= 1, (2.3) b 2 + z2. c2 se nazývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme z rovnice (2.3), neobsahuje žádný reálný bod.

Transkript

1 .. HYPERBOLOIDY 71 Kvadratiká ploha, jejíž rovnie je a + b + = 1,.3 se naývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme rovnie.3, neobsahuje žádný reálný bod.. Hperboloid Hperboloid patří společně s elipsoid mei středové regulární kvadrik. Vlastní čísla jsou nenulová a mají, na rodíl od elipsoidů, růná naménka. Rolišujeme dva druh hperboloidů jednodílný a dvojdílný. Nejprve se budeme věnovat jednodílnému hperboloidu...1 Jednodílný hperboloid Jednodílný hperboloid má rovnii a + b =1.. Kladná čísla a, b, jsou délk os hperboloidu. Obráek.7: Jednodílný hperboloid Souřadniová rovina = protíná hperboloid. v hperbole b =1,. jak plne dosaením = do rovnie.. Analogik, rovina = protne hperboloid v hperbole a =1,.6

2 7 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Vememe-li místo rovin = rovinu s ní rovnoběžnou = k, kde k je nějaká reálná konstanta, potom pro k <aje průnikem rovin = k a hperboloidu. hperbola, která je podobná hperbole.. Je-li k >adostaneme hperbolu, která je podobná hperbole =1..7 b Pro hodnotu k = a protíná rovina = a hperboloid. v křive o rovnii b =,.8 která vjadřuje dvě růnoběžk b + =, b =. Rovina = a je tečnou rovinou a bod [a,, ] je jejím bodem dotku. Obdobně rovina = a je tečnou rovinou hperbolidu v bodě dotku [ a,, ]. Analogiký výsledek dostaneme pro rovinu = k, která je rovnoběžná se souřadniovou rovinou =. Třetí souřadniová rovina = protne hperboloid v elipse a + =1..9 b Tato elipsa se někd naývá hrdlová elipsa či kráeně hrdlo. Obráek.8: Hrdlová elipsa hrdlo Rovin = k, které jsou rovnoběžné s rovinou =, protínají hperboloid. pro libovolné k v elipsáh, které jsou podobné elipse.9. Speiálním případem hperboloidu. je rotační jednodílný hperboloid, pro

3 .. HYPERBOLOIDY 73 jehož délk os platí a = b. Takový hperboloid vnikne rotaí hperbol kolem vedlejší os. Obráek.9: Rotační jednodílný hperboloid Hperboloid, jehož rovnie je + = r, se naývá rovnoosý rotační jednodílný hperboloid. Zde jsme onačili a = b = = r. Jeho ře rovinami, které proháejí osou rotae, jsou rovnoosé hperbol. Obráek.1: Rovnoosý rotační jednodílný hperboloid Jednodílný hperboloid má několik důležitýh vlastností, pro které se vužívá např. ve stavebnitví, strojírenství apod. Jednou těhto vlastností je, že se jedná o přímkovou plohu, tj. o plohu, kterou le sestavit poue přímek.

4 7 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obráek.11: Chladíí věže jaderné elektrárn v Temelíně - rotační jednodílné hperboloid Ukážeme, že jednodílný hperboloid, jehož rovnie je a + b =1,.1 je přímková ploha. Abhom to dokáali, vjádříme rovnii.1 ve tvaru a =1 b..11 Všimněte si, že ve vtahu.11 jsou obě stran rovnie ve tvaru rodílu čtverů a místo.1 můžeme ted psát a + a = b b Uvažujme soustavu rovni α a + β a = β = α 1+ b 1 b,.13 kde α, β jsou reálná čísla, která nejsou současně rovna nule. Pro pevná α, β vjadřuje soustava.13 přímku, neboť se jedná o průnik dvou rovin. Každé řešení.13 vhovuje rovnii.1. To namená, že každá přímka.13, kde α, β probíhají všehna reálná čísla, α, β,, vhovuje kvadrie.1. Platí věta:

5 .. HYPERBOLOIDY 7 Věta: Každým bodem X =[,, ] kvadrik. proháí právě jedna přímka ploh daná soustavou.13. Důka: KdanémuboduX =[,, ] ploh.1 najdeme koefiient α, β, kterými je určena přímka.13 ploh, proháejíí bodem X. Rovnie přímk.13 přepíšeme do tvaru β : α = a + : 1+ b β : α = 1 : b a,.1 přičemž ároveň platí a + : 1+ = 1 : b b a..1 Ze vtahů.1, vhledem k rovnosti.1, vidíme, že hodnota poměru β : α je dána např. první rovnií v.1. Jestliže současně a + =a1+ b =, tj. není-li poměr β : α definován, potom hodnotu β : α určíme druhé rovnie v.1. Pokud totiž 1 + b =, potom je vžd 1 b. Ukáali jsme, že bodem [,, ] kvadrik. proháí právě jedna přímka ploh daná soustavou.13. Snadno se ukáže, že se žádné dvě přímk soustav.13 neprotínají. Pokud b se přímk protínal v bodě Y, potom b bodem Y, který je bodem ploh, protože obě přímk na ploše leží, proháel dvě přímk soustav.13, a to je spor s předhoí větou. Obdobně se ukáže, že žádné dvě přímk soustav.13 nejsou rovnoběžné. Všehn přímk soustav.13 jsou ted navájem mimoběžné. Množinu všeh přímek soustav.13 naveme 1. regulus. Analogik dostaneme vjádření.1 soustavu α = β 1 b a + β a = α 1+ b,.16 kde α,β probíhají všehna reálná čísla, s výjimkou případu α,β,. Pro pevná α,β představují rovnie.16 přímku. Každé řešení soustav.16 vhovuje rovnii kvadrik.1. Platí věta analogiká předhoí větě: Věta: Každým bodem X =[,, ] kvadrik.1 proháí právě jedna přímka soustav.16. Množinu všeh přímek soustav.16 naveme. regulus. Výsledk obou předhoíh vět můžeme shrnout do následujíí vět: Věta: Na kvadrie.1 eistují dva regul přímek dané soustavami.13,.16. Každým bodem kvadrik.1 proháí právě jedna přímka 1. regulu

6 76 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK aprávějednapřímka. regulu. Ještě ukážeme následujíí vlastnost přímek růnýh regulů: Věta: Každá přímka jednoho regulu protíná všehn přímk druhého regulu. Důka: Libovolnou přímku 1. resp.. regulu můžeme adat, položíme-li β : α = u resp. β : α = v, kde u, v jsou nějaká reálná čísla. Podle.13 a.16 potom platí u 1+ = b a + u a = 1 b v 1 = b a +.17 v a = 1+ b. Snadno se přesvědčíme, že soustava.17, která se skládá e čtř rovni o třeh nenámýh,,, má jediné řešení = a uv +1 u + v, = b v u u + v, = uv 1 u + v.18 a přímk se protínají v jednom bodě. Jestliže u = v v.18, potom jsou přímk.13,.16 rovnoběžné a mají společný jediný nevlastní bod. To nahlédneme takto: Přímka daná prvními dvěma rovniemi soustav.17 má směr u, který je kolmý na normálové vektor obor rovin, tj.: u = 1 a, u b, 1 u a, 1 b, u = u 1 b, u a, u ab Analogik, druhá přímka, která je dána třetí a čtvrtou rovnií v.17, má směr v, pro který platí: v = 1 a, v b, 1 v a, 1 b, v = v +1 b, v a, v 1.. ab Z.19 a. vidíme, že pro v = u jsou směr u a v rovnoběžné. Příklad: Ukažte, že rotaí přímk kolem os, která je s přímkou mimoběžná, vnikne rotační jednodílný hperboloid. Řešení: Osu rotae volme v ose. Přímka p, která bude rotovat okolo os, nehť má rovnii p : X = P + tu..1

7 .. HYPERBOLOIDY 77 Be újm na obenosti můžeme volit P =[,a,], kde a, u =u,,w, kde u,w. Přímku.1 vjádříme ve tvaru = + t u = a + t = + t w.. Pevně volenému parametru t je přiřaen jediný bod X = [,, ], daný 6 6 Obráek.1: Přímka Obráek.13: Rotae přímk kolem os rovniemi.. Při tomto pevně voleném t se při rotai přímk p kolem os, pohbujebodx po kružnii, která leží v rovině rovnoběžné se souřadniovou rovinou =, kterámárovnii + = t u + a,.3 jak plne prvníh dvou rovni v.. Ze třetí rovnie v. vjádříme parametr t, pro který t = w a dosadíme jej do vtahu.3. Dostaneme ož po úpravě dává + = w u + a,. a + a =1,. kde jsme onačili = wa/u. Rovnie. je rovnií rotačního jednodílného hperboloidu s délkami os a, a,.

8 78 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK 6 Obráek.1: Výsledný rotační jednodílný hperboloid kód řešení v Maple vi str Dvojdílný hperboloid Dvojdílný hperboloid má rovnii a + b = 1,.6 kde kladná čísla a, b, jsou délk os hperboloidu, obr..16. Obráek.1: Dvojdílný hperboloid Kanoniká rovnie.6 dvojdílného hperboloidu se liší od rovnie. jednodílného hperboloidu poue naménkem konstant na prvé straně rovnie. Z rovnie.6 můžeme vidět, že souřadniová rovina = hperboloid

9 .. HYPERBOLOIDY 79 neprotíná. Průnikem je totiž křivka o rovnii a + b = 1, které nevhovuje žádný reálný bod. Pokud místo rovin = vememe rovinu s ní rovnoběžnou = k, potom pro k >dostaneme elipsu, která je podobná elipse a + =1..7 b Obráek.16: Dvojdílný hperboloid.6 - pohled ve směru os Pro k <rovina = k kvadriku neprotíná, pro k = nebo k = dostaneme vrhol kvadrik [,,]nebo[,, ]. Rovina = k protíná hperboloid v hperbole, která je podobná hperbole b + =1..8 Obdobně rovina = k protíná hperboloid.6 pro každou hodnotu k v hperbole, která je podobná hperbole b + =1..9 Z naših úvah plne, že dvojdílný hperboloid.6 se skládá e dvou částí, které odděluje např. rovina =. Speiálním případem je rotační dvojdílný hperboloid, prokterýa = b. Jeho rovnie je a + a = 1..3

10 8 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obráek.17: Rotační dvojdílný hperboloid Rotační dvojdílný hperboloid dostaneme rotaí hperbol kolem hlavní os. Položíme-li a = b = = r potom rovnie + = r vjadřuje rovnoosý rotační dvojdílný hperboloid. Ponámka: Dvojdílný hperboloid není na rodíl od jednodílného hperboloidu přímková ploha. Z tohoto důvodu b se mohlo dát, že vužití dvojdílného hperboloidu v prai není tak časté. Opak je však pravdou. Rotační dvojdílný hperboloid hraje ásadní úlohu při použití GPS Global Positioning Sstem sstému, pomoí kterého dovedeme jistit naši přesnou polohu na Zemi [3]. Jedná se o obenění vukoměřičské úloh v rovině, při níž vužíváme vlastnosti hperbol, vi []. Prinip GPS je následujíí, obr..18: Ve čtřeh růnýh místeh A, B, C, D v prostoru bl anamenán signál po řadě v časeh t 1,t,t 3,t. Určete místo droje signálu. Předpokládejme, že platí t 1 t t 3 t. VmístěA bl signál anamenán nejdříve, v místě B se požděním t t 1 sekund vůči místu A. Onačíme-li v rhlost šíření signálu, je droj signálu X ot t 1 v metrů dál od místa B než od místa A. Pro rodíl vdáleností XB XA platí XB XA =t t 1 v a droj signálu X ted leží na dvojdílném rotačním hperboloidu, jehož ohniska jsou v bodeh A, B a vdálenost jeho vrholů je rovna t t 1 v. Uvažujeme poue ten díl hperboloidu, který je blíže bodu A. Obdobně jistíme polohu droje signálu X vhledem k bodům B,C. Pro vdálenosti XB, XC platí XC XB =t 3 t v abodx leží na dvojdílném

11 .. HYPERBOLOIDY 81 Obráek.18: rotačním hperboloidu, jehož ohniska jsou v bodeh B,C a vdálenost jeho vrholů je rovna t 3 t v. Uvažujeme poue ten díl hperboloidu, který je blíže bodu B. Analogik, množina bodů X, jejihž rodíl vdáleností od bodů C, D je roven XC XD =t t 3 v, je dvojdílný rotační hperboloid, jehož ohniska jsou vbodehc, D a vdálenost jeho vrholů je rovna t t 3 v. Uvažujeme poue ten díl hperboloidu, který je blíže bodu C. Zdroj signálu X ted musí ležet v průniku tří shora míněnýh hperboloidů. Uvážíme-li, že dva hperboloid se protínají v prostorové křive, potom průnik tří hperboloidů je roven průniku prostorové křivk s hperboloidem. Je řejmé, že výpočet elé proedur je velmi složitý, a není praktik proveditelný be použití počítače. Obráek.19: Ilustrae prinipu GPS - určení poloh jako společného bodu tří hperboloidů