přímky a roviny a znalost osové afinity v rovině.
|
|
- Jaroslava Vacková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ÚVD Tento učební tet je chápán jako doplněk skripta áklad deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 4., Pravoúhlá aonometrie a měl b pomoci studentům a ostatním ájemcům o deskriptivní geometrii, kteří chtějí vládnout konstrukce a obraování v pravoúhlé aonometrii. Nahrauje skriptum Sbírka řešených příkladů deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 4., Aonometrická projekce. Tomu odpovídá číslování příkladů a obráků. Skriptum obsahuje příklad na ákladní polohové úloh a metrické úloh v souřadnicových rovinách, úloh na konstrukci a obraení elementárních těles v ákladní poloe. Další skupina příkladů se týká konstrukce a obraení rovinných řeů některých elementárních těles a naleení průniku přímk s tělesem. Jsou de rovněž příklad věnované vbraným křivkám a plochám technické prae jako je šroubovice, šroubové ploch a ejména borcené ploch. Na ávěr je připojena sada neřešených příkladů k samostatnému řešení a procvičení dané problematik. Postup řešení jednotlivých příkladů je popsán stručně. Předpokládáme nalost principu obraení a ákladních pojmů pravoúhlé aonometrie, ejména obraení bodu, přímk a rovin a nalost osové afinit v rovině. 3
2 Pr ı klad 4.1: V pravou hle aonometrii 4(8; 9; 10) sestrojte stopnı k pr ı mk p = AB. A[4; 1; 8], B[2; 4; 5] R es enı (obr. 4.1): Pu dorsn stopnı k P = p π je pru sec ı kem pr ı mk p s jejı m pu dorsem p1 a je ted P = P1 ; pu dors N1 na rsne ho stopnı ku N = p ν le ı na pr ı mce p1 a na ose, podobne pro bokorsn stopnı k M = p µ je M1 = p1. p [8 ] 8 [] N [5 ] A [] 5 () B 1 () 2 M p1 4 4 A1 P = P1 (4 ) N1 B1 M1 (4 ) (2 ) (1 ) () obr
3 Pr ı klad 4.2: V pravou hle iometrii sestrojte stop rovin ρ = ABC. A[1; 5; 2], B[6; 1; 7], C[ 2; 3; 2] R es enı (obr. 4.2): Pu dorsna stopa pρ je pr ı mka spojujı cı pu dorsne stopnı k P c, P a pr ı mek c = AB, a = BC. Pro na rsnou stopu nρ stac ı najı t na rsn stopnı k N c pr ı mk c a spojit jej s pru sec ı kem os a stop pρ. Podobne se bokorsna stopa mρ protı na s pρ na ose a s nρ na ose. V obra ku jsou doplne n take pru me t dals ı ch dostupn ch stopnı ku N b, M c, M b, M a pr ı mek a, b, c, ktere blo mo no pr i konstrukci vu ı t. Pr ı mka b = AC je rovnobe na s pu dorsnou π, je to ted hlavnı pr ı mka I. osnov rovin ρ a platı b k b1 k pρ. Nb nρ Nc B mρ a N1b Ma C c P a = P1a Mb C1 Mc P c = P1c M1c A M1b A1 M1a c1 b pρ b1 obr B1 N1c a1
4 Pr ı klad 4.3: V pravou hle iometrii sestrojte pru nik troju helnı ku ABC a EF G. A[0; 6; 8], B[8,5; 7,5; 8,5], C[3,5; 0; 10], E[5; 9,5; 9], F [7,5; 2; 8,5], G[0; 2; 9] R es enı (obr. 4.3): Rovin dan ch troju helnı ku se protı najı v pru sec nici r, jejı bod K, L najdeme takto rovina EF E1 (pu dorsne promı tacı rovina pr ı mk EF ) protne stran AB, BC v bodech 1,2, kde 1 1 = E1 F1 A1 B1 a 2 1 = E1 F1 B1 C1. Krcı pr ı mka 12 pak protı na u sec ku EF v bode K. Podobne pomocı krcı pr ı mk 34 najdeme bod L na u sec ce AC. Pr i urc ova nı viditelnosti postupujeme na sledujı cı m pu sobem bod 2 BC je v s ne bod 2 0 EF, a bude ted vide t bod 2 a take cela strana BC. G L 3 C 4 A K E F B r G1 C L1 A1 F1 2 1 =2 01 K1 11 E1 B1 obr r1
5 Pr ı klad 4.4: V pravou hle iometrii ved te bodem M pr ı c ku mimobe ek p = AB, q = CD. M [4; 1; 3], A[9; 0; 0], B[0; 4; 5], C[1; 7; 0], D[5; 3; 9] R es enı (obr. 4.4): Hledana pr ı c ka musı le et v rovine ρ = M q. Stac ı ted najı t pru sec ı k P pr ı mk p = AB s touto rovinou. Bodem M je proto vedena pr ı mka q 0 k q a bod P je naleen pomocı pu dorsne krcı pr ı mk r = 12 (r1 = p1 ). Pr ı mka m = P M je hledanou pr ı c kou, ktera protı na druhou mimobe ku q = CD v bode Q. 1 q0 q r D p B M P Q m r1 = p 1 B1 21 q10 M1 P1 C = C1 m1 Q1 D1 2 q1 11 A = A1 obr
6 Pr ı klad 4.5: V pravou hle iometrii sestrojte pr ı c ku mimobe ek a = M N, b = P Q rovnobe nou s pr ı mkou s = U V. M [0; 5; 8], N [3; 0; 1,5], P [4,5; 5; 8,5], Q[5; 0; 11], U [0; 3,5; 2,5], V [3,5; 3; 4] R es enı (obr. 4.5): Hledana pr ı c ka musı le et v rovine α k s, a α. Tato rovina je dourc ena pr ı mkou s0 k s, M s0. Pomocı pu dorsne krcı pr ı mk r = 12 (r1 = b1 ) je sestrojen pru sec ı k B pr ı mk b = P Q s rovinou α = as0. Pr ı mka m k s jdoucı bodem B je hledanou pr ı c kou, ktera protı na druhou mimobe ku a = M N v bode A. Q r a M s0 2 B A m P V U s N 11 b N1 U1 a1 M 1 A1 Q1 V1 P B1 s01 b 1 = r1 obr m1 s1
7 Pr ı klad 4.6: V pravou hle dimetrii 4(8; 8; 9) obrate c tverec ABCD le ı cı v pu dorsne π. A[10; 4; 0], C[0; 8; 0] R es enı (obr. 4.6): Sour adnice bodu A, C vneseme nejen v aonometricke m pru me tu, ale take v otoc enı pu dorsn do aonometricke pru me tn, a ı ska me tak bod (A), (C). V otoc enı najdeme str ed (S) c tverce a doplnı me vrchol (B), (D). Aonometricke pru me t bodu S, B, D sestrojı me pomocı kolme osove afinit, jejı osou je pr ı mka a v nı aonometrick m pru me tu m bodu, A, C odpovı dajı jejich otoc ene poloh (), (A), (C) s v hodou mu eme u ı t samodru ne bod 1,2,3 pr ı mek BD, AB, BC. Pr i ruc nı m r sova nı docha ı u osove afinit c asto k nepr esnostem, a proto je vhodne v pru me tu pru be ne kontrolovat take achova nı str edu u sec k nebo rovnobe nosti. (D) (A) (S) () () (C) B C (B) S A () D obr
8 Pr ı klad 4.7: V pravou hle aonometrii, dane 4(10; 9; 8), obrate pravideln s estiu helnı k ABCDEF, kter ma str ed S a jedna jeho strana le ı na pr ı mce a = P N. S[5; 0; 5], P [8; 0; 0], N [10; 0; 7] R es enı (obr. 4.7): e ada nı vpl va, e bod S, P, N le ı v na rsne. Proto budeme u lohu r es it (podobne jako pr edchoı pr ı klad) pomocı otoc enı sour adnicove rovin ν = do aonometricke pru me tn. V pru me tu je tı mto otoc enı m indukova na kolma osova afinita, jejı osou je pr ı mka a v nı pru me tu m bodu, S, P, N odpovı dajı jejich otoc ene poloh [], [S], [P ], [N ]. Nejprve ted v otoc enı sestrojı me pravideln s estiu helnı k o str edu [S] a se stranou [A][B] na pr ı mce [a] = [P ][N ] a pote najdeme aonometricke pru me t jeho vrcholu pr itom vu ı va me vlastnostı mı ne ne afinit, pr ı padne achova nı str edove soume rnosti a rovnobe nosti. [] D C [] [E] a E [D] S N B [F ] F [S] [C] 30 S1 [A] [a] [P ] [N ] [B] A P =P1 N1 = a1 [] obr
9 Příklad 4.8: obrate kružnici k π, která má střed S a procháí bodem K; dále obrate kružnici l µ, jež procháí bodem L a v bodě T se dotýká os. Proved te v pravoúhlé dimetrii (9; 9; 7). S[4,5; 6; 0], K[2,5; 2,5; 0]; L[0; 1,5; 11], T [0; 0; 8] Řešení (obr. 4.8): Průmětem každé kružnic je elipsa, jejíž hlavní osa procháí průmětem středu dané kružnice a je rovnoběžná se stranou pro k a se stranou pro l. Délka hlavní poloos je rovna poloměru kružnice. Kružnici k sestrojíme v otočení půdorsn do aonometrické průmětn: (S)(K) je její poloměr. Kružnici l sestrojíme v otočení bokorsn do aonometrické průmětn: střed [S ] otočené poloh [l] je průsečíkem os [o] souměrnosti bodů [T ], [L] a normál kružnice [l] v bodě [T ], [S ][T ] je její poloměr. Vedlejší vrchol průmětů kružnic k i l stanovíme pomocí osové afinit indukované otáčením příslušné souřadnicové rovin vužijeme otočené poloh (C) bodu C v případě kružnice k, resp. otočené poloh [C ] bodu C kružnice l. l L A D T [] S C [C ] [T] [o] [] (k) (A) B (S) [L] L 1 [S ] () C K () [l] (C) (K) A S B k D () obr
10 Příklad 4.9: V pravoúhlé aonometrii (10; 10; 8) obrate pravidelný šestiboký hranol, který má dolní podstavu o středu S a vrcholu A v půdorsně π; shora omete těleso rovinou ρ. S[0; 6; 0], A[1,5; 2; 0], ρ(3,5; 5; 3,5) Řešení (obr. 4.9): Průmět pravidelného šestiúhelníka ABCDEF podstav sestrojíme podobně jako čtverec v příkladu 4.6; pro rovinu ρ vtáhneme průmět jejích stop přitom krácení 5 cm na průmětu os najdeme nejprve na kladné poloose a poté souměrně podle průmětu počátku přeneseme na opačnou polopřímku a krácení 3,5 cm na průmětech os a je dík adané dimetrii stejné. Sestrojme ře kolmého hranolu rovinou ρ. Bod S, proto osa o hranolu (o π, S o) leží v bokorsně µ a protíná rovinu ρ na bokorsné stopě m ρ v bodě S, který je středem hledaného řeu. Dále vužijeme osovou afinitu mei půdorsnou π a rovinou ρ, jejíž osou je půdorsná stopa p ρ a v níž si odpovídají bod S a S. Přímka AS protíná stopu p ρ v samodružném bodě 1 a bod A najdeme na přímce 1S a na hraně jdoucí bodem A kolmo k π. Stejným působem najdeme bod D a podobně sestrojíme pomocí samodružných bodů 2= p ρ CF, 3= p ρ ED vrchol C, F, E řeu. Bod B je souměrný s E podle středu S. Na ávěr stačí doplnit bývající hran a určit jejich viditelnost. 12
11 o C0 B0 D0 mρ S0 nρ A0 E0 B C (E) 1 () (F ) F 0 () A S=o1 =S10 D (D) (S) F E (A) 2 (C) 3 (B) pρ obr ()
12 Pr ı klad 4.10: V pravou hle aonometrii 4(8; 7; 9) je da n kos c tr bok hranol, kter ma c tvercovou podstavu ABCD o u hlopr ı c ce AC v pu dorsne a boc nı hranu AA0. Protne te ho rovinou ρ = M N P. A[0; 8; 0], C[10; 4; 0], A0 [3; 7; 10,5], M [0; 6; 7], N [8; 0; 0], P [0; 9,5; 0] R es enı (obr. 4.10): Pru me t dolnı c tvercove podstav ABCD sestrojı me podobne jako v pr ı kladu 4.6, konstrukce pru me tu vrcholu B 0, C 0, D0 je r ejma obra ku. Pro stop rovin ρ platı : pρ =P N, mρ =P M a na rsna stopa nρ procha ı bodem N a s mρ se protı na na ose. Hranou AA0 prolo me pomocnou rovinu α=aa0 A01 (je ted α k a pα =AA01, mα k, A mα ) a sestrojme jejı pru sec nici a=p a M a s rovinou ρ. ı ska me tak prvnı vrchol A =a AA0 r eu. Pr ı mka 1 A, kde 1 =AD pρ, je pru sec nicı rovin r eu s rovinou boc nı ste n ADD0 A0 a protı na ted hranu DD0 v dals ı m vrcholu D r eu. Podobne najdeme pomocı bodu 2,3 pρ b vajı cı vrchol C, B. Proto e jsou prote js ı boc nı ste n hranolu rovnobe ne, je take c tr u helnı k A B C D rovnobe nı kem. C tverec podstav a rovnobe nı k r eu si odpovı dajı v prostorove osove afinite, jejı osou je stopa pρ =π ρ a sme r uda va pr ı mka AA0. (B) D0 mα A0 [] [] C0 P a () Ma M mρ (C) A B0 (S) (A) D () 1 nρ D N (D) M1 B A C S A01 C 3 Pa pα =a1 2 () pρ B obr
13 Pr ı klad 4.11: V pravou hle aonometrii 4(8; 9; 10) obrate r e obecne ho c tr boke ho jehlanu ABCDV rovinou ρ ; rovina ρ procha ı bodem R a protı na hranu BV v bode B0. A[0, 2, 0], B[0; 5; 0], C[7; 5; 0], D[6; 0; 0], V [4; 3; 11], R[4; 3; 4], B 0 [?;?; 2,5] R es enı (obr. 4.11): Bod B 0 je pru sec ı kem pr ı mk BV s rovinou π 0, ktera je rovnobe na s π a procha ı bodem B [0; 0; 2,5]. BV β, β π, (pβ = BV1, mβ k ). β π 0 = b, (b1 = pβ, 0 b k b1, M b b, M b = mβ mπ ), b BV = B 0. Urc ı me stop rovin ρ r eu. pρ k, P pρ, P = r r1, r = RB 0. mρ procha ı bokorsn m stopnı kem M pr ı mk r a nρ k. Stran r eu le ı na pru sec nicı ch rovin boc nı ch ste n jehlanu s rovinou ρ r eu. I A0 B 0, I = AB pρ, A0 AV. B 0 C 0 k BC, nebot BC k pρ. C 0 D0 CD = II. Mei podstavou a r eem jehlanu je kolineace, jejı m str edem je vrchol V jehlanu a osou pru sec nice pρ rovin podstav a r eu. [] V mβ nρ mρ D0 A0 r B [] R () Mb nπ M B0 b A mπ 0 () 0 D C0 P B V1 =R1 pβ =b1 =r1 I C II () obr pρ
14 Pr ı klad 4.12: V pravou hle aonometrii 4(10; 11; 12) je da n rotac nı va lec, kter ma dolnı podstavnou kru nici k(s; r) v pu dorsne a v s ku v. Sestrojte jeho r e rovinou ρ. S[4,5; 5; 0], r = 4,5, v = 10, ρ(10; ; 8) R es enı (obr. 4.12): sou o = SS 0 va lce prolo ı me rovinu α k ν, ktera va lec protne v obde lnı ku KLL0 K 0 a rovinu ρ v pr ı mce a. Pru sec ı k K, L pr ı mk a se stranami KK 0, LL0 va lce jsou souc asne pru sec ı k pr ı mk a s pla s te m va lce. Podobne osou o vedeme rovinu β k µ, ktera protne va lec v obde lnı ku M N N 0 M 0 a rovinu ρ v pr ı mce b. Pr ı mka protı na pla s t va lce v bodech M, N le ı cı ch na jeho strana ch M M 0, N N 0. Tı m jsme ı skali pro pru sec nou elipsu k sdru ene pru me r K L, M N, nebot pru me r KL, M N kru nice k jsou na sebe kolme. mα nβ N0 a K0 A0 B0 S0 K mρ o [] L0 M0 c [] k0 A Nb N S k () B N K b S = o1 A () nρ M B L L Pc Pa M k pα pβ () pρ obr
15 Pr ı klad 4.13: V pravou hle aonometrii 4(8; 10; 9) sestrojte pru nik pr ı mk p = P M s kos m c tr bok m jehlanem, kter ma c tvercovou podstavu o u hlopr ı c ce AC v pu dorsne π a hlavnı vrchol V. A[0; 6; 0], C[7; 1; 0], V [ 3; 3; 6], P [0; 10; 0], M [5; 3; 5] R es enı (obr. 4.13): Pr ı mkou p a vrcholem V jehlanu je urc ena vrcholova rovina ρ. volen m bodem Q p vedeme pr ı mku q = V Q, q ρ. Pu dorsna stopa pρ rovin ρ je urc ena pu dorsn mi stopnı k P, P 0 pr ı mek p, q. Rovina ρ protı na jehlan v 4V III. Bod I, II jsou pru sec ı k stop pρ s obvodem podstav jehlanu. Spolec ne bod K, L pr ı mk p a obvodu 4V III jsou hledan mi pru sec ı k pr ı mk p s povrchem jehlanu. [] q V M (B) p [] Q q1 () (C) V1 L D K (S) A (A) M1 Q1 p1 S P =P1 () C I II B (D) () obr pρ P0
16 Pr ı klad 4.14: V pravou hle dimetrii 4(12; 13; 12) sestrojte pru nik pr ı mk p = P M s kos m c tr bok m hranolem, jeho dolnı c tvercova podstava o str edu S a vrcholu A le ı v pu dorsne π a hornı podstava ma vrchol A0. S[4; 4; 0], A[0; 5,5; 0], A0 [0; 2,5; 6], P [ 2; 9; 0], M [10; 0; 5] R es enı (obr. 4.14): Pr ı mkou p prolo ı me rovinu ρ rovnobe nou s boc nı mi hranami hranolu, tv. sme rovou rovinu a urc ı me jejı pu dorsnou stopu pρ. ρ = pq, q k AA0, M q. pρ = P Q, Q = q π. Rovina ρ protı na povrch hranolu v rovnobe nı ku II 0 II 0 II, II 0 k IIII 0 k AA0. Spolec ne bod K, L pr ı mk p a obvodu rovnobe nı ka II 0 II 0 II jsou hledane pru sec ı k pr ı mk p s povrchem hranolu. Bod K, L le ı ve viditeln ch ste na ch hranolu a tı m je urc ena viditelnost pr ı mk p vhledem ke hranolu. D0 a A0 I0 II 0 C0 q B0 (B) M A01 K P1 =P p L D () (C) A S () (S) I =a1 C M1 II Q B pρ (A) (D) () obr q1 p1
17 Pr ı klad 4.15: Na pr ı mce p = KL najde te bod, jejich vda lenost od pr ı mk o = M N je r. Proved te v pravou hle aonometrii, kde (, ) =120, (, ) =105. K[4; 10; 5,5], L[7; 2; 4], M [2; 4; 6], N [7; 4; 6], r=4 R es enı (obr. 4.15): Bod, ktere majı v prostoru od pr ı mk o vda lenost r, le ı na rotac nı va lcove plos e o polome ru r, jejı osou je pr ı mka o. Tato va lcova plocha je de urc ena povrchovou kru nicı k(s, r) v bokorsne µ =, S je bokorsn stopnı k pr ı mk o. Pr ı mkou p prolo ı me sme rovou rovinu ρ (ρ k o) a najdeme jejı bokorsnou stopu mρ = M 0 M 00, M 0 = o0 µ, K o0, o0 k o, M 00 = o00 µ, L o00, o00 k o. Rovina ρ protı na va lcovou plochu v povrchov ch pr ı mka ch, ktere procha ejı pru sec ı k I a II bokorsne stop mρ s kru nicı k. Spolec ne bod U, V pr ı mk p a te chto povrchov ch pr ı mek jsou hledane pru sec ı k. [] k [] S M mρ M0 II I M 00 o0 p N K () V U L () o00 o nρ M100 S1 M1 o01 M0 1 L1 p1 N1 K1 () obr o001 o1
18 Pr ı klad 4.16: V pravou hle dimetrii 4(8; 8; 9) sestrojte pru nik pr ı mk p = P Q s kos m kruhov m ku elem, kter ma vrchol V a podstavu o str edu S a polome ru r v pu dorsne π. P [3,5; 12; 0], Q[7,5; 3; 7,5], V [1,5; 5; 8], S[5; 5; 0], r=5 R es enı (obr. 4.16): Pr ı mkou p prolo ı me vrcholovou rovinu ρ = V p a sestrojı me jejı pu dorsnou stopu pρ = P P 0. P 0 je pu dorsn stopnı k pr ı mk r = V R, R je volen bod na pr ı mce p (ted r ρ). Rovina ρ protı na ku el v 4V III. Bod I, II jsou pru sec ı k stop pρ s podstavnou hranou k ku ele. Pr ı mka p protı na stran V I, V II v bodech K, L, ktere jsou hledan mi pru sec ı k pr ı mk p s pla s te m ku ele. Pro stanovenı viditelnosti pr ı mk p vhledem ke ku eli si stac ı uve domit, e bod K, L le ı na viditelne c a sti pla s te ku ele. () r Q V p () R L p1 V1 r1 S K R1 II pρ P =P1 Q1 I k () obr P0
19 Pr ı klad 4.17: Kos kruhov va lec ma dolnı podstavu o str edu S a polome ru r v π a str ed S 0 hornı podstav. V bode K na pla s ti va lce sestrojte jeho tec nou rovinu τ. Proved te v kolme dimetrii 4(7; 8; 8). S[4; 7; 0], S 0 [8; 4; 8], r=5, K[10; 7;?] R es enı (obr. 4.17): Tec na rovina τ va lce v jeho bode K se ho dot ka pode l stran II 0 procha ejı cı bodem K rovnobe ne se str ednou s va lce a protı na rovin podstav v pr ı mka ch, ktere jsou tec nami podstavn ch kru nic. Pro urc enı aonometricke ho pru me tu bodu K pou ijeme pu dorsne promı tacı rovinu ρ pr ı mk II 0. Rovina ρ je rovnobe na s pu dorsne promı tacı rovinou pr ı mk s a protı na va lec v rovnobe nı ku II 0 II 0 II. pρ k s1, K1 pρ. () s k0 S0 () II 0 I0 τ K S=S1 S10 k II I K1 pτ () obr s1 pρ
20 Pr ı klad 4.18: V dimetrii 4(10; 8; 10) obrate rotac nı ku el s podstavou o str edu S v pu dorsne, kter se dot ka rovin τ. Bodem K na pla s ti ku ele ved te jeho povrchovou kru nici. S[6; 6; 0], τ ( 5; 5; 6,5), K[8,5; 6;?] R es enı (obr. 4.18): Tec na rovina τ ku ele protne rovinu jeho podstav v pr ı mce pτ, ktera je tec nou podstavne kru nice k. V otoc enı sestrojı me bod (T ) dotku kru nice (k) na jejı tec ne (pτ ). Polome r podstav je (S)(T ). Bod K le ı na strane V I ku ele; bod I = V1 K1 k. Kru nice k, k 0 i jejich pru me t jsou stejnolehle se str edem stejnolehlosti V. S 0 V S, S 0 K k SI. nτ (pτ ) IIhτ V (T ) mτ (S) () () S0 k0 K S=V1 T K1 k () pτ obr I IIhτ 1
21 Příklad 4.19: V pravoúhlé aonometrii (10; 9; 11) obrate kosý kruhový válec výšk v s podstavou o poloměru r v π, který se dotýká rovin α a β. Stran válce jsou rovnoběžné s přímkou s = R. možných řešení volte to s podstavou v 1. kvadrantu. Sestrojte průnik přímk p = P M s válcem. v = 6,5, r = 5, R[ 4; 2; 3], [0; 0; 0], α(2,5; 4;?), β(6; 4;?), P [3,5; 12; 0], M[0; 5; 5] Řešení (obr. 4.19): Podstavná kružnice k v π se dotýká stop p α, p β tečných rovin α, β. V otočení půdorsn do aonometrické průmětn sestrojíme otočený střed (S) kružnice k jako průsečík přímek rovnoběžných s (p α ) a (p β ) a vdálených od nich o r. e čtř možných řešení blo voleno to v 1. kvadrantu. Střed S horní podstav je průsečík středné s s rovinou π : π = v; KS K 1 S, K = v, K µ. Přímkou p proložíme směrovou rovinu λ, λ s. λ = pq; M q, q s. Rovina λ protíná povrch válce v rovnoběžníku, jehož stran na plášti válce procháejí bod I a II, v nichž půdorsná stopa p λ protíná podstavnou kružnici k. Společné bod U, V těchto stran a přímk p jsou hledané průsečík přímk p s povrchem válce. Bod U leží ve viditelné části, bod V v neviditelné části pláště válce a tím je dána viditelnost přímk p vhledem k válci. Příklad 4.20: V pravoúhlé aonometrii (9; 12; 11) obrate rotační kužel stojící na π, který má vrchol na přímce v = MN a dotýká se rovin τ. M[0; 5; 8], N[ 2; 0; 5], τ( 8; 4; 4) Řešení (obr. 4.20): Vrchol V kužele je průsečíkem přímk v s rovinou τ. Je sestrojen pomocí půdorsně krcí přímk w = P W. w 1 = P W 1 = v 1 ; W n τ ; v w = V ; V 1 v 1. Střed S podstav splývá s bodem V 1. Tečná rovina τ kužele protíná rovinu π jeho podstav v přímce p τ, která je tečnou podstavné kružnice k. V otočení rovin π kolem přímk do aonometrické průmětn určíme bod T dotku na tečně p τ kružnice k a poloměr r kružnice k. (S)(T ) (p τ ), (T ) (p τ ); r = (S)(T ). 23
22 k s q p S s [] M [] R K V () q 1 s 1 s 1 R 1 M 1 S 1 (S) K 1 T a Q p α U (T a ) S II (T b ) T b k () p β I P p λ p 1 () (p α ) (p β ) obr
23 m τ w [] v M [] V N n τ p τ W T P () V 1 =S W 1 =N 1 M 1 () (M 1 ) k v 1 =w 1 (S) (v 1 ) () (N 1 ) (T) (p τ ) obr
24 Příklad 4.21: V pravoúhlé aonometrii (, ) =105, (, ) =120 obrate pravidelný osmistěn ABCDEF daný úhlopříčkou EF, mají-li úhlopříčk AC a BD od os odchlku 45. E[4; 4; 0], F [4; 4; 12] Řešení (obr. 4.21): Úhlopříčk pravidelného osmistěnu jsou stejně velké, na sebe kolmé a půlí se. Vrchol A, B, C, D osmistěnu jsou vrchol čtverce ABCD v rovině kolmé k přímce EF jdoucí jejím středem S. Rovina tohoto čtverce je rovnoběžná s π (EF ), proto je aonometrický průmět čtverce ABCD shodný s jeho aonometrickým půdorsem A 1 B 1 C 1 D 1. V otočení půdorsn kolem její aonometrické stop (tu volíme) do průmětn sestrojíme bod (A 1 ), (B 1 ). e souřadnic bodu E vplývá, že bod A 1 leží na přímce E; jeho otočená poloha (A 1 ) je ted na přímce ()(E). (A 1 )(E) = 6 = (B 1 )(E). (B 1 )(E) (A 1 )(E). o F [] (A 1 ) C D S [] B (E) () A () (B 1 ) B 1 E () A 1 obr
25 Příklad 4.22: V pravoúhlé aonometrii (8; 9; 10) obrate pravidelný osmistěn ABCDEF daný vrcholem A a osou o, která procháí bodem M rovnoběžně s osou. A[7,5; 6; 1], M[0; 8; 6] Řešení (obr. 4.22): Řeem osmistěnu rovinou jdoucí bodem A kolmo k přímce o je čtverec ABCD, jehož střed S leží na ose o. o, ted čtverec ABCD leží v rovině rovnoběžné s bokorsnou µ a jeho aonometrický průmět je shodný s bokorsem A 3 B 3 C 3 D 3. Ten sestrojíme pomocí otočení rovin µ kolem její stop do průmětn. V obráku jsou vnačen poue otočené bod (A 3 ), (B 3 ), (M) a A 3, B 3. Posunutím o vektor A 3 A dostaneme bod S, B a středovou souměrností podle S vrchol C, D. Vrchol E, F leží na ose o. ES = F S = R, R ; [][R] = (M)(A 3 ), protože EF. () B 3 C (B 3 ) B () M F A 3 D (A 3 ) S A (M) R [R] E [] o () [] obr
26 Příklad 4.23: V iometrii obrate plochu, kterou vtvoří přímka p = P Q otáčením kolem os. Uvažujte její část mei půdorsnou π a rovinou π souměrnou s π podle středu ploch. P [6; 3; 0], Q[0; 6; 12] Řešení (obr. 4.23): Přímka p je mimoběžná s osou rotace, vtvoří ted otáčením rotační jednodílný hperboloid s osou, jehož střed S je středem hrdelní kružnice h. Tu vtvoří bod H p s nejmenší vdáleností od os a její půdors h 1 se dotýká přímk p 1 v bodě H 1. Bod H 1 sestrojíme v otočení půdorsn kolem její hlavní přímk procháející počátkem do rovin rovnoběžné s průmětnou. točené os (), () mají od os otáčení odchlku 45 (iomerie). (H 1 ) (p 1 ), ()(H 1 ) (p 1 ), HS H 1. dánlivým obrsem hperboloidu v tomto případě je hperbola se středem S s vrchol A, B v hlavních vrcholech průmětu hrdla h, která se dotýká průmětů všech rovnoběžek a tvořicích přímek ploch. Její asmptot jsou obrsové přímk asmptotické kuželové ploch, kterou vtvoří rotací kolem os přímka p vedená bodem S rovnoběžně s přímkou p. 28
27 k p p (W) P R Q k q A S=W=W 1 B (T) (T ) h T T H (P ) P p 1 (h 1 ) P (p 1) p 1 (p 1 ) R 1 Q 1 (Q 1 ) k (k ) (H) H 1 k (P) () (k) () obr
28 Příklad 4.24: V pravoúhlé aonometrii (, ) =110, (, ) =125 je dán hperbolický paraboloid borceným čtřúhelníkem ABCD. Sestrojte jeho tvořicí přímk obou regulů, osu, vrchol a tečnou rovinu v bodě T. A[0; 10; 10], B[10; 8; 3], C[12; 0; 8], D[2; 2; 3], T [9; 6;?] Řešení (obr. 4.24): Protější stran borceného čtřúhelníka patří jednomu regulu tvořicích přímek hperbolického paraboloidu a určují aměření jeho řídicích rovin. Řídicí rovin jsou kolmé k půdorsně π, nebot A 1 B 1 C 1 D 1 je rovnoběžník. Tvořící přímk spojují odpovídající si bod, které v nějakém poměru rodělují protější stran borceného čtřúhelníka. sa o ploch je kolmá k π (je rovnoběžná s oběma řídicími rovinami) a procháí vrcholem V paraboloidu. Vrchol V je průsečíkem vrcholových přímek u, v vrcholové rovin, která je kolmá k ose o. u π, v π, u je příčka mimoběžek AB, CD rovnoběžná s A 1 D 1, v je příčka mimoběžek AD, BC rovnoběžná s A 1 B 1. Pro sestrojení přímk u posuneme AB směrem A 1 D 1 do rovin CDC 1 ; AA A 1 D 1, A DD 1, A 1 AB, 1 CD, 1 u, u A 1 D 1. Podobně pro přímku v posuneme BC směrem A 1 B 1 do rovin ADD 1 ; CC A 1 B 1, C DD 1, C 3 BC, 3 AD, 3 v, v A 1 B 1. Tečná rovina v bodě T je určena přímkami a, b opačných regulů, které bodem T procháejí. T 1 a 1, a 1 B 1 C 1, a AB = 5, a CD = 6 ; T a. T 1 b 1, b 1 A 1 B 1, b BC = 7, b = 7 T, (b AD = 8 ). 30
29 A C o A 8 6 C 3 1 () u 2 D V 4 v () D A T u 1 V T 1 a 1 B 1 5 r b 1 b v 1 C 1 () a B obr
30 Příklad 4.25: Řídicími útvar borcené ploch jsou přímka a = AB, kružnice k(s, r) v ν a nevlastní přímka rovin µ =. Určete náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk včetně přímek torálních. obrate v pravoúhlé aonometrii dané osovým křížem: (, ) =110, (, ) =140. A[12; 10; 0], B[0; 10; 5], S[5; 0; 5], r = 5 Řešení (obr. 4.25): adanou plochou je šikmý kruhový konoid, nebot řídicí přímka a není kolmá k řídicí rovině µ. Tvořící přímk sestrojíme v rovinách rovnoběžných s řídicí rovinou µ. volená rovina α µ protne přímku a v bodě I a kružnici k v bodech J, J Přímk IJ, IJ jsou tvořicí přímk ploch. Podobně sestrojíme ostatní. Krajní poloh těchto rovin (mají s kružnicí k společný poue bod 1 C, resp. 2 C) jsou torálními rovinami a v nich tvořicí přímk 1 t, resp. 2 t jsou torálními přímkami ploch. Jejich kuspidální bod 1 K, 2 K leží na řídicí přímce a. Další dvě torální přímk 3 t, 4 t leží v rovinách procháejících přímkou a, které mají s kružnicí k společný poue bod 3 C, resp. 4 C. Jejich kuspidální bod 3 K, 4 K jsou nevlastní. (důvodněte). 32
31 n α J k () [] 3 C [a 2 ] 2 C S [] [k] J 1 C a 4 C 2 K=B S 1 2 t I [S] 4 t 4 K () a 1 B 1 [ 3 C] p α 3 t 3 K 1 K [] 1 t A=A 1 obr
32 Příklad 4.26: Řídicími křivkami borcené ploch jsou půlkružnice k(s, r), k µ, k (S, r), k λ, λ µ nad π a přímka a jdoucí bodem A kolmo k µ. Určete náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk v těch bodech kružnice k, které mají kót 0, 2, 4 a 5. Proved te v pravoúhlé aonometrii (, ) =125, (, ) =135. S[0; 10; 0], S [15; 5; 0], r = 5, A je střed úsečk SS Řešení (obr. 4.26): Jedná se o plochu šikmého průchodu. Tvořicí přímk ískáme v rovinách, které procháejí přímkou a a adanými bod na kružnici k. Rovina ρ = a1 protne rovinu λ v přímce h m ρ a půlkružnici k v bodě je tvořicí přímkou ploch. Analogick sestrojíme ostatní tvořicí přímk. Přímk t, t v π jsou torální přímk a mají kuspidální bod K, K na řídicí přímce a. 34
33 m ρ k 1 [] K S [S] [] [k] h [] A 1 () S p λ =h1 a=p ρ t K k () t obr
34 Příklad 4.27: Řídicími křivkami borcené ploch jsou přímk a, b a kružnice k(, r) v π. Přímka a procháí bodem A rovnoběžně s osou, přímka b procháí bodem B rovnoběžně s osou. Určete náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk včetně přímek torálních. obrate v pravoúhlé iometrii. A[0; 0; 8], B[0; 0; 12], [0; 0; 0], r = 4 Řešení (obr. 4.27): Přímk a, b jsou kolmé mimoběžk rovnoběžné s π, střed kružnice k leží na jejich ose, jedná se ted o plochu Štramberské trúb. Tvořicí přímk ískáme v rovinách, které procháejí přímkami a, resp. b a protínají kružnici k. Krajní poloh těchto rovin (mají s kružnicí k společný poue bod) jsou torálními rovinami a v nich tvořicí přímk jsou torálními přímkami ploch. Torální přímk 1 t, 2 t leží v rovinách obsahujících přímku b a mají kuspidální bod 1 K, 2 K na přímce a. Torální přímk 3 t, 4 t leží v rovinách proložených přímkou a a mají kuspidální bod 3 K, 4 K na přímce b. 3 t 4 t 4 K 1 t 2 t B 3 K b 2 K A 1 K a =b 1 () k (k) a 1 = () obr
35 Příklad 4.28: V pravoúhlé aonometrii (9; 10; 8) obrate jeden ávit pravotočivé šroubovice, kterou vtvoří bod A při šroubovém pohbu s osou o kolmou k půdorsně a výšce ávitu v. V bodě B šroubovice sestrojte její tečnu. A[8,5; 5; 0], o 1 [5; 5; 0], v = 12, B[?;?; 6] Řešení (obr. 4.28): Průmět šroubovice sestrojíme bodově. Aonometrické půdors 1 1, 2 1,... bodů šroubovice h na jejím aonometrickém půdorsu h 1 ískáme pomocí afinit bodů (1 1 ), (2 1 ),..., které rodělují otočenou kružnici (h 1 ) od bodu (A) na 12 stejných dílů. Vnesením příslušných násobků výšk ávitu v/12, 2v/12,... na ordinál bodů 1 1, 2 1,... (ve krácení) dostaneme aonometrické průmět bodů 1, 2,... šroubovice h. Pro konstrukci tečn šroubovice v jejím bodě B, který je bodem 6, vužijeme řídicí kuželovou plochu tečen šroubovice, jejíž vrchol V je ve výšce v 0 nad půdorsnou π. Redukovanou výšku ávitu v 0 určíme konstruktivně úměr r/v 0 = πr/(v/2), v aonometrii r/v a 0 = πr/(va /2). Velikost πr ískáme Kochaňskiho rektifikací (je vnačena v obráku). t t, t je povrchovou přímkou řídicí kuželové ploch, B 1 t 1, t 1 je tečnou h 1, t 1 t 1, V 1 t 1, t = V 3 1, 3 1 je půdorsný stopník přímk t. B t. πr. =d 3r o [] 12 t () t B= h 11 5 (o 1 ) =B 1 V (A) (h 1 ) () v 12 [] v a 2 t V 1 =o d t h A= () obr
36 Příklad 4.29: V pravoúhlé aonometrii (10; 9,5; 11,5) obrate jeden ávit pravotočivé schodové ploch, kterou vtvoří úsečka AB šroubovým pohbem s osou o = a výškou v ávitu. V bodě T ploch sestrojte její tečnou rovinu. A[0; 5; 0], B[0; 2; 0], v = 12, T [2;?; 5] Řešení (obr. 4.29): obraíme šroubovice h A, h B bodů A, B (vi příklad 4.28). Plocha je pravoúhlá uavřená, takže tvořicí úsečk jsou rovnoběžné s půdorsnou a jejich půdors leží na přímkách procháejících počátkem (půdorsem os ). Bod T leží na přímce p, která obsahuje pátou tvořicí úsečku ( T = 5 12v). Tečná rovina τ v bodě T je určena tvořicí přímkou p a tečnou t v bodě T ke šroubovici bodu T (konstrukce vi příklad 4.28). 38
37 t [] h B h A T p v 12 [] t t 1 t 1 V p 1 T 1 B () A h B 1 P h A 1 () (A) (B) P () (h B 1 ) (h A 1 ) obr
38 Příklad 4.30: ářeovou metodou obrate v pravoúhlé aonometrii (8; 6; 7) střechu nad daným půdorsem A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. kap jsou ve výšce v, akáané okap jsou F, roh GAB a CDH. Střešní rovin mají spád 1 : 1. Souřadnice jsou uveden v metrech. Použijte měřítko 1 : 100. [0; 0], A 1 [0; 8], B 1 [4; 8], C 1 [4; 5], D 1 [8; 5], E 1 [8; 0], F 1 [3; 0], G 1 [0; 6], H 1 [8; 2,5], v = 2,5 Řešení (obr. 4.30): Sestrojíme vsunutý půdors daného objektu, pravoúhelník A B C D E (jsou vnačen akáané okap) a v něm vřešíme střechu. Doplníme vsunutý nárs objektu. pětným asunutím vsunutého půdorsu i nársu dostaneme aonometrii objektu. Šipk vnačují spád střešních rovin (směr stékání vod). 40
39 A I P =G N =M K =L J S Q =R D [] F B =C P () N M E =H A G K () B L [] I C Q S F J R D H E () [] P = M N F L I U V A G J R E K B C S Q D H obr
40 Příklad na procvičení 1. Sestrojte stopník přímk p = AB. { (8; 9; 10), A[3; 2; 9], B[0; 4; 5]} 2. Najděte stop rovin ρ = ABC. { (9; 7; 8), A[2; 3; 1,5], B[3; 1,5; 3,5], C[ 1; 2; 6,5]} 3. Sestrojte průnik trojúhelníka ABC s trojúhelníkem KLM. { (11; 11; 14), A[ 5; 3; 5], B[1; 8; 0,5], C[3; 2; 8], K[ 3,5; 7,5; 1,5], L[5; 4,5; 4], M[ 1,5; 1,5; 7,5]} 4. V rovině ρ ved te bodem A přímku rovnoběžnou s rovinou ϕ. { (10; 11; 12), ρ( 6; 3,5; 6), A[1; 1;?], ϕ(3; 6; 7)} 5. Sestrojte příčku mimoběžek a = MN, b = P Q, která a) procháí počátkem soustav souřadnic, b) je rovnoběžná s osou. {iometrie, M[0; 4; 1], N[5; 0; 7], P [1; 2; 0], Q[1; 0; 8]} 6. obrate čtverec ABCD ležící v půdorsně daný úhlopříčkou AC. { (8; 8; 9), A[12; 7; 0], C[0; 7; 0]} 7. obrate pravidelný šestiúhelník v půdorsně, který má střed S a jednu stranu na přímce a = P M. { (8; 9; 10), S[7; 2,5; 0], P [5; 7; 0], M[0; 6,5; 0]} 8. obrate pravidelný šestiboký hranol výšk v = 9, jehož podstava o středu S a vrcholu A leží v nársně. { (8; 11; 9), A[0, 0, 0], S[3,5; 0; 3]} 9. obrate pravidelný osmistěn, jehož dva protilehlé vrchol A, B leží na přímkách a = MN, b = P Q a jehož dvě růnoběžné hran, na nichž neleží A, B, jsou rovnoběžné s půdorsnou a jejich průsečík má nejmenší možnou vdálenost od nársn. { (12; 14,5; 13), M[2; 4,5; 2,5], N[8; 0; 7], P [4; 11; 0], Q[1; 7; 8]} 10. V iometrii obrate kruhový kužel stojící na půdorsně, jsou-li dán dvě jeho tečné rovin ρ a σ, poloměr r podstav a výška v. {ρ(6; ; 7), σ(3; 6; 11), r = 4, v = 6,5} 11. V iometrii obrate kruhový kužel stojící na půdorsně, jsou-li dán tři jeho tečné rovin α, β, τ. {α(5; 4; ), β( ; 9; 9), τ(6; 10; )} 12. obrate rotační kužel dotýkající se rovin τ, jehož podstava o středu S leží v půdorsně. Bodem K na plášti kužele ved te povrchovou kružnici a tečnou rovinu kužele. { (10; 8; 10), S[1; 0; 0], τ(7; 10; 12), K[1; 3;?]} 13. obrate rotační kužel výšk v s podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně. V bodě T na plášti kužele sestrojte tečnou rovinu kužele. { (10; 10; 8), S[5; 5; 0], r = 4,5, v = 11, T [8; 5;?]} 14. Kosý čtřboký hranol má čtvercovou podstavu ABCD o úhlopříčce AC v půdorsně a boční hranu AA. Protněte ho rovinou ρ = MNP. { (8; 7; 9), A[0; 6; 0], C[10; 2; 0], A [3; 3; 7], M[0; 6; 7], N[10; 0; 0], P [0; 9; 0]} 15. Pravidelný čtřboký jehlan stojící na půdorsně daný vrcholem V a podstavným vrcholem A protněte rovinou ρ, která procháí přímkou l = LM rovnoběžně s osou. { (9; 11; 11,5), V [5; 3; 12], A[0; 5; 0], L[5; 3; 2], M[0; 5; 6]} 16. Pravidelný pětiboký jehlan o vrcholu V stojící na půdorsně s podstavou ABCDE danou vrcholem A protněte rovinou ρ, která procháí středem výšk jehlanu rovnoběžně s přímkami AV, CD. {iometrie, V [ 0,5; 4,5; 5], A[3; 6; 0]} 17. Pravidelný šestiboký hranol stojící na půdorsně má podstavu danou středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Protněte ho rovinou ρ = MNP. { (, ) = 105, (, ) = 120, S[2; 4; 0], A[5; 0; 0], v = 10, P [10; 0; 0], N[0; 0; 6], M[0; 6; 5]} 42
41 18. Sestrojte ře kosého čtřbokého jehlanu se čtvercovou podstavou o úhlopříčce AC v půdorsně a vrcholu V rovinou ρ. { (8; 7; 9), A[6; 0; 0], C[2; 8; 0], V [5; 3; 7], ρ( ; 10; 3)} 19. obrate těleso, které vnikne rotačního válce s podstavou o středu S a poloměru r v nársně seřínutím rovinou ρ. { (10; 11; 12), S[3; 0; 4], r = 4, ρ(5; 4; 9)} 20. Sestrojte ře rotačního válce s podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně rovinou ρ. Výška válce je v. { (10; 11; 12), v = 10, S[4,5; 5; 0], r = 4,5, ρ(10; ; 8)} 21. V rovině ρ najděte všechn bod, které mají od přímk o = KL vdálenost r. { (9; 10; 11), ρ( 6; 3; 6), K[6; 0; 4], L[6; 10; 4], r = 4} 22. Sestrojte průnik přímk m = P M s kosým šestibokým hranolem, jehož dolní podstava ležící v půdorsně je daná středem S a vrcholem A a horní podstava má vrchol v bodě A. { (10; 11; 12), P [2; 9; 0], M[9; 2; 9], S[7; 6; 0], A[4; 7; 0], A [0; 5; 8]} 23. Kosý čtřboký jehlan, který má čtvercovou podstavu o středu S a vrcholu A v půdorsně a vrchol V, protněte přímkou m = MN. { (10; 11; 12), S[0; 5; 0], A[ 4; 4; 0], V [1; 4,5; 8], M[0; 10; 7], N[3; 0; 1]} 24. Na přímce p = KL najděte bod, které mají od přímk o = MN vdálenost r. { (, ) = 120, (, ) = 105, K[10; 4; 6], L[2; 7; 4], M[5; 2; 5], N[5; 7; 5], r = 4,5} 25. Na přímce m = LM určete bod K tak, ab přímka V K měla od půdorsn odchlku α. { (10; 11; 12), L[9; 6; 2], M[0; 5; 2], V [4; 3; 7], α = 60 } 26. Sestrojte průnik přímk p = P N s kosým kruhovým kuželem o vrcholu V a podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně. { (8; 9; 9), S[0; 2; 0], V [ 3,5; 2; 8], r = 5, P [ 1,5; 11,5; 0], N[0,5; 6; 7]} 27. Kosý čtřboký hranol se čtvercovou podstavou ABCD v půdorsně a boční hranou AA protněte přímkou m = P M. {iometrie, A[4; 0; 0], C[0; 4; 0], A [5; 2,5; 5], P [8; 0; 0], M[ 3; 2; 4]} 28. Kosý kruhový válec s podstavou o středu S a poloměru r v nársně a se středem druhé podstav v bodě S protněte přímkou p = P N. { (, ) = 135, (, ) = 105, S[5; 0; 5], S [10; 10; 5], r = 5, P [3; 3; 0], N[5; 6; 5]} 29. Kruhový kužel s podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně a vrcholem V protněte přímkou m = MN. {iometrie, S[2; 2; 0], r = 5, V [4; 6; 12], M[2; 6; 2], N[2; 0; 5]} 30. Hperbolický paraboloid je dán řídicími přímkami a = AP, b = BN a řídicí rovinou ν =. Sestrojte jeho tvořicí přímk (ještě aspoň tři každého regulu), tečnou rovinu v jeho bodě T, osu a vrchol. {iometrie, A[ 2; 0; 4], P [ 2; 7; 0], B[5; 7; 0], N[5; 0; 9], T [4; 2,5;?]} 31. Hperbolický paraboloid je dán přímkami a, b = MN a řídicí rovinou µ =. obrate jeho přímk obou regulů (aspoň ještě tři každého regulu) a tečnou rovinu v bodě T. {a =, M[ 4; 5; 5], N[4; 0; 5], T [0;?; 5], (, ) = 105, (, ) = 135 } 32. Hperbolický paraboloid je dán borceným čtřúhelníkem ABCD. Sestrojte jeho tvořicí přímk obou regulů, osu, vrchol a stop hlavních rovin. {iometrie, A[7; 6; 0], B[10; 0; 7], C[3; 0; 0], D[0; 6; 9]} 43
42 33. Řídicími křivkami borcené ploch jsou dvě půlkružnice k, k nad půdorsnou, kružnice k(s, r) leží v nársně, kružnice k (S, r) v rovině rovnoběžné s nársnou a přímka a jdoucí středem úsečk SS kolmo k nársně. Napište náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk v bodech, které rodělují půlkružnici k na 6 shodných dílů. {iometrie, S[4; 0; 0], S [0; 8; 0], r = 5} 34. Řídicími křivkami borcené ploch jsou kružnice k(s, r) v µ, přímka a = AM a půdorsna π. Sestrojte tvořicí přímk ploch v rovinách rovnoběžných s π, které mají kót 2, 4, 6, 8, 10, a všechn torální přímk ploch s jejich kuspidálními bod. { (, ) = 105, (, ) = 120, S[0; 7; 6], r = 5, A[5; 5; 6], M[0; 10; 13]} 35. borcená plocha je dána řídicí kružnicí k(s, r) v bokorsně µ =, řídicí přímkou a = AB a řídicí rovinou ν = (nársnou). Sestrojte tvořicí přímk ploch v bodech, které dělí úsečku AB na osm shodných dílů i v bodech A, B. { (, ) = 135, (, ) = 120, S[0; 5; 5], r = 5, A[10; 12; 0], B[10; 0; 5]} 36. Řídicími křivkami borcené ploch jsou půlkružnice k(s, r) v polorovině = 0, S, k (S, r ) v polorovině = S, S a přímka a =. Sestrojte tvořicí přímk ploch v rovinách = κ, κ = 0, ± 3, ±1, ± 3 3, a najděte torální přímk s kuspidálními bod. Uvažujte část ploch mei rovinami řídicích kružnic. {iometrie, S[0; 0; 2], r = 8, S [0; 8; 0], r = 5} 37. Hrana vratu pravotočivé rovinutelné ploch šroubové procháí bodem A, má osu o kolmou k půdorsně a výšku ávitu v. obrate tu část ploch včetně tvořicích přímek mei hranou vratu a půdorsnou, která se nacháí uvnitř souosé rotační válcové ploch o poloměru r v rosahu 3 4v. sa o procháí bodem P. { (, ) = 135, (, ) = 105, A[3; 6,5; 0], v = 12, P [3; 4; 0], r = 6} 38. obrate jeden ávit levotočivého šroubového konoidu vtvořeného úsečkou AB. sa o šroubového pohbu splývá s osou, výška ávitu je v. V bodě T ploch sestrojte její tečnou rovinu. { (, ) = 105, (, ) = 135, A[2; 0; 0], B[6; 0; 0], T [0; 4; v/3], v = 12} 39. obrate jeden ávit pravoúhlé uavřené přímkové šroubové ploch, kterou vtváří při pravotočivém šroubovém pohbu o ose o = a výšce ávitu v úsečka AB. obrate šroubovice bodů A, B a tvořicí úsečk ploch (12 poloh všroubované úsečk AB). V bodě T ploch sestrojte její tečnou rovinu. { (10; 9,5; 11,5), v = 12, A[0; 5; 0], B[0; 2; 0], T [2;?; 5]} 40. obrate jeden a čtvrt ávitu uavřené šroubové ploch, kterou vtváří při levotočivém šroubovém pohbu o ose o = a výšce ávitu v přímka A. Sestrojte tečnou rovinu ploch v jejím bodě T. Uvažujte jen část ploch ohraničenou šroubovicí bodu A a osou o. { (, ) = 105, (, ) = 135, [0; 0; 0], A[3; 5; 0], T [ 3; 2;?], v = 12} 41. Pomocí ářeové metod obrate astřešený objekt výšk v nad daným půdorsem. Střešní rovin mají spád 1 : 1, okap leží ve výšce v. kapový mnohoúhelník je ABCDEF, akáané okap jsou AB a roh GDE. Kót a souřadnice jsou uveden v metrech. Užijte měřítko 1 : 100. { (8; 6; 7), [3,5; 15] vhledem k levému dolnímu rohu, () = 8 cm, [] = 6 cm, A[7; 0], B[7; 3], C[4; 3], D[4; 7], E[0; 7], F [0; 0], G[4; 5], v = 3} 42. ářeovou metodou obrate v pravoúhlé aonometrii (8; 6; 7) střechu nad daným půdorsem. kapový mnohoúhelník je ABCDE, akáané okap jsou BG a DE. kap jsou ve výšce v, střešní rovin mají spád 1 : 1. Souřadnice jsou uveden v metrech. Použijte měřítko 1 : 100. {[0; 0], A[0; 10], B[10; 7,5], C[3,5; 7,5], D[3,5; 5], E[0; 5], G[6,5; 7,5], v = 2,5} 44
A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].
strana 1 1. onometrie. 1.1 V pravoúhlé aonometrii obrate průmět bodu [4, 5, 8]. 1.2 Zobrate bývající pravoúhlé průmět bodu do souřadnicových rovin. Určete souřadnice bodu, který je obraen v pravoúhlé aonometrii.
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceBA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr
BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceSedlová plocha (hyperbolický paraboloid)
Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického
VíceAnalytická geometrie v E 3 - kvadriky
Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
Více4.OBECNÁ AXONOMETRIE A KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ
4.BECNÁ AXNMETRIE A KSÚHLÉ PRMÍTÁNÍ Aonometrie kosoúhlé promítání voenská perspektiva pravoúhlá aonometrie Znalost těchto metod e ákladem skicování, které e potřebné i v době CAD sstémů. Kosoúhlé promítání
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VíceŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
Vícepůdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala
VíceAxonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60
Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceKonstruktivní geometrie
Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceAXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
VíceKonstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
VíceZobrazení a řezy těles v Mongeově promítání
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
VíceZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné
VíceDeskriptivní geometrie 0A5
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah
VíceZobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.
Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1
VícePravoúhlá axonometrie. tělesa
Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout
VícePravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
VíceSBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI
VíceŠroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu
ŠROUBOVICE Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ZÁKLADNÍ POJMY osa šroubovice o nosná válcová plocha (r poloměr řídicí kružnice
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VíceTest č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace
Test č. 1 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2006-2007 Kuželosečky, afinita a kolineace (1) (a) Je dána elipsa E(F 1, F 2, a), F 1 F 2 < 2a. Sestrojte několik bodů
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok
VíceOBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY
OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY 1. Základní konstrukce na rotačních plochách, tečné roviny a řezy rotačních ploch. Rotační plochy vznikají rotačním pohybem kolem osy. Máme-li v prostoru dánu přímku o a orientovaný
Více4.2. Graf funkce více proměnných
V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VícePrùniky tìles v rùzných projekcích
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VíceMongeovo zobrazení. Řez jehlanu
Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice
VíceKonstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].
Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie
VícePravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles 1 / 1 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
Vícetečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí
Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází
Vícepomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.)
Teoretické řešení střech Zastřešení daného půdorysu rovinami různého spádu vázaná ptačí perspektiva Řešené úlohy Příklad: tačí perspektivě vázané na Mongeovo promítání zobrazte řešení střechy nad daným
VíceKreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2
Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1 Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová...
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární
VíceA[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70).
Úkoly k zápočtu z BA008 Všechny úkoly jsou povinné. Úkoly číslo 4, 7, 12, 14 budou uznány automaticky, pokud poslední den semestru, tj. 3. 5. 2019, budou všechny ostatní úkoly odevzdané a uznané. 1. Je
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceMetrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
VíceMongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
VíceSTEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceKÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ
KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
Více5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ
5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
VíceDeskriptivní geometrie BA03
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie BA03 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2006 Obsah 1. Kuželosečky 2 2.
VíceDeskriptivní geometrie
Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké
VíceVyužití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu
Více