Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia.

Transkript

1 Kapiola 0.: Úvod do aalýzy časových řad Cíl kapioly Po prosudováí éo kapioly budee umě - očisi časovou řadu od důsledků kaledářích variací - graficky zázori okamžikovou i iervalovou časovou řadu - vypočía popisé a dyamické charakerisiky časové řady - odhadou red časové řady meodami regresí aalýzy a pomocí klouzavých průměrů Časová záěž Na prosudováí éo kapioly a splěí úkolů s í spojeých budee pořebova asi 8 hodi sudia. 0.. Moivace Při aalýze časových řad chceme získa předsavu o charakeru procesu, kerý ao řada reprezeuje. Průběh časové řady graficky zázorňujeme pomocí spojicového resp. sloupkového diagramu. K jejímu popisu používáme růzé charakerisiky, a o jak saické ak dyamické. K modelováí časových řad slouží celá řada meod, apř. dekompozičí meoda, Boxova Jekisoova meodologie, lieárí dyamické modely, spekrálí aalýza časových řad. Zde se omezíme a speciálí případ dekompozičí meody, kdy pomocí regresí aalýzy a pomocí klouzavých průměrů odhademe red časové řady. 0.. Základí pojmy 0... Pojem časové řady Časovou řadou rozumíme řadu hodo y,, y určiého ukazaele uspořádaou podle přirozeé časové poslouposi <... <. Jsou-li časové iervaly (, ),..., ( -, ) sejě dlouhé (ekvidisaí), zjedodušeě zapisujeme časovou řadu jako y,..., y. Přiom ukazael je veličia, kerá charakerizuje ějaký sociálě ekoomický jev v určiém prosoru a v určiém čase (okamžiku či iervalu) Druhy časových řad a) Časová řada okamžiková: příslušý ukazael udává, kolik jevů exisuje v daém časovém okamžiku (apř. poče obyvaelsva k určiému du). b) Časová řada iervalová: příslušý ukazael udává, kolik jevů vziklo či zaiklo v určiém časovém iervalu (apř. poče sňaků během roku). Nejsou-li jedolivé časové iervaly ekvidisaí, musíme provés očišěí časové řady od důsledků kaledářích variací Příklad: Máme k dispozici údaje o ržbě obchodí orgaizace (v is. Kč) v jedolivých měsících roku 995: 400, 34, 407, 445, 894, 3354, 355, 355, 35, 3063, 694, 600. Vypočěe očišěé údaje. Řešeí: Průměrá délka měsíce je 365/ de. Očišěá hodoa pro lede je edy 365 y ( o) , , pro úor y ( o) 34 38, 8 8. Pro osaí měsíce

2 aalogicky dosaeme 36,7; 478,96; 839,54; 3400,58, 3448,86; 3448,86; 369,79; 3005,36; 73,4; 55,08. Výpoče pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme ový daový soubor o řech proměých: rzba, dm (délky jedolivých měsíců) a o (očišěá ržba) a případech. Do proměé rzba zapíšeme zjišěé hodoy. Do proměé dm vložíme délky jedolivých měsíců, j. 3, 8, 30,, 3. Do Dlouhého jméa proměé o apíšeme =rzba*365/(*dm) rzba dm 3 o , , , , , , , , , , , , Grafické zázorěí časové řady a) Okamžikovou časovou řadu graficky zázorňujeme pomocí spojicového diagramu. Na vodorovou osu vyášíme časové okamžiky,...,, a svislou osu odpovídající hodoy y,..., y. Dvojice bodů ( i, y i ), i =,..., spojíme úsečkami Příklad Časová řada obsahuje údaje o poču zaměsaců určié akciové společosi v leech vždy k Zázorěe uo časovou řadu graficky. Řešeí pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme daový soubor o dvou proměých azvaých rok a poce a 8 případech. Grafy Bodové grafy odškreme Lieárí proložeí Proměé X rok, Y poče OK OK. x klikeme a pozadí grafu vybereme Graf: obecé zaškreme Spojice OK.

3 poce rok b) Iervalovou časovou řadu ejčasěji zázorňujeme sloupkovým diagramem. Je o sousava obdélíků, kde šířka obdélíku je rova délce iervalu a výška odpovídá hodoě ukazaele v daém iervalu. Ke zázorěí iervalové časové řady lze použí i spojicový diagram, přičemž a vodorovou osu vyášíme sředy příslušých iervalů Příklad Máme k dispozici údaje o produkci určiého podiku (v isících výrobků) v leech Zázorěe uo časovou řadu graficky Řešeí pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme daový soubor o dvou proměých azvaých rok a produkce a 6 případech. Grafy Bodové grafy odškreme Lieárí proložeí Proměé X rok, Y produkce OK OK. x klikeme a pozadí grafu vybereme Graf: obecé zaškreme Spojice Přida ový graf yp Sloupcový graf OK. Do sloupců ozačeých jako Nový, Nový okopírujeme hodoy proměých rok a produkce. Ve Všech možosech: Sloupce upravíme šířku sloupce a produkce rok

4 0.3. Popisé charakerisiky časových řad Průměr okamžikové časové řady Nejprve vypočeme průměry pro jedolivé dílčí iervaly (, ), (, 3 ),..., ( -, ): y y y y3 y y,,,. Jsou-li všechy yo iervaly sejě dlouhé, vypočeme prosý chroologický průměr okamžikové časové řady: yi yi y y y yi. i i Nemají-li iervaly sejou délku, vypočeme d i = i i-, i =,..., a použijeme vážeý chroologický průměr okamžikové časové řady: yi yi y d i. i d i i Příklad Časová řada vyjadřuje poče obyvaelsva ČR (v isících) v leech 989 až 008 vždy ke di 3.. rok poče obyvael rok poče obyvael , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,54 Charakerizuje uo časovou řadu chroologickým průměrem. 036,0 0467,54 Řešeí: y 0364,4 038,3 095, 3. 9 Výpoče pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme daový soubor o proměých a jedom případu. Do prvích 0 proměých vložíme zjišěé hodoy, do Dlouhého jméa posledí proměé apíšeme =(v/+sum(v:v9)+v0/)/9 Dosaeme výsledek 0 95, Průměr iervalové časové řady Průměr iervalové časové řady počíáme podle vzorce y y i. i

5 Příklad Vypočěe průměrou hodou ročí časové řady HDP ČR (v miliardách Kč) v leech 995 až ,5 683,3 8, 996,5 080,8 89, 35, 464,4 577, 84,8 983,9 3,4 3535, Řešeí: y 466, , 5. 4 Výpoče pomocí sysému STATISTICA: Použijeme Popisé saisiky z abídky Základí saisiky/abulky Dyamické charakerisiky časových řad Absoluí přírůsky. diferece: yi yi yi,i,,. diferece: yi yi yi yi yi yi,i 3,, ad. (Diferecováí má velký výzam při odhadu redu časové řady regresími meodami.) Průměrý absoluí přírůsek: i y i y y Relaiví přírůsek yi i,i,, yi (Relaiví přírůsek po vyásobeí 00 udává, o kolik proce se změila hodoa v čase i oproi času i-.) Koeficie růsu (empo růsu) yi k i,i,, yi (Koeficie růsu po vyásobeí 00 udává, a kolik proce hodoy v čase i- vzrosla či poklesla hodoa v čase i.) Průměrý koeficie růsu y k k k3 k y Průměrý relaiví přírůsek k Příklad Pro časovou řadu HDP ČR v leech 995 až 008 (v miliardách Kč) vypočěe základí charakerisiky dyamiky a graficky zázorěe relaiví přírůsky a koeficiey růsu.

6 rok HDP 466,5 683,3 8, 996,5 080,8 89, 35, 464,4 577, 84,8 983,9 3,4 3535, Výpoče pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme ový daový soubor o proměých a 4 případech. Prví proměou azveme ROK, druhou HDP. Výpoče. diferecí: yi yi yi pro i =,..., Saisiky Pokročilé lieárí/elieárí modely Časové řady/predikce Proměé HDP OK OK (rasformace, auokorelace, kříž. korelace, grafy) Odděli-slouči - OK (rasformova vybraé řady) vykreslí se graf. 350 Graf proměé: HDP D(-) HDP Čísla případů Vráíme se do Trasformace proměých Uloži proměé. Oevře se ové daové oko, kde v proměé HDP_ jsou uložey. diferece. HDP HDP_ 466,5 683,3 6,8 3 8, 7, ,5 85, ,8 84,3 6 89, 08,4 7 35, 63, ,4, 9 577,,7 0 84,8 37,7 983,9 69, 3,4 38, ,5 33, ,0 53,5 yi Výpoče relaivích přírůsků: i pro i =,..., y i

7 Vráíme se do Trasformace proměých ozačíme proměou, kerou chceme rasformova (HDP) vybereme Posu OK, (Trasformova vybraé řady) vykreslí se graf. Vráíme se do Trasformace proměých Uloži proměé. Tao rasformovaá veličia se uloží do abulky pod ázvem HDP_ (proměá s. diferecemi se přejmeuje a HDP_). Přidáme ovou proměou RP a do jejího Dlouhého jméa apíšeme vzorec =HDP_/HDP_. yi Výpoče koeficieů růsu: k i pro i =,..., yi Do abulky přidáme proměou KR a do jejího Dlouhého jméa apíšeme vzorec =HDP/HDP_. Získáme abulku HDP HDP_ HDP_ RP KR 466,5 683,36,8 466,5 0,478, ,7,8 683,3 0,0759, ,585,4 8, 0,04, ,884,3 996,5 0,04, ,08,4 080,8 0,05, ,63,0 89, 0,0745, ,4, 35, 0,0477, ,,7 464,4 0,0457, ,837,7 577, 0,09,09 983,969, 84,8 0,060,060 3,438,5 983,9 0,0799, ,533, 3,4 0,097, ,053,5 3535,5 0,0434, , ,5 Průměrý absoluí přírůsek: 70, 96, z., že v období rosl 3 HDP průměrě o 70,96 miliard Kč ročě Průměrý koeficie růsu: k 3, 0735, z., že v období rosl HDP 466,5 průměrě o 7,35 % ročě. Pomocí Grafy - D Grafy Spojicové grafy (Proměé) vykreslíme průběh relaivích přírůsků a koeficieů růsu.

8 Graf relaivích přírůsků 0,6 Graf koeficieů růsu,6 0,4,4 0,, 0,0,0 RP KR 0,08,08 0,06,06 0,04,04 0, , Adiiví model časové řady Popis modelu Předpokládejme, že pro časovou řadu y,..., y plaí model y = f() + ε, =,...,, kde f() je ezámá redová fukce (red), kerou považujeme za sysemaickou (deermiisickou) složku časové řady (popisuje hlaví edeci dlouhodobého vývoje časové řady), ε je áhodá složka časové řady zahrující odchylky od redu. Náhodá složka splňuje předpoklady E(ε ) = 0, D(ε ) = σ, C(ε, ε +h ) = 0, ε ~ N(0, σ ) (říkáme, že ε je bílý šum) Cíl regresí aalýzy redu Regresí aalýza redu má objasi vzah mezi závisle proměou veličiou Y a časem. Předpokládáme, že red f() závisí (lieárě či elieárě) a ezámých paramerech β 0, β,..., β k a zámých fukcích φ 0 (), φ (),..., φ k (), keré již eobsahují žádé ezámé paramery, j. f() = g(;β 0, β,..., β k ). Odhady b 0, b,..., b k ezámých paramerů β 0, β,..., β k lze získa apř. meodou ejmeších čverců a pak vyjádři odhad f () ezámého redu v bodě pomocí odhadů b 0, b,..., b k a fukcí φ 0 (), φ (),..., φ k (), j. f () = g(;b 0, b,..., b k ) Nejdůležiější ypy redových fukcí Volba ypu redové fukce se provádí - a základě eoreických zalosí a zkušeosí se zkoumaou veličiou Y - pomocí grafu časové řady - pomocí iformaivích esů založeých a jedoduchých charakerisikách časové řady a) Lieárí red Aalyické vyjádřeí: f () 0 Iformaiví es:. diferece jsou přibližě kosaí.

9 b) Kvadraický red Aalyické vyjádřeí: f () 0 Iformaiví es:. diferece mají přibližě lieárí red,. diferece jsou přibližě kosaí. c) Expoeciálí red Aalyické vyjádřeí: f () 0. Model lze liearizova logarimickou rasformací: l f () l 0 l Iformaiví es: koeficiey růsu jsou přibližě kosaí. d) Modifikovaý expoeciálí red Aalyické vyjádřeí: f () 0. Iformaiví es: řada podílů sousedích. diferecí je přibližě kosaí. e) Logisický red Aalyické vyjádřeí: f () 0 Iformaiví es: průběh. diferecí je podobý Gaussově křivce a podíly jsou přibližě kosaí. y y y y f) Gomperzova křivka Aalyické vyjádřeí: f () Iformaiví es: podíly l y l y 0 l y l y jsou přibližě kosaí. Modely (a), (b), (c) jsou lieárí ebo se dají liearizova a odhady paramerů získáme meodou ejmeších čverců. Modely (d), (e), (f) jsou elieárí a odhady paramerů se získávají speciálími umerickými meodami Orieačí ověřováí kvaliy modelu - Idex deermiace (j. podíl vysvěleé a celkové variabiliy závisle proměé veličiy) by měl bý blízký. - Body grafu y,fˆ, =,,..., by se měly řadi do přímky se směricí. - Při srováí ěkolika modelů se sejým počem paramerů volíme e model, pro kerý je sředí kvadraická chyba odhadu ( MSE y fˆ ) ejižší Příklad Uvažme časovou řadu HDP ČR v leech 995 až 008 (v miliardách Kč) viz př a) Graficky zázorěe průběh éo časové řady. b) Z grafu časové řady lze usoudi, že časová řada má lieárí red f() 0. Odhaděe jeho paramery a akreslee průběh redu do grafu časové řady. c) Zjisěe odhad HDP v roce 009.

10 d) Vypočěe idex deermiace a sesroje graf,fˆ y, =,..., 4. Řešeí pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme daový soubor se řemi proměými rok,, HDP a 4 případy. Do proměé uložíme hodoy,, 4. ad a) Graficky zázoríme průběh éo časové řady: Grafy Bodové grafy Proměé rok, HDP OK vypeme proložeí OK. HDP ad b) Odhademe paramery lieárího redu. Saisika Vícerozměrá regrese Proměé závislé: HDP, ezávislé: OK OK. Oevře se ové oko Výsledky víceásobá regrese. Na záložce Základí výsledky zvolíme Výpoče: výsledky regrese a získáme abulku, kde ve sloupci B jsou odhady regresích paramerů. rok N=4 Abs.č le Odhad redu: fˆ Výsledky regrese se závislou proměou : HDP (HDP_CR.sa) R=, R=,98455 Upraveé R=, F(,)=64,44 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 97,936 b* Sm.chyba b Sm.chyba () p-hod. z b* z b 73,565 55,8670 3, , , , ,55 6, , , ,565 6,55. Podle ohoo modelu by edy HDP v roce 994 čiil 73, 565 mil. Kč (realia byla 55, 986) a v každém dalším roce by vzrosl o 6, 55 mil. Kč. Vyvořeí grafu časové řady s odhaduým redem: Na záložce Uloži zvolíme Uloži rezidua a předpovědi. K im do abulky uložíme ješě proměé rok a HDP a pomocí víceásobého bodového grafu vyvoříme požadovaý graf.

11 rok HDP Předpovědi ad c) Odhad HDP roce 009: Pro výpoče predikovaé hodoy zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi - Předpovědi závisle proměé čas: 5 - OK. Ve výsupí abulce je hledaá hodoa ozačea jako Předpověď: 3 707,39. Proměá Abs. čle Předpověď -95,0%LS +95,0%LS Předpovězeé hodoy (HDP_CR.sa) proměé: HDP b-váha Hodoa b-váha * Hodo 6,55 5, ,87 73, , , ,85 ad d) Idex deermiace je ID = 0,98, jak je uvedeo v záhlaví výsupí abulky regresí aalýzy. Zameá o, že lieárí red vysvěluje variabiliu HDP z 98,%. Graf závislosi predikovaých hodo a hodoách časové řady vyvoříme ak, že uložíme předpovězeé hodoy. Pak pomocí Bodového grafu vykreslíme závislos predikce a Y. 3,8E6 3,6E6 3,4E6 3,E6 3E6,8E6,6E6,4E6,E6 E6,8E6,6E6,4E6,E6,E6,4E6 Jak idex deermiace, ak graf daé časové řady.,6e6 E6,4E6,8E6 3,E6 3,6E6,8E6,E6,6E6 3E6 3,4E6 3,8E6 y,fˆ svědčí o om, že model dobře vysihuje charaker

12 0.6. Odhad redu časové řady pomocí klouzavých průměrů Podsaa klouzavých průměrů Předpokládáme, že časová řada se řídí adiivím modelem y = f() + ε, =,...,. Odhad redu v bodě získáme určiým zprůměrováím původích pozorováí z jisého okolí uvažovaého časového okamžiku. Můžeme si předsavi, že podél daé časové řady klouže okéko, v jehož rámci se průměruje. Nechť oo okéko zahruje d čleů alevo od bodu a d čleů apravo od bodu. Hovoříme pak o vyhlazovacím okéku šířky h = d +. Prvích a posledích d hodo redu eodhadujeme, proože pro,,d d,, eí vyhlazovací okéko symerické. Odhad redu ve sředu vyhlazovacího okéka je dá vzahem: d fˆ () yd yd yd ydk, = d+,..., -d. d d Šířka vyhlazovacího okéka Velmi důležiou oázkou je saoveí šířky vyhlazovacího okéka. Je-li okéko příliš široké, bude se odhad redu blíži přímce (říkáme, že je přehlaze) a zároveň se zraí velký poče čleů a začáku a a koci časové řady. Je-li aopak okéko úzké, bude se odhad redu blíži původím hodoám (říkáme, že odhad je podhlaze). Nejčasěji se volí šířka okéka h = 3, 5, 7, pro časovou řadu čvrleích hodo Příklad Máme k dispozici čvrleí časovou řadu průměrých měsíčích mezd v České republice v době od /00 do 3/009: k0 čas mzda čas mzda čas mzda / / / / / / /00 54 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / a) Odhaděe red éo časové řady pomocí klouzavých průměrů s vyhlazovacím okékem šířky 4. b) Graficky zázorěe průběh časové řady s odhaduým redem. Řešeí pomocí sysému STATISTICA: Vyvoříme daový soubor cvrlei_mzda.sa o dvou proměých CAS a MZDA a 3 případech. Saisiky Pokročilé lieárí/elieárí modely Časové řady/predikce Proměé Y OK OK (rasformace, auokorelace, kříž. korelace, grafy) Vyhlazováí zaškreme N-

13 bod. klouzavý průměr, N = 4 OK (Trasformova vybraé řady) vykreslí se graf, vráíme se do Trasformace proměých Uloži proměé. Oevře se ová daová abulka, kde v proměé MZDA_ jsou uložey klouzavé průměry pro N = 4. K daovému souboru přidáme proměou CAS, kerou okopírujeme z původího daového souboru cvrl e i_mzda.sa 3 CAS MZDA MZDA_ / ,0 0 / ,0 0 3/00 54, ,6 3 4/ , ,0 0 / , ,5 0 / , ,7 5 3/003 65, ,8 8 4/ , ,8 8 /004 67, ,5 0 / , ,8 8 3/ , ,7 5 4/ ,0 084,5 0 / , ,6 3 / ,0 089, 3 3/ ,0 09 8,8 8 4/ , , 3 / , , 3 / , ,8 8 3/ , ,7 5 4/ , ,0 0 / ,0 0 33,0 0 / , , 3 3/ , ,0 0 4/ , ,5 0 / , ,7 5 / , , 5 3/ , , 3 4/ , ,0 0 / , ,0 0 / ,0 0 3/ ,00 Pro zobrazeí proměých MZDA a MZDA_ do jedoho grafu přejdeme a záložku Přehledy a grafy. Vedle možosi Zobrazi víc proměých zvolíme Graf. Ozačíme obě proměé OK. Vykreslí se ásledující graf:

14 Value MZDA MZDA; rs. Vidíme, že díky vhodé volbě šířky vyhlazovacího okéka se podařilo odhadou red daé časové řady. Shruí Časovou řadou rozumíme řadu číselých hodo určiého ukazaele, kerý se v čase měí. Rozlišujeme časové řady okamžikové (příslušý ukazael udává, kolik jevů exisuje v daém časovém okamžiku) a časové řady iervalové (příslušý ukazael udává, kolik jevů vziklo či zaiklo v určiém časovém iervalu). Nejsou-li jedolivé časové iervaly sejě dlouhé, musíme provés očišěí časové řady od důsledků kaledářích variací. Okamžikové časové řady zázorňujeme pomocí spojicového diagramu, iervalové pak pomocí sloupkového diagramu. Okamžikovou časovou řadu charakerizujeme chroologickým průměrem, iervalovou arimeickým průměrem. K popisu časových řad používáme aké dyamické charakerisiky: absoluí a relaiví přírůsky a koeficiey růsu. K ejdůležiějším úkolům aalýzy časových řad paří odhad redu, j. deermiisické složky časové řady, kerá vysihuje popisuje hlaví edeci dlouhodobého vývoje časové řady. Odhad redu lze provádě apř. meodami regresí aalýzy ebo pomocí klouzavých průměrů. Regresí odhad redu vyžaduje, aby vývoj časové řady odpovídal ějaké fukci. Její paramery pak odhadujeme meodou ejmeších čverců (o v případě lieárích či lierizovaelých modelů) ebo vhodou umerickou meodou (apř. Levebergovou Marquardovou). Naproi omu meoda klouzavých průměrů, kerá paří k zv. adapivím meodám, je založea a předpokladu, že časová řada měí v čase svůj charaker, udíž red elze popsa pomocí jedié fukce. Předpokládáme však, že v krákých úsecích svůj charaker zachovává a edy každému úseku lze jedu fukci přiřadi. V případě výše popsaých klouzavých průměrů jde o kosaí fukci. Korolí oázky. Jak se liší časová řada okamžiková od iervalové?. Kdy se používá prosý a kdy vážeý chroologický průměr? 3. Jak je defiováa druhá absoluí diferece? 4. Uveďe vzorec pro výpoče průměrého koeficieu růsu.

15 5. Má-li časová řada kvadraický red, jak se chovají její prví diferece? 6. Co o zameá, když áhodá složka časové řady je bílým šumem? 7. Popiše pricip meody klouzavých průměrů. Auokorekčí es. Jaké číslo paří v ásledující abulce míso oazíku? y k 0,975? a) 0,89 b),094 c),. Jaké číslo paří v ásledující abulce míso oazíku? y 5 3 δ xxx? a) 0,9 b) 0,80 c) 0,78 3. Jaký je průměrý absoluí přírůsek za celou dobu sledováí? y a),05 b) 3,048 c) 3,00 4. Pokud mají. diferece časové řady přibližě lieárí red, pak vhodým modelem redové fukce časové řady je a) Gomperzova křivka b) parabola c) expoeciála 5. Sředí kvadraickou chybu odhadu redu elze počía podle vzorce: a) MSE y fˆ b) MSE y fˆ c) MSE y fˆ y fˆ Správé odpovědi: c), b), 3c), 4b) 5c) Příklady. V jedolivých čvrleích roku 006 se v ČR uskuečilo 4 896, 6 545, a 805 sňaků. Vypočěe očišěé údaje.

16 Výsledek: 4 964; 6 590,45; 3 77,5; 7985,37. V ásledující abulce jsou uvedey údaje o poču ezaměsaých (v isících) v ČR v leech Vypočěe chroologický průměr. Výsledek: 363,7 rok poče 48,3 374, 399, 45,9 40, 37,3 44,5 3,9 3. Pro časovou řadu z le spořeby cigare a jedoho obyvaele ČR za rok graficky zázorěe průběh koeficieů růsu a vypočěe a ierpreuje průměrý relaiví přírůsek. Výsledek: Graf koeficieů růsu rok poče rok poče ,5,0,5,0,05 KR,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0, Průměrý relaiví přírůsek: 0,056, z., že v leech rosla spořeba cigare a jedoho obyvaele za rok v průměru o,56 %.

17 4. Časová řada, 49, 38, 354, 580, 867 udává zisk (v isících dolarů) jisé společosi v prvích šesi leech její exisece. a) Z grafu časové řady a chováí koeficieů růsu lze usoudi, že časová řada má expoeciálí red f () 0. Odhaděe jeho paramery. b) Najděe odhad zisku společosi v 7. a 8. roce její exisece. e) Vypočěe idex deermiace. Výsledek: ad a) Model f () 0 liearizujeme a model l f() l0 l a meodou ejmeších čverců získáme odhady l b 0, l b. Odlogarimováím dosaeme b 0 = 68,57875, b =,565. ad b) Odhad zisku společosi v 7. roce exisece: 99,035 isíc dolarů, v 8. roce : 977,476 isíc dolarů. ad c) Idex deermiace je 0, Časová řada 5, 9,, 35, 0, 07, 87, 04, 74, 7, 0, 7 udává ročí objemy vývozu piva (v milióech lirů) z Českosloveska v leech 980 až 99. Odhaděe red éo časové řady pomocí klouzavých průměrů s vyhlazovacím okékem šířky 5 Výsledek: rok kp5 8,6 7 0, ,8 88,8 87,6 04,6