VÍCEKRITERIÁLNÍ VÝBĚR PROJEKTŮ DO PORTFOLIA MULTICRITERIAL PROJECTS SELECTION INTO THE PORTFOLIO

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY Ing. Petr Pňos VÍCEKRITERIÁLNÍ VÝBĚR PROJEKTŮ DO PORTFOLIA MULTICRITERIAL PROJECTS SELECTION INTO THE PORTFOLIO Teze dotorsé dsertační práce PhD Thess Obor: Techncá yberneta Šoltel: Doc. RNDr. Jndřch Klapa, CSc. Oponent: Prof. Ing. Jří Dvořá, DrSc. Prof. Ing. Bohuml Mnaří, CSc. Doc. RNDr. Josef Zapletal, CSc. Datum obhaoby:

2 Petr Pňos, 200 ISBN ISSN

3 OBSAH SOUČASNÝ STAV ŘEŠENÉ PROBLEMATIKY 5. Rozhodovací úloha 5.2 Klasface metody vícerterální selece proetů do portfola 6.2. Interatvní postupy založené na nformacích o mírách substtuce Interatvní postupy založené na nformacích o úrovních účelových funcí Interatvní postupy založené na výběru z množny provzorních řešení Porovnání vybraných nteratvních metod Vyhodnocení porovnání nteratvních metod 0 2 CÍL PRÁCE 0 2. Matematcá formulace problému Úprava omezuících podmíne 2 3 ZVOLENÉ METODY ZPRACOVÁNÍ 3 3. Způsob řešení Mnmalzace salarzuící funce Změnové řízení a dalog 8 4 HLAVNÍ VÝSLEDKY PRÁCE Shrnutí výsledů práce Vyhodnocení expermentu závslost doby trvání výpočtu na rozdílu požadované a dsponblní hodnoty zdroe Pops expermentu a naměřené hodnoty Volba modelu Aproxmace modelu Ověření adevátnost modelu Vyhodnocení expermentu 24 5ZÁVĚR 26 6 SUMMARY 27 7 LITERATURA 28 8 CURRICULUM VITAE 3

4

5 SOUČASNÝ STAV ŘEŠENÉ PROBLEMATIKY. Rozhodovací úloha Téměř aždé cílevědomé ednání oletvů proevuící se napřílad formou plánování, proetování, řízení a podobně, s lze představt ao posloupnost nebo omplex ednotlvých rozhodnutí. Každé rozhodnutí fxue určtou etapu, část cílevědomé čnnost, a e východsem pro další ednání. Jednotlvá rozhodnutí spolu navzáem souvseí a podmňuí se řadou přímých a zpětných vazeb. Záladním rysem aždé rozhodovací úlohy e nalézt odpověď na otázu, a dosáhnout požadovaného cíle, aé přmout rozhodnutí, sou-l známy výchozí podmíny. Podmíny tvoří množna možných stavů obetů a množna operátorů převáděících eden stav obetu do stavu druhého. Cíl vyadřue žádoucí stav obetu, respetve žádoucí vývo (posloupnost stavů). Řešením rozhodovací úlohy - dosažení žádoucího cíle - e výběr operátoru, případně posloupnost těchto operátorů, teré převedou požadovaný obet z počátečního stavu do stavu požadovaného. Proces řešení e závslý na formulac, strutuře a charateru úlohy. Pro rozhodovací úlohy eonomcého nebo techncého charateru lze vytřídt tyto složy. Y Y K X M W X W Y X M Obr. Schéma řešení rozhodovací úlohy množnu neovlvntelných fatorů (vstupů), e terým musíme př rozhodování přhlížet, množnu ovlvntelných (voltelných) fatorů (vstupů), ež se berou př rozhodování v úvahu, množna výstupů (varant), teré mohou asprovat na uspooení cíle, množnu operátorů, teré transformuí ovlvntelné a neovlvntelné fatory do formy výstupů, 5

6 K množna rtérí ocenění (ohodnocení) prvů množny X a výběru podmnožny X, C cíl výběr podmnožny X př uplatnění rtérí K, X podmnožna varant, terá splňue požadovaný cíl. Řešení rozhodovací úlohy lze vyádřt Obr.. Př řešení rozhodovací úlohy vytváříme varanty X tím, že transformace z M aplueme na různé stavy ovlvntelných fatorů Y a neovlvntelných fatorů W. Něteré z varant mohou asprovat na uspooení žádoucího cíle. Uplatnění rtérí K na množnu varant X nebo přímo na transformační procedury vybíráme podmnožnu X splňuící žádoucí cíl. Schéma lze nterpretovat více formálně následuícím způsobem. Prvy množny Y lze chápat ao nezávslé proměnné velčny, prvy množny W ao oefcenty (onstanty) ve funčních vztazích, operátory z M ao funce, prvy množny X ao závsle proměnné, K ao účelová funce a prvy množny X ao řešení rozhodovací úlohy..2 Klasface metody vícerterální selece proetů do portfola Matematcá metoda vícerterální selece proetů do portfola, terá e předmětem této dsertační práce patří svým charaterem mez vícerterální rozhodovací postupy. Tyto lze z neobecněšího pohledu rozdělt na dvě záladní supny Postupy omplexního vyhodnocování varant. To sou metody řešící úlohy, teré mohou být a valtatvního ta vanttatvního typu. Množna přípustných řešení e dána explctně (přímým výčtem ech prvů), řešení e vybíráno z předem známé onečné množny varant. Postupy vetorové optmalzace. Pro supnu těchto úloh e charaterstcé, že množna přípustných varant e dána mplctně (soustava omezuících podmíne, teré museí prvy množny přípustných řešení splňovat), z čehož vyplývá, že tyto úlohy sou vanttatvní. Do zmňované supny rozhodovacích postupů patří vícerterální selece proetů do portfola, metoda popsovaná touto prací. Vícerterální selece proetů do portfola patří především díy své dalogové složce mez nteratvní metody. Charaterstcým rysem nteratvních metod e výměna nformací mez řeštelem a rozhodovatelem př řešení úlohy. Tato omunace probíhá v řadě teračních roů. Přčemž v aždé terac e: Úlohou řeštele pomocí emu dostupných nformací vytvořt předběžné řešení problému, teré předloží rozhodovatel. 6

7 Úlohou rozhodovatele e vyhodnocení a analýza řešení předloženého řeštelem, teré s pomocí analýzy a zušeností doplní o vlastní úsude a předloží e další nterac. Analýza daného řešení má často formu odpovědí na otázy. Dle určtého typu nteratvní metody mohou být tyto otázy různého charateru a náročnost, napřílad odpověd zda dané řešení vyhovue č nevyhovue, stanovení měr substtuce mez rtér, stanovení vah, prahových hodnot a podobně [2]. Metodu vícerterální selece proetů do portfola lze zařadt do supny metod vetorové optmalzace. Tuto supnu optmalzačních metod lze dále rozdělt na nteratvní postupy založené na nformacích o mírách substtuce, nteratvní postupy založené na nformacích o úrovních účelových funcí a nteratvní postupy založené na výběru z množny provzorních řešení..2. Interatvní postupy založené na nformacích o mírách substtuce Charaterstcým rysem nteratvních postupů založených na mírách substtuce e požadave ladený na rozhodovatele, aby uvedl nebo upřesnl míry substtuce mez ednotlvým účelovým funcem. Mírou substtuce mez -tou a -tou účelovou funcí rozumíme vyádření rozhodovatele, aé zhoršení -té účelové funce ompenzue zlepšení -té funce o ednotu. Do supny těchto rozhodovacích postupů patří následuící algortmy: Geoffrnova metoda [4], Zontsova-Wallenusova metoda [25] a metoda náhradních hodnot [5]..2.2 Interatvní postupy založené na nformacích o úrovních účelových funcí Charaterstcým rysem úloh tohoto typu e, že rozhodovatel posoudí úrovně ednotlvých účelových funcí dosažené v provzorním řešení a rozlší, teré z nch považue za uspoové. Do supny těchto postupů patří následuící metody: nteratvní programování pomocí omezuících podmíne [2], metoda STEM [], algortmus SIGMOP [9], metoda uspoových cílů [7], metoda GP STEM [3], metoda posunutého deálu [7], vícerterální selece proetů do portfola přístup T.J. Stewarta [24], vícerterální selece proetů do portfola přístup Santhanam a Kyparss [23], vícerterální selece proetů do portfola přístup J.Klapa [3]..2.3 Interatvní postupy založené na výběru z množny provzorních řešení Pro supnu těchto postupů e charaterstcé, že řeštel předloží rozhodovatel něol provzorních řešení, ze terých rozhodovatel vybere nelépe vyhovuící varantu. Na záladě zvolené varanty řeštel předloží rozhodovatel další supnu provzorní řešení. Algortmus ončí v oamžu, dy e rozhodovatel spooen s hodnotam rterálních funcí, anebo estlže dalším teračním roy nelze dosáhnout výrazného zlepšení hodnot účelových funcí. 7

8 .2.4 Porovnání vybraných nteratvních metod V následuící aptole sem srovnal rozhodovací postupy vetorové optmalzace podle těchto vlastností: Druh problému, na terý e metoda použtelná, způsob, aým e realzována omunace mez rozhodovatelem a řeštelem, techncé vlastnost nteratvního postupu. Interatvní metody založené na mírách substtuce Název metody Typ rterálních Typ rozhodovacích funcí proměnných Geoffronova metoda lneární spoté Zontsova lneární nelneární spoté Wallenusova metoda Metoda náhradních hodnot lneární spoté Tab. Porovnání nteratvních metod založených na mírách substtuce z hledsa použtelnost Interatvní postupy založené na nformacích o úrovních účelových funcí Název metody Typ rterálních Typ rozhodovacích funcí proměnných Interatvní programování pomocí lneární spoté omezuících podmíne Metoda STEM lneární spoté Algortmus SIGMOP nelneární spoté Metoda uspoových cílů lneární spoté Metoda GP STEM lneární dsrétní Metoda posunutého deálu lneární dsrétní Vícerterální selece proetů do nelneární dsrétní bvalentní portfola, přístup T.J. Stewarta Vícerterální selece proetů do nelneární dsrétní bvalentní portfola, přístup Santhanam a Kyparss polynomální Vícerterální selece proetů do portfola, přístup J.Klapa nelneární dsrétní bvalentní Tab. 2 Porovnání nteratvních metod založených na nformacích o úrovn účelových funcí z hledsa použtelnost Z uvedeného přehledu vyplývá, že pomocí metod vícerterální selece proetů do portfola lze řešt specální supnu rozhodovacích úloh s lneárním nelneárním rterálním funcem a dsrétním rozhodovacím proměnným. 8

9 Dále z tabule Tab. a Tab. 2 vyplývá, že mez srovnávaným přístupy neexstue ná nteratvní metoda, terá by doázala řešt podobné problémy steného typu. Dále sem porovnával matematcou složtost algortmu. Hodnocení e vyádřeno slovně dvouhodnotově. Porovnání těchto vlastností sem provedl na záladě vlastního subetvního hodnocení. Interatvní metody založené na mírách substtuce Název metody Matematcá složtost algortmu Geoffronova metoda malá velé Zontsova-Wallenusova malé metoda Metoda náhradních hodnot malá,v případě nelneární rterální funce vysoá, protože e nutné použít lnearzac velá Nároy ladené na rozhodovatele velé Tab. 3 Porovnání nteratvních metod založených na mírách substtuce z hledsa složtost algortmu a požadavů ladených na rozhodovatele Interatvní metody založené na úrovn účelových funcí Název metody Matematcá Nároy ladené na složtost rozhodovatel algortmu Interatvní programování malá malé pomocí omezuících podmíne Metoda STEM malá malé Algortmus SIGMOP malá malé Metoda uspoových cílů malá malé Metoda GP STEM velá malé Metoda posunutého deálu malá malé Vícerterální selece proetů malá malé do portfola, přístup T.J. Stewarta Vícerterální selece proetů malá malé do portfola, přístup Santhanam a Kyparss Vícerterální selece proetů do portfola, přístup J.Klapa malá malé Tab. 4 Porovnání nteratvních metod založených na úrovních účelových funcí z hledsa složtost algortmu a požadavů ladených na rozhodovatele 9

10 .2.5 Vyhodnocení porovnání nteratvních metod Výběr matematcého přístupu, na ehož záladě e v dsertační prác provedena realzace systému na podporu rozhodování a realzace metody formou detalní algortmzace. Z hledsa možnost použtí řešení daného problému byly mnou do užšího výběru vybrány tyto tř přístupy: Přístup T. J. Stewarta - nerespetue synergcé efety a herarchcé závslost proetů, dalog nezašťue platnost podmíny N R I t. nezaručue, že referenční bod a tedy váhy nevybočí v průběhu dalogu s přípustných mezí. Nehlídá dělení nulou v průběhu dalogu. Přístup Santhanama a Kyparsse sce zavádí synergcé efety a herarchcé závslost proetů, nelze e vša použít v případě velého počtu vstupních údaů, ehož se týá zadání. Nemá zavedený postoptmalzační dalog. Je použtelný pouze pro rterální funce polynomálního typu. Nelze e použít např. pro lneární lomené funce. Přístup navržený J. Klapou v [3], [5] spočívaící ve vzáemné syntéze obou výše uvedených přístupů a doplněných modfovaným dalogem, terý navrhue v [0], aptola 2.. Tento přístup sem vybral proto, že nemá zmíněné nedostaty předchozích dvou uvedených přístupů a na eho záladě sem detalní algortmzací vytvořl metodu a systém na podporu rozhodování řešení problému, specfovaného v zadání. Func systému sem ověřl rozsáhlým expermenty vlastním způsobem testování s využtím statstcých metod. 2 CÍL PRÁCE 2. Matematcá formulace problému Je třeba vybrat něteré z s proetů do portfola proetů. Nechť e ndex proetu (=,2...,s). Cílem řešení e nalézt pro všechna hodnoty bvalentních proměnných, pro něž platí: δ = 0 e-l proet vybrán do plánu není-l proet vybrán do plánu (2. ) Výběr e prováděn ta, aby byly splněny požadavy řešení, nmž patří: a) Zdroová omezení. s = s s = = + s 2 s a δ a δ δ + a δ δ δ b (=,2,...,m) (2. 2) l = = + l= + s l 0

11 b a e dsponblní množství -tého zdroe. e množství -tého zdroe, teré potřebue -tý proet, pracue-l sám. a e množství -tého zdroe, uspořené spoluprací proetů,. a l e množství -tého zdroe sdílené proety, a l. Obecně platí, a a, a a, a al, al al, al al pro všechna,, l. V případě absence synergcých efetů platí a 0, a = 0. b) Logcá omezení. = l m A δ m A δ ( H {,2 s} ) H,..., ( A {,2 s} ) A,..., pro všechna H, (2. 3) e množna všech proetů, teré e svému průběhu potřebuí průběh ných proetů. e množna proetů, teré proet potřebue e svému průběhu, A e eí mohutnost. c) Dretvní omezení nutného zařazení. ( {,2,...,s} ) ( D {,2 s} ) δ = pro B B δ = 0 pro D,..., (2. 4) B D e množna proetů, teré musí být v portfolu zařazeny. e množna proetů, teré nesmí být v onečném portfolu zařazeny. d) Omezení pro vzáemně se vylučuící proety. Pro něteré dvoce, ( {,2,..., s} ),, může platt: Je-l δ =, pa musí být δ = 0. (2. 5) e) Dosažení extrémních hodnot rterálních funcí. Krterální funce mohou být v zásadě dvoího typu - zsového typu, u nchž e poztvním evem ech růst, proto se snažíme o ech maxmalzac a blanční, u nchž e poztvním trendem ech poles, a proto se snažíme o ech mnmalzac. Krterální funce mohou být ve vzáemně onfltním vztahu. Zsové funce sou rozšířeny o tazvané synergcé efety druhého případně třetího řádu. Synergcým efetem chápeme specální přínos zsové rterální func, terý vznne společným zařazením dvou respetve tří proetů do portfola.

12 c s c + cδ δ + = = = + s s s 2 = s s cl = + l= + δ δ δ δ max (2. 6) e velost -tého užtu z -tého proetu, není-l přítomen synergcý efet. c e přírůste -tého užtu, způsobený současným zařazením proetů,. c l e přírůste -tého užtu, způsobený současným zařazením proetů,, l. Další rterální funcí, terá se může v prax vysytnout, e blanční funce poměrová, terou můžeme vyádřt ve tvaru l S S ( ) = µ δ µ δ π (,2,..., q) = (2. 7) de π e deální poměr počtu pracovníů pracuících na proetech -té ategore, vybraných do portfola, celovému počtu pracovníů, pracuících na všech proetech, vybraných do portfola. S () e množna ndexů proetů patřících do -té ategore, µ e počet pracovníů pracuících na -tém proetu. Místo o počtu pracovníů, potřebných průběhu proetu lze analogcy hovořt napřílad o velost náladů potřebných průběhu proetu. 2.2 Úprava omezuících podmíne Pro úpravu rterálních funcí blančního typu zaveďme asymetrcou vzdálenost Φ π prvů Φ, π, eíž hodnoty náleží ntervalu [0; ]. Pro n platí následuící vztah: Φ π 0 = l Φ π π ( Φ π ), ( Φ = π (na), ) (2. 8) de soová funce e rovna l ( x) 0 = pro x 0 pro x > 0 (2. 9) Problém e transformován na maxmalzac 2

13 ( =,2,..., p q) "max" z + (2. 0) Následně řešíme úlohu pro m zdroových omezení (2.2), de rterální funce z ( =,2,..., p) sou brány podle vztahu (2.6). Krterální funce z p + ( =,2,..., q) sou defnovány následuícím způsobem z p+ = Φ π 0 = l π Φ ( Φ π ) π ( Φ = ) π (na) (2. ) 3 ZVOLENÉ METODY ZPRACOVÁNÍ 3. Způsob řešení Abychom se vyhnul výpočetní pracnost, terá př daném rozsahu problému přchází v nerealzovatelnost řešení na osobním počítač v reálném čase, není př výpočtu použt lascý přístup přímého využívání užtových funcí, ale e zde použt nový způsob založený na prncpu referenčního bodu, terý umožňue zavádění heurstcých terací a dalogového režmu. Podstata prncpu referenčního bodu spočívá ve vytvoření společné salarzuící funce, pro nž hledáme mnmální hodnotu. Tato funce e ovlvněna vaham ednotlvých rterálních funcí. Přčemž I N R z e horní mez možné hodnoty zsové funce. e dolní mez možné hodnoty zsové funce. e referenční hodnota. e sutečná hodnota zsové funce. Pro aždou func z se stanoví eí deální hodnota I, to znamená možná horní mez optmální hodnoty velčny z. Pratcy lze tuto hodnotu stanovt ao maxmální hodnotu funce z za podmíne (2.2) - (2.5) to znamená s gnorováním vlvu ostatních rterálních funcí. Pro aždou func z se stanoví eí nemenší možná hodnota N, terou e možné stanovt analogcy mnmalzací z podmíne (2.2) - (2.5), rovněž s gnorováním vlvu ostatních rterálních funcí. Pro aždou func z se vypočte eí hodnota a to pomocí vztahů (2.6) a (2.2). Platí tedy N z I (2. 2) Třetím odhadem rterální funce z e eí realstcý odhad tazvaná referenční hodnota R. Poud e nedovedeme na záladě věcných znalostí stanovt obetvně, pa ao vstup do počáteční optmalzace, terá předchází eventuelnímu dalšímu dalogovému zpřesňování eího výsledu, můžeme určt referenční hodnotu napřílad tato: 3

14 I + N R = (2. 3) 2 Nyní e sestavena společná salarzuící funce z ednotlvých dílčích z ( =, 2,..., p+q), terá převádí problém na monorterální optmalzac. Pro rozsáhlé systémy byla navržena tato funce: σ = p q I ( ) + z, R = I R [ z, z2 z p q ] [ R R ] z =,..., + R =, 2,..., R p + q z h e vetor hodnot rterálních funcí o velost p + q, (2. 4) e vetor referenčních hodnot rterálních funcí o velost p + q, h > 0 Řešení spočívá v nalezení mn ( z, R ) Poznáma: Mnmální hodnota σ ( z, R ) σ za podmíne (2.2) až (2.6) a (2.)., stanovená bez respetování podmíny (2.2) by byla rovna nule, neboť eího zmenšování dosahueme zvětšování všech z až do hodnoty z = I, terou se anulue čtatel salarzuící funce (2.4). Jao omproms mez ctlvostí metody a hromaděním zaorouhlovacích chyb vyplynulo ze zušenost doporučení volby h = 4, terá byla uplatněna v dalších výpočtech. Tato stanovená salarzuící funce e tedy v podstatě součtem měr relatvních odchyle ednotlvých rterálních funcí od ech deálních, nevyšších hypotetcy možných hodnot. Relatvní odchylou zde rozumíme odchylu vztaženou na ednotu ntervalu dostatečně uspoových hodnot rterální funce. Ze strutury ednotlvých sčítanců salarzuící funce e tedy patrno, že váhově sou preferovány ty, u nchž e R blízé I, elož ve menovatel funce e rozdíl ( ) R I. 3.2 Mnmalzace salarzuící funce Ke stanovení mnmální hodnoty funce σ lze použít heurstcou terační metodu efetvního gradentu, terá svým vlastnostm odpovídá našm požadavům včetně rozsahu nám zoumaných úloh. Tato metoda e dále popsána ve formě vhodné programování na osobním počítač. Sestává z těchto roů : A) Zvolíme δ = pro všechna s výmou případu, dy něteré proety nesmí probíhat současně, v tomto případě hodnoty odpovídaících proměnných vhodně zvolíme. Pa vypočteme sutečné hodnoty zdroů u, to e množství zdroů, nároovaných těm proety, teré byly zařazeny do portfola. 4

15 u s s = aδ aδ δ + a = s = = + s 2 s l = = + l= + s δ δ δ l b ( =,2,...m) (2. 5) B) V případě, že pro něterá neplatí u b (-tý zdro byl přečerpán), pa pro všechna taová, že δ =, defnueme σ ( z, R ) ao přírůste funce σ ( z, R ), způsobený nahrazením hodnoty δ = hodnotou δ = 0, to e vymutím -tého proetu z portfola. Pro všechna taová, že δ =, vypočteme: P = m σ m 2 ( z, R ) ( u b ) l( u b ) a aδ + l l = =,2,...,, +, , s =,2,...,, +,..., s l= +, + 2,...,, +,..., s = a δ δ (2. 6) touto hodnotou e tazvaný efetvní gradent, terý e poměrem velčny σ ( z R) míře úspory zdroů způsobené vypuštěním -tého proetu z portfola. To lze napsat ve tvaru:, P σ = m m 2 ( z, R ) ( u b ) l( u b ) = A = ( u b ) l( u b ), (2. 7) de A e množství -tého zdroe, spotřebované př realzac -tého proetu. Vztah (2.6) byl odvozen v [27]. Ve vztahu (2.7) sou zahrnuty synergcé efety zdroových omezení; druhý a třetí sčítanec ve menovatel. Proet posytuící hodnotě P nemenší hodnotu ze všech, bude vymut z portfola. Tedy pro taové h, pro něž platí vztah: P = mn h P (2. 8) položíme δ = 0. Znovu vypočteme hodnoty u podle vztahu (2.5) a opaueme ro B ta dlouho doud nesou splněna všechna zdroová omezení (2.2). To znamená, že ro B bude opaován ta dlouho doud všechny sutečné hodnoty zdroů u nebudou nžší než ech dsponblní hodnoty b. 5

16 u 2 A (u, u 2 ) B Zdro č.2 b 2 D C (u a, u 2 -a 2 ) b u Zdro č. Obr. 2 Úbyte zdroe bez výsytu synergcého efetu Tato míra úspory zdroů, přesně řečeno míra celového efetvního využtí zdroů -tým proetem, e rovna velost průmětu vetoru úspory zdroů zísané vymutím -tého proetu z portfola do přímy spouící bod [u, u 2,...,u m ] představuící běžné využtí zdroů, hypotetcy odpovídaící dané etapě řešení včetně případného přečerpání, s emu neblžším bodem oblast přípustné zdroové dsponblty. C) Poté co sou splněny všechny zdroové nerovnost (2.2), hledáme, zda exstue taový proet, z těch pro něž platí δ = 0, terý může být přdán do portfola, anž by se aéol zdroové omezení porušlo. Neexstue-l pa se algortmus zastaví a uončí. Jna pro aždý taový proet vypočteme hodnotu D = m σ m ( z, R ) ( u b ) a a δ + l l = =,2,...,, +, + 2,..., s =, 2,...,, +,..., s l = +, + 2,...,, +,..., s = 2 a δ δ ( u b ) (2. 9) de σ znamená v tomto případě úbyte funce σ způsobený zařazením -tého proetu do portfola (to e změnou z δ = 0 na δ = ). Analogcy ao P v (2.6) e zde D možno chápat ao efetvní gradent, avša míru celového efetvního využtí zdroů -tým proetem zde defnueme ao velost průmětu vetoru 6

17 přírůstu zdroů, způsobeného zařazením -tého proetu do portfola, do přímy spouící bod [u, u 2,...,u m ], s bodem [b, b 2,...,b m ] představuícím maxmální možné využtí zdroů. Ve vztahu (2.9) sou uvažovány synergcé efety druhého a třetího stupně zdroových omezení; druhý a třetí sčítanec ve menovatel. Do portfola přdáme ten proet, terý posytne výrazu (2.20) maxmální hodnotu ze všech. Tedy pro taové h pro něž platí: D = max h D (2. 20) Po přdání proetu s maxmální hodnotou D h se testue platnost zdroových omezení (2.2). Jestlže e něteré ze zdroových omezení porušeno, potom e proet s maxmální hodnotou D h vyřazen z portfola a algortmus se zastaví a sončí. V opačném případě opaueme ro C. To znamená, že tento ro e opaován do té doby, dy neexstue proet, terý by mohl být zařazen do portfola, anž by se narušla platnost zdroových omezuících podmíne (2.2). Podobně ao míru úbytu zdroů u optmalzace lze grafcy znázornt míru přírůstu zdroů př dooptmalzac pomocí úlohy se dvěma zdroovým omezením. Účelem dooptmalzace e provést taový pohyb ve stavovém prostoru zdroů, terý b 2 C (u + a, u 2 + a 2 ) D B u 2 Zdro č.2 A (u, u 2 ) u b Zdro č. Obr. 3 Míra přírůstu zdroů bez synergcého efetu by výchozí stav zdroů (bod A) přblížl co nevíce úsečám přípustné hodnoty zdroů nebyly přeročeny, (to znamená, že úsečy b 2 D a Db ta, aby b 2 D a Db e 7

18 možné s obrazně představt ao tyto přípustné hodnoty. Tento pohyb e realzován ro po rou. V aždém rou dooptmalzace e zařazen do portfola proet, terý posytue hodnotě D maxmální hodnotu. Poud by zařazení taovéhoto proetu způsoblo porušení něteré ze zdroových podmíne (2.2), tento proet není zařazen do portfola a algortmus dooptmalzace e uončen. Ja ž bylo zmíněno výše v odstavc C), D představue poměr velčny σ ( z, R) míře přírůstu zdroů způsobené zařazením -tého proetu do portfola. A právě na ednoduché úloze na obr. 3 tato míra přírůstu zdroů pro větší představvost zobrazena. 3.3 Změnové řízení a dalog Po provedení počáteční optmalzace portfola nastává dalog mez užvatelem a řeštelem. Dalog má v aždé své etapě v podstatě dvě složy: a) Užvatel se vyádří e aždé z rterálních func: zda e spooen s eí hodnotou, nebo zda by s přál eí zvýšení (nemůže vša říc o ol), nebo zda by byl ochoten část eí hodnoty (nemůže říc aou) obětovat ve prospěch hodnot ostatních rterálních funcí. Důsledem vyádření řeštele e změna vah výpočtu, tato změna e fyzcy realzována změnou referenční hodnoty R. Změna této hodnoty e dána specálním algortmem, terý e součástí adaptvního procesu postupné změny R, čímž e současně upravována váha -té složy salarzuící funce. b) Užvatel může v aždé etapě řešení dretvně fxovat terýolv ím zvolený proet dovntř nebo vně portfola v souladu s postupným růstem svých znalostí o dané problematce. Tím se obecně změní hodnoty všech rterálních funcí, teré tím přestanou být optmální. Jným specálním algortmem se následem toho změní referenční hodnota R, a tím váha -té složy salarzuící funce. Po aždé etapě dalogu e možno znovu provést optmalzac portfola metodou efetvního gradentu, př níž se vychází z hodnot δ ( =, 2,.., s) zísaných dosavadním průběhem výpočtu. Pa analogcy nastává další etapa dalogu. Poněvadž obvyle s rostoucím časem rostou znalost užvatele o tom, teré proety musí probíhat (případně teré nesmí probíhat), bývá obetem aždé následuící optmalzace obvyle podstatně menší počet dosud volných proetů, (to e těch, u nchž není rozhodnuto o hodnotě δ ), čímž se zmenšue doba eího trvání. Velost rou změny referenční hodnoty R závsí v tomto adaptvním procesu mmo né na tom, a často užvatel, v průběhu dalogu, ncue změnu směru změny hodnoty rterální funce z (systém tedy testue u užvatele, do aé míry v dané chvíl ví, co chce ). 8

19 9 Dalog ončí, amle e užvatel spooen s hodnotam všech rterálních funcí. Poud by v něteré etapě dalogu nebyl spooen se žádnou rterální funcí, pa by problém neměl řešení. Jestlže na záladě rozhodnutí vyššího orgánu přdáme dodatečně nebo vymeme něterý proet z ž optmalzovaného portfola, změní se tím aždá rterální funce z hodnoty z (terá odpovídá původní referenční hodnotě R ) na hodnotu z. Budeme předpoládat, že ve steném poměru vůč deálnímu stavu I se změní hodnota R (původní realstcý odhad), poud e ovšem užvatel spooen s hodnotou z. Proto program změní hodnotu R na hodnotu R, pro nž platí R R ε + =, de ε = 0 e-l užvatel spooen s hodnotou z. ε = + α doporučue-l užvatel zvýšení hodnoty z. ε = - α e-l užvatel ochoten přpustt snížení hodnoty z. Přtom α > 0 e vhodně volená onstanta. Dále platí ( ) ( ) ( ) ( ) = < + < + < + = I z N R I z I z z R I N N R I z I z z R I R I z I z z R R z z z (2. 2) Žádá-l užvatel zdoonalení řešení, následně e provedena reoptmalzace: Př ní se vychází z běžného řešení (to e z dosaženého stavu portfola). Přtom užvatel může a nemusí fxovat něteré hodnoty δ (to e o zařazení nebo o nezařazení něterých proetů dretvně a postavt tím tyto proety mmo působnost reoptmalzační procedury). Př reoptmalzac se může vycházet z aolv zvoleného (to e neběžného stavu) počátečního řešení. Počáteční volbu onstanty α provádíme podle vztahu: > 0 ε ( ) = 2 2 N R R I α < 0 ε (2. 22)

20 a pro další reoptmalzac: α 0,75 = 0,75 ( I R ) ( R N ) ε > 0 ε < 0 (2. 23) e-l užvatelem doporučený směr změny rterální funce stený ao v bezprostředně předcházeícím rou dalogu. Jna použeme (2.22). 4 HLAVNÍ VÝSLEDKY PRÁCE 4. Shrnutí výsledů práce Hlavním výsledy této dsertační práce e výběr matematcého přístupu po vícerterální výběr proetů do portfola př omezených zdroích, eho detalní algortmzace, vytvoření programového systému a otestování tohoto systému z hledsa výonnost. Pro testování výonnost sem navrhl vlastní metodu testování, terou lze využít neen pro metodu uvedenou v této prác, ale navíc lze zobecnt a použít ao unversální postup pro vyhodnocení srovnání výonnost ných metod řešících problém vícerterálního výběru proetů do portfola př omezených zdroích. Na záladě této metody sem provedl řadu testů ze statstcým vyhodnocením pomocí regresní analýzy. Detalní pops testů a metody e uveden dsertační prác, zde uvádím pro lustrac eden z testů. 4.2 Vyhodnocení expermentu závslost doby trvání výpočtu na rozdílu požadované a dsponblní hodnoty zdroe 4.2. Pops expermentu a naměřené hodnoty Cílem expermentu e stanovení závslost doby trvání výpočtu na rozdílu požadované a dsponblní hodnoty zdroe. Konstanty expermentu byly zvoleny následuícím způsobem: počet zdroových omezení e roven 50, počet blančních rterálních funcí e roven 20, počet zsových funcí e roven 20 a počet proetů e roven 50. Synergcé efety zsových rterálních funcí, synergcé efety zdroových omezení a herarchcé závslost mez proety nebyly použty. Proměnným parametrem expermentu e poměr požadované a dsponblní hodnoty zdroů vyádřený procentuálně. Procenta uvedená grafu č. znamenaí procentuální vyádření požadované hodnoty zdroů vzhledem dsponblní hodnotě zdroů. Pro uvedený počet datových polože bylo vygenerováno pět různých zadání dat pomocí náhodných čísel. Pro těchto pět zadání byla měřena doba trvání výpočtu. Naměřené hodnoty byly vyhodnoceny pomocí regresní analýzy. 20

21 Počet Počet Počet Počet Přečerp. Úloha č. Úloha č.2 Úloha č.3 Úloha č.4 Úloha č.5 proetů bl. f-cí zs. f-cí zdroů [%]čas[s]čas[s]čas[s]čas[s]čas[s] ,02 4,72 4,87 4,75 4, ,06 7,59 7,9 7,96 7, ,95 9,72 9,82 9,84 8, ,36,0,2,8 9, ,34,88 2,2 2,4, ,06 2,63 2,85 2,89 2, ,46 3,22 3,28 3,27 3, ,4 3,76 4,0 3,88 3, ,54 4,6 4,2 4,7 4, ,96 4,49 4,75 4,24 4, ,3 4,78 5,02 4,9 4, ,46 4,99 5,2 5,26 5,6 Tab. 5 Naměřené hodnoty Volba modelu Pro naměřené hodnoty e třeba zvolt vhodný matematcý model, vypočíst eho oefcenty a zpětně ověřt eho adevátnost. Model pro tento experment sem voll expertně dle atalogu řve [9]. Zvoll sem model v následuícím tvaru: η =. β β 0 + x Model lze transformovat na lneární tvar: = β 0 + β u = β 0 + β x. η x 2 Pro výpočet odhadu modelu byla použta váhová funce w = y. 2

22 4.2.3 Aproxmace modelu p x y x w u w p ,86 0,02 23,696 2,3696 8, ,72 0,0 59, , , ,608 0, ,3366 3, , ,902 0,005 8,8536 2, , ,042 0,004 45,0098 2, , ,848 0, ,07 2, , ,298 0, ,8368 2, , ,944 0, ,435 2, , ,252 0, ,95 2, , ,544 0,002 2,5279 2, , ,854 0, ,643 2, , ,26 0, ,5267, ,63328 Σ 30, ,506 Tab. 6 Výpočet hodnoty x x = 3 = 3 p w x p w = 0, u = 3 = 3 = p w u p w = 0,07820 p x y x u w w p ( x x ) 2 w p u ( x x ) ,86 0,02 0, ,696 0, , ,72 0,0 0, , , , ,608 0, , ,3366 0, , ,9 0,005 0, ,8536 0, , ,04 0,004 0, ,0098 0, , ,85 0, , ,07 0, ,3 0, , ,8368-0, , ,94 0,0025 0, ,435-0, , ,25 0, , ,95-0, , ,54 0,002 0, ,5279-0, , ,85 0,0088 0, ,643-0,0924 0, ,22 0, , ,5267-0,2343 0, Σ 0, , Tab. 7 Výpočet oefcentů modelu 22

23 Odhad oefcentu β Odhad oefcentu β 0 b 0 = u = 0, p w u ( x x ) = b = = 3 2 pw ( x x ) = 7, Ověření adevátnost modelu x p y ŷ ( ) 2 p y y ,86 4, , ,72 7, , ,608 9, , ,902 0,906 8,4357E ,042, , ,848 2,6630 0, ,298 3, , ,944 3, , ,252 4,8659 0, ,544 4, , ,854 4, , ,26 5, , Σ 0, Tab. 8 Odchyla od modelu ˆ y y y 2 y 3 y 4 y 5 (y -y ) 2 (y 2 -y ) 2 (y 3 y ) 2 (y 4 -y ) 2 (y 5 -y ) 2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,86 5,02 4,72 4,87 4,75 4,84 0,0256 0,096 0,000 0,02 0, ,7 8,06 7,59 7,9 7,96 7,04 0,2 0,048 0,0392 0,065 0, ,6 9,95 9,72 9,82 9,84 8,7 0,69 0,025 0,0449 0,0538 0, ,90,36,0,2,8 9,75 0,2097 0,06 0,0948 0,0772, ,04 2,34,88 2,2 2,4,73 0,0888 0,0262 0,0060 0,0096 0, ,85 3,06 2,63 2,85 2,89 2,8 0,0449 0,0475 0,0000 0,007 0, ,30 3,46 3,22 3,28 3,27 3,26 0,0262 0,0060 0,0003 0,0007 0, ,94 4,4 3,76 4,0 3,88 3,93 0,0384 0,0338 0,0043 0,0040 0, ,25 4,54 4,6 4,2 4,7 4,8 0,0829 0,0084 0,007 0,0067 0,005 4,54 4,96 4,49 4,75 4,24 4,28 0,730 0,0029 0,0424 0,0924 0, ,85 5,3 4,78 5,02 4,9 4,43 0,076 0,0054 0,0275 0,003 0, ,22 5,46 4,99 5,2 5,26 5,6 0,0595 0,050 0,0000 0,009 0,003 Σ 4,83444 Tab. 9 Rezduální součet čtverců 23

24 Zdro varablty Součet čtverců Stupeň volnost Průměrný čtverec Nelnearta 0, , Rezduální 4, ,09297 Tab. 0 Analýza rozptylu Testovací velčna F 0,5842 2,496 F rtcá α = 0,05 Zdro varablty Odchyla od přímy Chyba měření Součet čtverců p ( y y ) ( ) 2 y Stupně volnost 2 ˆ n 2 y p n Průměrný čtverec F F rtcá s s 2 r = n 2 2 e = p n p ( y yˆ ) 2 ( y y ) 2 s F = s 2 r 2 e F n 2, p n Tab. Vzorce pro výpočet analýzy rozptylu Vyhodnocení expermentu Naměřeným hodnotám odpovídá s 95% pravděpodobností odhad modelu ve tvaru yˆ = vz graf č.. 7,632 0, x 24

25 25

26 5 ZÁVĚR Hlavním cílem této dsertační práce byl výběr matematcého přístupu, eho detalní algortmzace a na eho záladě vytvoření programového systému na podporu rozhodování pro vícerterální výběr proetů do portfola př omezených zdroích a otestování tohoto systému z hledsa výonnost. Systém byl vytvořen př splnění následuících požadavů: Zpracování velého rozsahu vstupních údaů. Předládaný systém umožňue optmalzac portfola obsahuícího více než sto proetů př desítách zdroových omezení, desítách rterálních funcí a to v reálném čase pomocí PC. Výonnost programového systému a navrhovaného algortmu e podložena řadou statstcy vyhodnocených testů uvedených v této dsertační prác. Obecný tvar funcí s bvalentním proměnným. Systém e v tomto směru otevřen a e schopen pracovat s různým typy rterálních funcí. Tyto funce mohou být a lneární ta nelneární a mohou být ve vzáemně onfltním vztahu. Možnost postoptmalzačního dalogu řešení špatně defnovaných problémů. Součástí systému e nteratvní dalog umožňuící další upřesňování řešení po záladní optmalzac. Možnost flexblních změn portfola. Dalog zmňovaný v předchozím bodu umožňue výsledné řešení flexblně přzpůsobt vzhledem reálnému stavu, terý v prax zpravdla neodpovídá původně zadaným podmínám. Tyto změny zahrnuí neen přímé vymutí nebo zařazení proetu do portfola, ale možnost přzpůsobt hodnoty rterálních funcí atuálním požadavům užvatele. Možnost vstupu referenčních hodnot rterálních funcí. Kromě toho lze v rámc zmňovaného dalogu referenční hodnoty rterálních funcí modfovat. Důsledem této modface e ovlvnění hodnot rterálních funcí důsledem změny ech vah. Respetování synergcých efetů rterálních a zdroových. Systém pracue s hodnotam synergcých efetů rterálních funcí a zdroových omezení. Respetování vzáemné herarchcé závslost proetů. Dsertační práce obsahue návrh mplementace těchto závslostí pomocí matematcého grafu. Programový systém modelue herarchcé závslost tímto způsobem a využívá algortmus prohledávání matematcého grafu do šířy př optmalzačním výpočtu. Žádný z doposud známých softwarových systémů všechny tyto podmíny nesplňoval. Práce přnáší vlastní metodu testování výonnost metod dané třídy, aplue na stanovení závslost doby trvání výpočtu na množství vstupních parametrů, čemuž využívá statstcých metod. Výsledy testů potvrzuí využtelnost vytvořeného systému řešení daného problému v reálném čase. Hodnota a použtelnost předloženého systému sou patrny též z toho, že obdržel druhé místo v celostátním výběrovém řízení, vypsaném Česým energetcým závody. Byl rovněž vystavován a předváděn u příležtost veletrhu INVEX a na řadě dalších tuzemsých zahrančních softwarových výstav. Je využíván v pedagogcém procesu VUT na faultách stroního nženýrství a podnatelsé. 26

27 6 SUMMARY The purpose of ths dssertaton thess s to desgn a decson support system for mult-crtera selecton of proects wth lmted resources. The system requrements are the followng:. The system wll allow the selecton of hundreds of proects smultaneously wth tens of crteron functons and tens of resource lmtatons. 2. The crteron functon wll have general form usng bvalent varables. 3. The algorthm wll allow the solvng ll-defned problems after basc optmzaton. 4. The system wll allow flexble changes of the portfolo. 5. The algorthm wll enable utlzaton of the reference levels of ndvdual crteron functons. 6. The algorthm wll respect the synergstc effects of the crteron functons and the synergstc effects of the resource lmtatons. 7. The system wll respect herarchcal dependences between proects. As far as we now ths problem hasn t been yet research. The thess contans analyss and evaluaton of current stuaton on ths area. The selecton of convenent mathematcal approach and ts detal descrpton has been done. The specal scalarzng functon has been used t s based on the modfed resource pont approach for coast and balance crteron functons and ts optmzaton by effectve gradent method. To smulate the herarchcal dependences we have used a mathematcal graph. The algorthm search n wdth s used for gong trough the mathematcal graph. The thess contans own methodology of testng effcency of the mathematcal methods of the same category. The experments whch prove a gven hypothess are ncluded. The results we have obtaned prove that PC s are competent to solve problems of ths nd. 27

28 7 LITERATURA [] Benayoun, R. ol.: Lnear Programmng wth Multple Obectve Functons: Step Method (STEM). Mathematcal Programmng, 97, pp [2] Bouša J., Černý M., Glücaufová D.: Interatvní postupy rozhodování, Academa Praha 984, 66 pp. [3] Fchefet, J.: GP STEM An Interactve Multobectve Optmsaton Method. Progress n Operatons Research, Vol., North-Holland, Amsterdam 976, pp [4] Geoffron, A. M. ol. : An Interactve Approach for Mult-crtera Optmzaton wth an Applcaton to the Operaton of an Academc Department. Management Scence (Applcaton) 9, 972, pp [5] Hames, Y. Y. ol.: Multobectve Optmsaton n Water Resources Systems: the Surrogate Worth Trade off Method. Elsever Scentfc, New Yor, 975. [6] Hebá P., Hustopecý J. : Vícerozměrné statstcé metody. STNL/ALFA, Praha, 987, 452 pp. [7] Hwang Ch., Masud, A.: Multple Obectve Decson Mang-Methods and Applcatons. Lecture Notes n Economc and Mathematcal Systems 64, Sprnger, Berln 979 [8] Jan, H. K., Tannru, M. R., Fazlollah, B. MCDM Approach for Generatng and Evaluatng Alternatves n Requrements analyss. Informaton system Res, Vol. 2, pp [9] Květoň K., Košťál E., Schurerová: Tvorba emprcých modelů metodam regresní analýzy. I. díl, Knžnce ČSVTS-FEL, Praha 983, 30 pp. [0] Klapa J. a ol: Příspěve rozvo matematcých metod proetového řízení. Závěrečná výzumná zpráva. Proet FR Fondu rozvoe vysoých šol. VUT Brno, FS a FP, lstopad 996, 79 pp. + přílohy. [] Klapa J., Pňos P.: Decson Support for Multcrteral Proects Selecton. MENDEL 97-3 rd Internatonal Conference on Genetc Algortmus, Optmzaton Problems, Fuzzy Logc, Neural Networs, Rough Sets, Brno 997, pp [2] Klapa J.: Contemporary State of Mathematcal Modellng n Proect Management. Modellng, Measurement & Control D, AMSE Press, Vol. 9, No. 3 (994), pp

29 [3] Klapa J.: Systémy na podporu rozhodování v proetovém řízení, ao ybernetcé systémy. Kyberneta po padesát letech. Sborní vědecých prací. VUT Brno 998, pp [4] Klapa J.: Model of the Decson Support System for Multcrteral Proect Selecton. MOSIS 96, Aprl (996), Krnov, pp [5] Klapa J.: Systém na podporu rozhodování pro vícerterální výběr proetů. Systémové přístupy 98. Prncpy, vývo a přínosy. Sborní pracovní onference Praha 998. VŠE Praha, pp ISBN [6] Kyparss G.J., Gupta S.K., Sushl K., Ip Ch-Mng: Proect Selecton wth Dscounted Returns and Multple Constrants. European Journal of Operatonal Research, Vol. 94, No. (996), pp [7] Lee H., Gugnard M.: Proect Selecton and Proect Schedulng. Journal of the Operatonal Research Socety, Vol. 46, No. 2 (995), pp [8] Maroš B.: Emprcé modely I, FS VUT Brno, PC-DIR Real, 998, 75 s. Monarch, E. E. ol.: Interactve Multple Obectve Decson-mang Ad Usng Nonlnear Goal Programmng. Multple Crtera Decson Mang (Kyoto 975), Lecture Notes n Economcs and Mathematcal Systems 23, Sprnger, Berln 976, pp [9] Muheree K.: Applcaton of an Interactve Method for MOILP n Proect Selecton. Internatonal Journal of Producton Economcs 36 (994), pp [20] Retveld, P.: Multple Obectve Decson Methods and Regonal Plannng. North-Holland, Amsterdam 980. [2] Santhanam R., Kyparss G.J.: Decson Model for Independent Informaton System Proect Selecton. European Journal of Operatonal Research, Vol. 89, No. 2 (996), pp [22] Santhanam R., Kyparss G.J.: Multple Crtera Decson model for Informaton System Proect Selecton. Computers & Operatons Research, Vol. 46, No. 2 (995), pp [23] Stewart T. J.: A Multcrtera Decson Support System for Research and Development Proect Selecton. Journal of the Operatonal Research Socety, Vol. 42, No., 99, pp

30 [24] Zonts, S., Wallenus, J.: An Interactve Programmng Method for Solvng the Multple Crtera Problem. Management Scence 22, 976, pp [25] Zvára K. : Regresní analýza, Academa, Praha, 989, 245 s. [26] Klapa J.: Applcatons of Proect Management to Automaton Proects. 5th Internatonal DAAAM Symposum. Collecton of Summares. Unversty of Marbor, Slovena. Faculty of Techncal Scence 994, pp [27] Walter J., Vemola S., Fala P.: Aplace metod síťové analýzy v řízení a plánování. STNL Praha, 989, 282 pp. [28] Dnelbach W., Isermann H.: Resource Allocaton of an Academc Department n the Presence of Multple Crtera some experence wth a Modfed STEM Method. Computer & Research 7, 980, pp. [29] Johnson L. E., Loucs D. P.: Interactve Multobectve Plannng Usng Computer Graphc. Computer & Research 7, 980, pp. [30] Klapa J. Pňos P. (999) Decson Support System for Multcrteral Proects Selecton, The 5 th Trnnal Conference The Internatonal Federaton Operatonal Research Socetes, Beng, Chna, 999, 9 pp. [3] Klapa J. Pňos P. (2000) Synergstc Effects nd Herarchcal Dependences n Multcrteral Proects Selecton. Proceedngs Mendel 2000 VUT Brno June 7-9, 2000, pp [32] Klapa J. Pňos P. (2000) Decson Support System for Multcrteral R&D and Informaton Systems Proects Selecton, EURO 2000, 7 th European Conference on Operatonal Research. Budapest, July 6-9, 2000, 2 pp. [33] Pňos P., O vícerterálním výběru proetů, Techncý týdení, 200 vol. 49 no. 5, pp. 3 30

31 8 CURRICULUM VITAE Jméno a přímení: Petr Pňos Datum narození: 3. ledna 973 Bydlště: Drnovce 398, Stav: Svobodný Vzdělání Dotorandsé studum, VUT Brno, faulta stroní, ústav automatzace a nformaty Absolvent nženýrsého studa, obor nženýrsá nformata, VUT Brno, faulta stroní, ústav nformaty a automatzace Maturtní zouša, SPŠ Prostěov. Dosavadní pracovní zušenost 999-do současnost programátor analyt, SoftCell Česá republa a.s. Odborné znalost Programování v azyce C, Pascal a Progress, přehled v oblast matematcých metod proetového řízení, původní vědecé práce z tohoto oboru byly prezentovány na řadě domácích a meznárodních onferencí. Jazyové znalost Anglcý azy a rusý azy. 3