uváděí a rh reklamí fáze...) přes růs rhu a sadium zralosi až po odoí poklesu eo sagace ohoo produku a rhu. Na rozdíl o přecházejících pů redových fukcí keré jsou v podsaě defiová jedozačě je logisická redová fukce vjadřováa v růzých varech. Nejčasěji uváděé var: k Y k Y a a e e k k Y a a Y a. e a a Ať použijeme jakýkoliv var vžd si logisická fukce zachovává svůj charakerisický průěh ve varu písmea S proože jedolivé form zápisu se od see liší pouze růzými vzájemými rasformacemi paramerů

15 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 7.5 Je dáa ročí časová řada sředího savu ovael Sloveska v leech Odhaděe logisický red a ověře auokorelaci essemaické složk modelu určee očekávaý poče ovael Sloveska v leech 4. Řešeí: Z grafu vidíme že vývoj savu ovael Sloveska vkazuje charaker logisického redu. Or. 7.9 Vývoj sředího savu ovael a Slovesku v leech 98 - Zdroj: Vlasí zpracováí. SPSS odhaduje koeficie ohoo logisického redu. Víráme. u z aídk: Aalze Regressio Curve Esimaio Logisic a dosáváme výsup kerý je uvede v ásledujících aulkách. Taulka 7.8 R R Square Model Summar Adjused R Square Sd. Error of he Esimae Taulka 7.9 ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Regressio Residual Toal

16 ACF 7 Aalýza časových řad redová složka Taulka 7. Coefficies Usadardized Coefficies Sadardized Coefficies B Sd. Error Bea Sig. Case Sequece (Cosa) 545E-8.. The depede variale is l( / poče - / 55). Upravme í rovici logisického redu Dosáváme u u... u Dosaďme í odhad koeficieů Y Y Dále z výsupích charakerisik odhadu modelu vidíme že koeficie deermiace R 99 % což zameá že model redu doře vsihuje hodo časové řad. Jak ukazuje ásledující Or.7. rezidua jsou auokorelováa což zameá že určiá čás časové řad zůsala modelem evsvěleá a předpovědi mohou ý zkresleé. Or. 7. Auokorelačí fukce reziduí pro časovou řadu poču ovael Sloveska 5-5 Cofidece Limis Coefficie Zdroj: Vlasí zpracováí. Lag Numer Pro srováí grafick zázoríme do jedoho grafu časovou řadu skuečých hodo a časovou řadu odhaduou logisickým redem. - -

17 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program Or. 7. Skuečé a eoreické hodo časové řad poču ovael Sloveska Zdroj: Vlasí zpracováí. Pokud se časová řada dále vvíjela s logisickým redem pak lze očekáva předpovědi pro rok 4 keré jsou uvede v Ta. 7. Taulka 7. Rok Očekávaý poče ovael V éo časové řadě ovšem vsupuje kromě logisického redu aké cklická složka kerá zůsala modelem evsvělea. Před kosrukcí předpovědi (hlavě z dlouhodoého hlediska) je proo řea uď model rozšíři a la zachcea aké cklická složka časové řad eo zvoli jiý komplexější model. 7.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ PŘÍKLAD 7. Jsou uvedeá vrzeí pravdivá? a) Rovice lieárího redu je v SPSS ve varu.. ) Logisický red je popsá v SPSS rovicí ve varu.. u c) Kvadraický red je ejvhodějším redem pro předpovídáí udoucích hodo časové řad. d) Logisický red je charakerisický dvěma iflexími od. e) Expoeciálí red je popsá v SPSS rovicí je varu exp(. )

18 7 Aalýza časových řad redová složka PŘÍKLAD 7. Doplňe ásledující vě: a) Logisická redová fukce paří mezi zv. 4 ) Odhad koeficieu c) Hodo koeficieu deermiace u expoeciálího redu leží v iervalu.. d) Jsou-li daa korelováa pak o zameá že jsou.. e) Auokorelačí fukce se používá věšiou pro aalýzu.složk. PŘÍKLAD 7.3 Časová řada osahuje údaje o produkci firm v měsících řeze až říje roku (v is.kč): Sesave rovici redové přímk a určee odovou i 9%-í iervalovou předpověď produkce a měsíc lisopad a prosiec. PŘÍKLAD 7.4 Uvažujeme časovou řadu hodo udávající spořeu určié surovi (v kg) a ovaele České repulik v leech -. Vroveje časovou řadu pomocí kvadraického redu a esuje výzamos odhaduých koeficieů a hladiě výzamosi 5%. Zázorěe grafick původí i vrovaá daa. Odhaděe spořeu surovi v roce. 7.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 7. a) e ) ao c) e d) e e) ao ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 7. a) S-křivk ) 53 c) ; d) závislá e) reziduálí - -

19 Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 7.3 Rovice modelu Y 75.. Bodová předpověď Iervalová předpověď 9% lisopad 355 (33; 379) prosiec 375 (348; 4) ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 7.4 Rovice modelu Y odhadué koeficie jsou saisick výzamé a hladiě výzamosi 5%. Předpověď spoře daé surovi pro rok je 77 kg. Or. 7. Skuečé a eoreické hodo časové řad spoře určié surovi O served Q uadraic Zdroj: Vlasí zpracováí. 7.8 PŘÍPADOVÉ STUDIE PŘÍPADOVÁ STUDIE 7. O eergeické áročosi určié echologie v leech 6 (v MWh) máme k dispozici o údaje: Daou časovou řadu vroveje expoeciálí redovou fukcí a odhaděe hodou v roce. Pomocí koeficieu deermiace posuďe kvaliu modelu. PŘÍPADOVÁ STUDIE 7. Uvažujeme okamžikovou časovou řadu hodo udávajících poče eumísěých uchazečů o zaměsáí (v is.) ve vraém kraji ČR v jedolivých měsících le - : Vroveje uo časovou řadu logisickým redem a odhaděe poče ezaměsaých v omo kraji v ledu. Grafick zázorěe původí i vrovaá daa