PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07"

Transkript

1 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ], C[, 6, ]. Určete a) Obvod b) Obsah c) Vnitřní úhly d) Rovnici roviny, ve které trojúhelník leží a tuto rovinu nakreslete tak, že nakreslíte její průsečnice se souřadnými rovinami xy, xz, yz, do stejného obrázku nakreslete i daný trojúhelník. e) Rovnice těžnic a souřadnice těžiště T f) Rovnice výšek a souřadnice ortocentra V 1.1 Obvod Strany v trojúhelníku označíme podle běžného způsobu. a = BC = (4 ) + (5 6) + ( ) = = 1 = 4.58 b = AC = ( ) + ( 3 6) + (3 ) = = 8 = 9.6 c = AB = ( 4) + ( 3 5) + (3 ) = = 89 = 9.43 Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= = Obsah K výpočtu obsahu použijeme Heronův vzorec. Tedy pro obsah platí S = s(s a)(s b)(s c) = 11.54( )( )( ) =.5j kde s = a+b+c = = Obsah pomocí vektorového součinu S = 1 (4, 8, 3) (, 9, 1) = 1 ( = 1 (19, 4, 36) = =.45, 4 3 1, ) Tento výsledek je přesnější, protože docházelo k menšímu zaoukrouhlování než při výpočtu Heronovým vzorcem. 1

2 1.3 Vnitřní úhly Protože známe velikosti stran v trojúhelníku, vypočteme vnitřní úhly pomocí Kosinové věty. a = b + c bc cos(α) bc cos(α) = b + c a ( b + c a ) α = arccos bc ( ) α = arccos α = arccos(.88) = 8.6 stupňů podobně b = a + c ac cos(β) ac cos(β) = a + c b ( a + c b ) β = arccos ac ( ) β = arccos β = arccos(.3) = 71. stupňů a ještě poslední úhel c = a + b ab cos(γ) ab cos(γ) = a + b c ( a + b c ) γ = arccos ab ( ) γ = arccos γ = arccos(.17) = 8. stupňů Součet úhlů v trojúhelníku musí dát 18 stupňů. Vzhledem k zaokrouhlení vznikne malá chyba. Výpočet vnitřního úhlu pomocí skalárního součinu cos(α) = cos(α) = AB AC AB AC (4, 8, 3) (, 9, 1) ( 3) ( 1) cos(α) = ( 3)( 1) 89 8

3 cos(α) =.88 α = arccos(.88) α = 8.6 stupňů 1.4 Rovnice roviny, ve které trojúhelník leží K určení parametrických rovnic roviny potřebujeme jeden bod, který v té rovině leží a dva směrové vektory této roviny. Můžeme např. zvolit bod A a vektory AB a AC. AB = B A = (4, 5 ( 3), 3) = (4, 8, 3) AC = C A = (, 6 ( 3), 3) = (, 9, 1) Tedy rovina (A[, 3, 3], AB = (4, 8, 3), AC = (, 9, 1)) je dána těmito rovnicemi x = 4t y = 3 + 8t + 9s z = 3 3t s, t,s R Z parametrických rovnic odvodíme obecnou rovnici roviny vyloučením parametrů t a s. x = 4t y = 3 + 8t + 9s z = 3 3t s t = x y = x + 9s z = x 3 x+y 4 9 s = 3 x+y 36z = 18 7x 1 + 8x 4y 9 19x + 4y + 36y 96 = Obecná rovnice roviny tedy je : 19x + 4y + 36z 96 = Průsečíky roviny se souřadnými rovinami xy, xz, a yz Průsečík roviny s osou z, tj. x=, y= Průsečík roviny s osou y, tj. x=, z= z 96 = z = =.7 Průsečík roviny s osou x, tj. y=, z= y = y = 96 4 = 4 19x = x = = 5.1 3

4 3,5 1,5 z 1, y 4 x Těžnice a Těžiště Těžnice t BC je přímka, která prochází středem strany BC a protějším vrcholem A. Podobně to platí o těžnicích t AC a t AB. Rovnice těchto těžnic se napíší ze znalosti dvou bodů, kterými procházejí. Souřadnice těžiště T se pak spočítá jako průsečík alespoň dvou těžnic. Rovnice těžnic a) Těžnice na stranu BC značí se t BC prochází středem strany BC, který označíme S BC a vrcholem trojúhelníku A[, 3, 3]. Střed strany BC vypočteme takto S BC = B + C = Směrový vektor těžnice je [4, 5, ] + [, 6, ] = [ 4 +, 5 + 6, + ] = [, 5.5, 1] S BC A = A S BC = (, 3 5.5, 3 1) = (, 8.5, ) Těžnice t BC je dána bodem A[, 3, 3] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto x = t y = 3 8.5t z = 3 + t t R S BC A = (, 8.5, ) a její b) Těžnice na stranu AC značí se t AC prochází středem strany AC, který označíme S AC a vrcholem trojúhelníku B[4, 5, ]. Střed strany AC vypočteme takto S AC = A + C = [, 3, 3] + [, 6, ] [ + = 4, 3 + 6, 3 + ] = [, 1.5,.5]

5 Směrový vektor těžnice je S AC B = B S AC = (4, 5 1.5,.5) = (4, 3.5,.5) Těžnice t AC je dána bodem B[4, 5, ] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto S AC B = (4, 3.5,.5) a její x = 4 + 4t y = t z =.5t, t R c) Těžnice na stranu AB značí se t AB prochází středem strany AB, který označíme S AB a vrcholem trojúhelníku C[, 6, ]. Střed strany AB vypočteme takto S AB = A + B = Směrový vektor těžnice je [, 3, 3] + [4, 5, ] [ + 4 =, 3 + 5, 3 + ] = [, 1, 1.5] S AB C = C S AB = (, 6 1, 1.5) = (, 5,.5) Těžnice t AB je dána bodem C[, 6, ] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto S AB C = (, 5,.5) a její x = t y = 6 + 5t z = +.5t, t R Těžiště T najdeme jako průsečík těžnic. Stačí tedy nalézt alespoň průsečík dvou těžnic např. t AB a t AC. Obě těžnice jsou jako přímky dány parametrickými rovnicemi. Jejich průsečík-těžiště T musí ležet na obou přímkách, proto se x-ové a y-ové souřadnice musí rovnat. Tady je třeba ale změnit jednu věc a to tu, že parametr t v těžnicí t AB a v těžnici t AC je různý a pokud s oběma těžnicemi počítáme dohromady jako ted, musíme označit parametr v obou rovnicích různě. Parametr v rovnicích těžnice t AB označíme t a parametr v rovnicích těžnice t AC označíme s. Položíme tedy sobě rovny x-ové rovnice a y-ové rovnice a řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých t a s. x = t x = 4 + 4s y = 6 + 5t y = s z = +.5t z =.5s x = x y = y z = z t = 4 + 4s 6 + 5t = s +.5t =.5s t = s 6 + 5( s) = s +.5( ) = 3.5( ) 3 t = s = s t = 9 = 13.5s 3 s = 3 5

6 Nyní můžeme dosadit vypočtené t do parametrických rovnic těžnice t AB a obdržíme souřadnice těžiště T. x = t = ( 3 ) = 4 3 y = 6 + 5t = 6 + 5( 3 ) = 8 3 z = +.5t = +.5( 3 ) = 5 3, t R Stejné souřadnice bychom dostali, kdybychom dosadili výsledný parametr s do parametrických rovnic těžnice t AC. Toto je tedy těžiště trojúhelníku T[ 4 3, 8 3, 5 3 ]. Těžiště trojúhelníku můžeme zjistit mnohem jednodušeji ze vzorce T = A + B + C 3 Dosad te tedy naše souřadnice bodů trojúhelníka a dostaneme T = A + B + C 3 Tedy = [, 3, 3] + [4, 5, ] + [, 6, ] 3 Vidíme, že jsme dostali stejné souřadnice. 1.6 Výšky a Ortocentrum T[1.33,.67, 1.67] [ = 3, , ] [ 4 = 3 3, 8 3 3], 5 Výška v BC je přímka, která je kolmá ke straně BC a prochází protějším vrcholem A. Podobně to platí o výškách v AC a v AB. Rovnice výšky se napíše ze znalosti dvou bodů, kterými prochází a postup bude nyní komplikovanější než byl v rovině. Důvod je ten, že nemůžeme jednoduše vzít normálový vektor ke straně, protože takových normálových vektorů je nekonečně mnoho a tvoří celou rovinu. Prvním bodem je protější vrchol, to je jasné. Druhý bod určíme jako průsečík roviny procházející protějším vrcholem, která je kolmá na příslušnou stranu a touto stranou. Rovnice výšek a) Výška na stranu BC značí se v BC je kolmá na stranu BC a prochází vrcholem trojúhelníku A[, 3, 3]. Nejdříve si určíme rovnici strany BC=a: Strana BC je dána např. bodem B[4, 5, ] a směrovým vektorem s BC = ( 4, 1, ) BC(B, s BC ) : x = 4 4t y = 5 + t z = t, t <, 1 > 1) Nyní je třeba určit rovinu σ BC, která prochází bodem A a je kolmá ke straně BC. Tedy směrový vektor úsečky BC je zároveň normálovým vektorem roviny σ BC. 6

7 σ BC : ax + by + cz + d =, kde (a,b,c) = ( 4, 1, ) tedy σ BC : 4x + y + z + d = d určíme z toho, že rovina σ BC prochází bodem A: A[, 3, 3] σ BC : ( 4) + ( 3) d =, odtud d=-3 tedy σ BC : 4x + y + z 3 = ) Ted určíme průsečík P BC roviny σ BC se stranou BC tím, že dosadíme parametrické rovnice strany BC tj. x, y, z do rovnice roviny σ BC a dostaneme rovnici pro parametr t: 4(4 4t) + (5 + t) + (t) 3 = t t + 4t 3 = 1t = 14 t = 14 1 =.67 tedy dosazením do rovnic strany BC máme x = 4 4t = = 1.33 y = 5 + t = = 5.67 z = t =.67 = 1.33 tedy P BC = [1.33, 5.67, 1.33] 3) Výška v BC je dána body A[, 3, 3] a P BC [1.33, 5.67, 1.33], směrový vektor P BC A = A P BC = ( 1.33, , ) = ( 1.33, 8.67, 1.67) a její prametrické rovnice jsou tyto x = 1.33t y = t z = t, t R b) Výška na stranu AB značí se v AB je kolmá na stranu AB a prochází vrcholem trojúhelníku C[, 6, ]. Nejdříve si určíme rovnici strany AB=c: Strana AB je dána např. bodem A[, 3, 3] a směrovým vektorem s AB = (4, 8, 3) AB(A, s AB ) : x = 4t y = 3 + 8t z = 3 3t, t <, 1 > 1) Nyní je třeba určit rovinu σ AB, která prochází bodem C a je kolmá ke straně AB. Tedy směrový vektor úsečky AB je zároveň normálovým vektorem roviny σ AB. σ AB : ax + by + cz + d =, kde (a,b,c) = (4, 8, 3) tedy σ BC : 4x + 8y 3z + d = 7

8 d určíme z toho, že rovina σ AB prochází bodem C: C[, 6, ] σ AB : d =, odtud d=-4 tedy σ BC : 4x + 8y 3z 4 = ) Ted určíme průsečík P AB roviny σ AB se stranou AB tím, že dosadíme parametrické rovnice strany AB tj. x, y, z do rovnice roviny σ AB a dostaneme rovnici pro parametr t: 4(4t) + 8( 3 + 8t) 3(3 3t) 4 = tedy dosazením do rovnic strany AB máme 16t t 9 + 9t 4 = x = 4t = 4.84 = t = 75 t = =.84 y = 3 + 8t = = 3.74 z = 3 3t = =.47 tedy P AB = [3.37, 3.74,.47] 3) Výška v AB je dána body C[, 6, ] a P AB [3.37, 3.74,.47], směrový vektor P AB C = C P AB = ( 3.37, ,.47) = ( 3.37,.6, 1.53) a její prametrické rovnice jsou tyto x = 3.37t y = 6 +.6t z = t, t R Ortocentrum V se určí jako průsečík výšek v AB a v BC. Položíme tedy sobě rovny x-ové, y-ové, z-ové souřadnice obou výšek a řešíme tři rovnice pro dvě neznámé t,s. V druhé výše v BC musíme odlišit parametr a tak ho přepíšeme na s. Řešíme soustavu dvou rovnic, když položíme sobě rovny y-ové a z-ové souřadnice a pak dosazením do do třetí rovnice pro rovnost x-ových souřadnic zjistíme, jestli je výpočet proveden správně. V našem případě malá chyba vznikla zaokrouhlováním. y = y z = z x = x 6 +.6t = s t = s 3.37t = 1.33s t = s ( s) = s = 1.5 t =.37 s =.94 Dosadíme tedy parametr t do parametrických rovnic pro výšku v AB a dostaneme souřadnice ortocentra V. Stejné sořadnice bychom dostali dosazením parametru s do parametrických rovnic pro výšku v BC. x = 3.37t = 3.37(.37) = 1.5 y = 6 +.6t = 6 +.6(.37) = 5.16 z = t = (.37) =

9 Ortocentrum V V [1.5, 5.16, 1.43] Obsah, obvod a těžiště obrazce Je dán obrazec v rovině ohraničený parabolou y = x 6x+5 a dvěma přímkami y = x+1 a y =.5x 3. Tento obrazec nakreslete a určete jeho a) Obsah b) Obvod c) Těžiště.1 Obsah Vyjdeme ze základního vzorce pro obsah oblasti, která je na intervalu < a,b > ohraničená zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x). Nezáleží na tom, zda jsou funkce kladné nebo záporné, pouze musí platit, že f(x) g(x) na < a,b >. Potom platí, že S = b a (f(x) g(x)) dx Z grafu vidíme, že náš obrazec je zhora ohraničen f(x) = x + 1 ale zdola se to nedá napsat jako jedna funkce, ale musí se to rozdělit na 3 části g(x) = x 6x + 5, x < A,B > g(x) =.5x 3, x < B,C > g(x) = x 6x + 5, x < C,D > 9

10 kde A a D jsou průsečíky paraboly a přímky x+1, B a C jsou průsečíky paraboly a přímky.5x-3. Tedy obsah našeho obrazce je dán součtem obsahů 3 jeho částí. Proto náš obrazec rozdělíme na 3 části a na každou část můžeme použít základní vzorec. S = S 1 + S + S 3 B ( S = (x + 1) (x 6x + 5) ) C dx + ((x + 1) (.5x 3)) dx A D + C ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx B Nyní spočítáme body A, B, C, D: A,D : x + 1 = x 6x + 5 x 7x + 4 = x 1, = A =.63, D = 6.37 = B,C :.5x 3 = x 6x + 5 x 6.5x + 8 = x 1, = B = 1.65, D = 4.85 = Po úpravě a dosazením dostaneme S = [ x3 ( x + 7x 4) ) 4.85 dx + (.5x + 4)) dx + ] 1.65 [ = 3 + 7x 4x +.63 = = x + 4x ] [ x x 4x ( x + 7x 4) ) dx ] Obvod K výpočtu obvodu obrazce potřebujeme vědět, jak vypočítat délku libovolné křivky. K tomu použijeme základní vzorec pro délku části funkce f(x) na intervalu < a, b >, který je b D = 1 + (f (x)) dx a Náš obrazec se skládá ze 4 stran D 1, D, D 3, D 4, kde D 1 je levá parabola, D je spodní úsečka, D 3 je pravá parabola a D 4 je horní úsečka. D = D 1 + D + D 3 + D 4 1

11 = + B A D A 1.65 C 1 + ((x 6x + 5) ) dx ((x + 1) ) dx B D 1 + ((.5x 3) ) dx ((x 6x + 5) ) dx C = 4x 4x + 37dx dx + 4x 4x + 37dx =.34 ( ) + [ ] x ( ) + [ ] 6.37 x.63 =.17( ) + 1.5( ) +.55( ) + ( ) = = 3.78 kde 1 + ( (x 6x + 5) ) = 1 + (x 6) = 1 + 4x 4x ( (.5x 3) ) = 4x 4x + 37 = 1 + (.5) = 1.5 D 1 a D 3 kvůli složitosti výpočtu primitivní funkce, jsme spočítali přibližně pomocí Lichoběžníkova pravidla. Při výpočtu D 1 jsme interval <.63, 1.65 > rozdělili na 3 díly, takže dělící body jsou.63,.97, 1.31, Krok h=.34. Při výpočtu D 3 jsme interval < 4.85, 6.37 > rozdělili také na 3 díly, takže dělící body jsou 4.85, 5.36, 5.87, Krok h=.51. Zde jsme zaokrouhlili krok z.566 na.51 a proto místo posledního bodu 6.38 bereme náš bod D=6.37. Lichběžníkovým pravidlem jsme tedy přibližně vypočetli, že délky částí parabol jsou D 1 = 3.93 a D 3 = Přesné hodnoty těchto délek jsou D 1 = 3.93 a D 3 = 8.8. Z toho je vidět, že u D 1 se to s přesným řešením na desetinná místa shoduje a D 3 je shoda taky dobrá..3 Těžiště K výpočtu souřadnice těžiště T[x T,y T ] použije základní vzorce. Mějme tedy obrazec, který je na intervalu < a,b > ohraničen zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x). Nezáleží na tom, zda jsou funkce kladné nebo záporné, pouze musí platit, že f(x) g(x) na < a,b >. Potom souřadnice těžiště T se spočítají podle vzorců kde S = x T = S y S, b a y T = S x S (f(x) g(x)) dx 11

12 S x = 1 S y = b a b a ( (f(x)) (g(x)) ) dx x (f(x) g(x)) dx V našem případě už máme S spočítané z a) S=6.13. Zbývá spúočítat S x a S y. Zde musíme postupovat stejně jako při výpočtu obsahu S a rozdělit integrál na 3 části. S x = S x1 + S x + S x3 S x = 1 B ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx + 1 C ( (x + 1) (.5x 3) ) dx A B + 1 D ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx C = ( x 4 + 1x 3 45x + 6x 4 ) dx (.75x + 5x 8 ) dx ( x 4 + 1x 3 45x + 6x 4 ) dx 4.85 =.5 [.x 5 + 3x 4 15x x 4x ] [.5x 3 +.5x 8x ] [.x 5 + 3x 4 15x x 4x ] 6.37 =.5( ) = S y S y = = S y1 + S y + S y3 = + B A D + C x ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx + x ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx ( x 3 + 7x 4x)dx + ( x 3 + 7x 4x)dx C B (.5x + 4x)dx x ((x + 1) (.5x 3)) dx + [.5x x 3 x ] [.17x 3 + x ] 4.85 [.5x x 3 x ] = = 9.81 Odtud můžeme dosadit do vzorců Těžiště T je dáno x T = S y S = = 3.55, y T = S x S = = 1.95 T[3.55, 1.95] 1

13 3 Objem a Povrch rotačního tělesa Je dán obrazec v rovině ohraničený parabolou y =.1x + x + 1 a přímkou y = 8. Rotací tohoto obrazce kolem osy x vznikne rotační těleso. Načrtněte toto těleso a určete jeho a) Objem b) Povrch 3.1 Objem Vyjdeme ze základního vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa, které vznikne tak, že kolem osy x rotuje funkce f(x), která je dána na intervalu < a,b > a je tam kladná. Objem tohoto rotačního tělesa pak vypočteme za vztahu S = π b a (f(x)) dx Pokud rotační těleso vznikne rotací obrazce ohraničeného zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x) na intervalu < a,b >, přičemž celý ten obrazec je nad osu x, pak objem vzniklého tělesa spočítáme ze vztahu S = π b a ( (f(x)) (g(x)) ) dx V našem případě využijeme druhý vzorec, kde f(x) =.1x +x+1 a g(x) = 8 Je třeba určit průsečíky obou funkcí, budou to dva body A a B:.1x + x + 1 = 8.1x + x + = x 1, = (.1). A = 1.71, B = Pak objem našeho tělesa je S = π B A ( (.1x + x + 1) (8 ) ) dx 13

14 11.71 ( = π.1x 4.x 3 x + x + 36 ) dx 1.71 = π [.x 5.5x 4.33x 3 + 1x + 36x ] = Povrch I nyní vyjdeme ze základního vzorce pro výpočet povrchu pláště rotačního tělesa, které vznikne tak, že kolem osy x rotuje funkce f(x), která je dána na intervalu < a,b > a je tam kladná. Povrch pláště tohoto rotačního tělesa pak vypočteme za vztahu b S = π f(x) 1 + (f (x)) dx a V našem případě těleso má vnější povrch P 1 a vnitřní povrch P. Celkový povrch tělesa P je součtem obou povrchů P 1 a P. Pro výpočet obou použijeme základního vzorce. P = P 1 + P B = π (.1x + x + 1) 1 + ((.1x + x + 1) ) dx + π to A (.1x + x + 1) x.4x + dx + π = π 8dx = π 4.47 ( (.1( 1.71) ).4( 1.71).4( 1.71) + + ( ) ( ) ( ) ) + π [8x] = π (.35( )) + 16π(11.71 ( 1.71)) = = B A ((8) ) dx 14

15 4 Určení dráhy z rychlosti Těleso se pohybuje rychlostí v(t) = 4t 1 t + 3t + Určete a) Jakou rychlost mělo těleso ve sekundě b) Jakou těleso urazilo dráhu ve sekundě, jestliže v čase těleso už urazilo 1 metr. 4.1 Rychlost 4. Dráha v() = = 14m.s 1 s(t) = v(t)dt = (4t 1 t + 3t + )dt = = 1 t (.8t +.16) + t 3 + t + C (4t 1 t )dt + (3t + )dt kde první integrál vypočteme metodou per-partes (4t 1 t )dt u = 4t u = 4 v = 1 t v = 1 t ln(1) ( ) = 4t 1 t ( ) 4 1 t dt = ln(1) ln(1) ln(1) t1 t + ln(1) = ln(1) t1 t + ln(1) 1 t ( ) ln(1) = 1 t (.8t +.16) 1 t dt Konstantu C určíme z podmínky, že těleso v čase už urazilo 1 metr, tj. s() = 1 : 1 ( ) C = C = 1 C = 1.16 Tedy dráha tělesa je dána rovnicí s(t) = 1 t (.8t +.16) + t 3 + t Dráhu, kterou těleso urazilo ve sekundě dostaneme dosazením t= do s(t): s() = 1 ( ) = 13.16m 15

16 t Rychlost Draha 16

17 5 Určení rychlosti a dráhy ze zrychlení Těleso se pohybuje se zrychlením a(t) = 4 + t 3 4 t + (.3) t Určete a) Jaké zrychlení mělo těleso ve 3 sekundě b) Jakou rychlost mělo těleso ve 3 sekundě, jestliže v čase se těleso pohybovalo rychlostí metry za sekundu. c) Jakou těleso urazilo dráhu ve 3 sekundě, jestliže v čase těleso už urazilo 4 metry. 5.1 Zrychlení 5. Rychlost a(3) = (.3) 3 = 75..m.s v(t) = a(t)dt = (4 + t 3 4 t + (.3) t )dt = 4dt + t 3 4 t dt + (.3) t dt = 4t t 17 + (.3)t ln(.3) + C 1 = 4t t 17.83(.3) t + C 1 kde t 3 4 t dt = t 3 t 1 4 dt = t 13 4 dt = t dt = 8 17 Konstantu C 1 určíme z podmínky, že těleso v čase se pohybovalo rychlostí m.s-1, tj. v() = : (.3) + C 1 =.83 + C 1 = 4 t 17 C 1 =.83 Tedy rychlost tělesa je dána rovnicí v(t) = 4t t 17.83(.3) t +.83 Ry chlost, kterou těleso mělo ve 3 sekundě dostaneme dosazením t=3 do v(t): v(3) = (.3) = 19.71m.s Dráha s(t) = v(t)dt = (4t t 17.83(.3) t +.83)dt = t t ln (.3) (.3)t +.83t + C = t t (.3) t +.83t + C 17

18 kde.47 4 t 17 dt =.47 t 17 4 dt =.47 t =.9 4 t 1 Konstantu C určíme z podmínky, že těleso v čase už urazilo 4 metry, tj. s() = 4 : (.3) C = C = 4 C = 3.31 Tedy dráha tělesa je dána rovnicí s(t) = t t (.3) t +.83t Dráhu, kterou těleso urazilo ve 3 sekundě dostaneme dosazením t=3 do s(t): s() = (.3) = 58.6m t Zrychleni Rychlost Draha 18

19 6 Obecný trojúhelník Je dán obecný trojúhelník, jehož jedna jeho strana má délku 5 cm. Zbylé dvě strany označte jako proměnné x a y. Určete a) Pro která x a y je to vůbec trojúhelník, tzn. definiční obor všech následujících funkcí a tuto množinu nakreslete b) Obvod trojúhelníku jako funkci D(x,y) c) Obsah trojúhelníku jako funkci S(x,y) d) Velikost jednoho vnitřního úhlu jako funkci α(x,y) e) Velikost výšky na stranu, která je číselně daná jako funkci v(x,y) 6.1 Definiční obor Všechny strany trojúhelníku musí být větší než nula, odtud x,y >. navíc musí být splněny trojúhelníkové nerovnosti-součet libovolných dvou stran trojúhelníku musí být větší než ta třetí. x + y > 5, x + 5 > y, y + 5 > x, x >, y > y > 5 x, y < 5 + x, y > x 5, Tyto nerovnice určují v rovině xy následující oblast a to je definiční obor všech funkcí. Hranice této oblasti do definičního oboru nepatří

20 6. Obvod Obvod D je dán jako součet všech stran v trojúhelníku a protože závisí na hodnotách dvou stran x, y v trojúhelníku, píšeme D(x,y) = 5 + x + y x -5 y 5 1-1

21 6.3 Obsah K určení obsahu použijeme Heronův vzorec, protože je trojúhelník zadán třemi stranami kde a=x, b=y, c=5. S = S(x, y) = S(x, y) = S = s(s a)(s b)(s c), s = a + b + c s(s a)(s b)(s c) ( x + y + 5 x + y + 5 ) ( ) ( ) x + y + 5 x + y + 5 x y x y x y + 65 x + 65 y y x -1 1

22 6.4 Vnitřní úhel Vyjdeme z Kosinové věty např. pro úhel α: = b + c bc cos(α) ( b + c a ) α = arccos bc ( y + 5 x ) α(x, y) = arccos y 5 ( 5 x + y ) α(x, y) = arccos 1y a 3,5 1,5 1, y 5 5 x

23 6.5 Výška Vyjdeme ze vztahu pro výšku na stranu c: sin(α) = v y v = y sin(α) ( ( 5 x + y )) v(x, y) = y sin arccos 1y ( )) 5 v(x,y) = y x + y 1 cos (arccos 1y ( ) 5 x + y v(x,y) = y 1 1y y x 3

24 7 Tečná rovina a normála Napište rovnici tečné roviny a normály funkce z(x,y) v bodě A a nakreslete to. a) z(x,y) = 3x 3 y 4 tan(x 5y), A[ 1, 1, ] b) z(x,y) = x 8 x y 3, A[ 1, 1, ] 7.1 První příklad K napsání tečné roviny v bodě využijeme základní vzorec. Tečná rovina TR k funkci z(x,y) v bodě A[x,y,z ] je popsána touto rovnicí TR : z z = z(x,y ) x (x x ) + z(x,y ) (y y ) y V našem případě je x = 1 a y = 1, z je třeba vypočítat ze z(x,y) = 3x 3 y 4 tan(x 5y) z = z(x,y ) = z( 1, 1) = 3( 1) tan(( 1) 5 1) = 3 tan( 7) =.6 Dále potřebujeme spočítat parciální derivace podle x z( 1, 1) x z x = 9x y 4 tan(x 5y) 3x 3 y 4 1 cos (x 5y) = 9x y 4 tan(x 5y) 6x 3 y 4 cos (x 5y) = = 9( 1) 1 4 tan(( 1) 5 1) = 9 tan( 7) + 6 cos ( 7) = ( 1) cos (( 1) 5 1) a podle y z y z( 1, 1) y = 1x 3 y 3 tan(x 5y) 3x 3 y 4 1 cos (x 5y) ( 5) = 1x 3 y 3 tan(x 5y) + 15x 3 y 4 cos (x 5y) = = 1( 1) tan(( 1) 5 1) + = 1 tan( 7) 15 cos ( 7) = ( 1) cos (( 1) 5 1) Dosadíme do vzorce pro tečnou rovinu a upravíme na základní tvar TR : z z = z(x,y ) (x x ) + z(x,y ) (y y ) x y z (.6) = 18.4(x ( 1)) + ( 36.8)(y 1) z +.6 = 18.4x y TR : 18.4x y + z 5.6 = 4

25 Z analytické geometrie je známo, že rovina ax + by + cz + d = má normálový vektor n = (a,b,c)-to je vektor, který je k té rovině kolmý. Normála N je tedy dána bodem A[ 1, 1,.6] a vektorem n = ( 18.4, 36.8, 1). Její parametrické rovnice jsou následující N : x = t y = y z =.6 + t, t R ,96,98-1, -1,4 1-1 x 1, -,98 1,4 -,96 y 7. Druhý příklad K napsání tečné roviny v bodě využijeme základní vzorec. Tečná rovina TR k funkci z(x,y) v bodě A[x,y,z ] je popsána touto rovnicí TR : z z = z(x,y ) x (x x ) + z(x,y ) (y y ) y V našem případě je x = 1 a y = 1, z je třeba vypočítat ze z(x,y) = x 8 x y 4 z = z(x,y ) = z( 1, 1) = ( 1) 8 ( 1) 1 4 = Dále potřebujeme spočítat parciální derivace podle x z x z( 1, 1) x y4 = 4x 8x + x 8 x y 4 ln(8) 4x = 4x 8 x y ln(8)x 3 8 x y 4 = = 4( 1) 8 ( 1) ln(8)( 1) 3 8 ( 1) 1 4 =.6 5

26 a podle y z y z( 1, 1) y = x 8 x y 4 ln(8) ( 6y ) = 1 ln(8)x y 8 x y 4 = = 1 ln(8)( 1) 1 8 ( 1) 1 4 = 4.95 Dosadíme do vzorce pro tečnou rovinu a upravíme na základní tvar TR : z z = z(x,y ) (x x ) + z(x,y ) (y y ) x y z = (.6)(x ( 1)) + ( 4.95)(y 1) z =.6x y TR :.6x y + z 6.35 = Z analytické geometrie je známo, že rovina ax + by + cz + d = má normálový vektor n = (a,b,c)-to je vektor, který je k té rovině kolmý. Normála N je tedy dána bodem A[ 1, 1, ] a vektorem n = (.6, 4.95, 1). Její parametrické rovnice jsou následující N : x = 1 +.6t y = y z = + t, t R ,9 -,95-1 x 1 1,5 1,1-1,5-1,1,9,95 y 6

27 8 Výpočet dvojného integrálu Vypočtěte následující dvojné integrály a napište jejich geometrický význam (načrtněte graf dané funkce na obdélníku D-zjistěte funkční hodnoty alespoň ve vrcholech D a ověřte zda graf leží nad rovinou xy nebo ne) a) D x y cos(3 y)dxdy, D =<, 1 > < 1, 3 > b) D sin(y 3x)dxdy, D =<, 1 > <, > 8.1 První příklad U tohoto příkladu můžeme funkci f(x,y) zapsat jako součin nějaké funkce f 1 (x) a f (y) a využít vzorec b d f(x,y)dxdy = f 1 (x)dx f (y)dy D V našem případě je f 1 (x) = x a f (y) = y cos(3 y) Tedy x y cos(3 y)dxdy = D = = 1 a x dx 3 1 y cos(3 y)dy c [ ] [ 3 x3 1 1 y sin(3 y) + 1 ] 3 4 cos(3 y) 1 ( 3 13 ) 3 ( )3 (( 1 3 sin(3 3) + 1 ) 4 cos(3 3) ( 1 ( 1) sin(3 ( 1)) + 1 )) 4 cos(3 ( 1)) =.4 kde druhý integrál vypočteme metodou per-partes y cos(3 y)dy u = y u = 1 v = cos(3 y) v = 1 sin(3 y) = y ( 1 sin(3 y) 1 1 sin(3 y)dy = 1 y sin(3 y) + 1 sin(3 y)dy = 1 y sin(3 y) + 1 ( 1 )( cos(3 y)) = 1 y sin(3 y) + 1 cos(3 y) 4 7

28 y -1 -,5,5 x ,5 8. Druhý příklad U tohoto příkladu sice můžeme použít součtový vzorec pro sin(x+y) a potom izolovat proměnnu x a y, ale ukážeme si výpočet tohoto integrálu, aniž bychom jednotlivé proměnné izolovali. Použijeme tzv. Fubiniův vzorec D f(x,y)dxdy = ( b d a c f(x,y)dy ) dx Tedy sin(y 3x)dxdy = D = = 1 ( 1 ) sin(y 3x)dy dx = 1 [ 1 ] cos(y 3x) ( 1 cos( 4 3x) 1 ) cos(4 3x) dx [ 1 6 sin( 4 3x) sin(4 3x) ] 1 dx = 1 ( sin( 7) + sin(1) + sin( 4) sin(4)) =.5 6 8

29 1,5 -,5 - -1, -1,4 y,6 x 1,8 1 9

30 9 Řešení diferenciální rovnice Najděte funkci y(x), která je řešením příslušné diferenciální rovnice a splňuje i počáteční podmínky. Proved te zkoušku a) y (x) + y(x) = 1 x, y() =, y () = b) y (x) y (x) = x + 1, y() = 9.1 První příklad Jedná se o lineární diferenciální rovnici druhého řádu a na pravé straně je polynom druhého stupně. Nalezení řešení probíhá ve 3 krocích. a) Nejprve nelezneme řešení difrenciální rovnice s nulovou pravou stranou y y (x) + y = Charakteristický polynom má tvar k + = kde řešení je dvojice komplexně sdružených čísel k 1 = i, k = i odtud řešení y = C 1 cos( x) + C sin( x) b) Nyní budeme hledat partikulární řešení y p. Je to nějaké jedno řešení, které vyhovuje celé diferenciální rovnici i s pravou stranou. Protože na pravé straně máme polynom. stupně a není kořenem charakteristického polynomu, budeme y p hledat ve tvaru y p = Ax + Bx + C Obecné koeficienty A, B, C nalezneme tak, že y p do sadíme do diferenciální rovnice a dále postupujeme metodou neurčitých koeficientů. y p(x) + y p = 1 x A + (Ax + Bx + C) = 1 x Ax + Bx + A + C = 1 x x : A = 1 A =.5 x : B = B = 1 : A + C = 1 C = 1 Tedy naše partikulární řešení má tvar y p =.5x + 1 Obecné celkové řešení y je součtem řešení y p a y y(x) = y p (x) + y (x) =.5x C 1 cos( x) + C sin( x) 3

31 c) Nyní je třeba z počátečních podmínek vypočítat konstanty C1 a C: y() = : C 1 cos( ) + C sin( ) = C 1 = 1 y () = : C 1 sin( ) + C cos( ) = C = Tedy řešení naší diferenciální rovnice je y(x) =.5x cos( x) sin( x) Zkouška: Nejdříve si potřebujeme vypočítat derivaci y (x) y(x) =.5x cos( x) sin( x) y (x) = x sin( x) cos( x) y (x) = 1 cos( x) + sin( x) Dosadíme výslednou funkci y(x) do naší diferenciální rovnice a po úpravách se levá strana musí rovnat pravé y (x) + y(x) = 1 x 1 cos( x) + sin( x) + (.5x cos( x) sin( x) ) = 1 x x + 1 = 1 x 9. Druhý příklad Toto je případ separovatelné rovnice, y napíšeme jako podíl dy/dx a všechno s x převedeme na jednu stranu a všechno s y na druhou stranu tak, aby dx a dy byly v čitateli. Potom provedeme integraci a pokud to jde, vyjádříme y jako funkci x. Neznámou konstantu vypočteme z počáteční podmínky. y (x) y (x) = x + 1 y dy dx = x + 1 y dy = ( x + 1)dx y dy = ( x + 1)dx y 3 3 = x ln() + x + C y() = : 3 = 3 ln() + + C 8 3 = 1 ln() + C C = (4)

32 Tedy řešení v imlicitním tvaru vypadá takto y 3 3 = x ln() + x + 1. V našem případě můžeme funkci y(x) vyjádřit i explicitně Zkouška: Počáteční podmínka je splněna y(x) = x + 3x y() = = = Dosad me nyní náše výsledné řešení do původní diferenciální rovnice a pokud je výpočet v pořádku, musí se levá strana rovnat pravé. ( x + 3x ) 1 ( 4.33 x + 3x ) 3 (4.33 x ln() + 3) = x x + 1 = x + 1 Obsah 1 Výpočty v trojúhelníku Obvod Obsah Vnitřní úhly Rovnice roviny, ve které trojúhelník leží Těžnice a Těžiště Výšky a Ortocentrum Obsah, obvod a těžiště obrazce 1.1 Obsah Obvod Těžiště Objem a Povrch rotačního tělesa Objem Povrch Určení dráhy z rychlosti Rychlost Dráha Určení rychlosti a dráhy ze zrychlení Zrychlení Rychlost Dráha

33 6 Obecný trojúhelník 6.1 Definiční obor Obvod Obsah Vnitřní úhel Výška Tečná rovina a normála První příklad Druhý příklad Výpočet dvojného integrálu První příklad Druhý příklad Řešení diferenciální rovnice První příklad Druhý příklad

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 7/8 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný,

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)

2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5) Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více