Eliptický paraboloid je kvadrika, která má v nějaké kartézské soustavě souřadnic rovnici x 2 a 2 + y2

Transkript

1 82 KAPITOLA 2. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK 2.3 Paraoloidy Paraoloidy jsou regulární kvadriky, jejichž charakteristická rovnice má jedno nulové a dvě nenulová řešení. Mají-li oě nenulová řešení stejná znaménka, jedná se o eliptický paraoloid, jsou-li znaménka různá, hovoříme o hyperolickém paraoloidu Eliptický paraoloid Eliptický paraoloid je kvadrika, která má v nějaké kartézské soustavě souřadnic rovnici 2 a 2 + y2 =2z. (2.31) 2 Kladná čísla a, jsou délky os eliptického paraoloidu. z y Orázek 2.2: Eliptický paraoloid (2.31) Rovina = protíná kvadriku (2.31) v paraole y 2 =2 2 z, (2.32) jak zjistíme přímým dosazením = do (2.31). Pro liovolné k protíná rovina = k kvadriku (2.31) v paraole která je shodná s paraolou (2.32). y 2 =2 2 z 2 k2 a 2,

2 2.3. PARABOLOIDY 83 z Orázek 2.21: Eliptický paraoloid (2.31) - pohled ve směru osy Analogicky, souřadnicová rovina y = protíná paraoloid v paraole y 2 =2a 2 z. (2.33) Rovina y = k, kde k je nějaké reálné číslo, která je rovnoěžná s rovinou y =, protíná paraoloid v paraole shodná s paraolou (2.33). Můžeme říci, že roviny rovnoěžné s hlavní rovinou y = protínají paraoloid ve shodných paraolách, jejichž osy leží v hlavní rovině =. z y Orázek 2.22: Eliptický paraoloid (2.31) - pohled ve směru osy y Konečně souřadnicová rovina z = protíná kvadriku (2.31) v jediném odě [, ] ve vrcholu paraoloidu. Pro k> protíná rovina z = k paraoloid v elipse 2 a 2 + y2 2 =2k,

3 84 KAPITOLA 2. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK je-li k<, rovina z = k paraoloid neprotíná. Jestliže a = v rovnici (2.31) eliptického paraoloidu, potom kvadriku nazýváme rotační paraoloid. Rotační paraoloid se v prai používá k různým účelům jako paraolické zrcadlo, pomocí kterého: a) paprsky různých směrů vycházející z určitého zdroje, dovedeme usměrnit do jediného směru, či naopak, ) rovnoěžné paprsky umíme soustředit do jediného odu. Paraolické zrcadlo se podle a) využívá v reflektorech a svítilnách, ve vysílačích apod. Všude, kde je zapotřeí paprsky různých směrů soustředit do jediného směru. Orázek 2.23: Tradiční ceremoniál zažehnutí olympijské pochodně pomocí slunečních paprsků soustředěných paraolickým zrcadlem. Řecká Olympie, rok 24 ( Vlastnosti rotačního paraoloidu podle ) využíváme při konstrukci paraolických antén pro příjem televizního neo rádiového signálu, při konstrukci slunečních elektráren aj. Všude, kde je nutné soustředit svazek rovnoěžných paprsků (např. sluneční záření) do jediného odu. Říká se, že Archimédes chtěl pomocí soustavy zrcadel umístěných ve tvaru paraoloidu zapálit nepřátelské lodě.

4 2.3. PARABOLOIDY 8 Orázek 2.24: Nejrozsířenější satelitní anténa, tzv. offsetová paraola. Jedná se o výřez z plochy rotačního paraoloidu tak, ay přijímač v ohnisku (LNB konvertor) stál co nejméně v cestě dopadajícího signálu ( Hyperolický paraoloid Hyperolický paraoloid je kvadrika, jejíž rovnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic je 2 a 2 y2 =2z. (2.34) 2 Kladná čísla a, jsou délky os hyperolického paraoloidu. 1 z y Orázek 2.2: Hyperolický paraoloid (2.34) Souřadnicová rovina = protíná hyperolický paraoloid (2.34) v paraole y 2 =2 2 z. (2.3)

5 86 KAPITOLA 2. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Rovina = k protíná kvadriku (2.34) v paraole, která je shodná s paraolou (2.3). Souřadnicová rovina y = protíná kvadriku v paraole 2 =2a 2 z. (2.36) Všimněte si, že paraola (2.36) je opačně orientovaná než paraola (2.3). Rovina y = k protíná pro liovolné k paraoloid v paraole, která je shodná s paraolou (2.36). Z našich úvah plyne možnost vytvoření plochy (2.34) ze systému shodných paraol ležících v rovinách rovnoěžných s hlavní rovinou =, které mají vrchol na paraole, která leží v hlavní rovině y =. Třetí souřadnicová rovina z = protíná paraoloid ve dvojici různoěžek 2 a 2 y2 ( 2 = a + y ) ( =. (2.37) Rovina z = je tečnou rovinou kvadriky (2.34) v odě dotyku [, ] vrcholu plochy. Tento od také nazýváme sedlovým odem plochy (2.34). 1 Rovina z = k protíná plochu v hyperole 2 a 2 y2 =2k (2.38) 2 z y Orázek 2.26: Hyperolický paraoloid (2.34) - pohled ve směru osy z Opět si všimněme, že pro k > jsou hyperoly opačně orientované oproti hyperolám, které dostaneme pro k<. Hyperolický paraoloid je plocha, která je v prai velmi hojně používána. 1 Tvar plochy v okolí odu [, ] připomíná koňské sedlo.

6 2.3. PARABOLOIDY 87 Jednou z příčin proč tomu tak je, je skutečnost, že se jedná o přímkovou plochu. To nyní dokážeme: Rovnici 2 a 2 y2 =2z. (2.39) 2 přepíšeme do ekvivalentního tvaru ( a + y ) ( =2 z. (2.4) Uvažujme soustavu dvou rovnic s reálnými parametry α, β ( α a + y ) = βz ( β = 2α, (2.41) kde α, β nejsou současně rovna nule. Pro každou dvojici α, β je řešením soustavy (2.41) přímka, neoť se jedná o průnik dvou rovin. Každé řešení soustavy (2.41) vyhovuje (vynásoíme-li spolu levé strany rovnic a pravé strany rovnic) rovnici (2.34). To znamená, že pro každé α, β přímka (2.41) leží na hyperolickém paraoloidu. Platí věta: Věta: Každým odem X = [,y,z ] plochy (2.34) prochází právě jedna přímka soustavy (2.41). Důkaz: Pro daný od X = [,y,z ] potřeujeme nalézt hodnoty α, β, kterými je hledaná přímka určena. V odě [,y,z ] plochy platí: ( β : α = a + y ) : z ( β : α = 2 :. (2.42) aprotožex náleží ploše (2.34), je splněna rovnice ( a + y ) ( : z =2:. (2.43) Odtud vidíme, díky (2.43), že stačí určit hodnotu podílu β : α např. z druhé rovnice v (2.42). Důkaz je proveden. Definice: Množina všech přímek, které vyhovují soustavě (2.41) pro všechna α, β, která nejsou současně rovna nule, se nazývá 1. regulus plochy (2.34). Každé dvě přímky 1. regulu jsou mimoěžné. Pokud y se totiž protínaly v nějakém odě X, potom y odem X, který leží na ploše, procházely dvě přímky 1. regulu, a to je spor s předcházející větou. Na hyperolickém paraoloidu eistuje ještě jeden regulus přímek. Záměnou

7 88 KAPITOLA 2. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK členů v (2.41) získáme následující soustavu α ( a + y ) = 2β β ( = αz, (2.44) kde α,β jsou liovolná reálná čísla, která nejsou současně rovna nule. Množina všech přímek, které jsou řešením soustavy (2.44) leží na kvadrice (2.34) a tvoří tak 2. regulus přímek plochy. Odoně se ukáže, že každým odem plochy (2.34) prochází jediná přímka 2. regulu. Všechny přímky 2. regulu jsou navzájem mimoěžné. Výsledky shrneme do následující věty: Věta: Na kvadrice (2.34) eistují dva reguly přímek dané soustavami (2.41), (2.44). Každým odem kvadriky (2.34) prochází právě jedna přímka 1. regulu aprávějednapřímka2. regulu. Přímky z různých regulů hyperolického paraoloidu se vzájemně protínají. Platí věta: Věta: Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu. Důkaz: Uvažujme liovolnou přímku 1. regulu, která odpovídá hodnotě u = β/α v soustavě (2.41) a liovolnou přímku 2. regulu, která odpovídá hodnotě v = β /α v soustavě (2.44). Dostaneme soustavu čtyř rovnic uz = a + y ( u = 2, 2v = a + y ( v = z (2.4) o třech neznámých, y, z, která má jediné řešení = a v +1 u, y = v 1 u, z =2 v u. Věta je dokázána. Ještě ukážeme, že všechny přímky jednoho regulu jsou rovnoěžné s rovinou. Liovolná přímka, která je řešením soustavy (2.41), kterou můžeme přepsat do tvaru uz = a + y ( u = 2, (2.46)

8 2.3. PARABOLOIDY 89 kde u = β/α, má směrový vektor ( 1 a, 1 ) ( u, u a, u ) ( u 2, =, u2 a, 2u ), a kterýurčujestejnýsměrjakovektor ( a,, 2 ). (2.47) u Z vyjádření (2.47) vidíme, že směrový vektor každé přímky 1. regulu má prvé dvě souřadnice konstantní a je tedy rovnoěžný s např. s rovinou ay =. (2.48) Analogicky, přímky 2. regulu jsou rovnoěžné s rovinou Výsledek můžeme zformulovat do následující věty: + ay =. (2.49) Věta: Všechny přímky 1. regulu jsou rovnoěžné s rovinou (2.48), všechny přímky 2. regulu jsou rovnoěžné s rovinou (2.49). Uvedených vlastností soustav přímek hyperolického paraoloidu se využívá ve stavenictví. Z hlediska stavně technické prae se přímková plocha jeví jako vhodná plocha pro různé konstrukce. Často se hyperolický paraoloid používá k zastřešení prostoru ve tvaru prostorového čtyřúhelníku, který vzniká při zástavě proluk mezi domy. Orázek 2.27: Detail hyperolických paraoloidů užitých jako prvky zastřešení na autousovém nádraží v Českých Budějovicích (pořízeno s laskavým svolením správy Mercury centra)

9 9 KAPITOLA 2. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Ukážeme si, jakým způsoem se zastřešení provádí. Příklad: V daném prostorovém čtyřúhelníku ABCD, který leží na hyperolického paraoloidu sestrojte přímky 1. a2. regulu, or. 2.28, Řešení: Především je zapotřeí si uvědomit, že čtyřmi přímkami AB, BC, CD, DA, v prostoru je zadán hyperolický paraoloid. Dva páry mimoěž- Orázek 2.28: Konstrukce hyperolického paraoloidu nad prostorovým čtyřúhelníkem ABCD ných přímek AB, CD a BC,AD se navzájem protínají v odech A, B, C, D a vytváří tak základ 1. a 2. regulu hyperolického paraoloidu. K tomu, aychom nalezli další přímku 1. regulu, který je určen mimoěžkami AB, CD, si uvědomíme, že tato přímka musí protínat všechny přímky 2. regulu, to znamená i mimoěžky BC,AD a zároveň musí ýt rovnoěžná s rovinou, se kterou jsou rovnoěžné přímky AB, CD. Protože každým odem hyperolického paraoloidu procházejí právě dvě přímky, lze daným odem X přímky AD vést jedinou přímku, která má shora uvedené vlastností. Ovykle postupujeme tak, že spojíme středy úseček BC,AD. Tato spojnice náleží do 1. regulu, neoť protíná přímky BC a AD a je rovnoěžná s rovinou, se kterou jsou rovnoěžné přímky AB, CD. To nahlédneme z této úvahy. Označíme-li S 1,S 2 po řadě středy úseček BC,AD, potom S 1 = 1 2 (B + C), S 2 = 1 (A + D) 2 a odtud S 1 S 2 = 1 2 (B A)+1 (C D). (2.) 2 Směrový vektor S 1 S 2 přímky S 1 S 2 je podle (2.) lineární kominací vektorů B A, a C D. Tedy přímka S 1 S 2 je rovnoěžná s rovinou, jejíž zaměření je generováno vektory B A, C D. Odoně přímka T 1 T 2, kde T 1,T 2 jsou středy úseček AB, CD, je přímkou 2.

10 2.3. PARABOLOIDY 91 Orázek 2.29: Hyperolický paraoloid nad prostorovým čtyřúhelníkem ABCD regulu hyperolického paraoloidu. Dále postupujeme stejným způsoem. Další přímka 1. regulu je spojnice středů úseček BS 1 a AS 2 atd. Rozdělením stran AB, CD na 2 n shodných dílů dostaneme spojením příslušných dělících odů 2 n 1 příček. Orázek 2.3: Hyperolický paraoloid v Maple (kód řešení viz str. 113) Orázek 2.31: Zastřešení udovy hyperolickým paraoloidem - kampus Claude Bernard University Lyon