Téma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie)

Transkript

1 Téma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie) Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Kartézské souřadnicové soustavy Pravoúhlá pravotočivá kartézská souřadnicová soustava v třírozměrném Euklidovském prostoru je určena bodem O, tzv. počátkem a třemi navzájem kolmými přímkami, y, z procházejícími počátkem, tzv. souřadnicovými osami. Osy mají svoji kladnou orientaci, jež označuje smysl přibývajících souřadnic. Pravotočivost souřadnicové soustavy je dána tzv. pravidlem pravé ruky říkajícím, že položíme-li pravou ruku na náčrt souřadnicové soustavy tak, aby prsty směřovaly od kladně orientované osy ke kladně orientované ose y, ukazuje palec smysl kladně orientované osy z. Neníli tato podmínka splněna, jedná se o levotočivou kartézskou souřadnicovou soustavu. Konkrétní souřadnicovou soustavu takto definovanou označujeme symbolem(o,, y, z). Každá souřadnicová osa je zároveň číselnou osou s počátkem O s danou metrikou(tedy s definovanou vzdáleností, na všech osách stejně). Pro libovolný bod L prostoru utvoříme kvádr s hranami totožnými se souřadnicovými osami, přičemž bod L je jedním z jeho vrcholů(obr.1). Délky hran(včetně orientace) tohoto kvádru na jednotlivých osách(v příslušné metrice) se nazývají souřadnice bodu L. Tento kvádr může být i degenerovaný, když jedna, dvě, nebo i všechny tři dvojice jeho protějších stěn splývají. To pak znamená, že jedna, dvě, popřípadě všechny tři souřadnice bodu L jsou nulové. y L y L r L k j 0 β γ i α L z L z Obrázek 1: Vektor i, jehož jeden reprezentant(jakožto orientovaná úsečka) spojuje body o souřadnicích0a1naose (vtomtopořadí)senazývájednotkovýmvektoremsměru osy.obdobnědefinujemeivektory ja kjakožtojednotkovévektorysměruos(pořadě) y a z(obr.1). Definovanou souřadnicovou soustavu můžeme také označovat symbolem (O, i, j, k).vektor r L,jehožjedenreprezentantspojujepočáteksouřadnicsbodemLse 1

2 nazývápolohovýmvektorembodul.protoževektory i, ja ktvoříbázieuklidovskéhoprostoru,lzevektor r L zapsatjakojejichlineárníkombinaci.protožepodledefinice souřadnicmajízmíněnébázovévektory(pořadě)souřadnice i=[1,0,0], j=[0,1,0]a k=[0,0,1],jsoukoeficientyvýšepopsanélineárníkombinaceprávěsouřadnicemibodu L. Píšeme tedy r L = L i+y L j+ z L k. (1) Mějmesouřadnicovousoustavu(O,,y,z)abodyAaBrůznéodpočátkuosouřadnicích(pořadě)[ A,y A,z A ]a[ B,y B,z B ].Utvořmepolohovévektorytěchtobodů r A a r B.Skalárnímsoučinemtěchtovektorůnazývámečíslo(skalár) c= r A r B = A B + y A y B + z A z B. (2) Vzdálenost bodu A resp. B od počátku nazýváme délkou polohového vektoru a značíme ji stejným symbolem jako vektor sám, ovšem bez šipky. Pro skalární součin polohových vektorů pak platí r A r B = r A r B cos( r A, r A ), (3) kdesymbolemcos( r A, r B )značímekosinusúhlu,kterýsvírajípříslušnépolohovévektory (jejichž reprezentanti začínají v počátku souřadnic). Protože kosinus je funkce sudá, nezáleží na orientaci popisovaného úhlu. Odtud plyne, že nenulové vektory mají nulový skalární součin právě když(jejich v počátku začínající reprezentanti) jsou na sebe kolmé. Vynásobmenynírovnici(1)postupněskalárnějednotkovýmivektory i, ja k.vzhledemke(3)akjejichkolmostizískámevztahy takže vzhledem ke(3) r L i=; r L j= y; r L k= z. =rcos α; y= rcos β; z= rcos γ, (4) kde r= r L jedélkapolohovéhovektoru(tedyvzdálenostbodulodpočátku)aα, β a γjsouúhly,ježsvírápolohovývektor r L pořaděsvektory i, ja k(tedyskladně orientovanými osami, y a z souřadnicového systému). Úhlům říkáme směrové úhly vektoru r L.Umocněnímvýrazůve(4)získámeprosměrovéúhlyvztah cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1. (5) Vztahy(4) zároveň říkají, že jednotlivé souřadnice bodu L tvoří pravoúhlé průměty polohového vektoru do souřadnicových os se směrovými úhly. Kosínům směrových úhlů říkámesměrovékosínypolohovéhovektoru r L. Transformace natočením Mějme dvě souřadnicové soustavy se společným počátkem O, charakterizované jednotkovýmivektoryos i, j, k(původnísoustava)avektoryos i, j, k (novásoustava) (obr.2). Libovolný vektor r vyjádříme v původním systému souřadnicemi, y, z a v novémsystémupaksouřadnicemi,y,z.platítedy 2

3 r= i+y j+ z k= i + y j + z k., y y L j, k j 0 k, i, i r, z z, Obrázek 2: Vynásobmetutorovniciskalárněpostupněvektory i, ja k.sohledemna(3)dostaneme = cos( i i)+y cos( j i)+z cos( k i), y= cos( i j)+y cos( j j)+z cos( k j), (6) z= cos( i k)+y cos( j k)+z cos( k k). Označíme-lisouřadnicevektoru rmaticovějakosloupcovématice r=[,y,z] T ; r = =[,y,z ] T vpůvodníinovésouřadnicovésoustavěamatici T T jako T T = dostaneme rovnice(6) v maticovém tvaru cos( i i) cos( j i) cos( k i) cos( i j) cos( j j) cos( k j) cos( i k) cos( j k) cos( k k) r= T T r. Provedeme-liinverznítransformaci,zřejměsepouzejednotkovévektory i, ja kzamění začárkovanéanaopak.vmaticitoznamenázáměnuřádkůzasloupceanaopak,čili operaci transpozice. Proto platí, r = Tr, (7) kde řádky transformační matice T obsahují směrové kosíny nových souřadnicových os ve starém souřadnicovém systému. Uvažujme speciální případ natočení kolem osy například o úhel ψ. Potom zřejmě i = i(obr.3),takžecos( i i)=1,cos( j i)=cos( k i)=0,cos( j j)=cosψ,cos( i j)= =0,cos( k j)= sin ψ,cos( i k)=0,cos( j k)=sinψ,cos( k k)=cosψ.promatici T pak platí T= cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 3,

4 z, z ψ k, k,, j j ψ y, y Obrázek 3: takže =, y = ycos ψ+ zsin ψ, (8) z = ysin ψ+ zcos ψ. Analogickou transformaci získáme při natočení kolem os y a z. Pro natočení kolem y dostaneme apronatočeníkolemosy zdostaneme = cos ψ zsin ψ, y = y, (9) z = sin ψ+ zcos ψ = cos ψ+ ysin ψ, y = sin ψ+ ycos ψ, (10) z = z. Poznámka: Všimněme si, že jednotlivé vztahy vznikají z ostatních tzv. cyklickou záměnou,kdyzaměňujeme za y, yza za zzaseza aanalogickézměnynastávajípro veličiny čárkované. Sférické souřadnicové soustavy SférickásouřadnicovásoustavajeurčenapočátkemO,tzv.hlavnírovinou ρ 0,ve které počátek leží a tzv. hlavním směrem, určeném polopřímkou OH ležící v hlavní rovině. Mějme libovolný bod L v prostoru, popsaný ve vztahu k počátku O polohovým vektorem r. Velikost tohoto vektoru r = r označujeme jako první sférickou souřadnicibodul.pokudl O,označme ϕ 1 odchylkupolopřímkyolodhlavníroviny ρ 0 a nazvěme ji druhou sférickou souřadnicí bodu L(obr.4). Pokud L navíc neleží na kolmici ke hlavní rovině vedené z počátku, definujeme L jako pravoúhlý průmět bodu L 4

5 y N L k 2 r S ϕ 1 k 1 H ϕ 2 L, ρ 0 z, N Obrázek 4: dohlavníroviny.odchylkupolopřímkyol odpolopřímkyohoznačme ϕ 2 anazvěme třetí sférickou souřadnicí bodu L(obr.4). Konvencíurčujemeodchylku ϕ 1 jakokladnou,leží-libodlvevybranémpoloprostoru určenémhlavnírovinou.leží-libodlvopačnémpoloprostoru,beremeodchylku ϕ 1 jako zápornou.protoje ϕ 1 π 2, π 2,přičemž ϕ 1 = π 2 právěkdyžbodlležínakolmicike hlavníroviněvedenépočátkemo(právěprotytobodynenídefinovánasouřadnice ϕ 2 ). Konvencírovněžurčujemesmyslpřibývánísouřadnice ϕ 2,prokterouzřejměplatí ϕ 2 0, 2π). Obvykle se to činí matematicky kladně(to je proti smyslu pohybu hodinových ručiček)připohleduzpoloprostoru,kdeje ϕ 1 >0.Popsanousférickousouřadnicovou soustavuoznačujemesymbolickyjako(o,r,ϕ 1,ϕ 2 ). V astronomické prai často potřebujeme znát polohu objektu na nebeské sféře bez ohledu na jeho vzdálenost od pozorovatele. Pak takový objekt promítáme na fiktivní kouli libovolného konstantního(tedy například jednotkového) poloměru. Sférická souřadnice r pak ztrácí smysl a polohu takového objektu na nebeské sféře určujeme zbylýmidvěmavýšepopsanýmisouřadnicemi ϕ 1 a ϕ 2.Souřadnici ϕ 1 nazývámesférickou šířkouasouřadnici ϕ 2 sférickoudélkou.počátekotakovésoustavynejčastějiumísťujeme do pozorovacího stanoviště(tzv. topocentrická souřadnicová soustava), do středu Země(tzv. geocentrická souřadnicová soustava) nebo do středu Slunce(tzv. heliocentrická souřadnicová soustava). Ke sférické souřadnicové soustavě(soustavě na kulové ploše) přiřaďme kartézskou souřadnicovou soustavu o stejném počátku tak, že osa z míří hlavním směrem, osa y jekolmánahlavnírovinuamířídopoloprostoru,kde ϕ 1 >0aosa užjeurčena tak, aby příslušná soustava byla pravoúhlá pravotočivá. Takto definovanou kartézskou souřadnicovou soustavu nazýváme přidruženou k sférické souřadnicové soustavě (O,r,ϕ 1,ϕ 2 ),resp.přidruženouksoustavěsouřadnicnakulovéploše(o,ϕ 1,ϕ 2 ). Geometrickémístobodůnakulovéploše,kde ϕ 1 =konstsenazývásférickárovnoběžkatétokonstantěpříslušející.pro ϕ 1 =0sejednáotzv.hlavnísférickou rovnoběžku. Je to hlavní kružnice zmíněné kulové plochy a tedy má poloměr stejný jakotatokulováplocha.pro0 < ϕ 1 < π 2 sejednáovedlejšíkružniceomenšíchpolo- 5

6 měrech.pro ϕ 1 = π 2 jsousférickourovnoběžkoudvabody(tzv.pólykulovéplochy). Geometrickémístobodůnakulovéploše,kde ϕ 2 =konstsenazývásférickýpoledník této konstantě příslušející. Vždy se jedná o polokružnice stejného poloměru jako kulová plocha, které procházejí jejími póly. Nechť(0,, y, z) je kartézská souřadnicová soustava přidružená ke sférické souřadnicovésoustavě(o,r,ϕ 1,ϕ 2 ).Podleobrázkupakzřejměplatí =rcos ϕ 1 sin ϕ 2, y= rsin ϕ 1, (11) z= rcos ϕ 1 cos ϕ 2. Umocněním a sečtením těchto rovnic dostaneme r= Ze druhé rovnice potom jednoznačně vyplývá a ze třetí rovnice nakonec dvojznačně ϕ 2 =arccos 2 + y 2 + z 2. ϕ 1 =arcsin y r,cos ϕ 1=+ 1 y2 r 2 z z resp. ϕ 2 =2π arccos. rcos ϕ 1 rcosϕ 1 Které z těchto dvou řešení je platné, získáme z první rovnice(11) na základě znaménka sin ϕ 2 = rcos ϕ 1 (čilipodleznaménkasouřadnice ).Projejíkladnéhodnotyplatíprvní řešení a pro záporné hodnoty druhé řešení(tedy doplňkové řešení do 2π). Transformace sférických souřadnic při natočení přidružených kartézských souřadnic kolem souřadnicových os Mějmesférickésouřadnicovésoustavy(O,r,ϕ 1,ϕ 2 )a(o,r,ϕ 1,ϕ 2)aknimpřidružené kartézskésouřadnicovésoustavy(o,,y,z)a(o,,y,z )takové,žečárkovanákartézská souřadnicová soustava vznikne z původní natočením kolem jednotlivých souřadnicových os vždy o úhel ψ. Odvodíme transformační vztahy mezi příslušnými sférickými souřadnicovými soustavami. 1. Při rotaci kolem osy dostáváme podle(8) =, y = ycos ψ+ zsin ψ, z = ysin ψ+ zcos ψ. Dosazením(11) a analogických vztahů platných pro čárkované souřadnice dostaneme, vzhledem k tomu, že souřadnice r se nemění, konečný tvar transformace jako 6

7 cosϕ 1sin ϕ 2=cos ϕ 1 sin ϕ 2, sin ϕ 1=sinϕ 1 cos ψ+cos ϕ 1 cosϕ 2 sin ψ, (12) cos ϕ 1cosϕ 2= sin ϕ 1 sin ψ+cosϕ 1 cosϕ 2 cos ψ. 2.Přirotacikolemosy ydostávámepodle(9) = cos ψ zsin ψ, y = y, z = sin ψ+ zcos ψ. Analogickým dosazením z(11) dostaneme cos ϕ 1sin ϕ 2=cos ϕ 1 sin ϕ 2 cos ψ cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ψ, sin ϕ 1=sin ϕ 1, (13) cos ϕ 1cos ϕ 2=cos ϕ 1 sin ϕ 2 sin ψ+cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ψ. 3.Přirotacikolemosy zpodle(10) = cos ψ+ ysin ψ, y = sin ψ+ ycos ψ, z = z. Opětovným dosazením z(11) dostaneme cos ϕ 1sin ϕ 2=cos ϕ 1 sin ϕ 2 cos ψ+sinϕ 1 sin ψ, sin ϕ 1= cos ϕ 1 sin ϕ 2 sin ψ+sinϕ 1 cos ψ, (14) cos ϕ 1cos ϕ 2=cos ϕ 1 cos ϕ 2. Zvýrazů(12)až(14)lzepřiznalosti ϕ 1,ϕ 2 a ψjednoznačněurčit ϕ 1aϕ 2.Inverzní transformace je vždy natočení kolem příslušné osy o úhel ψ. Protože funkce kosinus je sudáafunkcesinusjelichá,měnímepřipřechodukinverznítransformaciusin ψznaménko a u cos ψ jej zachováme. Zároveň zaměníme čárkované za nečárkované souřadnice a naopak. Dostaneme tak z(12) při natočení kolem osy vztahy cos ϕ 1 sin ϕ 2 =cosϕ 1sin ϕ 2, sin ϕ 1 =sinϕ 1cosψ cos ϕ 1cos ϕ 2sin ψ, cos ϕ 1 cos ϕ 2 =sin ϕ 1sin ψ+cos ϕ 1cos ϕ 2cosψ. Ztěchtovýrazůpřiznalosti ϕ 1,ϕ 2a ψjednoznačněurčíme ϕ 1 a ϕ 2.Analogickybychom dokázali naformulovat inverzní transformace k(13) a(14). 7

8 Nutné minimum ze sférické trigonometrie MějmekulovouplochuostředuS,poloměru rananítřibodya,bac(obr.5). Rovina určená body A,B,S pak protíná kulovou plochu v hlavní kružnici, jež jest body AaBdělenanadvaoblouky.Menšíztěchtooblouků(pokudneníjehodélkarovna πr) nazveme stranou c =AB sférického trojúhelníka o vrcholech A,B,C. Analogicky definujeme i strany b =AC a c=ab tohoto trojúhelníka. Sférickým trojúhelníkem ABC pak nazveme menší část kulové plochy oddělené jeho stranami. Vnitřním úhlem sférického trojúhelníka při vrcholu A(ustálené označení α) nazveme menší z odchylek rovin určených body S,A,B a S,A,C. Podobně definujeme zbylé dva vnitřní úhly, asicepřivrcholub(ustálenéoznačení β)apřivrcholuc(ustálenéoznačení γ). c β B A α a b Obrázek 5: γ C Strany sférického trojúhelníka jsou určeny příslušnými středovými úhly. Například strana a =BC je určena úhlem BSC. Délka této strany je úměrná velikosti středového úhlu(udávaného v radiánech). Konstantou úměrnosti je poloměr r kulové plochy. Proto je možné strany s k nim příslušnými středovými úhly zaměňovat a formulovat pro ně goniometrické funkce. Na obr.5 je sférický trojúhelník s vyznačenými vrcholy, stranami a vnitřními úhly. Platí pro něj tato základní tvrzení: 1.sinovávětavetvaru 2.kosinovávětaprostranyvetvaru sin α sin β =sin a sin b, 3.kosinovávětaproúhlyvetvaru cos a=cos bcos c+sinbsin ccos α, cos α= cos βcos γ+sinβsin γcos a, 4. sinuskosinová věta pro stranu a přilehlý úhel ve dvou tvarech 8

9 sin acos β=sinccos b cos csin bcos α, sin acos γ=sin bcos c cos bsin ccos α. Poznámka: Z každého z výše uvedených výrazů získáme dva další tzv. cyklickou záměnou,kdymísto apíšeme b,místo bpíšeme camísto cpíšemeopět a.podobněmísto α píšeme β,místo βpíšeme γamísto γopětpíšeme α. Platí následující důležité tvrzení: Nejkratší vzdálenost dvou bodů A a B na kulové ploše je délka(kratšího) oblouku hlavní kružnice tyto body spojující. π 2 ϕ 1A ϕ 2 N A π 2 ϕ 1B B Obrázek 6: JestližetedybodAmásférickésouřadnice ϕ 1A (šířka)aϕ 2A (délka)abodbsouřadnice ϕ 1B a ϕ 2B,určímepodlepředchozíhotvrzeníjejichnejkratší(úhlovou)vzdálenost. ZvolmesférickýtrojúhelníkABN,kdeNjebod,kdeje ϕ 1 = π 2 (severnípólkulové plochy). Strany a úhly trojúhelníka(obr.6) mají(úhlové) délky znázorněné na obrázku, přičemž ϕ 2 = ϕ 2B ϕ 2A.Chcemeurčit(úhlovou)délkustrany.Podlekosinovévěty pro strany platí Odtud apotom cos =cos( π 2 ϕ 1A)cos( π 2 ϕ 1B)+sin( π 2 ϕ 1A)sin( π 2 ϕ 1B)cos ϕ 2. [rad]=arccos[sinϕ 1A sin ϕ 1B +cos ϕ 1A cos ϕ 1B cos ϕ 2 ] (15) [m] = r[m][rad]. PokudbodyAaBležínastejnérovnoběžce(nevšakpro ϕ 1 =0),nenízřejměcesta potétorovnoběžcenejkratší.podle(15)pro ϕ 1A = ϕ 1B = ϕ 1 jenejkratšívzdálenost těchto bodů zřejmě rovna Vzdálenost po rovnoběžce by zřejmě byla min [m]=rarccos(sin 2 ϕ 1 +cos 2 ϕ 1 cos ϕ 2 ). (16) [m]=rcos ϕ 1 ϕ 2. (17) 9

10 1 Jednotlive grafy odpovidaji zmene sfericke delky d min /d π/8 π/4 3*π/8 π/2 5*π/8 3*π/4 7*π/8 π sfericka sirka [rad] Obrázek 7: 1 Jednotlive grafy odpovidaji sfericke sirce d min /d π/8 π/4 3*π/ zmena sfericke delky [rad] Obrázek 8: Přistejnémpoloměrukulovéplochyjepodílvzdáleností min v závislosti na sférické šířce pro několik různých rozdílů sférických délek znázorněn na obrázku 7. Závislost na rozdílu sférických délek je pro různé sférické šířky uvedena na obrázku 8. Příklad: Mějme zeměpisné souřadnice na povrchu Země, jako na ideální kouli poloměru r Z =6373km.ItalskéměstoMilánomázeměpisnésouřadnice ϕ 1A =45 o a ϕ 2A =10 o. HlavníměstoUzbekistánuTaškentmázeměpisnésouřadnice ϕ 1B =45 o a ϕ 2B =70 o. Splňují tedy podmínku míst ležících na stejné nenulové rovnoběžce. Po dosazení do(16) a(17)dostaneme =4723kma min =4610km.Vzdálenostměstbranáporovnoběžce jeccao2.5%delší. 10